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關鍵詞：融入教學；數學建模；創新能力

一、強化數學課程的應用功能是順應教育改革潮流的需要

信息化時代，數學科學與其他學科交叉融合，使得數學技術變成了一種普適性的關鍵技術。大學加強數學課程的應用功能，不但可以為學生提供解決問題的思想和方法，而且更為重要的是可以培養學生應用數學科學進行定量化、精確化思維的意識，學會創造性地解決問題的應用能力。數學建模課程將數學的基本原理、現代優化算法以及程序設計知識很好地融合在一起，有助于培養學生綜合應用數學知識將現實問題化為數學問題，并進行求解運算的能力，激發學生對解決現實問題的探索欲望，強化數學課程本身的應用功能，凸顯數學課程的教育價值，適應大學數學課程以培養學生創新意識為宗旨的教育改革需要[1]。大學傳統的數學主干課程，如高等數學、線性代數、概率論與數理統計在奠定學生的數學基礎、培養自學能力以及為后續課程的學習在基礎方面發揮奠基作用。但是，這種原有的教學模式重在突出培養學生嚴格的邏輯思維能力，而對數學的應用重視不夠，這使得學生即使掌握了較為高深的數學理論，卻并不能將其靈活應用于現實生活解決實際問題，更是缺乏將數學應用于專業研究和軍事工程的能力，與創新教育的基本要求差距甚遠。教育轉型要求數學教學模式從傳統的傳授知識為主向以培養能力素質為主轉變，特別是將數學建模的思想方法融入到數學主干課程之中，在教學過程中引導學生將數學知識內化為學生的應用能力，充分發揮數學建模思想在數學教學過程中的引領作用。數學課程教學改革要適應這一教學模式轉型需要，深入探究融入式教學模式的理論與方式，是推進數學教育改革的重要舉措。

二、大學數學主干課程融入數學建模思想需著力解決的幾個關鍵問題

2.1理清數學建模思想方法與數學主干課程的關系。

數學主干課程提供了大學數學的基礎理論與基本原理，將數學建模的思想方法有機地融入到數學主干課程中，不但可以有效地提升數學課程的應用功能，而且有利于深化學生對數學本原知識的理解，培養學生的綜合應用能力[2]。深入研究數學主干課程的功能定位，主要從課程目標上的一致性、課程內容上的互補性、學習形式上的互促性、功能上的整體優化性等方面，研究數學建模本身所承載的思想、方法與數學主干課程的內容與邏輯關系，闡述數學建模思想方法對提高學生創新能力和對數學教育改革的重要意義，探索開展融入式教學及創新數學課程教學模式的有效途徑。

2.2探索融入式教學模式提升數學主干課程應用功能的方式。

融入式教學主要有輕度融入、中度融入和完全融入三種方式。根據主干課程的基本特點，對課程體系進行調整，在問題解決過程中安排需要融入的知識體系，按照三種方式融入數學建模的思想與方法[3]。以學生能力訓練為主導，在培養深厚的數學基礎和嚴格的邏輯思維能力的基礎上，充分發揮數學建模思想方法對學生思維方式的培養功能和引導作用，培養學生敏銳的分析能力、深刻的歸納演繹能力以及將數學知識應用于工程問題的創新能力。

2.3建立數學建模思想方法融入數學主干課程的評價方式。

融入式教學是處于探索中的教學模式，教學成效有待于實踐檢驗。選取開展融入式教學的實驗班級，對數學建模思想方法融入主干課程進行教學效果實踐驗證。設計相應的考察量表，從運用直覺思維深入理解背景知識、符號翻譯開展邏輯思維、依托圖表理順數量關系、大膽嘗試進行建模求解等多方面對實驗課程的教學效果進行檢驗，深入分析融入式教學模式的成效與不足，為探索有效的教學模式提出改進的對策。

三、大學數學主干課程融入數學建模思想的實踐研究

3.1改革課程教學內容，滲透數學建模的思想方法。

傳統的數學主干課程教學內容，將數學看作嚴謹的演繹體系，教學過程中著力于對學生傳授大學數學的基礎知識，而對應用能力的培養卻重視不夠。使得本應能夠發揮應用功能的數學知識則淪為僵死的教條性數學原理，這失去了教學的活力[4]。學生即使掌握了再高深的數學知識，仍難以學會用數學的基本方法解決現實問題?，F行的大學數學課程教學內容中，適當地滲透一些應用性比較廣泛的數學方法，如微元法、迭代法及最佳逼近等方法，有利于促進學生對數學基礎知識的掌握，同時理解數學原理所蘊涵的思想與方法。這樣，在解決實際問題的時候，學生就會有意識地從數學的角度進行思考，嘗試建立相應的數學模型并進行求解，拓展了數學知識的深度與廣度，提升了學生的數學應用能力。

3.2開發課程問題題材，創設現實生動的問題情境。

傳統的數學課程教材內容，更多的是按照概念、原理及應用的邏輯體系進行編排，較少的應用實例也多是概念的基本應用，或是技巧的熟練演算，這與培養學生的應用創新能力之間存在著較大的差距。在主干課程教學實踐中，教師應能開發富有實踐內涵并能體現一定深度、廣度的數學知識和思想方法的建模問題，并根據教學需要，構造出能體現各種建模思想且具有梯度層次的問題體系。緊密結合專業課程學習及能力素質提高的需求，開發設計具有難度層次的問題題材，按照問題的類別、解決方法及知識體系劃分為基礎問題、綜合問題及創新問題，形成具有層次性的教學單元。問題體系因其來源于現實生活和工程實際，未經任何的抽象與轉化，其本身所蘊含的豐富的背景材料對學生構成了認知上的挑戰，可以有效地激發學生對問題探索的欲望。而且，數學教師要力求為學生創設一種現實生動的問題情境和活躍的探究氛圍，以提供廣闊的思維空間，培養其探索精神和創新能力。

3.3改革課程教學模式，引導學生參與數學建模活動的全過程。

傳統的數學主干課程教學是由教師“一言堂”式地灌輸事實性的數學知識，學生處于被動接受的地位。這種越俎代庖的教學模式難以適應數學建模教學的要求。實施數學建模教學，關鍵在于將表面上非數學或非完全數學的問題抽象轉化為數學問題，即現實問題數學化[5]。這一過程是充分利用數學知識解決問題的關鍵，要求學生對現實問題進行分析和研究，充分應用數學的思想與方法將現實問題轉化為數學問題，建立反映變量關系的數學模型。因此，數學建模教學應該從問題出發，通過問題的表征和重述，對問題所蘊含的信息進行加工、尋據、提煉、重組，并進行必要的簡約和抽象，分清問題的本質特征和問題性質的不同成份，確定各成份的層次并使之系統化，挖掘變量間的依存關系，建立數學對象之間的基本關系，從而將問題轉化成數學符號語言或某種數學理論語言，再以適當的數學形式，建立數學模型，獲得問題的解答，并對這一方法、結果進行評價和推廣。這種探索式的“問題解決”教學模式，有利于引導學生以數學的眼光和思維方式對現實世界進行考察研究，學會建立數學模型的方法，從而高屋建瓴地處理各類數學與非數學問題。

3.4開展建模競賽，給予學生數學建模實戰訓練的機會。

競賽不同于平時的學習，競賽以其規則的嚴格性和時間的限定性，對學生構成了認知上的挑戰，激發起他們獲取成功的動機和創造的欲望。因此，適時組織數學建模競賽，是推動和深化數學建模教學改革的有效措施。一般地，數學建模競賽試題具備高度的開放性，學生面對這類現實問題，從開始從查找資料到收集數據，從問題分析到模型建立，從文字輸入到程序編寫等等，都必須依靠自己動腦、動手進行思考和探究。這就可能讓學生親身去體驗數學的創造與發現過程。同時，這一切又都是以一個三人小組的形式進行的。72小時的連續奮戰，隊員們取長補短、互相配合、共同克服困難，培養了學生們的創新意識、創新能力、頑強拼搏的意志、嚴謹求實的作風和通力協作的團隊精神。這些在日常的書本上和課堂教學中難以獲得的寶貴經驗，卻正是現代科學研究中非常寶貴的品質。而且，開卷競賽的新穎形式，也培養了同學們自覺遵守競賽紀律、養成自律的良好習慣。

四、結語

數學建模是數學科學在科技、經濟、軍事等領域廣泛應用的接口，是數學科學轉化成科學技術的重要途徑。在數學主干課程中融入數學建模的思想與方法，可以推動大學數學教育改革的深入發展，加深學生對相關知識的理解和掌握，有助于從思維方式上培養學生的創新意識與創新能力。此外，數學建模思想方法融入教學主干課程還涉及到許多問題，比如數學建模與計算技術如何有效結合以進行模擬仿真、融入式教學模式的基本理論、構建新的課程體系等問題，仍將有待于更深入的研究。

參考文獻

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[3]李明振,龐坤.高師院校“數學建?！闭n程教學研究[M].西南師范大學學報,自然科學版,2006,31:12-13.

[4]楊宏林.關于高等數學課程教學改革的幾點思考[J].數學教育學報,2009,5(2):74-76.

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關鍵詞：數學建模；圖論；實踐

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）45-0233-03

一、引言

圖論是組合數學的一個重要分支。它以圖為研究對象，這種圖由若干給定的點及連接兩點的邊所構成，通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，以點代表事物，以連接兩點的邊表示兩個事物間具有這種關系。圖論的應用非常廣泛，在實際的生活生產中，有很多問題可以用圖論的知識和方法來解決，其應用性已涉及物理學、化學、信息論、控制論、網絡理論、博弈、運輸網絡、社會科學以及管理科學等諸多領域。目前高校很多課程都涉及到圖論知識，例如離散數學、數據結構、算法分析與設計、運籌學、組合數學、拓撲學、網絡優化等。甚至有些專業將圖論作為一門必修或選修課程來開設。

由于圖論課程具有概念多、公式復雜和定理難證明、難理解等特點，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解，學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題。從而會使學生感到圖論的學習非?？菰?。大學數學課程教學改革的趨勢，越來越注重數學的應用性，而數學建模過程就是利用已經掌握的數學知識來解決實際問題的過程。在當前實現數學作為一種應用能力的過程中，使用數學解決實際問題的能力培養是非常重要和必需的。因此，在大學數學類課程的教學中融入數學建模思想是目前數學課程教學改革的一個大的趨勢。由于圖論的概念和定理大多是從實際問題中抽象出來的，因此圖論中的諸多模型和算法是數學建模強有力的理論依據。所以在圖論課程教學中注重介紹這些概念和理論的實際背景，引導學生利用數學建模思想方法學習圖論的相關概念和定理，探究圖論的發展規律，從而將更好地幫助學生理解和掌握這些概念和理論。

二、數學建模思想方法

數學模型就是用數學語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構。這個結構可以是公式、方程、表格、圖形等。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構（即數學模型）之后，我們就可以用相關的數學知識來求出這個模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，這個過程便稱為數學建模。其目的是將復雜的客觀事物或聯系簡單化并用數學手段對其進行分析和處理。建立數學模型解決現實問題要經過模型準備、模型假設、模型構成、模型求解和模型分析這五個步驟。模型準備就是了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的各種信息，盡量弄清對象的特征，形成一個比較明晰的“問題”。模型假設是根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，做出必要的、合理的簡化假設。模型構成是根據所作的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量等的數學模型。模型求解是采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數學軟件和計算機技術求解。模型分析就是對求解結果進行數學上的分析，并解釋為對現實問題的解答。由此可見，思想數學建模就是將數學的理論知識應用于解決實際問題，培養數學建模思想就是鍛煉應用數學的能力。

在圖論的教學中引入數學建模思想，將生活中的實際問題引入課堂，利用圖論知識分析實際問題，讓學生感受到圖論貼近生活。教學中可以引導學生自己尋找與圖論相關的實際問題，利用圖論知識建立實際問題的數學模型，并進行報告和討論，讓學生發表自己的見解和看法，在此過程中有助于學生對所學知識的融會貫通和掌握，大大提高學生學習圖論的興趣。

三、數學建模思想方法融入圖論教學的實踐

目前，各門數學課程教學改革所面臨的一個課題是如何增強應用數學知識解決實際問題的意識。在這樣的背景下，加之圖論知識的應用廣泛性，從而，將數學建模的思想方法融入到圖論課程教學中的研究和實踐已顯得刻不容緩。因此，結合圖論教學內容有機地增加數學建模教學內容，使廣大的學生能學習和體會到數學建模的基本思想方法，在日常的學習中培養學生應用圖論知識的意識，激發了學生學習圖論的積極性。

（一）在圖論定理公式中滲入建模的案例

在圖論某些定理證明的教學過程中可以適當地融入數學建模的思想與方法，把定理的結論看作一個特定的模型，需要去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，可根據預先設置的問題，情景引導學生發現定理的結論，從而定理證明的方法也隨之顯現。

案例1：設為任意無向圖，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，證明所有頂點的度數和=2m，并且奇點個數為偶數。

解析：證明該結論之前，首先任意選取若干個學生讓其隨機互相握手，并記下每個人的握手次數和每兩人之間握手的次數，由此可得每個人握手次數總和是每兩人之間握手次數的2倍以及握過奇數次手的人數一定是偶數?；又蠼榻B該定理稱之為握手定理，從互動過程中可以建立定理結論的模型，并且證明的思路也是顯而易見的。

（二）在應用性例題中滲入數學建模的方法

案例2：一家公司生產有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七種化學制劑，其中制劑（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之間是互不相容的，如果放在一起能發生化學反應，引起危險。因此，作為一種預防措施，該公司必須把倉庫分成互相隔離的若干區，以便把不相容的制品儲藏在不同的區，問至少要劃分多少小區，怎樣存放才能保證安全。

解析：首先建立模型，用圖來表示實例中這些制劑和他們之間關系，用頂點v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七種化學制品，把不能放在一起的兩種制品對應的頂點用一條邊連接起來，如圖1。

模型求解：由圖可得極小覆蓋的邏輯表達式為：

（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）

利用邏輯代數法則簡化上述邏輯表達式為：

v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6

從而可得全部極小覆蓋為：

（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）

由于極大獨立集與極小覆蓋集之間互補的關系，所以上圖的所有極大獨立集為（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取圖G的一個極大獨立集V1=（v2，v4，v6），將其著第一種顏色。在VG-V1中，所有極大獨立集為，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）將其著第二種顏色。在VG-V1-V2中僅有點v5，將其著第三種顏色，故χ（G）=3.

于是得到該化學制品的存放方案：至少需要把倉庫劃分為3個區，可以將c2，c4，c6三種制品，c1，c3，c7三種制品和制品c5分別存放在一個區。

（三）設計相關數學建模問題，提高學生應用圖論知識解決實際問題的能力

由于教學課時的限制，將數學建模的思想方法融入圖論課程教學時，不能專門地讓學生學習建模，只能通過一些簡單的模型給學生介紹數學建模的思想及方法。圖論是現代數學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，其求解思想滲透到自然學科的各個領域。因此，可以通過設計一些與圖論課程相關的課外建?；顒?，選擇符合學生實際并貼近生活的一些圖論問題，啟迪學生的論文查閱意識和能力，指導學生閱讀相關論文，最后以解題報告或小論文的形式提交他們的結果。促進學生應用圖論知識解決實際問題的能力。

四、結語

將數學建模思想方法融入圖論課程的教學中，使圖論課程教學與數學建模有機結合起來，激發學生學習圖論的興趣，培養學生勇于探索的精神，提高學生的動手能力，實踐表明這些方法能較好地提高圖論課程的教學效果。

參考文獻：

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[5]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].第4版.北京：高等教育出版社，2011.

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關鍵詞： 初中數學建模 常見方法 基本步驟 具體方法 案例分析

一、滲透初中數學建模思想是現代教育的必需

生活中處處有數學，數學與生活息息相關。生活中有許多的事物需要我們用已知的或未知的數學知識去解決，這就需要有一定的數學建模能力。數學建模教育，在發達國家的教育中引起巨大反響，稱其為：適應世界性高科技發展與人才需求的教育。在我國，國家教委高教司提出全國普通高校開展數學建模競賽，旨在“培養學生解決實際的能力和創造精神，全面提高學生的綜合素質”。然而，在傳統的中學教學和教材體系中，人們往往忽視了對學生建模能力的培養。一些傳統的、陳舊的觀念認為：只要先學好了數學理論知識，應用數學這方面就是簡單的、容易的，那是步入社會以后的事情。這些觀念導致數學成了純理論意義上的數學，在這種教學環境下，學生的學習只能是消極的、被動的，學生認為學習數學是只是單純地為了應付考試。這樣，許多學生的想象力、創造力不但得不到充分的發揮、發展，反而經常受到壓抑、否定，甚至被扼殺，導致了許多高分低能的現象。而“學以致用”是教育最重要的原則之一，學習數學的目的就是為改造世界、改造生活服務。因此這就要求我們在數學教學第一線的工作者能及時地了解動態、改變觀念、適應形勢、推動教改，大力開展數學建?；顒樱囵B學生初步具有建立數學模型，解決實際問題的能力。

二、初中數學建模的常見方法

所謂的數學模型是指針對或參照某種事物的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言，概括地或近似地表示出來的一種數學結構。初中數學中常見的建模方法有：對現實生活中普遍存在的等量關系（不等關系），建立方程模型（不等式模型）；對現實生活中普遍存在的變量關系，建立函數模型；涉及圖形的，建立幾何模型；涉及對數據的收集、整理、分析的，建立統計模型……這些模型是常見的，并且對它們的研究具有典型的意義，這也就注定了這些內容的重要性。在中學階段，數學建模的教學符合數學新課程改革理念，也符合時代的需要。通過建模教學，學生可以加深對數學知識和方法的理解和掌握，便于調整自己的知識結構，深化知識層次。學生通過觀察、收集、比較、分析、綜合、歸納、轉化、構建、解答等一系列認識活動來完成建模過程，認識和掌握數學與相關學科及現實生活的聯系，能感受到數學的廣泛應用。同時，培養學生應用數學的意識和自主、合作、探索、創新的精神，使學生能成為學習的主體。因此在數學課堂教學中，教師應逐步培養學生數學建模的思想、方法，形成學生良好的思維習慣和應用數學的能力。

三、數學建模的基本步驟

1.模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息，用數學語言來描述問題。

2.模型假設：根據實際對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當的假設。

3.模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變量之間的數學關系，建立相應的數學結構（盡量用簡單的數學工具）。

4.模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數作出計算（估計）。

5.模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。

6.模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，并進行解釋。如果模型與實際吻合較差，則應該修改假設，再次重復建模過程。

7.模型應用：應用方式因問題的性質和建模的目的而異。

四、中學數學建模分析的具體方法

中學數學建模分析的具體方法常見的有以下三種。

1.關系分析法：通過尋找關鍵量之間的數量關系的方法來建立問題的數學模型方法。

2.列表分析法：通過列表的方式探索問題的數學模型的方法。

3.圖像分析法：通過對圖像中的數量關系分析來建立問題的數學模型的方法。

五、中學數學建模案例分析

建立數學模型，首先要認真審題。實際問題的題目一般都比較長，涉及的名詞、概念較多，因此要耐心細致地讀題，深刻分解實際問題的背景，明確建模的目的；弄清問題中的主要已知事項，盡量掌握建模對象的各種信息；挖掘實際問題的內在規律，明確所求結論和所求結論的限制條件。其次要根據實際問題的特征和建模的目的，對問題進行必要簡化。抓住主要因素，拋棄次要因素，根據數量關系，聯系數學知識和方法，用精確的語言作出假設。最后將已知條件與所求問題聯系起來，恰當引入參數變量或適當建立坐標系，將文字語言翻譯成數學語言，將數量關系用數學式子、圖形或表格等形式表達出來，從而建立數學模型。按上述方法建立起來的數學模型，我們如果要驗證它是不是符合實際，理論上、方法上是否達到了優化，就要在對模型求解、分析以后，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性。

例1：小王上周五在股市以收盤價（收市時的價格）每股25元買進某公司股票1000股，在接下來的一周交易日內，小王記下該股票每日收盤價格相比前一天的漲跌情況：（單位：元）

根據上表回答問題：

①星期二收盤時，該股票每股多少元？

②周內該股票收盤時的最高價、最低價分別是多少？

③已知買入股票與賣出股票均需支付成交金額的千分之五的交易費。若小王在本周五以收盤價將全部股票賣出，他的收益情況如何？

解：①星期二收盤價為：25＋2－0.5＝26.5（元/股）

②收盤最高價為：25＋2－0.5＋1.5＝28（元/股）

收盤最低價為：25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）

③小王的收益為：27×1000（1－5‰）－25×1000（1＋5‰）

＝27000－135－25000－125

＝1740（元）

答：小王的本次收益為1740元。

綜上所述，中學數學建模，對教師、對學生都是一個逐步學習和適應的過程。教師在設計數學建?；顒訒r，特別要注意學生的實際能力和水平，起點要低，教學形式應有利于更多的學生參與。教師在開始的教學中，在講解知識的同時，要有意識地介紹知識的應用背景。在應用的重點環節結合比較多的訓練，如實際語言和數學語言，列方程和不等式解應用題，等等。逐步擴展到讓學生用已有的數學知識解釋一些實際結果，描述一些實際現象，模仿地解決一些比較確定的應用問題，到獨立地解決教師提供的數學應用問題和建模問題，最后發展成能獨立地發現、提出一些實際問題，并能用數學建模的方法解決它。由于知識產生和發展過程本身就蘊含著豐富的數學建模思想，因此教師既要重視實際問題背景的分析、參數的簡化、假設的約定，又要重視分析數學模型建立的原理、過程，數學知識、方法的轉化、應用，不能僅僅講授數學建模結果，而忽略數學建模的建立過程。數學應用與數學建模的目的并不是僅僅為了給學生擴充大量的數學課外知識，也不是僅僅為了解決一些具體問題，而是要培養學生的應用意識、數學能力和數學素質。因此我們不應該沿用“老師講題、學生模仿練習”的套路，而應該重過程、重參與，更多地表現活動的特性。

參考文獻：

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1.1 數學建模教學的現狀調查

目前，高中的生源一部分是統招的初中畢業生，一部分是外地的借讀生。這些學生大部分對學習數學建模的興趣和積極性不高，這里一個主要的原因是他們的數學計算基礎比較薄弱，知識結構非常不健全。筆者對青島膠南一中5個班級的學生進行問卷調查，發現有59.2%的學生認為數學建模中計算不重要；僅有25.3%的學生對數學建模中的計算方法感興趣；有53.6%的學生認為進行數學建模運算目的是應付考試；55.7%的學生認為所學的數學計算方法內容太多、太難。

1.2 目前數學建模教學存在的問題

目前高中數學教育受傳統數學教學的影響較為深刻，傳統數學課程設置、教學內容、思想和方法手段在高中教師的教學理論中根深蒂固，與數學建模的教學特點和目標要求相差較遠。

1）教學內容偏重于理論，對應用不夠重視，喜歡傳統的推理和古典的方法，對于現代的前沿方法卻簡而代之。

2）多媒體教學手段沒有充分應用，粉筆加黑板仍是教師主要的授課工具，使數學建模教學缺乏直觀性、趣味性，體現不出數學建模教學生動活潑、貼近現實的特點。

3）數學建模教學沒有和計算機軟件教學結合起來，就算數學模型建立起來，也因計算機軟件不會操作而導致不能得到精確的求解和計算。這種問題大大削弱了數學建模解決實際問題的優越性，不利于培養應用型人才。這都說明數學建模教學存在嚴重問題，教改已經迫在眉睫。

1.3 數學建模教學中迫切需要加入計算機技術

由前面關于數學建模教學中存在的問題可以看出，在數學建模教學中，缺乏現代化的教學手段和計算方法是導致數學建模教學不能廣泛開展的重要原因。這就需要在數學建模教學中融入計算機教學，通過多媒體教學的直觀特點，提高學生分析問題、建立模型的能力，通過MATLAB等計算軟件的學習，減少對模型求解的繁瑣計算，有利于提高學生學習數學建模的興趣，提高建立模型、求解模型的能力。因此，在數學建模教學中融入計算機技術是必要的。

2 在高中數學建模教學中融入計算機教學的方法與途徑

在高中采用計算機技術對學生進行數學建模思想與方法的訓練，有三種途徑。

2.1 數學建模課程中加入計算機軟件的內容。

數學建模課程所包含的模型，可以跟許多計算軟件聯系起來，因為許多模型，如線性規劃模型、回歸模型、微分方程模型、概率統計模型等，建立模型后用MATLAB或LINGO就可以進行計算。所以在高中數學建模教學內容中融入軟件計算的內容，有著非常重要的作用。

2.2 將數學建模與軟件計算融合的方法有機地貫穿到傳統的數學課程中去

這種途徑使學生在學習數學基礎理論知識的同時，初步獲得數學建模的知識和技能，獲得用計算機軟件求解模型的能力，為他們日后用所學的知識解決實際問題打下基礎。那么，在實際的數學教學中，教師如何將這種思想滲透到教學內容中去呢？

1）高中數學的基本概念如函數、導數、三角、向量、積分等都是數學模型，因此，每引入一個新概念或開始一個新內容，都應通過多媒體課件教學展示一些直觀的、豐富的，能提高學生學習興趣的實例，向學生展示該概念或內容的應用性。

2）建立函數關系在數學建模中非常重要，因為用數學建模的方法解決實際問題的許多實例首先都是建立目標函數，將實際問題轉化為數學問題。然后借助計算機語言，將模型轉化為程序，為模型的求解做準備。

3）利用一階導數求解函數的極值問題，可以引導學生建立線性規劃模型，轉化成無條件極值或者條件極值問題，在此插入拉格朗日乘數法，讓學生掌握求解條件極值的方法，及如何運用數學軟件來進行計算。

4）概率統計模塊當中，一些統計量的計算，公式較為繁瑣，如果用數學軟件，或者用Excel，都可以很方便地對數據進行處理，求出想要的各個統計量，甚至可以畫出統計量的圖，直觀形象，使用便捷。

2.3 在數學建模教學中融入計算機教學應注意的問題

首先，采用由簡到繁、由易到難的循序漸進思想，逐步將軟件計算滲透到數學建模教學中。其次，在教學中選取的教學實例應該來源于生產或生活，讓學生透過實例來理解概念和模型，從而逐步掌握建立這種模型的方法。實例中所用到的模型應該體現數學建模的初級方法和思想，在教學中的舉例應具有代表性，切忌泛泛的一堆實例的堆積，卻不能提煉出數學的內涵來，畢竟建模的根本目的是用數學和計算機來解決實際問題。最后，應注重計算機與課堂教學的整合。用MATLAB、LINGO等軟件計算出的結果、描繪的圖形精確而可信，讓學生更加體會到利用建模和計算機結合解決實際問題的優越性，也可以提高學生的學習興趣，感覺課堂內容充實生動，這樣可以取得很好的教學效果。

3 膠南一中數學建模教學與計算機教學融合的實踐研究

隨著數學建模教學越來越深入到高中數學教育中，膠南一中也逐步對數學建模教學增加了認識，在所承教的班級中進行了詢問式調查，發現有20%以上的學生對數學建模有濃厚的興趣。于是，2009年初，教師開始在學生中利用課余時間開展公開課，請有興趣的學生報名參加，并在公開課上講解一些數學建模實例和計算機軟件的使用。通過小測驗，讓學生對某個實際問題建立模型求解，找出答案比較新穎的學生，指導他們建立和求解數學模型。

比如，以2006年的考題“易拉罐的最優設計”為例，請學生想辦法設計出自己認為最合理、最優的易拉罐來。學生對這個問題表現出濃厚的鉆研興趣，大家紛紛討論起來，有的畫出了圖形，有的在測量和演算，不久，就有不少學生提出較為優秀的方案。但是，學生對線性規劃、運籌學、最優化等課程很陌生，也不懂MATLAB等數學軟件的操作，所以他們對自己的方案只能有個大致構架，卻不會進行精密的演算和論證。這樣，教師把這些學生組成興趣小組，對他們進行培訓，主要是講解一些最優設計、線性規劃等課程中的基本方法以及如何用數學軟件來處理數據，由此一來，大家對數學建模有了深層次的認識。

2010年開始，學校組織了數學建模興趣班，采用推薦加考查的方式組成兩隊，利用暑假時間對學生進行培訓，培訓內容包括“數學建模方法及其應用”“線性規劃”“非線性規劃”“最優化”等和MATLAB等數學軟件。

在高中數學建模教學中，融入計算機軟件教學，不僅可以培養學生的跨學科應用的能力，還讓學生學會了如何分析和解決問題。而高中數學教師學歷層次普遍較高，專業知識較為扎實，在講授知識內容的同時能夠注意數學建模思想的滲透，能夠把利用計算機軟件培養學生具有應用數學方法解決實際問題的意識和能力放在首位，因此在高中數學建模教學中融入計算機教學是可行的，是符合社會發展和人才需求形勢的。

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這是列方程的重點，是一個抽象的過程。四則算術思想僅僅強調算法，而方程則比較全面地展示了建模思想——用等號將相互等價的兩件事情聯結，等號的左右兩邊等價，至于其中的關系是用自然語言表示的，還是用數學符號表達的，都不太重要。《義務教育數學課程標準（2011年）》（以下簡稱《課程課標》）關于課程設計思路指出：義務教育階段數學課程的設計，充分考慮本階段學生數學學習的特點，符合學生的認知規律和心理特征，有利于激發學生的學習興趣，引發數學思考；充分考慮數學本身的特點，體現數學的實質；在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。同時還指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。在進行方程教學時，可以先讓學生用自然語言闡述事情，然后抽象成數學表達，最后用數學符號建立方程，解決問題。

教學片段1：《方程的意義》。

師：觀察天平，說出你的發現。（課件展示）

生1：天平的指針指向中點，說明天平平衡了?？梢姡炱絻蛇叺馁|量相等，即一個空杯子的質量為100克。

師：現在天平怎樣了？（課件展示）

生2：杯子加水后，天平不平衡了，天平的左邊質量更重了，也就是杯子的質量加上水的質量后，比100克重了。

師：現在天平又怎樣了？（課件展示）

生3：天平右邊的托盤中再放入一個100克的砝碼后，天平仍然不平衡，天平左邊的質量，即一杯水的質量還是比200克重。

師：現在天平怎樣了？（課件展示）

生4：天平右邊的托盤中再放入一個100克的砝碼后，天平還是不平衡，這時，天平右邊變重了，即杯子的質量加上水的質量比300克輕了。

師：現在的天平怎樣了？說明了什么？（課件展示）

生5：現在天平又平衡了，說明兩邊的質量相等，即一杯水重是250克。

師：你能用一個關系式表示生3回答中三種量之間的關系嗎？

生6：杯子的質量+水的質量>200。

師：還可以怎樣表示呢？

生7：100+水的質量>200。

師：你能用一個關系式表示生4回答中三種量之間的關系嗎？

生8：杯子的質量+水的質量

師：還可以怎樣表示呢？

生9：100+水的質量

師：你能用一個關系式表示生5回答中三種量之間的關系嗎？

生10：一個杯子的質量+水的質量=250。

師：還可以怎樣表示呢？

生11：100+水的質量=250。

師：水的質量是多少？不知道?？梢栽鯓颖硎灸?？

生：可以用字母x表示水的質量。

師：很好，你們能用含有字母的式子表示生7、生9和生11所說的關系嗎？

生：100+x>200。

生：100+x

生：100+x=250。

師：類似“100+x=250”這樣含有字母的等式，就叫做方程。

片段教學體現出方程建模的過程，即將現實問題情境用自然語言表達成一個數學問題，離析出“100+水的質量>200、100+水的質量

二、學會化歸方法

這是解方程的重點，是一個運算過程?；瘹w，就是轉化和歸結的簡稱?；瘹w方法就是數學問題解決的一般方法，其基本思想是：把待解決的問題，通過某種轉化手段，歸結為易解決的另一個或一些問題，從而獲得原問題的解決。方程求解力求體現化歸思想，即三元一次方程組可以化歸為二元一次方程組，二元一次方程組可以化歸為一元一次方程，最終化歸為“x=a”的形式。就小學而言，解一元一次方程，只需要將含有未知數的項放到方程的一邊，將不含未知數的項放到方程的另一邊，就可以解出未知數的值。

例如：

100+x=250

解：100+x-100=250-100

x=150

x-6.5=3.2

解：x-6.5+6.5=3.2+6.5

x=9.7

2.5x=14

解：2.5x÷2.5=14÷2.5

x=5.6

x÷7=0.3

解：x÷7×7=0.3×7

x=2.1

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批量評估方法是20世紀70年代興起的評估方法，它是在評估三大基本方法與財產特征數據的基礎上，結合數理統計技術和其他相關技術而形成的一種新的評估技術。目前這種評估方法已在歐美一些國家的財產稅稅基評估和房地產抵押貸款、融資評估中廣泛應用。批量評估是對大量處于一定區域的財產樣本建模，并利用模型對任何符合模型要求的目標財產進行估價。批量評估技術的應用從最早的農地評估拓展到目前的以征納從價稅為目的的財產評估領域、房地產估價領域，以及抵押貸款、融資等的資產評估實務中。與傳統的評估方法比較，批量評估具有快速評估與成本較低的優勢。2003年以來，隨著集體林權制度改革的不斷深入，集體林區的森林資源資產交易日益頻繁，隨之而來的是對于森林資源資產評估日益增多的需求，由于林權制度改革形成的林農，以戶為經營單位的森林資源資產經營面積一般較小，小班個數亦較少，當在某一集中時段對同一地區的大量林農散戶小班進行評估時，如按照一般森林資源資產評估的流程，評估工作量將非常大，計算繁瑣，從而耗費大量人力、物力、財力且效率低。在市場經濟條件下，應提倡“高效率、低成本”，找到一種新途徑，能加快森林資源資產的評估速度，降低森林資源資產評估成本，而這也正符合批量評估的初衷，批量評估能夠實現低成本、高效率地完成大規模目標資產的價值評估任務，從而為森林資源資產評估提供了新思路和新方法。因此，本文擬將批量評估模型引入森林資源資產評估，并將其應用到森林資源資產評估實踐，希望有助于進一步完善森林資源資產評估方法與理論體系，促進森林資源資產化管理進程。

一、國內外研究概況

最早的批量評估思想可以追溯到1919年，當時在西方就有人將統計學的多元回歸分析（Multiple Regression Analysis，這也是現今批量評估中主流的校準技術之一）作為一種可行估算技術，應用于農業用地的價值估計實踐。其后，尤其是20世紀80年代末90年代初，西方學者圍繞著評估三種基本方法在統計、數學環境中的具體實踐做了大量的研究，探討了多元回歸分析技術、適應估計技術（又稱回饋技術）（Adaptive Estimation Procedure or feedback）、人工神經網絡（Artificial Neural Network）等技術在批量評估中的應用。Robert Carbone，Richard L.Longini（1977）利用回饋技術建立了不動產批量評估模型，并用數據檢驗了評估模型的可行性。Mark，J.，Goldberg，M.A.（1988）回顧了多元回歸分析技術在批量評估中應用的相關問題。John D Benjamin， Randall S Guttery，C F Sirmans（2004）分析了多元回歸技術在不動產批量評估的應用。Tay，D.P.H.，Ho，D.K.K.（1991/1992）運用人工智能技術對大量的公寓進行批量評估。Borst， R.A.（1992）指出神經網絡技術將成為評估體系中建模的主要技術。Borst R.A.（1995）研究了人工神經網絡技術在批量評估中的應用。Borst R.A and McCluskey（1996）分析了神經網絡技術在不動產批量評估扮演的角色。Tom Kauko（2007）研究了批量評估方法體系，提出將神經網絡技術、模糊邏輯技術等應用到財產評估，并與多元回歸技術比較，結果表明前者比后者具有更高的擬合精度。

國內有關批量評估的研究尚處于起步階段，并且主要集中在金融方面。如：耿星（2004）介紹了不動產批量評估的主要步驟：不動產基本描述、市場信息搜集和估價。金維生（2004）介紹了批量評估在加拿大房地產稅征管中的作用。陳濱（2005）介紹了金融不良資產批量評估的主要方法：統計抽樣法、經驗抽樣法、分類逐戶法和回歸模型法。劉揚（2005）提出了計算機輔助批量評估（CAMA，Computer-Aided Mass Assessment）。郭文華（2005）分析了計算機化批量評估系統（立陶宛）核心――不動產批量評估模型的原理和流程。紀益成，傅傳銳（2005）回顧了批量評估產生與發展的歷程，闡述了其方法原理和主要的操作過程，并采用市場法為理論基礎的模型設立和多元回歸作為模型的校準技術對實例進行批量評估，研究結果表明，該批量評估模型表現良好。

二、批量評估基礎

批量評估方法將三種傳統評估方法（成本法、市場法和收益法）納入其評估模型設定的基礎理論框架，但它不是這三種方法的簡單組合，而是考慮到了三種基本方法在不同評估環境下，針對不同類型資產時的適用性問題。在構建批量評估模型時，先根據目標評估資產與特定的評估環境選擇適用的基本方法理論作為評估模型設定的理論依據，再根據所選擇的模型和所能獲得的數據，應用現代統計、數學技術與計算機技術等實現傳統評估方法，即獲得模型中的系數。任何目的和類型的批量評估都應該包括以下步驟（2005 UNIFORM STANDARDS OF PROFESSIONAL APPRAISAL PRACTICE）：

（1）識別待評估資產；

（2）確定資產一致性性狀的市場區域；

（3）識別影響市場區域中的價值形成的特征因素；

（4）建立能反映此市場區域中影響價值特征因素相互間的評估模型（模型設定層次）；

（5）校準模型從而確定影響價值的各個特征因素的作用（模型校準層次）；

（6）將模型中所得到的結論應用于待評估資產；

（7）檢驗批量評估結果。

其中，第2步是指收集那些與待評估資產處于臨近地理位置、相近評估日期，具有相同或相似資產特征的資產，這些資產構成待評估資產的一個市場區域。

上述的模型設定和校準階段其實是一個反復迭代的過程。在進行第6步前，可以先用測試樣本檢驗模型，若輸出結果與預期結果不相符合就必須調整模型的設定，再次校準模型，并且重復上述過程直至模型預測達到一定精度。

三、基于多元線性回歸的森林資源資產批量評估應用研究――以幼齡林為例

在森林資源資產評估中實現批量評估的關鍵是建立自動評估模型，一般來說，建立自動評估模型需要經過下面幾個關鍵步驟：（1）進行數據調查，構建正確的統計分析框架；（2）對數據進行描述性分析；（3）建模：在建模當中，首先要選擇適當的理論模型，其次根據理論模型，選擇變量，最后選擇適當的模型形式；（4）模型精度的度量與模型改進。為說明森林資源資產批量評估模型的建立，以下以基于多元線性回歸的幼齡林批量評估模型建模為例予以說明。

（一）多元線性回歸數學模型與假設

多元線性回歸的數學模型為：

式（1）是一個 元線性回歸模型，其中有p個自變量。它表明因變量 的變化可由兩個部分解釋。第一，由 個自變量 的變化引起的 的變化部分，即

；第二，由其他隨機因素引起的 的變化部分，即

都是模型中的未知參數，分別稱為回歸常數和偏回歸系數， 稱為隨機誤差，它服從均值為0，方差為 的正態分布。

多元線性回歸模型的假設理論：

零均值假設：隨機誤差 的數學期望為零，即

等方差性假設：所有的隨機誤差 都有相同的方差， 。

序列獨立性假設：任何一對隨機誤差之間相互獨立，

正態性假設：所有的隨機誤差 服從均值為0，方差為 的正態分布。

不存在多重共線性假設：所有自變量彼此線性無關。

（二）森林資源資產調查與統計分析

為了估計參數、建立森林資源資產批量評估模型，必須收集大量的森林資源數據資料。根據對于森林資源資產評估的影響因子與價值測算過程，在進行建模前主要收集的數據主要有兩類：森林資源數據資料和評估的有關經濟技術指標。其中森林資源數據資料是最重要的評估模型的輸入元素，將直接影響到模型參數的選擇和分析方法的采用。采用歷史小班數據來鑒別特征因素，構造估算函數，檢驗推導出的模型的可靠性。當完成必要的森林資源數據調查與相關技術指標資料的收集后，應通過統計分析如專家分析、層次分析法、主成分分析法等以獲取影響評估價值的主要森林資源數據因子與經濟指標因子，在進行森林資源資產批量評估建模時主要是研究主要特征因素對單位評估值的影響，從而獲取包括上述特征因素的評估樣本，為建模做準備。例如影響幼齡林單位評估值的主要因素是年齡、平均樹高、株數、前三年的營林生產成本，樹種；影響中齡林單位評估值的主要因素有：年齡、經營類型（對應主伐年齡）、平均胸徑、平均樹高、蓄積量、銷售價格、直接采伐成本（含短途運輸費）、出材率和樹種；影響成熟林單位評估值的主要因素有：平均胸徑、平均樹高、畝蓄積量、銷售價格、直接采伐成本（含短途運輸費）、出材率和樹種。

（三）森林資源資產評估相關數據的描述性統計分析

對于數據的描述性分析實際就是對于數據是否符合建模要求的統計分析，例如在多元回歸模型建立之前，必須先檢驗多元回歸分析所具備的前提條件是否滿足，這些前提條件包括正態性和線性關系。應注意的是對于每一個單獨變量，正態假設在多元分析中是最重要的基礎。如果與正態性的要求偏離較大，所得的分析結果將是無效的。以筆者所在專業評估機構福建省福林咨詢中心2007年評估實踐中所獲取的36個幼齡林小班資源數據及其評估結果為基礎，結合批量評估建模過程為例說明。

1.正態性檢驗

由前文的特征因素分析可知，進行幼齡林多元回歸批量估算模型研究時考慮的主要因素有：年齡age；平均樹高h；株數tr_num；樹種（亞變量，離散的）。對上述四個連續變量進行描述性統計結果如表1

上述表1及圖1-3表明，年齡age的變化范圍為4~10，均值為6.5043；株數tr_num的范圍為70~320，均值為166.3248；單位評估值value的變化范圍為247.62元/畝~800.00元/畝，其均值為559.9190元/畝，可以看出這些變量更具有正態性，而平均樹高h的變化范圍為0.2m~15.8m，然而均值為4.1658m，偏度系數為0.902，其偏度系數較大，在未做任何處理之前，就將其運用到模型中，將會嚴重違反正態化假設。此時，可以對變量作變換，如作平方根、對數變換等，為了使變換后的數據也大于0，對平均樹高作平方根變換后得到平均樹高的直方圖如圖4所示?？梢姡涍^數據轉換處理后得到的新變量，其正態性有所改善。

2.線性檢驗

在正態性檢驗之后，還應該確保因變量與自變量之間的線性關系。線性關系可以通過散點圖來判斷，在SPSS中生成的散點圖，如圖5所示。從最后一行可以判斷因變量單位評估值和年齡age、株數tr_num的線性關系明顯，和平均樹高sqh的線性關系不明顯。

（四）森林資源資產評估批量評估回歸模型建立與假設檢驗

1.模型建立

根據上述分析與多元線性回歸原理，幼齡林批量估算模型可為如下形式：

式中： 分別表示樹種、株數、平均樹高的平方根；

、 為引入表示樹種的亞變量：

=0，=0，表示樹種為杉木；

=0，=1，表示樹種為馬尾松；

=1，=0，表示樹種為闊葉樹。

在對回歸系數進行推導的過程中，采用逐步回歸法。先按自變量“重要性”從一個自變量開始逐步引入方程，每引進一個新的變量時，要對新方程中的全部變量再作顯著性檢驗，刪除其中不顯著的變量，重復此過程，直至沒有變量被引入，也沒有變量可剔除時為止。在SPSS中采用逐步回歸法運算得到最終的多元回歸方程如下：

2.幼齡林模型的假設檢驗

進行多元回歸分析的前提是回歸模型的假定正確，可以采用殘差分析法來評估誤差項正態分布假設，以及方差性假設、方差獨立性假設的滿足情況。

檢驗殘差的正態性：對幼齡林批量評估模型進行殘差K-S檢驗。如果檢驗結果殘差不服從正態性，應考慮修改模型、進行適當變換，或增加新的自變量、剔除異常觀察值等方法來補救。經過反復試驗，當對株數變量tr_num取自然對數時，模型滿足假設。用ltr_num表示經變換后的株數。

再采用新變量后，利用逐步回歸進行系數推導。將得到的回歸系數代入方程，得到最終的多元回歸方程如下所示：

當樹種為杉木、闊葉樹時，其批量評估模型為：

當樹種為馬尾松時，其批量評估模型為：

3.修改后的模型假設檢驗

第一步，正態性檢驗，直至殘差服從正態性分布。

第二步，檢驗零均值與等方差性，直至等方差性的假設成立。

第三步，檢驗序列獨立性。

經檢驗，通過變量變換，所建立的模型滿足假設，該多元回歸模型成立。

（五）模型有效性確認

模型建立完成后，要對其有效性和準確性進行檢驗，從該地區森林資源資產評估案例數據中選擇具有代表性的數據，得到檢驗樣本，將以上幼齡林測試表中參數分別代入相應的多元回歸模型，經計算得到相應的單位評估值的預測值，將預測值與實際值進行對比，比較結果。經檢驗在本案例中，幼齡林批量評估模型對于檢驗數據的吻合性較高，測試數據實際值與預測值平均絕對誤差為23.92，相對誤差絕對值最大的不超過10%，模型可應用于該地區幼齡林評估。

四 小結

1.批量評估在國內外的評估實踐中已得到廣泛的應用，其理論與方法已具有較廣泛的應用基礎，其快速評估與成本較低的優勢同樣適用于集體林權制度改革后日益頻繁的森林資源交易現狀，研究表明，批量評估原理同樣適用于森林資源資產評估，將有效提高森林資源大規模目標評估的需要，其應用將為森林資源資產評估提供新思路和新方法。

2.基于多元線性回歸的批量評估模型是建立在多元回歸分析基礎上的，該方法是建立在特定的理論模型基礎之上，在使用時有較多的模型限定條件，如：模型都要求變量滿足正態性、線性條件，模型必須滿足基本假設等。在很多情況下，當數據并不符合線性條件或某個假設時，需要采用模型補救措施，并反復進行殘差分析以滿足擬合模型的條件，否則將造成擬合的模型質量較差或沒有意義，因此如何進行數據的統計分析將是批量評估模型的建?；A。

3.批量評估在我國的應用研究相對較少，盡管本研究結合了筆者及同仁近十年的森林資源資產評估實踐，但受森林資源資產評估發展與區域影響，尤其是數據影響，其實際應用還需作進一步的研究與驗證，因此本文擬拋磚引玉，以期使批量評估在森林資源資產評估理論與方法領域中得到更多的關注，促進其理論與實踐的完善。

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中國冶金自動化產業伴隨著現代化鋼鐵的發展而迅速發展。在當代，自動化是工業化的重要標志。我國鋼鐵工業經過幾十年的發展，主體工藝設備不比國外差，最主要區別是在信息化和自動化方面，即冶金過程數學模型不夠完善。我們知道一個國家鋼鐵工業的發展狀況也反映其國民經濟發達的程度。鋼鐵工業發展的重要性，使得產生了一系列的冶煉過程數學模型來指導高爐的順行。冶金過程控制數學模型是冶金反應工程學的核心和主要內容，隨著信息技術和自動化與生產工藝的緊密結合，鋼鐵生產中自動化程度得到了大幅度提高。能使冶金過程的監測控制裝備水平得到了提高的是冶金過程數學模型軟件的開發、建模和投入冶金過程計算機監控系統及工藝參數監測運行。它使我國冶金技術得到了一個可喜的進步。冶金過程數學模型是根據冶金過程遵從基本規律，建立起數學模型，用它描述冶金過程對冶金是十分有益的。

1 冶金過程數學模型分類

對描寫單一過程或過程的某個方面的模型來說，有三種類型。①機理模型：對這類數學模型的建立，首先要進行深入細致的研究和理論探討控制對象的物理化學過程。應用數學的表達式、圖形或者算法表示出來，找到影響過程因素之間的關系，及得到這些數學的模型后，再用實際的數據進行驗證，完善，采用分段處理的方式等。根據最基本的定律和原理來推導，其中在冶金中最基本的三個模型是未反應核模型，雙核模型，表面更新模型，在這過程中確定權重系數或增加修訂內容。②統計控制模型：這類模型是一種隨機性模型，當工藝的條件發生了極大的變化時則需要對此模型進行重大的完善或者修改。建模時與工藝理論關系較少這類數學模型，回歸方式建立起的數學表達式或者是圖形都以自動控制的原理和現代數學理論為基礎，是通過現場采集到大量與過程控制因素有關的數據。③人工智能模型：它主要的依據是工藝的控制經驗和相關的專家知識及理論，是一種基于規則的模型，它是一種將兩種模型進行優化集合而生成新的模型，包括自動控制理論與現代數學理論等。高爐冶煉過程模型經歷了由簡到繁，由描述過程某一方面的模型到綜合多種模型，形成高爐操作控制體系的過程。過程模型還有很多種類型，如有限元法，描述爐內氣體流動狀態的歐根向量方程以分析爐內氣流的模型，氣流與傳熱的過程模型；根據爐壁上測量的煤氣靜壓力數據或根據爐頂在半徑方向測量的煤氣溫度和成分以計算軟熔帶的位置和開關的模型等等。

2 建立數學模型的一般步驟

①建模準備。對一些重要的信息搜索機特征提取，通過要素的分析，要明確知道建模的目的，分析控制對象的過程，對建模的方式進行選擇，形成了建?？蚣艿膶嵸|性。②對待問題的數學描述。抓住一些對象的特征和建模的目的，在經過一些相關物理化學定律的應用及約束的條件確認，對問題本質的認識，做出必要的以及合理的假設和簡化，要用數學語言及方法表達出所控制對象的內在規律，建立起包括常量和變量的數學模型，主要是選擇模型種類及簡化問題，確定計算區域，確定各種參數和坐標，邊界條件等。③程序的設計。解析運算數學模型和邊界條件。但對冶金問題用解析方法求解的較少，一般都采用數值計算來求解，因此而進行的程序設計包括算法選擇、編制、程序及調試等等。④模型優化與調試。通過了對數學模型的求解，達到了模型的可執行并且通過測試，進行必要的分析，對結果，對模型進行進一步的完善和優化。⑤模型檢驗與應用。檢驗模型的正確性要用實際生產的數據，反復進行多次的循環，直到達成滿意的效果，接著將檢驗合格的數學模型與現場的控制系統、數據采集系統及檢測系統等一些相關的系統組成一個系統，最終完成線程調試并開始試運行。

3 冶金過程數學模型的優越性

通過對冶金過程進行數學模型的模擬，總結出其具有以下幾個優越性：①具有模擬極端條件的能力。例如，通過模擬能夠了解高爐中“黑箱”操作過程，最重要的一點是：分析煤氣流的分布，在這里要用到有限元法，它可以模擬生產或試驗中不能實現的、極端操作條件下的生產過程，幫助確定臨界操作條件。②資料系統詳盡。它可以提供過程有關變量在空間和時間域內任一點的值，數學模型的計算結果是詳盡而完備的資料。③經濟性。與別的方法相比較，數學模型可以極快的計算速度用于過程的研究，而且成本相當低，對于鋼鐵冶金這樣的高溫的負責過程，實驗研究的經費要比數學模擬的花費高出幾個甚至十幾個數量級。

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一、關于題解、數學基本思想和數學方法的問題

史寧中教授在《數學思想概論》中提出：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、建模，學習者通過在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系?！辈⒂纱硕l出其他的，如分類、歸納、簡化等許多分類思想?？梢?，數學思想是數學科學發生、發展的根本，是探索研究數學所依賴的基礎，也是數學課程教學的精髓。

由于“數學思想”概念比較抽象，故小學教師在數學教學中去滲透它時是有難度的，而要讓小學生在數學學習中理解個中含義，更是難上加難。但是，在實際教學中，卻處處隱含著數學思想，即通過對事物的推理、演繹、歸納或分類、集合、量化和統計等方法，使之轉化為數學方法，從而獲得解決問題的辦法。一旦學生理解了，掌握了，就會對它產生巨大的興趣，進而去進一步地發現它，研究它，不斷地提高自己的數學素養。

《義務教育數學課標（2011年版）》較之《課標實驗稿》，由原來的“雙基”發展為“四基”，新增了“兩基”――基本思想和基本數學活動經驗，其內涵和外延也更加豐富，更加深刻?！读x務教育數學課標（2011年版）》中所說的“數學基本思想”主要指“數學抽象思想”“數學推理思想”“數學建模思想”。人們通過“數學抽象”從客觀世界中得到數學的概念和法則，建立了數學學科；通過“數學推理”，進一步獲得更多的結論，使數學科學得以發展；通過“數學建?！?，把數學應用到客觀世界中，在產生了巨大效益的同時，又反過來促進數學科學的發展。

筆者認為，以上三個基本思想是數學的“上位”思想，由此又派生、發展、演變出很多“分支”思想，即數學的“下位”思想。數學抽象思想的“下位”思想有“分類思想”“集合思想”“符號思想”，等等；數學推理思想的“下位”思想有“歸納思想”“演繹思想”，等等；數學建模思想的“下位”思想有“簡化思想”“量化思想”“函數思想”，等等。

縱觀《義務教育數學課標（2011年版）》中所談到的“數學思想”并不是指數學方法，數學思想與數學方法是既有區別又有聯系的。數學思想是宏觀的，屬于上位的思維范疇，它常常通過數學方法去實現；而數學方法卻是微觀的，屬于下位的實踐層面，是解決數學問題的最直接具體的手段。數學方法是在數學思想的指導下進行具體操作的，它是對數學思想的具體反映，屬于實施層面，兩者密不可分。

二、在小學數學教學中滲透數學思想的重要意義

從以上陳述可以看出，在小學數學教學中滲透數學思想有著重要意義。下面，與大家分享幾個生活中的“鏡頭”，以此說明其重要性。

【鏡頭1】《福爾摩斯探案――藍寶石案》片段：福爾摩斯根據一頂舊帽子來推斷帽子主人的特征.即“從帽子的外觀來看，很明顯這個人是個學識淵博的人，而且在過去三年里，生活相當富裕，盡管他目前已處于窘境；他過去很有遠見.可是已今非昔比，再加上家道中落，因此精神日趨頹廢。這仿佛說明了他受到某種‘壞’的影響.也許染上了酗酒的惡習。他這個人一向深居簡出，根本不鍛煉身體，是個中年人，頭發灰白，而且是最近幾天剛剛理過的。頭發上涂著檸檬膏。這些就是根據這項帽子所推斷出來的比較明顯的事實。還有，順便再提一下。他家里是絕對不可能安有煤氣燈的”。

【鏡頭2】我們會根據手機套餐內容，選擇適合自己使用的套餐，如動感地帶上網套餐（校園版）。

【鏡頭3】在第30屆英國倫敦奧運會上，我國以38枚金牌位居世界第二，“38”個數字深深地烙入人們的腦海中。

上述三個鏡頭，在滲透數學思想中，雖各具功能，但殊途同歸?！扮R頭1”中的福爾摩斯應用數學推理思想推斷出帽子主人的身份以及特征；“鏡頭2”是運用數學建模思想根據每個人的實際情況選擇合適的手機套餐；“鏡頭3”中的奧運金牌數38，就是一個數學抽象思想。三個鏡頭詮釋了同一個道理：數學思想。

雖然大多數人已經忘記了很多高深的數學知識，但是人們卻能夠用學到的數學思想方法去解決生活與工作中或其他領域遇到的問題，讓人們終身受益，正如一個學者對數學思想的描述――將具體的數學知識都忘掉后剩下的東西。盧梭說過：“我們的目的不是用知識充塞他的頭腦，而是教授愛彌爾獲得知識的方法，當他需要獲得知識時能獲得它?！边@里盧梭所說的“方法”，筆者把它理解為“數學思想方法”。這就是《2012年數學課程標準》中為什么“使學生獲得數學的基本思想”應該作為數學課程的一個重要目標的意義之一。

同時，從數學學科的發展來說，數學思想和人的思想是一樣的，數學倘若沒有數學思想，它將是非常機械而枯燥的，根本談不上進步。數學思想就像科學技術一樣，能夠很好地推動數學學科的發展，是數學發展的內在動力。如解析幾何的產生正是由于有了數形結合思想的推動才發展的；公理化思想催促著歐式幾何的誕生等。數學思想能夠豐富數學內容，并且使得數學知識越來越完善，越來越深刻，不斷從基礎發展到高端，從而促進數學學科的發展。數學思想能使整個數學體系的各部分理論之間緊密聯系，如數形結合思想能讓代數和幾何這兩個理論緊密聯系，能夠充分發揮兩個理論的優勢，從而獲得最好的解決問題的辦法。

正因為數學思想具備以上重要意義，所以數學教師更應該在小學數學教學中就開始滲透它，讓學生終身受益。

三、如何在小學數學教學中滲透數學思想

既然數學思想有著以上重要意義，那么，教師在數學教學中應如何滲透數學思想呢？筆者將從以下幾個方面展開討論。

1.數學抽象思想的滲透

所謂數學抽象思想，是指在數學研究中，通過研究對象的現象，深入里層，抽取事物本質特征的一種思想。筆者在執教北師大版四年級下期“四邊形的分類”一課時，在教學中對數學抽象思想做了如下滲透。

首先.筆者出示8個四邊形（見圖1），請學生分類。怎么分由學生自己說了算，但要說明理由，對分類標準筆者不做任何限制。

學生通過自己動手操作.展示出如下幾種分法：第一種是把①②③④⑥⑦與⑤⑧分成兩類，學生這樣分的理由是把有平行線的分一類.沒有平行線的分一類；第二種是把①⑥與②④⑦以及⑤⑧分成三類，③單獨分一類，學生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類，菱形分一類；第三種是把①③⑥分成一類，把②④⑦分成一類，把⑤⑧分成一類，學生這樣分的理由是平行四邊形和梯形各分一類，一般四邊形分一類。學生從不同的角度思考問題.而且理由都充分。

這節課分類的目的是幫助學生更好地抽象出平行四邊形和梯形的概念。形成系統的知識體系。在學生思維充分展開的基礎上，筆者及時進行思維優化.并提出：“如果以對邊是否平行為標準要分成哪幾類？”引導學生從關注問題的“表層結構”――外在的圖形形態.過渡到關注問題的“深層結構”――圖形邊的形態。通過筆者提示，學生又做了如下分類：有把①③⑥分成一類的，有把②④⑦分成一類的，也有把⑤⑧分成一類的。筆者追問：“①③⑥為什么歸為一類？”在追問中學生抽象出“兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形?！碑攩柕健阿冖堍邽槭裁礆w為一類時”，學生的回答是“這三個四邊形都有一組對邊平行；有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形”。教師針對學生這樣的回答可用如下方式進行提升。

教師：“你們能用‘只有’造句嗎？”學生：“我只有一本數學書?！苯處煟骸澳沁@里什么叫梯形，你能像剛才那樣用‘只有’造句嗎？”這時.學生就會很自然地類比出：只有一組對邊平行的四邊形叫做梯形。

從以上案例可以看出數學抽象思想在實施過程中離不開三個環節，即“分離一提純一簡化”。從幾個四邊形中通過“分類”產生“分離”，接著通過“類比”等“提升”出初步概念，最后“簡化”出本質特征。

2.數學推理思想的滲透

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。”筆者曾指導一位教師執教北師大版二年級下期“長方形與正方形”一課時，在教學中對數學推理思想做了如下滲透。

先讓學生共同合作，在一塊釘有釘子的木板上圍出長方形和正方形各一個。

①匯報展示（略）。

②質疑反思：為什么你認為你圍出的圖形就是長方形？為什么你認為你圍出的圖形就是正方形？

③總結概念（根據學生的回答進行板書）：長方形的上下兩邊與左右兩邊都相等，四個角都是直角，長方形有對邊，也有鄰邊，長方形中相鄰的兩條邊或者說組成長方形每一個直角的兩條邊就是長方形的一組鄰邊；正方形的四條邊都相等，四個角都是直角。

教師通過引導學生觀察、操作，鼓勵學生大膽猜想長方形的特征和正方形的邊角特征，并鼓勵學生對操作與猜想進行反思，激發學生探究的欲望。

之后，教師再通過提問，加以提升：“是不是所有的長方形和正方形都具備這些特征？”學生驗證：用量一量、折一折的方法，驗證自己的發現；并把經過驗證的結論填寫到書上，然后讓學生扮演小老師展示匯報驗證的過程。

以上片段說明，猜想驗證是推理思想的重要的步驟。正如牛頓所說：“沒有大膽的猜想，就不會有偉大的發現?！辈孪胧菍W生在對事物有所感知后，做出初步的未經證實的判斷。在這節課中，學生通過釘子板圍圖形猜想出圖形的特征，是以一定的數學知識、經驗知識和思維方法為基礎的一種合理猜想，也就是合情推理，并不是“瞎猜”。在這一過程中，教師充分發揮學生的主體作用，為學生提供自主學習的時間和空間，讓學生在自己動手操作中驗證了長方形和正方形的特征，在小組匯報時又展示出學生探索策略的多樣性；同時，讓學生不但要說出發現了什么，還要說出是怎樣發現的，關注學生的思考過程。通過讓學生動手操作來驗證自己的推理，讓學生感悟“猜想―驗證”的數學推理思想，在這樣的猜想驗證過程中又體現了合情推理和演繹推理是相輔相成的。

3.數學建模思想的滲透

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果，并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識?！比缃虒W北師大版五年級下期“分數乘法”一課時，教師在教學中可用如下方法滲透數學建模思想。

出示例題：1張圖片占一張彩紙的1/5.3張圖片占這張彩紙的幾分之幾？

先讓學生讀懂題意，明確問題，把實際問題抽象成數學問題。3個1/5是多少？或1/5的3倍是多少？1/5×3=？（3x1/5=？）

然后，解決問題，探索算法。首先，創設情境，建立模型：學生動手把1張紙平均分成5份，用彩筆涂畫出其中3份，涂色部分占這張紙的3/5，所以1/5×3=（）。其次，運用模型，解決問題：用已有的數學知識解釋上述算式為什么成立？解釋的過程即是寓理于算的推理過程。再次，互動質疑，深化概念：讓學生想想，這兩種算法是不是適合所有的分數乘整數.算一算2/7×3=（）。最后，教師激勵，拓展提升：歸納出分數乘整數的計算方法，并通過學生充分討論后歸納出分數與整數相乘的計算法則：axn/m=axn/m（a、m、n都是正整數）。

這一過程，通過提取關鍵步驟，簡縮思維過程，形成了運算法則，抽象成了數學模型，從而根據法則，進行計算。

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關鍵詞：GSPN；計算機網絡；可靠性；Petri網

1 前言

計算機網絡可靠性能的分析方法主要有三種，即數學分析、計算機模擬仿真和測量監測技術。測量檢測主要是在系統實際運行情況下進行的，因此，這種性能分析方式能夠反映特定條件下的被觀測系統的實際性能。但是，這種模型需要依賴系統的具體細節，因此不具有普遍性。后兩種模型則對系統中的重要特征進行了描述。模擬仿真模型中，通過計算機程序進行了描述，而數學模型中使用數學表達式進行了描述。

Petri網是一種比較抽象的和形式化的工具，該工具適用于對離散事件系統的并發性、非同步行為和控制流進行描述。計算機網絡分析模型在建立過程中通常使用排隊論模型，但是，排隊模型無法解決封鎖、并行和顧客分裂的問題。對此，GSPN網模型能夠進行很好的解決。本文介紹了該種建模方式的理論基礎，并應用實例說明了應用GSPN分析計算機網絡可靠性的基本流程，對完成計算機網絡建模和可靠性分析具有廣泛的指導意義。

2 GSPN模型介紹

GSPN是SPN模型的擴展，其基本隨機過程是一種連續狀態下的馬爾可夫鏈，由于其狀態空間較SPN有很大程度的減少，因此該模型得到了非常廣泛的應用，并受到廣大網絡性能維護專家的歡迎。GSPN模型能夠有效描述各類排隊模型，雖然該模型對于存在變遷元素相互關聯的分布下的描述還不是很充分，但是，在能夠對實際系統進行有效定義的情況下，GSPN模型能夠產生令人十分滿意的效果。

3 GSPN建模分析

網間連接器是構造局域網與廣域網互連的關鍵部分，LAN與SIDN相互連接，這樣做的目的是把SIDN看作一個透明的網絡而將各類擴展的LAN互聯起來。為了簡化系統的設計和模型的構造，我們選擇局域網作為LAN擴展連接到SIDN的出口。

本文中假設網間連接器到達的過程服從Poisson分布，這里我們主要關注面向無連接與面向連接方式間的轉換對計算機網絡系統性能造成的影響程度。狀態元素Buf0指的是空閑緩沖區個數，狀態元素Buf1內的Token指的是緩沖區內將要轉發的數據分組，狀態元素Busy指的是物理信道，該信道的容量函數為1，如果存在Token，則說明信道正在發送有效數據分組。狀態元素L-on與L-off指的是鏈路目前的狀態，其中，在存在Token的情況下L-on表示已經建立了連接，這時存在數據的話則可以直接發送，而L-off表示鏈路正處于釋放狀態。

除此之外，我們假設變遷元素Arr指到達平均率為λ3的LAN到達的過程，而變遷元素Trans指的是平均服務率為λ5的服務過程，這代表了SIDN的鏈路速率。另外，Conn與Rele分別指建立連接和釋放連接過程中，平均速率為的建立和釋放過程，平均速率分別為λ6和λ7。

本文引入了廣義隨機Petri網模型構建理論，即GSPN模型。應用該模型能夠對計算機網絡的可靠性進行評估，從而有效刻畫計算機網絡的動態行為。文章最后應用實例建立了網絡的動態可靠性分析模型，并通過仿真模擬獲得可用度指標的變化曲線，從而驗證了模型方法的有效性。

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關鍵詞：GPS 高程 轉換 模型

1.概述

GPS的普及使得GPS大地高轉換為正常高成為一種生產需要,在這一過程中必須求解高程異常。這一過程也稱為建立區域似大地水準面。似大地水準面是一個連續的曲面，并且與其所在的平面位置密切相關，具體處理時是可以看成其是平面位置的函數?；舅悸肥?，首先根據聯測點上的高程異常，對測區內的似大地水準面進行趨勢分析，在此基礎上，建立適合測區的似大地水準面的數學模型，利用數學模型，即可求得非聯測點的高程異常，即可求得相應GPS點的正常高[]。

為了確保結果的正確性，我們通常要在測區都聯測相對多的GPS高程點，用以檢核區域似大地水準面的精度。事實上，這樣做非常必要的。但僅僅用于檢核似乎并沒有充分發揮這些檢核點的作用。如果我們考慮再用同樣的方法用檢核點建立模型，用原來的建模點來檢核模型的有效性。這樣我們就對未測水準高程得到了兩種轉換結果，也就是本文提出的雙次轉換法。如果兩次轉換都有效的話，我們取兩次轉換結果的均值，這樣既有利于保證區域似大地水準面的可靠性，又有利于提高GPS高程轉換的精度。

2.轉換方法

GPS高程轉換是一個數學問題，建立兩個結合見的映射問題。在測繪領域內通常依據點的平面坐標來建立映射關系，適用的方法主要有繪制等值線圖法、插值與逼近和人工智能等方法?，F主要討論插值與逼近和人工智能這兩類方法。

2.1 插值與擬合的方法

2.1.1 多項式擬合法

(1)平面擬合

當測區范圍較小且地勢平坦時，可視大地水準面為平面，則擬合表達式為：

式中a、b、c為未知參數，此時要求公共點至少為三個。

(2)四參數多項式擬合

四參數多項式擬合（又稱相關平面擬合）的曲面擬合表達式為：

式中a、b、c、d為未知參數，此時要求公共點至少為四個。

2.1.2線性加權平均內插

本方法中，插點的高度是由其周圍的參考點的高取加權平均而算得。每一參考點的參考點與內點平面距離的函數。插點的高程由下面的式子計算：

式中

)

或

，

通?？梢允褂玫臋嗪瘮的Ｐ腿缦拢?/p>

第一種模型：

第二種模型：

第三種模型： ，

第四種模型： ，

在具體使用中，用插值點周圍的參考點，而不是使用所有的參考點效果好。這種情況下，選擇參考點又帶來了另一個問題。實踐中，通常以插點為圓心作圓，選用落入區域內的參考點。根據參考點的密度和分布來確定圓的半徑?？梢允褂糜刹妩c的 臨近原則來確定的參考點，這種方法的使用使選擇參考點具有了唯一確定性。

2.2 人工智能法

人工智能方法是伴隨著對人腦機能的研究，以及相關的數學理論和計算機科學與技術的發展，使得人工智能技術有了飛速的發展。在GPS高程轉換中，應用較多的人工智能方法是神經網絡。

神經網絡方法

一般而言，神經網絡是一個并行和分布式的信息處理網絡結構，它一般由許多神經元（處理單元）組成，每個神經元只有一個輸出，它可以連接到很多其它的神經元，每個神經元輸入有多個連接通路，每個連接通路對應于一個連接權系數。

嚴格地說，神經網絡是一個具有下列性質的有向圖：

每個接點有一個狀態變量 ；

節點 到節點 有一個連接權系數；

每個節點有一個閥值 ；

每個節點定義一個變換函數 ,最常見的情形為

網絡結構示意圖如圖所示?，F在的研究認為：該方法比通常使用的二次多項式曲面擬合精度高且穩定；聯測點數要求不多；一定程度上減少了模型誤差。但由于神經網絡的自身的缺點，如學習、收斂速度慢,容易陷入局部極小,網絡結構無固定規律可循等弱點，限制了該方法的使用。

3.實例

3.1 計算方案

試驗區位于我國東部地區，面積近50 km2，平均高程160 m，最大高差84 m。在測區內由GPS測量獲得了74個點的平面位置和橢球高，同時用水準測量獲得了這些點的正常高（以下簡稱真值），換句話說，這74點每個點都獲取了平面位置和高程異常。

將這74組數據分成三組，使每一組數據都能均勻地散落在實驗區內。第一組數據（20個點）用來根據上一節的方法來建立區域似大地水準面，本例中選取六參數多項式擬合方法；對于第二組數據（30個點）來說，檢核第一組數據建模質量（稱之為第一組轉換）。依據本文提出的觀點，也可以得到第二組數據作為建模點，第一組作為檢核點的似大地水準面模型（稱之為第二組轉換）。對于第三組數據（24個點）來說，其有第一組和第二組轉換的結果，還有雙次轉換的結果（第一組和第二組轉換結果取均值）可以驗證本文方法的有效性。

3.2 精度分析

因為與建模不相關的外符合精度是衡量其建模精度的重要指標。為此我們重點分析兩種方法計算得到第三組數據的水準高程與GPS高程轉換后的誤差序列，如表1。從表1中可以看出：

（1）無論是第一組還是第二組轉換結果，基本能滿足工程的需要，但個別點轉換的誤差超過5cm。兩種方法差異不大，但第一組轉換精度略優于第一組轉化，這是由第一組建模點點位分布更為合理的原因。

（2）雙次轉換的精度好于任何一組轉換的結果。并且由于雙次轉換能較好地繼承每一組轉換的結果，使得最大的轉化誤差控制在了5cm之內，能滿足測量規范要求。

4.結論

對于區域的似大地水準面來說，用單次轉換，未能充分發揮檢查點的功效。本文提出了雙次轉換方法，就是利用檢查點運用相同的方法再次建立測區似大地水準面，最后結果取雙次轉換的的均值，這樣有利于提高區域似大地水準面的精度和可靠性。因此我們認為，雙次轉換方法為高程轉換提供了新思路，轉換效益明顯，建議測繪工作者在今后的工程應用中使用該方法。