導語：如何才能寫好一篇雙曲線，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

除與橢圓有類同的重點及考點之外，在高考中還經常考查雙曲線獨有的性質漸近線，以雙曲線為載體考查其方程和性質.

命題特點

雙曲線類型問題與橢圓類型問題類似，因而研究方法也有許多類似之處，如“利用定義”“方程觀點”“直接法或待定系數法求曲線方程”“數形結合”等.但雙曲線多了漸近線，問題變得略為復雜和豐富多彩.

1. 雙曲線的定義及其應用

例1 在[ABC中，B（4，0），C（-4，0）]，動點[A]滿足條件[sinB-sinC=12sinA]時，求點[A]的軌跡方程.

解析 設[A]的坐標為[（x，y）]，在[ABC]中，由正弦定理得，[asinA=bsinB=bsinC=2R]（其中[R]為[ABC]外接圓的半徑），代入[sinB-sinC=12sinA，]得[AC2R-AB2R=12?BC2R.]又[|BC|=8，][|AC|-|AB|=4，]因此[A]的軌跡為以[B，C]為焦點的雙曲線的右支（除去右頂點），且[2a=4，2c=8]，即[a=2，c=4，b2=c2-a2=12].

所以[A]點的軌跡方程為[x24-y212=1（x>2）].

答案 [x24-y212=1（x>2）]

點撥 容易用錯雙曲線的定義，將點[M]的軌跡誤認為是整條雙曲線.在使用圓錐曲線定義求動點的軌跡方程時，一定要注意定義中的限制條件，同時要結合具體問題的實際背景，對所要解決的問題做合理的限制.

2. 雙曲線方程的求法

例2 根據下列條件，求雙曲線的標準方程.

（1）與已知雙曲線[x2-4y2=4]有共同漸近線且經過點（2，2）；

（2）漸近線方程為[y=±12x]，焦距為10；

（3）經過兩點[P（-3，27）]和[Q（-62，-7）]；

（4）雙曲線中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為[2]，且過點（4，[-10]）.

解析 （1）設所求雙曲線方程為[x2-4y2=λ]，

將（2，2）代入上述方程得，22-4?22=λ.

λ=-12.

所求雙曲線方程為[y23-x212=1].

（2）設所求雙曲線方程為[x24-y2=λ]，

當λ>0時，雙曲線標準方程為[x24λ-y2λ=1]，

c=[5λ].[5λ]=5，λ=5.

當λ

c=[-5λ].[-5λ]=5，λ=-5.

所求雙曲線方程為[x220-y25=1]或[y25-x220=1].

（3）設雙曲線方程為mx2-ny2=1.

[9m-28n=1，72m-49n=1，]解得，[m=-175，n=-125.]

標準方程為[y225-x275=1].

（4）依題意，[e=2?a=b].

設方程為[x2a-y2a=1]，

則[16a-10a=1]，解得，[a=6].

所求雙曲線方程為[x26-y26=1].

點撥 求雙曲線的標準方程的方法：（1）定義法：由題目條件判斷出動點軌跡是雙曲線，由雙曲線定義，確定[2a，2b或2c]，從而求出[a2，b2]，寫出雙曲線方程.（2）待定系數法：先確定焦點在x軸還是y軸，設出標準方程，再由條件確定[a2，b2]的值，即“先定型，再定量”，如果焦點位置不好確定，可將雙曲線方程設為[x2m2-y2n2=λ（λ≠0），] 再根據條件求λ的值.（3）雙曲線與橢圓標準方程均可記為[mx2+ny2=1（mn≠0）]，其中[m>0且n>0，]且[m≠n]時表示橢圓；[mn

3. 雙曲線的幾何性質，尤其是雙曲線的漸近線.

例3 已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）] 的一個焦點與拋物線[y2=8x]的焦點重合，且該雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為________.

解析 因為拋物線y2=8x的焦點坐標為（2，0），所以c=2，由[e=ca=2]，解得a=1.由[a2+b2=c2]，得[b2=3]，所以雙曲線的方程為[x2-y23=1]，令[x2-y23=0]，可得[y=±3].故該雙曲線的漸近線方程為[y=±3x].

答案 [y=±3x]

點撥 ①漸近線的求法：求雙曲線[x2a2-y2b2=1][ （a>0，b>0）]的漸近線的方法是令[x2a2-y2b2=0]，即得兩漸近線方程[xa±yb=0]或[y=±bax].②已知漸近線方程為[ax±by=0]時，可設雙曲線方程為[a2x2-b2y2=λ（λ≠0）]，再利用其它條件確定λ的值，此方法實質是待定系數法.

4. 直線與雙曲線的位置關系

例4 已知雙曲線[C：x23-y2=1].

（1）若l1：y=kx+m（km≠0）與[C]交于不同的兩點[M，N]，且[M，N]都在以[A（0，-1）]為圓心的圓上，求[m]的取值范圍；

（2）若將（1）中的“雙曲線[C]”改為“雙曲線[C]的右支”，其余條件不變，求[m]的取值范圍.

解析 （1）設M（x1，y1），N（x2，y2），由[y=kx+m，x2-y2=3，]

消去y得，（1-3k2）x2-6kmx-3（1+m2）=0.

l1與[C]有兩個交點，

[1-3k2≠0，Δ=12?（1+m2-3k2）>0，]①

x1+x2=[6mk1-3k2]，x1x2=[-3m2+11-3k2]，

設MN的中點為G（x0，y0），

則x0=[3mk1-3k2]，y0=[m1-3k2].

AGMN，[1+m-3k23mk]?k=-1.

3k2=4m+1.②

由①②得，-[14]

（2）l1與雙曲線右支有交點，

[6mk1-3k2>0，③-3m2+11-3k2>0，④]由②③④得，[m>4].

點撥 （1）①本題中第一問由于直線與雙曲線有兩交點，因而用判別式Δ求范圍；②由于直線與雙曲線右支有兩不同交點，因而除判別式Δ外，還要限制[x1+x2>0，][x1x2>0].

（2）凡是涉及到直線與圓錐曲線的公共點，一般由判別式得不等關系，要注意判別式的適用范圍，若圓錐曲線不完整時，應加以限制.

備考指南

1. 加強直線與雙曲線的位置關系問題的復習，這類問題常涉及到雙曲線的幾何性質和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，常用設而不求法與弦長公式及韋達定理求解.

2. 注重數學思想方法的運用，如函數與方程的思想、化歸與轉化、數形結合的思想.

3. 近幾年考雙曲線的大題出現頻率少，應引起重視.

限時訓練

1.雙曲線方程為x2-2y2=1，則它的右焦點坐標為 （ ）

A.（[22]，0） B.（[52]，0）

C.（[62]，0） D.（[3]，0）

2. 雙曲線[y216-x2m=1]的離心率[e=2]，則雙曲線的漸近線方程為 （ ）

A. [y=±x] B. [y=±33x]

C. [y=±2x] D. [y=±12x]

3. 已知雙曲線[x24]-[y2b2]=1的右焦點與拋物線[y2=12x]的焦點重合，則該雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于 （ ）

A. [5] B. 4[2]

C. 3 D. 5

4. 設[F1，F2]是雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的兩個焦點， [P]是[C]上一點，若[PF1+PF2=6a]且[PF1F2]的最小內角為[30°]，則[C]的離心率為 （ ）

A. [2] B. [22]

C. [3] D. [433]

5. 雙曲線[x2-y2=4]左支上一點[P（a，b）]到直線[y=x]的距離為[2]，則[a+b=] （ ）

A.2 B.-2

C.4 D.-4

6. 知[A-1，0，B1，0]兩點，過動點[M]作[x]軸的垂線，垂足為[N]，若[MN2=λAN?NB]，當[λ

A. 圓 B. 橢圓

C. 雙曲線 D. 拋物線

7. 如圖，[F1]，[F2]是雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0]，[b>0）]的左、右焦點，過[F1]的直線[l]與雙曲線的左、右兩個分支分別交于點[A]，[B]，若[ABF2]為等邊三角形，則該雙曲線的漸近線的斜率為 （ ）

A. [±33] B. [±2]

C. [±15] D. [±6]

8. 已知雙曲線[C：x2a2-y2b2（a>0，b>0）]的離心率為2，[A，B]為其左、右頂點，點[P]為雙曲線[C]在第一象限的任意一點，點[O]為坐標原點，若[PA，PB，PO]的斜率為[k1，k2，k3]，則[m=k1k2k3]的取值范圍為 （ ）

A. [（0，33）] B. [（0，3）]

C. [（0，39）] D. [（0，8）]

9. 過雙曲線[x2a2-y2b2]=1（a>0，b>0）的左焦點F（-c，0）（c>0）作圓x2+y2=[a24]的切線，交雙曲線右支于點P，切點為E，若[OE]=[12]（[OF]+[OP]），則雙曲線的離心率為（ ）

A. [10] B. [105]

C. [102] D.[2]

10.已知雙曲線[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點分別為[F1，F2]，點[O]為雙曲線的中心，點[P]在雙曲線右支上，[PF1F2]內切圓的圓心為[Q]，圓[Q]與[x]軸相切于點A，過F2作直線[PQ]的垂線，垂足為[B]，則下列結論成立的是 （ ）

A.|OA|>|OB|

B.|OA|

C.|OA|=|OB|

D.|OA|與|OB|大小關系不確定

11.雙曲線[x24-y216]=1的漸近線方程為________.

12.已知[F1，F2]為雙曲線[C：x2-y2=1]的左、右焦點，點[P在C]上，[∠F1PF2=60°]，則[|PF1|?|PF2|=]_______.

13.如圖，已知[AB=10]，圖中的一系列圓是圓心分別為A，B的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，[n]，…. 利用這兩組同心圓可以畫出以[A，B]為焦點的橢圓或雙曲線. 若其中經過點[M，N]的橢圓的離心率分別是[eM，eN]，經過點[P，Q ]的雙曲線的離心率分別是[eP，eQ]，則它們的大小關系是________________（用“[

14. 設[F1，F2]分別是雙曲線[x2a2-y2b2=1][（a>0，b>0）]的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點[P]，使[（OP+OF2）?F2P=0]（[O]為坐標原點），且[|PF1|=3|PF2|]，則該雙曲線的離心率為__________.

15. 根據下列條件，求雙曲線方程.

（1）與雙曲線[x29-y216]=1有共同的漸近線，且過點[（-3，23）]；

（2）與雙曲線[x216-y24]=1有公共焦點，且過點[（32，2）].

16. 如圖，動點[M]到兩定點[A（-1，0）]，[B（2，0）]構成[ΔMAB]，且[∠MBA=2∠MAB]，設動點[M]的軌跡為[C].

（1）求軌跡[C]的方程；

（2）設直線[y=-2x+m]與[y]軸交于點[P]，與軌跡[C]相交于點[Q，R]，且[|PQ|

17. 已知常數[a>0]，向量[m=（0，a），n=（1，0）]，經過定點[A（0，-a）]以[m+λn]為方向向量的直線與經過定點[B（0，a）]以[n+2λm]為方向向量的直線相交于[P]，其中[λ∈R].

（1）求點[P]的軌跡[C]的方程；

（2）若[a=22]，過[E（0，1）]的直線交曲線[C]于[M，N]兩點，求[EM?EN]的取值范圍.

18. 已知雙曲線[E：x2a2-y24=1 a>0]的中心為原點[O]，左、右焦點分別為[F1]，[F2]，離心率為[355]，點[P]是直線[x=a23]上任意一點，點[Q]在雙曲線[E]上，且滿足[PF2?QF2=0].

（1）求實數[a]的值；

篇2

有人說，這不是明擺著的嘛，“雙”曲線當然是指“兩條曲線”了，錯！雙曲線的兩支合并為一個整體，構成的應認為是“一條曲線”.那么為什么要叫“雙”曲線呢？因為它有兩支啊，繁瑣的叫法則應是“由兩支曲線合成的一條曲線”.數學中這種“名不副實”的稱謂很多哩！上次我們說到“橢圓非圓”，明明是橢“圓”，但它根本就不是圓.再如，直線方程y=kx+b中的“b”叫什么？叫做“在y軸上的截距”，它可為正，可為負，也可為0，所以它是直線y=kx+b與y軸交點的縱坐標，而決不是距離，所以有“截距非距”之說.這下該明白了吧？還不服！再看，什么叫做函數y=f（x）的“零點”？原來“零點”是“使函數f（x）的值為零的x的值”，呵呵，“零點非點”啊！學過復數的都知道，虛數單位是“i”，那么a＋bi（a，b∈R，且b≠0）被稱為“虛數”，但它是“虛無縹緲”的嗎？不是，它是實實在在存在著的.想當初，有數學家首先提出虛數單位和復數的理論，卻受到許多人的質疑，都認為虛數太“虛”了.后來雖發現復數理論有著廣泛的應用，對數學的發展具有重要的推動作用，但“虛數”這個稱謂卻延續下來了，也好，留著這個“歷史的足跡”，也會讓后人感到回味無窮.但還有人想不通，筆者在你們的“逼迫”下，思維不禁變得十分亢奮，請看函數y=|tanx|的圖象（如圖1），它是由無數條曲線組成的，你叫它“幾曲線”好？從整體上講，它仍是“一條曲線”.“雙”曲線非“兩條曲線”啊！

圖1

數學中的這些所謂“歪理悖論”表明的恰恰是數學家的智慧，給與我們深深的啟迪，那就是視野開闊、思維活躍.

二、　由雙曲線的漸近線想到的

提起雙曲線，人們立即想到的是雙曲線“獨具”的漸近線.雙曲線有漸近線，說是它的“特色”，可以；但說“獨具”，不恰當，圖1中的曲線竟有無數條漸近線：x=nπ+π2（n∈Z），所以說漸近線不是雙曲線的“專利”.初中研究過的反比例函數y=xk（k≠0），其圖象也是雙曲線，它有兩條漸近線，即x軸和y軸.指數函數y=ax（a＞0，且a≠1）的圖象只有一條漸近線，即x軸.對于指數函數圖象的漸近線，當時只有通過直觀來理解，不可能作嚴格的邏輯證明.但對于雙曲線的漸近線，我們還是可以有作為的.如雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），取其漸近線l：xa－yb=0，即bx－ay=0，在雙曲線第一象限內的半支上任取一點P（x0，y0），作PQl于Q（如圖2），則P點到直線l的距離PQ=|bx0－ay0|a2+b2.又x20a2－y20b2=1，解得y0=bx20－a2a，代入可化得PQ=b|x0－x20－a2|a2+b2=a2ba2+b2·1x0+x20－a2.請觀察其中的1x0+x20－a2，因為在第一象限，所以x0值的變化趨勢是無限增大，那么此式的變化趨勢就是無限接近于0.　在教材后面一章《導數》中，我們會學到，由于a2ba2+b2是一個固定的值，而1x0+x20－a2無限接近于0，那么P到直線l的距離PQ也無限接近于0，將直線l稱為雙曲線的漸近線，當之無愧吧！由于圖形的對稱性，用哪個象限內的點都可以.這里反映了數學的一種極其重要的思想方法，今后還要多次研究和應用.

圖2

還有個有趣的事實，不管是雙曲線x2a2－y2b2=1（a＞0，b＞0），還是雙曲線x2b2－y2a2=1（a＞0，b＞0），將等號右邊的“1”換成“0”，就得到它們的漸近線方程，即x2a2－y2b2=0和x2b2－y2a2=0.你說這個方程是幾次的？表面上看來是二次的，但它們是兩個一次方程的“合成”，即分別為y=±bax，y=±abx.

三、　雙曲線的“個性”

橢圓、雙曲線和拋物線統稱圓錐曲線，當然它們有一些共性，但在這里我們最感興趣的當然是雙曲線的“個性”.前面已述，它有漸近線，另外它的離心率屬于區間（1，∞），還有別的嗎？有哇！

（1）　包圍橢圓的是一個矩形，此矩形被稱為橢圓的輔助矩形.雙曲線也有輔助矩形，但夾在兩支曲線的內部；橢圓的輔助矩形永遠不會是正方形，但雙曲線的輔助矩形有可能是正方形，下面還要說到.輔助矩形的兩條對角線就是雙曲線的漸近線.

（2）　請看著圖3，將思緒放開，用一種浪漫情懷展開遐想，成語“亭亭玉立”不禁闖入心懷，那么偉岸，那么挺拔，那么俊秀，讓人心醉，讓人動容！但不是所有雙曲線都能取得如此優美的視覺效果，這大概與矩形鄰邊之比的取值有關吧？不錯，后面將進一步來研究.

圖3

（3）　在x軸右半軸上取點F2，使OF2=OC，則F2是雙曲線的右焦點.太簡單了，OA2=a，A2C=b，則OF2=OC=c.這是用幾何方法找焦點的好方法.現在過F2作垂直于漸近線的直線，垂足為E，RtOEF2是一個很奇特、很有趣的三角形.漸近線的方程為y=bax，直線EF2的方程為y=－ab（x－c），兩個方程聯立，解得x=a2c.此值可不是一般的數值哦，此直線正是我們接觸不久的準線.

其實不解方程組也可以得解，易知RtOEF2≌RtOA2C，則OE=a，EF2=b.過E作x軸的垂線，垂足為G，則由平面幾何知識，得OG=a2c.有人可能不熟悉這個知識，不要緊，換一個“武器”，設∠EOG=α，可得cosα=OEOF2=ac，則OG=OE·cosα=acosα=a2c.三角函數與平面幾何同源同根，只是表現形式不同，熟練掌握兩種武器，屆時用哪個方便就用哪個.這就叫做四通八達、左右逢源.這八個字對于數學學習的意義和作用就太大了，請大家在積極鉆研的過程中逐步揣摩吧.

（4）　當a=b時，得雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）或y2a2－x2a2=1（a＞0），它們的實軸和虛軸相等，這樣的雙曲線被稱為等軸雙曲線.那么有沒有等軸橢圓呢？別引誘人上當了，等軸橢圓是不存在的.將圓稱為等軸橢圓不行嗎？不行，我們說了都不算，數學的理性精神不允許這樣說.

等軸雙曲線又有一些奇妙的特性，“等軸”，雖是廢話，但這些特性卻都是由“等軸”衍生出來的.圖4中有個正方形，是雙曲線的輔助矩形.反比例函數y=xk（k≠0）的圖象也是等軸雙曲線.

圖4

等軸雙曲線x2a2－y2a2=1（a＞0）和y2a2－x2a2=1（a＞0）有共同的漸近線，即輔助正方形的對角線y=±x；

（5）　等軸雙曲線的半焦距為2a，所以等軸雙曲線的離心率為2.數學中有個最優美的數，那就是“黃金數”5－12≈0.618，與黃金分割有關，本文不可能作詳細討論，只是“斗膽”提出2這個數也是非常優美的，可以說僅次于“黃金數”，聯系太廣泛了，這里不作討論.

圖4與圖3中的雙曲線，哪個更優美？圖4中的雙曲線“不胖不瘦”，雖不算“丑陋”，但比不上圖3中的雙曲線那么挺拔.前面問到什么樣雙曲線最漂亮？現在可以告訴大家的是，筆者認為，當圖3中的矩形短邊與長邊之比為“黃金數”時，這樣的雙曲線最漂亮.

四、　雙曲線趣題賞析

趣在何處？在上期《“玩”心太重的橢圓》中有過闡述，這里只重復八個字：風光無限，還是“好玩”！

例1　設雙曲線C與雙曲線E：x29－y216=1.

（1）　若雙曲線C和E有共同的漸進線，且C過點A（－3，23），則雙曲線C的方程為 ；

（2）　若雙曲線C和E有共同的漸進線，則雙曲線C的離心率為 .

解　析 （1）　的最佳解法為，設C：x29－y216=k，將點A的坐標代入，解得k=14，則雙曲線C的方程為4x29－y24=1.

（2）　由（1），知雙曲線C的離心率為53.

作為填空題，（1）可得滿分，可是（2）卻只能得0分.這可奇了怪了！滿足（1）的條件的雙曲線只有一個，可是滿足（2）的條件的雙曲線卻有無數個，可分為兩組，一組的焦點在x軸上，一組的焦點在y軸上，前者的離心率當然是53，后者的離心率為54.

點　睛 方程x29－y216=k對于簡化題解的作用不可忽視；只因題（2）“過于”簡單，就迅速輕率地導致“全軍覆沒”.這里的兩組雙曲線過去曾被稱為“共軛雙曲線”，若它們的離心率分別為e1，e2，則不難得1e21+1e22=1，道理很簡單，由a2+b2=c2，得a2c2+b2c2=1，即1c2a2+1c2b2=1.沒想到，一道簡單的題目涉及的幾個字母，做起“游戲”來還這么有趣，發人深省.

例2　若方程x22－|m|+y2m－3=1表示雙曲線，則m的取值范圍是 .

解　析 俗話說得好，“吃一塹，長一智”，這里可要小心了.由題意，得不等式（2－|m|）（m－3）＜0.1°若m≥0，則（2－m）（m－3）＜0，即（m－2）（m－3）＞0，得0≤m＜2，或m＞3；2°若m＜0，則（m＋2）（m－3）＜0，得－2＜m＜0.

綜上，m的取值范圍是（-2，2）∪（3，+∞）.

點　睛 題目雖小，卻飽含知識和思維的豐富營養哩！

例3　設焦點在x軸上，中心在原點O的雙曲線C的漸近線與以點A（0，2）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個焦點與點A關于直線y=x對稱. （1）　求雙曲線C的方程；

（2）　若P是雙曲線C上不在x軸上的動點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，從F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為點N，試求點N的軌跡方程，并指出點N的軌跡是何曲線.

解　析 （1）　如圖5，因為點A（0，2）與F2關于直線y=x對稱，所以雙曲線的半焦距c=2，則雙曲線的方程可設為x2a2－y22－a2=1.

圖5

由已知，點A（0，2）到漸近線xa－y2－a2=0的距離為1，則2a2－a2+a2=1，解得a=1.

故雙曲線的方程為x2－y2=1.

（2）　設F1N與PF2的延長線交于Q點，由角平分線的性質，知PF1=PQ.

則由雙曲線的定義，知F2Q=PQ－PF2=PF1－PF2=2.

篇3

從高考內容上看，雙曲線標準方程及幾何性質是命題的熱點，題型多為客觀題，著重考查漸近線與離心率問題，難度不大，但有一定的靈活性.

重點：雙曲線的第一、第二定義， 雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何性質，軌跡問題等.

難點：a，b，c，e等參數值的求法及其取值范圍問題的探討，直線與雙曲線位置關系相關的綜合問題.

（1）研究雙曲線上的點到其焦點的距離問題時，首先應考慮用定義來解題. 關注定義中的“絕對值”，若定義中去掉了“絕對值”，則點的軌跡是雙曲線的一支，由此導致一個點在雙曲線的左支和右支上的情形是不同的.

 

（2）研究雙曲線上一點與兩焦點組成的三角形（焦點三角形）問題時，在運用定義的同時還會經常用到正、余弦定理.

（3）求雙曲線的標準方程．

①定義法：分析題目條件是否滿足定義；求出a，b，c；寫出方程．

②待定系數法：確定焦點的位置；設出待求方程；確定相關系數；寫出方程．

（4）雙曲線的幾何性質常涉及一些不等關系，例如：雙曲線■－■=1中，x≥a或x≤－a，e>1等. 在求與雙曲線有關的一些量的范圍或與這些量有關的最值時會經常用到這些不等關系.解決雙曲線中有關變量的最值與取值范圍問題常見的解法有兩種：幾何法和代數法． 若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法． 若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，這就是代數法．

 

（5）直線與雙曲線. 直線與雙曲線位置關系的判斷：直線與曲線的位置關系，可以通過討論直線方程與曲線方程組成的方程組的實數解的個數來確定，通常消去方程組中的變量y（或x）得到關于變量x（或y）的一元二次方程，考慮該一元二次方程的判別式δ，則有：δ>0？圳直線與雙曲線相交于兩個點；δ=0？圳直線與雙曲線相交于一個點；δ<0？圳直線與雙曲線無交點． 若得到關于x（或y）的一元一次方程，則直線與雙曲線相交于一個點，此時直線平行于雙曲線的一條漸近線．

 

（6）直線與雙曲線相交時常見問題的處理方法：①涉及弦長問題，常用“根與系數的關系”，設而不求計算弦長. 直線l被雙曲線截得的弦長ab=■或ab=■，其中k是直線l的斜率，（x1，y1），（x2，y2）是直線與雙曲線的兩個交點a，b的坐標，且（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2，x1+x2，x1x2可由韋達定理整體給出． ②涉及求平行弦中點的軌跡，求過定點的弦中點的軌跡和求被定點平分的弦所在的直線方程問題時，常用“點差法”設而不求，將動點的坐標、弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化．

 

（1）求雙曲線c的方程；

（2）若直線：y＝kx＋m（k≠0，m≠0）與雙曲線c交于不同的兩點m，n，且線段mn的垂直平分線過點a（0，－1），求實數m的取值范圍．

思索 ①涉及直線與雙曲線相交弦有關的參數范圍的問題，δ>0是必不可少的條件． ②關于直線與雙曲線的某一支的相交問題，不但要考慮δ>0，還要考慮方程根的取值范圍.

 

建議同學們在復習本節內容時重視以下幾個方面：

（1）重視定義在解題中的作用，對于雙曲線的兩種定義，要在訓練的過程中加強理解和掌握.

（2）重視平面幾何知識在解題中的作用，解題過程中應借助圖形分析條件，尋求最優解法.

（3）重視設而不求的整體化處理思想的應用，遇到有關直線與雙曲線交點及相關問題時，若解方程組求交點，往往運算量大，易出差錯，設而不求利用根與系數的關系便可簡捷求解.

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輪船航行在海上時，它就處于人的位置。岸上有兩個無線電發射臺，輪船行駛在某一位置時，就可以從接收的電波的相位差，測出輪船與電臺的距離差，由此確定了一條以兩個電臺為焦點的雙曲線。若再和另一對電系，可以確定出另一條雙曲線，兩條雙曲線有一個交點，船就處于這一點上。這一切都是在一瞬間完成的，因為有很多現代化的工具來幫助我們，你明白了嗎?船長們就是這樣來導航的。下面我們一起看看船長如何定位海洋生物的。

艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西，且與B相距4千米，它們準備圍捕海洋動物，某時刻A發現動物信號，4秒后B、C同時發現這種信號，設艦與動物均為靜止的，動物的信號的傳播速度是1千米／秒，試確定海洋動物的位置．

分析：首先建立適當的坐標系，讀懂題意，領會含義，①B發現信號的時間比A發現信號的時間晚4秒，②B、C同時發現信號，把發現信號的時間轉化為距離再借助解析幾何知識來解決問題．

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穆棱市第一中學 高二學年 數學 靳春明

一.教材分析

1.地位與作用

《雙曲線及其標準方程》是全日制普通高級中學教科書（人教版）第二冊（上）第八章第三節內容，雙曲線是平面解析幾何的又一重要曲線，本節課既是對解析幾何學習方法的鞏固，又是對運動，變化和對立統一的進一步認識，從整體上進一步認識解析幾何，建立解析幾何的數學思想。

2.教材處理

a.教材的定義并不全面，應該是“平面內與兩定點的距離之差的絕對值等于常數

（大于0,小于）的點的軌跡叫做雙曲線”

b.教材中只是給了雙曲線的定義，而對距離之差2a=0，距離之差2a=2c時沒有研究，為了使學生對雙曲線軌跡形成有更深的體會，應該加以說明。

二.學情分析

知識結構：雙曲線是圓墜曲線中第二學習的曲線，再此之前學生已經學習了橢圓曲線，對學習曲線方程已經有了一定基礎和方法，運用類比的學習方法得到雙曲線的標準方程并不困難，但在求方程的過程中還有許多需要注意的地方，這又提升了學生分析問題的能力及嚴密認真的態度。

心理特征：高二學生已經形成了是非觀，具備了一定的類比轉化及分析問題的能力，在心里上也具備了承受和辨證地接受別人的意見和建議，但對于復雜問題的處理還不夠靈活，因此在課堂上要注意發揮學生的主體作用，體現教師的點撥引領效果。

三. 教學目標確定及依據

雙曲線是繼橢圓后的有一個曲線，兩者在研究方法與研究內容上類似，但是性質上差別很大這就養成學生在學習時必須辨證的考慮問題。本著課改理念，養成學生對知識用于探索精神，學生親自體會雙曲線標準方程的獲得過程，這樣學生的動手實踐能力得到了提高，有體會到了學習數學的樂趣，根據教學要求及學生現有的認知水平，現制定以下教學目標：

1.知識與技能：掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的標準方程及其推導方法，理解怎樣的雙曲線其方程為標準方程，雙曲線的標準方程所表示的曲線，其圖形有什么特征，并能根據雙曲線的標準方程確定焦點的位置。

2.過程與方法：類比推理，探索知識

3.情感態度與價值觀：使學生認識到比較法是認識事物，掌握其實質的一種有效的方法；發現數學美體驗成功后的喜悅。

4.重點與難點

重點：雙曲線中a,b,c 之間的關系。

依據：研究雙曲線的性質離不開a,b,c之間的的關系

難點：雙曲線的標準方程

依據：如何分清雙曲線標準方程的兩種形式是難點

手段：多媒體輔助教學，指導學生自學法

四.教學理念及流程設計

（一）教學理念

本著以人為本的教學理念及發揮學生主動性，使學生成為課堂的教學原則，遵循事物的發生，發展成熟過程及學生的認知規律，通過學生的自主探索，求出雙曲線的標準方程，在此過程中體現生生，師生之間的團結合作，互相幫助的精神，學生的內在潛能得以發揮，通過雙曲線方程判斷焦點的位置的過程中提高學生分析問題及嚴密推理能力得以提高，學生體會到學習數學的樂趣。

（二）流程設計

1.復習：橢圓的定義及怎樣求得橢圓的曲線

2.新課導入：與兩定點的距離之差是常數的點的軌跡是怎樣的曲線呢？

3.新知探究：在什么條件下能得到雙曲線，怎樣求雙曲線的方程？怎樣通過雙曲線方程判斷焦點位置？求曲線方程時同桌分別求焦點在X，Y 軸的曲線方程。

4.習題分析：107頁練習第二題 目的：對雙曲線的焦點位置的判斷

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（來源：文章屋網 ）

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關鍵詞：等角；視角；焦半徑

圓錐曲線本身含有豐富的幾何性質，本文將給出圓錐曲線中的幾個等角定理.

圓的切線性質：過圓O外一點P引圓的兩條切線PQ、PR，Q、R為切點，則點O關于PQ、PR的視角相等，P點關于OQ、OR的視角相等.

■

圖1

類比得到以下定理，

定理1：（1）過橢圓外一點P作橢圓的兩條切線PQ、PR，Q、R為切點，則點P關于QF1，RF2的視角相等；F1（F2）關于PQ、PR的視角相等，其中F1，F2為橢圓焦點.

（2）若PQ、PR是雙曲線的兩條切線，Q、R為切點，F1，F2為雙曲線的焦點. 則①若R、Q在雙曲線同支上，則P關于QF1，RF2的視角互補；F1（F2）關于PQ、PR的視角相等；②若R、Q在雙曲線的異支上，則P關于QF1，RF2的視角相等；F1（F2）關于PQ、PR的視角互補.

（1）證明：設F1關于PQ的對稱點為F′1，F2關于PR的對稱點為F′2. 由橢圓性質可知F′1，Q，F2三點共線，F′2，R，F1三點共線，則F′1F2=F1F′2=2k. 因為PF′1=PF1，PF′2=PF2，

所以PF′1F2？艿PF1F′2，

所以∠F′1PF2=∠F1PF′2，

所以∠F′1PF1=∠F2PF′2.

再由對稱性可知∠F1PQ=■∠F′1PF1，∠F2PR=■∠F2PF′2，

所以∠QPF■=∠F■PR，即P對F■Q，F■R視角相等.

再由對稱性得∠F2F′1P=∠QF1P，∠F1F′2P=∠PF2R，∠PF′1F2=∠PF1F′2，∠F1F′2P=∠F′1F2P，即∠QF1P=∠PF1R，∠PF2R=∠QF2P，

即F1，F2對PQ、PR的視角相等.

同理可以證明雙曲線的情形.

定理2：過圓錐曲線準線l上任一點K作直線和圓錐曲線相交于A、B兩點，設圓錐曲線焦點為F，則兩條焦半徑FA、FB與KF所夾的角相等（B、F、A三點不共線）.

■

圖3

證明：過A作AA′l于A′，BB′l于B′，延長BF至C，則由圓錐曲線定義可得

■=■=e，AA′//BB′？圯■=■，所以■=■.

由外角平分線性質得∠KFA=∠KFC，又由∠KFC=∠BFD，所以∠AFK=∠BFD，故命題成立.

以下是此命題的逆命題，也為真命題.

定理3：若以圓錐曲線的一個焦點F出發的焦半徑FA、FB與過F的直線l所夾的角相等，且AB與l的交點是AB的外分點，則l與AB交于圓錐曲線準線上.

■

圖4

■

圖5

證明：設AB交準線l′于點K，則由定理2可知KF與FA、FB所成角相等，顯然AB與KF的交點K是AB的外分點；

又l與FA、FB所成角相等，且AB與l的交點是AB的外分點，故l與KF重合；

故命題成立.

推論1：若PQ為有心圓錐曲線上任兩點（連線不過任一焦點），設點F對應準線為l，且QF、QP分別交l于M、R，則FM平分∠QFP的外角（證明略）.

例1 （舟山市2012年第二次模擬考）已知橢圓■+■=1（a>b>0）的右焦點F，右準線為l，一條過原點的直線交橢圓于P、Q兩點（P在第三象限），交l于R點，P、F兩點的連線交l于M，則有（ ）

A. ∠MFR>∠QFR

B. ∠MFR=∠QFR

C. ∠MFR

D. ∠MFR與∠QFR的大小不確定

由推論1可知選B.

在定理2與3中，若A、B兩點重合于A，則就成了圓錐曲線的切線，此時KFFA，同時過F與AF垂直的直線與過A點的切線交于準線上一點.

于是得到推論2：過圓錐曲線的準線l上一點K作圓錐曲線的兩條切線KA、KB，則AB過對應焦點F，且與KF垂直.（證明略）

例2 （2006年北京海淀區4月）橢圓■+■=1（a>b>0）的右準線l與x軸的交點為A，橢圓的上頂點為B，過橢圓的右焦點F作垂直于橢圓長軸的直線交橢圓于點P. 若點D滿足■=■，■=λ■（λ≠0）

（1）求橢圓離心率；

（2）若橢圓長軸等于4，Q為橢圓右準線l上異于點A的任意一點，A1，A2分別為橢圓的左、右頂點，直線QA1，QA2與橢圓的另一個交點分別為M，N，求證：MN與x軸交于定點.

解：（1）略.

（2）易得橢圓方程為■+y2=1.

設F為橢圓右焦點，延長QF至E，連結MF交橢圓于M′，則

由定理2可知∠A1FE=∠MFQ.

又∠A1FE=∠QFA2，∠MFQ=∠EFM′，

所以∠EFM′=∠QFA2，

則由定理3可知M′，A2，Q在一直線上，所以M′與N點重合，

所以F即為MN與x軸的交點，

所以MN與x軸交于定點F（■，0）.

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關鍵詞：雙曲線；冷卻塔；綜合施工

1 項目簡介

某工程的冷卻塔是該工程的重要組成部分，冷卻塔施工能否快速、優質完成施工任務，直接關系到我公司的形象和信譽。為此目的我們專門組織了冷卻塔施工科技攻關隊伍，重點解決施工中的各項技術難題，為工程順利、安全、快速施工奠定了堅實基礎，施工中我們成功應用了管井降水技術，加強膨脹帶代替后澆帶技術，新型模板與支撐系統，塔內安裝施工電梯技術，此外推廣應用了預拌商品混凝土技術、粉煤灰綜合利用技術，新型省工防潮涂料應用技術和小型滑輪組控制中心點測量技術，塔內淋水預制構件吊裝技術。

2 施工技術內容

2.1 管井降水技術

冷卻塔砂石墊層底直徑為67.842m，基坑開挖面積約4000m2，挖深-4.3m，根據地質資料及設計說明地下水位為-2.1m。對如此大面積的圓形基坑及較高的地下水位，必須做好基坑的降水工作，地下水控制的方法可分為集水明排、降水、截水和回灌等形式單獨或組合使用，經過分析論證，我們決定采用管井降水和集水井明排降水相結合的方法，減少了集水井數量和濕作業，效果顯著。

管井降水是在基坑開挖前，先在設計位置布置井位，然后鉆井、下混凝土濾水井管，管井低于基底4～5m，總深約10m，管井成型后，用深井潛水泵集中抽水，將基坑范圍內地下水位降至基坑底面以下500mm，能夠滿足基坑開挖和基礎施工要求。根據基坑開挖半徑和甲方提供的地質資料，計算出基坑涌水量，在基坑周圍布置6孔管井，管井內徑為400mm，成井后進行單井試抽，檢降水效果良好。經連續抽水10d，監測地下水位降至基底設計標高以下，可開始進行基坑開挖。

2.2 冷卻塔環形基礎溫度裂縫控制技術

冷卻塔環形基礎設計池壁周長180m，要滿足P8抗滲要求，因此，保證其不產生溫度裂縫是滿足其抗滲的決定因素。按傳統做法是采用分段澆筑預留“后澆帶”的施工方法，后澆帶要在28d后才能澆筑，給施工工期帶來很大影響。針對這一問題，我們組織人員赴鄭州河南電力勘測設計院與有關專家進行交流探討，決定采用“補償收縮混凝土”和“加強膨脹帶”的施工技術。將環形基礎分為四段，預留四個加強膨脹帶，每個膨脹帶2m，在混凝土中摻加ACD膨脹劑（摻量為水泥的6%）四段澆筑完后，停7d后即可澆筑加強膨脹帶，加強膨脹帶混凝土的膨脹劑摻量提高至8-10%，其原理是在已澆筑的四段混凝土尚在膨脹過程中，即澆筑加強膨脹帶，靠膨脹帶和前期澆筑混凝土之間產生的膨脹應力相互作用，使混凝土密實而不產生溫度裂縫。

應用這一技術，很好的避免了環形超長混凝土構件溫度裂縫，效果良好，而且比采用傳統的后澆帶提前工期21d，效果特別顯著。

2.3 冷卻塔專用模板與支撐系統的應用

因冷卻塔是雙曲線結構，而且高度很高，采用普通的模板及支撐系統是無法施工的，解決模板與支撐體系難題是冷卻塔風筒施工的關鍵，為解決這一難題，我們赴外地學習考察冷卻塔的模板技術，并與中建二局模板廠合作優化設計制作了一套冷卻塔施工的專用模板及支撐系統。冷卻塔專用模板及支撐系統的原理是如下：

（1）模板采用1000mm×1300mm鋼模板，一側帶60mm寬翼緣，可隨著風簡直徑的變化進行調縫，其加工數量按直徑最大處內外加工三板，施工逐層上倒、循環施工。

（2）模板支撐系統為內外三角架，以己澆筑的風筒筒壁為受力點，靠內外三角架支撐作用將上部荷載傳遞至已澆筑的筒臂，內外三角架之間靠螺柱連接，對拉螺栓在連接內外三角架的同時，也連接內外層模板，三角架同模板一樣在施工中逐層上倒，循環施工。

（3）三角架體系在解決了模板支撐問題的同時，上層三角架還有一項重要的作用，就是內外層運輸跑道固定在上層三角架上，三角架外側設有防護欄桿，非常安全可靠。

（4）三角架支撐各桿件系統包括內斜撐、外斜撐、外環向連桿，內環向連桿，內水平桿、外水平桿、豎桿、內模斜撐、鋼欄桿、吊欄、頂撐螺栓等。

2.4 塔內淋水預制構件的吊裝技術

塔內預制構件包括支柱、淋水填料徑向支承梁、環向支承梁、分水槽徑向支承梁、分水槽及主水槽。具有構件型號多、安裝難度大的特點。

為加快施工速度，擬采用兩臺汽車吊同時進行吊裝，吊車進入塔內的跑道采用枕木搭設，為保證吊車在塔內行走無障礙，確定在徑向第3排支柱的杯口基礎（即半徑R=15m處的杯口）事先在不影響吊車行走的路線以外預制好，吊裝到該柱子時，將杯口基礎吊裝就位，杯口基礎和底板之間用水泥砂漿坐平坐穩。

吊裝單元的劃分和吊裝順序的確定。根據設計特點，每30°角范圍劃分為一個吊裝單元，共12個吊裝單元，每個吊裝單元內構件均完全相同。第一個吊裝單元的吊裝順序為：徑向預制柱（Z1、Z2）徑向支承梁L1-L6徑向預制柱Z3、Z4徑向支承梁L7-L10徑向預制柱Z1、Z2徑向支承梁L1-L6填料環向支承梁L11-L17、L18-L30、L18′-L30′分水槽支承梁L31-L33主水槽分水槽。第一個吊裝單元完成后兩臺吊車依次后退吊裝。

預制構件從塔外向塔內運輸方法，為加快施工速度，預制構件從加工廠運到現場后直接沿枕木塔設的跑道運至塔內，用吊車一次吊裝就位，構件不再進行二次裝卸。

2.4.1 吊車選擇

所有預制構件單件重量均較小，最重構件混凝土用量約1.05m3。構件安裝最大高度約11m，吊裝分水槽FS-19a和FS-19b為最不利，最大回轉半徑約14m，單件混凝土用量0.421m3約1t重。因此綜合考慮吊裝選用2臺16t吊車能夠滿足要求。

2.4.2 吊車行走路線確定

吊車行走中心線確定在半徑R=15m處，該處杯口基礎在底板其它位置事先預制好，吊裝該柱子時，將杯口吊裝就位。

2.4.3 預制柱的安裝

吊裝采用單點吊裝（預制柱預留吊裝環），按照事先的編號依次吊裝，柱子吊裝前杯口內部必須清掃干凈，并按設計要求將杯口底用C35細石混凝土鋪50mm，柱根進入杯口內后進行對中找正找垂直，檢查柱頂標高，符合要求后用鐵楔作臨時固定，然后用C35細石混凝土將杯口澆灌振搗密實，鐵楔不再取出。吊裝柱子必須確保柱頂標高的準確，以確保水槽的安裝標高和投入使用后水槽配水均勻。另外吊裝時要特別注意柱子牛腿的方向，防止柱子牛腿方向錯誤。

2.4.4 淋水填料徑向支承梁的安裝

徑向預制柱吊裝后，開始吊裝支承梁，吊梁前將梁上面的預埋鐵件的中心線彈出，目的是為了安裝環向支承梁時位置準確。梁采用雙點平吊，按照編號依次就位，使梁中心線和牛腿中心線重合，梁頭和柱之間按設計保證，50mm縫隙。就位后將梁上預埋件和柱牛腿預埋件焊接牢固。淋水填料徑向支承梁上平安裝標高為+5.15+0.45=+5.60m。

2.4.5 淋水填料環向支承梁的安裝

第一個吊裝單元三個徑向的支承梁全部吊裝完后，開始吊裝環向的支承梁，用兩臺吊車同時吊裝，就位時使梁中心線和徑向梁上預埋鐵件的中心線重合，以確保環向支承梁之間的間距符合設計要求的尺寸，每道環向支承梁準確就位后，即進行焊接，環向支承梁的上平安裝標高為：+5.6m+0.35=+5.92m。環向支承梁安裝時要注意L18-L30和L18′-L30′對稱放置，避免放反。

2.4.6 分水槽徑向支梁的安裝

分立槽徑向支承梁L31-L33安裝于Z3、Z4柱頂+8.23m標高處，采用雙點平吊，就位后將預埋鐵件焊接牢固，分水槽徑向支承梁的上平安裝標高為+8.23+0.4=+8.63m。

2.4.7 主水槽安裝

第一個吊裝單元的主水槽用兩臺吊車同時進行吊裝，主水槽安裝于Z1、Z2柱頂+8.43m標高處，采用雙點平吊，將主水槽中心線與柱頂中線重合，并使相鄰兩個主水槽之間保持不小于100mm寬的縫隙，就位后將主水槽與柱頂的預埋鐵件焊接牢固，并用水泥砂漿抹出八字形角，主水槽之間的鋼筋連接用鋼筋搭接焊牢固，用C30細石混凝土將縫隙二次澆灌密實。

2.4.8 分水槽安裝

分水槽安裝于分水槽支承梁上和主水槽預留的洞口內，其中FS-1～FS-6直接安裝于主水槽預留洞內，其它分水槽均一端安裝于支承梁上，一端安裝于水槽預留洞內，第一個吊裝單元的分水槽可采用2臺吊車同時吊裝，分水槽采用雙點平吊就位在支承梁上對稱放置的分水槽端頭縫隙保證60mm，頂頭的分水槽底部用鋼筋焊接牢固，分水槽與支承梁采用預埋鐵件焊接牢固，并用水泥砂漿抹出八字角，頂頭縫隙用C30細石混凝土二次澆灌密實。分水槽與主水槽接口處用3：7石棉水泥填塞密實。

3 創新點

冷卻塔內淋水預制構件是冷卻塔的重要結構組成部分，預制構件的吊裝是整個冷卻塔施工中的重點和難點，預制構件總共1000多件，而且結構復雜，預制構件的吊裝是施工中我們遇到的重大技術難題，為克服這一難題，我們對傳統的冷卻塔構件吊裝技術進行改進，取得了突破，具體如下：

傳統的冷卻塔預制構件吊裝是在筒壁施工到中央豎井高度后停止施工，從塔外吊裝預制構件，這一技術的特點是施工方便，但工期慢，不易對預制構件進行防護。我們決定先進行筒壁施工，筒壁完成后，吊車進入塔內吊裝預制構件（經設計同意預留一對“人”字柱不施工，作為吊車及車輛出入口，吊裝完成后恢復），而且將塔內半徑R=15m處的預制柱杯口基礎預留不做，留出吊車的行走路線。施工其它杯口基礎時預留的杯口基礎在一旁預制，吊裝時逐個就位。吊車進入塔內的跑道采用枕木搭設，同時可作為預制構件運輸車輛進入的跑道。吊裝時兩臺吊車同時作業依次后退吊裝。按正常工期需要30d的時間，我們只用了13d時間就完成全部吊裝任務，效果非常顯著，得到社會各界的好評。

篇9

關鍵詞：定理；橢圓；雙曲線；離心率

求橢圓、雙曲線離心率一般涉及解析幾何、平面幾何、代數等多個知識點，綜合性強方法靈活，解題關鍵是挖掘題中的隱含條件，可先找出含a，b，c的等式關系，再求離心率. 在教學過程中，筆者發現橢圓、雙曲線另一組離心率公式給我們解決某一類離心率問題會帶來意想不到的“神奇”效果！現用定理的形式敘述并證明.

離心率公式

定理1（如圖1）設橢圓+=1（a>b>0）的兩個焦點為F1，F2，P是橢圓上異于長軸端點的任意一點，在PF1F2中，記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是橢圓的離心率，則有=e.

圖1

證明在PF1F2中，==，則=.

所以=?圯==e.

定理2（如圖2）設雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個焦點為F1，F2，P是雙曲線上異于實軸端點的任意一點，在PF1F2中，記∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，∠F1PF2=γ，e是雙曲線的離心率，則有=e.

圖2

證明在PF1F2中，==，則=.

=，

所以=?圯==e.

定理3（如圖3）設A，B是橢圓+=1（a>b>0）的長軸兩端點，P是橢圓上異于A，B的任意一點，∠PAB=α，∠PBA=β，e是橢圓的離心率，則tanαtanβ=1－e2.

證明設P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）＝kPB=，

所以tanβ=－，

所以tanα•tanβ=－•= -.（1）

又+=1，所以y=b21-=（a2-x），代入（1），

所以tanα•tanβ=-•（a2-x）===1－e2.

定理4（如圖4）設A，B是雙曲線－=1（a>b>0）的實軸兩端點，P是雙曲線上異于A，B的任意一點，∠PAB=α，∠PBA=β，e是雙曲線的離心率，則tanαtanβ=1－e2.

證明設P（x0，y0），又A（－a，0），B（a，0），tanα=kPA=，tan（π－β）=kPB=，

所以tanβ=－，所以tanα•tanβ= －•=-.?搖 （2）

又-=1，y=b2-1=（x-a2），代入（2），

所以tanα•tanβ=-•（x-a2）= -=-=1－e2.

注：若橢圓、雙曲線的焦點在y軸，或中心不在原點，同樣得到相應的結論.

公式應用

例1如圖5，正六邊形ABCDEF的頂點A，D為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B，C，E，F均在橢圓上，求橢圓的離心率.

圖5

分析本題關鍵是從正六邊形ABCDEF中找出一個內角都已知的橢圓的焦點三角形，如EAD，這樣可利用定

理1直接求解.

解析如圖5，連結AE，易知∠AED=90°，∠DAE=30°，∠ADE=60°.

由定理1得e====－1.

點評：本題也可設出正六邊形的邊長，利用橢圓的定義進行求解.

例2（2007安徽）如圖6，F1和F2分別是雙曲線-=1（a>0，b>0）的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以OF1為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）

A. B.

C. ?搖 D. 1+

圖6

分析解本題的關鍵是尋找一個內角都已知的雙曲線的焦點三角形，如AF1F2，這樣可利用定理2直接求解.

解析如圖6，連結AF1，由于ABF2是正三角形，利用對稱性得∠AF2F1=30°. 又因為F1F2是圓O的直徑，所以∠F1AF2=90°，∠AF1F2=60°. 由定理2得

e====1+，故選D.

點評本題也可求出A點坐標－c，c，再將此坐標代入雙曲線方程，且利用b2=c2－a2進行求解，比較麻煩.

例3（東北區三省四市2008年第一次聯合考試）橢圓的長軸為A1A2，B為短軸一端點，若∠A1BA2=120°，則橢圓的離心率為（）

解析由橢圓的對稱性可知A1BA2是等腰三角形. 又∠A1BA2=120°，所以∠BA1A2=∠BA2A1=30°. 由定理3得

tan∠BA1A2•tan∠BA2A1=1－e2，

即 tan30°•tan30°=1－e2?圯•=1－e2，e2=，所以e=，故選B.

點評本題也可由tan30°=，再利用e=求解.

例4設ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，則以A，B為頂點且過點C的雙曲線的離心率為 .

解析因為ABC是等腰三角形，且∠ABC=120°，所以∠BAC=30°. 由定理4得

tan∠BAC•tan∠ABC=1－e2?圯tan30°•tan120°=1－e2?圯•（－）=1－e2，

?圯e2=2，所以e=.

點評本題也可設AB=BC=2a，求出C點坐標（2a，a），而后代入雙曲線方程-=1（a>0，b>0），再利用e=求解.

篇10

萊蕪地區在冬季盛行西北風,冬季氣溫一般都在零度以下,極端最低溫度為-22.5℃。由于空氣溫度、濕度等氣象條件的變化,冷卻塔的冷卻幅度要比其它季節高3-4℃,因此冷卻塔極易出現掛冰現象,嚴重時,數百噸的冰柱懸掛在塔體,對冷卻塔的安全運行帶來很大威脅。若不采取相應措施,則冷卻塔填料會掛冰、冷卻塔集水池也會結冰,冷卻塔承重支柱、填料托架、PVC配水管、淋水填料等將發生凍結損壞,因此,冷卻塔如何安全越冬就成了亟待解決的問題。為此我們經過多方研究和分析,決定通過增加防凍管和改變冬季的運行方式來解決冷卻塔嚴重結冰的問題。

2防凍管選用的原因及分析

2.1冷卻塔的防冰,應用較多的是懸掛檔風板和增加防凍管。

2.2在冷卻塔的進風口懸掛擋風板:一是可以改善進風口的保溫條件,使該區域的水流不受寒風侵襲;二是可以減少進入塔內的空氣量,使進風口處易結冰的區域得以改善。但由于檔風板安裝和拆除很不方面,并且需要隨季節變化及時進行安裝與拆除,成本較高,此涼水塔面積大、立柱高,因此不適合懸掛擋風板防凍的辦法,需要采用其他辦法進行防凍。

2.3在冷卻塔的進風口安裝防凍管

2.3.1原因:針對現用設備的運行方式,結合設備系統、布置及結構,保證冷卻水塔冬季防凍的措施并進行了實施。

冬季凝汽器進出水所產生的溫差較大,可以作為防凍管熱水的來源,不需要再增加其他的動力設備和輔助設備,從而降低了水塔防凍的費用支出。

防凍原理:防凍管是在冷卻塔配水系統的(進風口處)安裝循環水管,管子的下部均勻地開很多圓孔,通過噴灑熱水來防止結冰。其原理是:防凍管噴灑的熱水預熱了進入冷卻塔的空氣,相當于改變了淋水填料運行的大氣環境;在冷卻塔進風口處形成水簾,增加了空氣的流動阻力,限制了冬天冷卻塔的進風量。改造后可以提高冷卻塔內的溫度,達到預防結冰的效果。

2.3.2防凍管的優點:一次性投資,投資小,操作方便,且投入使用后,在水塔防凍方面不需再發生任何費用,不用每年根據季節繁瑣地進行安裝和拆除,節約了大量的人力和物力。

3技改措施

3.1對涼水塔實施了增加防凍管的改造,此防凍管為Φ400cm碳鋼管道,在循環水回水母管上接出,安裝一手動閥門和一電動閥門(把信號引入主控室電腦,實行遠程控制和現場控制相結合的控制措施),在布水裝置下部,高度約6米,緊貼涼水塔內壁呈環形分布,環形管內側斜向下開與立柱成45度夾角的Φ10-20mm的一排小孔,小孔間距為100mm,為保證小孔噴水的壓力,小孔的總面積小于或等于防凍管的底面積,小孔數目=防凍管低面積/單個小孔面積=713個。投資預算如下所示:

名稱

型號

單位

數量

價格(萬元)

碳鋼管

Φ400cm

噸

40

20.00

電動閥

DN400

個

1

0.8

截止閥

DN400

個

1

0.2

人工費

5.00

合計

26.00

示意圖如下所示:

循環水

3.2操作方法簡單易行,冬季開啟閥門,春、夏、秋關閉即可。

4調控措施和效果及效益

4.1 不同情況下的使用方法:冬天氣溫不是很低,未出現很大的冰柱時,打開防凍管進水閥門即可,使水溫不是很高的循環水經過防凍管分布到涼水塔周邊即可,改善了水塔內的環境,降低了水塔周圍冷空氣的進入,減少了結冰的幾率。

4.2改變運行方式提高回水溫度減少結冰:當外界氣溫急劇下降,循環水回水溫度較低(在4℃-8℃),涼水塔周圍開始出現較大結冰現象時,我們通過汽輪機凝汽器的余熱來解決結冰問題,具體作法是:通過調整旁通閥開度,提高循環水溫度,然后再經過防凍管,通過淋水減少結冰程度。

當循環水溫度低于15℃時,則打開旁通閥,不使用防凍管,使循環水直接進入塔池,當循環水回水溫度上升到20℃以上時,則關閉旁通閥,打開防凍管,使防凍管淋水溫度在短時間內達到20℃以上,從而改變了塔內的溫度,防止了大面積結冰的發生。反之,循環水溫度高于20℃時,則關閉旁通閥,打開防凍管,按正常方式噴水提高溫度,防止結冰。通過這樣往復操作,將循環水溫度始終控制在15℃-25℃之間,制定了具體的冷卻塔防凍管調溫方案,見下表

室外溫度

塔池水溫

回水溫度

旁通閥開度

-10℃以下

3-4℃

8-15℃

50°~75°

-5-10℃

8-10℃

13-15℃

25°~50°

0-5℃

10-15℃

15-20℃

0°~25°

5℃以上

15℃以上

25℃以上

0°

4.3效果:該防凍管自07年冬天投運以來,未出現大面積的結冰現象,特別是08年幾次寒流帶來的大幅度降溫(最低溫度零下15攝氏度)都未出現大面積的結冰現象(見下圖),經受住了寒冬的嚴峻考驗,保證了整個區域循環水的穩定供應工作。

4.4效益

4.4.1、避免了冷卻塔出現大面積的結冰現象,也防止了冷卻塔承重支柱、填料托架、PVC配水管、淋水填料等發生凍結損壞。更換一次約需資金30多萬元。安裝后更換頻率可由3年增加到6年,可增加效益:30萬元*2-30萬元=30萬元,每年降低成本30萬元/6=5萬元。

4.4.2、冬天如果出現結冰后數百噸的冰柱懸掛在塔體,對冷卻塔的安全運行帶來的威脅,停機消除冰柱(三天)一次所造成的損失如下:

(4.5萬KWh*24*3)*0.2+(2萬Kwh*24*3)*0.2元=93.6萬元(4.5萬是指5萬的機組每小時發的電,0.2是指每度電的效益)。

4.4.3、如果采用懸掛擋風板,擋風板損壞頻率大,更換周期不到三年,一次約需資金15萬余元,每年降低成本15萬元/3=5萬元。

防凍管的使用年限15年,則每年成本26萬元/15=1.8萬元。

綜上所述:每年可以增加效益