導語：如何才能寫好一篇線上教學定義，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

問題究竟出在何處？當我置身于高效課堂這個改革環境之中時，先前的疑慮便豁然開朗了。“不學不教，先學后教，以學定教”，這種顛覆性的教學思想讓我看到了傳統課堂中存在的痼疾：以教師為主體，以講授為中心，很難讓學生在課堂中真正找到自我，認清自我，展示自我，無法脫離被動學習的痛苦。難怪在熱烈的掌聲中，仍然有人漠不關心，仍然有人半夢半醒。是時候擺脫這種尷尬的局面了！于是，我踐行了高效課堂教學模式，希冀在課改的引領下找到新的方向。

在踐行課改的半年時間里，我驚喜地發現，學生的學習習慣悄然發生了變化：課堂秩序井然有序，越來越多的學生能夠從容地進行自主學習，樂于小組討論探究，而且合作意識越來越強，課堂上經常會聽到讓人耳目一新的觀點，學習報告是學生自覺地知識點的整理和查漏補缺，等等，這些都是我當初始料未及的。

一、擺脫固執，做課堂中的“定心丸”

任何一種理念，執行之初，都會面臨挑戰，而最大的挑戰莫過于“內心”的固執。對于習慣了傳統教法的我而言，突然要從“師”主體的位置退下來，總有些猶豫和疑慮。這個時候，決心非常重要。盡管對理念的認識還不成熟，盡管課堂上呈現了諸多的不盡如人意之處，但是，老師一旦著手進行，就要拿出大膽嘗試的勇氣，鎮定自若地按照既定的方案進行，不可三心二意。在新的模式中搖擺不定的學生，看到老師的果決，自會慢慢放下心中的抵觸情緒，逐漸適應新的課堂節奏。習慣成自然，老師這顆“定心丸”，會讓課堂教學很快渡過課改的“磨合期”，走入新的境界。

二、全力以赴上好自主課

“不學不教，先學后教，以學定教”突出的是學生的主體地位，讓他們通過獨立自主地學習，解決問題，提升探究能力，培養思維品質。而這種理念能夠落實的關鍵就是讓學生獲得自主學習的空間，這就是“自主課”的重要性。可以說，自主課是學生靜心思考，發現問題，樹立信心，走向精彩展示的關鍵性一步。實踐證明，上好自主課，以下兩個環節必不可少。

1.科學合理的導學案

學生在自主課上“學”什么？個人以為，我們必須將課改環境下的“自主”與傳統的“預習”區分開來。簡言之，“預習”更多的是學生在課前對知識的預先了解，很難落到實處，甚至漫無邊際；而“自主課”中，學生要通過自己主動有目的、有條理的學習，自行解決課題中的大部分問題，如此，“課堂任務”的確定就至關重要了。老師課前三言兩語的布置過于籠統，必須有一套重點突出、難易結合的隨堂任務作指導，這就是導學案的魅力。

在課堂實踐中，我越來越感覺到，導學案是否合理，將會直接影響學生對課題的研究興趣，影響學生對知識點的整合速度、質量，以及德育思想的滲透，所以，每次自主課前，我們都會集中精力，進行集體備課，對導學案的各個環節進行分析研究，盡最大努力，讓它貼近學情，切中重難點，便于引導學生夯實基礎，開拓思維。我們現在的語文導學案是經過不斷地修改后確定的模式，包括“學習情境”“知識導學”“自主預習”“問題探究”“課后鞏固”和“美文欣賞”六大部分，從課堂實踐來開，比較符合學生的認知規律，也注重了語文課程中的德育思想的滲透，使用起來效果還不錯。

2.耐住性子，等待花開

耐得住性子，才能真正撞開學生的思維之花。于是，現在的自主課上，除非必要，我都會沉下心來，等待學生完成自主任務。我的注意力，從急于給學生講，變成了在小組間流動，及時糾正學生自主時的學習狀態，默默觀察審視學生的答題思路，根據學生探究時出現的實際問題，在腦子里快速整合下節課的展示重點。偶爾因為個性化的問題，我也會跟某個學生小聲討論幾句，多是會心一笑之后，師生便各司其責了。老師耐下心來，學生學下去，才會真正地發現問題，快速完成課堂任務。

三、展示課的前奏――小組討論，查漏補缺

理想情況下，我的自主課會分為兩部分，一是個人完全獨立的自主時間（約30分鐘左右），二是小組成員間針對導學案的集中討論（約15分鐘左右）。但有時因為時間不夠，我也會將第二部分放在展示課的開始部分。有些問題，學生個人通過獨立預習思考就能夠解決，但是，也會有一些知識的盲點，是個人無法解決的，這時候，就要發揮集體的力量了。因為有了前面個人的獨立完成，所以，小組間的討論會更有針對性，小組成員總是會全神貫注，提出不同的見解，導學案上的探究題，經過小組成員的相互質疑討論，就會變得充實精彩起來。這一階段，老師仍然要在小組間流動，細心聽取不同組中的討論意見，以便最終確定展示任務，因為有了細心地調查，往往老師設計的問題會更加有的放矢。隨著討論的深入，學生會的越來越多，自信心也會膨脹起來，待到討論真正結束，老師選取重要的探究問題分配任務，要求各組展示，便是順理成章的事情了。

四、評價機制不可少

篇2

一、素質教育目標

(一)知識教學點

1.了解直線、射線和線段等概念的區別.

2.理解射線及其端點、線段及其端點、延長線等概念.

3.掌握射線、線段的表示方法.

(二)能力訓練點

對學生繼續進行幾何語言和識圖能力的訓練，使學生逐步熟悉幾何語句.準確區別直線、射線和線段等幾種幾何圖形.

(三)德育滲透點

通過射線、線段的概念、性質、畫法的教學，使學生體驗到從實踐到理論，以理論指導實踐的認識過程，潛移默化地影響學生，形成理論聯系實踐的思想方法，培養學生勤于動腦，敢于實踐的良好習慣.

(四)美育滲透點

通過射線、線段的具體實例體驗形象美;通過射線、線段的圖形體驗幾何中的對稱美.

二、學法引導

1.教師教學：直觀演示、閱讀理解與嘗試指導相結合.

2.學生學法：以直觀形象來理解概念，以動手操作體會畫法及性質的比較.

三、重點·難點·疑點及解決辦法

(一)重點

線段、射線的概念及表示方法.

(二)難點

直線、射線、線段的區別與聯系.

(三)疑點

直線、射線、線段的區別與聯系.

(四)解決辦法

通過學生小組內的討論，針對直線、射線的概念、圖形性質進行對比歸類，教師根據學生回答整理，從而解決三者的區別與聯系這一疑、難點.

四、課時安排

1課時

五、教具學具準備

投影儀或電腦、自制膠片(軟盤)、直尺.

六、師生互動活動設計

1.教師引導學生通過生活知識，閱讀書本相應段落、自己動手操作等，使學生自己去體會、發現射線、線段的概念、表示、畫法等.

2.通過反饋練習，及時掌握學生的學習情況.

七、教學步驟

(一)明確目標

通過本節課教學，應使學生理解和掌握射線、直線的概念和表示方法及與直線之間的關系，通過相關畫圖題，增強對知識點的認識，培養學生動手能力.

(二)整體感知

通過教師指導，學生積極思維，主動發現的模式進行教學，再輔以練習鞏固.

(三)教學過程

創設情境，引出課題

師：在日常生活中，我們常常見到直線的實例，上節我們也舉出了很多實例.我們知道，直線是向兩方無限延伸的.但在日常生活中，還有這樣的現象：手電筒或探照燈射出的光束，只向一個方向延伸(可用電腦顯示)，這就是我們要研究的一種新的幾何圖形—射線.

板書課題：

[板書]1.2射線、線段

探索新知

1.射線的概念

師：通過演示，我們發現射線向一方延伸.其實，它是直線的一部分，我們給它一個定義(板書射線的定義).

[板書]射線：直線上的一點和它一旁的部分叫做射線，這個點叫做射線的端點.

如圖1，直線上的一點和它一旁的部分就是一條射線，點就是這條射線的端點.

圖1

【教法說明】關于射線，教師可更形象地解釋：“射線”就是像手電筒或探照燈“射”出的光束一樣，因此，取名“射線”.這樣可使意義與名詞緊密聯系起來，讓學生對此印象深刻.對于定義只簡單提一下;不作發揮，并告訴學生：我們以后還要學很多圖形的定義.

2.射線的表示方法

學生活動：學生閱讀課本第13頁，射線的表示方法這一自然段，并在練習本上表示一條射線，并注意射線的表示方法中應注意什么.

【教法說明】學生看書能看懂的問題，教師就給學生一個機會，讓學生自己支配自己，而不是由教師牽著鼻子走.

學生看書后回答射線的表示方法，教師演示畫出圖形.

(1)用射線的端點和射線上的另一點表示，但端點字母要寫在前面.如圖2，記作：射線.

圖2

(2)射線也可以用一個小寫字母表示.如圖3：記作射線.注意“射線”兩個字要寫在的前面.

反饋練習：〈出示投影1〉

如圖3：射線與射線是同一條射線嗎?射線與射線是同一條射線嗎?射線與射線是同一條射線嗎?

圖3

【教法說明】通過以上練習，強調射線的方向性.端點相同，方向相同的射線才是同一條射線.

3.射線的畫法

由學生看書后，在練習本上練習畫圖，找同學到黑板上畫一條射線并表示出來.由學生說出畫射線的要領.如圖，畫射線一要畫出射線端點;二要畫出射線經過點，并向一旁延伸的情況.請同學們說出：射線與射線的端點，并畫出這兩條射線.

4.線段的概念

教師由射線定義引出線段定義，直線上的一點和它一旁的部分叫射線.我們研究了其表示方法，畫法.那么，在直線上取兩點又該怎么樣呢?畫出圖形.

我們叫這兩點間的部分為線段.(板書定義)

[板書]線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段.這兩點叫做線段的端點.如：長方體、正方體的棱等就是線段.

【教法說明】介紹線段定義后，可讓同學們說出我們周圍線段的實例，以調動其積極性，發揮其想像力.同時，也幫助理解線段的概念.

5.線段的表示方法

師：像直線和射線一樣，線段也有兩種表示法.你能依照直線和射線的表示方法，試著說出線段的兩種表示方法嗎?

同學之間相互討論，最后得出線段的兩種表示方法：如圖4，、為端點的線段，可以記作線段或線段;也可以記作線段.

圖4

【教法說明】有直線、射線表示方法的基礎，對線段的表示方法學生能夠舉一反三，所以教師不必強加給他們，可以讓學生自己想出其表示方法，體會其中的成就感.教學中一

定注意，只要是學生自己能夠理解、能夠通過自身垢體會悟出的知識，教師就不要一味地“灌”，要使學生學會自我解決問題的方法.學生思考：線段和線段是同一條線段嗎?

6.線段的畫法

學生自己畫線段，體會其畫法，總結畫線段的要領.

學生活動：在練習上畫線段，同桌討論畫線段的方法和應注意的問題.根據學生回答情況，教師歸納注意問題.

(1)畫線段時，要畫出兩個端點之間的部分，不要畫出向任何一方延伸的情況.(在這里可提問學生為什么.學生回答會說出：向兩方延伸則成了直線，向一方延伸則成了射線.定會領略出射線、直線、線段的區別.)

(2)以后我們說“連結”就是指畫以、為端點的線段.說明：“連結”是幾何的專用名詞，專指畫出兩點間的線段的意思.

7.直線、射線、線段的區別與聯系

師：上節我們研究了直線的有關問題，這節我們又研究了射線和線段，通過我們的學習，你能試著總結一下直線、射線、線段三者的區別與聯系嗎?

學生活動：同桌間相互討論，在練習本上小結三者的區別與聯系.

【教法說明】學生總結一定不會有層次，但要放手讓他們討論，使學生學會歸納總結的方法.這也是學習幾何中常用的方法，對一些概念、圖形性質等往往需要對比歸類，發現它們之間的相同點和不同點.教師從開始就要注意，引導學生學會對所學知識進行歸納、對比的學習方法.

根據學生回答教師整理：

聯系：射線、線段都是直線的一部分，線段是直線的有限部分.

區別：直線無端點，長度無限，向兩方無限延伸.射線只有一個端點，長度無限，向一方無限延伸.線段有兩個端點，長度有限.

反饋練習(投影出示)

【教法說明】對于練習中的第1題要讓學生把圖形和幾何的語句統一起來;第2題也可問以為端點有幾條射線;第3題要注意所填的詞應恰當.

(四)總結、擴展

由學生填寫下表，歸納本節知識點.

篇3

一、線上線下課堂的實施方法

（一）線上課堂的實施在組織課堂教學之前，教師根據教學內容制作若干個教學微視頻，發送到班級QQ群或班級的微信上，同時也提供一些課程講義或PPT課件供學生課前學習，也就是線上學習。教學視頻的內容側重教學重點和難點以及操作上學生容易出錯的知識點。一個視頻的播放時間通常控制在20分鐘左右，這樣便于學生利用閑暇的時間來學習一個小知識點，并做到學習一個內容即掌握了一個知識點。PPT課件的制作在內容上則比較詳細而全面，學生在自我學習的過程中，能夠看懂知識點的分析，難以掌握的部分可以借助視頻加以理解。線上學習的目的就是要激發學生自主學習的能力，教師為滿足學生的學習需要，提供高質量的教學資源，尤其對教學視頻的制作要求非常高。為制作這些教學視頻，教師需投入大量的時間準備。例如，關于“填制憑證”這個知識點的講解，需要制作三個相關的教學視頻，視頻內容分別是：一般憑證的填制、涉及輔助核算科目的會計憑證的填制以及憑證填制中常見問題的解決。前兩個視頻都是按照一定的操作流程去制作，相對比較容易，而第三個視頻的制作就要復雜多了，因為解決問題之前需要在賬套中預設出問題，有些問題還不能同時預設，需要解決了前面的問題之后再來預設。這樣就需要在每次預設問題的時候將視頻制作暫停，否則將大量延長視頻的播放時間，影響質量和效果。對于學生，線上學習是學習活動的主體。他們需要合理安排課外時間學習教師提供的視頻及課件等，通過自己的分析和理解掌握每個知識點。學生自學過程中遇到的問題需隨時記錄下來，作為教師檢查其線上學習活動的一項指標。

（二）線下課堂的實施會計電算化課程有很多內容需要學生通過操作之后才能系統掌握。通過線上課堂的學習掌握了必要的知識點，線下課堂的時間主要安排學生動手操作。采取分小組的方式進行，每3個人一組，每個人單獨建立一個賬套，各自完成自己的賬套，遇到問題小組內部可以討論解決，解決不了的再由教師解答。這樣，可以促進學生之間的交流，也能緩解課堂上一位教師同時解答多位同學問題的矛盾。學生的操作任務完成后，下個環節就是分析案例。教師將常見的問題設置在賬套中做成案例發送給學生，先讓學生進行分析，小組內部可以討論。一定時間后抽取幾個小組對問題進行分析，并對學生的答案做出評價。最后，教師對這堂課的內容進行小結，歸納學生容易出錯的問題和注意事項。也可以根據教學內容布置一些課后作業，讓學生通過選擇題和判斷題的練習，鞏固一些小知識點。不確定的內容學生可以在交流平臺上討論，并在下一次的上機操作中確定答案。

二、線上線下學習相結合的優勢

（一）學習活動開放、自主，更能滿足不同層次學生的學習需要傳統的教學活動完全在課堂上進行，教師為了完成教學任務，需要安排大量的時間對教學內容進行講解和操作，剩余的時間才留給學生操作練習。學生在課堂上必須高度集中思想，認真地聆聽教師的講課，但由于學生的接受能力不同，就算全神貫注也未必能全部都掌握。另外，課堂上留給學生操作的時間非常有限，一旦學生在操作中遇到問題卡住了，就難以完成這次課的操作任務，學生的學習壓力比較大。線上線下學習相結合的教學模式能有效緩解學生的學習壓力。通常，教師會提前兩到三天的時間將教學視頻及一些其他配套的教學資源上傳到班級QQ群或微信上供學生學習。在這段時間里，學生只要將資源下載到電腦或手機上就可隨時進行學習，也可以根據自己的接受情況暫停或倒回視頻的播放，甚至重復播放來滿足學習的需要。學生通過線上自主學習已經熟悉并掌握了必要的知識，課堂上教師將大量的時間留給學生來操作或解答學生的問題。線上學習這種開放、自主的學習方式，有利于學生合理安排自己的學習進度，有效滿足不同層次學生的學習需要。

（二）探究性的學習有利于培養學生發現問題、探究問題和解決問題的能力傳統教學課堂上，教師都會將操作的內容通過大屏幕或屏幕控制的方式，演示給學生看，并明確的告訴學生應該怎樣進行操作。教師的這種教學方式不能說有什么過錯，而且學生也不會出現什么問題。因為教師的教學采取的是無錯化的教學方式。但正是這種無錯化的教學，讓學生失去了很多發現問題和解決問題的機會。線上線下學習相結合的教學模式下，線上學習才是真正意義上的學習，線下學習其實就是探究、釋疑和解惑的過程。線下課堂，教師不再按照程序式的教學一步一步指導學生操作，而是把操作任務交給學生，讓學生自己獨立完成。學生的操作過程就是對問題進行探究的過程，他們按照自己的理解進行操作，遇到問題需要思考分析查找原因，并探尋解決的方法。比如給學生講解建賬套這部分內容時，教師總是會告訴學生一般的企業不要啟用集團賬，如果啟用了集團賬，將不能啟用總賬系統。傳統教學中學生聽教師這么一說便記住了，建賬套的時候就不會在“集團賬”前面勾選了，至于究竟會出現什么結果，并不清楚。教改后的線下課堂上，學生上機操作的可支配時間多了，他們會對自己感興趣的問題進行嘗試，從而培養學生探究問題和解決問題的能力。

（三）教學的內容更深更廣，學生對電算化知識的掌握更系統全面傳統教學中，由于受時間限制的影響，教師會對教材的內容進行一定的篩選，只對基礎的部分進行講解，學生所學的知識比較淺且內容比較窄。以期末轉賬定義為例，大多數教師都不會將這部分的內容作為重點給學生講解，舉幾個簡單的例子也就結束了。線上線下相結合的教學模式下，課堂教學的時間和空間范圍得到了無限放大，教學內容可以在原有的基礎上向一定的深度和廣度延伸。對于期末轉賬定義的內容，教師可以設定企業期末的具體業務，包括：計提財務費用、計提壞賬準備、分配制造費用、結轉生產成本、結轉銷售成本、結轉損益類賬戶、計算并結轉所得稅、結轉本年利潤、提取盈余公積、分配利潤、結轉利潤分配的明細科目等，這些都是電算化工作期末必須要做的，可以通過線下課堂讓學生系統操作達到熟悉的目的。教學上，還可以模擬企業的實際，設計2到3個月的業務讓學生練習，讓學生知道只有在第一次采用會計電算化的期末，才需要進行期末轉賬定義，以后期間的會計期末就只要進行轉賬生成而不用再定義了。只有通過這樣系統而全面的練習操作，學生才能靈活處理不同的業務內容。除此之外，線上線下課堂還有利于培養學生之間的團隊協作精神，尤其是線下課堂的分組教學、案例教學，能促進學生之間的相互交流和團隊的合作，也提高了教師的綜合素質。

三、應注意的問題

線上線下學習的實施對提高會計電算化課程的教學效果確實是顯著的，但如果實施不當就會使教學改革流于形式。

（一）教師要注意角色的轉變線上線下學習的主動性都交給了學生，教師的角色已悄然發生變化。學生的學習基本在線上課堂完成，線下課堂教師應避免將所有的教學內容按照傳統授課方式進行講解。教師首先應該是一位傾聽者，要學會聽取學生學習過程中遇到的問題；其次是一位答疑者，課堂上教師應該針對學生在學習中難以理解的知識點加以解釋，為學生消除疑慮，及時解答學生上機操作中出現的問題；再次是一位優秀的組織者，通過案例教學、問題研討等多種教學形式引導學生積極參與到課堂教學活動中，充分調動課堂的教學氛圍。

（二）教師要及時關注學生的學習狀況線上學習是一種開放式和自主式的學習方式，學習效果如何完全取決于學生自身的努力程度。如果學生沒有認真學習，那么線下課堂就無問題可提，接下來的操作和案例分析就難以開展。為此，教師必須及時關注學生線上的學習情況，設置一些相關的問題或任務清單，要求學生在完成線上學習的過程中，提交答案。另外，線下課堂教師也要隨機抽查部分學生的學習情況，給學生施加一定的壓力，促使學生將壓力轉化為動力，及時完成學習任務。

篇4

一、定義法求動點軌跡方程

例1已知A-7，0，B7，0，C2，-12，橢圓過A，B兩點且以C為其一個焦點，求橢圓另一焦點的軌跡方程.

解析：設橢圓的另一焦點Fx，y），由題意得|AC|+|AF|=|BC|+|BF|，所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|.而|BC|=13，|AC|=15，于是|FB|-|FA|=2，根據雙曲線定義可知，F在以A，B為焦點的雙曲線的左支上. 這里2a=2，所以a=1，又c=7，所以b2=c2-a2=48，故橢圓的另一焦點F的軌跡方程為x2-y2/48=1（x

點評：本題首先根據橢圓的定義A、B是橢圓上的點得出等式，|FB|-|FA|=2.

這樣根據定義先判斷出動點F軌跡的類型，再用待定系數法求出軌跡方程.

二、利用定義解決圓錐曲線的簡單幾何性質

例2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0），若橢圓上存在點P使asin∠PF1F2=csin∠PF2F1，則該橢圓的離心率的取值范圍為.

點評：橢圓和雙曲線中但凡涉及到曲線上的點到焦點的距離，通常要聯系定義解題.

變式訓練2：已知點P在雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的右支上，雙曲線兩焦點為F1、F2，|PF1|2|PF2|最小值是8a，求雙曲線離心率的取值范圍.

三、利用定義求最值

例3已知點P是拋物線y2=4x上的動點，點P在y軸上的射影是M，點A的坐標是4，a，則當|a|>4時，|PA|+|PM|的最小值是.

解析：拋物線焦點F1，0，設點P到準線：x=-1的距離為d，由拋物線的定義，d=|PF|.

點評：拋物線上的點到其焦點的距離和到準線距離相等，利用拋物線定義將二者互化，是解決拋物線中最值問題的重要策略.這里根據題意，將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，從而構造出兩點間線段最短，使問題迎刃而解.

變式訓練3：已知點P是拋物線y2=4x上的動點，F為其焦點，若B（3，2），|PB|+|PF|的最小值是

答案：4

篇5

圖1【原題】如圖1，已知點A（1，1）、B（3，4），P為直線l：x-y+2=0上的點，求|PA|+|PB|的最小值.

解：作點B關于直線的對稱點B′，連接AB′交直線l于點P，則lBB′且l平分BB′.

設B′（x，y），則y-41x-3×1=-1

x+312-y+412+2=0x=2

y=5，故B′（2，5）.

所以，|PA|+|PB|的最小值為|AB′|=（2-1）2+（5-1）2=17.

【點評】變式教學應取材于簡單、普遍的問題，學生都能接受.原題目不宜過難，重視通性、通法，重在激活學生思維，體現學生的主體地位.

【變式1】已知點A（1，1）、點B（3，4），P為直線l：x-y+2=0上的點，求|PB|-|PA|的最大值.

圖2解：如圖2所示，連接BA并延長BA交直線于點P，則|PB|-|PA|的最大值為|AB|=（3-1）2+（4-1）2=13.

【點評】變式1由原題產生，改變對原題的問法，把求和的最小值自然過渡為求差的最大值.通過改變結論，教師有的放矢地進行引導，有助于提高學生的數學思維能力.

【變式2】設點P是拋物線C：y2=4x上任意一點，點F為拋物線的焦點.已知點A（4，1），求|PA|+|PF|的最小值.

圖3解：如圖3，過A作AD準線l，交準線l于點D，當A、P、D三點共線時，|PA|+|PF|=|AP|+|PD|=|AD|=5（最小）.

【點評】變式2在原題的基礎上把在直線上找一點到兩定點的距離之和最小演變成在拋物線（曲線）上找一點到兩定點的距離之和最小.“變式”結合教學內容，符合學生的認知規律，符合教學目標.如果變式脫離學生實際，偏離了教學目標，那么這樣的變式就顯得毫無意義.

【變式3】已知雙曲線x219-y2116=1的左、右焦點分別為F1、F2，點A（9，2），P為雙曲線上一動點.求：

（1）|PA|+|PF2|的最小值.

（2）|PA|+315|PF2|的最小值.

圖4解：（1）由題意可知a2=9，b2=16，c2=25，F1（-5，0），要使|PA|+|PF2|最小，顯然點P要在雙曲線的右支上.

由雙曲線的定義可知|PF1|-|PF2|=2a，即|PF2|=|PF1|-2a，

所以|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a=（|PA|+|PF1|）-2a.

當P、A、F1共線時，|PA|+|PF1|取得最小值|AF1|=142+22=102.

連接AF1交雙曲線的右支于點P1，即當A、P1、F1共線時，（|PA|+|PF2|）min=102-6.

（2）設l為雙曲線的右準線，過點P作PHl于H，

由雙曲線的第二定義有|PF2|1|PH|=513得|PF2|=513|PH|，即315|PF2|=|PH|，

|PA|+315|PF2|=|PA|+|PH|≥|AH|.

篇6

在數學課堂教學中，師生應通過對數學問題的共同探究，培養學生的觀察、聯想、類比、計算等方面的能力，因而我們在平時課堂教學中，要特別注重例題的選材與教學，在課堂中充分調動學生學習的積極主動性，通過例題的教學，以達到提高數學課堂教學效率的目的。

1、在例題的教學中，要特別注重例題選材。

備課時選擇例題要恰當，選擇例題時首先要針對學生的特點，尊重學生的個性，著眼于加強掌握基礎知識，提高數學基本能力，其次要針對目前高考的特點，突出重點，把握難度。在解析幾何的教學中，圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質是高考的重點，圓錐曲線上的點到焦點的距離與到準線的距離的轉化是高考的熱點，有時也是其他知識交匯命題，所以在教學過程中，緊緊圍繞高考考點選擇例題。

2、注重例題分析

在例題分析時，先觀察題目的特點，由概念、法則、定理、策略的接近產生聯想；通過抓住問題的有關部分的特征以及它們之間的某種關系聯想；若正面解決問題有困難時，可從它的反面去聯想；數學各分支之間有關聯，也可橫向聯想。總之，我們可從解決問題的知識網絡，和解決問題的基本方法或思想方法去聯想確定解題思路，從而讓學生領會到知識網絡化，方法系統化的重要性。

下面舉例說明：

例題：已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F(1,0)的距離減去它到y軸距離的差都是1.(1)求曲線C的方程；

(2)是否存在正數m，對于過點M(m,0)且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有FA·FB

分析：本題主要考查拋物線方程的求法及直線與拋物線的位置關系的綜合應用，第(1)問除直接法還可以使用定義分析：即曲線上每一點到F(1,0)的距離等于到x＝－1的距離，故其軌跡是拋物線，第(2)問在解答過程中易忽視斜率的存在性，若避免這類情形可設直線為x＝ty＋m，這也是過定點的動直線方程的常見設法．

3、注重例題解答

在例題探索思路確定的情況下，再來考慮書寫解答過程，書寫解答時，精力要集中，操作要規范，計算要準確，力求不涂改，同時注意書寫優化過程。

下面給出例題的解答過程：

思路點撥(1)利用直接法或定義法求曲線方程； (2)設AB所在直線時要注意斜率的存在性．

［自主解答］(1)設P(x，y)是曲線C上任意一點，那么點P(x，y)滿足：

x-12+y2－x＝1(x>0)．化簡得y2＝4x(x>0)．

(2)設過點M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)．

設l的方程為x＝ty＋m，由x=ty+my2=4x得y2－4ty－4m＝0，Δ＝16(t2＋m)>0，

于是y1+y2=4ty1y2=-4m，①又FA＝(x1－1，y1)，FB ＝(x2－1，y2)，

FA·FB

又x＝y24，于是不等式②等價于y14 · y24＋y1y2－(y14＋y24)＋1

將例1的條件改為“已知一條曲線C在y軸左邊，C上每一點到F(－2,0)的距離減去它到y軸的距離的差都是2”．

(1)求曲線C的方程．

(2)設過點N(2,0)的直線l的斜率為k，且與曲線C相交于點S、T，若S、T兩點只在第二象限內運動，線段ST的垂直平分線交x軸于Q點，求點Q的橫坐標的范圍．

解：(1)據題意，曲線C上的點到點F(－2,0)的距離與其到直線x＝2的距離相等，因此曲線C是以F(－2,0)為焦點，以直線x＝2為準線的拋物線，曲線方程為y2＝－8x(x＜0)．

(2)設S(x1，y1)，T(x2，y2)，

由題意得：ST的方程為y＝k(x－2)(k≠0)

與y2＝－8x聯立消元得ky2＋8y＋16k＝0，則

y1＋y2＝－8k，y1y2＝16，因為直線l交軌跡C于兩點，所以Δ＝64－64k2＞0，

再由y1＞0，y2＞0，得－8k＞0，故－1＜k＜0，

因為線段ST的中點坐標為(－4k2＋2，－4k)

所以線段ST的垂直平分線的方程為

y＋4k＝－1k(x＋4k2－2)

令y＝0得點Q的橫坐標為xQ＝－2－4k2.

而xQ＝－2－4k2＜－6，

所以Q點的橫坐標取值范圍為(－∞，－6).

4、注重例題評點

篇7

一、促進參與學習,進行有效教學

積極有效參與可保持學生較強的學習需求,這就要求老師在課堂上,根據教材內容和學生學情情況,合理地設置問題,引導學生積極參與探究問題。教師要引而不發,激勵學生質疑思索,探索分析解題策略,鼓勵標新立異,同時啟發學生積極思維,發表獨立見解,進行創新的解決問題,始終讓學生保持著較強的求知欲望,進行有效教學,使學生產生積極的思維,從而激發他們的學習興趣,使教學質量不斷上升。

例如:在教學雙曲線時,我設計了這樣幾個步驟引導學生積極參與探索學習:(1)實驗――獲得感性認識(要求學生先回憶橢圓定義,若把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”那么點的軌跡會發生怎樣的變化?讓學生用多媒體演示動點軌跡,使|MF|-|MF|=常數,就得到另一條曲線,這兩條曲線合起來叫做雙曲線。)。(2)提出問題,思考討論。①動點所滿足的幾何條件是什么?這個常數與|FF|的大小關系如何?為什么?②雙曲線上的點應滿足的條件是什么?③你能給雙曲線下一個定義嗎?(3)揭示本質,給出定義。這樣,學生經歷了實驗、合作、探究、討論、交流后,對雙曲線的定義的實質掌握得很好,教學效果佳。

二、運用一題多解,培養靈活思維

新課改要求我們注重學生能力的培養,一題多解訓練是培養學生靈活思維的重要途徑。因此,在課堂教學中,我們要根據學生學情,挖掘教材,設計一題多解,有效訓練學生思維。一題多解,并不是教師把多種解法演示給學生看,而是要求教師巧妙地引導學生從多角度觀察去思考和解決問題,讓學生在小組合作氛圍中學習,有效地培養學生敢做、敢想、頑強、自信、認真、求實的品質。教者要不斷地啟發學生運用數學思想方法去探索分析,只要學生有扎實的基本功,就會不斷爆發思維碰撞的火光,解題中也會屢見奇招,這樣就會實現培養學生靈活思維之目的。

例如:在高三數學復習時,我設計了這個問題:證明三點A(0,4)、B(-4,-8)、C(1,7)在同一直線上。

我引導學生在小組中探索分析:要證明三點共線,就要聯想到證明點共線的方法,即證明三角形面積等于0,先確定兩點一條直線,然后證明第三點在這條直線上等方法。學生經過努力探索、交流和討論,得出如下幾種證明方法。

證法1:求出直線AB的方程,代入點C進行驗證,而證明三點共線;

證法2:由k=k,而證明三點共線;

證法3:計算|AB|、|BC|、|AC|,得到|AB|+|BC|=|AC|,證得三點共線;

證法4:由x坐標計算出λ,由y坐標計算出λ,得到λ=λ,從而證明三點共線。

三、運用一題多變,培養發散思維

高中數學的題目量較大,特別是在高三復習時,每個題目都講那是不可能的,也不現實,這就要求教師進行探究變式教學,引導學生在解答某些數學題之后,讓學生進行觀察、判斷、聯想、猜想或改編,對數學題條件和結論作進一步的探索,從不同的側面探究各種變化,并對這些“變式題”進行解答。我通過多題綜合、類比的方法,使學生明白,數學只不過是這幾個題目,它們太相似了,從而培養學生靈活、深刻、廣闊、發散的數學思維能力,達到拓寬學生思維的目的。

例如:在教學數列時,我這樣設計:對于等差數列的通項公式:a=a+(n-1)d,顯然,四個變量中知道三個即可求另一個(解方程)。然后,我放手讓學生自己編寫題目。在編題過程中,我引導學生要對公式中變量的取值范圍、變量之間的內在關系、公式的適用范圍等有全面的掌握。如上題中,若d改為-3,則-9為第項,顯然荒謬。因此,在平時教學中,教師要積極引導學生主動參與,只有這樣訓練,才能拓展學生認識數學問題的視野,提高學生認識數學習題的層次,從而培養學生的發散思維。

四、運用開放手段,活躍課堂氣氛

新課改要求教學要以學生為主體,教師為主導。以思維為主線的開放式教學可以突破傳統教學的模式,深化數學教育改革。因此,在教學中,我們要運用開放手段,打破封閉式教學模式,活躍課堂氣氛。在設計開放題型中,我讓學生充分發揮主體作用。學生在探索、討論、交流、合作的前提下,自由地學習。轉變以前的數學教育觀念,充分展示個性,使學生在數學活動中獲得應有的收獲,達到提高教學效率之目的。

例如:在高三數學復習時,我設計這個問題:α、β是兩個不同的平面,m、n是平面α及β之外的兩條不同的直線,給出四個論斷:①mn;②αβ;③nβ;④mα。以其中三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題:?搖?搖?搖?搖。

這就是一個非常開放的問題,我設計的目的,是讓學生可以根據自己原有的認知水平,得到不同的方案。①mα,nβ,αβ。②mn,mα,nβ,這樣的問題設計有助于培養學生的創新意識,發展創新能力,同時也活躍課堂氣氛。

篇8

1. 深入理解概，培養學生思維的深刻性

正確理解概念，是學好數學基礎知識，掌握基本技能的前提。教學中不僅要搞清各種概念的來龍去脈，而且要指導學生透徹地理解概念，才能用概念去理解題意、解決問題、提高學生的思維能力。例如雙曲線的定義，必須緊扣定義中的"兩定點"、"差"及"常數"這些關鍵性的詞語，只有這樣才能搞清雙曲線的確切含意，才能以此判斷某一曲線是否為雙曲線，兩定點F1和F2距離之差的絕對值等于常數的點的軌跡，一定是雙曲線嗎？

例1：到兩定點F1（-5，0），F2（5，0）距離之差的絕對值是12的點的軌跡是（ ）

A、橢圓 B、雙曲線 C、圓 D、都不是

很多學生都選擇了B，這是錯誤的。產生錯誤的根源是沒有理解雙曲線定理義中的"小于|F1F2| "這一限制條件的重要性，如果定義中的常數改為等于|F1F2| ，此時動點的軌跡是以F1 、F2為端點的兩條射線；如果定義中常數大于|F1F2| ，此時動點的軌跡不存在，所以本題應該選D.

2.一題多解，培養學生發散思維

對一個題目，從不同角度分析，采用不同方法求解，是開拓學生思路，培養學生掌握解題方法的重要途徑。

例2：已知復數Z1，Z2滿足|Z1|=|Z2| =1，且，求|Z1+Z2| 的值。

解法1：設Z1=a+bi，Z2=c+di（a，b，c，d∈R），則有：a2+b2=c2+d2=1，（a-c）2+（b-d）2 ，即|Z1+Z2| =2 ；

解法2：設Z1=cosθ1+isinθ1，Z2=cosθ2+isinθ2，θ1θ2 則有（cosθ1-cosθ2）2+（sinθ1-sinθ2）2=2 cos（θ1-θ2）=0

（cosθ1+cosθ2）2+（sinθ1+sinθ2）2=2即 =|Z1+Z2|= 2

解法3：因|Z1|2+|Z2|2 ，|Z1-Z2|2=2 故有|Z1|2+|Z2|2=|Z1-Z2|2

設Z1，Z2對應的點分別為A，B（如圖），則有|OA|2+|OB|2=|AB2| 所以ΔAOB為等腰直角三角形，又|Z1+Z2| 是以OA，OB為邊的平行四邊形的對角線OC，而這個平行四邊形是正方形，故|Z1+Z2| =|OC| =2

解法4：由Z1·Z1=|Z1|2=1 ，Z2·Z2=|Z2|2=1 ，與（Z1-Z2）（Z1-Z2）=2Z1·Z2+Z2·Z1=0

（Z1+Z2）（Z1+Z2）=Z1·Z1+Z1·Z2+Z2·Z1+Z2·Z2=0

即|Z1+Z2|= 2

這樣不僅完滿的解決了這一問題，而且比較鑒別，可以避繁就簡，明確這一題目的基本解法。更重要的是學生通過問題的解決，集中全力回憶了所學知識，并以辯證的觀點進行邏輯分析，從而使所學知識融會貫通，使學生的邏輯思維能力和解決問題的能力都得到了進一步的提高。

3.掌握知識結構體系，培養聯想思維

數學中有許多知識是相互聯系的，有許多問題可以用同一思維或同一方法解決的。因此在教學中應選取形式不同，性質相近，思維相仿，方法類同的題目，把它們集中串連在一起，使學生對同一概念，同一公式在不同場合中的應用有所了解、有所啟發，從而發現問題、總結規律，使其掌握一種方法。解決一類問題。例如，幾何中學習了"點在直線上"的證明方法后，對"三點共線"和"三線共點"的問題，通過探索，發現它們與"點在直線上"的問題是密切相關的。因為"三點共線"的證明，只要取其中兩點定義直線，再證明第三點在此直線上就行了；而"三線共點"的證明只要證明其中兩條直線相交一點，再證明焦點在第三條直線上就可以了。因此"三點共線"和"三線共點"的證明都可以都可歸結為"點在直線上"的證明問題。這樣就是這類較難的數學問題歸結出一般方法。

又如，求軌跡方程是解析幾何中的重要內容，也是一個難點，在教學中，通過串聯例題，歸結出求軌跡問題的一般方法：一是能用解析幾何公式或平面幾何定理列出方程，可用直接法；二是符合圓錐曲線定義的可用定義法；三是有兩動點，而另一動點也隨之運動的代入法；四是上訴方法都不適合的則引進參數法。使用參數法的方法是：如已知直線斜率，從縱截距b作參數；已知直線經過一定點利用斜率k作參數：求兩動直線交點的軌跡則用同一參數，寫出兩動直線的方程；是旋轉運動的動點的軌跡，用θ（角度）作參數；是平行移動的動點的軌跡，用t（線段長度）作參數。這樣通過歸納分類，學生有章可循，遇到求軌跡問題不再感到難以下手。實踐證明在明確概念、熟記法則的基礎上，掌握主要題型的解題規律，是減輕學生負擔，提高解題能力的一種有效方法。

4.逐步引申，培養創新思維

如復數這一章，有不少習題往往是某一問題的特例。教學時，積極引導學生對這些特例做適當的引申、推廣，尋找一般規律，可以激發學生的學習興趣，并培養其探研和創新能力。

例3：已知 ，求證 Z1，Z2∈C，求證Z1，Z2中至少有一個是零（（甲種本）P112第16題）

我在一次習題課中，通過一題多解進而引導學生做出了如下引申、推廣和應用，激發了學生的學習興趣，取得了良好的教學效果。

問題：設Z1，Z2…… ，Zn∈C且 ，則Z1，Z2，……Zn 中是否至少有一個是零呢？

探索：|Z1，Z2，……Zn|=|Z1|·|Z2|……|Zn| ，又Z1·Z2……Zn=0 ，|Z1|·|Z2|……|Zn|=0 ，即|Z1|=0 或|Z2|=0 ，……，或 |Zn|=0

故，Z1，Z2，…… ，Zn中至少有一個為零。

反之顯然成立，因此可歸納可得：

命題：設Z1 ，Z2，……，Zn∈C則Z1，Z2，……，Zn 中至少有一個為零的充要條件是Z1·Z2……Zn=0

運用上述命題，可方便的證明如下一些問題：

1.已知 ，且Z1+Z2+Z3=1Z1+1Z2+1Z3 ，求證：Z1，Z2，Z3中至少有一個復數是1.

2.已知，Z1+Z2+Z3=1Z1+Z2+Z3 ，證明：三個復數Z1，Z2，Z3 分別對應的向量OZ1 、OZ2 、OZ3 中至少有兩個向量的和必為零。

5.有意設陷，培養學生思維的嚴謹性

學生在解題過程中，由于概念不清，審題不周，混淆條件，忘卻約束，常常出現解題不嚴謹，乃至錯誤，這就是教育心理學上的"遷移干擾"。為了解決這個問題，我在復習課中采用了"有意設陷"的辦法，就是針對平時教學中積累的學生知識中的缺陷，把易出錯的題目歸類編組，讓學生完成，這樣就有不少學生不自覺地落入"陷阱"。這是他們必然或產生強烈震動，引起學生強烈的求知欲望。此時再因勢利導，分析落陷的原因，就能使學生悟出一定教訓，然后自啟發學生尋求正確的解題途徑，學到嚴謹的方法。

例4：判斷f（x） =x4+x3x+1的奇偶性

錯解：解析式簡化為f（x）=x3

f（-x）=-f（x），函數為奇函數。

篇9

【關鍵詞】發生式定義 射線 概念教學】 人教版修訂教材在“線段、直線和射線”內容編排上，對“射線”“直線”等概念的表現形式進行了調整。以“射線”概念為例，原教材為“像手電筒、汽車燈和太陽射出來的光線，都可以近似地看成是射線”，屬于描述式概念，它的優勢在于采用較為直觀的手段對射線進行單列教學，但弱化了“線段”“射線”“直線”之間的聯系；修訂教材調整為“把線段向一端無限延伸，就得到一條射線”，屬于發生式定義概念，它以數學化的方式強調了射線產生和形成的過程，但相對比較抽象。

在“射線”概念的實際教學中，普遍存在兩種現象。一種是沒有關注到概念表現形式的變化，依然采用老的教學思路開展教學，未能體現教材編排應有的意圖；另一種是采用直接介紹或發出指令得到射線概念，學生對概念發生形成過程感知不充分，機械接受學習的痕跡比較明顯。那么，在教學中能否把射線概念發生形成過程刻畫得生動一些、體驗更為充分一些呢？筆者進行了有益的探索。

一、教學過程

1. 呈現圖片，復習線段特征。

2. 出示一組圖示，組織學生討論是否可以看作是線段。

通過判斷交流、手勢比畫指認明確，一根直的吸管、一束光射到物體上那段光線、子彈直直地運動路線都可以看成是線段，兩個端點表示靜態物體的兩個頭、動態物體的起點與終點。

3. 比較上述三條線段的異同，強化線段“可以度量、兩個端點”的特點。

4. 呈現圖4，動態演示子彈穿過靶心直直地向正東方向一直運動。

討論：它是怎樣運動的？想一想，會得到怎樣的一條線？（學生根據情境圖嘗試畫線）

5. 反饋交流辨析。

（1）呈現作品1（畫有兩個端點），討論得出：第二個端點表示運動終止，與“向正東方向一直運動”要求不符合，不能畫第二個端點。

（2）呈現作品2（一端延伸部分畫到練習紙邊沿作品）、作品3（一端延伸部分沒有畫到練習紙邊沿的作品，討論得出：由于這條線一端無限延長沒辦法畫完，只能畫出其中一部分。

（3）呈現作品4（如右圖）：

師：這幅作品你能看懂嗎？

生：它表示從端點出發，經過靶心，然后向正東方向無限延伸。

結合學生表述，標注字母“A”“B”，指名學生描述圖意：從A點出發，經過B點，向正東方向無限延伸。

師：點B是端點嗎？

生：不是。因為如果是端點，它就停止了，無法一直運動了。

教師遮住點B的延伸部分，引述：如果點B是端點，子彈運動形成的路線是一條什么線？

生：線段。

師：現在子彈要向正東方向一直運動，接著應該怎樣畫呢？

結合學生“把線段向右邊延長”的觀點，慢慢移除遮住部分。指出這樣的線叫作射線，可以用一個端點和射線上的點進行命名，得出射線AB。

6. 給出線段AB（圖），討論：線段AB從B點出發，經過A點，向正西方向無限延伸，會得到什么線？這條射線怎么命名？

校對，得出射線BA。組織比較：射線AB和射線BA有什么相同點？

生：都只有一個端點。

生：都是向一個方向無限延伸，都無法測量。

生：都是從線段AB延長出來的。

歸納指出：把線段向一端無限延伸，就得到一條射線。

7. 呈現圖3、圖4，組織討論：都是子彈射出去、點直直地運動，怎么一會兒形成線段，一會兒形成射線？

生：圖3中的點已經停止運動了，就會形成線段；圖4中的點一直運動，就會形成射線。

生：圖3有起點和終點，是一條線段；圖4只有起點，沒有終點，是一條射線。呈現圖2（一束燈光射到小島上），討論：怎樣才能把一束光線看成射線？

生：如果燈光不受阻擋一直照射下去就可以看成射線了。

8. 判斷練習，呈現圖像說出線的名稱，引出直線。介紹直線是由線段向兩端無限延伸得到。介紹直線的兩種命名方式。

9. 小結梳理三種線的特點，教師采用動態過程性畫法給出線段、射線和直線的圖像，組織學生根據過程性畫法用肢體表演三種線。

10. 練習紙提供O，P兩點，要求學生經過兩點畫三種線。校對反饋，組織觀察：直線OP藏著一條線段，你能找到嗎？

同桌互相指認，全班交流指出，只要把O，P兩點看作端點就是一條線段，把線段OP兩端無限延長就得到直線OP。

師：那你能在直線OP中找到射線OP嗎？

生：把點O看作端點，點O和它右面的那部分就是射線OP。

師：射線PO呢？

生：把點P看作端點，點P和它左面的那部分就是射線PO。

師：是的。把直線上一點看成端點，這個端點和它一旁延伸部分就是射線。線段、射線都是直線的一部分。

……

二、教學體會

（一）發生式定義過程刻畫，需要適切的感性材料予以直觀感知

盡管發生式定義教學起點是概念，但它在獲取概念方式上仍屬于概念形成，依然需要一個直觀感知到表象建立的過程。具體到“把線段向一端無限延伸就得到一條射線”的發生形成過程，應該先讓學生清晰感知到線段原型向一端無限延伸的動態過程（而不是抽象地直接將線段向一端無限延伸），然后組織學生把觀察到的過程用圖像進行記錄，從而形成表象。要使表象清晰準確，就需要追求適切的感性材料加以直觀刺激。

所謂適切的感性材料，應該是基于學生經驗，能夠反映概念特有本質和整個動態過程的。在前測中發現，學生對“射線”比較陌生，經驗并不充足。在聽到過“射線”的學生中，部分學生把射線描述為太陽光、燈光等，還有部分學生把射線描述為射出去的箭或有彈射功能的物體。多數學生對射線僅停留在“射出去”字面意思的理解，對于射線延伸的特點并不清晰，甚至是錯誤的，把射線和線段混淆在一起。又由于線段“發生”成射線，是一個點運動的過程，而教材給出的線段材料都是靜態的，不利于概念發生過程的感知。基于兩者的考慮，筆者采用了“子彈打靶”的材料，收到較好的直觀感知效果，主要表現為三個方面。一是貼近學生原先“射出去”的認知起點，有利于學生經驗的激活；二是“穿過靶心”的動態畫面吻合線段向一端延伸的描述，有利于“端點”和“射線上的點”直觀解釋；三是通過兩幅“子彈打靶”圖的對比，加強了線段和射線的比較，凸顯了射線的本質特點，也對學生原有“射線就是射出去的線”認知經驗進行了必要的改造。

（二）發生式定義過程刻畫，需要動態直觀演示與圖像表達交互運行

加深學生對發生式定義過程的感知，除了提供適切的感性材料外，還需要創設機會讓學生在直觀演示與圖像表達之間來回體驗。一般為兩種方式，一是把直觀演示過程畫下來，二是根據圖像把動態過程演示出來。在射線圖示反饋辨析中，先借助前三幅圖的比較區分得出射線向一個方向無限延伸的特點，然后借助對圖4的解讀，在區分端點和射線上的點同時明確射線是從線段向一端無限延伸得來。在這個核心環節里，通過把看到的過程畫下來，從動態走向靜態形成表象。在三種線特點梳理環節，教師給出線段、射線和直線的圖像，要求學生用肢體表演三種線就屬于從抽象到具體，進一步體會概念的發生形成過程。

篇10

[關鍵詞]線性代數 矩陣乘法運算 教學過程

[中圖分類號] G712 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2013）10-0039-02

一、引入

給出下列實際問題：

某學校每位男生，每位女生，每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用統計表：

■

電子與信息工程專業（簡稱電信）1，2兩個班男女生人數統計表：

■

學生待解決問題：通過以上兩個表格的信息，計算電信1、2兩個班每天早上花費在牛奶、面包、雞蛋上面的費用分別為多少？完成下面表格：

■

將以上三個表格對應的矩陣記為A，B，C，矩陣C稱為矩陣A，B的乘積。

這樣的引入，比起直接給出矩陣乘法定義的教學模式，更直觀更接近生活實際，能夠激發學生學下去的欲望。

二、矩陣乘法的定義講解

矩陣乘法定義的講授，主要采用啟發式教學方式，按照提出問題、分析解決問題的兩個步驟進行教學。

（一）提出問題

給出定義之前，提出3個問題，讓學生帶著這3個問題去自學定義：

問題1：A與B必須滿足什么條件才能相乘？為什么？

問題2：乘積C的行數，列數與A，B的行數和列數有怎樣的關系？

問題3：矩陣C的任意元素cij是由A，B的元素怎樣運算所得？

提出問題的目的在于可以讓學生有的放矢地學習，有目的性地獲得矩陣乘法定義的三個重要知識點，突出教學目的。

（二）分析解決問題

待學生幾分鐘自學完成后，結合引例和定義，和學生一起對剛才的問題進行完整地解答，只要解決了剛才提出的三個問題，矩陣乘法定義的精髓便已獲得，再給出一個例子，鞏固剛才的成果。

例：已知A=■，B=■， 問A，B能否相乘？若能，求出兩個矩陣乘積（解答此例題同樣緊緊圍繞剛才提出的3個問題一一進行解答）。

三、矩陣乘法運算規律講解（重點與數的乘法運算規律進行對比學習）

求解下列例題，并由此得出與數的乘法運算規律不一樣的結論。

例1：A=■，B=■，問AB，BA是否都有意義？如有，求出來。

結論1：矩陣AB有意義但是BA沒有意義。

例2：（1）A=■，B=■，求AB，BA

（2）A=■，B=■，求AB，BA

結論2：AB與BA同時有意義的前提下，AB也不一定等于BA，即說明矩陣乘法不滿換律。和數對比，對于任意兩個數a， b， 都有ab=ba。

例3：A=■，B=■，C=■，求AB，AC

結論3：若A≠O，B≠O，也有可能得到AB=O，反之若AB=O，不能得到A=O或者B=O。對于兩個數：

a，b∶ab=0？圯a=0或者b=0。

結論4：AB=AC，A≠O，不能推出B=C，對比數：ab=ac，a≠0？圯b=c

以上運算規律是和數不一樣的地方，接下來看兩者類似的運算規律：

1. 結合律 （AB）C=A（BC），λ（AB）=（λA）B=A（λB），λ為數

2. 分配律A（B+C）=AB+AC左分配，（B+C）A=BA+CA右分配，

（此分配律要特別強調矩陣的位置）

例4：A=■，B=■，求AB，BA

結論5：對角陣相乘滿換律，所得乘積為一個對角陣，對角陣上的元素即為兩對角陣對角線上的元素對應相乘。

例5：ImAmn，AnmIn

結論6：ImAmn=AnmIn=A

四、數的乘法與矩陣乘法對照學結表

為了幫助學生記住剛才的各個知識點，在詳細講解完后，將矩陣乘法的相關運算規律和數的乘法進行對比總結，如下表：

教學實踐證明：這樣的教學安排，確實能夠易化學生矩陣乘法的學習，優化學生學習效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張志讓，劉啟寬.線性代數與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2] 吳傳生，王衛華.經濟數學――線性代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3] 同濟大學數學系.工程數學――線性代數[M].北京：高等教育出版社，2007.