導語：如何才能寫好一篇求函數值域，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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關鍵詞： 函數 函數值域 方法

1.觀察法

對于一些簡單的函數，可在定義域及函數對應關系基礎上確定函數的值域，這叫觀察法。

由于函數值域是對應于函數定義域的函數值集合，因此首先要考察函數結構。在此基礎上，從定義域出發，逐步推斷出函數的值域。

例1：求函數y=（x-3）的值域。

解：函數定義域為-1≤x＜1，又≥0，x-3＜0，y≤0，即函數值域y∈（-∞，0］。

2.反函數法

如果函數在定義域內存在反函數，而求函數值域又不易求解時，可在通過求反函數的定義域的過程中而使問題獲解，叫反函數求函數值域的方法。

即由y=f（x），反解出求函數x=f（x），原函數值域包含在f（y）的定義域中。然后分析二者的關系以確定函數值域。此法的成功取決于反解成立，分析正確，并注意在反解過程中保持同解性。

例2：求函數y=+，x∈（0，1］的值域。

錯解一：y=+≥2，函數值域y∈［2，+∞）。

剖析：當x=（0，+∞］時，結論x=［2，+∞）才是正確的。但當x∈（0，1），這個結論就不可靠了。

錯解二：y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈R，4y-16≥0，解得y≤-2或y≥2。

函數值域為（-∞，-2］∪［2，+∞）。

剖析：以上求出的結果，只能是x∈（-∞，0）∪（0，+∞）時函數的值域，解法二同樣忽略了0≤x≤1了這一限制條件，而x∈（0，1］的值域用“判別式法”是無法解決的。

正解：（反函數法）y=+?圳x-2yx+4=0，

x∈（0，1］，y≥2，y+≥2（1），方程（1）的根只能是x=y-，由0＜y-≤1，解得y≥，函數值域為［，+∞）。

3.轉化法

利用已知值域的函數或所給函數的定義域，作為“媒介”，將待求值域的函數式變形。通過適當的運算，求得所給函數的值域。將所求函數值域問題轉化為熟知的基本初等函數的值域問題，常能化難為易。

例3：求函數y=的值域。

解：由函數表達式得：2sinx+ycosx=3-y?圳sin（x+θ）=3-y，其中θ由sinθ和cosθ=確定。

|sin（x+θ）|≤1，（）≥（3-y）?圳y≥，即原函數值域y∈［，+∞）。

4.不等式法

運用不等式的性質，特別是含等量的不等式，分析等號成立的條件，以確定函數值域，叫不等式求函數值域的方法。

例4：已知α∈（0，π），求函數y=sinα+的值域。

錯解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+≥2=2，函數值域為［2，+∞）。

剖析：由于忽略了“當且僅當sinα+時上式才能取等號”，但因|sinα|≤1故sinα≠，因此上式不能取等號，至少應有y≠2。

正解：α∈（0，π），sinα＞0，＞0，sinα+=sinα++≥3≥3。

當且僅當sinα=，即sinα=1時，上式能全取等號。

小結：用“不等式法”求函數值域，主要是利用“幾個正數的算術平均值不小于其幾何平均值”，但須注意取等號時條件是否能得到滿足。

5.最值法

由于初等函數在其定義域內是連續的，所以我們可以通過求函數在定義區間內的最大值，最小值的辦法，并求函數的值域。

例5：求函數y=的值域。

解：由函數定義域知，cosx∈［-1，-）∪（-，1］。

（1）當cosx∈［-1，-）時，y=x+=1-（-1），（）=-1，注意到cosx?邛（-），y?邛-∞-∞＜y≤-1。

（2）當cosx∈（-，1］時，（1+2cosx））=-1，（）=，注意到cosx?邛（-），y?邛+∞，≤y＜+∞。

故函數值域為（-∞，-1］∪［，+∞）.

一般二次函數的值域常用此法求解。有些高次整函數也可用此法。

6.判別式

根據一元二次方程ax+by+c=0有實根時，=b-4ac≥0。的性質，求函數值域的方法叫做判別式法。

例6：求函數y=2x-7x+3的值域。

解：2x-7x+3-y=0，且x∈R，=b-4ac=49-8（3-y）≥0，y≥，該函數值域為［，+∞）.

此法可用于行如：y=（A，P不同時為零，分子分母無公因式）的函數的值域。但必須強調：（1）是既約公式；（2）驗證端點值是否能取到；（3）整理成行如一元二次方程的形式后，若平方項系數含字母要討論；（4）若定義域人為受限，則判別式法失效。

7.換元法

通過代數換元法或者三角函數換元法，把無理函數、指數函數、對數函數等超越函數轉化為代數函數求函數值域的方法叫換元法。

例7：已知函數f（x）的值域是［，］，求y=f（x）+的值域。

解：f（x）∈［，］，≤f（x）≤，故≤≤。令t=，則t∈［，］。有f（x）=（1-t），y=g（t）=（1-t）+t=-（t-1）+1，由于g（t）在t∈［，］時單調遞增

當t=，y=，當t=，y=，

y=f（x）+的值域是［，］.

8.圖像法（數行結合法）

通過分析函數式的結構、定義域、單調性、奇偶性、極值等。確定若干有代表性的點，勾畫出函數的大致圖形，從而確定函數的值域。

例8：求函數y=|x-1|+x的值域。

解：原函數可以表達成：當x≤-1或x≥1，y=|x-1|+x=（x+2）-；當-1≤x≤1，y=|x-1|+x=-（x+）+。

作出函數圖像（見圖1）

由圖像知函數值域為［-1，+∞）。

9.單調性法

利用函數單調性，先求出函數的單調區間，再求每個區間上函數的值域，最后取其并集即得函數值域。

例9：求y=x-的值域。

解：y=x和y=-均為單調增函數，

y=y+y=x-為增函數，由定義域x≤知y=，故y≤.

10.配方法

如果給定一個復合函數，y=f［g（x）］，若g（x）或f（x）可以視為一元二次多項式，則要用配方法求其函數值域。

例10：求y=x+的值域。

解：y=x+=1-（-1），在定義域x≤內，顯然有（-1）≥0，y≤1，函數值域為（-∞，1］。

本文僅從求函數值域的十種常用方法談起，在不同的文獻中可能會有與本文有出入的其它不同的方法，但解法大致相同，如構造法、極限法、解析法、復數換元法、三角代換法、恒等變換法、有理化法等。當然，本論文求函數值域的方法不是一成不變的，應在多次解題過程中綜合并靈活應用這幾種方法。

參考文獻：

［1］董艷梅，吳武琴.求函數值域的常用方法［J］.昆明冶金高等專科學校學報，1999，15，（2）：19-23.

［2］王英.求函數值域的技巧方法探討［J］.南都學壇（自然科學報），2001，21，（3）：115-117.

［3］侯劍方.求函數值域的幾種方法［J］.中學數學，2002，（3）：28-30.

［4］譚廷經.求函數值域的幾種初等方法與常見錯誤剖析［J］.中學數學教學，1995，（3）：28-30.

［5］張秦.求函數值域的方法與技巧［J］.榆林高等專科學校學報，1997，7，（4）：46-49.

［6］林如愷，江杰.求函數值域的幾種方法［J］.樂山師范高等師范專科學校學報，1999，（3）：100-103.

［7］王慧賢，張莉.求函數值域的幾種方法［J］.白城師范高等師范專科學校，2001，15，（4）：40-42.

［8］純剛.求函數值域的方法與技巧［J］.安順師專學報（自然科學報），1996，（4）：53-60.

［9］趙振威.中學數學方法指導［M］.北京：科學出版社，1999：71-75.

篇2

例1：求函數y=■的值域。

解：原函數變形為關于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函數定域為R。上述方程在x∈R內有實根。

（1）當y-2=0時,方程化為13=0在x∈R內無實根,不合題意，故y≠2；

（2）當y-2≠0時, 上述方程為一元二次方程, 要使該方程在x∈R內有實根, 必須滿足?駐=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。

綜合(1)(2)，得原函數的值域為[－■,2)。

例2：求函數y=■的值域。

解：原函數變形為關于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函數的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有實根。

（1）若y-2=0，方程化為x-3=0，其在上述區間內有實根，此時y=2；

（2）若y-2≠0，方程為一元二次方程，要使其在上述區間內有實根只須?駐=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。

綜合(1)(2)，得原函數值域為(-∞,■ ]∪[■,+∞)。

例3：已知x＞■，求函數f(x)=■的值域。

解：原函數變形為關于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函數定義域為（■,+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，則?駐≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?駐≥0，（x1-■)(x2-■)

即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，

或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，

解得y≥1。原函數的值域為[1,+∞)。

例4：已知函數f(x) =log3■的定義域為R，值域為(0 , 2)， 求m、n的值。

解：f(x) 的值域為(0,2)，■∈[1,9]，設y=■, 則1≤y≤9, 化為關于x的方程為(y-m)x2-8x-y-n=0，由函數定義域為R知，上述方程在R內有實根。

（1）若y-m=0，則上述方程化為一元一次方程8x+m-n=0在R內有實根，此時y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。

（2）若y-m≠0，上述方程為一元二次方程,要使其在R內有實根,則?駐=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，關于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的兩根為1和9。由韋達定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■

綜合（1）（2），得m=n=5。

注意：（1）“判別式法”的解題思想是：函數在D內有意義等價于方程在D內有實根。（2）用判別式之前，必須先考慮x2的系數是否為0。（3）一元二次方程在D內有實根：若D=R，則只須?駐≥0；若D≠R，則除了?駐≥0外，還須考慮實根在D內的具體分布情況。

篇3

三角函數中的求值問題主要有：已知某三角函數，求另外某些三角函數值或三角式的值；已知某三角函數式的值，求某些三角函數或三角式的值，求某些非特殊角的三角式的值等幾類，解決這類問題不僅需要用到三角函數的定義域、值域、單調性、圖像以及三角函數的恒等變化，還常涉及到函數、不等式、方程及幾何計算等眾多知識，這類問題往往概念性強，具有一定的綜合性和靈活性。我以為就三角函數的求值與計算應注重以下問題：

一、三角函數式的化簡：

（1）常用方法：①直接應用公式進行降次、消項；②切割化弦，異名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化簡要求：①能求出值的應求出值；②使三角函數種數盡量少；③使項數盡量少；④盡量使分母不含三角函數；⑤盡量使被開方數不含三角函數

二、三角函數的求值類型有三類：

（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系，利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；

（2）給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如 等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；

（3）給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所求角的范圍及函數的單調性求得角。

三、三角等式的證明：

（1）三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端的化“異”為“同”；

（2）三角條件等式的證題思路是通過觀察，發現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。

例題（1）若 ，化簡

主要口訣：化異分母為同分母，脫去根式符號化簡

解析：由已知可知， 在第Ⅱ象限，所以 在Ⅱ、Ⅲ象限。

原式=

= =

=

例題（2）已知函數f（x）=- sin2x+sinxcosx.

（Ⅰ） 求f（ ）的值；

（Ⅱ） 設 ∈（0， ），f（ ）= - ，求sin 的值.

例題（3）求證：tan x - tan x =

思路分析：本題的關鍵是角度關系：x= x - x，

右式= =

= tan x - tan x。

=

思路分析：將左式分子中“1”用“sin2α+cos2α”替換，

左邊= = = =右邊

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一、 忽視負號，生搬硬套

問題1 求函數F（X）=-的值域，函數g（x）=+ 的值域。

問題2 求函數f（x）=x+3-1-x的值域，函數g（x）=x+3+1-x的值域。

簡析：教師應重點強調雙根式型和雙絕對值型函數值域問題求解的基本方法和特殊方法，尤其是易錯點。上面兩組問題在函數表達式的結構形式上只差一個負號，但在解法上不一樣，學生容易類比遷移解題，出現錯誤，具體解法如下。

問題1：易知函數的定義域{x？誆-3≤x≤1}，由于函數y=為遞增函數，函數y=-也為遞增函數，根據在公共定義域中，“增函數+增函數=增函數”的單調性質，函數f（x）為遞增函數。

f（-3）≤f（x）≤f（1），即-2≤f（x）≤2。

顯然函數g（x）不能根據“增+減=增（減）”的單調性進行判斷，而采用等價轉化的形式來處理，由于+≥0，故g2（x）=4+2。

4≤g2（x）≤4+2=8，且g（x）≥0。

2≤g（x）≤2。

該題另一解法雙換元后數型結合處理，令u=，v=，則u2+v2=4（u，v≥0）且直線l∶u+v=y，即直線v在軸上的截距等于y，數型結合易知y∈[2，2]。

問題2：該類雙絕對值型解法有三種，在利用絕對值不等式性質解題時易出錯。絕對值不等式性質：a-b≤a±b≤a+b，具體解法如下。

x+3-1-x≤（x+3）+（1-x）=4，

-4≤x+3-1-x≤4，即-4≤f（x）≤4，本題易錯認為（x+3）-（1-x）≤4。

而x+3+1-x≥（x+3）+（1-x）=4，即g（x）≥4。

另一解法是利用絕對值的幾何意義，轉化為數軸上的點到點-3與1距離之差或距離之和，說明 -3與1兩點將數軸化分為三段，結合數軸易找出答案。還有一種解法是去掉絕對值，劃分為三段的一次分段函數，做出圖像，由圖像可知。

點評：利用函數的單調性求值域是常見的方法，除導數法處理外，復雜函數的形成大體分兩類，第一類由基本初等函數加減乘除四則運算組合而成，另一類由復合而成。但對單調性的處理截然不同，第一類要熟記一些性質，如增+增=增，增—減=增，第二類的處理根據同增異減的法則處理。

二、名稱不一，方法有別

問題3 求下列函數的值域：①y=的值域，②y=。

簡析：易發現這兩個函數的分母只有函數名稱不一樣，可解法截然不同，同名的可用函數的有界性解決，異名的應用數型結合更方便。

解： ①函數y=的定義域sinx+2≠0，

x∈R，原式可化為sinx=。

由于-1≤sinx≤1，則-1≤≤1，轉化為分式不等式組，后解略。

②y==，可看做過定點（-2，1）與動點（cosx，sinx）連線的直線斜率，由于動點是單位圓上的點，

看做過點（-2，1）向單位圓引的兩條切線的斜率，由=1解出k=0或k=-，即-≤sinx≤0，

另解也可用有界性，原式可變為： sin（x+θ）= （tanθ=-），由≤1，兩邊平方可解出，后略。

三、不顧定義，亂用均值

問題4 求下列函數的值域：①y= 的值域，②y=的值域。

簡析：上兩式分子的常數不一，可利用的思想完全不同，如果不細心函數的定義，通用均值不等式法，有點畫蛇添足。兩式可化為y=x+（a>0，x>0），使用均值不等式，忽視均值不等式成立的“一正二定三相”等條件，尤其是取最值時，自變量是否在定義域內，否則，利用單調性判斷，

錯解①原式可化為y=+ ，令t=≥2，

函數y=t+ ≥2 =2，當且僅當t=時，即t=1取等號，顯然不在定義域中。

正確解法：函數y=t+（t≥2）在[2，+∞）遞增，y≥2+=。

②原式可化為y=+ ，令t=≥2，

函數y=t+≥2=4 ，當且僅當t=時，即t=2取等號，x=0取最小值。

四、次數之分，換元有別

問題5 求下列函數的值域：①f（x）=x+的值域，②f（x）=x+。

簡析：運用換元法將所給函數的解析式化為較易求解的函數，上兩式根號里有次數之別，全用換元思想，當次數是一次時用代數換元，形如f（x）=ax+b+（c≠0）的用普通換元法，轉化為二次函數值域的求解，表達式中含有結構的用三角換元法。

解①f（x）=x+的定義域為{x│x

令t= （t≥0），則x=1-t2，f（x）=-t2+t+1=-（t-）2+，

f（x）≤。

② 令t=sinθ （-≤θ≤） ，f（x）=sinθ+cosθ=sin（θ+），

-≤θ≤，

-≤θ+≤， -≤sin（？漬+）≤1。

-1≤f（x）≤。

篇5

1.含有二次根式的二次型

[分析]觀察其中自變量x出現的位置及其指數的情況,可以發現加號前面的有理項中的x的次數是加號后面無理項中的 x 的次數的2倍(前面的 x 是一次的,后面的 x 是二分之一次的),這兩項構成了事實上的二次項和一次項的關系,因此可以使用換元法轉化成二次函數的值域問題.

說明:使用換元法的時候,無論在什么情況下,都要保證新的變元與換掉的代數結構的取值范圍相一致,這圍,以防出錯.

2.含有指數式的二次型

例2:求函數 y =4 x + 2 x+1 +3的值域.

[分析]根據指數式的運算法則,4 x =(22)x= (2 x)2,2 x+1 = 2 x?2 1 = 2?2 x,因此可考慮把原函數看成是關于 2 x 的二次函數來解決問題.

解: y =(2 x)2 + 2?2 x+3,令2 x=t,則 t >0,且

y = t2 +2 t +3=( t +1)2+2,( t >0).

t >0,y>(0+1)2+2=3.

函數 y = 4 x+2 x+1 +3 的值域為( 3,+∞).

3.含有對數式的二次型

例3:求函數 y =( log 2 x )2+log 2 x2+2 的值域.

[分析]根據對數的運算法則,log 2 x2=2 log 2 x,因此可以把原函數看成是關于 log 2 x 的二次函數.

解:y=( log 2 x )2 +2 log 2 x+2,令log 2 x = t,則 t∈R,且 y = t 2+2 t+2=( t+1 )2+1,( t∈R ).

函數y=(log 2 x)2 + log 2 x2+2 的值域為 [1,+∞).

4.含有特殊三角函數式的二次型

例4:求函數 y = cos2x+4sinx 的值域.

[分析]原函數是由兩個不同名也不同角的三角函數相加而成,因此先要根據二倍角公式 cos2 x=1-2sin2 x,將它們化成同角同名的三角函數.這樣就可以把原函數看成是關于 sin x 的二次函數了.

解:cos2x=1-2sin2x ,y=1-2sin2x+4sinx.

令sinx= t,則-1≤ t ≤1,

并且 y =-2 t2+4 t+1=-2(t-1)2+3.

-1≤t≤1,

-2(-1-1)2+3≤y≤-2(1-1)2+3,即-5≤y≤3.

篇6

關鍵詞：函數值域解題技巧解題方法

函數是數學學習中的一個重要內容，它與日常生活有著密切的聯系。而值域在函數的應用中具有重要地位，它貫穿于整個高中數學的始終。求函數值域的方法比較靈活，它所涉及的知識面較廣，用到的數學思想方法較多，是數學考查的基本內容。研究函數值域，必須仔細觀察函數解析式的結構特征，采取相應的解法，靈活機動地“變通”。以下通過幾個例子說明常見函數值域的幾種常規求法。

一、配方法

點評：單調性在此類問題中的比重較大，也比較靈活，可以和其他函數性質綜合來考察，因此此類型需要重點關注

總結上面介紹了求函數值域的幾種方法，可以讓人更清晰明了地了解各種方法.但是了解方法與掌握方法是不同層次的要求。要掌握一種方法，一定要熟悉這一方法運用的全過程。要掌握求函數值域的方法，就要反復地練習、使用，學會如何避免使用一些方法時可能產生的錯誤。并且要多動腦，多思考鉆研，擅于從解題中總結經驗.其次，要熟悉一些關于初等函數值域的結論，因為它是求復雜函數的基礎。必要時，可以將較復雜的函數分解、轉化為基本初等函數來求值域。總之，求函數值域的方法多樣，很多題目解題方法不唯一。關鍵是要正確選用合適的求值域的方法，根據函數的結構，特點以及類型等選擇合適的方法。這就要求我們要靈活變通，才能找到簡便巧妙的方法。而且，函數值域跟定義域和對應法則相關，不僅要重視對應法則的作用而且要特別注意定義域的約束作用，以免錯解。這樣，做到了對求函數值域的各種方法有一定的透切的了解，并且能夠清楚每個需要注意的問題之后，我們就會“心中有數”。

參考文獻：

[1]求函數值域的方法簡介-中國基礎教育研究 - 趙建新 2007年1月第1期

篇7

關鍵詞：高中數學 函數定義域 思維品質

學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數的學習。用集合的觀點定義了函數，進而開始了對函數的研究。然而，不管是求函數解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）

故函數關系式為：S=x（50-x） .

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍： 0

即：函數關系式為：S=x（50-x） （0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現了思維的嚴密性，培養學生此項品質是十分必要的。

另外如：y=x和 雖然對應關系相同，但定義域不同，也是不同的函數。

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例2：求函數 的值域.

錯解：令

故所求的函數值域是 .

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數 在[0，+∞）上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數值域是[1， +∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。

求函數值域，往往也會想到函數最值的求解。這里以二次函數

為例舉例說明。

例3：求函數 在[1，4]上的最值.

解：

當 時，

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函數 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：求出函數f（x）=1n（4+3x-x2）的單調區間.

解：先求定義域：

函數定義域為（-1，4）.

令 ，知在 上時，u為減函數，

在 上時， u為增函數。

又

即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。

四、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數 的奇偶性.

解： 定義域區間 不關于坐標原點對稱

函數 是非奇非偶函數.

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性可能得出如下錯誤結論：

函數 是奇函數.

綜上所述，在求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養學生的數學思維品質，激發學生的創造力。

參考文獻：

篇8

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）24—0090—01

反函數是函數研究中的一個重要內容，是函數教學的一個重點，也是學生學習的難點.在反函數教學中稍有不慎就會走入誤區，有些錯誤觀點甚至在一些輔導資料中以謬傳謬，造成誤導.這里列舉出求解反函數相關問題的幾種常見錯誤，并提出相應的對策.

誤區之一 求反函數時忽視了原函數的值域

眾所周知，兩個函數若定義域不同，即使對應法則相同，也不是相同的函數.原函數的值域是反函數的定義域，若忽視了原函數的值域，則解得的結果不一定正確.

例1 求函數y=1-■（-1≤x

錯解：由y=1-■得（y-1）2=1-x2， x2=1-（y-1）2.

又-1≤x

剖析： 原函數的值域為（0，1），故反函數的定義域為（0，1），而上述解法所得的反函數的定義域為[0，2]，顯然不是原函數的反函數.

誤區之二 求反函數時忽視了原函數的定義域

有些函數其本身不存在反函數，但在其單調區間內反函數存在.在求這類函數的反函數時，除注意其值域外，同時也要注意其定義域，根據其定義域對求得的x合理取舍.

例2 求函數y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的反函數.

錯解： 函數y=-x2+4x+2 （0≤x≤2）的值域為y∈[2，6]，又y=-（x-2）2+6，即（x-2）2=6-y，x-2=

±■.

所求的反函數為y=2±■ （2≤x≤6）.

剖析： 上述解法中忽視了原函數的定義域 ，沒有對x進行合理取舍，從而得出了一個非函數表達式.

誤區之三 混淆復合函數的反函數與反函數的復合函數兩個不同的概念

函數y=[φ（x）]的反函數指的是復合函數g（x）=[φ（x）]的反函數g-1（x），而函數y=f-1[ φ（x）]指的是y=f（x）的反函數y=f-1（x）中的x用φ（x）代替得到的解析式，即y=f（x）的反函數的復合函數，這兩個函數一般是不同的.

例3 已知函數f（x）=2x-1，求f（x+1）的反函數.

錯解：由f（x）=2x-1可求得其反函數為f-1（x）=■x+■，從而所求的反函數為f-1（x+1）=■（x+1）+■=■x+1.

剖析：上面解法錯誤的原因是誤認為函數f-1（x+1）是復合函數f（x+1）的反函數.事實上，函數y=f（x+1）的映射法則已不再是“f”了，當然“f-1”不是它的逆映射，正確的解法是：令g（x）=f（x+1）=2（x+1）-1=2x+1，解得g-1（x）=■x-■，即f（x+1）的反函數為g-1（x）=■x-■.

誤區之四 盲目利用反函數求函數值域

在反函數存在的前提下， 某些函數運用反函數法求函數的值域的確是一種好方法，但通過反函數的定義域求原函數的值域，邏輯上屬于循環解答.習慣上是將反函數的解析式有意義的x的取值范圍作為原函數的值域.運用這種方法求函數值域只有在等價變形的前提下才是正確的.

例4 求函數y=■（x>0）的值域.

錯解 ： 由函數y=■ 可求得反函數為y=■，其反函數定義域為x∈（-∞，3）∪（3，+∞），從而原函數的值域為{y|y∈R且y≠3}.

剖析： 由于x=■>0，可求得原函數的值域為（■，3），而不是（-∞，3）∪（3，+∞），造成錯誤的原因是求解x時， 用x≠-2代替了原函數的定義域x>0，這是一種不等價的變形.

篇9

關鍵詞：對數函數；性質；圖像

探究一：對數函數有關的定義域、值域

例1.求下列函數的定義域

方法歸納：

1.求與對數函數有關的函數定義域時應遵循的原則：分母不能為0，根指數為偶數時，被開方數非負，對數的真數大于0，底數大于0且不為1。

2.求函數定義域的步驟：列出使函數有意義的不等式組，化簡并解出自變量的取值范圍，確定函數的定義域。

（3）函數y=2+log2x（x≥1）的值域為（C）

A.（2，+∞） B.（-∞，2） C.[2，+∞） D.[3，+∞）

方法點撥：可以直接利用對數函數的單調性求出函數的值域，也可以借助對數函數的圖像求出函數的值域，更加直觀、形象。

探究二：對數型函數單調性的應用（重點）

例2.比較下列各組對數值的大小

方法歸納：

對數值大小的比較方法有：

1.如果底數相同，真數不同，直接利用同一個對數函數的單調性來比較大小，如果底數為字母，則要分類討論。

2.如果底數不同，真數相同，可以利用圖像的高低與底數的大小關系解決，或利用換底公式化為同底的再進行比較。

3.若底數、真數都不相同，則常借助中間量1，0，-1等進行比較。

例3.復合函數單調性的判斷及應用

方法點撥：

求復合函數單調區間的步驟：

1.求出函數的定義域。

2.將復合函數分解為基本初等函數。

3.確定各基本初等函數的單調性及單調區間。

4.根據復合函數單調性的判斷方法求原函數的單調區間。

例4.利用函數單調性求函數值域

函數y=logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值與最小值的差是1，求a的值。

方法點撥：

通過對底數a的討論來確定此對數函數的單調性，進而可以確定究竟在區間的哪個端點處分別取得最大值和最小值，列出關于a的對數方程，求出a值。

例5.利用函數單調性求解對數不等式

已知log0.7（2x）

解題技巧：解對數不等式應根據對數函數的單調性轉化為關于真數的不等式，求解時應注意原對數式的真數大于0的條件，常見對數不等式類型如下：

對于函數圖像的掌握要求兩點：首先要求熟悉掌握各種基本初等函數的圖像，復雜函數的圖像都是由簡單函數的圖像通過平移、伸縮、對稱等變換而得到的。其次把握函數圖像的性質，根據圖像的性質去判斷，如：過定點、定義域、值域、單調性、奇偶性等。

探究四：對數型函數性質的綜合應用

例7.已知函數f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）（a>0，且a≠1）

（1）求f（x）的定義域；

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一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則,所以在求函數的關系式時學生必須考慮所求函數關系式的定義域,否則所求函數關系式可能是錯誤。如:

例1:某單位計劃建筑一矩形圍墻,現有材料可筑墻的總長度為100m,求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式?

解:設矩形的長為x米,則寬為(50-x)米,由題意得:

S=x(50-x),故函數關系式為:S=x(50-x)。

如果解題到此為止,則本題的函數關系式還欠完整,缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時,S的值是負數,即矩形的面積為負數,這與實際問題相矛盾,所以還應補上自變量的范圍:0

即:函數關系式為:S=x(50-x)(0

這個例子說明,在用函數方法解決實際問題時,學生必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響,若考慮不到這一點,就體現出學生思維缺乏嚴密性;若注意到定義域的變化,就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合,當定義域和對應法則確定,函數值也隨之而定。因此在求函數值域時,學生應注意函數定義域。如:

例2:求函數y=4x-5+的值域。

錯解:令t=,則2x=t+3,

y=2(t+3)-5+t=2t+t+1=2(t+)+≥,故所求的函數值域是[,+∞)。

剖析:經換元后,應有t≥0,而函數y=2t+t+1在[0,+∞)上是增函數,

所以當t=0時,y=1。故所求的函數值域是[1,+∞)。

以上例子說明,變量的允許值范圍是何等的重要,學生若能發現變量隱含的取值范圍,精細地檢查解題思維的過程,就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說,學生若能在解好題目后,檢驗已經得到的結果,善于找出和改正自己的錯誤,善于精細地檢查思維過程,便體現出良好的思維批判性。

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時,函數值隨著增減的情況,所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如:

例3:指出函數f(x)=log(x+2x)的單調區間。

解:先求定義域:

x+2x>0,x>0或x

令u=x+2x,知在x∈(-∞,-2)上時,u為減函數;在x∈(0,+∞)上時,u為增函數,

又f(x)=logu在[0,+∞)是增函數。

函數f(x)=log(x+2x)在(-∞,-2)上是減函數,在(0,+∞)上是增函數。

即函數f(x)=log(x+2x)的單調遞增區間(0,+∞),單調遞減區間是(-∞,-2)。

如果在做題時,學生沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性,就說明學生對函數單調性的概念一知半解,沒有理解。在做練習或作業時,只是對題型、套公式,而不去領會解題方法的實質,也說明學生的思維缺乏深刻性。

四、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性,應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱,如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱,則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如:

例4:判斷函數y=x,x∈[-1,3]的奇偶性。

解:2∈[-1,3]而-2[-1,3],

定義域區間[-1,3]關于坐標原點不對稱,

函數y=x,x∈[-1,3]是非奇非偶函數。

如果學生像以上這樣的過程解完這道題目,就很好地體現出解題思維的敏捷性。

如果學生不注意函數定義域,那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論:

f(-x)=(-x)=-x=-f(x),

函數y=x,x∈[-1,3]是奇函數。

錯誤剖析:以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成,這是學生極易忽視的步驟,也是造成結論錯誤的原因。

綜上所述,在求解函數關系式、單調性、奇偶性等問題中,如果我們能精細地檢查思維過程,思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說),對解題結果有無影響,就能提高學生質疑辨析能力,有利于培養學生的思維品質,從而不斷提高學生思維能力,有利于培養學生思維的創造性。

參考文獻:

[1]田萬海.數學教育學.浙江教育出版社.

[2]莊亞棟.高中數學教與學.中學數學教與學編輯部出版.