導(dǎo)語：股票市場多重分形論文一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點(diǎn)，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

內(nèi)容摘要：本文通過對我國和美國股票的收益率序列進(jìn)行多重分形分析，得出結(jié)論：兩國股票市場均具有多重分形性，我國股票市場的多重分形特征更明顯。實(shí)證研究又發(fā)現(xiàn)股票市場收益率不遵循隨機(jī)游動(dòng)，標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量不完全合適。結(jié)合兩國股票市場實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)的情況，得到風(fēng)險(xiǎn)與多重分形之間的對應(yīng)關(guān)系。

關(guān)鍵詞：收益率風(fēng)險(xiǎn)多重分形

資本市場理論認(rèn)為收益率遵循隨機(jī)游動(dòng)，其分布近似于正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)。實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)證券收益率不服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量不再合適。隨著對資本市場混沌特性的研究，人們開始用分形來研究風(fēng)險(xiǎn)問題。現(xiàn)階段隨著對金融市場分形性質(zhì)研究的進(jìn)一步加深，又產(chǎn)生多重分形問題，多重分形分析向人們展現(xiàn)了各個(gè)股市的混沌現(xiàn)象，使人們感覺到風(fēng)險(xiǎn)的存在。

本文研究的問題是：不同股票市場的風(fēng)險(xiǎn)不一樣，它們的多重分形特征也不同，那么風(fēng)險(xiǎn)與多重分形間有什么關(guān)系呢？利用MF-DFA方法對中、美兩國股票市場的多重分形特性進(jìn)行研究與比較，結(jié)合二者的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)情況，得到多重分形與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系。

證券市場風(fēng)險(xiǎn)的分形分析

當(dāng)今資本市場理論是以理性投資者、有效市場和隨機(jī)游動(dòng)三個(gè)關(guān)鍵概念為基礎(chǔ)，由于投資者的理性和市場的有效，收益率遵循隨機(jī)游動(dòng)。因此，收益率的概率分布近似于正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)，風(fēng)險(xiǎn)用收益率的標(biāo)準(zhǔn)差度量。但是，在對股票市場收益率分布進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)其明顯地不擬合于正態(tài)分布的。只有在其背后的系統(tǒng)是隨機(jī)的時(shí)候，標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量才有意義。股票市場收益率的分布不呈現(xiàn)正態(tài)，所以我們關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)的統(tǒng)計(jì)測度——標(biāo)準(zhǔn)差——亟需修正。

英國水文學(xué)家赫斯特在20世紀(jì)40年代研究了有偏隨機(jī)游走，提出一種新的統(tǒng)計(jì)量即Hurst指數(shù)(H)。赫斯特指數(shù)有三個(gè)不同的類型：(1)H=0.5；(2)0≤H<0.5；(3)0.5Mandelbrot在20世紀(jì)60年代再次對非隨機(jī)時(shí)間序列作了全面研究，指出證券市場收益率服從一族分形分布。分形維(D)描述一個(gè)時(shí)間序列如何填充其空間的，是所有對于生成這一時(shí)間序列的系統(tǒng)發(fā)生影響的因素的產(chǎn)物。分形維是由時(shí)間序列如何填充其空間決定的。Hurst指數(shù)與時(shí)間序列分形維的關(guān)系：D=2-H。一條線分形維為1，隨機(jī)時(shí)間序列的分形維為1.5。宋學(xué)鋒提出用“混沌度”度量系統(tǒng)的復(fù)雜性，其中分形維就是“混沌度”的組成部分。劉衛(wèi)東等人也提出用分形維度量證券投資風(fēng)險(xiǎn)。

證券市場的多重分形分析

隨著對金融市場分形性質(zhì)研究的進(jìn)一步加深，又產(chǎn)生了下述問題：一個(gè)分形維數(shù)能否很好地描述市場的分形結(jié)構(gòu)，價(jià)格增量的不同部分的相關(guān)性及其在時(shí)間軸上的分布是否一致。要回答這些問題必須對分形局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行更細(xì)致的研究。如果分形的局部結(jié)構(gòu)是均勻一致的，那么一個(gè)整體分形維數(shù)就能很好地描述它；如果分形結(jié)構(gòu)是非均勻的，僅用一個(gè)分形維數(shù)只能描述收益率波動(dòng)的宏觀面貌，無法對其局部進(jìn)行細(xì)致的刻畫，必須用多重分形來對局部結(jié)構(gòu)進(jìn)行更細(xì)致的分析。K.MATIA,Y.ASHKENAZY等人對股票和商品的價(jià)格波動(dòng)的多重分形特性進(jìn)行了研究。胡雪明、宋學(xué)鋒等曾對我國股票市場進(jìn)行了多重分形分析。

所謂多重分形，是定義在分形結(jié)構(gòu)上的由多個(gè)標(biāo)度指數(shù)的分形測度組成的無限集合。它刻畫了分布在子集上的具有不同標(biāo)度和標(biāo)度指數(shù)的分形子集的局部標(biāo)度性。從幾何的觀點(diǎn)看，組成分形集的若干個(gè)子集的標(biāo)度、分形維數(shù)都不同。多重分形理論間接刻畫價(jià)格波動(dòng)。

下面，我們利用多重分形理論對股票市場價(jià)格波動(dòng)進(jìn)行分析。

多重分形消除趨勢波動(dòng)分析（MultifractalDetrendedFluctuationAnalysis，記MF-DFA）方法是驗(yàn)證一個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列是否具有多重分形性的有效方法。對于給定長度為N的序列{xi}，i=1，2，……，N，MF-DFA方法一般可分為如下五個(gè)步聚：

1.計(jì)算序列對于均值的累積離差{Yi}：

其中為均值。

2.分割序列{Yi}成等長小段。把序列{Yi}分成長為s的NS≡int(N/s)個(gè)互不重疊小段。

3.通過最小二乘法擬合每一小段上的局部趨勢函數(shù)Pv(i)，這里Pv(i)是第v小段上的擬合多項(xiàng)式函數(shù)，可以是線性的、二次或更高階多項(xiàng)式（分別記為MF-DFA1，MF-DFA2,……）。消除每一小段的趨勢，得殘差平方和：

4.計(jì)算序列的q階波動(dòng)函數(shù)Fq(s)=

其中，q為不等于0的實(shí)數(shù)。很顯然，F(xiàn)q(s)與s、q有關(guān)。對于給定的q，F(xiàn)q(s)隨s增加而增加。因此，對不同的s，重復(fù)步聚2、3、4，就可得到對應(yīng)Fq(s)。一個(gè)分形時(shí)間序列，對于大量的s，有如下關(guān)系：Fq(s)~sh(q)。

5．給定階數(shù)q，通過雙對數(shù)圖，分析波動(dòng)函數(shù)Fq(s)與時(shí)間標(biāo)度s的關(guān)系。

一般地，標(biāo)度指數(shù)h(q)與q有關(guān)。當(dāng)h(q)與q無關(guān)時(shí)，稱時(shí)間序列是單分形的。當(dāng)h(q)與q有關(guān)時(shí)，稱時(shí)間序列是多重分形的。對于平穩(wěn)時(shí)間序列，h(2)就是Hurst指數(shù)H，因此，我們稱h(q)為廣義Hurst指數(shù)。

考慮到數(shù)據(jù)的代表性和可比性，本文選取1990年12月19日至2004年6月30日相同時(shí)間跨度的上證綜合指數(shù)和道瓊斯工業(yè)指數(shù)的日收盤指數(shù)為研究對象。這里上證綜指和道瓊斯指數(shù)的數(shù)據(jù)長度N分別為3132和3413。

首先把指數(shù)序列轉(zhuǎn)化為收益率序列{rt}：

rt=lnPt+1-lnPt，t=1，2，……，N-1

其中，Pt是股票市場在第t個(gè)交易日的收盤指數(shù)，rt為股票市場的日收益率。

考慮到要將股票市場收益率序列與高斯隨機(jī)序列作比較，我們用Matlab軟件的randn函數(shù)產(chǎn)生兩個(gè)高斯隨機(jī)序列，長度分別為3132和3413，依據(jù)MF-DFA方法分別計(jì)算其廣義Hurst指數(shù)，將其平均值作為隨機(jī)序列的廣義Hurst指數(shù)。

當(dāng)擬合區(qū)間s取10~500天時(shí)，下面給出MF-DFA1的結(jié)果。

從表1可以看出，當(dāng)q從負(fù)10變到正10，上證的h(q)從0.7946遞減為0.2633，而道瓊斯的h(q)從0.6248遞減為0.3015,隨機(jī)序列的h(q)則在0.4791~0.5067之間變動(dòng)。

對上證、道瓊斯及隨機(jī)序列的h(q)與q的關(guān)系分別作線性回歸分析，結(jié)果如表2。

根據(jù)表2的P-value值，不難得出結(jié)論：隨機(jī)序列的h(q)與q無顯著關(guān)系,而上證和道瓊斯的h(q)與q有顯著關(guān)系。

h(q)和q無關(guān)等價(jià)于Fq(S)和q無關(guān)，即一個(gè)時(shí)間序列的每一小段消除趨勢后的q階波動(dòng)相同，說明時(shí)間序列的局部結(jié)構(gòu)是均勻一致的，這樣的分形時(shí)間序列當(dāng)然是單分形的。h(q)僅給出這一相同的標(biāo)度行為。理論上，隨機(jī)序列的h(q)應(yīng)為0.5，由于Matlab產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)本身就是偽隨機(jī)數(shù)，所以，q從負(fù)10變到正10，隨機(jī)序列的h(q)在0.4791~0.5067之間變動(dòng)是合理的。h(q)與q有關(guān)和Fq(S)與q有關(guān)是等價(jià)的，即消除趨勢后Ns小段的q階波動(dòng)大小不同，說明時(shí)間序列的局部結(jié)構(gòu)是非均勻一致的，這樣的分形時(shí)間序列是多重分形的。所以，得出結(jié)論：上證綜指和道瓊斯工業(yè)指數(shù)收益率均存在較明顯的多重分形特性。但是，從表2的Coefficients值看，上證的h(q)隨q變化趨勢更明顯，所以，我們說上證的多重分形特征比道瓊斯明顯。

對深圳成指與納斯達(dá)克綜指進(jìn)行相同分析，可得出類似的結(jié)論，在此不列出詳細(xì)結(jié)果。

多重分形與風(fēng)險(xiǎn)關(guān)系

線性范式基本上是說，投資者以線性方式對信息做出反應(yīng)。也就是說，他們在接到信息時(shí)做出反應(yīng)；他們不以累計(jì)的方式對一個(gè)事件列做出反應(yīng)。線性觀點(diǎn)是內(nèi)在于理性投資者的概念的，因?yàn)檫^去的信息已經(jīng)被計(jì)算進(jìn)證券的價(jià)格了。因此，線性范式暗示收益率應(yīng)該有近似正態(tài)的分布，應(yīng)該是獨(dú)立的。但對收益率分布的正態(tài)性進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)得出結(jié)論：股票市場收益率不是正態(tài)分布的。因此，描述收益率的概率的線性范式失靈了。標(biāo)準(zhǔn)差作為風(fēng)險(xiǎn)的度量不再合適。

經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)本質(zhì)上是非線性的，應(yīng)用非線性理論研究經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，也就是自然的事。非線性范式推廣了投資者的反應(yīng)以容納對于信息的非線性反應(yīng)的可能性，并因此而成為當(dāng)今視點(diǎn)的一個(gè)自然延伸。分形理論是非線性科學(xué)研究中十分活躍的一個(gè)分支，多重分形則是對金融市場分形性質(zhì)研究的進(jìn)一步加深，研究多重分形與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系也就很自然。

本文通過同時(shí)對上證綜合指數(shù)和道瓊斯工業(yè)指數(shù)的對數(shù)收益率序列進(jìn)行多重分形消除趨勢波動(dòng)分析，得出它們均是多重分形的，但上證的多重分形特征更明顯。而我國證券市場與美國證券市場相比，具有運(yùn)行時(shí)間較短，風(fēng)險(xiǎn)較大的特點(diǎn)，這也是顯然的。類似研究得出同樣結(jié)論。據(jù)此，我們得出風(fēng)險(xiǎn)與多重分形的對應(yīng)關(guān)系：一個(gè)股票市場的多重分形特征越明顯，其風(fēng)險(xiǎn)也越大。