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關鍵詞 現代教育理念；醫學院校；數學建模

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2016）22-0111-02

Mathematical Modeling Teaching Reform of Medical Colleges under Guidance of Modern Education Ideas//QI Dequan， ZHANG

Ruodong

Abstract Modern educational ideas， such as inter-subjectivity concept，

quality education concept， and individualization concept and syste-

matize concept， transcend the traditional educational ideas. Under

the guidance of modern education ideas， mathematical modeling tea-

ching of medical colleges should take the following measures： rea-sonably returning the status of teachers and students； strengthening the training of medical students’ practical operation ability； imple-

menting hierarchic and sub-professional teaching mode； streng-thening the coordination and cooperation of the various departments of the college.

Key words modern education ideas； medical colleges； mathematical modeling

1 引言

醫學生是未來的醫務工作者，一個優秀的醫務工作者不僅要掌握淵博的知識、精湛的醫術，更要具備創新能力。創新能力能夠在臨床治療、新藥品開發和公共衛生體系建設等領域發揮重大作用，促進醫學的進步。數學建模是運用數學化的語言和方法來表述現實生活中研究對象的內在規律，引導學生將求解到的數學結論返回到實際對象的問題中的過程[1]，它是提高醫學生創新能力的一個重要途徑。但是，在傳統教育理念影響下，現有高等醫學院校數學建模課程的教學實效性不強。因此，迫切需要轉變教學理念，在現代教育理念指導下改革高等醫學院校的數學建模課程教學模式。

2 現代教育理念對傳統教育理念的超越

理念的轉變是教學改革的先導。現代教育理念是對現代西方人本主義教育理念精髓和我國基礎教育改革精神的提煉和整合，它是對傳統教育理念的超越，為高等醫學院校數學建模教學改革指引了方向。比較重要的現代教育理念主要包括主體間性理念、素質教育理念、個性化理念和系統性理念。

主體間性理念 傳統教育理念對教育主體的認識經歷了由“以教師為中心”到“以學生為中心”轉變的軌跡。這兩種觀點在理論上各存偏頗，都根本否認了教育^程中教師與學生之間的平等關系。現代教育理念則認為由于教育活動是教與學的統一，因此教育主體呈現出“一體兩面”的性質。作為教育活動基本要素的教師和學生都是教育主體，雙方在教育教學過程中，無時無刻不在進行主體性活動，體現了“主體間性”。

素質教育理念 傳統教育理念過于重視知識的講授與傳遞，忽視受教育者實踐和操作能力的培養，結果導致只關注學生考試分數而忽視學生綜合素質培養的弊端。現代教育理念則主張學生全面素質的培養和訓練，認為能力與素質是比知識更重要、更穩定、更持久的要素。它特別注重教育過程中知識向能力的轉化工作以及學生實踐能力的培養，旨在造就全面發展的人才。

個性化理念 傳統教育理念過于強調教育形式的統一性。在個體培養目標方面，與總體教育目的整齊劃一。在人才培養模式方面，傳統教育通過統一的教學計劃、統一的課程與教學大綱、統一的課表與同步的教育進程及標準化的教育管理塑造不同的學生[2]。現代教育理念則尊重學生的個性，認為每個學生由于其遺傳因素、成長的社會環境、家庭條件和生活經歷的不同，必然導致他們在興趣愛好、動機需要、氣質、性格、智能和特長等方面存在不同。因此，現代教育理念主張針對學生不同的個性特點采用不同的教育方法和評估標準，為每一個學生的發展創造條件。

系統性理念 傳統教育理念提出“三中心論”，即書本中心、教師中心和課堂中心，主要關注學校的課堂教育這一構成要素。現代教育理念則主張把教育活動看作一個有機的生態系統過程，需要家庭、學校和社會的共同努力。就家庭、學校、社會各自而言，又分別構成一個子系統。

3 現代教育理念指導下的高等醫學院校數學建模教學改革致效方略

合理歸位教師和學生的地位 現代教育理念中的主體間性理論主張教育活動是教師教和學生學的統一，矯正了傳統教育理念中“重教輕學”和“重學輕教”的教學價值觀的褊狹。在現代教育理念中的主體間性理念指導下，高等醫學院校的數學建模教學應當對教師和學生的地位進行合理歸位，以“主體間性的師生觀”消解“以教師為中心”和“以學生為中心”的兩極對立觀。

以現代教育理念中的主體間性理論為指導，高等醫學院校的數學建模教學活動應加強數學建模指導教師與醫學生之間的雙向互動。作為指導教師，不是簡單地對學生進行數學知識灌輸，而是尊重學生的主體地位，激發學生的主體意識。通過參與式教學、啟發式與提問式教學、討論式教學、辯論式教學等一系列方法相結合，加強師生之間的互動，調動學生學習的積極性。另外，要通過舉辦學術講座、建設數學建模課程學校網站等形式，積極拓展和構建課堂外的師生平臺。

注重實踐操作能力的培養 現代教育理念中的素質教育理念強調知識、能力、素質在人才培養過程中的有機統一，更重視教育過程中知識向能力的轉化工作以及內化為學生的自身素質。數學建模的過程，本身就是理論知識運用和實踐操作過程相結合的過程。數學建模教育，更應注重培養學生的創新思維和增強學生的綜合素質。因此，高等醫學院校的數學建模教學，不應僅僅進行理論知識的講授，更應注重實現理論知識講授與實踐操作能力培養的統一。為強化醫學生的實踐操作能力，高等醫學院校可組織醫學生組建數學建模社團，積極鼓勵醫學生參加各個級別的數學建模競賽，在各種活動和競賽中鍛煉提高自己的實踐操作能力。在數學建模活動和數學建模競賽過程中，教會醫學生如何運用書籍、網絡等工具查閱相關資料，如何運用統計方法整理數據，如何運用SPSS、MATLAB等數學軟件分析數據，如何撰寫論文。通過大學生數學建模競賽鍛煉醫學生的毅力和耐力，提高醫學生的計算機應用能力、自學能力、對科技新成果的使用能力以及收集、分析、利用信息的能力。

實行分專業、分層次的教學模式 現代教育理念中的個性化理念尊重學生的個性，個性意味著差異性。在現代教育理念的指導下，必須正視醫學生存在的差異性。這種差異性不僅體現在醫學生個體之間的差異，更體現在醫學生與其他專業大學生之間的差異，以及不同醫學專業之間的差異。因此，要提高高等醫學院校數學建模教學的實效性，可在尊重這種差異性的基礎上，提出分層次、分專業的教學模式。比如在數學建模案例庫的建設過程中，可根據不同年級和不同醫學專業的特點選擇或編寫案例。在案例教學的過程中，則根據實際情況選用適合不同專業的數學建模教學案例。例如：針對臨床醫學專業，可選用“艾滋病的療法評價與療效預測模型”；針對預防醫學專業，可選用“傳染病模型”；針對藥學專業，可選用“藥物動力學模型”；針對生物醫學工程R擔可選用“DAN序列分類模型”；針對口腔醫學專業，可選用“牙弓生長模型”；等等。

切實加強學校各部門的協調和配合 現代教育理念中的系統性理念主張教育是一個系統工程，學校是教育生態系統中的一個重要子系統。因此，要增強醫學院校數學建模課程的教學實效性，首先要發揮高等醫學院校數學建模課堂教育的主渠道作用，加強數學建模的課程建設、教材建設和指導教師的隊伍建設。同時，還應上下齊動，加強醫學院校系統內部各個部門和各環節的協調運作，取得黨政管理部門、教學輔助部門、學生管理部門的積極配合與支持。

4 結語

現代教育理念中的主體間性理念、素質教育理念、個性化理念和系統性理念為高等醫學院校數學建模教學改革指引了方向。在現代教育理念指引下，應當合理歸位教師和學生的地位，注重對醫學生實踐操作能力的培養，實行分專業、分層次的教學模式，切實加強學校各部門協調和配合，從而提高高等醫學院校數學建模教學實效性。

參考文獻

[1]許萬銀.數學建模方法論[M].北京：科學出版社，

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作為高中數學教師，在教學的過程中對新課程改革的體驗最為深刻.

現結合我自身的教學實踐，談談對新課程背景下數學教材的一些看法.

一、新課程背景下數學教材的優點

1.強化了定理證明的可操作性

新課程注重的是探索知識的過程，而不是簡單地給出定理公式，所以在定理證明方面，新教材在老教材的基礎上改進了很多，在實際操作中更具有操作性.

2.注重情境創設

新教材設計與布局與舊教材不同，對新知識的學習，大部分都通過適當的問題情景，引出需要學習的數學內容，更注重了探索知識的過程.

例如，在“導數及其應用”的引言中，有的新教材給出了如下情境：4月19日與4月18日最高氣溫分別22.4℃和8.6℃，短短兩天，氣溫陡增14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是如果將該市3月18日與4月18日最高氣溫分別為18.6℃與32.7℃進行比較，發現兩者溫差為15.1℃，甚至超過了14.8℃，而人們卻不會發出上述感嘆，進而提問這是什么原因呢？學生會回答原來前者變化快，后者變化慢.那用怎樣的數學模型刻畫變量變化的快與慢？這樣的數學模型有哪些應用？很自然地引出平均變化率的概念，那瞬時變化率和導數的概念也自然而然的引出來了，學生在輕松和諧的課堂環境中掌握了新的概念，而且印象深刻.

3.密切習題編制的針對性

老教材的習題相對而言比較簡單，學生自己都能看明白，但是考試卻比較難，所以教師在教學時往往自己去尋找題目，教材的題目利用率不高.新教材在選題方面花了大量的功夫，其中不乏有精彩的例題出現.對習題精簡了題量增加了難度，與高考更加接軌，在習題的安排上分了練習、感受與理解、思考與運用、探究與拓展等不同等級，難度層次性加強了，適合不同能力的學生進行選擇.

4.在數學教學中滲透信息技術

新教材適應時代的要求，加強了數學與信息技術的聯系.如新教材中增加了用Excel來解決數學問題的內容，如畫函數的圖象，既節省了教師上課的時間又讓學生對函數的性質有了更深的了解；計算機的應用讓原本不可能實現的教學內容也輕而易舉地解決了.

5.教學模塊格式設計新穎

必修模塊的設計與結構的布局與舊教材存在很大差異，新教材中對于新知的呈現，通常采用適當的問題情境，然后再運用觀察、探究、思考、提示，引導學生通過正確的方式掌握知識，同時結合教學輔助措施，如合作探究、觀察與發現、運用信息技術等，為學生的學習提供廣闊的舞臺，極大地拓展了學生的視野.同時，教材中還給學生留下了自主探究的空間，讓學生在學習過程中盡情發揮，凸顯個性.

二、新課程背景下教材的不足

1.習題的搭配不合理

高中數學新教材中 ，將傳統的數學學習內容進行了充實、調整、更新和重組，但教材中還存在著內容與習題搭配不合理的地方.問題主要表現在：（1）習題中有些涉及沒有學過的內容是否需要添加.（2）課本例題與習題不夠配套.（3）例題中有些題目設計不夠嚴謹.

2.教學內容的銜接不合理

初中數學壓縮了部分教學內容，目前高一數學在教材的處理上是把這部分內容插入到相應的教材中間或放在部分內容后面.

3.課時嚴重不足

跟以往相比，現在一個學期學兩本必修，高一年級就要學4本必修，課程內容一下子太多了，學生負擔太重，對知識的理解卻如“蜻蜓點水”，學得不深入，掌握不牢固.筆者認為，為了打好基礎必修1～5至少需要三個學期才能完成.對于選修課應該重新思考.選修1、2應該抓好，選修3、4應該削減.即使如此，高中數學的內容也比過去多，要完成也不容易.

4.配套資源跟不上

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課改 數學生活

《 數學課程標準》指出:“數學是人們生活 、勞動和學習必不可少的工具……”這充分說明了數學來自生活又運用于生活。如何把數學教學生活化,把學生的生活經驗數學化,化抽象的數學為有趣、生動、易于理解的事物,讓學生感受到數學其實源于生活且無處不在,這是當前數學教學改革的重要課題之一。

一、 攫取生活素材,創設學生感興趣的問題情景

數學本源于生活,生活中處處有數學,生活是數學永不枯竭的源泉。我們要關注學生的生活經驗和學習體驗,捕捉貼近學生的生活素材,選取學生生活中熟悉的人、事、物,采擷生活數學實例,挖掘生活中的數學原型,讓學生“聽得見,看得著,摸得到”,學生的思維活躍興趣濃厚,思路開闊,學習起來自然輕松愉快。

1、聯系生活,捕捉學習內容。教師要善于溝通知識與生活實際的聯系,找準教學內容與學生生活實際的“切入點”,創設兩者結合的情境,調動學生學習數學的興趣和參與的積極性。在學習獨立性檢驗的基本思想及其初步應用時,我設計了這樣一道題:打鼾不僅影響別人休息,而且可能與患某種疾病有關。試問:每一晚都打鼾與患心臟病有關嗎?從現實生活出發,把數學內容與生活現實有機結合,學生有更多的機會從周圍事物中學習和理解數學,體會到數學的必要性和重要性,對數學產生親切感。

2、結合實際,選擇學習材料。要充分發揮創造性,把促進學生發展作為教學的基本點,在準確把握教材實質的基礎上,盡可能選取一些富有時代氣息、貼近學生生活實際、為學生喜聞樂見的學習材料,以學生熟悉和感興趣的事例作為認知的背景。

3、加強實踐,汲取學習素材。把所學的知識運用到生活中,是學習數學的最終目的,它可以幫助學生增進對知識的理解,了解知識的價值,增強學好數學和應用數學知識的信心。教師要為學生多提供一些參與實踐活動的機會,引導學生應用所學知識解決現實生活中的問題,培養學生的應用意識和解決實際問題的能力,從而體驗數學的價值。

二、引導學生在生活中挖掘數學素材,使教學內容生活化

數學本源于生活,生活中處處有數學。數學的教學內容不僅包括概念、定理、法則等現成的知識,還包括這些知識的形成過程。讓學生經歷這個過程,可以體會數學問題是怎樣提出來的,數學結論是怎樣得到的,某一數學知識是怎樣應用的,從而加深對所學數學知識的理解。例如木工師傅彈墨線的方法,實際應用了“兩點確定一條直線”的數學知識;自行車架、房屋支架、鉆機鐵架的骨架中,是利用了三角形的穩定性;一幅畫、一幕舞臺的設計,都有它的中心,這個中心往往放在黃金分割點處使人感到更美。實踐證明,讓學生在生活中尋找數學問題,把數學概念具體化、生活化的數學教學有利于提高學生學習數學的興趣和學習能力,以及學生的可持續發展。

三、設計數學活動,拓展空間,培養學生的創新意識

學生的課堂學習不只是學習基礎知識,掌握基本技能,還要學會數學思考,發展個性。要達成這一目標,需要我們為學生構建更加靈動、開放的課堂,鼓勵學生的探索和創新。

1、靈活處理教材,給學生提供參與的思維空間。動手實踐,自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。教師有必要對現行教材進行創造性的處理,將靜態知識動態化,抽象知識具體化,為學生提供充分的探索和交流的空間,讓學生用已有的知識經驗,完成自主建構。在導數及其應用一章的教學中,利用教材中設置的大量的探索問題,思考問題作為培養學生自主探索的題材,相互交流學習過程,培養學生的自主學習的能力。

2、適時開放時空,讓學生在生活情景中探究。日本著名數學教育家米山國藏指出:“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數學的精神、數學的思想、研究的方法和著眼點等,這些隨時隨地發生作用,使他們終身受益。”因此在高中數學課堂教學中要讓數學生活化,教會學生用數學的眼光去觀察世界,用數學的思想去說明問題,用數學的方式去分析對策,用數學的知識去處理工作。比如,學習完《分期付款中的有關計算》后,安排學生自發出外至房產公司及銀行收集相關資料,進行數據分析,通過詳盡列式計算(利用高一數列知識及解方程知識),解析還貸過程中的每一步驟,了解購房者在還貸過程中的帳目細則,以及房產公司和銀行在其中的贏利情況,從而對此實際生活中的常見經濟事件有進一步的數學上的正確認識。實踐證明:學生參與活動越充分、越主動,所獲得的體驗也就越深刻、越豐富,創新能力的發展才越有可能。作為教師,我們應不斷攫取生活中的新鮮素材來充實我們的課堂,使我們的教學變得豐富多彩,生動有趣,讓我們的課堂煥發出生命的活力!

課改是對數學更能被同學們接受,在實際生活中的應用,運用數學刻畫、解決實際問題。實踐是數學發生的源泉,是數學發展的動力,是檢驗數學真理的標準。在新課程理念下,教師的教學及學生的有效學習只有通過豐富多彩的實踐活動才能有機地里連結起來,只有很好地堅持在實踐中學習數學并且在學習數學過程中勇于實踐的觀點,才能真正地培養我們的學生用數學的眼睛看世界的本領。

參考文獻:

[1]嚴士健、張奠宙、王尚志主編. 《普通高中數學課程標準(實驗)》解讀 江蘇教育出版社 2006.05

[2]趙宏、劉昌主編. 《走進高中新課程》.華是師范大學出版社 2005.09

[3]葉柱.數學教學新視界探真[M].杭州:浙江大學出版社,2005.06

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[關鍵詞]高中；數學；教學；有效性

教學的有效性是指通過教師的教學使學生獲得發展，在學業上有收獲、有提高、有進步。如何提高高中數學教學的有效性，是每個數學教師首先要回答的問題。筆者在工作中不斷摸索，認為要從趣味化教學、協作教學和梯度教學三個方面入手。

一、趣味化教學，激發學生的學習興趣

由于高中數學知識比較深奧難懂，對學生邏輯思維要求比較高，一些學生感到枯燥無味。面對這樣的情況，如何激發學生的學習興趣顯得尤為重要。

1.創設生活化的教學情境。高中數學教學如果以現實生活為依托，通過創設生活化的教學情境，將富有生活氣息的知識運用到數學課堂，能較好地激發學生的學習興趣。比如，函數概念是高一數學中較難理解的概念，教師可以如此導入新課：“同學們聽過‘繞圈子’游戲嗎？世界水城威尼斯有一個馬爾克廣場，廣場一端有一座寬82米的雄偉大教堂，教堂前是一方開闊地，游人來這里經常會做一個奇特的游戲：先蒙上眼睛，然后從廣場一端走向另一端，看誰能到教堂正面。大家猜怎么著？盡管這段距離只有175米，竟沒有一名游客能走到教堂正面。這是為什么？”通過生活化情境的創設，學生此時都情緒高昂。“大量事例證明：一切都是人的兩條腿在作怪！由于長年累月的習慣，每個人一條腿伸出的步子要比另一條腿伸出的步子長一段微不足道的距離，而正是這一段很小的步差x，導致人們走出一個半徑為y的大圓圈！”接著，教師再將函數的定義由變量引向集合和映射。這樣的情境創設，充分調動了學生學習的積極性。

2.適當運用現代教育手段進行輔助教學。多媒體教學不僅可以擴大課堂教學的信息量，提高教學效率，還可以通過借助現代教學手段展示生動的教學情境，可以使抽象的數學知識變得直觀、形象而富有動感。例如，通過多媒體課件將幾何或函數圖像的移動、坐標變換、動點軌跡演示出來，能給學生耳目一新的感覺，從而激發起他們的學習興趣，加深對所學知識的理解。

二、協作教學，調動學生的學習主動性

協作教學是數學有效教學的重要環節，它不僅能充分調動學生學習的主動性，為學生全面發展創造環境和條件，還能使學習問題和學習困難得到及時有效的解決。在協作教學中，應以學生參與為主，充分調動他們的主動性和參與意識，鼓勵他們多對實質性內容和方法進行思考。在新課講授之前，教師應要求學生依據導學提綱進行預習，并將預習中遇到的問題記錄在筆記本上。在數學課堂上，教師再針對學生在預習中不能解決的問題，鼓勵引導他們在同桌、臨桌之間相互探討，讓他們在課堂上有足夠的時間體驗問題的解決過程。由于高中生缺少有效的學習方法以及自主解決問題的能力，當學生對某些數學問題的理解出現困難時，教師應采用一些學生能夠接受的方式給予他們及時有效的引導和幫助。比如，在學習《函數》一課時，大多數學生不能對y=f(x)進行具體說明，這需要教師對學生及時進行點撥，并運用淺顯的語言使他們能理解得更透徹，可以通過設置具體實例情境“研究圓的面積與半徑的關系”，讓學生通過小組合作探討，從實例中總結公式，并體會函數的含義，最后再回到抽象函數概念y=f(x)，進行對照理解。學生通過動口、動手、動腦多種感官的相互作用，從而集中注意力；教師在平等、寬松、民主的討論情境中，引導鼓勵學生“集思廣益，智力互激”，調動他們的學習積極性，促使他們有效構建新知。

三、梯度教學，滿足每個學生發展的需要

由于高中生接受數學知識與靈活運用數學知識的能力存在客觀差異，若教學仍采用“一刀切”的形式，勢必會造成“學優生吃不飽，學困生吃不了”的現象。因此，高中數學的梯度教學就顯得很有必要。梯度教學是指：在立足學生個性差異的基礎上，面向全體學生，使每個學生在原有基礎上都能得到充分發展的教學。要進行梯度教學，教師首先要樹立差異教學的教育觀，努力為學生營造一個平等、寬松、自由的學習環境。其次，教師要設立差異性教學目標。在制定教學目標時，教師應面向全體，尊重學生的個性，充分考慮每個學生的特點，通過確立適合中等生、顧及優等生、照顧學困生的差異性教學目標，使每個學生在原有的基礎上得到更好的發展。再次，預習時要針對不同的學生提出不同的要求。對于中等生，教師要要求他們能自覺復習舊知識，初步理解和掌握預習內容，會參照定理、公式、例題的推演自行論證，能初步完成練習題；對學優生，要求他們能深刻理解和掌握預習內容，能主動推導數學定理、公式，能獨立完成相應的習題，力求從理論和方法上消化預習內容；對學困生，則要求他們能主動復習舊知識，能基本看懂預習內容，試著完成相應的練習題，并帶著疑問聽課。最后，課堂教學應以中等生為準，要同時兼顧學優生和學困生，教學要求不宜過高，層次落差也不宜太大。教師還要充分調動學生參與教學活動的比率，對學困生要多提問和鼓勵，不能冷落他們；對一些難度大的問題，教師可以在課堂上不講，課后再給學優生“開小灶”。

總之，作為一名高中數學教師，要結合學科特點和學生的具體情況，運用恰當的方法增強教學有效性，除了通過趣味化教學、協作教學和梯度教學外，還可以不斷探索適合學生的方法，為學生的發展服務。

參考文獻：

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一、知識方法的呈現點

數學知識和數學方法是數學教學的最基本素材，是構建數學大廈的基石.數學教學首先是知識和方法的教學.教師鉆研教材時，首先要明確列出教材中涉及的知識點和方法點，進而采取切實措施，引導學生掌握這些知識和方法.如“數列的概念及表示”一節要明確如下知識和方法：數列的定義、數列的通項公式的概念、數列的常用表示方法、數列與函數的關系、遞推公式的理解、觀察（歸納）法確定數列的通項公式等.

二、再現過程的探究點

“突出過程教學”是新課改的核心理念之一.《普通高中數學課程標準（實驗）》明確指出：高中數學課程應力求通過不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.數學課堂教學中，教師要有意識地設置適合學生自主探究的素材，放手組織學生參與探究活動，在探究活動中獲取新知，提升能力.一般來說概念的歸納抽象（如平面向量坐標的概念的建立），解題方法的探索（如錯位相減法的來源），知識的發生發展過程（如橢圓第二定義的推導）都可以作為學生的探究素材.

三、新舊知識的聯結點

《普通高中數學課程標準（實驗）》明確建議：教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識之間的有機聯系，感受數學的整體性，進一步理解數學的本質，提高解決問題的能力.為此，教師鉆研教材時，教師要特別關注知識之間的內在聯系，找準新舊知識的連接點，在把握新舊知識聯系的基礎上，組織課堂教學，幫學生建立完善的認知結構.

可以在新舊知識的連結點處設置問題，創設問題情境.如學習雙曲線的簡單幾何性質前，學生已學習了橢圓的簡單幾何性質，初步掌握了通過曲線方程研究曲線性質的基本思想方法.教學“雙曲線的簡單幾何性質”時，可先引導學生回顧如下問題：我們是從哪些方面研究橢圓簡單幾何性質的？這些性質分別是怎樣研究的？分別得出了怎樣的結論？

也可以利用新舊知識的內在聯系，類比舊知得到新知. 如通過如下問題引導學生由樣本數據的均值得出隨機變量的均值的概念.

問題1：求1，1，1，1，2，2，2，3，3，4的均值.

列出■=1×■+2×■+3×■+4×■.

問題2：如何用概率的視角解釋上述算式中的■，■，■，■？

問題3：類比上述均值的算法，已知隨機變量的分布列，你能否得到其均值的算法？

四、理解教材的關鍵點

“打蛇找七寸，鉆研教材抓關鍵.”何謂教材的關鍵？教材的關鍵是指對掌握某一部分知識或解決某一個問題起決定作用的知識或思想方法，它往往是突出重點、突破難點的突破口.掌握并抓住了關鍵，教學就能進行得比較順利、有效.例如，學好數學歸納法，關鍵是在“奠基步”的基礎上，理解為什么可以假設n=k成立，從而推出n=k+1成立的道理.鉆研教材時，應對此引起足夠的重視，并采取切實措施，幫助學生理解好這一關鍵.

五、因材施教的分層點

因材施教是教學的最基本準則.《普通高中數學新課程標準（實驗）》明確指出：高中數學課程應具有多樣性與選擇性，使不同的學生在數學上得到不同的發展.

這就要求我們在教學實踐中，正視學生個體之間的差異，針對不同的教育對象采取不同的措施，使每個學生都能在自己的基礎上，獲得更大的發展.鉆研教材時，除了制定面向全體的教學要求和教學措施以外，還要針對不同的內容和學生實際，制定不同的要求和措施，以切實滿足不同學生的發展需要.如學習算術平均數和幾何平均數不等式，基本要求是掌握二元算術平均數與幾何平均數關系定理，但對學有余力的學生，可鼓勵他們研究三元算術平均數與幾何平均數的關系，并給出證明. 對這一問題，教學大綱不要求學生掌握，但學有余力的學生若能對此問題進行認真研究，不僅可以體驗研究的樂趣，培養研究的能力，也可以對二元算術平均數與幾何平均數關系定理有進一步的認識.

六、學生學習的困難點

學生實際，是一切教學活動的出發點.只有切合學生實際的教學才可能是有效的教學.教師鉆研教材時，要善于換位思考.站到學生角度分析學生可能遇到的困難，進而采取切實措施幫學生解決這些困難. 如學生解決等比數列問題時，常由于忽略定義中的隱含條件（a1≠0，q≠0）或忽略前n項和公式Sn=■的適用范圍（q≠1）而致錯，教學這類例題時，就要引導學生首先關注定義中的隱含條件和公式的適用范圍，養成縝密思維的好習慣；再如解決求軌跡問題時，學生的難點是找不到動點所滿足的幾何條件.講解這類例題時，重點就應放在指導學生發現幾何條件上. 為此可以通過組織合作交流討論等形式，從多角度探求幾何條件.

七、形成技能的訓練點

數學教學的基本任務是引導學生獲取知識、形成技能、提升能力.組織技能訓練是數學教學的重要組成部分.鉆研教材時，教師要結合課程標準對教學要求的界定，合理確定訓練點，并配以適量的訓練素材，采取恰當的訓練手段，以切實使學生通過課堂教學達到提升技能的目的. 如“算術平均數與幾何平均數”一節是不等式的重要內容，運用這一重要不等式（以下稱為“均值不等式”）可以解決許多求函數的最值問題. 高考中出現的頻率非常高. 但對這一類問題，教材中并未給出具體的例子，教材上的訓練也不夠，為幫助學生掌握這一類問題的解法，教學中有必要設計以下一些例子.

例1.已知m>0，求函數y=6m+■的最小值.

例2.設0

例3.已知θ∈（0，■），求函數f（θ）=sinθ+■的最小值.

例4.求函數y=■（x≥■）的最小值.

例5.已知正數a，b滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍.

例6.已知x>0， y>0，■+■≤a■恒成立，求a的取值范圍.

其中例1、例2是基礎題，主要幫助學生體會用均值不等式求函數最值的基本方法；例3主要提醒學生應用均值不等式求函數最值時，一定要注意等號成立的條件；例4主要引導學生掌握通過適當的變形（直接化為部分分式或換元后化為部分分式）借助均值不等式求分式函數最值的基本方法；例5，例6是均值不等式的綜合應用.

八、開發課程的拓展點

課程開發能力是新課程理念下，數學教師的必備能力之一.數學教師應重視在鉆研教材的基礎上，對教學內容進行必要的拓展和引申，使數學教學內容更厚實，學生收獲更大. 如學習函數的奇偶性時，可對函數的對稱性進行拓展，研究函數的互對稱和自對稱問題；學習等差數列和等比數列時，可引導學生在教材基礎上系統探究兩類特殊數列的有趣性質.

九、聯系實際的應用點

數學來源于實際，數學服務于實際生活.“發展學生的數學應用意識”是新課程的基本理念之一.為切實將這種理念落實到教學實踐中，教師應善于將書本上的數學知識與學生的生活實際聯系起來，揭示數學知識在實際生活中的廣泛應用，設計適當的實際問題，鼓勵學生用所學數學知識予以解答. 如教學“等比數列求和”時，讓學生調查解決分期付款問題；學習完“分期付款中的有關計算”后，安排學生到房產公司及銀行收集相關資料，進行數據分析，通過詳盡列式計算（利用高一數列知識及解方程知識），解析還貸過程中的每一步驟，了解購房者在還貸過程中的賬目細則，以及房產公司和銀行在其中的贏利情況，從而對此實際生活中的常見經濟事件有進一步的數學上的正確認識.

再如，學習導數時，引導學生探究為什么易拉罐做成圓柱形而不做成其他形狀. 學習概率后，讓學生計算各種彩票的中獎概率，讓學生研究抽簽先后是否公平. 學習雙曲線定義和方程后引導學生解決確定爆炸點問題.

通過具體問題的解答，學生必能更好地領悟數學思想和方法，進一步認識數學的巨大應用，其學習數學的熱情必然更加高漲.