導語：如何才能寫好一篇數學建模算法及其應用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、教學內容的分析

本章內容以函數為核心，共兩個小節：一是函數與方程，二是函數模型的應用。函數應用以獨立成章的形式出現，在過去的教材里是沒有的。和以往的傳統教科書相比，本章內容有以下特點：

1　章頭語簡明扼要

本章的章頭語約200字，簡明扼要的講了二點：1)研究函數的目的之一，就是希望以它為工具來刻畫變化規律，并用它來解決實際問題；2)在本章我們將學習一種求方程的近似解的基本方法，初步領略用函數模型去解決實際問題的方法。應該說這個章頭語起到了“讓學生明確本章的學習任務，初步了解本章的大致結構，從而激發學習興趣”的作用。

2　增加了“函數與方程”一節

這部分內容完全是新增加的。教科書上先通過考察一元二次方程的根，導出了函數零點的概念，在揭示“根”、“零點”、“圖象與x軸交點的橫坐標”之間的關系后，加強了知識間的聯系，具體體現在結合二次函數的圖象，判斷方程根的存在性及根的個數與分布，從而了解函數的零點與方程根之間的關系；類比可推導出方程組的解與函數圖象的交點的關系，根據具體函數的圖象，能借助計算器用二分法求相應方程的近似解，為學習算法做準備。

3　滲透了算法思想

隨著現代信息技術的飛速發展，算法在科學技術、社會發展中發揮著越來越大的作用，算法思想已經成為現代人應具備的一種數學素養，教科書在用二分法求方程的近似解時，給出了解法的程序框圖，滲透了算法的思想，同時也為選修系列1中框圖的學習奠定了基礎。

4　函數模型及其應用實例典型

函數模型及其應用主要圍繞具體實例展開研究，教材中選取的實例均取自大多數學生熟悉的背景，例如投資問題、人口問題以及體重身高問題等，這些實例包含了函數模型應用的以下幾個方面：(1)利用給定的函數模型解決實際問題，如例I；(2)建立確定的函數模型解決實際問題，如例4；(3)建立擬合函數模型解決實際問題如例2、例6。

二、教學過程的反思

1　遵循認識規律，提供自主探索的空間，使學生主動地學習

教學中應遵循從具體到一般的認知規律，讓學生通過具體實例的探究，歸納概括發現的結論或規律。例如函數零點的教學，教科書中選取具體的方程，直觀的圖象來直接說明方程f(x)=0的根就是使函數值為零的自變量x的值(即零點)，也就是函數圖象與x軸的交點的橫坐標，教學中，這種關系的揭示需多舉例說明，也可給學生提供情景，讓學生自己探究、歸納。“二分法”一般算法比較抽象，學生不易理解，教學中，不必先講一般的理論，應結合課本中的例題來引導學生探究，這樣更便于學生理解，對“二分法”的算法過程，教材上附了框圖，教師可引導學生結合具體例子去理解，在具體講解教材中用“二分法”求方程近似解的具體例子時，應該讓學生利用計算器或計算機邊操作邊認識，最好是由學生自己得出表中內容，這樣可使學生更深刻地理解“二分法”的思想，思考體會“二分法”的實質。

2　重視“函數的應用”的教學，突出數學建模思想

函數的應用是學習函數的一個重要方面，通過函數的應用這部分內容的學習，對學生完善函數的思想、激發應用數學的意識、培養分析和解決問題的能力、增強進行實踐的能力等，都有很大幫助。教材上在這部分舉了六個例題，其中例4教學建模(人口增長模型)，應該說是突出了函數模型的應用，突出數學建模思想，教學時一定要重視。

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關鍵詞：標準；B版教材

2003年4月，教育部頒布了《普通高中數學課程標準（實驗）》（以下簡稱《標準》）。我們依據《標準》規定的基本理念和要求，吸取百年來國外中小學數學課程教材改革的經驗教訓，在繼承發展我國數學教育優良傳統上下功夫，努力編寫了一套具有我國特色的高中數學教材，即人民教育出版社2004年出版的《普通高中課程標準實驗教科書·數學（B版）》。

這套教科書經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過，從2004年秋季起在山東省6個市20萬高中學生中進行試驗。一年來的試驗工作進展順利，取得了可喜的成績。2005年秋季將在全國進入第二輪試驗。

這套教科書的總體設計思路是，編寫一套具有科學性、基礎性、選擇性和一定算法特色并與信息技術整合的高中數學教科書。

本套教科書力求適應我國數學基礎教育近期和較長期的需要，反映數學和科學進步，重視知識發生發展過程，適應各地各類學校高中學生學習，關照邊遠和較落后地區學校，使師生通過教材基本上就能完成教學任務。本套教科書力求實現《標準》規定的課程目標，使學生能獲得必要的數學基礎知識、基本技能，提高空間想象、抽象概括、推理論證、運算求解、數據處理等基本能力，發展表達和交流的能力，發展獨立獲取數學知識的能力，發展數學應用意識和創新意識，提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度，具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，形成批判性的思維習慣，崇尚數學的理性精神，體會數學的美學意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀。

一、本套教科書編寫的指導思想

本套教科書依據《標準》中規定的課程性質、課程設計思路、內容標準和教材編寫建議進行編寫。

編寫的主要指導思想如下。

1.素材的選取努力體現數學的本質，聯系實際，適應學生的特點

教材中素材的選取，首先要有助于反映相應數學內容的本質，有助于學生對數學的認識和理解，激發他們學習數學的興趣，充分考慮學生的心理特征和認知水平。素材要具有基礎性、時代性、典型性、多樣性和可接受性。

2.展現知識的發生發展過程以及知識之間的內在聯系，促進學生的自主探索

教材在講授主要內容時，注意創設情境，從具體實例出發，展現其發生發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題、經歷數學的發現和創造過程、了解知識的來龍去脈，在不同的知識層面上，讓學生思考知識之間的內在聯系與數學本質。

設置具有啟發性、挑戰性的問題，激發學生進行思考，鼓勵學生自主探索，并在獨立思考的基礎上進行合作交流，在思考、探索和交流的過程中獲得對數學較為全面深入的體驗和理解。

3.教材重視數學思想、數學方法的指導，有利于培養學生的理性思維習慣和創新精神

對教材中的代數、幾何、概率統計的主要概念，讓學生先通過觀察、分析、歸納，研究生活中的實例，探尋一般規律，提出設想或猜想，再用理性思維認識這些規律的合理性與正確性，養成良好的理性思維習慣。同時選取一些未知的、有意思的數學問題，讓學生去探索研討，激發學生發現問題的欲望，培養學生的創新精神。

4.讓學生感受數學的美，接受數學文化的熏陶

教材通過數學活動，讓學生感受數學與現實世界的和諧統一，感受數學問題與數學結論的美妙和有趣；讓學生體驗數學結論的確定性、數學方法的嚴謹性、思維過程的邏輯性，以養成嚴謹的學風和嚴肅的工作作風；讓學生體會數學語言的簡潔與明晰，以培養學生合作與交流的能力。數學是各門科學技術必不可少的重要工具，通過處理其他學科和生活實際中的問題，也讓學生體會數學的重要作用，從而熱愛它；通過求解一些較困難的實際問題和數學問題，讓學生體驗困難的可征服性以及克服困難的樂趣，培養學生的不斷進取精神。

5.反映現代信息技術與數學課程的整合

使用現代信息技術幫助學生理解數學概念、探索數學結論、處理復雜的計算、解決實際問題，使學生有更多的時間和精力去探索和發現數學的規律，培養創新精神和實踐能力，有助于激發學習積極性，激活思維空間；使用現代信息技術改進學生的學習方式，提高學習效益；也可以引導學生通過網絡搜集資料。

二、本套教科書基本內容的體系結構

（一）基本內容

本套教科書包含必修和選修兩個課程。必修課程由5個模塊（數學1到數學5）組成；選修課程有4個系列，其中系列1、系列2分別由2個和3個模塊組成，系列3、系列4分別由6個和10個專題組成；每個模塊2學分（36學時），每個專題1學分（18學時），每2個專題組成1個模塊。體系結構力求反映模塊內容之間的聯系與綜合，使它形成一個有機的整體。

（二）體系結構

本套教科書的體系結構，既反映數學知識的內在聯系，又特別關注學生的認知發展過程，注意以下幾個問題。

1.確定課程內容的原則是：必修課程內容要滿足未來公民的基本數學需求，為學生進一步的學習提供必要的數學準備；選修課程內容要滿足學生的興趣和對未來發展的需求，為學生進一步學習、獲得較高數學修養奠定基礎。其中系列1是為那些希望在人文、社會科學等方面發展的學生而設計的。系列2是為那些希望在理工、經濟等方面發展的學生而設計的。二者的內容都是基礎性的。系列3和系列4是為對數學有興趣和希望進一步提高數學素養的學生而設置的，所涉及的內容反映了某些重要數學思想，有利于學生終身的發展，有利于擴展學生的數學視野，有利于提高學生對數學的科學價值、應用價值、文化價值的認識。其中的專題將隨著課程的發展逐步予以調整與擴充，學生可以根據自己的興趣、志向進行選擇。

2.聯系實際，體現知識的形成和應用過程，促進學習方式的改進，有利于學生生動活潑、主動的學習。把數學探究、數學建模的思想以不同的形式滲透在各模塊和專題內容之中，在高中階段至少安排較為完整的一次數學探究、一次數學建模活動。高中數學課程要求把數學文化內容與各模塊內容有機結合。數學探究的課題有助于學生對數學的理解，有助于學生體驗數學研究的過程，有助于學生形成發現、探究問題的意識，有助于鼓勵學生發揮自己的想象力和創新性。數學建模為學生提供自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識，有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。學生通過數學文化的學習，了解人類社會發展與數學發展的相互作用，認識數學發生、發展的必然規律；了解人類從數學的角度認識客觀世界的過程；發展求知、求實、勇于探索的情感和態度；體會數學的系統性、嚴密性、應用的廣泛性，了解數學真理的相對性；提高學習數學的興趣。

3.模塊的邏輯順序。必修課程是選修課程中系列1、系列2課程的基礎。選修課程中系列3、系列4基本上不依賴其他系列的課程，可以與其他系列課程同時開設，這些專題的開設可以不考慮先后順序。必修課程中，數學1是數學2、數學3、數學4、數學5的基礎。

系列3、系列4課程的開設可以根據學校自身的情況逐步實施。可以先開設系列3和系列4的某些專題，以滿足學生的基本選擇需求。以后再逐步豐富和完善，并積極開發、利用校外課程資源（包括遠程教育資源）。

4.注意知識的縱向邏輯結構，加強知識間的橫向聯系，螺旋上升地呈現重要的概念和思想。數學各部分內容之間的知識是相互聯系的，學生的學習是循序漸進、逐步發展的。高中數學課程內容劃分成若干個模塊，不應忽視相關內容的聯系。高中數學課程內容根據學生的不同需要分不同層次展開，要特別明確相關內容在不同模塊中的要求和前后聯系，注意學生在已有知識的基礎上螺旋上升、逐步提高。

（三）必修模塊的內容結構

1.數學1是整個高中數學的基礎

集合一章，主要是學習集合語言，從日常生活和初中數學中的實例出發引出集合概念，讓學生學習用集合語言描述在義務教育階段學過的一些集合，如數集和圖形集合。為了準確使用集合語言，學習集合之間的關系與運算。集合語言在整套教材中經常使用。

在函數一章，除學習函數概念外，重點學習一次函數和二次函數。這兩個函數是學習函數概念最好的載體，其中蘊涵著高中數學中一些重要的思想方法。在教材中設專節，在初中學過的一次、二次函數的基礎上拓寬、提高。用一次函數和二次函數實現初中數學向高中數學的過渡。進一步研究了指數函數、對數函數和冪函數等基本初等函數，過渡到高中數學。

在數學1中，對通用的數學思想方法，如數形結合、配方法、待定系數法、數學建模等都給予足夠的重視與練習。這些通性、通法在整個高中數學教材中反復使用。

2.數學2中，學生將學習立體幾何初步、平面解析幾何初步

立體幾何初步的學習是沿著幾何歷史發展的足跡安排的，這更符合學生的認知規律。在初中從直觀上認識幾何體的基礎上，高中重點是發現并分析幾何體的結構、性質，由直觀認識逐步過渡到理性思維。最后要求學生適當學習形式化的推理。

在本章編制有較多課件，幫助學生發展空間想象力，形成空間概念，通過圖形的變化讓學生了解圖形之間的內在聯系。

在解析幾何初步一章，從數軸開始，通過適當地說理推導出解析幾何的基本公式，然后開始學習直線與圓的方程。這樣編排是為學習坐標幾何打下堅實的基礎。由于解析幾何對學生今后學習非常重要，這章編寫加大了彈性，好學生可對自己提出較高的要求，通過思考與討論、探索與研究，適當加大坐標法解題的訓練，初步形成用代數方法解決幾何問題的能力。

3.數學3中，學生將學習算法初步、統計、概率

在算法初步一章，重點學習數值算法，適當地聯系實際例子，幫助學生理解算法思想，使學生知道算法思想已是現代人應具備的數學素養。在這一章還著重學習中國算法實例，激發學生的愛國心和學習算法的興趣。

要不要學生把自己寫出的算法在計算機上實現，《標準》沒有明確要求。由于普通高中基本上都配備了計算機，如果選用合適的自由軟件，有較為簡單的語言，讓學生上機實現自己編制的算法，將會激發學生學習算法的興趣，也為學生盡快地掌握計算機技術學習數學、研究數學打下良好基礎。為此選用了“Scilab”作為實現算法的語言進行實驗。教學中略去這一節基本上不會影響算法的學習。由于算法例習題都較為簡單，學生可通過手工計算（或借助計算器）實現算法。

在概率一章中，使用了集合語言，用集合語言描述基本事件構成的集合、事件和事件之間的關系，避免了用自然語言描述概率的有關概念所產生的各種困難和歧義。

4.在數學4中，學生將學習三角函數、平面向量、三角恒等變換

三角函數一章是在旋轉變換思想指導下編寫的。把角定義為射線繞頂點的旋轉，把三角函數定義為角終邊上單位向量在坐標軸上的投影。用旋轉對稱、中心對稱和軸對稱引入誘導公式。通過單位圓中三角函數線的變化研究三角函數的性質。到三角恒等變換一章把和角公式理解為研究旋轉變換的基本公式。通過用數量積的坐標計算公式，證明和角公式，使學生體會向量的數量積與和角公式的內在聯系。

平面向量一章中，向量概念是由“位移”引入的，因為數學中的向量是物理學中的自由向量，只有大小、方向兩個要素，用“位移”有利于學生理解數學中的向量概念。把向量和向量運算與幾何緊密地聯系起來，溝通平行、全等與向量的加法，相似與數乘向量，正投影的性質與向量數量積之間的關系，把幾何學的研究代數化。由于向量是溝通幾何、代數和分析的橋梁，同時可為將來學習高等數學打下良好的基礎，所以本章的編寫較為細致，以便于教師教學和學生自學。

5.在數學5中，學生將學習解三角形、數列、不等式

解三角形一章中，在已有三角形的全等、相似與位似、解直角三角形等知識的基礎上，進一步探索任意三角形中邊和角的關系，得到任意三角形中普遍存在的兩個結論──正弦定理和余弦定理，完美地解決涉及三角形度量的問題。應用這些知識和方法解決一類與測量和幾何計算有關的實際問題。

數列一章中，重點研究等差數列和等比數列。從本質上講，數列是一類特殊的函數，它是函數知識的延伸。在本章中，通過研究它們的特殊性質，歸納出等差數列、等比數列的通項公式與前n項和公式。這些特殊性質提供了一種數學模型，應用它們可以很方便地解決諸如教育或購房貸款、放射性物質的衰變、人口與國民經濟增長等生產、生活中遇到的許多問題。

在不等式一章中，首先從現實世界和日常生活中存在的大量不等關系中，歸納得出不等式的基本性質。然后研究基本不等式和一元二次不等式及其解法，通過圖象把一元二次不等式與相應的函數、方程聯系起來，形成一個相對完整的知識體系。將一元二次不等式的解法與信息技術的應用結合，讓我們再次看到算法思想的廣泛應用。在本章中，還將運用數形結合的思想，判定二元一次不等式（組）表示的平面區域，進而學會從某些特定的情境中抽象出一些簡單的二元線性規劃問題，著重解決以下兩類簡單的實際問題。①在人力、物力、資金一定的條件下，如何利用這些資源來完成最多的任務；②如何通過合理的安排和規劃，以最少的人力、物力、資金去完成一項給定的任務。

6.每章一般都有探索與研究專欄，內容包括三個方面：其一是正文的延伸，是必學內容，要求在教師的引導下學生自主探索完成；其二是正文內容的加深，提高學生的數學素養；其三是提高內容，希望能在大學數學與中學數學之間建立一些聯系。

7.每章設數學文化專欄，通過閱讀和欣賞有關文章，尋求數學進步的歷史軌跡，學習數學家為科學獻身的精神，激發學生學習數學的興趣。

8.對于數學建模的教學分三步：開始安排簡單的例子，讓學生了解數學建模的思想和主要過程，第二步根據已給的數據進行數學建模，第三步進行完整的數學建模活動。

（四）選修板塊的內容結構

1.文科必選系列

選修11共三章：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導數及其應用。

常用邏輯用語一章中，編寫的重點是命題成立的充分條件、必要條件和充分必要條件。同時讓學生知道，過去數學課本的表述，除了數學符號，基本上使用的是自然語言，自然語言雖然容易接受，但歧義性較大，往往給學習數學帶來一些困難。我們在編寫時，注意引導學生掌握常用邏輯用語的用法，使學生盡量能夠搞清楚三個邏輯聯結詞和兩個量詞所表達的邏輯含義，并能初步學著應用它們，從中體會用邏輯用語表達數學內容的準確性和簡潔性。

本章的主要特色是，把集合與邏輯結合起來，通過集合的包含關系理解推出關系，通過集合的交、并、補運算理解邏輯聯結詞所表達的邏輯含義。

圓錐曲線與方程一章是數學2解析幾何初步一章的繼續，學習的重點仍是用坐標法研究圖形（圓錐曲線）的性質。本章首先通過對直線和圓的方程的回顧，讓學生理解曲線與方程之間的關系，并指出用方程研究曲線性質的一般步驟。我們把學習的重點放在如何用坐標法和方程研究圓錐曲線的性質上，把代數中的二次方程問題和圓錐曲線結合起來。這一章是文科選學，主要是讓學生體會坐標法（數形結合）這一重要思想在數學中的作用和地位，進一步了解坐標法及圓錐曲線的實際應用，使學生能經常想到用圖形去表達數量關系。

導數及其應用一章編寫時的主要想法是，充分借助于直觀研究導數的性質和應用。全章自始至終通過設置的“爬山情景”，讓學生體會“以直代曲”及“化曲為直”的微積分思想。導數可近似地看成“差商”和“微小直角三角形中兩直角邊的比”。盡量讓學生了解導數的直觀內涵。

選修12共四章：統計案例、推理與證明、數系的擴充與復數的引入、框圖。

統計案例一章首先在章前語中，通過介紹兩個實際例子，引起學生學習統計的興趣。全章分為兩節，每節討論一種統計方法，每節編寫的特點是，把一個個案例直接呈現在學生面前，通過探究案例、解決問題，使學生了解這兩種統計方法的基本思想、解決步驟及其初步應用。在這一章的編寫中，注意引導學生使用計算機技術來處理數據。還適當地融入算法思想。個別的算法給出了程序，供有興趣的學生學習。

推理與證明專設一章，在我國高中教材中還是首次，沒有實際的教學經驗供參考，但推理與證明已是學生熟悉的詞語，因此，在編寫時主要通過實例引起學生對“推理”的興趣，并引導學生理解各種推理的作用。能夠運用合情推理去探索、猜測和歸納出一些數學結論，并能證明結論的正確性。在編寫中，重點是通過分析一些定理的證明過程，總結并讓學生掌握數學證明的一些基本方法。

數系的擴充與復數的引入一章，由于教學時間只有四課時，課時少，所以在編寫時，主要是通過方程的求根，讓學生了解引進復數的意義和作用，了解數學中的內部矛盾如何推動數系的擴充，了解數學中理性思維的重要性。

框圖是《標準》中的新內容，在我國高中數學教學內容中還是首次。沒有教學經驗，編寫時，主要通過體會《標準》的精神，選定內容，主要通過實例，進一步學習程序框圖，了解工程流程和結構圖。在用框圖的過程中理解它們的特征，初步掌握它們的用法。

2.理科必選系列

選修21共三章：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

常用邏輯用語一章編寫的指導思想同文科必選。

圓錐曲線與方程一章，編寫的指導思想基本上同文科必選，但加強了坐標法解題的訓練與要求。

空間向量與立體幾何一章內容的編寫主要采取推廣與類比的方法，共分兩大節。第一大節集中講解空間向量概念、運算和性質。經歷由平面向量向空間向量的推廣過程，讓學生理解空間向量與平面向量的異同。通過共線向量定理、共面向量定理和空間向量分解定理的學習，讓學生理解向量空間的基本結構，并將空間向量運算完全代數化，為將來學習理工科的學生打下較良好的數學基礎。第二大節重點討論空間向量在立體幾何中的應用。通過例題讓學生理解用向量代數方法研究立體幾何的意義。通過這一章的學習，使學生再一次體會坐標法的意義。在用向量代數方法解題的同時，也向學生指出綜合方法推理的一些優點，鼓勵學生靈活選用不同的方法解決立體幾何問題。

選修22共分三章：導數及其應用、推理與證明、數系的擴充與復數的引入。

導數及其應用一章編寫的指導思想基本上同文科必選的相同內容，但在理論上，要求相對高一些。加強了求導運算及其導數在研究函數中的應用。

推理與證明一章編寫的指導思想基本上同文科必選的相同內容。

數系的擴充與復數的引入一章編寫的指導思想同文科必選的相同內容。

選修23共分三章：計數原理、概率、統計案例。

計數原理一章重點學習分類加法計數原理和分類乘法計數原理及其應用。通過計數原理讓學生理解排列與組合的概念，并能推導排列數公式和組合數公式。會歸納證明二項式定理。讓學生考查楊輝三角，發現二項式定理中系數的規律和一些性質。

概率一章是必學內容概率的繼續，進一步學習概率的一些基本概念。本章編寫從實例出發，引入隨機變量及其分布的概念，通過實際例子的計算引入超幾何分布，并了解它的實際應用。在講條件概率與獨立事件的基礎上，介紹二項分布及其應用。通過實例讓學生理解隨機變量的兩個數字特征：期望與方差。通過實例簡單地介紹正態分布。

統計案例一章的編寫指導思想同文科必選的相同內容，但對理工科學生，學習本章之前，由于學生有了較好的概率基礎，所以在編寫時，進行了必要說理和計算，以加深學生對統計原理的理解。

3.選修系列3和4

這兩個系列的編寫，力求體現《標準》精神，在編寫的過程中緊密聯系必修課程和選修系列1和2學過的內容，盡量寫得通俗易懂，使教師和學生能夠通過自己的努力看懂所學內容。三、本套教科書的主要特色

本套教科書力求落實《標準》中關于數學、數學課程、數學學習、數學教學活動、評價和現代信息技術的基本理念，著力突出了以下特色。

（一）精簡實用，返璞歸真。要做到精簡，必須抓住重點。在基礎數學中那些普遍實用的最基礎部分，那些有普遍意義的通性、通法就是重點。抓住這些重點內容，盡量為它們提供實際背景，反映其應用價值，努力揭示其發展過程和本質，使學生理解數學概念、結論逐步形成的過程，體會蘊涵在其中的數學思想和方法。學實質、本質，不拘泥于抽象的形式，講法上樸素，平易近人。

（二）深入淺出，易學好教。數學的深刻內容盡可能地用通俗語言或學生的語言加以闡述，避免一些過于形式化的語言。深入淺出的一個重要方法是把定理與公式現實化、簡單化，用生活中的現實例子來闡釋規律，簡單明了，易學好教。定位于適應廣大中等水平學生的接受程度。易學好教的一個措施是師生互助，就一個主題，師生都可提出問題，說出猜想，共同討論，由學生或教師小結，形成共識。易學好教的另一重要方法是主要概念、定理與公式的教學一般要參照其發展演變的歷史過程，引導學生合乎規律學習這些概念、定理與公式。為了易學好教，我們注意了“溫故知新”，降低知識的起點。努力做好由初中內容向高中內容過渡的銜接。盡量從溫習舊知識中引出新知識，揭示新舊知識的聯系，使學生順利進入高中階段的學習。

（三）力導積極主動，勇于探索的學習方式。教科書內容素材的選取，力求貼近學生的生活實際和社會現實；教科書的組織安排，注重知識的發生發展過程、學生的認識過程和情感體驗過程，為構建豐富的學習環境提供重要資源。內容的呈現力求體現數學思維規律，引導學生積極探索，使他們經歷“觀察、實驗、比較、歸納、猜想、推理、反思”等理性思維活動的基本過程，優化思維品質，提高數學思維能力，培養創新精神和實踐能力。精心選編現實生活和數學發展中的典型問題，創設問題情境，通過分析和問題解決，加深對知識本質的理解，強化知識之間的聯系，領悟和掌握數學思想方法，使問題在教材中發揮更大的作用。注意問題的基礎性、思想性、開放性、趣味性等。設立“探索與研究”“數學建模”等學習活動，為學生形成積極主動的、勇于探索的學習方式進一步創造有利條件，以激發學生的數學學習興趣，鼓勵學生在學習過程中，養成獨立思考、積極探索的習慣。

（四）整合信息技術，更新教學方式。本教科書各冊都用了現代信息技術，以促進教學方式的更新。有意識地引入帶有自己程序的應用數學軟件，處理繁難計算、自動制表、智能繪圖、人機交互等，為學生的數學學習和發展提供豐富多彩的教育環境和有利的學習工具。為多數學習較困難的內容編制了教學課件，使用這些課件可實現動態式的、交互式的教學方式或學習方式，以幫助學生掌握和理解這些內容。另外，我們選用了中法合作開發的“Scilab”軟件系統，作為開發數學教學課件和學生學習課件的平臺。這是一個自由軟件，學校、教師和學生都可以從有關網站上免費下載。我們與中法實驗室達成合作意向，共同開發中學數學教育軟件。

（五）滲透算法思想，提高數學素養。中國古代數學中蘊涵有豐富的算法思想，并注重應用，中國數學及數學教育有著自己獨有的發展道路。在《標準》中，增加了算法一章，并提出把算法思想滲透到相關內容，這一理念啟發我們研究了我國數學教育的傳統和特色，并在教材中盡量體現。本教科書主要從數值計算的角度講授算法，而且與現代信息技術相結合，滲透到高中數學的有關領域，給這些領域的教學帶來新的生機。學習算法不僅能使許多數學問題與實際應用得到有效解決，而且可以使學生從中體會解決復雜問題的思想方法，提高數學素養，為今后的學習和工作提供強大的思想武器。

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關鍵詞：蟻群算法；數學建模；最優解

1 群體智能簡介

蟻群算法，英文名稱：Ant Colony Optimization，（ACO），在有些文獻中亦稱為螞蟻算法，由DORIGO博士從觀察螞蟻尋找食物的過程中逐步發現路徑的行為而獲得靈感。蟻群算法的本質是一種模擬進化算法，具有很多優良的性質，根據數值仿真實驗，蟻群算法具有現實的有效性和很高的應用價值，但在熟悉蟻群算法和對蟻群建立理想模型之前，應該首先討論群體智能的相關概念。

由于螞蟻是一種社會化協作的昆蟲，螞蟻群體是由許多能力單一而且有限的單一螞蟻組成的群體，但是螞蟻的每個個體又可以通過彼此間簡單的合作，完成一個較為復雜的整體性的工作，在混沌理論里，將螞蟻種群的這種能力稱為“群體智能”。和螞蟻群體類似，蜂群的單個個體智能水平亦不高，同樣沒有統一的指揮，但是蜂群卻可以建起巨大的蜂巢、運送食物、繁殖后代，因為蜂群和蟻群一樣，都是一種擁有完備結構和社會組織的分布式系統。由于群體組織的原因，依靠單個個體，無法完成任何復雜的工作，若依靠整個群體的力量，螞蟻可以完成非常復雜的任務。

2 蟻群算法的數學模型

雖然蟻群算法有著智能化、自組織性等諸多優點，但也存在搜索時間過長、易于停滯的問題，為了克服經典算法的這些缺點，很多國家和地區的學者提出了不少改進算法。

1996年L.M.Gambardella和M.Dorigo又提出了一種修正算法，他們稱之為螞蟻種群系統算法[5]ACS，并且將AS算法和ACS算法定義為螞蟻種群優化算法ACO。

1997年T.Stitzle提出了改進的最大最小螞蟻系統MMAS算法[6]。

1999年，我國學者吳慶洪提出了具有變異特性的蟻群算法[7]。

1999年，意大利學者F.Abbattista等提出了和遺傳算法相結合的算法[8]。

由于文章討論洛陽機場的飛機起降順序問題，數據量較小，問題并不復雜，所以在算法的選擇上以M.Dorigo的經典蟻群優化算法為主，下面就以基于蟻群的螞蟻系統的算法數學模型為例，介紹經典蟻群優化算法的數學模型和優化思路，下面求解著名的n個城市的旅行商問題為例來說明經典蟻群算法模型。

2.1 問題簡述

給定n個城市以及各城市間的距離，旅行商問題可以描述為求一條經過各城市一次且僅一次的最短路線問題。

2.2 模型建立

對n個城市建立理想平面坐標系，城市i的坐標為（xi，yi），城市j的坐標為（xj，yj），設dij為城市i與j之間的歐拉距離，則：

dij=■

其圖論描述為：給定圖G=（N，E），其中N為城市集合，E為城市之間相互連接組成的邊的集合，已知城市間鏈接距離，要求確定一條長度最短的回路。即走完所有城市一次且僅一次的最短回路，此問題可以描述為：“適當選擇圖上所有頂點的一個排列以組成最短路徑”

引入決策變量：

Xij=1（訪問i后訪問j）0（其他情況）

則目標函數可以表示為：

minZ=■Xijdij

將最短距離的尋找交給蟻群來解決：

令：

bi（t），（i=1，2，…，n）

為在時間t在城市i的螞蟻的數目，令：

m=■bi（t）

為螞蟻的總數，且每個螞蟻都是有如下特征的簡單智能體：

（1）它會根據某種概率選擇走哪一個城市，這個概率是城市距離和同他連接路徑的信息素的數量的函數。（2）為了使得螞蟻能夠完全合理的旅行，必須禁止螞蟻旅行訪問過的城市，這個可以通過一個緊急表格來實現。（3）當螞蟻完成了一次旅行，它就在走過的每個路徑上（i，j）釋放適量的信息素。

令？灼ij（t）是時間t路徑上（i，j）上的信息素強度。每個螞蟻在時間t時刻選擇下一個時間t+1要到達的城市，在時間間隔（t，t+1）內，對m個螞蟻，調用螞蟻系統迭代算法一次，算法的n次迭代叫做一圈，每一只螞蟻完成了遍歷所有城市一遍的一次旅行。在每只螞蟻k構造出一個完整閉合路徑并計算了相應長度之后（用Lk表示），路徑上的信息素強度會根據以下公式得到更新：

？灼ij（t+n）=？籽×？灼ij（t）+？灼ij

其中？籽（0？燮？籽？燮1）是一個常數，它表示信息素揮發后的剩余度，即螞蟻爬行軌跡的持久性，1-？漬表示在時間t和時間t+n內信息素的揮發，并且在上述公式里面有：

？灼ij=■？灼ijk

？灼ij（t）表示路徑（i，j）在t時刻的信息素軌跡強度，？灼ijk表示螞蟻在時間間隔（t，t+n）內路徑（i，j）上留下來的單位長度的路徑信息素數量，其具體公式為：

其中Q是個常數，且Lk表示沒一個螞蟻k旅行過的路徑總長度。

為了確保每一只螞蟻訪問每一個節點一次，并且避免重復，沒一個螞蟻都已一個禁忌表forbidk，用來存儲螞蟻當前訪問過的城市（節點），用禁忌表使螞蟻到這些城市的轉移概率為0，用計算機語言來講，就是禁止“螞蟻”訪問這些節點。當一次旅行完成之后，用禁忌表來計算問題現在的點。然后清空禁忌表，螞蟻就可以重新自由的選擇新的路徑了。forbidk（S）表示禁忌表中第s個元素，表示在現在的一次旅行中k個螞蟻訪問的第s個城市。

因為要討論每個螞蟻選擇一個城市的概率，這里引入一個能見度的概念，用？濁ij來表示，則有：

？濁ij=■

表示路徑（i，j）的能見度，對于每一個螞蟻k來說，從城市i到城市j的額轉移概率為：

在上式中allowedk={N-forbidk}，α和β是控制路徑能見度相對重要性的參數，若（i，j）之間的距離比較短，則？濁ij較大，pij也較大。也就是說，距離較近的城市以較大的概率被選擇。

這樣就構建好了蟻群算法的基本模型。

2.3 模型解釋

下面文章以計算機編程的思想表述蟻群算法的基本模型，整個系統在0時刻進行初始化過程，給每一條邊（i，j）設定一個初始信息素強度值？灼ij（0）。每一只螞蟻的forbidk的第一個元素為這個螞蟻出發的城市，即它的初始城市。每一只螞蟻從城市i移動到城市j，螞蟻會根據兩個城市之間的概率函數選擇移動城市，在城市從i到j移動的概率即為p■■■■（t）。此時有兩個原則需要注意：（1）信息素強度：表征過去有多少螞蟻選擇了這條路徑（i，j）；（2）能見度函數：說明了越近的城市，被訪問的期望值就越大。

顯然在p■■（t）函數中，如果α=0，就不在考慮路徑上的信息素的作用，因為（？灼ij（t））α=1為定常數，這樣模型就簡化稱為一個具有多起點的隨機貪心搜索算法。在n次循環以后，所有的螞蟻都對所有的路徑完成了一次遍歷，所以每一只螞蟻的forbidk就會滿。在此時就可以計算每一個螞蟻k旅行過的路徑總長度Lk，？灼ijk也會隨著信息素強度的更新方程而更新。與此同時，由螞蟻找到最短路徑（即minkLk，k=1，2，3，…m）將被系統保存，所有禁忌表將被清空。重復這一過程，直到周游計數器達到最大NcMax或者所有螞蟻都走同一條路線。

3 洛陽機場飛機起順序問題的模型建立

洛陽機場飛機起降環境比較復雜，機型眾多，就目前的起飛情況來看，主要有SR20機型，PA-44機型，MA600機型，和航班的A320機型，以及少量B737機型，如果想建立數學模型，則必須將一些問題簡單化、抽象化、理想化。模型的建立對實際的運營情況具有現實的指導意義。

3.1 模型描述

洛陽機場停機坪目前共分為三塊區域：為了便于表述，本論文給三塊區域分別編號：

1號區域：C、D、E號機庫門口，主要用于停放SR20，可以用于停放PA-44但幾率很少。

2號區域：A、B號機庫門口至二號道口北側停機坪，主要用于停放SR20、PA-44和MA600。

3號區域：航站樓北側，有廊橋的區域，主要用于停放A320，

B737等重型民航客機。

標準模型下有如下假設：（1）所有停放在機坪上的飛機分布合理，即任何一架飛機劃出進入跑道都是順暢的、無阻礙的，都不會受其他飛機位置的影響。（2）每一架飛機無論是小型飛機還是中大型飛機，從飛機開始滑行至滑行到跑道端頭，所花的時間t相同。即影響起飛效率的單一變量就是起飛間隔。（3）理想化起飛，飛機起飛不受環境因素限制。

標準模型下的幾點說明：（1）為了考慮軟件的通用性，任

何區域所停放的飛機種類可以自定義；（2）不同類型飛機的起飛間隔可以自定義；（3）涉及蟻群算法的各種常用參數可以自定義。

有以上說明后，模型可以表述如下：

假設洛陽機場1號區域停放了a1架SR20，b1架PA-44，c1架MA600/A320/B-737（可根據實際情況令相應種類的飛機數量為0）；2號區域停放了a2架SR20，b2架PA-44，c2架MA600/A320/B-737；3號區域停放了a3架SR20，b3架PA-44，c3架MA600/A320/B-737。不同種類飛機的起飛受飛機種類的限制，這個數值一般和飛機的起飛重量，體積等參數有關，例如，SR20屬于輕型飛機，一架SR20起飛以后，緊接著讓一架SR20飛機起飛，則前后兩種都屬于輕型飛機，他們之間的起飛間隔應該為t1，如果前面是一架SR20，后面是一架中型的PA-44，則起飛時間間隔為t2…t9，則一共有如表1的幾種排列組合。

最終所求問題就是：合理安排各個飛機的起飛順序，使總得起飛時間最小。

3.2 程序設計解決實際模型

考慮程序的通用性，本設計將很多涉及蟻群算法的常數參數可以進行自定義，在實際運算過程中，這些參數是可以通過實驗來測算的，在使用本軟件的時候只要將不同機場的測算結果進行填入本軟件，既可以計算相應的排序結果，所以本軟件在設計之初就考慮了軟件的通用性。

洛陽機場一共有三個停機位，暫定名為1號，2號，3號停機位，原則上，1號機位只能用來停SR20，2號機位可以停SR20，PA-44，MA600，3號機位只能停A320，B737，為了增加軟件的通用性，本設計可以任意自定義每種機型的數目，如果不能停的機型，就可以將其的數量設置為0。此外，為了讓本軟件可以有廣泛的應用，本設計設置了7個停機坪號，以應付中國絕大多數機場的應用場景，同樣，用不到的機坪，可以直接在飛機數目框中填0。軟件設計圖如圖1所示。

圖1 程序主界面

由前面的論述我們可知，蟻群算法在實際應用過程中要確定五個常數參數他們分別是：α，β，ρ，Q和NcMax，根據前面的理論概述，我們可以得到每個常數參數所代表的含義：（1）α和β控制路徑和能見度相對重要性的參數，如果要計算具體環境走完路徑的真實值，α和β應由實驗測得，在本軟件中，如果只做定性排序，則只要α和β大于1即可。（2）ρ表示信息素揮發后的剩余度，且0≤ρ≤1），在真實環境中同樣由實驗測得，定性分析不影響排序結果。（3）Q為常數，它可以決定每段路徑的信息素總量，亦表征螞蟻個體散播信息素的能力，只要Q設定為普通自然數，不影響排序結果。（4）NcMax在本軟件中表示循環次數，NcMax越大，列出的可能性越多，則最短時間越接近真實最短時間。當NcMax≤A■■，繼續增大NcMax就不再有意義，因此如果想得到真實的最短時間，應該讓NcMax≥A■■。

點擊主界面的“參數”按鈕，就可以進行算法設置本。設計的參數輸入框如圖2所示。

表1所討論的起飛間隔參數，在主界面的“間隔”按鈕下進行設置，其截面如圖3所示。

圖3 起飛間隔設置

將參數設置好以后，點擊“排序”按鈕就可以計算出，最優的起飛順序，并且給出起飛時間，圖4為排序結果的事例。

圖4

針對以上排序結果，做如下解釋：L代表輕型飛機，1代表1號停機坪，A代表此停機坪的第一架飛機，B代表第二架，一次類推，則排序結果如上述所示。

4 結束語

通過多方的建模驗證，本程序可以很好地解決航班起飛順序排序最優解問題，當然，通過和空管部門有關同志的交流得知，實際安排飛機起飛順序和多方面因素有關系，不能一味追求最短時間。因此本程序只是用創新的方法解決一個工程問題，只作為純技術應用的討論，或作為洛陽機場空管部門安排飛機起飛順序的參考，并不作為安排起飛順序的指導程序。

另外，由于軟件在設計之初就考慮了軟件的通用性，因此，本軟件并不僅僅局限于給航班起飛順序排序，理論上，本軟件適用于解決多種有時間間隔要求的排序最優解問題。

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關鍵詞：拱壩變形；監控模型；監測點分區；隨機森林；變形預測

中圖分類號：TU196.1文獻標志碼：A文章編號：

16721683（2016）06011606

Random forest model and application of arch dam′s deformation monitoring and prediction

LUO Hao1，2，GUO Shengyong2，BAO Weimin1

1.College of Water Resources and Hydrology，Hohai University，Nanjing 210098，China；

2.Yalong River Hydropower Company Ltd，Chengdu 610051，China）

Abstract：Dam deformation prediction plays an important role in the safety assessment of dam operation.Traditional models lack forecasting precision and the simulation effect is not stable enough.Besides，if abnormal values of dam deformation exist，traditional machine algorithm model lacks the flexibility of dealing with these abnormal data，which will lead to the deviation of the forecasting results.In order to solve these problems，random forest algorithm was introduced to the field of dam deformation monitoring for the first time.Similarity matrix of random forest was applied to divide dam deformation monitoring points into several parts.Random forests prediction model was established for each part，which will avoid the defects of traditional models such as modeling of single point or using the same model for all deformation monitoring points.Establishing forecasting model for different parts of dam was more in line with engineering practice.Deformation data of one arch dam was analyzed and the feasibility of random forest model was verified.The results showed that partition of dam deformation points based on similarity matrix of random forest conformed to the physical and engineering practical pared with support vector machine and BP neural network model，the prediction model of random forests for each part had the higher prediction precision and stability，which provided a new approach in the area of dam safety monitoring.

Key words：arch dam deformation；monitoring model；partitions of monitoring points；random forests；deformation prediction

國內外普遍將大壩變形監測[12]作為主要的監測項目，大壩受各種復雜因素的影響，變形值是反映其運行狀態的最直觀的表征。根據大壩變形的原型觀測資料建立準確的預測模型，對大壩位移進行預測，能及時發現大壩的異常變化，采取措施防止事故發生。因此，大壩變形預報對大壩運行的安全評估起著至關重要的作用。目前應用較多數學模型主要包括統計模型[23]、確定性模型[45]和混合型模型[56]，這些模型在一定程度上可以揭示監測值和影響量之間定性和定量關系，但由于影響大壩位移的因素復雜，傳統的方法受變量多重共線性的影響或模型參數的選取不恰當，使得模型精度下降。近年來，一些學者將新興的機器算法如人工神經網絡[78]、遺傳算法[9]、蟻群算法[1011]、支持向量機[1213]等算法建立大壩監控模型，[JP2]但這些監控模型的研究和應用尚未達到完善的程度，每種方法都存在一定程度上的優缺點。另外，由于大壩具有整體性，布置在壩體和壩基的各測點之間存在差異性和關聯性，目前位移監控模型還是以單測點為主，單測點位移監控模型存在很大的局限性，不能反映大壩整移變化情況；多維多測點模型較單測點位移模型更符合工程實際情況，但由于多測點位移監控模型[14]中待定參數較多，要達到一定的變形分析和預報精度，對原型觀測數據要求較高，給建模造成很大難度，在實際工程中的應用并不廣泛。隨機森林（Random Forest，RF）[15]算法是由Breiman在2001年提出的一種新的機器學習技術，隨機森林模型能有效地分析非線性、具有高度共線性和相互影響的數據，不需要提前假定模型的數學形式，該算法在在生物學[1617]、土壤學[1819]、醫學[20]等領域已經得到了一定的應用，但在大壩安全監測領域應用幾乎沒有。此外，相似性矩陣是隨機森林算法的重要的分析工具之一，嘗試利用隨機森林算法的相似性矩陣來表征大壩各位移監測點之間的相似性關系，基于這種相似關系，將大壩測點分區，分別對各區建立隨機森林回歸預測模型。隨機森林算法預測精度高、對于異常值的處理和噪聲方面具有很大的優勢，不易出現過度擬合的線性，能有效處理復雜變量間的共線性問題，該算法為大壩安全監控提供了一種新思路。

4結論

（1）拱壩不同區域變形性態差異較大，若用統一個模型去建模，忽略了各測點變形之間的差異性和關聯性。本文充分利用隨機森林模型具有的特性，建立了各測點間的相似度矩陣，將大壩測點按照其變形的相似性進行分類，分別對各位移測點子集進行建模。由分區結果來看，符合大壩運行規律。

（2）對各子集測點利用隨機森林模型進行建模，與支持向量機、BP神經網絡模型相比，預測精度較高、穩定性好。不用對數據進行預處理，利用OBB誤差直接估計泛化誤差，不用增加交叉驗證的步驟。可作為中長期拱壩變形預測的一種新途徑。

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篇6

一、極限思想

極限是高等數學中最重要的基本概念，工具和方法，它從數量上描述變量在無限變化過程中的變化趨勢，也是把“有限”與“無限”、“靜止”與“運動”、“量變”與“質變”聯系起來的一種數學思想。對于習慣了用靜止觀點、孤立觀點解決初等數學問題的高職學生來說，極限概念和思想內涵較難把握，但對極限思想的萌發背景和直觀性描述還是不難理解的。比如在引入極限概念之前向學生介紹中國古代哲學家莊周的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話，實際上就是把木棰長度的變化納入一個無限的過程中去研究。基于直觀的事例，卻蘊涵了極限思想，由此引入極限的描述性定義，學生大多比較容易接受。從極限思想的直觀理解到準確、嚴謹的數學刻畫這就需要一個由老知識向新知識，由不習慣到習慣的過渡過程。極限思想的準確理解和把握，并不是幾個課時就能達到目的，如果學生不能接受，不應喪失信心。隨著高等數學后續內容連續函數、導數和微分、積分以及無窮級數概念的引入，通過反復的接觸和應用，逐步建立變量數學的思維方式，極限思想會逐漸成為學生認識問題、解決問題的有力工具。

二、化歸思想

化歸思想是數學的基本思想之一。所謂化歸就是轉化和歸結的意思，即把待解決和未解決的問題，通過變換、轉化、歸結到一類已解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題的解決。以極限、導數和微分、積分的運算為例，都可以看到化歸思想在其中的應用。如在各種極限計算中，其實最終都可以將所求極限通過適當的方法，轉化為以下三種基本極限問題：

（1）特殊極限

（2）兩個重要極限

（3）不定式型，型的極限。

轉化的主要手段就是對待求極限式進行恒等變形，變量代換，等價無窮小代換，或應用四則運算法則，對數變形等。又如所有的積分運算包括不定積分、定積分、重積分等，其運算最終都是通過各種方法手段將其化歸為不定積分的計算問題。

由于化歸的指向可以界定為簡單化、熟悉化和規范化，因此化歸思想應著意于尋找待解決問題與己有知識經驗的邏輯關聯，通過觀察、類比、聯想、探索化歸途徑及目標，從而獲得問題的解決。很顯然，高等數學中的這種化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體的數學思想方法，一旦成為學生的化歸意思，其數學思維能力和分析問題、解決問題的能力必將有一個質的飛躍。

三、數學建模思想

應用能力和動手能力的培養是職業計算教育的主要特色，作為重要基礎課的高等數學其教學重點也是數學應用能力的培養和提高，現在不少學生對數學望而生畏，覺得數學抽象難懂，認為數學沒有多大用處。產生這種現象的一個重要原因就是他們沒有發現和體會到數學的實際功效，而對高職學生高等數學應用能力培養的一個很好的途徑就是加強對學生數學建模思想的教學。眾所周知，數學來源與實際，數學理論是從不同事物的紛繁復雜的數量關系抽象反映相同規律的共性和結果的科學，而數學建模就是用數學語言和方法，通過抽象和簡單化，建立描述實際問題的數學模型，然后用適當的數學工具，并且一般要借助于計算機來求解模型，最后，其結果必須接受實際的檢驗，并反復修改，完善這個模型和結果。應該說數學建模思想非常適合高職高等數學教學改革的“降低理論，加強應用，增加實踐性環節”的指導思想，雖然現行高職高等數學中也有如利用導數求極值、最值等應用性知識內容，但這些內容大多是作為數學概念和定理的附屬，更多的是對高等數學理論知識的驗證，并且它們往往偏重于幾何、物理上的應用，應用范圍相當狹窄。這就要求要培養學生數學建模思想，將其融于高等數學基礎教學之中。在教學過程中主要采用加強對數學原理和背景的介紹，注重直觀性闡述，強化微積分理論的數學建模方法，不僅介紹微積分在幾何、物理上的應用，還要多舉一些應用微積分解決非數學的實際問題。實踐證明，數學建模思想的確立能夠調動學生的學習興趣和積極性，有助于開展研究性學習，有利于學生創造性思維的培養和形成，同時，學生的實踐能力、寫作能力乃至于團結協助能力都能得到不同程度的鍛煉和提高。

篇7

關鍵詞：模糊Petri網；并行推理；知識表示

中圖分類號：TP393 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）09-0057-02

Parallel Reasoning based on Fuzzy Petri nets

LI Li

（Center of Clean-Government Education and Case Management； Discipline Inspection and Supervision of Chenzhou， Chenzhou 423000， China）

Abstract： With the development of Fuzzy Petri nets theory and application technology， Fuzzy Petri nets theory is widely used to knowledge reasoning. This paper carries on a detailed description ranging from definition and significance of parallel reasoning based on Fuzzy Petri nets and research status to the main contents and research results.

Key words： Fuzzy Petri nets； parallel reasoning； knowledge representation

1 概念界定及研究意義

在現實世界中，確定的知識只是少數。這個充滿了不確定因素的模糊世界使得我們在利用相關Petri網理論進行知識推理研究中必須考慮到知識具有的“模糊性”這一特點[1]。 “傳統數學無法全部、真實地反映人腦的思維規律”―這是科研工作者在研究使計算機具有“類人類智力”過程中必須首要解決的問題之一。其中各種模糊對象和模糊概念是各個科研人員要處理模糊世界必然要面對的兩大因素，套用以前那些精確知識的處理方法對于這些模糊概念或知識的運用是行不通的，處理這類問題我們必須結合各種特殊的處理方法和模糊性研究。兩方面的意義蘊含于模糊性之中，第一，度量可能是模糊的（所處理的對象或概念的），例如：對老年人的界定等；第二，模糊性蘊含于各種處理方法和技巧本身，即在處理或運用中所做的動作本身就具有某種模糊性，這被科研人員稱為模糊動作或模糊處理。因此，基于模糊Petri網的知識推理系統的研究領域就是把傳統Petri網現有的知識處理方法與模糊數學結合起來進行深入的研究，這對提高知識推理系統的有效性和推理效率有著極其深遠的理論和實際意義。

目前，國際上對模糊Petri網的理論及應用技術的研究還處于初始發展階段。系統而全面地對基于模糊Petri網的知識推理的研究還存在一些困難： ①集中從應用方面展開研究，這是目前學術界針對模糊Petri網主要的研究方向，很少有學者關注FPN的自身理論的研究，特別是在模糊Petri網系統的初始庫所token的初始值如何確定這一方面。當前，科研專家或研究人員依據經驗直接給出或者主觀猜測出模糊token的初始值，這導致token的初始值隨意性太高，操作過程中即使算法與推理過程正確，結果也不一定正確。②不精確推理過程中模糊知識庫的一致性檢測問題一直沒有很好的解決方案。已有的研究成果主要有成對規則比較法和關系圖或推理圖分析法[2]。③在現實世界中，基于模糊知識的推理存在著利用相同知識進行多次反復推理（即存在環路問題），如醫療診斷系統等。這一系列問題有待學者們進一步研究。

2 國內外研究現狀

林闖等人就如何利用Petri網進行知識的表示進行了深入的研究[3]。當今，基于普通Petri網的知識推理的相關算法也已取得許多研究成果。Jonathan Lee等人提出了一種基于普通Petri網模型的推理機制[4]；林琪、周洪玉等人初步探討了基于Petri網的并行推理機制。利用Petri網的關聯矩陣可以實現基于Petri網的產生式規則推理算法，目前，諸多文獻都詳細討論了這種推理算法[5]。

綜上所述，基于普通Petri網的知識推理系統的研究已經碩果累累，不久的將來，這一研究領域將在人工智能的研究中占據愈來愈重要的地位。

3 基于模糊Petri網的并行推理的主要研究內容

本人認為，基于模糊Petri網的并行推理的研究主要從以下三個方面進行：

1）結合以后模糊理論的相關研究成果，給出模糊Petri網系統中初始庫所token值的確定方法，使該方法能夠量化不精確的、非定量的信息，有效地解決推理過程中出現的沖突問題。

2）在深入分析現有進化仿生算法的基礎上，提出混合仿生算法來克服仿生算法本身易陷入局部最優、收斂速度慢等問題，并將其運用在模糊Petri網的三大參數優化過程中，以達到提高推理結果精度的目的。

3）采用語義網絡表示法，在深入研究經典Petri網及各類Petri網在知識表示及推理研究領域中的研究成果的基礎上，提出一種高效而可行的基于模糊Petri網的模糊知識表示及推理算法。

4 研究成果

基于模糊Petri網的并行推理的研究成果具有較高的應用價值，主要體現在如下幾個方面：

1）人工智能理論及機器人應用研究領域

由于在人工智能理論以及機器人研究領域中均涉及許多智能計算及符號智能的有關算法，而本項目的研究成果中給出了大量的基于模糊Petri的相關算法的建模方法及其應用技術的相關理論；

2）專家知識庫及專家系統的研究領域

由于本項目的研究成果中提出了一種基于模糊Petri網的模糊知識的表示方法以及模糊知識的推理技術，從而為專家知識庫以及專家系統提供了一種新的實現途徑，從而有可能為專家系統的應用提供一種更可靠和更有效的實現方法；

3）并行調度決策系統或分布式處理系統研究領域

面向對象模糊Petri網在描述異步并發（或并行）方面具有獨到之處，特別適合描述具有并發性、實時性、異步性等特點的分布式系統。因此，本項目的研究的成果可應用于多任務環境下的并行調度的任務分派、分布式計算機系統的設計等研究領域。

同時，該研究具有一定的科學意義，主要體現在如下2個方面：

1）Petri網研究領域的新思路

將Petri網與模糊理論相結合，并將其擴充為面向對象的開放式的遞歸網，從而可將一個逐漸擴大的系統不斷分解成若干個子系統，并利用擴充后的模糊Petri網的遞歸性建立各子系統的模型及其相互之間的關聯，同時引用時間屬性Petri網描述語義網絡表示知識的研究成果，從而提供了一種利用成熟的Petri網理論建立基于語義網絡的復雜的模糊處理技術分析模型的新思路。

2）多種Petri網技術綜合應用的新嘗試

本研究是多種Petri網技術綜合應用的一次實踐活動。它將普通Petri網、隨機Petri網、時間Petri網、面向對象Petri網和模糊Petri網等多種技術及其理論有機地結合起來，使不同Petri網技術之間達到互補，并將其應用于并行知識推理的分析與實踐中，是關于各類Petri網綜合應用技術的一次新嘗試。

參考文獻：

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[3] 林闖，陸維明.Petri網用于知識表示[J].計算機學報，1992（1）：1-16.

篇8

論文關鍵詞：人體切片,三維建模,OpenGL

人體實體切片的三維重建技術研究是數字化虛擬人和力學等效仿真假人研究的重要內容之一。數字化虛擬人體研究是21世紀人類科學技術研究的熱點技術，在醫學研究領域有重大的意義。發達國家早在80年代后期就開始這一領域的研究，并取得了一定的成果。我國于2001年才正式將“數字化虛擬人體若干關鍵技術”列入國家863項目，進入數字化虛擬人體研究起步階段。力學等效仿生假人是人體在各種復雜條件下的“替身”，是代替人類進行安全試驗的“穩定受體”，廣泛應用于安全測試、航空航天、服裝設計等領域。我國力學等效仿生假人還處于引進和仿制階段，理論研究與研制工作都遠遠落后與發達國家。

針對這一現狀，本了一些基于人體實體切片的圖像處理技術研究，進而進行三維人體重建。

2.建模基礎知識

計算機人體建模技術發展到現在,已經出現了大量的不同實現方法,且隨著時間的推移,還可能不斷地有一些新方法出現,而一些老方法也可能會得到進一步完善和發展,現有的缺點,明天也許就不存在。建模方法主要有以下幾種[1]：

1）線框造型

線框造型(Wire-frame Modeling)是采用物體的頂點和邊這兩種幾何元素及其拓撲關系來表達幾何體的形狀。該方法的優點在于：結構簡單，易于處理。由于其輸入的信息僅為一系列頂點及其相互間的連接關系，因此所占的存儲空間較小。同時該方法成在著嚴重的缺陷：不能夠無二義地表達三維形體；不能反映圖形與景物之間的關系，因而不能進行隱藏線消除及真實感圖形顯示；無

法進行剖面操作；無法進行物體的體積、質

量、轉動慣量等物性計算。

2）實體建模

實體建模[2]的概念盡管早在20世紀60年代就已提出,但到20世紀70 年代才出現簡單且有一定實用意義的實體建模系統。到20世紀70年代后期 , 實體建模技術在理論、算法、和應用方面才比較成熟。使用實體建模的方法對人體建模時 , 由于它增加了三維人體的實心部分表達,使其信息更加完備,從而使得三維人體得到無二義性描述。并且實體建模方法提供了人體幾乎所有的幾何和拓撲信息,因此它可以支持對表達人體的消隱、真實感圖形顯示.

3）曲面建模

曲面模型[3]是CAD和計算機圖形學最活躍、最關鍵的學科分支之一。它主要研究具有一定光滑程度的曲面外形的數學描述。使用曲面模型的方法對人體建模時,曲面模型能提供三維人體的表面信息,并進行隱藏線消除和真實感三維人體模型顯示,但曲面模型方法也存在著缺陷,由于沒有明確定義三維人體的實心部分,因此曲面建模方法不能進行剖面操作。目前,曲面模型在實際中又分為兩種具體的方法：特征化的曲面建模和參數化的曲面建模。

4）基于物理的建模技術

傳統的人體建模技術經歷了從線框建模,曲面建模到實體建模的發展歷程,其對人體的幾何信息和拓撲信息的描述已相當完備。但它們所描述的主要是人體的外部幾何特征，而對人體本身所具有的物理特征和人體所處的外部環境因素 (如重力等)則缺乏描述。傳統的人體建模方法對靜止人體的建模是非常成功的, 但對于人體動態建模卻相當乏力。正是針對這一問題,人們嘗試將人體的物理屬性和人體所受的外部環境因素引入到傳統的幾何建模方法中,形成了全新的基于物理的建模方法。

3.算法思想設計

3.1 數據準備

人體切片是由我國第三軍醫大學研究的首例中國可視化人體圖譜集所選用的標本為35歲，身高1700mm體重，65Kg的重慶人。首先要對人體切片進行預處理，包括圖像去噪、邊緣輪廓提取、輪廓坐標數據處理一系列操作，得到了完整連續的頭部切片輪廓的頂點數據，并將其數據信息保存在excel中。其次由于每一幅圖片經過處理后得到的輪廓頂點總數大約在1500個點左右，那么進過同樣處理的整個人體集數據集人體外輪廓的蹤頂點數會達到四百萬個左右。這種無間隔的取樣精度是沒有必要，同時也會給VC++下的模型重建帶來巨大的計算量。我們采取的方法是：外輪廓點點的疏密應隨著曲率的變化而采用不同的疏密程度，曲率變化大的部分頂點篩選應密集，以保持輪廓線的特征，曲線平滑的部分頂點篩選可以相對稀疏。

3.2 OpenGl下數據點連接成輪廓線

本文以VC++6.0和OpenGL[4]為編織環境，探討VC++環境下的OpenGl實現。由于0penGL 具有跨平臺的特性,它本身并不具有窗口管理、消息映射等Windows 編程所必備的能力,使用0penGL輔助庫或Glut庫僅能實現控制臺式的簡單窗口進行三維顯示,不具有菜單、工具條、對話框等Windows界面必備的標準元素,難以做出美觀的界面。Visual C++是Windows環境下功能最為強大的編程工具,而0penGL本身就是由C語言編寫而成,VisualC++程序中可以直接嵌入0penGL語句,是0penGL 開發的天然工具。兩者結合起來將充分發揮二者的優勢。

利用數據庫的方式將excel中的信息導入VC中后，利用OpenGL中連接點的方式形成輪廓線。

3.3 二位輪廓線重構三維人體

曲面建模是三維人體建模中運用最多的方法，其中，NURBS曲線曲面[5-7]由于具有一般性，被人們廣泛應用在人體曲面造型中，NUBBS曲面可以通過控制點和權因子來改變物體的形狀。但是使用NUBBS曲面對人體表面建模時存在如下弊端：需要把獲取到的人體數據點作為樣條函數的型值點反算出控制頂點，最后根據控制點生成NUBBS曲面實現人體表面建模。因此在這個建模過程花費時間多；同時人體模型表面的復雜性決定了用NUBBS曲面不可能一次生成整個人體，所以比較合適的方法是先找到人體表面的特征點，然后根據特征點確定人體表面的特征線，并根據特征線對人體曲面做塊分割，生成NUBBS曲面塊，最后再拼接這些曲面塊構成完整的人體模型。這種分割的方法存在的缺點是：人體外部形狀組成部分的連接處都要對曲面進行拼接，例如臀部和大腿，胳膊和胸部等，這無疑給建模帶來了難度和復雜性。

而采用三角形作為基本面構成物體表面的算法簡單、有效，具有突出的優點，故本文采用三角網格平面法重構人體模型。其中采用三角形基本元表示人體表面建模，這樣做的好處是;不必考慮人體各個組之間的面片拼接問題，而只需用三角面片對相鄰曲面進行連接即可；現有的計算機處理小平面的速度比粗合理曲面速度快得多。而且用三角面片表示的模型很容易實現三角面片構成的表面模型與三角線框建切換,如圖1所示。

圖1 三角剖分結果

4.結束語

虛擬人作為一門新興的學科，涉及到動畫、計算機圖形學、生理學、機器人學和人工智能等多個研究領域，虛擬人的研究是一個具有理論意義和使用價值的基礎課題。本文闡述了三維人體建模的基本思想，形成了靜態的人體模型，為以后的動態建模奠定了基礎。

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篇9

關鍵詞：灰色理論；馬爾科夫模型；路面使用性能；預測

中圖分類號：U416.21文獻標志碼：B

Abstract： In order to provide a more accurate method for pavement performance prediction， the greymarkov model based on the grey model and modified by Markov chain was proposed. The applicability and accuracy of the method were tested by the engineering examples. The results show that the greymarkov model makes accurate prediction of pavement performance based on the known historic data. Compared with the single grey GM（1，1） model， the greymarkov model possesses higher precision of prediction.

Key words： grey theory； Markov model； pavement performance； prediction

0引言

在道路\營過程中，路面的使用性能會因為路面環境的不斷變化以及交通荷載的重復作用而不斷下降，且隨時間推移呈現出某種衰減規律，路面使用性能的預測就是研究各種因素作用下的路面使用性能的變化規律[1]。這種規律受自然條件、社會環境、人為因素等多方面的影響，表現出一定的隨機性和動態性。灰色系統理論在預測變化趨勢較為明顯的時間序列中能表現出較高的精度，但是對于隨機波動性大的時間序列預測則表現出比較低的精度。馬爾科夫鏈針對隨機變化的系統表現出比較好的預測性能，這恰好能彌補傳統灰色模型在這一方面的不足。路面使用性能隨時間變化的過程是一個非平穩過程，這并不符合作為馬爾科夫鏈研究對象的條件，故本文通過灰色GM（1，1）模型對其進行擬合，以滿足馬爾科夫鏈的要求[24]，為路面使用性能的預測提供一種新的有效方法。

1灰色馬爾科夫理論

1.1GM（1，1）模型

在灰色系統理論中，根據系統信息已知程度的不同將系統分為3種，分別是“白色系統”、“灰色系統”、“黑色系統”。若系統的信息均已知，那么就將該系統稱為“白色系統”；若系統信息部分已知、部分未知，那么就將該系統稱為“灰色系統”；如系統信息均為未知，那么就將該系統稱為“黑色系統”。對于路面使用性能預測問題而言，系統信息包含路面使用性能的歷史資料、交通荷載因素、環境影響因素、人為因素等諸多信息。該系統信息部分已知、部分未知，構成了一個較為復雜的灰色系統，因此路面使用性能的預測問題可以采用灰色系統理論來進行求解[57]。

灰色系統理論建模的基本思想是：將白色信息序列按照一定規律組成動態、非動態的白色模塊，再通過一定的算法求解將來的灰色模型。灰色模型的求解過程是一個系統白度不斷提高的過程，隨著系統白度的不斷提高，其發展變化規律也會逐漸顯現。灰色理論模型是建立在把離散的時間序列擬合為一階線性微分方程的基礎之上的。GM（1，1）模型的變量只有一個，較為簡單，容易被人們理解和接受，在灰色系統理論的預測模型中是應用得比較廣泛的一種。在建模過程中，GM（1，1）模型并不是對系統中的所有因素進行分析擬合，而是對系統中的主要因素進行分析擬合并預測，以生成的函數作為預測的基礎。GM（1，1）模型所采用的建模數據并非是所收集的原始歷史數據序列，而是通過累加變換得到的新的數據序列。具體建模過程和運算步驟如下。

1.2馬爾科夫模型

馬爾科夫預測模型是一種隨機的、變化的數學過程，建模的核心在于掌握系統狀態轉移規律。馬爾科夫概率預測模型的基本思想是分析研究系統現狀，利用馬爾科夫鏈求解得出系統將來可能變化所至的某特定狀態的概率[812]。因為該數學過程有一定的隨機離散特性，所以需要采用數學概率來定量表述系統狀態轉移的可能性大小。定義St為系統在時刻t所處的狀態，若在t=i時刻的狀態Si為已知，那么在未來的某個t=i+1時刻系統所能達到的某種狀態Si+1只與t=i時刻的狀態Si有關，而與之前的狀態沒有關系，即馬爾科夫鏈可以看成是一種無后效性的離散隨機過程。定義Pij為系統由狀態Si經過一次轉移到狀態Sj的概率，當系統存在n種狀態，把這些狀態組合在一起后所構成的矩陣P稱之為狀態轉移矩陣。

2應用實例

2.1預測指標選取

如今使用最多的路面結構主要有2種――水泥路面和瀝青路面，本文選廣東省某路段水泥路面作為研究對象進行分析。評價水泥路面狀況的指標有很多，包含路面狀況指數（PCI）、斷板率（DBL）、彎沉等。當用斷板率來評價路面時，由于相同斷板率下，不同損壞程度所對應的路面損壞差異非常大，因此斷板率和路面損壞狀況的相關性不強。水泥路面的彎沉值是一個平均值，因此容易掩蓋彎沉值較大的板塊，所以采用彎沉值來衡量水泥路面的好壞也不合適。路面狀況指數PCI可以綜合反映混凝土路面各方面的性能，如混凝土面層的不同破壞類型、破壞范圍和破損嚴重程度等，能夠將水泥路所處的路面破損狀況最直接地反映出來，所以本文采用PCI作為示例中水泥路面的預測指標[1718]。

2.2路面狀況指數GM（1，1）模型

收集廣東省某路段水泥路面2006～2015年的路面使用性能數據，選取PCI數值作為原始數據序列，其中以2006～2013年的PCI數據作為建模數據，2014～2015年PCI數據作為檢驗模型優劣的標準。2006～2015年某路段水泥路面PCI數據如表1所示。

由表5可知，2014年和2015年PCI的GM（1，1）預測值殘差處于3種狀態的概率是不一樣的，2014年預測值殘差所對應的狀態向量中，殘差狀態處于狀態1的概率最大為0.5，所以選擇狀態1所對應的誤差區間[0.5%，1.5%]的中值1%對GM（1，1）模型預測值進行修正，修正方式如式（14）所示，修正后得到的2014年水泥路面PCI預測值為66.1。2015年預測值殘差所對應的殘差狀態向量中，殘差狀態處于狀態1的概率最大為0.375，同理選擇狀態1所對應區間[0.5%，1.5%]的中值1%對GM（1，1）模型預測值進行修正，修正后得到的2015年水泥路面PCI預測值為63.2。根據式（11）分別計算GM（1，1）預測模型和灰色馬爾科夫模型的預測殘差比率，2種預測模型的預測值及相應的殘差比率計算結果如表6所示。

3結語

本文運用灰色馬爾科夫鏈路面使用性能預測模型，對廣東省某地區水泥路面的PCI進行了預測分析，得出如下結論。

（1）路面使用性能的預測受到各方面不同因素的影響，具有隨機性和波動性。在具有一定歷史數據的條件下，通過建立灰色馬爾科夫模型，借助Matlab計算求解，驗證了該模型能夠達到比較高的預測精度。

（2）灰色馬爾科夫模型是基于馬爾科夫鏈對灰色模型進行修正，實例表明單一的GM（1，1）模型對路面使用性能的預測也能達到一定精度，但是經過馬爾科夫鏈修正后的預測結果更加準確，實用性更強。

（3）在實際工程中，采用灰色馬爾科夫模型對水泥路面使用性能進行預測是可行的，本文雖然以路面狀況指數PCI的預測為例，但也適用于路面使用性能其他指標的預測。實例證明這一模型具有較高的實際應用價值。

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篇10

關鍵詞：小波分析；時間序列；ARMA模型；鐘差預報；誤差分析

中國分類號：TN911.7 文獻標識碼 ：A

文章編號：10053824（2013）01005204

1 引 言

GPS接收機時鐘偏差是影響接收機基本觀測量偽距精度的主要因素，在某些需要得到偽距、偽距率等原始信息的系統，接收機內部鐘差會給系統的基本觀測信息帶來較大的誤差。在用偽距進行定位或授時的系統中，會直接影響定位精度以及授時精度。因此在實際的工程應用中，需要對GPS接收機鐘差建立一個相對準確的模型，用來實時修正GPS觀測量中的時鐘誤差。在誤差建模過程中，可以將GPS接收機鐘差視為一組時間序列，傳統的時間序列預測方法是直接建立ARMA系列模型[1]。而ARMA模型適用于周期平穩的時間序列，因此通常需要對原始數據進行差分。 GPS接收機鐘差信號中包含有用的偏差信號和噪聲信號。而噪聲信號和有用的偏差信號通常表現為平穩的帶通信號和高頻信號。在進行差分時不僅消除了時間序列的有用成份，而且其中的“畸變點”并沒有剔除，降低了預測的精度。小波分析具有多尺度、多分辨率、可伸縮、可平移等方面的優勢，將小波分析作為數學工具對GPS觀測數據進行小波分解和重構，可以很好地檢測和削弱GPS觀測數據中的噪聲影響[2]。于是在建立ARMA模型前對時間序列進行小波變換，進行消噪處理，得到一組相對“干凈”的數據。通過仿真分析得到，在原始數據鐘差數據經過消噪處理后建立的模型預測精度得到提高[3]。

在以上3個步驟中，最核心的部分就是如何選取閾值并對其進行量化，它直接關系到信號降噪的效果。一般有下述3種方法[6]：

1）默認閾值消噪處理。該方法用函數ddencmp生成信號的默認閾值，然后利用函數wdencmp進行消噪處理。

2）給定閾值消噪處理。在實際的消噪處理過程中，閾值往往可以通過經驗公式獲得，且這種閾值要比默認閾值的可信度要高。在進行閾值量化處理時可利用函數wthresh。

3）強制消噪處理。該方法是將小波分解結構中的高頻系數全部置0，即濾掉所有高頻部分，然后對信號進行小波重構。這種方法比較簡單，且消噪后的信號比較平滑，但容易丟掉信號中的有用成分。

4 小波變換消噪效果

本文選取默認閾值消噪方法對IGS網站的第1240周某測站的鐘差數據進行降噪處理。降噪前后的數據分布圖如圖1所示。

從偏差的統計特性可以看出，經過小波變換后，GPS接收機鐘差數據平均濾除了3 ns的偏差，盡管濾除偏差中一部分原始序列的正常變化值，但由于3ns的平均誤差也在可接受的范圍內，因此完全可以采用小波變換來對信號進行預處理來消除突發噪聲。

5 基于小波變換的預測模型與傳統AR

預測模型預報精度的對比分析5.1 數據選取

本文采用IGS網站提供的第1 240周第一天0時0分0秒至1 240周第二天22時5分0秒接收機鐘數據，共557個歷元（記為數據一）、1 240周第一天0時0分0秒至1 240周第一天23時55分0秒的接收機鐘差數據，共287個歷元（記為數據二）。2組原始數據直接采用傳統的AR序列預報值的差值分布如圖2和圖3所示：

由表3可以看出，在對時間序列進行AR建模前，對數據進行小波變換，可以提高模型的預測精度。在對精度要求較高的GPS定位或授時系統中，該方法可提高其精度。

5 結束語

本文給出了基于小波分析的GPS接收機鐘差建模和預測方法。利用樣本的偏相關函數的截尾性判斷準則分別對同一組進行小波降噪前后的鐘差數據進行模型的辨識。結果均為AR模型，并且該模型適用于短期的時間序列預報。仿真結果表明經小波降噪后的AR序列的預測精度得到提高，進而可以說明小波變換剔除了時間序列的“突變”點。而直接對序列進行AR建模的時候，為得到平穩的時間序列需要進行差分，不但沒有消除無用信息，反而丟掉了有用的時間信息。因此，對于短期的接收機鐘差預測，小波變換可有效提高其精度，對接收機內部時鐘實時修正，可提高GPS定位和授時精度。參考文獻：

[1] 陳軍.GPS接收機單向授時算法研究[D].鄭州：信息工程大學，2010.

[2] 郭彩立.基于小波分析的GPS數據處理理論及其應用研究[D].重慶：重慶大學，2007.

[3] 張斌，歐吉坤，袁運斌，等.一種小波與譜分析結合的GPS精密衛星鐘差擬合方法研究[J].武漢大學學報，32（8）：715718.

[4] HANNAN E J， KAVALIERIS L. Linear estimation of ARMA processes[J]. Automatica， 1983，19（4）：447448.