導語：如何才能寫好一篇數學建模的微分方程方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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摘 要：在“微分方程數值解”的教學過程中，選取一類典型的微分方程（如：熱傳導方程）作為重點進行精講：首先講授該方程的建模思想、數值求解方法，再理論分析數值解法的穩定性和收斂性，隨后詳細指導學生編程并上機實現數值解法，避免學生“雜而不精”；最后在課堂上會對多數微分方程進行泛講，指導學生充分利用課余時間探索方程的相關知識，培養學生的自學能力和創新能力。

關鍵詞：微分方程數值解 教學模式 教學實踐

中圖分類號：G420 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2016）03（a）-0155-03

On the Teaching Program of “Numerical Solution of Differential Equation” Course

Jiang Yingjun

（Department of Mathematics and Science Computing，ChangshaUniversity of Science and Technology，Changsha Hu’nan，410004，China）

Abstract：A typical differential equation such as the heat conduction equation is firstly detailed，in the teaching process，with presentations of its modeling idea， numerical schemes，stability and convergence analysis for the schemes，and numerical tests；other differential equations are briefly presented afterwards；students are finally instructed to fully utilize their spare time to investigate results of the related equations，which helps to cultivate their self-study and innovation abilities.

Key Words：Numerical solution of differential equations；Teaching mode；Teaching practice

《微分方程數值解》是該校信息與計算科學專業高年級學生學習的一門專業基礎課。信息與計算科學專業是教育部在1998年新設的一個專業，專業培養目的是培養具有一定的科學計算能力、信息處理知識和技術的復合型人才。信息與計算科學專業開設了數學分析和高等代數等重要數學基礎課，還開設了C語言、數值分析、數學實驗等科學計算相關課程。這些課程都為將學生培養成復合型人才打好了基礎。《微分方程數值解》是以上述課程為基礎開設的具有理工融合的專業課程，該課程有較強的實際應用背景，是訓練應用所學數學工具解決實際問題的重要課程，也是將學生培養成應用型人才的關鍵環節。為提高教學效率，許多一線教育工作者撰文對《微分方程數值解》課程的教學進行了探討[3-6]。

近年來在《微分方程數值解》課程的教學方法與教學手段改革方面有了很大進步，形成一定的教學思想和指導方針，但還未達到理想的教學效果，主要原因有：（1）課時偏少（48課時）；（2）課程理論性強，公式推導煩瑣；（3）缺乏實際應用背景介紹。為了在有限的課堂教學時間內達到理想的學習效果，提出將整個教學分成兩個環節：（1）對某一方程精講，選取一種典型微分方程，詳細講解該方程的建模思想，數值解法，理論分析，并指導學生在計算機上實現算法；（2）對多種方程泛講。對大部分微分方程僅講解對應的數值方法和理論分析，充分利用課余時間結合課堂時間，指導學生自主完成從建模到上機完整的學習過程。

1 某一方程的詳細講解

在《微分方程數值解》這門課程之前，學生已經學到了的很多有用的數學工具，但都只停留在理論層面上，還不能有效地使用。筆者認為，講好《微分方程數值解》這門課的一個關鍵任務是培養學生熟練使用數學工具的能力。此課程所涉及方程眾多，但基本的建模思想、數值解法和理論分析所使用數學工具是相同的。主張先對一種方程進行全面講述，使學生學會使用數學工具完成：（1）建模獲得微分方程；（2）設計方程的數值解法；（3）理論分析數值解法的穩定性和收斂性；（4）在計算機上實現算法。在學生真正掌握相關數學工具的使用方法后，再對其他的方程進行泛講，以學生為主體進一步應用數學工具解決問題。

拋物型微分方程的建模思想和數值求解均具有普遍的代表性，這里建議針對此類微分方程進行精講。下面詳細闡述實際操作過程，相關建模過程請參考文獻[1]，數值解法和理論分析請參考文獻[2]。

1.1 建模獲得方程

課程教學中溶入數學建模思想，不但可以培養學生建模的能力，還能有效提高學生的學習興趣。值得一提的是，信計專業的學生熟悉使用定積分元素法計算許多物理量，但并未使用過此方法通過物理建模獲得微分方程。只要適當引導，學生即能掌握通過建模獲得微分方程的方法，所需的前期預備知識為微積分和熱學物理。針對三維的熱傳導問題（也可選取氣體擴散問題）進行建模為例。將一空間體置于空間直角坐標系中，通過物理建模得到溫度分布所滿足的微分方程。設置物理參數：

2 多種方程的泛講

《微分方程數值解》課程背景廣泛，理論豐富，實驗復雜，但各章內容有很多相似之處。對一類方程進行精細講解，強化培養學生使用數學工具的能力和實踐能力，做到拋磚引玉。對其他的方程主要講解數值解法和理論分析，更多的任務如建模、實驗等任務，指導學生獨立完成。對于泛講的內容建議：（1）充分使用多媒體工具，如將課程內容制作成若干10 min左右的小視頻微型課程；（2）介紹一些參考書供學生課后閱讀；（3）安排學生分組完成任務，可以將學習成績好的和差的分在一起，相互促進；（4）考核成績以獨立完成任務的情況作為重要的評分標準。

3 結語

實現《微分方程數值解》課程教學的重要目標，要求授課教師既要熟悉工科建模思想，又要有扎實的數學知識，還要有熟悉的計算機編程能力，在今后工作中要的培訓教師達到相關的知識儲備。

參考文獻

[1] 谷超豪，李大潛，陳恕行.數學物理方程[M].北京：高等教育出版社出版，2012.

[2] 李榮華.偏微分方程數值解法[M].北京：高等教育出版社出版，2005.

[3] 張宏偉.注重培養研究能力的5微分方程數值解法課程教學研究與實踐[J].大學數學，2006，22（6）：4-6.

[4] 楊韌，楊光崇，謝海英.微分方程數值解的教學研究與實踐[J].高等數學研究，2010，13（1）：124-125.

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【關鍵詞】數學建模；常微分方程；實際應用

近年來，隨著教育教學改革的不斷深入，高校的教育目標逐漸由偏重于理論教學向實踐教學以及創新模式教學方向發展.教師更加注重學生實踐能力和創新能力的培養.數學建模是將實際問題與數學知識相聯系的重要橋梁，借助數學模型的構建，很多重要的實際應用問題被巧妙解決.例如：廠房分配問題、原材料運輸路線問題以及商場選址問題等.常微分方程建模便是數學建模思想運用的一個重要類型.本文重點探索數學建模思想在常微分方程建模中的應用.

一、常微分方程建模的主要方法

（一）根據實際問題包含的條件構建常微分方程模型

像氣象學、天文學這類實際問題中，常常存在一些隱含的等量關系，為構建常微分方程模型提供了必備的條件.例如：等角軌線，同已知曲線或者曲線族相交成給定角度的一條曲線.由此可知，等角軌線的切線同對應的曲線或者曲線族的切線形成了一個給定的角度.這一關系，便可以構建一個常微分方程.同時，這一條件還說明，等角軌線同曲線相交點的函數值是相等的，進而可以構建出有關等角軌線的柯西問題模型.

（二）借助基本定律或者公式構建常微分方程模型

類似于物理學中的牛頓第二運動定律、虎克定律以及傅里葉傳熱定律的一些基本定律、公式，高校學生并不陌生.而在掌握這些定律、定理的具體應用之后，便可以在解決實際問題時作為常微分方程建模的重要模型構建條件.其實，很多實際問題都可以借助這些定律構建數學模型，例如人口的增長問題、經濟學問題以及生物學問題等.

（三）借助導數定義構建常微分方程模型

導數是微積分中的一個重要概念，其定義表示為：

dy1dx=limΔx0f（x+Δx）-f（x）1Δx=limΔx0Δy1Δx.

如果函數f（x）可微，則dy1dx在實際應用中可記為y相對于x點的瞬時變化率.這一含義可以在很多實際問題解決中加以運用.例如：常見的人口問題，人們在對人口進行統計的過程中，常常會計算人口的增長速率；在各類放射元素衰變過程中，常常需要計算出其具體的衰變率；在經濟問題中，也是常常會涉及一些“邊際問題”.類似的問題還有很多.可見，導數的定義在常微分方程建模中的應用十分廣泛.

（四）借助微元法構建常微分方程模型

在實際問題中，探尋微元之間的關系，并借助微元法構建微元關系式，進而構建數學模型.通常，在一個實際問題中，涉及的變量滿足以下條件時，便可以構建此類數學模型.

變量y是和自變量x在區間[a，b]內有關的量，y在區間[a，b]內有可加性，部分量Δyi≈f（ξi）.具體的構建過程包括：根據實際問題的具體情況，確定一個自變量x，并將其變化區間確定為[a，b]，在選定的區間[a，b]中選取一個任意的小區間[x，x+dx]，計算出該區間部分量Δyi.，將Δyi表示成為一個連續函數在x處的值f（x）與dx的乘積.即：Δyi≈f（x）dx，記f（x）dx=dy，其中，dy成為量y的微元.在等式兩邊同時積分，便可以得出變量y的值.這種方法被廣泛應用到多個實際應用領域.例如：空間解析幾何中曲線的弧長、旋轉曲面面積或體積等.在代數領域中，常常利用該方法解決流體混合問題.在物理方面，亦會借助該方法解決壓力、變力做功等問題.

（五） 模擬近似

當遇到一些較為復雜，并且其中隱含的規律并不清晰的實際問題時，常常會借助模擬近似法構建常微分方程模型.此類模型在建立的過程中，常常事先做一些合理的假設，凸顯所要研究的問題.由于建模過程中，涉及很多近似問題，所以要對所得解的有關性質進行分析，多與實際情況進行比較，確保建立的數學模型符合實際情況.

二、 常微分方程建模實例分析

（一）一階線性常微分方程模型中的打假模型構建

1.問題的提出

一直以來，打假問題是全社會共同關注的問題.隨著市場經濟體系以及法律、法規的逐步完善，假冒偽劣產品已經得到了有效的遏制，但是仍有很多的造假分子十分猖獗.為了有效地促進打假工作的順利進行，人們借助一階常微分方程模型的構建，對打假過程進行系統分析，并得出最優的實施方案.

2.模型假設

（1）假設時刻x，f（x）為x時刻假冒偽劣產品的數量，并假設f（x）為關于自變量x的連續函數.（2）假設某區域偽劣產品的制造者數量相對穩定.換句話就是在一定的時間內，偽劣產品的生產數量為常數a.（3）假設在一定的時間內，打假掉的產品的數量為固定數b.（4）假設在一定時間內，打假的產品數量同x時刻的假冒偽劣產品數量滿足正比例關系，即：kf（x），其中k為打假強度系數，該系數與打假資產成正比關系.（5）假設當x=0時，市場中假冒偽劣產品的數量為f0.

3.模型構建

根據微觀模型守恒定律，可以得出Δx時間間隔內，具備：

f（x+Δx）-f（x）=[a-b-k·f（x）]Δx.

令c=a-b，則有：

f（x+Δx）-f（x）=[c-k·f（x）]Δx.

等式兩邊同時除以Δx，則：

f（x+Δx）-f（x）1Δx=c-k·f（x）.

令Δx0，便得出打假模型為：

df1dx=c-kf，

f0=f0.（1）

4.模型應用

（1）當c=0時，f（x）0，即在單位時間內，偽劣假冒產品的生產數量和打假數量持平，社會中不存在假冒偽劣產品.

（2）當a>0，k0時，ft+∞，說明當對市場中的假冒偽劣產品放任不管時，存在于市場中的偽劣產品將嚴重破壞正常的市場秩序.

（3）這種變化過程同“生命周期”相類似.意思是說，在市場經濟初期，造假并不多見.隨著市場經濟的快速發展，造假活動日益猖獗.當市場經濟環境達到一定水平，這種問題將會得到有效遏制，最終歸向平衡.

（二）二階常微分方程建模中的追擊問題

1.問題提出

實際生活中，經常會遇到追擊問題.例如：動物世界中的老虎和羊，戰場上的子彈與目標以及生活中賽跑比賽等.

2.模型假設

（1）構建一個坐標系，假設馬從原點出發，并沿著y軸以速度a向前行進，老虎在（b，0）點出發，并以速度c追擊馬.

（2）老虎和馬在同一時刻發現對方，并開始追擊過程.

（3）追擊者和被追擊者的方向一致.

（4）老虎的速度方向不斷變化，其追擊路線可認為是一條光滑的曲線，設定為：f（x）.

（5）在t小時后，馬逃到了（0，at）處，老虎抵達（x，f（x））處.

3.模型構建

由導數的幾何意義可以得出：

df1dx=f-at1x.（2）

即：

xf′-f=-at.

分別對x兩邊求導，由已知ds1dt=v，以及弧微分公式ds=1+（f′）2dx，得出：

xf″=a1v1+（f′）2.

即老虎追馬的運動軌跡模型.

某些類型的跟蹤導彈對目標追擊的數學模型與上述老虎和馬追逃的數學模型相似，根據追擊者和被追擊者的距離以及被追擊者的逃亡范圍，通過調整速度即可追上.

三、結論

數學建模思想的龐大功效已經逐漸為人們所認可.常微分方程建模是一種常見的數學模型，其能夠有效解決多領域內的多種實際問題.本文僅從幾個方面進行分析，希望能夠對相關的研究工作者提供一些參考資料.

【參考文獻】

＼[1＼] 李明.將數學建模的思想融入高等數學的教學＼[D＼]. 首都師范大學，2009.

＼[2＼]湯宇峰.數學建模在供應鏈管理中的應用研究＼[D＼].清華大學，2008.

＼[3＼]朱鐵軍.數學建模思想融入解析幾何教學的實踐研究＼[D＼].東北師范大學，2009.

＼[4＼]倪興.常微分方程數值解法及其應用＼[D＼].中國科學技術大學，2010.

＼[5＼]勾立業.高等數學建模教育研究＼[D＼].吉林大學，2007.

＼[6＼]張宏偉.數學建模中的動態規劃問題＼[D＼].東北師范大學，2008.

＼[7＼]宋丹萍.在數學教學中滲透建模思想＼[J＼].科技資訊，2008（36）.

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Abstract： Firstly， the significance of integrating ideas of mathematical modeling into the content of higher mathematics course is discussed. Then starting from the basic concept and basic theorem of higher mathematics， it through concrete example shows how to blend mathematical modeling case in higher mathematics teaching. Finally， typical cases according to the content of higher mathematics are given.

關鍵詞： 數學建模；高等數學；微分方程；零點定理

Key words： mathematical modeling；higher mathematics；differential equation；zero point theorem

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2014）03-0258-02

0 引言

高等數學課程[1]是數學類主干課程的核心，長期以來，在高等數學的教學中，教材大部分內容講解概念、定理、推論及公式，教學上一味強調數學的嚴密性和邏輯性、抽象性，讓學生感到似乎數學離我們很遠，甚至有學了也沒有什么用的錯誤想法，而數學建模正是聯系數學理論知識與實際應用問題的橋梁，反映數學知識在各個領域的廣泛應用，所以我們教師在高等數學教學過程中要不斷滲透數學建模思想。中國科學院院士李大潛曾提出“將數學建模的思想和方法融入大學數學類主干課程教學中”[2]。合理安排數學建模案例是數學建模的思想與方法融入到高等數學中的具體實踐[3，4]，譬如，減肥模型、銷售模型、人口模型、傳染病模型等，讓學生帶著較愉悅的心情實實在在體會到所學數學知識與日常生活與現代科學技術的密不可分性，使學生在分析實際數學建模案例過程中體會數學的樂趣與應用價值，以培養學生解決實際應用問題能力。因此，將數學建模案例融入在高等數學教學中有著十分重要的意義。究竟如何將數學建模與高等數學相融合呢？

1 在高等數學的概念引入中滲透數學建模思想

高等數學的概念一般都是從客觀事物的某種數量關系或空間形式中抽象出來的數學模型，本身這一過程就是數學建模的過程，因此，我們在引入概念時，借助概念產生的來源背景和實際生活中的實際例子，對其抽象、概括、歸納求解自然而然引出概念，使學生實實在在感受到數學的作用，數學就在我們身邊。

案例1 微分方程的概念

問題引入： 刑事偵察中死亡時間的鑒定

問題提出：當一次謀殺發生后，尸體的溫度從最初的37℃按照牛頓冷卻定律（物體在空氣中的冷卻速度正比于物體溫度與空氣溫度差）開始下降，假定兩小時后尸體溫度降為35℃，并且假設室溫保持20℃不變。試求尸體溫度H隨時間t的變化規律。如果法醫下午4：00到達現場測得尸體溫度為30℃，試確定受害人的死亡時間。

問題分析：牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現將牛頓冷卻定律應用于刑事偵察中死亡時間的鑒定。

模型建立： 設尸體的溫度為H（t）（t從謀殺死起），運用牛頓冷卻定律得尸體溫度變化速度■=-k（H-20），這就是物體冷切過程的數學模型。我們得到了含有溫度H關于時間t的導數的方程，可以請學生觀察這個方程與之前我們學習過的方程有什么異同呢？通過這個方程我們能解出關于H（t）的函數關系嗎？如果能解出來，方程的解是什么呢？如何解呢？通過這個問題我們可以首先引入微分方程的概念：含有未知函數H及它的一階導數■這樣的方程，我們稱為一階微分方程。

模型求解：確定了H和時間t的關系，我們需要從方程中解出H，如何求解該微分方程■=-k（H-20）呢？將方程改寫成■dH=-kdt這樣變量H和t就分離出來了，兩邊積分，得到？蘩■dH=？蘩-kdt，即ln（H-20）=-kt+lnC，H-20=Ce-kt。

由初始條件：t=0，H=37；t=2，H=35；得37-20=Ce■35-20=Ce■解得C=17k=0.0626即H=20+17e■。當H=30；t≈8.48=8小時29分，謀殺時間大約為早上7點31分。

通過方程的求解過程進一步引入可分離變量的一階微分方程的定義及解法：如果一個一階微分方程能寫成g（y）dy=f（x）dx（或寫成y′=φ（x）ψ（y））的形式，即能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy，另一端只含x的函數和dx，那么原方程就稱為可分離變量的微分方程。可分離變量的微分方程的解法：

第一步：分離變量，將方程寫成g（y）dy=f（x）dx的形式；

第二步：兩端積分？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx，設積分后得G（y）=F（x）+C；

第三步：求出由G（y）=F（x）+C所確定的隱函數y=？準（x）或x=ψ（y）。

通過上述案例，我們發現在概念講授中選取恰當的背景材料，就能引導學生積極參與教學活動，概念模型也將隨之自然而然地建立起來，這比直接用抽象的數學符號展現給學生要生動有趣得多。

2 在講授高等數學定理時引入建模案例

在講授高等數學中定理時，對學生來說，學過定理不知如何用及何時用，比如，零點定理、微分中值定理等。下面以零點定理為例進行說明。

案例2 零點定理：設函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，且f（a）·f（b）

問題引入：切分蛋糕問題

問題提出：媽媽在姐姐過生日這天做了一個邊界形狀任意的蛋糕。可是弟弟看了也想吃，于是姐姐指著蛋糕上的任一點，要求媽媽從這一點切一刀，還要使切下的兩塊蛋糕面積相等，這下可愁壞了媽媽。大家幫媽媽想一想，一定存在過這一點的某一刀可以把蛋糕面積二等分嗎？

問題重述：一塊邊界形狀任意的蛋糕，過上面任意一點是否可以把蛋糕分成兩塊面積相等的部分。

問題分析：這個問題可以歸結為平面幾何問題，即把一個封閉圖形二等分。

模型假設：是平放在桌面上的，蛋糕表面與水平面是平行的。

模型建立：已知平面上有一條封閉曲線，形狀任意，但沒有交叉點，P是曲線所圍成的圖形上任意一點。求證：過P點一定存在著一條能夠將圖形面積二等分的直線L。

符號說明：P是曲線所圍成的圖形上一點；L為過P點的任意一直線；S1，S2表示直線L將曲線所圍圖形分為兩部分的面積；α0為直線L與X軸的初始交角。

模型求解：如果S1=S2，則L即是所要找的直線，現在，考慮S1≠S2的情況，假設S1S2同理）。點P為旋轉中心，直線L按逆時針方向旋轉，則面積S1，S2依賴于角α連續地變化，即S1=S1（α），S2=S2（α）都是關于角α的連續函數。

令f（α）=S1（α）-S2（α），則f（α）是[α0，α0+π]上的連續函數，并且

f（α0）=S1（α0）-S2（α0）

f（α0+π）=S1（α0+π）-S2（α0+π）

=S2（α0）-S1（α0）>0

根據零點定理，存在一點ξ∈（α0，α0+π），使得f（ξ）=S1（ξ）-S2（ξ）=0，即S1（ξ）=S2（ξ）。

模型結論：由幾何問題的證明可知，過蛋糕表面上任意一點，一定存在著一條直線L能將這蛋糕切成面積相等的兩塊。

模型評價：上述模型的建立和求解并沒有解決如何實際操作把一塊蛋糕二等分，但是它從理論上證明了這塊蛋糕被二等分的可能性，此模型可以分析其他類似問題，具有一定的推廣價值。

3 結束語

為了更好地使數學建模進入高等數學的教學中，有必要在教材中附上應用數學建模的優秀案例，在課堂教學中，以具體案例作為教學內容，通過具體問題的建模范例，介紹數學建模的思想方法，如表1。

總之，只要我們在平時的教學中，把數學教學和數學建模有機地結合起來，在教學的每一環節適時適當滲透數學建模思想，可以提高學生的各方面能力，有助于他們更好的學好專業課，更有利于今后適應時代對人才的需要。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（第六版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2007：23-24.

[2]李大潛.將數學建模思想融入數學類主干課程[J].中國大學教學，2006（1）：9-11.

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【關鍵詞】常微分方程 應用能力 改革方法

【中圖分類號】G642.0 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）10 -0182-02

1 常微分方程課程教學現狀

常微分方程是大學本科數學專業的一門專業基礎課，是基礎數學的一個重要內容，有著廣泛的應用，是數學理論聯系實際的一個重要組成部分。它是眾多精確社會科學、自然科學中表述基本定律和各種問題的基本工具之一；從誕生之日起，它日益成為人類認識自然、改造自然的有力工具；自動控制、電子技術、力學、生物學、海洋學、經濟學等各個學科的科研人員都把它作為必需的研究工具。常微分方程為后續課程的學習起著鋪墊作用，它是學習偏微分方程、微分幾何等相關課程的基礎；它所體現的數學分析思想、邏輯推理方法以及處理問題的技巧，在整個大學數學學習中都起著奠基作用；常微分方程模型是數學建模的重要內容之一，也是部分碩士研究生入學復試的筆試內容。因此，伴隨著數學在現代社會中的作用和地位的不斷提高，常微分方程課程也越來越受到重視。

現實中，常微分方程課程教學略顯枯燥，部分學生不愿意學，即便掌握了充足的理論，也缺少解決問題的能力。隨著教學改革的不斷深入，專業課程的課時相對減少，內容卻相對增加，這對常微分方程教學有不小的負面影響。由于高校擴招，使得學生整體素質下降，部分學生接受新知識的能力下降，再加上受一些不正確思想的誤導，學生的學習主動性不足、積極性不高、知識融會貫通的能力較差。教師對教學內容的處理不夠得當，忽視了相關課程知識間的聯系，教學方式和教學手段的使用不夠恰當，不能調動學生主動探究知識、獲取知識、分析問題、解決問題的積極性，同時也忽略了學生能力、素質的培養。教學中缺乏數學思想方法的滲透，不利于學生創新意識及應用能力的培養和提高。

應用人才培養已成為國家人才培養戰略的重點之一。數學系在課程教學中如何培養學生的應用能力是一個緊迫而必須回答好的問題。數學系，具有自己的課程特點和培養目標，學生應該具有獨特的應用能力。

1. 通過數學模型解決實際問題的能力。數學是一門工具學科，除了使這一工具更加有力之外，重要的是使用這一工具去解決實際問題。數學在物理、生物、經濟、環境等方面已經有了很多的應用分支。學生應該具有數學建模的能力，對相關其他專業知識了解之后，可以迅速建立數學模型，運用數學理論進行分析或數值模擬，給出解決方案。

2. 運用數學軟件解決實際問題的能力。隨著計算機的發展，很多問題都可以借助計算機加以解決，對較復雜的問題需要使用專業軟件，并需要進行適當的程序設計。數學系的學生要掌握較專業的數學軟件，熟悉程序設計，對一些實際問題可以編寫適當的程序利用數學軟件迅速解決。

3. 傳授數學知識的能力。除了口語、板書、課件設計與制作、課堂組織等教師的基本能力之外，還要熟悉專業知識的脈絡，了解學習中的思維過程，據此設計出合理的教學方案并實施。

常微分方程作為數學系的基礎課程，具有很強的應用性，所以責無旁貸的要在教學中培養學生的應用能力。高校課程改革正風起云涌，人們正改變傳統的授課方式，積極探索科學、高效、目的明確的授課方式。四川大學的張偉年把教學內容和重點同當今微分方程發展主流及非線性科學飛速發展實際相結合，同時實行雙語教學，多媒體教學等，努力培養學生的創新意識和能力[1]。張紅雷從教學內容、教學方法和加強學生創新能力的培養等方面，探索常微分方程課程的教學改革[2]。儲亞偉等從教學觀念、內容、方法、手段等方面探討了常微分方程課程的改革[3]。鐘秀蓉在分析常微分方程課程對自動化專業學生的重要性的基礎上，結合目前常微分方程的教學改革現狀，提出“兩重”和“四原則”的思想[4]。藍師義提出了教學內容與教學方法改革的一些設想和建議，以促進大學生獨立思考能力和創新能力的培養，提高課堂教學質量[5]。方輝平以建模的思想作為切入點，在常微分方程的教學內容、方法和手段上進行了探索和改革[6]。程國華把常微分方程分成若干模塊，將數學實驗、建模思想和方法融入常微分方程教學[7]。

如何學習常微分方程這門課程，如何提高課堂教學質量，如何激發學生的學習興趣，如何提高學生的應用能力，如何促進學生基本數學素養的形成和提高是每位任課教師都應思考的問題。

2 常微分課程中應用能力的培養

2.1 結合實際應用

在講授常微分方程的過程中，教師應引入一些實際問題，多介紹一些微分方程的來源與應用背景，讓學生認識到微分方程的重要性及其廣泛的應用性，感受到常微分方程的魅力，培養學生學習常微分方程的興趣和信心。這樣，既鞏固了課堂的理論知識，降低了理論講解的枯燥性，提高了學生的學習興趣，又增強了學生的應用能力。

在常微分方程課程中可以引入傳染病模型，分析其變化規律。設時刻t的健康人數為y（t），染病人數為x（t）。假設傳染病傳播期間總人數不變，設為n，則有x（t）+y（t）=n。在單位時間內一個病人能傳染的人數與當時的健康人數成正比，設比例常數為k，稱為傳染系數。于是

=ky（t）xt

或

=kx（n-x）

這個模型稱為SI模型，是伯努利方程，可以解出這個方程并通過它的解分析疾病的流行規律。這樣不僅開闊了學生的視野，還讓學生經歷了用所學知識解決實際問題的過程，激發學生的學習興趣。

類似的，針對我國2011年進行的人口普查，可以引入Malthus模型、Logistic模型等人口模型預測人口的發展趨勢；針對2008年SARS的傳播可以引入適當的模型，并結合實際數據，分析疾病的流行動態。

2.2 利用計算機輔助學習

隨著計算機的發展，產生了很多數學軟件，如Mathematica、MATLAB、Maple等，可以利用這些軟件輔助常微分方程的學習。一方面通過數值計算和繪圖迅速了解或探討某些常微分方程的性態；另一方面應用軟件中符號計算功能可直接求解某些常微分方程。

Mathematica語言中，符號運算、數值計算及圖形繪制均有特色，特別是輸入顯示界面可以直接輸入及顯示人們習慣的數學符號，非常直觀。

如可按下面的過程求方程組 基解矩陣：

A={{2，1} {0，2}} 建立矩陣A；

Eigensystem[A] 求矩陣的特征值、特征向量；

Exp[A*t] 得到基解矩陣。

再如，常微分方程 可如下求解：

DSolve 。

此外，Mathematica語言在向量場、等高線、微分方程數值解及作圖、拉普拉斯變換等問題上都可以很方便應用。

2.3 整合課本內容，讓學生對知識有整體掌握

不要拘泥于教材的內容，可以從課外找出相應問題作為例題，這樣會擴大學生的知識范圍，吸引學生的注意力，培養學習興趣和應用能力。

對教材中的一些內容進行歸納總結，例如，由于高階微分方程與線性微分方程組在可解的意義下是等價的，可以把高階線性微分方程解的存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應內容放到一起，它們解的結構及其性質也基本相同。經過對比講解可以指出它們的異同，站在更高處審視所學的知識，這樣這部分內容能較容易地被學生掌握，同時還能解決學時少，課堂效率低的問題。

可以以解決實際問題為主線，引導學生建立學習團隊，通過自身或團隊開展發掘、調查、訪問、資料收集、操作等多樣的學習活動，分析、解決問題，以培養和提高學生的應用和創新能力。

2.4 利用現代教學手段，提高教學效果

隨著科技的發展，各種現代教育技術異彩紛呈。作為現代教育技術典型代表的多媒體輔助教學，有利于提高課堂的教學效率和教學質量。但多媒體教學也有操作速度快、學生反映跟不上等弊端。對于常微分方程教學，在傳授知識的同時，不可缺少的是嚴謹的推理過程，推理的每一步都是對學生思維的訓練過程，如果把內容一股腦地全顯示出來，這很難給人留下深刻印象，簡化了學生對知識的思維過程，抑制了學生的思維能力，效果較差。因此，為了提高教學效果，教師可將板書和多媒體結合使用，在需要推導的時候使用板書，對只需要展示的內容可事先做好課件。

通過建設課程網站，建立個人主頁、建立課程郵箱、設立網上討論區等方式，打破傳統的師生之間教與學的關系，增加學生主動學習的機會，建立平等討論、互相促進的關系，開拓出新的教學空間。

2.5 授課過程中注意引導學生進行思考

教師應該授之以漁而非授之以魚。在常微分方程的教學過程中，教學工作是教會“如何把未知問題歸結為已知問題求解”的思想和方法，引導學生如何由已知探求未知知識，培養他們認識問題、理解問題、解決問題的能力，同時他們也會領會知識的整體體系，達到融會貫通的目的。

2.6 改革考核方法，加強對學生學習效果檢測

考試是教學過程中的重要環節，是檢驗學生學習情況，評價教學質量的手段。現行的閉卷考察方式更多考察的是記憶能力、知識本身、理論基礎而忽略了理解能力、智力因素、實踐能力，存在著弊端。選擇什么樣的考核方式對教學具有重要影響。常微分方程課程的考核可采取N+1的考核方式，可將常微分方程的考核分為平時到課率、期中考試成績、上機考試（如實驗設計能力的考核、計算機數學軟件使用等的考核），再加上期末理論考試成績。分別設置不同的權重，取綜合成績。這種考核方式，除了讓學生掌握課本的理論知識外，還注重學生平時各方面的表現以及各種能力的訓練，有利于應用型人才的培養。

參考文獻：

[1] 張偉年.本科數學專業常微分方程教學改革與實踐.高等理科教育.2003（1）

[2] 張紅雷.信息與計算科學專業常微分方程教學改革初探.徐州教育學院學報.2008（1）

[3] 儲亞偉，朱茱.高師本科常微分方程教學改革的探究.阜陽師范學院學報（自然科學版）.2008（3）

[4] 鐘秀蓉.本科自動化專業常微分方程教學之改革與實踐.內江科技.2009（4）

[5] 藍師義.常微分方程教學改革的探索.廣西民族大學學報（自然科學版）.2009（3）

[6] 方輝平.常微分方程教學改革與實踐.滁州學院學報.2010（2）

篇5

關鍵詞：數值分析；數學建模；數學實驗；教學改革

一、引言

“數值分析”是為我校機械工程、電氣工程、材料工程和化學與環境工程等專業的碩士研究生開設的一門學位課程，通常需要學生在本科階段學習過“高等數學”“線性代數”及“常微分方程”三門課程。“數值分析”課程又為后續的“數學模型”“軟件工程”和“算法設計與分析”等課程奠定知識和方法論基礎。該課程涉及內容較多，并具有很強的理論性和實踐性。隨著現代計算機技術的迅猛發展以及社會對碩士人才培養提出的更高要求，如何采用有效的教學方法，提高教學質量已成為“數值分析”課程教學任務中不可回避的重要問題。為了培養和提高學生發現、分析以及解決問題的能力，為今后能夠順利擔負科研任務打下堅實的基礎，根據該課程的特點，融入數學建模和數學實驗的教學法，不僅可以激發學生的學習興趣，使其對教學內容掌握得更加扎實，講解和實踐的案例還可以成為學生在將來從事科研活動時的重要參考資料。

二、“數值分析”課程的特點

國內外為碩士生開設的數值分析理論及類似課程所采取的講授方法基本類似。教學模式或者較為注重計算公式的推導，或者偏重于具體算法的應用。從教學方式上看，傳統的“注入式”教學模式仍占主導地位，這嚴重影響了研究生的個性培養、創新思維的訓練。總體來說，該門課程的特點可以概括為以下兩點：（1）具有理論數學的抽象性與嚴密科學性；（2）應用的廣泛性與實踐的高度技術性。

三、融合數學建模和數學實驗教學法的內涵與實例

（一）教學法的內涵與作用

結合“數值分析”課程教學的特點，可以作出如下定義：融合數學建模和數學實驗教學法是指在教師的策劃和指導下，基于教學創新理念，以提高學生分析解決問題的能力為目的，并以數值分析課程的知識結構為主線，組織學生通過對具有代表性的數值分析模型的提出、原理的解釋、應用領域的分析、思考、討論和交流等活動，引導學生自主探究，加深對知識理解等的一種特定的教學方法。

該教學法是一種理論聯系實際，啟發式的教學過程。通過教師采用數學模型引導來說明理論知識，通過實驗仿真，激發學生的學習興趣，提高學生分析解決問題的能力。采用該教學法可以克服傳統教學中“教師主體”的模式缺點，使學生成為教學的中心，不僅不必強記定理公式，而且能夠使學生了解到實際問題的多選擇性和不確定性，激發學生的創新精神。

目前，我校進行了研究生培養模式的改革，提高了要求，在這種情況下，傳統的培養方式及教學方式必須進行改革，該教學法具備上述優點，是一種非常適應現代教學現實的方法。

（二）教學法的實例

目前的數值分析理論課程教學，只是在分析已有的模型，而對于模型的提出過程講授得較少，因此造成了學生的分析能力強于綜合能力。而學生在未來的科研工作中，對于綜合能力的要求要高于分析能力。所以講授數值分析模型的提出過程對培養學生的綜合能力是十分有益的。在此筆者列舉教學實踐中的典型例子說明該教學法的優點。

應用實例：

在講授教材中“常微分方程初值問題數值解法”這部分的內容時，教材上只是給出了微分方程的幾種數值方法及其對應的誤差估計、收斂性和穩定性，內容較為晦澀難懂，學生往往不能理解常微分方程來自于哪些實際問題，特別不理解數值解的內涵，于是筆者在講授該部分內容時融入了數學建模的思想。為使學生理解數值解的內涵，借助C++、MATLAB或MATHEMATICA等軟件做程序的編寫，完成數值解的求解及幾種方法解的圖形顯示，加深對該部分內容的認識和比較。

提出數學建模問題：食餌捕食者問題。

意大利生物學家D’Ancona發現：第一次世界大戰期間意大利阜姆港捕獲的鯊魚的比例有明顯的增加，如表1所示。

事實上，捕獲的各種魚的比例代表了漁場中各種魚的比例。戰爭中捕獲量會下降，而食用魚會增加，以此為生的鯊魚也同時增加。但是捕獲量的下降為什么會使鯊魚的比例增加，即對捕食者更加有利呢？

他無法解釋這個現象，于是求助于他的朋友，著名的意大利數學家Volterra。Volterra建立了一個簡單的數學模型，回答了D’Ancona的問題。

模型假設：

1.食餌增長規律遵循指數增長模型，相對增長率為r；

2.食餌的減小量與捕食者數量成正比，比例系數為a；

3.捕食者獨自存在時死亡率為d；

4.食餌的存在使捕食者死亡率的降低量與食餌數量成正比，系數為b。

通過上述教學案例的使用，使學生在學習常微分方程問題數值解的理論后，對一些實際問題，能夠建立微分方程組模型，并動手實驗給出方程組的數值解，加深對數值解的認識，對數值解收斂性、誤差情況和穩定性有具體的認知，并進一步通過圖形等方法對結果進行驗證、解釋和分析。

通過3個教學循環的教學經驗和多年的科研實踐經驗，如果采用新教學法，可以顯著提高教學效果，并且可以引入現代科研領域的一些前沿內容，推動教學改革的進行。

在數值分析理論課程的教學活動中引入了數學建模和數學實驗的教學法，對教學內容及實踐活動進行了總結，教學實踐活動表明該教學法能夠提高學生的獨立思考能力，解決問題的能力，使學生在理論知識和實踐能力方面達到了學以致用的效果，教學質量得到了明顯提高。

參考文獻：

[1]趙景中，吳勃英.關于數值分析教學的幾點探討[J].大學數學，2005，21，（3）：28-30.

篇6

關鍵詞：數學建模 高等數學 課程教學 綜合素質

中圖分類號：G642 文獻標識碼： A 文章編號：1672-1578（2013）04-0050-02

大學數學教育的任務是通過數學的教學活動讓學生掌握數學的思想和方法，并能夠應用數學知識解決實際問題。但傳統的數學教學忽略數學應用的廣泛性，重理論，輕應用。學生在學習中很難將理論與實際問題結合起來，因而影響學生學習數學興趣，缺乏學習數學的主動性和自覺性。數學建模不僅能有效激發學生的學習興趣，而且能有效提高學生的觀察力、想象力、邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。但是由于競賽規模限制，加上對學生數學知識的要求比較高，專門的數學建模類課程并不適合大眾化的高等職業教育。要提高高職學生的數學素質和應用能力，解決知識和實踐脫節的問題，在傳統的高等數學教學中滲透數學建模思想則成為一個理想的途徑和教學改革的方向。

1 數學建模對學生能力培養的重要意義

1.1培養學生綜合應用和分析能力

數學建模面對的是實際問題，一般沒有標準答案，也沒有固定的求解方法，而且大多數不是單靠數學知識就可以解決的，它需要跨學科，跨專業的知識綜合在一起才能解決。這就需要學生綜合各方面知識，深入分析，從實際問題中抽象出合理的、簡化的數學模型，并創造性地使用數學工具，尋求問題解決方法。在這個過程中，綜合知識運用能力和分析解決問題能力會得到顯著提高。

1.2激發學生的參與探索的興趣

數學建模是實際問題經過適當的簡化、抽象而形成數學公式、方程、函數式或幾何問題等，它體現了數學應用的廣泛性，所以學生通過參與數學建模，充分體會到數學本身就是刻畫現實世界的數學模型，感受到數學的無處不在，數學思想和方法的無所不能；同時也體會到學習數學的重要性。建模過程充分調動學生應用數學知識分析和解決實際問題的積極性和主動性，激發學生把數學知識和方法應用到實際問題中去的渴望，從而激發學生學習數學的興趣和熱情。

1.3提高大學生的綜合素質

數學教育要教給學生的不僅僅是數學知識，還要培養學生應用數學的意識、興趣和能力，讓學生學會用數學的思維方式觀察周圍的事物，用數學的思維方法分析、解決實際問題。在高等數學的教學中融入數學建模思想可以培養學生如下能力：（1）培養“翻譯”的能力。（2）培養對已知的數學方法和思想進行綜合應用的能力，形成各種知識的靈活運用與創造性的“鏈接”。（3）提高面對復雜事物的想像力和洞察力、邏輯思維能力以及分析、解決問題的能力。（4）提高查閱文獻、收集資料以及撰寫科技論文的文字寫作能力。（5）培養團結合作精神和進行協調的組織能力。

2 在教學內容上滲透數學建模的思想和方法

高職數學內容歷來要求“以應用為目的，以必需、夠用為度”，其知識范圍廣、線條粗、深度淺。但又往往容易成為本科數學的壓縮餅干，常常是經典過多，現代不足；理論過多，實際不足；運算過多，思想不足。教師應積極開展課程論研究，在教學中要善于挖掘教學內容與學生所學專業及實際生活中實例的聯系，根據學生專業的實際需求編排高等數學課程教學內容和教學重點。以下舉例說明在高等數學課程的教學中融入數學建模思想方法，配合數學模型內容，有利于提高學生的數學實踐能力。

2.1數學概念的引入

高等數學課本中的函數、極限、導數、積分、級數等概念都是從客觀事物的某種數量關系中抽象出來的數學模型。在教學中，應該從學生熟悉的日常生活的例子中自然而然的引出來，使學生感到數學概念與日常生活是有密切聯系的，并了解相應知識在實際中的應用場合，增加學習的積極性。例如，在學習函數概念時可以介紹指數模型（人口增長、物質衰變等），三角函數模型（交流電、經濟規律、人的生理、情緒等都有周期性）、函數族模型等。作為在學習極限概念時可以介紹：蛛網模型、科赫雪花模型（面積有限，邊長無限）等。

2.2導數的應用

利用一階導數、二階導數求函數的極值，求實際問題的最值，利用導數求函數曲線在某點的曲率。由導數概念引入的函數相關變化率在解決實際問題中很有意義。作為導數的實際應用可以介紹最大收益原理、魚群的適度捕撈、征稅問題、最優批量、電影院優化設計、驚險雜技的設計、拱型橋梁的原理與優化、未來醫院拐角設計等問題的數學模型。

2.3定積分的應用

定積分以及微元分析法在數學建模和其他專業課程中有著廣泛的應用。因此，在定積分的應用這一章中，微元分析法和定積分在幾何、物理中的應用都要重點講授，尤其是借助微元分析法建立積分關系式的技巧。例如堆積煤矸石的電費、非均勻資金流的現值與未來值，廣告費用，油田儲油罐的設計等都是定積分在實際中應用的很好例子。

2.4二元函數的極值與最值問題

求二元函數的極值與條件極值，拉格朗日乘數法，以及最小二乘法在很多實際問題中都有具體應用，在教學過程中應注意培養學生用上述工具解決實際問題的能力。多元函數微分與極值可介紹：河水的污染與凈化的數學模型、生產調度最優化模型、存貯費用優化問題（允許缺貨）、野生動物樂園的面積、曲線擬合的參數估計等問題；梯度應用可介紹：攀巖路線問題、熱鍋上的螞蟻何處逃生、鯊魚進攻路線。

篇7

關鍵詞：非線性動力學；防屈曲支撐；理論建模

Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonlinear science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism ​​of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling support is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support also is a strongly nonlinear system, whose mechanical performance analysis has been the difficulty. The paper conducts some preliminary exploration of application of the theory of nonlinear dynamics in the study of anti-buckling support, focusing on theoretical modeling method of nonlinear dynamics of anti-buckling support core.

Key words: nonlinear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling

中圖分類號：TH122 文獻標識碼： A文章編號：2095-2104（2012）

引言

經典力學的基礎是一些“實驗事實”。隨著科學技術的發展，實驗設備變得更為先進，實驗方法在不斷改進，所得的實驗結果也更為貼近實際力學過程。然而，更新更精確的實驗結果也說明了：一、處理力學模型的線性化方法在許多模型應用中具有很大的局限性，線性化可能導致很大的誤差，甚至導致結論與實際情況十分的不相符；二、原來被忽略的一些因素事實上對力學模型影響很大，而這些被忽略的因素表現往往很難用線性化方法處理，并且還表現為強非線性。

真實的動力系統幾乎都含有各種各樣的非線性因素，諸如機械系統中的間隙、干摩擦，結構系統中的材料彈塑性、構件大變形，控制系統中的元器件飽和特性、變結構控制策略等。實踐中，人們經常試圖用線性模型來替代實際的非線性系統，以求方便地獲得其動力學行為的某種逼近.然而，被忽略的非線性因素常常會在分析和計算中引起無法接受的誤差，使得線性逼近徒勞無功.特別對于系統的長時間歷程動力學問題，有時即使略去很微弱的非線性因素，也會在分析和計算中出現本質性的錯誤.

人們很早就開始關注非線性系統的動力學問題.早期研究可追溯到1673年Huygens對單擺大幅擺動非等時性的觀察，從19世紀末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等數學家和力學家相繼對非線性動力系統的理論進行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理學家和工程師則在實驗和數值模擬中獲得了許多啟示性發現.他們的杰出貢獻相輔相成，形成了分岔、混沌、分形的理論框架，使非線性動力學在20世紀70年代成為一門重要的前沿學科，并促進了非線性科學的形成和發展.

近20年來，非線性動力學在理論和應用兩個方面均取得了很大進展.這促使越來越多的學者基于非線性動力學觀點來思考問題，采用非線性動力學理論和方法，對工程科學、生命科學、社會科學等領域中的非線性系統建立數學模型，預測其長期的動力學行為，揭示內在的規律性，提出改善系統品質的控制策略，一系列成功的實踐使人們認識到：許多過去無法解決的難題源于系統的非線性，而解決難題的關鍵在于對問題所呈現的分岔、混沌、分形、孤立子等復雜非線性動力學現象具有正確的認識和理解.

近年來，非線性動力學理論和方法正從低維向高維乃至無窮維發展.伴隨著計算機代數、數值模擬和圖形技術的進步，非線性動力學所處理的問題規模和難度不斷提高，已逐步接近一些實際系統.在工程科學界，以往研究人員對于非線性問題繞道而行的現象正在發生變化.人們不僅力求深入分析非線性對系統動力學的影響，使系統和產品的動態設計、加工、運行與控制滿足日益提高的運行速度和精度需求，而且開始探索利用分岔、混沌等非線性現象造福人類。

防屈曲支撐是土木工程抗震中目前應用較為廣泛的一類耗能構件，它利用金屬的屈服來消耗地震中產生的能量，從而保護主體結構的安全。常用的防屈曲支撐有全鋼型的防屈曲支撐和鋼管混凝土約束型的防屈曲支撐， 都由內芯和外包約束構件構成。從原理上來看，內芯一般用中等屈服強度鋼，承受軸力；外包約束構件約束內芯的局部屈曲與整體屈曲，不承受軸力；內核鋼支撐與外包約束構件之間有適當的間隙，以保證內芯在屈服以后能有橫向的變形空間，從而減小內芯在受壓時的與約束構件之間的摩擦力，盡量避免外包約束構件承受軸力。工作時，僅內核鋼支撐與鋼框架連接即僅鋼支撐受力，而外包鋼管混凝土約束內核鋼支撐的橫向變形，防止內核鋼支撐在壓力作用下發生整體屈曲和局部屈曲。如圖1中所示為典型的防屈曲支撐與其在軸向拉壓力作用下得到的滯回曲線。

圖1 典型的防屈曲支撐形式與其滯回曲線

雖然防屈曲支撐已經有了廣泛的應用，但是對于防屈曲支撐性能的研究并未取得較大進展，特別是防屈曲支撐的受力分析。防屈曲支撐內芯與約束構件間存在間隙，在支撐受力過程中內芯與約束構件之間存在摩擦力，而且在實際應用中支撐內芯經常達到較大的變形。這些都屬于強非線性問題。因此合理地利用非線性動力學理論就可以解決防屈曲支撐的分析問題。

防屈曲支撐的理論建模

對所關心的非線性動力系統建立數學模型是后繼分析的基礎。通常，建模前要對系統的構成進行分析，盡可能把握系統的主要非線性因素。然后，需要根據已掌握的信息決定建模的方法。完全借助力學理論進行建模的過程一般稱作理論建模，而以實驗作為主要手段的建模過程可稱作實驗建模。實踐中，通常交替采用這兩種建模技術進行相互檢驗，或混合采用兩種技術進行復雜系統的聯合建模。

具有無限自由度的連續介質系統的建模非常復雜。系統的非線性來自兩方面，一是系統的運動（如大變形），二是構成系統的材料。對于計入上述非線性的桿、軸、梁、板和簡單的殼體，高等材料力學和彈性力學提供了一些建模的手段。至于更復雜的結構，則需要采用非線性有限元、多柔體動力學等方法，在計算機上完成建模。

在支撐達到屈服力之前，內芯是處于彈性狀態。依次列出系統的動力平衡方程、變形幾何方程和本構方程，然后盡可能消去聯立方程中的未知函數。

圖2 內芯的變形示意圖

可以將內芯的一端簡化為兩端鉸支、均勻材料等截面梁，其左端縱向固定，右端縱向可移動且作用有縱向載荷P(t)。下面運用彈性力學位移法建立系統的運動偏微分方程。

圖3 軸向力作用下的內芯中等撓度振動及其微段受力分析

首先，取梁上距左端處（對應于弧長坐標xs）的微段。根據圖中的受力分析，得到該微段質心的縱向運動u(x,t)和橫向運動w(x,t)所滿足的動力平衡方程

（1）

其中N (x,t)是梁在截面上沿梁變形后中性層切線方向的軸力，Q(x,t)是剪力。若略去梁微段的旋轉慣量，則剪力Q(x,t)與彎矩M(x,t)間具有準靜力關系.

（2）

將公式（2）代入公式（1）中，得到

（3）

對于梁的中等撓度變形，通常將方程(3)中的三角函數近似為:

(4)

并在后繼分析中保持這樣的二階Taylor截斷。

在建立變形幾何方程階段，通常根據實驗觀察結果引入一些變形假設，以便使問題得以簡化。此處引入的基本假設是：變形前垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線。根據這一基本假設，距中性層z處點的縱向位移ux由三部分組成：一是軸力引起的橫截面縱向平動，即微段質心的縱向位移；二是由橫截面轉動引起的;三是橫向彎曲引起的。因此，該點的縱向位移是

(5)

由此得到該點的正應變

(6)

在線彈性范圍內，梁在橫截面上的正應力為

(7)

其中E是材料的彈性模量。

現以梁的縱向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)為未知量來建立其運動偏微分方程。將式(6)代入式(7)，在梁的橫截面上積分得到軸力和彎矩:

(8)

(9)

其中是梁的截面慣性矩。根據幾何關系，可導出

(10)

因此

（11）

將式(8)和(11)聯同式(4)代回方程(3)，得到僅含未知位移的動力學方程

（12）

（13）

這就是計入幾何非線性效應的梁縱橫向運動耦合動力學方程，其最低階截斷誤差為。

研究梁的橫向非線性振動時通常對縱向運動微分方程引入簡化假設。如果略去梁橫向運動對縱向運動的影響，方程(12)將簡化為線性波動方程

（14）

相應的邊界條件是

（15）

在給定的初始條件下解出縱向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以橫向位移w(x,t)為未知函數、縱向位移u(x,t)為時變系數的非線性偏微分方程。

對于定常縱向 載荷P(t)=P0，一般略去梁的縱向慣性效應，視軸力為

（16）

所以

（17）

這時，方程(13)簡化為

（18）

或簡記為

（19）

其中D(w)是關于x的非線性偏微分算子。

方程(19)是一非線性偏微分方程，其解空間具有無限維。通常，人們采用Galerkin方法將其簡化為有限個常微分方程來進行研究。Galerkin方法的基本思路是取一組滿足梁邊界條件的形狀函數，構造

(20)

將其代入方程(19)，方程殘差反映了殘余力。為了盡量減小殘余力，可以選擇未知函數，使殘余力關于各形狀函數對應的位移平均作功為零，即,

(21)

這顯然是n個關于未知函數的二階常微分方程。

對于梁振動問題，最常用的形狀函數就是梁的微振動固有振型。以簡支梁的低頻振動為例，通常僅取梁的第一階固有振型。將其代入方程(19)后再代入方程(21)，經計算得到一個單自由度非線性振動系統

（22）

一般在最初階段就取，但取彎矩表達式(11)中的。這樣的不一致截斷使最終結果成為

（23）

以上過程就是防屈曲支撐內芯的非線性動力學理論建模方法。

應用非線性動力學理論對防屈曲支撐進行研究還沒有先例，本文僅僅對于防屈曲支撐內芯的建模做了初步的探索。非線性動力學理論作為一種處理非線性問題的方法必將在防屈曲支撐的研究中發揮巨大的作用。

參考文獻

1. 非線性動力學理論與應用的新進展. 張偉，胡海巖. 科學出版社，2009.11

2. 應用非線性動力學. 胡海巖. 航空工業出版社. 2000

篇8

關鍵詞：通信工程；數學建模；高等數學；建模思想

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2017）08-0157-02

一、引言

進入21世紀以來，自然科學的各個學科都發展至前所未有的高度，數學在各個學科范疇的使用更加廣泛，也產生了深遠的影響，被各個國家倍加重視[1]。一方面，先前的大數學家或物理學家發現的純粹的抽象概念和數學模型在某些學科領域付諸于實踐，在實際中得到應用；另一方面，許多學科領域越來越依賴于數學的建模，通過合適的軟件將各種實際問題在計算機中數字化，既能離線地發現最佳方案，又能在線實時監控和調控。伴隨著各個自然科學學科的數字化和我國大學教育的大眾化，大學中的數學基礎課程教育應該著重培養學生分析與解決實際問題的能力、數學建模的思想和思維意識[2]。這也是普通高等學校數學基礎課程教學改革的重要任務之一。為此，非數學專業數學基礎課程教學指導委員會在對工科專業數學課程教學的基本要求別指出：“數學不僅是一種工具，而且是一種思維模式”，并明確提出，“要突出數學的思想方法，加強數學應用能力的培養”[3]。始于1992年的全國大學生數學建模競賽，發展至今已受到廣泛的關注。比賽的題目是來源于現實問題，需要學生綜合所學的高等數學知識，自行建立模型，既有很強的趣味性，也調動了學生主動思考的能動性，極大地提高了學生的創新能力。因此，在通信工程專業的高等數學課堂中，適當穿插數學建模思想，結合數學知識對有關通信工程的典型題目做必要的講解，這樣就使學生通過建模案例了解了建模思想，增強了數學實驗能力，對深化高等數學課程的教學改革有著重大的促進意義。

二、數學建模思想概述

數學建模是通過不同的形式、從各個角度來對某個或多個實際問題進行抽象，并配合一定的理論開展全方位的論證。例如，在一個類矩形區域的地方鋪設通信基站，要求在覆蓋區域內所有社區在不超過預算的情況下，使得基站鋪設方案盡可能地覆蓋區域內的所有人口。對這個問題，通過創建數學上的模型，對比分析和方案論證，就會有比較完整全面的解釋。通過對每個基站覆蓋面積、地理位置、地形特點、人口稠密程度、交通等因素開展全方位多角度的分析論證，學生對數學建模有一個基本的了解，在分析論證過程中從多個方面盡可能地選取重要的因素進行討論。數學建模不是簡單地重現中學數學中常常提及的數學思想，而是通過這些思想來對實際生活中的問題進行深層地概括抽象、分析及凝練，通過嚴密的數學推理和方案演繹，將得到的模型拓展到類似的問題上去，從而舉一反三，利用典型事例提高學生的積極性和能動性，在教學過程中要求學生對數學模型展開啟發式思考，把零碎的知識融入到整體的框架中，亦能將整體的框架投放到具體的問題中。

三、建模思想的滲透對學生的影響

1.促進學生專業課程的學習。高等數學作為通信工程專業的基礎課程，為該專業學生系統掌握現代通信技術，具備通信技術和信息系統的基礎知識，并能夠從事各種各類通信設備和信息系統的研究、設計、制造、開發和維護，提供了理論基礎。要實現上述培養目標，首先必須奠定優良的基礎，即高等數學的知識一定要扎實。例如，對于天津師范大學通信工程專業的學生而言，高年級所學習的專業必修課程都是整篇幅的數學公式，且都是以實際中的應用背景作為基礎。只有在大學一年級的時候，學生從高等數學中經受各種建模方法的熏陶，能夠從一般的層面上概覽各種通信場景的數學模型，才能夠靈活掌握專業必修課程的內容。

2.提升學生的創新能力。在2014年9月的夏季達沃斯論壇上，總理發出了“大眾創業、萬眾創新”的號召。大學教育逐漸普及，而大學生正是處在學習的上升階段，創新更應該作為大學課程中的重要的環節進行培養；另一方面，高等數學的學習和訓練能夠使人的思維更加縝密和靈活，數學建模思想和思維的訓練使人學會從問題的表面洞察內在本質。通信是所有學生生活中能夠實際接觸的事物，所以教學應該從這一點出發，在教學生從實際中提煉問題的過程中，突出該學科的實用性。例如，通過一定區域內通信基站的鋪設位置引申到數學模型上，進而討論極值問題的求解方法。此外，輔以小組討論的方式，能夠激發學生的團隊精神，使得學生從更高的層面對所學知識進行構建，既能扎實地掌握知識，又能提升自身的創新能力。

3.培養學生理論聯系實際的能力。一般來說，理論知識的學習對許多學生來說是枯燥的、乏味的，但是在教學過程中注入一些合適的實際背景，讓學生能夠將理論知識與相應的實際背景結合在一起理解、學習，輔以多種多樣的教學方法讓學生形成把理論知識靈活運用到實際問題中的能力，引導學生對不同的事物進行分析和比較，對比它們之間的區別與聯系，讓學生能夠獨立地對事物進行判斷和決策，最終行之有效地解決工作中、生活中遇到的問題。

四、實際通信問題在教學中的滲透

幾年前，同濟大學、華東師范大學、北京師范大學等高校就聯合修改了工科高等數學的教學大綱，并就教學改革問題提出了重基礎、重思想的觀點。高等數學中的微積分的幾何應用、極值、微分方程等內容與通信工程的專業必修課程有密切的關聯，這就要求教師不僅要熟悉高等數學的內容，而且對該專業必修課程的內容有具體充分的了解，才能夠將相關的內容聯系起來教學，這對教師提出了更高的要求。然而，有些高等院校的數學課程聘請的是數學系的教師授工科高等數學課，而數學系的教師沒有接觸過工科的專業課程，這就形成了不可彌補的隔閡，導致教師不能夠在高等數學的教學過程中，將數學建模思想與專業背景聯系起來，使學生在低年級學習數學知識的時候沒有形成良好的建模思維，進而在高年級學習專業課的時候非常艱難。在天津師范大學，通信工程專業的高等數學課程均是由通信專業的教師講授，避免了上述問題。例如，在微分方程教學中，可以穿插電路方面的背景知識，電流強度的計算在高中的時候已經學習過，大學對該知識的學習只要從微分方程的角度出發，通過建立相應的數學模型，讓學生學習如何分析這類問題，構建一般的表達形式，從而對類似的問題有更加深刻、更深入本質的理解。建模完成之后，教師再講授相應的求解微分方程的方法，對微分方程模型的求解一方面可以動手計算，另一方面可以借助于數學軟件來計算。在這個過程中，學生可以感受到數學模型的能量，提高解決實際問題的能力。

五、總結

南開大學的顧沛教授曾說：“越是抽象的東西，越是能夠放之四海而皆準”。在通信工程專業高等數學的教學過程中，教師適當引入該專業必修課程相關的實例，或具體的通信相關的應用問題，結合高等數學的相關知識章節，以數學軟件作輔助，這樣既加深了學生對實際問題的理解，鍛煉了數學軟件使用的能力，又培養了學生的數學建模思想和思維，并對通信專業有了更深的認識，為學生的自身發展奠定了堅實的基礎。

⒖嘉南祝

[1]崔建斌.在高校理工科高等數學教學中滲透數學建模思想方法探索[J].德州學院學報，2014，（6）：102-105.

篇9

（大慶師范學院教師教育學院數學系，黑龍江 大慶 163712）

【摘要】隨著信息時代和微時代的到來，社會對高師學生的人才培養提出了新的目標，促使高師本科院校教學改革的步伐不斷加快。同時，為了實現應用型本科院校的人才培養目標，提高大學生創新能力、職業技能和自主學習能力，主要從教學內容和教學模式方面入手，探索了高師數學專業《常微分方程》的教學改革。

關鍵詞 常微分方程；教學內容；教學模式；微課

Research to Reform Ordinary Differential Equation Teaching of Mathematics in Teachers College

ZHAO WeiGAO Yang

(Department of Mathematics of Daqing Normal College, Daqing Heilongjiang 163712， China)

【Abstract】With the arrival of information age and micro age, the society put forward new target for students in teachers college, and promote the pace of teaching reform of high college to accelerate. At the same time, in order to realize the talent target of application oriented under graduate colleges, improve the students’ creative ability, occupation technical ability and autonomous learning ability. In this paper, we mainly start from the teaching content and mode, explored the teaching reform of ordinary differential equation for mathematics teaching colleges.

【Key words】Ordinary differentia equation; Teaching content; Teaching mode; Micro calss

常微分方程作為數學專業核心基礎課程之一，也是高師數學專業的一門重要專業基礎課，對培養學生數學思維能力和提高應用數學解決問題能力有重要指導意義。它也是學生進一步學習偏微分方程、數學建模、微分幾何等課程的前期基礎，同時對動力系統及非線性科學起到奠定基礎的作用。

在信息時代飛速發展的今天，常微分方程課程的內容也應該跟上時代的步伐，其教學模式也要考慮信息化網絡化，以此來提高學生的自學能力、實踐能力和創新能力，以滿足將來學習工作的需要。那么如何對常微分方程進行教學改革，使其更加符合時展的需要，滿足學生的需求，應該是教學工作者思考的問題之一。鑒于在常微分課程中的多年教學經驗，筆者從以下幾個方面對常微分方程的教學進行改革探究。

1教學內容的改革

1.1適當優化整合教學內容

由于課時的壓縮,為了照顧不同層次的學生,同時要確保教學質量,提高教學效果,因此考慮對現用教材（高等教育出版社，王高雄主編[1]）的教學內容，進行一些適當的整合，并根據課程的前沿增加新的內容。

首先,對于章節內容中理論、方法相同或相近的內容進行優化，避免相似內容反復講授，以節省課時。例如在講授高階微分方程的理論基礎時，可以先簡略介紹理論基礎，對于它的證明理論及相關知識可以放到微分方程組中去處理，把高階微分方程看作是微分方程組的特例，這樣使得兩章的內容在整體上有了明顯的縮減，且由于理論相似可以使學生更加方便理解和記憶。

其次，根據一般高師數學專業的特點，對于常微分方程課程的要求可以適當降低，對于教材中的較難環節，可以作為選修內容處理，以滿足不同層次學生的需要。例如對于微分方程解的存在性定理的證明，解對初值的依賴，冪級數解法，微分方程的穩定性理論等，就可以通過選修或者其它形式進行授課，這樣既滿足了學生的需要，也節省了課時數。

另外，可以根據教師對微分方程課題的研究，以及科研工作的研究，適當增添一些前沿的知識以滿足學生對知識發展的需求。

1.2注重數學思想文化培養

[2]為了符合信息時展的需求，對于微分方程而言，要重視與實際應用的結合，才能更好地培養應用型人才。因此除了對原有教材內容的整合，更要與時俱進，聯系實際，將一些動力系統或者數學建模中的應用實例多多地引入到微分方程中來，這樣才能使得學生能夠學以致用，將數學思想更好地應用到現實生活中。

此外，在常微分方程的各種類型方程內容上，要探索方程的起源，介紹與之相關的數學家，將數學思想和實際問題密切聯系到一起，使學生感覺到數學切實來源于實踐，最后真正應用于實踐，而不是空中樓閣，使得學生對于學習數學的興趣大大提升。

2教學模式的改革

2.1融入微課形式

近年來，隨著微課實踐相關研究的不斷深化，微課從最初定義的“一種針對某個教學環節和知識點的新型教學資源”，到2013年微課大賽中教育部全國高校教師網絡培訓中心定義的“以視頻為主要載體記錄教師圍繞某個知識點或教學環節開展的簡短、完整的教學活動”，到最近更新的微課定義“一種針對某個教學環節或知識點的情景化、支持多種學習方式的新型在線網絡視頻課程”，我們可以清楚地看出微課內涵正沿著“微型資源構成—微型教學活動—微型網絡課程”的軌跡發展變化。高校微課的建設同樣也正遵循這一軌跡，按照微課的專題化、課程化發展趨勢，秉承資源開放共享的理念，積極探索，大膽創新。

如果將微課的授課模式融入到常微分方程的教學中，將起到事半功倍的作用。因此我們根據常微分方程課程本身的特點及課時有限，選取一部分內容以微課的形式來授課，能更好地有利于學生們的學習和發展。

例如，在講授微分方程解的存在性理論，穩定性理論時，由于內容較難，對于高師數學專業的一般學生來說，需求并不大，對后繼課程的影響也不多，因此采取略講介紹的方式。但是考慮到有些學生將來要考研究生，可能對這部分知識的需求較其他學生高，那么把這部分知識分成多個知識點，錄制成微課，對學生來說更加便于自學，同時也可以反復學習，更加有效地利用了課余時間。這樣既節省了課時，也滿足了學生們的需要。

再如，一些常微分方程的課后習題很多，不可能在課上全部講解，那么有些難題及證明問題，也可以錄制成微課，給學生觀看借鑒。這樣學生隨時隨地遇到不會的問題就可以直接到微課視頻中查看講解，給了學生更多的學習機會。

2.2加強職業技能

根據高師數學專業的特點，將來學生們要走上課堂，那么除了在職業技能課上來鍛煉職業技能外，還可以在專業課中抽出部分章節給學生機會來鍛煉。常微分方程課程本身的難度不是很大，而且多以計算為主，正是由于這個特點，我們可以適當選取一部分知識點，給學生機會進行課堂訓練，以提高學生的職業技能素質，為將來走上教師的工作崗位奠定基礎。

例如，常微分方程中的變量分離方程，內容相對簡單，所需要的前期準備工作并不多，那么就可以在課前提前布置任務給學生，課上選擇同學來講授，將過后，再由老師點評補充，這樣能夠極大地調動學生學習的積極性，也能使所學知識更加牢固，更能提高師范生的職業技能。

2.3充分利用網絡

隨著網絡技術的飛速發展，學生與老師之間的問答也可以不在課堂或者教室中實現。我們可以充分利用網絡平臺，實現師生隨時互動，有問題及時溝通解決。為此，建立常微分方程網絡互動平臺，與學生定好輔導時間，有問題可以通過發送圖片，錄制語音等，隨時解決。這樣對于那些平時不愿意問老師問題的學生，在有問題時可以不用面對老師，利用網絡來解決，起到提高學生學習成績的目的。同時實現了學習效果的及時反饋，讓老師對學生的學習更加了解，對教師的教學工作起到了積極的作用。

3結語

隨著信息時代與微時代的到來，高校教師應該與時俱進，用科學發展的眼光對教學內容及教學模式進行革新。這樣，才能不斷提高學生學習常微分方程的興趣、自主性和效率，才能更好地培養學生的創新意識，增強高師學生的職業技能素質，從而實現“應用型”人才的培養目標。

參考文獻

［1］王高雄,等.常微分方程[M].北京:高等教育出版社,2006.

［2］胡鐵生,周曉清.高校微課建設的現狀分析與發展對策研究[J].現代教育技術,2014,24(2):5-13.

［3］儲亞偉,朱茱.高師本科常微分方程教學改革的探究阜[J].陽師范學院學報:自然科學版,2008,25(3):70-73.

［4］楊晨.常微分方程教學改革探討[J].長春師范大學學報:自然科學版,2014,33(3):167-169.

［5］趙才地,王瑋明,應裕林,等.《常微分方程》課程教學改革研究與實踐[J].鄂州大學學報,2014,21(9):97-99.

篇10

關鍵詞：水電站水輪機調節系統新型FNNS模糊控制MATLAB軟件

1水輪機調節系統動態過程簡介

水電站水輪機調節系統是一個復雜的自動控制系統，其動態過程可分為小波動和大波動兩類。小波動是指水輪機調節系統受到微小的干擾（負荷或指令信號擾動），系統中各參數的變化都較小，可認為是在所討論工況點附近作微小變化，則可將調節系統各環節加以線性化，既用線性微分方程式來描述各環節及整個系統的動態特性；而大波動是指水輪機調節系統受到幅度較大的干擾（負荷變化），系統參數的變化劇烈，整個系統已超出了線性范圍，因此不能作線性處理，即系統不能按線性系統對待。小波動主要影響的是水輪機調節系統工作的穩定性，即所生產的電能的質量；而大波動不僅影響所生產的電能的質量，而且在負荷突然變化（特別是甩負荷）時影響到水壓、轉速等各種參數的變化情況。因為水輪機調節系統工作性能的優劣直接關系到水電站和機組運行的安全以及所生產電能的質量，因此，對水輪機調節系統的大、小波動動態過程分析具有重要意義。

2水輪機調節系統分析發展概況

現今水輪機調節系統分析所用方法很多，現在簡要介紹如下。

2．1傳統方法

小波動穩定性分析一般采用傳遞函數的數學模型，過水系統按彈性水機考慮，過水系統的數學模型的傳遞函數中含有雙曲函數，為此特根據雙曲函數性質將過水系統的傳遞函數近似表達為若干個一階微分方程式。因而調速器、水輪發電機組等數學模型也用一階微分方程式表達。則整個系統小波動的數學模型都采用一階微分方程組的形式來表達。然后用狀態方程來表示，即：

X＆＝Ax＋BU

式中X＆——狀態向量；

U——輸入向量；

A、B——系數矩陣。

可用求解一階微分方程組的常用方法：即四階龍格—庫塔法進行仿真計算［1］。

大波動過渡過程一般利用差分方程進行仿真［1］，采用特征線解法原理，將水機的基本方程式：運動方程和連續方程，轉變為特征方程組，然后再求解。

2．2新型FNNS控制策略

新型FNNS控制策略是模糊神經網絡系統與變參數控制相結合的智能控制系統，該系統能適應水輪機調節系統結構、參數變化較大情況下的控制要求。

廖忠［2］針對水輪機調節系統非線性、結構參數變化范圍較大等特點，進行了仿真研究，他指出水輪機調節系統是一個典型的高階、時變、非最小相位系統，而且又是一個參數隨工況點改變而變化的非線性系統，在系統動態及暫態過程中，采用以PID控制為基礎的線性控制方法較難滿足這一特性復雜的對象的控制要求，在控制效果及控制器調整方面尚不盡人意。隨著智能控制理論的發展，人們將神經網絡與模糊控制相結合研究，提出了基于神經網絡的模糊控制器，并且根據水電機組的特點，將其應用于水輪機調節系統，取得較好效果。新型FNNS控制策略是變參數控制的思想與FNNS二者結合的體現，采用多個FNNS作為控制器，通過辯識當前運行工況，然后基于某種法則選擇最適合的FNNS作為當前控制器。變參數控制的思想，所采用的方法主要是基于運行區域的劃分及插值運算。變參數控制的思想與傳統的PID等控制規律的結合，的確使之具有了適應被控對象參數變化的能力，提高了控制效果，只要能確保所有的FNNS覆蓋整個狀態空間，那么可以不用在線學習，而只是在不同FNNS中切換就能得到整個工況范圍內滿意的調節性能，從而保證了控制的實時性。

2．3基于SIMULINK的水輪機調節系統仿真