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【關鍵詞】廣泛應用性 高中數學 教育 聯系 影響

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2017.10.148

基于社會的不斷發展與進步，傳統的高中數學教育模式顯然已難以滿足當前人才的需求，必須打破舊有的教育模式，開⑷新的數學應用教學的征程。數學作為理論與實踐緊密聯系的一門學科，教師在實際的數學教學活動中要重視數學的應用性，讓學生意識到數學于實際生活中的作用。以往的高中數學教學模式傾向以應試教育為主，過于重視學生分數的提高，而忽視其實用性。高中數學廣泛的應用性有著雙面效用，為教學工作的開展帶來一定的難度，同時又可以借助數學的應用性，有針對性地開展高中數學的教學工作。

一、當代數學廣泛應用性與高中數學教育的聯系

（一）數學廣泛應用性的體現

1.基于數學理論層面的應用。在相關經濟學的研究中，常常會涉及較多的數學理論，如線性規劃、運籌學、優化理論等。

2.基于數學思想方法層面的應用。在相關歷史學的研究中，借助數學的思想方法，可以使研究的過程與研究成果更加嚴謹、精準，有利于收集與整理材料，并分析材料的內容，拓寬思考問題的方式，從而解決某些難題。

3.基于數學思維層面的應用。掌握并靈活應用數學思維模式，數的意識、化歸意識、推理意識等數學的廣泛應用性是普遍適用、強有力的思維方式，可以構成技術時代至關重要的能力，能夠識別謬誤與估計風險，同時提出變通的方法。

4.基于數學語言層面的應用。數學的“語言”是世界不同種族通用的語言，正如伽利略所說的那樣，“自然界的偉大的書是用數學語言寫成的”，數學的應用需要以數學語言作為表征。

（二）高中數學教育中的價值取向

當前我國高中數學教育雖然對數學的應用思想予以一定的重視，但著力點仍停留于數學的空間能力、運算能力、邏輯能力上，偏重于抽象的思維能力方面。高中數學教育中一直有著價值取向選擇的問題。

1.應用價值。數學學科有著較強的應用性，高中數學的教材中有許多相關的例題與習題，教師在教學活動中要把握實例，以此來引申拓展，讓學生形成應用數學知識解決具體問題的思路。比如，運用函數的最值來解決優化問題，運用對數、指數、數列等知識解決與經濟相關的問題。近年來，高考數學試題的編制傾向于應用型問題，與時代要求相契合，又源于數學自身的應用價值。

2.思維訓練價值。數學可以啟迪、訓練人們的思維能力，被看作鍛煉思維的“體操”，通過長期的數學學習，可以在潛移默化中形成嚴謹、縝密的思維，使其學習、生活更加富有條理性，各方面的能力都能得到一定的提升。數學思維具有創造性、策略性、條理性的思維模式，數學教育學家奧加涅相說：“區別于傳統教學，現代教學的特點就在于力求控制教學過程以促進學生思維的發展，而基本的思維方式則成為學生要掌握的專門內容”。

（三）平衡數學教育中的兩種價值取向

數學可以看作為思維的科學，即使從事與數學亳不相干的職業，加強數學思維的訓練也有著極大的益處，這也就是數學最為廣泛的“實用性”。在高中數學的學習過程中，要想解決實際問題，離不開數學的思維方式。學生的思維得以活躍，必須借助一定外界因素的刺激，因此，在數學的教學活動中，教師需要認真鉆研教材內容，精心創設問題情境，從而激發學生的數學思維，全方位地提升學生的素質。高中數學教育中的應用價值與思維訓練價值，二者之間的張力如何平衡，是值得深入研究的問題。

二、當代數學廣泛應用性與高中數學教育的影響

（一）高中數學的應用性教學及其目的性

1.對高中數學的應用性教學的界定。高中數學的應用教育，借助于數學知識、方法與思想來研究客觀世界中存在的各種現象，并對其進行加工、整理與組織的教學過程。通過實際問題，來構建數學的模型，轉化為與數學相關的問題，再運用數學的思想與方法解決問題，整個過程呈現的是一種基于能力型的教育活動。

2.高中數學的應用性教學的目的。《新課程標準》對數學知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀方面提出了較為明確的教學目標。高中數學的應用性教學的目的在于開發學生的智力水平，強化數學的思想方法于其他領域中的運用，使學生的發散思維得以發展，促進學生分析問題與解決問題的能力的形成，培養學生的實踐能力，可以自主地運用相關的數學知識去處理問題。

（二）對高中數學教材的處理

1.從數學廣泛應用性的角度思考高中數學教材的處理。 第一，高中數學的教材中要充分體現數學應用價值與思維訓練價值二者的有機融合；第二，高中數學的教材中要突顯其工具性；第三，基于素質教育實施的層面考慮，高中數學的教材建設要盡可能體現數學應用所具有的教育價值。我國當前高中數學教育所使用的教材多數為理論型教材，理論型數學教材不利于數學應用教育的開展。要以數學應用為出發點，構建多層次、多形態與多樣化的教材體系，既有嚴謹探討的理論，也有實例闡述的理論，并對理論的應用多加關注。

2.從數學應用的角度思考高中數學教材的處理。高中數學教材中要盡量選用源于實際生活中的問題，闡述與數學知識相對應的實際應用領域，直觀呈現數學這一解決現實問題的手段。高中數學教材作為重要的教學資源，教師要對其進行適當的加工，在理解教材內容的基礎上，靈活駕馭教材中的數學知識，創設合理的教學情境，有效提升教學的質量。

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一、高中數學的特點

1.高度抽象性

學習數學首先是學習抽象，而抽象離不開觀察、概括、比較、分類，因此數學學習方法要求掌握觀察、比較、分類、概括、抽象等思維方法，多觀察和制作模型，并把實物和模型聯系起來。

2.邏輯的嚴謹性

觀察和實驗不能作為論證的依據和方法，而要經過邏輯推理，才能得到承認，而邏輯推理在數學中主要通過證明和計算來完成，所以數學學法也就是具體的證明和計算方法。

3.應用的廣泛性

數學應用的廣泛性表現在數學研究的主要是對象的空間形式和數量關系。而應用數學解決問題主要通過提出問題，明確地用數學語言表述，建立數學模型，證明和計算，檢驗評估，因此數學學法必須掌握建立數學模型，用數學文字描述客觀事物，并對之證明、計算、檢驗。

二、如何學好高中數學

1.養成良好的學習習慣

建立良好的學習習慣，會使自己學習感到有序而輕松。學習高中數學的良好習慣應是：多質疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應用。良好的學習習慣包括課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。

2.掌握常用的數學思想和方法

學好高中數學，需要我們從數學思想與方法高度來掌握它。中學數學學習要重點掌握的數學思想有以下幾個：集合與對應思想，分類討論思想，數形結合思想，運動思想，轉化思想，變換思想。有了數學思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數、數學歸納法、分析法、綜合法、反證法等。

3.逐步形成“以我為主”的學習模式

學習數學就要積極主動地參與學習過程，養成實事求是的科學態度，正確對待學習中的困難和挫折，養成積極進取，不屈不撓的優良心理品質；在學習過程中，要遵循認識規律，善于開動腦筋，積極主動去發現問題，注重新舊知識間的內在聯系，從多側面、多角度思考問題，挖掘問題的實質，結合自身特點，尋找最佳學習方法。

4.針對自己的學習情況，采取一些具體的措施

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【關鍵詞】初中數學教學；數學教學過程和結果；問題；策略

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2014）20-0182-02

一、初中數學教學的特點

初中數學主要研究的數量關系、空間，符號體系具有嚴密性，公式結構也是獨特的，圖像語言非常形象。和小學數學相比而言，初中數學擁有邏輯性的教材結構、更強的系統性。首先在知識銜接上，后邊學習的基礎往往是前面所學的知識；另一方面表現在數學知識掌握的技能技巧方面，已有的技能技巧是新的技能技巧形成的前提條件。概括起來講，初中數學教學有以下幾個方面的特點：抽象性，邏輯的嚴密性，應用的廣泛性。

（一）抽象性

數學和其它學科的抽象性相比，初中數學在對象上、程度上都不同。借助于抽象才形成起來的數學，也是憑借抽象發展的。對象的具體內容是抽象的數學撇開的，而只是保留了數量關系和空間形式。運算數學、推理數學、證明數學、理論數學的合理性等，而不同于可以借助可重復的實驗來檢驗那樣，嚴密的邏輯方法才能保證其實現。

（二）邏輯的嚴密性

具有嚴密邏輯性的數學，任何被承認的數學結論都是經過了嚴格的邏輯推理的。也并非數學所獨有嚴密的邏輯性。任何科學都會有邏輯工具的應用。但和其它科學相比數學對邏輯的要求不同。

（三）應用的廣泛性

數學作為一種工具或手段，運用在科學技術及一切社會領域中。數學化各門科學，是一大趨勢。互相聯系的三個數學的特點，抽象性的高度，決定了嚴密性的邏輯，同時又確保其應用性的廣泛性。

二、初中數學教學的過程

新課標形勢下，要求初中數學教學要包含以下幾個過程：

（一）教師專業化的學習

教師進行專業理論以及專業知識的學習，是教育教學能力提高的重要途徑之一。為推進教學改革數學新課程，數學教師應加強學習現代教育理論。加強對大眾數學、新的教學理論的了解；加強對當下數學教育發展的總體趨勢的了解，把握數學學科改革的大體方向；加強對《數學課程標準》學習和把握；加強對本學段全套數學教材的鉆研；各個部門組織的專業培訓應積極參與，學校數學課程的培訓和研究應主動參加，理論素養不斷提高，不斷加強數學專業水平和教學能力。

（二）教師學科備課

（1）制定長期和短期教學計劃。

（2）了解國家精神和學校要求，明白教材理念和精神。

（3）制定本學期的教學安排和內容，鞏固好本階段和上階段已完成的階段性的勝利。

（4）制定復習計劃。

（三）教師課堂教課

1.數學課堂的教學要求

（1）實施的教學目標應符合新課標的要求，學生此階段的心理基礎、特征、認知水平。

（2）學習資源、素材應提供豐富、恰當，教學媒體的運用有助自主學習課堂的建構。

（3）有學習組織的有序，數學教學過程清晰。

（4）學習指導的合理有效。數學問題情景的合理創設，學生探究心理被激發；

（四）批改作業

1.布置作業緊扣新課標，習題的精選，適當的難度，適中的份量，學生過重課業負擔得到減輕。

2.題型避免單一，注重彈性，不同的作業要求對不同水平的學生。

必須批改統一布置的作業。

三、初中數學教學的主要問題

（一）落后的觀念，學習積極性缺乏

目前，大部分的課堂教學仍然是以老師為主，講的越多越好，學生只是被動的聽，練習也很機械，這種教學方法對學生的發展很不利，也不符合新課標的要求，不能適應當代社會對人才的需要。

（二）只注重形式，忽視教學本質

有些老師課堂上只一味的和學生進行互動，對互動的目的并沒有很多思考。隨意的帶動學生，隨意的開展討論，只是對新課標的理解的流于形式。

（三）單調的形式，沒有互動

和上一條相比，有些教師在課堂上只是注重學生考試成績，只是講解各個知識點，并不能讓學生很好的理解為什么是這樣，更有甚者讓學生自己死記硬背公式，或者例題，課堂上根本沒有和學生有互動，一個人在講臺上唱獨角戲。

（四）互動沒有深度，層次停留在表面

在和學生的互動中，老師經常一味的提問，學生機摸不著頭腦的回答，很機械。我們還經常發現很多學生回答問題的答案都是一樣的，問題在于老師的提問很有問題。

（五）教師只是喜歡數學好的學生

我們都喜歡好孩子，老師都喜歡好學生，在課堂教學中，成績比較好的學生更容易獲得老師關注，成績會越來越好，但是有些本來數學成績不好的學生成績會愈來愈差。

四、初中數學教學的策略

（一）教師理論水平的提高

要想上課有東西可講，老師首先必須有足夠的理論知識，而且必須保證其理論知識不斷的更新。在培養學生綜合素質的同時，教師應該不斷的提高自己的綜合素質，教師理論水平很大程度了影響了學生的水平。

（二）課堂氣氛要平等，和諧

教師要親切，和藹可親，講堂上像對自己的孩子一樣，耐心細致的對待自己的學生。

（三）擴大互動范圍

教師要注重調動每位學生的積極性，而不是某些特別的學生。師生互動的主要目的就是讓學生參與到課堂中來，讓學生真正的收益，我們應該堅持師生互動，提高教育水平，個性化的制定教學方法。

（四）深化教學過程，注重教學結果，實現過程和結果的和諧統一（下轉147頁）

（上接182頁）要讓學生在學習過程中感受到快樂，同時又能學習到知識。在學習知識的同時又能得到成長，獲得人生的感悟和總結。針對不同階段的教學特點，制定該階段的教學過程和適用的方法，以達到教學效果最大化。

五、小結

初中階段的學生有其該時期的特點，該階段的數學教學也有其獨特的特點，我們應該深化教學過程，找到最優教學辦法，以達到教學效果最優，使學生體驗到學習快樂的同時，又能學到數學知識。

參考文獻

[1]《關于初中數學教學全過程的有效性的研究》2010.張傳敏

[2]《初中數學教學中問題情境創設的研究》2012.鎮江四中.將紅

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一、數學的應用價值

1.數學提供計算的工具和方法

在科學發展的進程中，數學的作用日見凸現。一方面，高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學;另一方面，隨著計算機科學的迅速發展，數學兼有了科學與技術的雙重身份，現代科學技術越來越表現為一種數學技術。當代科學技術的突出特點是定量化，而定量化的標志就是運用數學思想和方法。精確定量思維是對當代科技人員的共同要求，所謂定量思維指人們從實際中提煉數學問題，抽象為數學模型，用數學計算求出此模型的解或近似解，然后回到現實中進行檢驗，必要時修改模型使之更切合實際，最后編制解題的計算軟件，以便得到更廣泛和更方便的應用。高技術的高精度、高速度、高自動、高質量、高效率等特點，無一不是通過數學模型和數學方法并借助計算機的控制來實現的。電子計算機是數學與工程技術相結合的產物，而在其發展的每個歷史關頭，數學都起了關鍵的作用。

數學在經濟、財政和金融等社會活動中有重要意義。用數學模型研究宏觀經濟與微觀經濟，用數學手段進行市場調查與預測、進行風險分析、指導金融投資，這在世界各國已被廣泛采用。經濟與金融的理論研究上，數學的地位也更加特殊。在諾貝爾經濟學獎的獲得者中大部分是數學家，或有過研究數學的經歷。

數學在社會生產實踐中應用的具體事例很多。海王星的發現、技術的應用、密碼學的產生、量子力學的發展等，數學在其中都起了重要的作用。我國研制原子彈，試驗次數僅為西方國家的十分之一，從原子彈爆炸到氫彈研制成功，只花了2年零3個月，大大低于美國所花的時間，其原因之一是選派了許多優秀數學家參加了研制工作。

2.數學是描述科學理論的合適語言

在數學史上，有兩個最重要的方法極大擴展了“數值計算”的語義表現力：一個是我們熟悉的笛卡爾坐標，它能夠把所有的幾何證明問題轉換為代數計算問題; 另一個是天才的哥德爾編碼，它能將所有形式語言系統的符號變換（當然也包括了所有的推理證明），都變換為自然數論中的計算問題，從此“可計算”這一概念就包含了所有的推理證明。從這里我們可以看出，“計算”并不只是對某個實際問題求解的“術”，它是數學語言獨特的表達形式，即將日常謂詞用算術謂詞的形式表達出來，變成一個數值計算問題。比如決策問題對應一個極值求解，相關判斷對應于內積運算等等。另外，與自然語言和邏輯語言相比，數學語言能更細膩，更方便地表達差別。

二、 數學的理性價值

1.數學方法是一種科學的認識方法

數學追求一種完全確定、完全可靠的知識，數學的對象必須是明確無誤的概念，作為推理出發點的命題必須明確清晰，推理過程的每一步驟都必須明確可靠，整個認識過程必須前后一貫而不容許自相矛盾。正因為如此，數學方法成為一種典型的認識方法，幫助人們正確地、客觀地認識宇宙和人類自己。因此，M.克萊因說：在最廣泛的意義上來說，數學是一種精神，一種理性精神，正是這種精神，使得人類的思維得以運用到最完美的程度，也正是這種精神，試圖決定性地影響人的物質、道德和社會生活，試圖回答有關人類自身存在的問題，努力去探求和確立已經獲得的知識的最深刻、最完美的內涵。

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一、讓學生感受數學從生活中來，培養學生應用數學的意識

要使學生有較強的應用數學知識的能力，首先要培養學生良好的應用數學知識的意識，有了這種意識，學生就能將已有的知識自覺地運用到實踐中去。在知識的運用中，既理解鞏固知識，又有利于培養學生的創造力。

新課程教學要以實際事實為背景，使學生認識到數學問題來自生活。數學學科對于小學生來說，還是比較抽象的，老師在教學時要善于用學生身邊的實際事實為背景，結合生活事例進行教學，使學生感到學習材料與生活很貼近，從而以積極的心態投入學習。例如：我在教學4的認識時，讓學生尋找有關數量是4的事例：汽車有4個輪子，小兔子有4只腳，桌面有4條邊，正方形有4個角等。教學“千以內數的認識”時，列舉一些生活中熟悉的數據，如學校操場一周長250米，一輛自行車400元，一本新華字典600頁，像250、400、600等數據都來自生活實際，學生很容易理解和接受，從而以積極的心態投入學習，正確掌握了數的概念。在教學“長方形的面積計算”時，從學生熟悉的游泳池引入，讓學生思考如何求游泳池的面積。在我的指導下，同學們運用已有的知識，分工合作，積極探索長方形面積的計算方法，最后求出了游泳池的面積。通過這樣的情景教學，同學們在學習過程中應用了原有知識，解決了生活中的實際問題，嘗到了解決問題的快樂，應用數學知識的能力增強了，使學生漸漸明白：數學與生活實際緊密聯系，生活中處處離不開數學，數學是一門十分有用的學科。

二、聯系實際，引導學生認識生活中的數學問題

數學具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和應用的廣泛性，作為學科的小學數學也有嚴密的知識系統。小學生由于缺乏日常生活常識與社會實踐經驗，以及心理、生理上的特點，他們往往感到數學抽象，學起來很枯燥。著名數學家華羅庚說：“人們對數學早就產生了枯燥乏味、神秘難懂的印象，成因之一便是脫離實際。”因此，在小學數學教學中要緊密聯系學生生活實際和他們所熟悉的社會實踐，以利于他們理解和掌握抽象的數學知識，把所學知識與生活實際、社會實踐聯系起來，解決一些簡單的實際問題，達到學以致用的目的。同時，教師在教學中要注意采取多種形式激發學生的情感，引導他們動手、動腦，使之在獲取知識、解決問題的過程中，親身體會到數學知識應用的廣泛性。經常向學生提出生活實際、社會實踐中需要解決的問題，激發學生學習數學的求知欲，這樣他們就會熱愛數學。當學生發現自己所學的知識是有用的，能解決實際問題時，他們就不會再感到數學是枯燥的了。例如：我在學生掌握了長方體、正方體的體積后，拿出事先準備好的一個土豆問學生：它的體積是多少，你們會計算嗎？學生面對這個不規則的物體開始不知所措，這時我啟發學生思考能否用我們所學過的知識來解決這個問題呢？有的學生提出可以用“割、切、拼”變形的手段把土豆的不規則形狀轉化成一個長方體，再求出它的體積。我表揚了這位學生的想法，同時又設疑：如果不改變土豆的形狀，而想求出它的體積，怎么辦？正當大家迷惑不解時，我把一個盛了一部分水的透明長方體水槽輕輕放在講桌上，啟發大家能不能利用長方體水槽里的水來測量并計算出土豆的體積？這時課堂氣氛十分活躍，學生爭先恐后地講自己的想法。有的說：可以先量一下水槽里水的深度，再把土豆放進水槽，從水面上升的高度可以計算出土豆的體積；有的補充說：必須先量出水槽的長和寬，算出它的底面積是多少；還有的說：算出水槽的底面積后，也可以先把土豆放進水槽里量一量水面的高度，再把土豆取出來，水面就下降了，然后再量一下水面下降的高度，同樣也可以計算出土豆的體積。我因勢利導，讓學生量出水槽的長是30厘米，寬是20厘米，計算出水槽底面積是600平方厘米。又讓學生用兩種方法測量出水面上升或下降的高度都是1.2厘米，很快計算出這個土豆的體積是600×1.2=720（立方厘米）。同學們個個臉上露出成功的微笑。這樣他們不僅學會了計算不規則物體的體積，能用所學的數學知識解決生活中的實際問題，而且也激發了他們學習數學的興趣。

三、開展豐富多彩的實踐活動，把數學知識運用到生活中去

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【關鍵詞】職高數學 數學實驗 探討

【中圖分類號】G712 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674－4810（2011）24－0189－01

近年來，職高教育迅速發展，出版發行了許多供職高學生使用的數學教材，但良莠不齊，為了彌補這些教材的不足，除了授課教師根據教學的實際情況整合、優化各種教學資源外，筆者設想在職高數學教學過程中融入數學實驗也是彌補教材不足的重要方式之一。

一 當前職高學生的學習基礎

學生文化基礎薄弱，他們不知道怎樣學好數學，他們把更多的精力花在如何應付期末考試上。很多學生不知道用數學如何解決今后工作或生活中遇到的問題，甚至很少關心和思考這個問題。因此，學生普遍對數學的學習熱情不高，重視不夠，不了解數學的應用，也不關心數學的應用；職高學生對所學專業課程缺乏必要的基礎訓練和深刻的思考已是一種通病，從各門課程的課后習題解答的就可以間接地證明這一點。

筆者認為，在職高數學應著力解決以下幾個問題：（1）職高數學的教育目的，是職高數學教學要為職高院校的人才培養服務。（2）處理好數學基礎與學生個人的后續發展、數學基礎與教學應用之間的關系。（3）采用靈活的授課方式，提高課堂教學質量，提高教學效率。（4）提高學生學習數學的熱情，加強學法指導。（5）引進案例教學，突出數學應用的廣泛性。（6）借用數學軟件包教學，降低數學應用過程中的運算量和難度。

在職高數學教學中引入實驗，雖不能解決全部問題，但至少可以解決以上一部分問題并且還有著一系列的促進作用。

二 數學實驗在教學中的作用

職高數學教學中融入數學實驗，可以大大提高學生的學習興趣、運算速度和動手能力。由于計算機在日常應用中的普及，使原來因計算復雜而難以實現的問題得以解決，在數學問題上不用刻意編擬人為的“應用數學問題”成為現實；在教學中不再回避復雜計算，而將問題的分析引向更深的層次。在教學中，如果能像設計業和制造業那樣利用計算機，把師生從繁瑣重復的低級勞動中解放出來，把更多的時間用于概念、方法和建模的思考，那么教學的效率必然會大大得到提高。使學生更好地了解學習數學的目的，提高學習積極性，將突破只在課堂進行數學教學的限制，擴充學習時空。

三 在數學教學中融入數學實驗的模式

職高數學的實驗融入教學的一個重點在于職高數學的應用，如經濟學中的邊際分析、彈性分析、最優化問題、熱力學、電學、信號系統、控制理論等方面。

具體的模式分為以下幾個步驟：學習職高數學的基礎知識，進行簡單運算的訓練，根據實際問題創設問題情境，用所學知識把實際問題轉化為數學問題后得到數學模型，利用計算機解決問題，有時還要對結果預測檢驗和改進模型。講授職高數學基礎知識，即主要的概念、基本方法，然后進行簡單的運算訓練。必須讓學生知道運算法則和結論，并清楚計算的方法，了解計算的過程。

根據實際問題創設問題情境，在授課過程中，教師要力求避免這些教材存在的缺憾，大膽采用案例教學，根據實際問題盡量創設真實的問題情境，將數學問題解決置于一個具有現實意義的背景中，突出數學應用的廣泛性，方能讓學生覺得數學有用，所學的數學可用、能用，提高學生學習數學的興趣，激發學生的學習熱情。同時，所選案例應針對學生、針對專業來選，如對于相關金融保險專業的學生，引入類似的案例：推出一種與養老結合的人壽保險計劃。

例如，（1）制訂一個完整的個人購房貸款等額本息月均還款額表，初始貸款額為10000元，借款期限不超過20年，據1999年9月公布的商業貸款利率，1～5年期為5.31%，1年期為到期一次還本付息，5年期以上者（不包括五年期）為5.58%，公積金貸款利率分別是4.14%和4.59%，表中應包括借款年限，根據以上兩種貸款利率計算出的月利率、月還款額、總還款額和利息負擔總額。（2）以某一個借款期限（譬如2年或3年）為例，將上述的逐月還款制改為逐年還款制，或者是每季度還款制，研究何種還款周期對貸款人更有利？

這樣，既充分體現了職高數學教學為學生專業服務的原則，又達到了為人才培養服務的教學目的。在教學中，要引導學生養成檢驗求解結果和不斷改進數學模型的習慣，這可以幫助學生培養求真、求善、勇于探索的科學精神。

總之，數學實驗的教學能在數學掌握程度不高的職高學生中順利開展，但是教學中引入案例，創設問題情境對教師提出了極高的要求，一般教師對真實案例若是不熟悉領域問題，將很難給出專業的判定，且很多時候超出職高學生的可接受范圍。因此，如何找到適合的案例進行建模和實驗操作，這一問題有待日后繼續探討。對于廣大同行而言，這是一個值得研究的課題，期望大家一起努力，為新課改添磚加瓦，為減負增效貢獻自己的力量。

參考文獻

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關鍵詞：不等式 算術-幾何均值不等式 應用

中圖分類號：0178 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（a）-0165-02

均值不等式是數學中的一個重點內容，由文獻[1]知，它是由調和平均數、幾何平均數、算術平均數 和平方平均數所聯合滿足的不等式≤≤≤。“算術-幾何平均值不等式”（≤）的應用廣泛性已經得到了人們的重視（見[2，3，4]）。研究工作主要集中在函數最值問題，不等式成立問題，但對它在不等式證明中應用的延伸還需進一步深入研究。本文分別從內容的突破和形式的構造兩個方面，探索算術-幾何均值不等式在不等式證明中的應用。

1 基本算術-幾何均值不等式

如果、，那么≥（當且僅當時，“=”成立），這個不等式稱為基本“算術-幾何”均值不等式，也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的內容及形式，便能快速找到問題的突破口，從而解決問題。

4 算術-幾何均值不等式在積分不等式證明中的應用

命題[5]：若函數在上是正值可積的，且，則≤，應用“算術-幾何”均值不等式可推出該命題成立。過程如下：先構造不等式≤，再兩邊同時積分≤，化簡不等式≤1，去分母可得≤

利用算術-幾何均值不等式來證明不等式時需要構造不等式的內容及形式，同時需要注意均值不等式的條件“一正二定三相等”，從上面的例子可以看出算術-幾何均值不等式在不等式證明中的實用性和重要性。

參考文獻

[1] 王學功.著名不等式[M].北京：中國物資出版社，1993：12-15.

[2] 吳善和，石煥南.平均值不等式的推廣及應用[J].貴州教育學院學報，2003，14（2）：14-16.

[3] 劉俊先.平均值不等式在數學分析中的應用[J].廊坊師范學院學報：自然科學版，2009，9（1）：14-15.

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【摘要】應用性問題，是指有實際背景或現實意義的教學問題，在近幾年中考試題中，涌現了一批貼近生活實際、富有時代氣息新型應用性問題，應用題突出考察學生創新意識和實踐能力。使學生在解決問題的過程中了解數學的價值增進對數學的理解和應用數學的信心。

【關鍵詞】中考 數學 應用性問題

應用題是數學中考突出體現考察學生能力的試題之一。應用題按應用的對象、性質和實際背景可分為傳統的行程問題、工程問題、百分率問題。非傳統的主要是利息、利率、商品銷售、利潤、人口增長率、環境保護、建筑加工、運輸決策，合理規劃及綜合型問題等，按所用數學知識和方法可分為：應用代數（方程與不等式、函數與不等式）；應用幾何（角三角形、全等形與相似三角形知識）：應用圖像法；應用二次函數；分類討論和綜合分析等。

傳統的應用題主要是布列方程、測量和解Rt應用，實際問題背景較理想化和陳舊，新的應用性試題主要是初等數學建模和數學決策，尤其是建立函數關系，將列方程和不等式等知識綜合應用，實際問題的背景較復雜。而后者有利于考查學生分析、綜合、整理實際問題，從紛繁的問題中抽出數學模型，即化歸能力。值得注意的是初中的應用性試題應逐步按新課標提出的觀點，表明有價值的數學和用數學方法去思考，另外要求解決簡單的實際問題，不要一提到應用性問題就難，使數學建模變成少數人去做的事，有違大眾數學的思想。而數學本身來源于實際，應該用于實際，生活、生產與科學實驗、其他學科到處要用數學。日常生活天天有數學，要讓數學貼近生活，并不是一得應用，就是去建模。我們教學的目的之一是養成學生用數學意識、數學知識去思考問題，能把一些簡單的數學知識和原理直接用于實際。新課標中把學生提出問題、收集、處理數據、做出決策的預測的過程作為目標，中會考已在這方面開始逐步顯現。如用樣本去預測總體，對實際問題作出數據收集和處理。

數學的特點之一是應用的廣泛性，它在各學科和生產與生活實際的應用越來越重要。中學階段的數學知識與方法在實際中的應用非常多，數學新課程標準指出學生應“初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中其它學科中的問題，增強應用數學的意識。”作為中學素質教育的導向作用。中考應加強應用性問題的設置，近年來，數學應用性試題的考查成為中（會）考的熱點，各個省市都在這方面作了努力和加強，尤其在新的應用性試題方面，出現了許多有利于考查學生能力和素質的應用性試題，打破了教材中傳統的應用題分布，應用性試題分散在選擇題、填空題和解答題之中，不孤立于在解答題這一點上，這是中考比高考優秀之處，并出現了具有時代氣息的新題型，如有關人口增長、土地資源、環境保護和決策規劃等。今后的應用性試題除保持前幾年的風格外，應用性試題的知識面不一定要求多和過繁的綜合，應注意在試題中的運算上盡可能簡單，突出應用中的開放性探究，如方法與結論的開放性；數學實驗性的應用，如翻析問題，由幾何作圖進行實際設計。其應用數學知識和方法有新的突破，能有效地考查學生數學應用能力。

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我們求學生涯經歷了很多的科目課程，這些課程對于我們的今后的生活工作有很大的幫助，高等數學就是眾多的學科中的一種。高等數學使我們必修的科目之一，高等數學在我們今后的工作學習中都有很好的體現，當我們認識到了高等數學的重要性之后，我們就要認真的學好這門功課，如何的使學生們更好的吸收學習這門功課也不是一件簡單的事情。我們要針對于學生的特點學習愛好進行總結，以學生喜歡的形式灌輸給學生，不斷地推動高等數學的進程，使其不斷地改革發展，不斷地提升高等數學的品質。

1.高等數學教學的主要目標

高等數學的教學理念就是通過簡單引導，不斷地提高學生們獨立思考，獨立完成問題的能力，最終完成解決問題目的。怎樣才能很好地培養學生這種獨立的思考問題、分析問題的能力呢，我們必須針對課程的內容知識點進行詳細的分析，然后制定教學方案，然后進行具體的教學，以便達到預期的教學目的。

1.1高等數學課程的特點

（1）內容的抽象性。數學內容的抽象性給學生造成接受上的困難，如：高等數學中的極限定義證明，微積分及級數的定義等都具有高度的抽象性。

（2）邏輯的嚴謹性。數學邏輯的嚴謹性給學生學習數學帶來了理解上的困難，數學的邏輯不僅指數學知識的嚴密邏輯，更重要的是數學的邏輯分析方法。如：高等數學中的定義、法則、定理的表述，以及性質、定理和習題的證明將邏輯與推理相結合，非常嚴密。

（3）應用的廣泛性。數學應用的廣泛性給學生造成了掌握上的困難，如：高等數學中的極限、微積分、級數、微分方程等在后續課程、工程實踐和經濟領域中都有廣泛的應用。

1.2數學應用能力的培養

數學應用能力包括的很廣泛對于知識的理解程度，在實際的工作中的運用能力，如何的更好的把學習中的數學與我們的世界的生活聯系起來等等，這些都是我們要考慮的能力。在我們的教學中，如何的能夠很好地是學生能夠擁有這種能力呢？我們要針對于教學的課程的特點進行深入的分析，首先，我們要讓學生們必須牢靠的掌握基礎知識與基本的數學的技能，因為一切的升級與難點都是從基礎的理論不斷地演變來的，在傳授知識的同時要灌輸數學的邏輯思維，推理等數學所應有的能力，不斷地提升學生的自身素質，只有這樣我們的教學才會更好的開展。下面是對一些方面介紹。

1.2.1抽象思維能力的培養

針對數學內容的抽象性，應加強學生抽象思維的訓練，極限是高等數學中最抽象的概念，也是高等數學的難點和重點，它是貫穿于整個高等數學課程的一根紅線，高等數學的其他內容基本上是函數極限理論在不同情況下的應用。從連續到導數、從微積分到級數都是用極限來定義的，可以說理解和掌握了極限的抽象思維方法，高等數學的很多內容都可以迎刃而解了。

1.2.2邏輯思維能力的培養

注重培養學生的邏輯思維能力，不僅能使學生學到嚴謹的思維方法，提高表達能力，而且也能使他們養成嚴格認真的科學態度，這對他們今后從事科研與生產實踐或組織管理都很有益處。教學過程中應結合所講的內容適當滲透一些邏輯知識，以提高學生的邏輯思維能力。如：極限的唯一性、收斂數列有界性證明，實際上就是邏輯推理方法的應用，特別是“反證法”，思辨性的具體應用。

1.2.3逆向思維能力的培養

數學中的逆向思維最能激發人的創造能力，是培養學生創新意識的重要手段。如：極限的證明方法的練習是最能培養學生逆向思維能力。

2.高等數學竟賽的重要性

大學生高等數學競賽是為了激發學生學習高等數學的積極性，提高運用數學知識解決問題的能力，培養學生的創新思維，進一步推動高等數學教學體系、內容和方法的改革。高等數學競賽對學生的邏輯思維、抽象思維、空間想象能力以及學生的自學能力的鍛煉和提高都有著積極的作用，主要體現在以下3個方面。

（1）有利于激發學生學習數學的興趣，形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度。新穎而有創意的數學競賽問題使學生有機會享受沉思的樂趣，經歷“山重水復無疑路，柳暗花明又一村”，在學生遇到困難問題時，幫助他們樹立戰勝困難的決心，不輕易放棄對問題的解決，鼓勵他們堅持下去，這樣做可以使學生逐步養成獨立鉆研的習慣，克服困難的意志和毅力，進而形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度。

（2）有利于促進學生全面創造性的發展。學生的創造性是其完善人性的集中體現，而完善人性也是學生創造性發展的基礎和保障。因而，培養學生的創造性，是數學競賽的根本任務。通過數學競賽教育促進學生創造性的發展，應該是其全面發展的重要內涵和數學競賽價值的集中體現。

（3）有利于學生數學能力的提高。數學競賽的命題和培訓選手的宗旨是以數學能力為重點。學生在學習和掌握數學競賽知識方法及其過程中，對發展其數學能力具有重要的教育作用和意義。

3.高等數學教學與高等數學競賽的關系

高等數學日常教學是高等數學競賽的基礎，日常教學在知識的傳授方面具有系統性和結構性，強調知識掌握，是學生掌握高等數學知識的主要途徑，其優點是學生對基本知識掌握的較為扎實，有利于學生對整個學科知識點和知識體系的學習和掌握，保證學生掌握進一步發展的必要知識。

高等數學競賽是常規教學的有益補充，是對高等數學日常教學中知識的延伸、綜合、重組與提升。對一部分學生個體而言，他的數學能力遠高于課堂教學的基本要求，學有余力，有時間從事自己愛好的各種課外活動，而高等數學競賽正是為這些優秀學生提供了展示數學能力的平臺，有助于發展學生的探究精神、創新精神和實踐能力。

教師在日常教學中可把輔導競賽的經驗滲透其中，以培養學生的思維能力為主要目標，注重培養學生思維的靈活性、深刻性、敏捷性和獨創性。同時，在數學教學中開展研究性學習，能增強學生學習數學的興趣，開拓視野，培養獨立思考、鉆研的精神，在研究性學習中，引入高等數學競賽的內容，有助于活動向更廣泛、更深入的方向開展，提高研究成果的科學含量。

高等數學競賽的開展，應該扎根于日常教學，應遵循課堂教學為主，課外輔導為輔的原則，常規教學是高等數學競賽學習的基礎，而數學競賽的開展也將促進學生主動加深對常規教學中知識的學習，有利于進一步拓展學生的視野和能力，這兩者之間，并不是互相否定和對立的關系，而是相輔相成、互為補充的。

4.結束語

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思維是對客觀事物的內在聯系和本質屬性的反映；反映的方式不是直觀的、零散的，而是間接的和概括的：（1）思維要依靠感性認識，但遠遠超脫于感性認識的界限之外，去認識那些沒有直接感知過的或根本無法感知到的事物，以及預見和推知事物發展的進程，其間接性關鍵在于知識與經驗的作用，它隨著主體知識經驗的豐富而發展起來的，因此知識和經驗對思維能力有重要影響。（2）思維之所以能揭示事物的木質和內在規律性，主要來自抽象和概括的過程，以大量的已知事實為依據，在已有知識經驗的基礎上，舍棄個別事物的個別特征，抽取他們的共同特征，從而得出新的結論。

數學思維通常是指人們在數學研究與數學學習活動中思想的或心理的過程與表現。數學思維是通過數學問題的提出、分析、解決、應用和推廣等一系列工作，以獲得對數學對象（空間形式、數量關系、結構模式）的本質和規律性的認知過程。也可以簡單地說，數學思維是數學活動中的思維。這個過程是人腦的意識對數學對象信息的接受、分析、選擇、加工與整合。蘇聯學者奧加涅相強調數學思維是人們認識具體的數學科學，或是應用數學與其他科學技術和國民經濟等過程中的辯證思維。王梓坤院士在《今日數學及其應用》一文中指出：當代數學思維是一種定量思維。

數學思維的特征一方面來自于數學學科本身的特點，即“高度的抽象性”“嚴密的邏輯性”“結論的精確性”以及“應用的廣泛性”。另一方面來自于數學用以認識現實世界現象的方法。正如徐利治教授指出的：數學思維同時還具有類似自然科學思維的“觀察、實驗、類比、歸納”等特點。我國眾多的數學教育專家與學者在不同的論著中也提出了許多大同小異的看法：廣泛性、創造性、概括性、批判性、靈活性等。又基于眾多數學家與數學思維具有廣泛的含義，在教育教學中不斷探索。

下面介紹數學思維的幾大主要特性。

一、數學思維的深刻性

數學思維的深刻性是學生對實際事物中的數學關系進行抽象概括而獲得數學問題，對具體數學材料、數學問題進行分析概括而得出數學模型，選擇恰當的數學方法、用合適的數學計算求出此模型的解或近似解，以及對解的實踐檢驗、對模型的修正等過程中，思考的廣度、深度、難度和嚴謹性水平的集中反映，它表現在能深入地鉆研與思考問題，善于從復雜的事物中把握它的本質，而不被一些表面現象所迷惑。特別是在學習中克服思維的表面性、絕對化與不求甚解的毛病，要培養學生思維深刻性。首先，在概念的教學中，要讓學生了解概念的形式，即要知其所以，又要知其然，充分認識概念的內涵和外延，分清一些容易混淆的概念，如正數與非負數、方根與算術根等。其次，在定理、公式、法則的教學中，要讓學生完整地掌它們（包括條件結論和適用范圍），領會其精神實質，切忌形式主義、表面化和一知半解、不求甚解。

二、數學思維的廣闊性

數學思維的廣闊性是指思路寬廣，善于從多方面、多角度去思考問題。它表現在能多方面、多角度去思考問題，善于發現事物之間的多方面的聯想，找出多種解決問題和辦法，并能把它推廣到類似問題中去。思維的廣闊性還表現在學生對所學數學知識進行歸類與概括，并運用概括擴大解題結果的適用范圍，把個別在一定條件下推廣到一般情況。

三、數學思維的靈活性

數學思維的靈活性主要是指能夠根據客觀事物的發展與變化，及時調整自己的思路，改變已有的思維過程，尋找新解決問題的方法。數學思維的靈活性主要是學生在數學思維活動中，思考的方向多、過程活、思維技巧能夠適時轉換。即思維的應變能力強，在數學學習中活躍地表現為解題能力，即有的放失地轉化解題方法的能力，靈巧地從一種解題思路轉向另一種思路的能力，或是具有超脫習慣處理方法約束的能力，當條件變更時，能迅速找到新的方法，也能隨著新知識的掌握和經驗的積累重新安排已學的知識，還表現為從已知因素中看出新的因素，從隱蔽的數學關系中找到解決問題的實質。

四、數學思維的批判性

數學思維的批判性是指思維活動中善于嚴格地估計思維材料和精細地檢查思維過程的思維品質。

五、數學思維的創新性

數學思維的創新性是人類思維的高級形態，它是在新異的問題情境中，在一定目標的指引下，調動一切已知信息，獨特、新穎且有價值在解決問題的過程中表現出來的智力品質；數學思維的獨創性品質也可以從用新穎、獨特的方法解決熟悉問題的過程中表現出來。

以上是數學思維的幾大特性，在培養學生數學思維能力的同時也能使學生的創新能力得以提升。創新是名族發展的靈魂，數學的創新是解決數學問題的關鍵，如奧賽題等均需要我們的創新思維。