數學建模方法及其應用范文
時間：2023-12-22 17:50:50
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4、《MATLAB在數學建模中的應用》，作者:卓金武；
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關鍵詞：建模思想；反比例函數；人教版；研究方法；函數
中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）07-205-01
一、在對反比例函數的學習認識中，要首先研究了解其概念
就反比例函數概念而言，通俗來講，一般而言，如果說兩個變量的每一組對應值的乘積都是一個不為0的常數，則可以就說這兩個變量成反比例。其形式可以寫為y=k/x（k為常數，k≠0，x≠0），當這個函數關系成立時，該函數就叫做反比例函數。相比較一次函數，二次函數，反函數有它自己的特征和概念，二次函數的函數是二次的，而反比例函數的函數是一次的，一次函數是另外的一種函數。
在教學過程中，把建模思想運用到教學過程中，對學生的教育可以對比記憶、繪圖記憶，努力融入數學思想，這樣可以更好的把握反比例函數的概念，理解的也可以更深刻。
二、利用數學的建模思想，研究反比例函數的圖像，然后再根據圖像判斷其性質，這對數學的學習和研究使很有必要的
研究反比例函數，來研究其性質和圖像的特征和函數的單調性，根據反比例函數的概念和函數的表達式來研究其單調性。
根據反比例函數的表達式，描點來畫其圖像，可以看出反函數的圖像是一條雙曲線，從圖像上來看，可以發現它是關于原點對稱，由奇偶函數的概念可知反函數是奇函數。
而一次函數的圖像是一條直線，二次函數的圖像是一條拋物線，根據每個函數的表達式的不同，每種函數的圖像也不相同，當然，其性質也不可能相同。反比例函數是九年義務教育中學的最后一種函數，同學們通過對其他函數的學習，對這一類函數多少已經有些了解，了解如何去研究這一類函數的性質，去研究這一類函數的圖像，在教學過程中，融入數學中的建模思想，親手自己畫圖像，并且研究圖像，通過與一二此函數的對比研究和反復記憶，來更深刻的理解和明白反比例函數，加深對反比例函數的進一步的研究，更深刻地理解和記憶反比例函數。
三、在反比例函數的學習過程中，要充分將建模思想融入進去，并且能夠根據實際情況來舉例研究，這樣對反比例函數本身的學習會有很大的幫助，對理解也會有很大的幫助
建模思想是數學研究中一個很重要的思想，也是在學習中對學習和知識的研究和掌握很有幫助的一種思想，學習反函數的過程中，充分運用建模思想，在學習完其基本知識后，再出一些相關的題目，或者根據生活中的一些情況進行講解，這對反函數的認知有很大的幫助。
實時的針對反比例函數出一些題目，例如，根據性質如何來判斷它是哪一種函數，或者，告訴學生們某一函數的表達式，讓他們來判斷是什么函數，說明其性質，并且能夠準確的畫出圖像。性質、圖像、表達式之間能夠靈活的轉換是學習函數、弄明白函數的一個重要的方法，一個重要的要求，這也是在數學中建模思想的要求，是數學建模思想中一項很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型檢驗。
四、數學學習中，還有很重要的一項要求即要列出重點，強調重點，這是一項很重要的工作。當然，對于反比例函數的研究與學習，也是一樣的
數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。所以在學習中要強調一些很重要的東西，比如說函數性質等，在反比例函數中，要突出強調其表達式，反比例函數的性質，關于原點對稱，是奇數函數，并且重點研究一下它的圖像，讓同學們可以明白哪部分是重點，如何學習，并且要好好的學習記憶。建模思想本身就是數學類的思想，強調重點、重點記憶更是學習的一個重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入進來。
總之，當今時代的發展，建模思想早已是數學中很重要的思想，對于九年義務的教育，對于反比例函數的學習，要掌握其概念、表達式、性質和特點，數學本身就是一門很枯燥的學科，過多的都是理論化的東西，將建模思想融入學習，對掌握反比例函數是很有幫助的，也是很有必要、很重要的。
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【關鍵詞】《高等數學》；高職；汽車專業；課程設計
《高等數學》課程是高職高專一門重要的公共基礎課程.是汽車專業的學生必修的一門基礎課，是學生學習專業、發展技能的基礎.本課程一方面培養學生抽象的邏輯思維能力，處理各類數據的運算能力及數與形有機聯系的空間想象能力，在一定程度上提升學生的數學修養.另一方面是給學生打下一定的數學基礎，為后續專業課的學習提供必備的數學知識與有力的支撐.
高等數學教學設計是高等數學教學的重要環節，是教育理念與教育實踐間的橋梁.下面結合自己多年講授汽車專業高等數學課程的教學經驗，談談高等數學課程的教學設計.
1.課程設計的理念與思路
以學生為主體，教師為主導，根據課程自身的學科特性和學生的認知規律，課程內容設計遵循“以應用為目的，以后續課程必需夠用為度”和服務學生職業生涯可持續發展和專業學習需要的設計原則.首先，借助軟件工具Mathematica進行快速準確的計算；其次，突出培養汽車系學生的初步數學建模能力，圍繞“三性”的教學理念進行課程設計.
根據高等數學的教學要求，本課程的宗旨是服務專業，服務職業，服務學生的可持續發展，內容體系既要考慮數學知識的前后銜接又要考慮專業要求.課程設計立足于學生的親身經歷和動手實驗，超越單一的書本知識的學習，教學案例來源于汽車類專業，引導學生自覺地把直接經驗學習和間接經驗學習相結合.課程設計面向每一名學生的個性發展，尊重每一名學生發展的特殊需要，緊密結合專業及時調整教學內容、教學方法與手段，課程目標、課程內容、活動方式等方面都具有開放性和生成性.
2.課程目標設計
（1）能力目標
能借助數學軟件進行快速準確的計算，服務汽車專業學生；通過提高學生的數學思維能力，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想像、運算求解、數據處理、反思與建構等思維過程，為進一步學習專業課程，服務和支撐專業理論學習及今后的可持續發展奠定良好的基礎.逐步學會用數學的邏輯思維方式去觀察、分析現實社會，去解決學習、生活、工作中遇到的實際問題，學會利用數學方法去解決汽車專業問題；能用數學建模思想討論汽車的性能及評價指標；具備汽車檢測與維修技術專業需要的實用計算能力和簡單的模型建立能力.
（2）知識目標
了解有關數學知識產生的背景，理解基本的數學概念的本質，體會這些知識所蘊涵的數學思想和數學方法.掌握高等數學課程的基礎知識和基本技能；掌握汽車檢測與維修技術需求的數學基本概念、理論和運算；掌握函數的性質和極限的計算；熟悉微積分思想并掌握微積分的計算；掌握導數的基本知識和極值的計算.了解高等數學在后續課程中的應用，了解高等數學知識在職業發展和社會實踐中的作用，掌握數學建模的思想和方法.
（3）素質目標
提高學習數學的興趣，樹立學好數學的信心，在實踐中形成鍥而不舍的鉆研精神和科學態度，具備團隊協作、溝通交流的能力和創新意識；使學生具有一定的數學視野，逐步認識數學的科學價值、應用價值和文化價值，崇尚數學的理性精神；通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學發現和創造的歷程.
3.教學單元設計
根據本課程組成員對汽車系教師和學生問卷調查確定教學內容；遵循“以應用為目的，以后續課程必需夠用為度”和服務學生職業生涯可持續發展及專業學習需要的設計原則；并且考慮到數學知識的銜接、學生的數學知識水平及課時要求，本課程劃分為九個教學單元：函數與極限；導數、微分及其應用；不定積分；定積分及其應用；無窮級數；常微分方程；多元函數微積分；線性代數；概率論初步.每一教學單元按照案例導入、提出問題課堂研討、新知學習數學實驗、新知應用數學建模、解決問題總結反思、鞏固提高過程進行教學組織實施，主要運用行為導向教學法，將數學建模思想與數學實驗方法融入課程，使數學知識、建模思想與實驗方法三者有機融合，形成“教、學、做”合一，理論與實踐一體化的教學模式.
4.考核方案設計
考核堅持4項原則，即完整性原則，連續性原則，互動性原則和科學性原則；按照5個方面內容，即恰當考核學生的知識和技能，注重學生學習過程和學習方法，注重考核學生的知識和技能的運用和應用能力，重視考核學生的創新意識和創造性思維的能力和重視針對學生的科學素質；采取的方式有：筆試、上機考試、演講、課堂表現、論文、數學作品等多種形式.
5.課程設計的特色與創新
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隨著科技的快速發展，社會對應用型人才的需求日趨增加，高校教育必須加強對學生創新能力和解決實踐問題能力的培養［1］。數學建模正是銜接創造性思維與實際應用的紐帶，通過數學建模課程學習及實踐訓練，學生不僅能了解數學的應用價值，也能鍛煉創新實踐能力。由于數學建模課程的內容涉及的領域多，案例式授課，實際應用性強，與所學的高等數學、工程數學課程不同，不能形成連貫的系統性知識點，學生很難接受這門課程的學習方式。為了讓學生更好地學習數學建模，教師要改進教學模式，根據教學規律的要求，探索數學建模教學方法，將有助于學生掌握數學建模技能，從而提高解決實際問題的能力［2—4］。
二、數學建模的認知
大學開設基礎數學課程能讓學生體會到數學的嚴密邏輯體系及高度抽象的思維方法，但對數學的實際應用介紹的甚少，很難將數學與工程技術、經濟管理、生物信息等其他領域聯系起來。數學建模是用數學語言來描述實際問題，將它變成一個數學問題，再利用現有的數學工具或發展新的數學工具來加以解決的整個過程。通過數學建模學習與實踐，學生在體驗建模過程的同時提高了思維能力和創造能力。數學建模課程的學習，可以重新認識數學的作用。課程重點就是介紹數學應用到實際領域中的方法，結合案例，應用初等數學、高等數學等數學知識來解決不同領域問題。在現實中許多現象及問題都可以用到數學來解釋，如，我們看到一個四條腿椅子經過簡單的移動就可以找到合適的位置放穩現象，用高等數學中的“零點存在定理”很容易解釋這個問題;若知道某珍稀動物各年齡段數量信息，來推測未來種群是否會滅絕，可以用線性代數中的“矩陣”預測未來動物數量分布。書報供應商訂購多少數量的商品才能得到最大收益呢?用概率中的“數學期望”建立報童賣報優化數學模型可解決這類問題。數學建模競賽實踐能更好地培養和提高學生應用數學知識分析問題、解決問題的能力。幾年來，數學建模競賽賽題背景知識廣泛，要想取得好成績，不僅要掌握扎實的數學基礎，較好的計算軟件使用方法，還需要較強的自學能力，廣泛涉獵諸如物理、生物、信息等知識。例如，2012年美國大學生數學建模競賽A題“樹與樹葉”，需要了解植物樹葉生長特點，涉及到生物學知識;2014年全國大學生數學建模賽題A題“嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略”涉及到萬有引力定律知識。數學建模是以數學為基礎，綜合自然科學和社會科學的實踐活動。學生們可以通過多種途徑了解數學建模，如，與數學建模課程教師咨詢、與參加數學建模系列教學活動的同學交流，瀏覽數學建模網上的數學建模課程介紹及閱讀數學建模書籍等，以獲得更多的數學建模知識與信息。
三、數學建模學習過程
在學習過程中不僅要掌握數學建模的基本方法、數學建模思維模式，同時還要能以團隊形式自主完成一整套數學建模訓練題目，才能體會數學建模的真正內涵。目前，最行之有效的途徑就是參加一次數學建模競賽。可將數學建模過程分解為三個階段:數學建模課程學習，數學建模綜合培訓，數學建模競賽及課外科技活動。
1.數學建模課程學習
(1)掌握數學建模的基本方法。數學建模基本方法介紹是從案例分析開始，首先了解問題的背景、要解決的問題，分析用什么數學方法描述問題符合的規律，建立數學模型，并對模型求解，解釋結果合理性?？梢跃o跟教師思路，積極展開思考，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同，從簡單的初等數學建模方法入手，了解數學建模的全過程。例如，魚的重量估計問題，在沒有稱重的條件下如何根據魚的長度估計魚的重量呢?在合理的假設下，利用初等比例方法建立魚重量與長度數學模型，利用魚的長度能估計出魚的重量，經驗證結果是有效的。然后，要結合所學的數學知識逐步學習一些基本的建模方法，例如，微分方程建立傳染病模型可以預測流感流行趨勢問題;概率統計方法建立的報童模型可以預測出訂購多少報能獲得最佳受益。最后，要學會模仿案例建模過程完成作業，掌握建模的基本方法和技巧。數學建模過程不是解應用題，雖然沒有唯一途徑，但也有一定規律可循，在學習中要善于思考，慢慢形成建模思維方式，有助于建模能力的提高。
(2)養成良好的自學習慣。數學建模課時有限，許多數學建模方法及案例不能在課堂上介紹，在課余時間同學們可以選讀一些教材中的案例和在期刊公開發表的建模論文，細致研讀案例的建模思想，學會舉一反三，重點是學會分析問題，了解更多領域的數學建模的方法、新穎的建模思想，提高用數學方法解決問題的能力。還可以豐富建模信息量，提高建模能力。同時，還可看到同一問題，可以選用不同的數學方法、從不同角度加以解決，這也是數學建模的魅力所在。例如，鎖具裝箱問題，可以用排列組合方法，也可用圖論方法，都能給出減少鎖具互開的裝箱方案。
2.數學建模綜合培訓
(1)數學建模方法再學習和建模能力強化訓練。隨著數學建模解決問題多元化發展，基本的數學建模方法及計算能力遠遠滿足不了實際問題的需求。因此還應學習一些現代數學方法，如，圖論，模糊數學，多元統計分析等。學會熟練運用計算機軟件技能，如，數學軟件MATLAB，EXCEL數據處理，求解數學規劃軟件及統計軟件。
(2)閱讀建模論文。通過仔細閱讀刊登在雜志或數學建模網站上的數學建模論文，學習論文的整體層次結構，寫作技巧，對問題的分析、假設、模型建立和求解過程。尋找論文的優缺點，并比對論文作者對論文的評價。要善于總結所讀的論文中解決問題的適用類型，如，優化類，預測類等，對于不同問題采用什么方法更合適，以備后繼數學建模中使用。還可以提出自己的一些想法，改進別人做過的模型，或完成其中運算過程。數學建模是一項沒有標準答案的數學應用，模型的研究結果大致符合實際就好。
(3)數學建模模擬訓練。選作歷年數學建模競賽題目或實際問題中提煉出來的數學建模題目，學習查閱資料、分析問題、建立數學模型、使用軟件求解、論文寫作來模擬數學建模全過程。請教師對論文的摘要、結構、模型的準確性、論文語言表述、格式規范等方面提出建議，再經過多輪修改，直至滿意為止。
3.參加數學建模實踐活動
(1)數學建模競賽。參加數學建模競賽是培養綜合應用數學知識解決實際問題的最有效途徑之一，參加一次數學建模競賽才能體會數學的真正魅力。目前開展的數學建模競賽可以分為四個層面，一是美國大學生數學建模競賽(MCM/ICM)，是由美國數學及其應用聯合會(CO-MAP)主辦，并得到了SIAM，NSA，INFORMS等多個組織的贊助，是一項具有世界影響的國際級競賽，為現今各類數學建模競賽的鼻祖。二是全國大學生數學建模競賽(CUMCM)，是由教育部高等教育司、中國工業與應用數學學會聯合主辦，并得到了高等教育出版社、美國COMAP公司的支持與贊助，是一項全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。三是地區級、省級、專業類別賽事，如，東三省數學建模聯賽是由黑、吉、遼三省高校聯合發起的科技賽事;電工杯數學建模競賽是由中國電機工程學會電工數學專業委員會主辦的科技活動;數學中國數學建模國際賽(小美賽)是由數學學會與數學中國(www．madio．net)和第五維信息技術有限公司協辦的全國性數學建模活動。四是由校級開展的數學建模競賽活動。在競賽中，調整好心態、應用好文獻資源、積極思考、發揮每個隊員的長處、合理分工是取得成績的必要條件。
(2)數學建模實踐。要善于發現學習和生活中的諸多問題，要學會用數學的眼光看待問題，要用數學建模的方法來解決。例如，在課程設計、畢業設計中，在校園生活中，可能面臨著方方面面的問題。要學會觀察實際現象，提煉出要解決的問題。要真正做到學會發現問題、解決問題，這需要一定的練習過程，也是學好數學建模的必要環節，可以提升自身的綜合素質和創新能力。
四、數學建模提高學生的綜合能力
一次參賽，終身受益。數學建模最能激發人的潛能，數學建模思維方式會影響學生今后的學習和工作方法。數學建模教學內容及教學方法對培養學生的綜合能力尤為突出。主要體現在:
(1)培養學生的想象力、洞察力和創新能力。不論是數學建模課程學習還是實踐，都是針對實際問題，需要學生主動查閱文獻資料和學習新知識，主動探索，提出解決方案，這種學習方式促進了創新能力的形成，也培養了學生從事科研工作的初步能力;同時增強了運用數學知識和計算機技術解決實際問題的能力和團隊協作能力。
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關鍵詞：數學建模；圖論；實踐
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）45-0233-03
一、引言
圖論是組合數學的一個重要分支。它以圖為研究對象，這種圖由若干給定的點及連接兩點的邊所構成，通常用來描述某些事物之間的某種特定關系，以點代表事物，以連接兩點的邊表示兩個事物間具有這種關系。圖論的應用非常廣泛，在實際的生活生產中，有很多問題可以用圖論的知識和方法來解決，其應用性已涉及物理學、化學、信息論、控制論、網絡理論、博弈、運輸網絡、社會科學以及管理科學等諸多領域。目前高校很多課程都涉及到圖論知識，例如離散數學、數據結構、算法分析與設計、運籌學、組合數學、拓撲學、網絡優化等。甚至有些專業將圖論作為一門必修或選修課程來開設。
由于圖論課程具有概念多、公式復雜和定理難證明、難理解等特點，在一定程度上造成教學難，證明抽象度高，學生難以理解，學生不能真正理解圖論思想，更談不上靈活運用圖論知識來解決各種實際問題。從而會使學生感到圖論的學習非常枯燥。大學數學課程教學改革的趨勢，越來越注重數學的應用性，而數學建模過程就是利用已經掌握的數學知識來解決實際問題的過程。在當前實現數學作為一種應用能力的過程中，使用數學解決實際問題的能力培養是非常重要和必需的。因此，在大學數學類課程的教學中融入數學建模思想是目前數學課程教學改革的一個大的趨勢。由于圖論的概念和定理大多是從實際問題中抽象出來的，因此圖論中的諸多模型和算法是數學建模強有力的理論依據。所以在圖論課程教學中注重介紹這些概念和理論的實際背景，引導學生利用數學建模思想方法學習圖論的相關概念和定理，探究圖論的發展規律，從而將更好地幫助學生理解和掌握這些概念和理論。
二、數學建模思想方法
數學模型就是用數學語言，通過抽象、簡化，建立起來的描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構。這個結構可以是公式、方程、表格、圖形等。把現實模型抽象、簡化為某種數學結構（即數學模型）之后，我們就可以用相關的數學知識來求出這個模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型所提供的解答來解釋現實問題，這個過程便稱為數學建模。其目的是將復雜的客觀事物或聯系簡單化并用數學手段對其進行分析和處理。建立數學模型解決現實問題要經過模型準備、模型假設、模型構成、模型求解和模型分析這五個步驟。模型準備就是了解問題的實際背景，明確建模目的，搜集必要的各種信息，盡量弄清對象的特征，形成一個比較明晰的“問題”。模型假設是根據對象的特征和建模目的，抓住問題的本質，做出必要的、合理的簡化假設。模型構成是根據所作的假設，用數學的語言、符號描述對象的內在規律，建立包含常量、變量等的數學模型。模型求解是采用解方程、畫圖形、優化方法、數值計算、統計分析等各種數學方法，特別是數學軟件和計算機技術求解。模型分析就是對求解結果進行數學上的分析，并解釋為對現實問題的解答。由此可見，思想數學建模就是將數學的理論知識應用于解決實際問題，培養數學建模思想就是鍛煉應用數學的能力。
在圖論的教學中引入數學建模思想，將生活中的實際問題引入課堂，利用圖論知識分析實際問題，讓學生感受到圖論貼近生活。教學中可以引導學生自己尋找與圖論相關的實際問題，利用圖論知識建立實際問題的數學模型，并進行報告和討論，讓學生發表自己的見解和看法，在此過程中有助于學生對所學知識的融會貫通和掌握，大大提高學生學習圖論的興趣。
三、數學建模思想方法融入圖論教學的實踐
目前，各門數學課程教學改革所面臨的一個課題是如何增強應用數學知識解決實際問題的意識。在這樣的背景下，加之圖論知識的應用廣泛性，從而，將數學建模的思想方法融入到圖論課程教學中的研究和實踐已顯得刻不容緩。因此，結合圖論教學內容有機地增加數學建模教學內容，使廣大的學生能學習和體會到數學建模的基本思想方法，在日常的學習中培養學生應用圖論知識的意識，激發了學生學習圖論的積極性。
（一）在圖論定理公式中滲入建模的案例
在圖論某些定理證明的教學過程中可以適當地融入數學建模的思想與方法，把定理的結論看作一個特定的模型，需要去建立它。于是，當把定理的條件看作是模型的假設時，可根據預先設置的問題，情景引導學生發現定理的結論，從而定理證明的方法也隨之顯現。
案例1：設為任意無向圖，V={v1，v2，…，vn}，|E|=m，證明所有頂點的度數和=2m，并且奇點個數為偶數。
解析：證明該結論之前，首先任意選取若干個學生讓其隨機互相握手，并記下每個人的握手次數和每兩人之間握手的次數，由此可得每個人握手次數總和是每兩人之間握手次數的2倍以及握過奇數次手的人數一定是偶數。互動之后介紹該定理稱之為握手定理，從互動過程中可以建立定理結論的模型，并且證明的思路也是顯而易見的。
（二）在應用性例題中滲入數學建模的方法
案例2：一家公司生產有c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7七種化學制劑，其中制劑（c1，c2），（c1，c4），（c2，c3），（c2，c5），（c2，c7），（c3，c4），（c3，c5），（c3，c6），（c4，c5），（c4，c7），（c5，c6），（c6，c7）之間是互不相容的，如果放在一起能發生化學反應，引起危險。因此，作為一種預防措施，該公司必須把倉庫分成互相隔離的若干區，以便把不相容的制品儲藏在不同的區，問至少要劃分多少小區，怎樣存放才能保證安全。
解析：首先建立模型，用圖來表示實例中這些制劑和他們之間關系，用頂點v1，v2，v3，v4，v5，v6，v7，表示c1，c2，c3，c4，c5，c6，c7表示七種化學制品，把不能放在一起的兩種制品對應的頂點用一條邊連接起來，如圖1。
模型求解：由圖可得極小覆蓋的邏輯表達式為：
（v1+v2v4）（v2+v1v3v5v7）（v3+v2v4v5v6）（v4+v1v3v5v7）（v5+v23v4v6）（v6+v3v5v7）（v7+v2v4v6）
利用邏輯代數法則簡化上述邏輯表達式為：
v1v3v5v7+v2v3v4v5v6+v2v4v5v6+v2v3v4v6
從而可得全部極小覆蓋為：
（v1，v3，v5，v7），（v2，v3，v4，v5，v7），（v2，v4，v5，v6），（v2，v3，v4，v6）
由于極大獨立集與極小覆蓋集之間互補的關系，所以上圖的所有極大獨立集為（v2，v4，v6），（v1，v6），（v1，v3，v7），（v1，v5，v7）.取圖G的一個極大獨立集V1=（v2，v4，v6），將其著第一種顏色。在VG-V1中，所有極大獨立集為，（v1，v3，v7），（v1，v5，v7），取V2=（v1，v3，v7）將其著第二種顏色。在VG-V1-V2中僅有點v5，將其著第三種顏色，故χ（G）=3.
于是得到該化學制品的存放方案：至少需要把倉庫劃分為3個區，可以將c2，c4，c6三種制品，c1，c3，c7三種制品和制品c5分別存放在一個區。
（三）設計相關數學建模問題，提高學生應用圖論知識解決實際問題的能力
由于教學課時的限制，將數學建模的思想方法融入圖論課程教學時，不能專門地讓學生學習建模，只能通過一些簡單的模型給學生介紹數學建模的思想及方法。圖論是現代數學的一個重要分支，在自然科學、社會科學、機械工程中有重要的意義，其求解思想滲透到自然學科的各個領域。因此，可以通過設計一些與圖論課程相關的課外建?；顒?，選擇符合學生實際并貼近生活的一些圖論問題，啟迪學生的論文查閱意識和能力，指導學生閱讀相關論文，最后以解題報告或小論文的形式提交他們的結果。促進學生應用圖論知識解決實際問題的能力。
四、結語
將數學建模思想方法融入圖論課程的教學中，使圖論課程教學與數學建模有機結合起來，激發學生學習圖論的興趣，培養學生勇于探索的精神，提高學生的動手能力，實踐表明這些方法能較好地提高圖論課程的教學效果。
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篇6
關鍵詞：數學建模；Matlab；插值
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）21-0262-02
一、引言
數學建模運用數學的思想方法、數學的語言去近似刻畫一個實際研究對象，構建一座溝通現實世界與數學世界的橋梁，并以計算機為工具，應用現代計算技術，達到解決各種實際問題的目的。Matlab是一種應用于科學計算領域的高級語言，其產生是與數學計算緊密聯系在一起的，主要功能包括數值計算、符號計算、繪圖、編程以及應用工具箱。近年來，隨著實際問題的數據規模越來越大，Matlab在數學建模中占據越來越重要的地位。
本文對Matlab在數學建模課中的應用進行討論分析，闡述了數學建模這門學科的特點及數學建模教學中存在的問題。在數學建模課中突出基本知識的實際應用，需要針對不同問題的計算要求靈活使用Matlab編程。
二、數學建模的特點及教學中的問題
數學建模是一個實踐性很強的學科具有以下特點：
（一）涉及廣泛的應用領域
在涉及廣泛的應用領域，如物理學、力學、工程學、生物學、醫學、經濟學、軍事學、體育運動學等。完全不同的實際問題，在一定的簡化假設下，它們的模型是相同或近似的。這就要求學生培養廣泛的興趣，拓寬知識面，從而發展聯想力，通過對各種問題的分析、研究和比較，逐步達到觸類旁通的境界。
（二）需要靈活運用各種數學知識
在數學建模過程中，數學始終是一種工具。要根據實際問題的需要，靈活運用各種數學知識如微分方程、運籌學、概率統計、數值分析、圖論、層次分析、變分法等，去描述和解決實際問題。這就要求學生既要加深數學知識的學習，更要培養應用已學到的數學方法及思想進行綜合應用和分析，并進行合理地抽象和簡化的能力。
（三）技術手段的配合
需要各種技術手段的配合，如查閱文獻資料、使用計算機和各種數學軟件如Matlab、lingo等。
（四）建立一個數學模型與求解一道數學題目差別極大
求解數學題目往往有唯一正確的答案，但數學建模沒有唯一正確的答案。對同一個實際問題可能建立若干個不同的模型，模型無所謂對與錯，評價模型優劣的標準是實踐。
（五）建立的數學模型與建模的目的有密切關系
對同一個實際對象，建模目的的不同導致建模的側重點和出發點不同。因此，對一個世界問題，數學建模沒有確定的模式，它與問題的性質、建模的目的、建模者自身的數學素質有關，甚至還與建模者的靈性有關，經驗、想象力、洞察力、判斷及直覺、靈感在建模過程中起著與數學知識同樣重要的作用。
數學建模是一門科學，一門藝術，要成為一名出色的藝術家，需要大量的觀摩和前輩的指導，最重要的是要親身的實踐。同樣要掌握數學建模這門藝術，既要學習、分析、評價、改進前人做過的模型，更要親自動手做一些實際題目。
幾年的“數學建?！苯虒W實踐告訴我們，大學生參加數學建?；顒樱坏髮W生必須了解現代數學各門學科知識和各種數學方法，把所掌握的數學工具創造性地應用于具體的實際問題，構建其數學結構，還要求學生熟悉Matlab、lingo等數學軟件，熟練地把現代計算機技術應用于解決當前實際問題，最后還要具有把自己的實踐過程和結果敘述成文字的寫作能力。目前，數學建模教學中的主要問題是兩個“脫節”，一是實際問題與理論知識脫節，二是理論教學與數學軟件的應用脫節。結合Matlab進行數學建模教學能夠有效地解決理論教學與應用數學軟件的脫節。
三、結合Matlab進行數學建模教學
數學建模競賽能否取得好成績不僅取決于模型的精妙與合理，還取決于模型的求解。Matlab在模型的求解方面占有關鍵的地位[1]。因此，結合Matlab進行數學建模教學將起到事半功倍的效果。下面以講解插值方法為例，說明Matlab在數學建模教學中的重要性和必要性。
在插值方法教學中，首先需要講解插值法的定義，然后簡單講解拉格朗日插值、分段線性插值和樣條插值，最后重點講解Matlab插值工具箱及其應用。在Matlab插值工具箱中，插值函數分為一維插值函數和二維插值函數兩類。Matlab中一維插值函數是interp1[2]，語法為：y=interp1（x0，y0，x，'method'）。其中：method指定插值的方法，默認為分段線性插值，其值可為nearest、linear、spline和cubic。所有的插值方法要求x0是單調的。
例1：（機床加工）待加工零件的外形根據工藝要求由一組數據（x，y）給出（在平面情況下），用程控銑床加工時每一刀只能沿x方向和y方向走非常小的一步，這就需要從已知數據得到加工所要求的步長很小的（x，y）坐標。給出的（x，y）數據（程序中的x0，y0）位于機翼斷面的下輪廓線上，假設需要得到x坐標每改變0.1時的y坐標。試完成加工所需數據，畫出曲線。
解：編寫程序如下：
x0=[0 3 5 7 9 11 12 13 14 15]；y0=[0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6]；x=0：0.1：15；y1=interp1（x0，y0，x，'nearest'）；y2=interp1（x0，y0，x，'linear'）；y3=interp1（x0，y0，x，'spline'）；plot（x0，y0，'*'，x，y1，'r'，x，y2，'b'，x，y3）；
通過運行結果可以看出，三次樣條插值的結果最好，建議選用三次樣條插值的結果。
Matlab中二維插值函數之一是interp2，語法為：z=interp2（x0，y0，z0，x，y，'method'）。其中：x0，y0分別為m維和n維向量，表示節點；z0為n×m矩陣，表示節點值；x，y為一維數組，表示插值點。
例2：（地貌圖形的繪制）下表所列為某次地貌測量所得的結果，對一方形區域（x，y方向均為從1-10），選測某些地點測量其相對于某水平面高度的數據，要求用這些數據（程序中的h）盡量準確地繪制出該地區的地形。
解：此題的關鍵是將未測量地點的高度用插值方法求出來。程序如下：
[x，y]=meshgrid（1：10）；
h=[0 0.02 -0.12 0 -2.09 0 -0.58 -0.08 0 0；0.02 0 0 -2.38 0 -4.96 0 0 0 -0.1；0 0.1 1 0 -3.04 0 -0.53 0 0.1 0；0 0 0 3.52 0 0 0 0 0 0；-0.43 -1.98 0 0 0 0.77 0 2.17 0 0；0 0 -2.29 0 0.69 0 2.59 0 0.3 0；-0.09 -0.31 0 0 0 4.27 0 0 0 -0.01；0 0 0 5.13 7.4 0 1.89 0 0.4 0；0.1 0 0.58 0 0 1.75 0 -0.11 0 0；0 -0.01 0 0 0.3 0 0 0 0 0.01]；[xi，yi]=meshgrid（1：0.15：10）；
hi=interp2（x，y，h，xi，yi，'spline'）；surf（xi，yi，hi）；
通過運行結果可以看出，利用樣條插值得到的數據繪制出了效果較好的地貌形態圖。
在數學建模的插值法教學中，重點不是講解插值法的理論，而是講解插值法的應用，即如何應用插值法解決實際問題。在這個教學過程中MATLAB占有重要的地位。因為MATLAB能夠利用其內部插值函數及有限的數據產生所需的足夠的數據，并能夠繪制出相應的圖形。關鍵是這一過程的實現MATLAB比其他軟件容易得多。[3]有了MATLAB的幫助，數學建模的教學不會像以前那樣將重點放在理論講解上，從而使得大學生有更大的興趣學習數學建模，并利用學到的知識探索解決實際問題。
四、結論
結合MATLAB進行數學建模教學，能夠大大提高學生學習數學建模的積極性，能夠有效地解決理論教學與應用數學軟件的脫節，能夠大大提高教學質量和教學效果。因此，結合MATLAB進行數學建模教學是重要的，也是必要的。
參考文獻：
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2對數學建模在培養學生能力方面的認識
數學建模是一種微小的科研活動，它對學生今后的學習和工作無疑會有深遠的影響，同時它對學生的能力也提出了更高的要求［2］。數學建模思想的普及，既能提高學生應用數學的能力，培養學生的創造性思維和合作意識，也能促進高校課程建設和教學改革，激發學生的創造欲和創新精神。數學建模教學著眼于培養大學生具有如下能力：
2.1培養“表達”的能力，即用數學語言表達出通過一定抽象和簡化后的實際問題，以形成數學模型(即數學建模的過程)。然后應用數學的方法進行推演或計算得到結果，并用較通俗的語言表達出結果。
2.2培養對已知的數學方法和思想進行綜合應用的能力，形成各種知識的靈活運用與創造性的“鏈接”。
2.3培養對實際問題的聯想與歸類能力。因為對于不少完全不同的實際問題，在一定的簡化與抽象后，具有相同或相似的數學模型，這正是數學應用廣泛性的表現。
2.4逐漸發展形成洞察力，也就是說一眼抓住(或部分抓住)要點的能力。
3有關數學建模思想融入醫學生高等數學教學的幾個事例3.1在關于導數定義的教學中融入數學建模思想
在講導數的概念時，給出引例：求變速直線運動的瞬時速度［3,4］，在求解過程中融入建模思想，與學生一起體會模型的建立過程及解決問題的思想方法。通過師生共同分析討論，有如下模型建立過程：
3.1.1建立時刻t與位移s之間的函數關系：s=s(t)。
3.1.2平均速度近似代替瞬時速度。根據已有知識，僅能解決勻速運動瞬時速度的問題，但可以考慮用某段時間中的平均速度來近似代替這段時間中某時刻的瞬時速度。對于勻速運動，平均速度υ是一常數，且為任意時刻的速度，于是問題轉化為：考慮變速直線運動中瞬時速度和平均速度之間的關系。我們先得到平均速度。當時間由t0變到t0+Δt時，路程由s0=s(t0)變化到s0+Δs=s(t0+Δt)，路程的增量為：Δs=s(t0+Δt)－s(t0)。質點M在時間段Δt內，平均速度為：
υ=Δs/Δt=s(t0+Δt)－s(t0)/Δt(1）
當Δt變化時，平均速度也隨之變化。
3.1.3引入極限思想，建立模型。質點M作變速運動，由式（1）可知，當｜Δt｜較小時，平均速度υ可近似看作質點在時刻t0的“瞬時速度”。顯然，當｜Δt｜愈小，其近似程度愈好，引入極限的思想來表示｜Δt｜愈小，即：Δt0。當Δt0時，若趨于確定值（即極限存在），該值就是質點M在時刻t0的瞬時速度υ，于是得出如下數學模型：
υ=limΔt0υ=limΔt0Δs/Δt=limΔt0s(t0+Δt)－s(t0）/Δt
要求解這個模型，對于簡單的函數還比較容易計算，而對于復雜的函數，極限值很難求出。但觀察到，當拋開其實際意義僅從數學結構上看，這個數學模型實際上表示函數的增量與自變量增量比值、在自變量增量趨近于零時的極限值，我們把這種形式的極限定義為函數的導數。有了導數的定義，再結合導數的運算法則和相關的求導法則，前面的這個模型就從求復雜函數的極限轉化為單純求導數的問題，從而很容易求解。
3.2在定積分定義及其應用教學中融入數學建模思想對于理解與掌握定積分定義及其在幾何、物理、醫學和經濟學等方面的應用，關鍵在于對“微元法”的講解。而要掌握這個數學模型，就一定要理解“以不變代變”的思想。以單位時間內流過血管截面的血流量為例，我們來具體看看這個模型的建立與解決實際問題的整個思想與過程。
假設有一段長為l、半徑為R的血管，一端血壓為P1，另一端血壓為P2(P1＞P2)。已知血管截面上距離血管中心為γ處的血液流速為
V(r)=P1－P2/4ηl(R2－r2)
式中η為血液粘滯系數，求在單位時間內流過該截面的血流量［3,4］（如圖1（a））。
圖1
Fig.1
要解決這個問題，我們采用數學模型：微元法。
因為血液是有粘性的，當血液在血管內流動時，在血管壁處受到摩擦阻力，故血管中心流速比管壁附近流速大。為此，將血管截面分成許多圓環來討論。
建立如圖1（b）坐標系，取血管半徑γ為積分變量，γ∈［0,R］于是有如下建模過程：
①分割：在其上取一個小區間［r,r+dr］，則對應一個小圓環。
②以“不變代變”（近似）：由于dr很小，環面上各點的流速變化不大，可近似看作不變，所以可用半徑為r處圓周上流速V(r)來近似代替。此圓環的面積也可以近似看作以圓環周長2πr為長，dr為寬的矩形面積2πrdr，則該圓環內的血流量可近似為：ΔQ≈V（r）2πrdr，則血流量微元為：dQ=V(r)2πrdr
③求定積分：單位時間內流過該截面的血流量為定積分：Q＝R0V(r)2πrdr。
以上實例，體現了微元法先分割，再近似，然后求和，最后取極限的建模過程，并成功把所求量表示成了定積分的形式，最終可以應用高等數學的知識求出所求量的建模思想。
4結語
高等數學課的中心內容并不是建立數學模型，我們只是通過數學建模強化學生的數學理論知識的應用意識，激發學生學習高等數學的積極性和主動性。所以在授課時應從簡潔、直觀、結合實際入手，達到既有助于理解教學內容，又可以通過對實際問題的抽象、歸納、思考，用所學的數學知識給予解決。所選的模型，最好盡可能結合醫學實際問題，且具一定的趣味性，從而使學生體會到數學來源于生活實際，又應用于生活實際之中，以激發學生學好數學的決心，提高他們應用數學解決實際問題的能力［5］。
總之，高等數學教學的目的是提高學生的數學素質，為進一步學習其專業課打下良好的數學基礎。教學中融入數學建模思想，可使學生的想象力、洞察力和創造力得到培養和提高的同時，也提高學生應用數學思想、知識、方法解決實際問題的能力。
【參考文獻】
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篇8
關鍵詞： 數學建模 教學實效 對策
隨著“全國大學生數學建模競賽”活動的蓬勃發展，國內越來越多的高校將數學建模課程作為必修或選修課引入課堂。數學建模是運用數學知識和方法，創造性地分析、解決實際問題的一種強有力的數學手段，并且其解決的問題涵蓋自然科學、工程技術、生物、醫學、農業、經濟管理等多個領域，是培養學生創新能力和實踐能力的有效途徑。數學建模課程和數學建模競賽的重要性日益突出，越來越多的非數學專業學生加入到數學建模課程的學習中來。但作為一門新興的、發展時間較短的課程，數學建模的教學體系并不完善，教學方法和手段也不成熟。尤其是一些起步較晚，缺乏數學建模師資團隊的院校普遍感到數學建模課程教學中存在一定困難，教學質量不高，很難達到預期的教學效果。作為數學建模選修課的教師，我結合自身教學實踐，對其中存在的問題和原因進行了分析，并提出了一些提高數學建模課程教學實效的對策。
一、現狀分析
（一）學生普遍反映課程內容繁、難，導致興趣減退。
我在教學實踐中發現，除少數學生是為了取得一定學分而選修本課程外，多數學生選課的初衷是希望通過本課程學到應用數學解決實際問題的方法，提高自身的綜合能力，并將數學建模的思想方法用于自己專業的學習研究中。但隨著課程的深入，多數學生會感到學起來頗為吃力。我認為主要原因在于學生已經習慣了傳統數學課程的教學模式，而數學建模涉及知識廣泛，沒有固定的解決思路，問題和解答都是開放性的，使學生感到無從下手，從而導致信心和興趣的減退。
（二）教師自身缺乏教學經驗，教學方法單一。
數學建模課程是在近二十年內迅速發展起來的，在大學數學課程體系中是一門新興課程。許多高校，尤其是類似我校區這樣的近年才起步的學校，普遍存在的問題是教師自身教學經驗的缺乏。數學建模課程對教師的要求比一般數學類課程高，該課程需要教師對數學各分支的知識都有一定了解，并且自身具備較強的分析問題、解決問題的能力，有指導數學建模的經驗和能力，這需要一個長期積累的過程。而目前一些院校的數學建模教師是缺乏經驗的青年教師，自身也處于一個學習積累的階段，對所講授內容的理解并不透徹，就勉為其難地站在了講臺上。這樣教師在課堂教學中難免出現照本宣科的現象，教學方法和手段也是照搬一般數學課程的模式，偏重數學模型中數學知識的介紹，而忽略了問題背景、數學思想、模型形成的思想方法的介紹，這實際上是本末倒置的。
（三）課程設置預期目標過高，未從實際情況出發。
許多學校希望通過開設數學建模選修課來提高本校學生參加建模競賽的水平，但是選修該課程的學生并不全是為競賽而來的，有的學生只是想通過本課程了解運用數學解決問題的途徑和方法，學生的能力參差不齊。希望通過該課程盡快提高學生的數學建模能力和水平，并在競賽中取得好成績，這樣的目標定位太高，從而導致教學內容偏難，使多數學生望而生畏，物極必反。
二、提高課程教學實效的對策
“興趣是最好的老師”。教師必須在教學內容、教學方法、教學水平等多方面下工夫，不斷提高學生的學習熱情和興趣。只有讓學生對數學建模課程有了濃厚的興趣，才能使其學好數學建模，才能強化教學效果。
（一）優選教學內容，緊密聯系生活實際。
目前有關數學建模的教材和教學參考書很多，其中較為常用的有［1－3］。這些教材中含有涉及各專業領域的豐富模型。在實際教學中，受到課時的限制，我們沒有必要也不可能講解所有模型。教師可以根據本校學生專業特點，挑選一些與學生所學專業相關聯的，或與實際生活聯系較為密切的模型作為教學內容；還可以自己改編一些案例。比如在講“傳染病模型”［1］時，就可以修改成2003年的競賽題“SARS的傳播”，在介紹“層次分析模型”［1］時，可以為學生量身定制一個就業選擇模型。在教學內容的選擇上，應注意不要涉及太深奧的專業知識，盡量選擇與生活密切聯系的模型案例。這樣的案例能夠引起學生的興趣，提高學生學習的積極性。
（二）優化教學方法，授課形式靈活多樣。
本課程適合采用靈活多樣的授課形式，其中案例教學法［4］被認為是比較適合數學建模課程的教學方法。我認為在講解案例時，應充分結合課堂討論與互動，讓學生參與其中。例如在介紹“市場經濟中的蛛網模型”［1］時，教師先介紹基本模型，并提出模型推廣的設想，然后讓學生就建模過程進行課堂討論。只有讓學生親自參與進來，自己主動思考，在建模實踐中獲得真知，學生的創新能力和實踐能力才能得到真正的提高。
（三）明確課程定位，合理制定教學目標。
目前，一些學校開設數學建模課程的目的比較功利，希望通過該課程來培養參加競賽的選手，以期在大賽上有所斬獲。這樣的課程定位，違背了開設數學建模課程主要是為了培養學生應用數學知識解決實際問題能力的初衷。我們應該把“提高學生的數學素質，讓更多學生了解運用數學知識解決問題的思想方法，并在一定程度上培養學生抽象思維、邏輯推理、創新實踐等能力”作為數學建模課程教學的根本目標。明確了課程定位，對課程內容的設置就不會出現偏難而讓學生難以理解的狀況，這樣才能真正達到本課程希望實現的目標。
（四）積累教學經驗，不斷提高教學水平。
提高教學實效的關鍵在于提高教師的教學水平。數學建模對教師的知識結構和分析解決問題的能力要求很高。要上好這門課，授課老師必須在課外花大量時間和精力來鉆研業務，并且應該自己動手多做題、多思考，嘗試著做一些經典案例用于課堂教學，這樣才能不斷積累數學建模的教學經驗。對于類似我校區這樣經驗不足、缺乏教學團隊的學校，還應該主動走出去，參加專業培訓，與數學建模做得比較成功的院校交流經驗，開闊視野，通過多種渠道提高自身水平。
（五）組織校內競賽，鼓勵學生參與體驗。
在教學中適當給學生一些激勵，能夠調動學生學習的積極性。以我校區的現狀，如果要求學生近期在全國競賽中獲獎。這樣的要求未免過高，會讓學生產生挫敗感。我們不妨在學校范圍內組織小型數學建模競賽，鼓勵學生參與其中，讓學生體會到解決問題的成就感，進而加深對數學建模的興趣，形成良性循環，逐步增強教學效果。
總之，數學建模是提高學生綜合素質的重要途徑之一。作為教師，我們要在準確的課程定位下，立足于激發學生學習數學建模的興趣，不斷探索行之有效的教學方法和授課模式，努力提升自身水平，切實提高數學建模課程的教學實效。
參考文獻：
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篇9
Abstract： This paper discussed the thought of introducing mathematical modeling to higher vocational differential equation teaching， through the analysis of the present situation of higher vocational students' mathematics study， proposed the significance and method of introducing mathematical modeling to ordinary differential equation teaching and its application of ordinary differential equations in mathematical modeling， to enable students to experience the fun of applying mathematical knowledge solving practical problems， improve student's mathematics quality， and achieve the goal of teaching reform.
關鍵詞： 高職；常微分方程；數學建模；應用
Key words： higher vocational；ordinary differential equation；mathematical modeling；application
中圖分類號：O175 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）24-0222-02
1 微分方程產生的背景
微分方程作為數學領域的中心學科至今已有近300年的發展歷史。1676年詹姆士·貝努利致牛頓的信中第一次提出微分方程，直到十八世紀中期，微分方程才成為一門獨立的學科。微分方程建立后，立即成為研究、了解和知曉現實世界的重要工具。1846年，數學家與天文學家合作，通過求解微分方程，發現了一顆有名的新星——海王星。1991年，科學家在阿爾卑斯山發現一個肌肉豐滿的冰人，據軀體所含碳原子消失的程度，通過求解微分方程，推斷這個冰人大約遇難于5000年以前，類似的實例還有很多。微分方程在物理學、工程學、力學、天文學、生物學、醫學、經濟學等諸多領域都有重要作用。
2 數學建模及思想
科技的突飛猛進和社會的快速發展要求相關工作人員靈活運用數學思維方式來解決各行業各學科涌現出的大量的實際問題，從而取得更大的社會和經濟效益。數學模型（Mathematical Model）是將實際問題轉化成相關的數學問題，即研究分析復雜的問題并發現其中的關系和內在規律，進而用數學語言來表達。數學建模（Mathematical Modeling）是建立數學模型的一個過程，它將數學和實際問題結合起來，成為數學在相關領域被廣泛應用的媒介。微分方程模型是數學建模中眾多方法中的一種重要方法，其成為有效解決很多實際問題的一種數學手段。
常微分方程具有背景廣、實際應用性強的特點，當前已經受到廣泛關注。數學應該應用到大量的實際問題中這一觀點已經在國內外新版教材中明確強調，并且編入了實際應用的例子。從而引導學生利用常微分方程來解決各種實際問題。將數學建模思想融入到教材和教學中，既可以讓學生更深層次的領悟數學建模的方法和思想，又可以著重培養學生的應用數學的能力和數學思維方法，從而改變單純地強調知識技能的教學方法。這意味著教學工作者正在逐步轉變教學思想觀念，是時代進步的標志。
3 高職學生數學學習現狀分析
目前部分學生普遍認為大學數學屬于枯燥的理論研究，通過套公式，記公式來應付考試，而沒有實際的用處，造成學生對于大學數學的學習積極性不高，以及養成不良的學習習慣。同時我院的數學教學課時少（微分方程此章在教學計劃中為12課時），任務又較重，造成學生學習數學的壓力。因此，我們高職教師面臨的重要任務是注重數學教學的方法和思想，幫助學生培養良好的數學學習習慣和學習方式，增強學生的對數學學習的自信心。
4 在常微分方程教學中滲透數學建模思想的意義及方法
常微分方程是高等數學教學內容中很重要的一部分，因為它的應用廣泛，和專業課緊密聯系，同時也是數學建模中處理問題的重要方法之一。在傳統的教學模式下，學生在學習常微分方程這部分內容時只知道怎么解題，卻不知道有什么用處，缺乏學習的動力和興趣。很顯然這樣的教學模式已不適應現代社會發展的需求了。因此，全國高等院校數學課程指導委員會提出，“要加強對學生建立數學模型并利用計算機分析處理實際問題能力的培養與訓練”，這說明學生需要將常微分方程，計算機等知識應用于實踐，并且通過常微分方程與數學建模的有效結合來解決實際問題，在常微分方程中滲透了建模思想。
用微分方程解決問題有如下幾個步驟：①提出實際問題；②根據實際問題列出微分方程，建立數學模型；③對方程進行更深層次的分析或者直接解微分方程；④分析微分方程的解來預測實際問題的發展趨勢，即依據數學語言來解釋實際現象或者預測實際問題。用數學語言如何闡述實際問題，如何合理假設，依據何種原理來建立微分方程，這些問題在教學講解分析常微分方程模型時需要著重強調，適當可以利用一些數學軟件。目前，我們可以通過建立微分方程模型來研究方程的解以及曲線隨自變量的變化情況，逐步改變原有的只注重解題方法的關于微分方程的教學模式。用初等方法難以求出方程的解析解，這是因為模型是由復雜的方程和方程組構成。在此利用一些數學軟件（Matlab，Mathematica）來求數值解并作數值模擬，從而可以提高學生靈活運用數學軟件去研究和探索實際問題的能力，激發了學生的學習興趣。
5 常微分方程在數學建模中的應用
本著“面向社會，服務專業”的精神。為了提高高職數學教學實效，提高學生學習數學的積極性，感受數學工具的價值，在建立常微分方程過程中，教師應注意數學建模思想的滲透。依據不同專業，選擇和專業相關的案例。
為了調動學生學習的積極性，教師應該讓學生用微分方程探索解決日常生活中遇到的問題。如利用微分方程探求兇殺案件中謀殺發生的時間，放射性廢物處理問題，降落傘降落速度與時間函數關系，工、礦、化工等企業都涉及的通風問題，減肥問題，交通管理問題等等。這里舉一個在講分離變量法時介紹的案例，當一次謀殺發生后，尸體的溫度從原來的37℃按照牛頓冷卻定律開始下降，如果兩個小時后尸體溫度變為35℃，并且假定周圍空氣的溫度保持20℃不變，試求出尸體溫度隨時間的變化規律。又如果尸體發現時的溫度是30℃，時間是下午4點整，那么謀殺是何時發生的？下面我們來分析這個問題，首先要給學生介紹相關的牛頓冷卻定律（物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比），首先設尸體的溫度為H（t），其冷卻速度為■，根據已知條件結合牛頓冷卻定律列出方程為■=-k（H-20），初始條件為H（0）=37，這個方程對于初學者來說并不難，就是典型的可分離變量的微分方程，可以通過分離變量法解出其通解為H-20=Ce-kt，再將初始條件代入得C=17，為求出k值，根據兩小時后尸體溫度為35℃這一條件，有37=20+17e■，求得k≈0.063，于是溫度函數為H=20+17e-0.063t，將H=30代入上式解出t≈8.4，于是，可以判定謀殺發生在下午4點尸體被發現前的8.4小時，即8小時24分鐘，所以謀殺是在上午7點36分發生的。通過分析這個案例讓學生體會到學習的樂趣，原來這個問題可以通過數學方法來解決，從而調動學生的積極性。數學建模思想的培養是一個長期的任務，任重而道遠，教育工作者需要踏實的鉆研和工作才能在教學中熟練的將常微分方程和數學建模有機結合起來，從而在教學中滲入數學建模思想。讓學生自覺應用數學知識去觀察和解決生活生產和科技中的問題，體會到應用數學知識解決實際問題帶來的樂趣。同時提高學生的思考力，創造力和洞察力，能夠增強學生應用數學思想和方法解決實際問題的能力。使其由知識型向能力型轉化，全面提高學生的數學素質，達到實現教學改革的目標。
參考文獻：
[1]高素志，馬遵路，曾昭著等.常微分方程[M].北京：北京師范大學出版社，1985.
篇10
事實上，數學課程中強化數學的應用意識早已成為發達國家的共識。而我國目前數學課程中數學應用意識卻十分淡薄，與世界數學課程發展的潮流極不合拍。事實上，數學及其應用曾是我國古代最發達的傳統科學之一，以實用性、計算性、算法化以及注重模型化方法為特征的中國古代數學處于世界領先地位達千余年之久。但遺憾的是，具有應用功能的傳統數學沒有被及時納入教育內容，或引發出必要的數學課程，因此它的發展和成就失去了傳播的根基和土壤，隨著社會的演變逐漸被人們所丟棄。近代中國經濟發展相對落后，數學課程的建設主要是折衷地采用外國的研究成果。在應用方面，由于沒有做適合于我們文化背景的貼切轉換和補償，造成應用意識的繼續失落。當前，我國數學教材中的習題和考題多半是脫離了實際背景的純數學題，或者是看不見背景的應用數學題。這樣的訓練，久而久之，使學生解現成數學題的能力很強，而把實際問題抽象化為數學問題的能力卻很弱。面對新世紀的挑戰，我們重建的數學課程應該注意將民族的數學應用成果及時納入教育內容。在課程中及時增加反映在社會發展中的應用知識，并研究培養學生應用能力的對策，從而達到數學課程改革與社會進一步相一致。數學課程中強化“應用”既是一個復雜問題，又是一個長期未能解決好的問題?！皯谩痹跀祵W教育中有許多解釋，有些人為的非現實生活的例子，也可能有重要的教育價值，也可以培養學生應用數學的技能，不能一概否定。還有一類傳統的例子是過分“現實”的，如直接從職業中拿出來的簿記、稅收；如聯系特殊地方工業的“三機一泵”。這就有一個“誰的現實”問題，這些例子只是社會的一些特殊需要，不足取。數學的重要性主要不在于這樣的“應用”，它不可能總是結合學生的“現實”。正如卡爾松（Carson）所言：“現實是主體和時間的函數，對我是現實的，對別人未必是現實的；在我兒時是現實的，現在不一定再是現實的了”。
前面說的都是“現實”例子用來為數學教學服務，當數學用來為現實服務時，即當我們用數學解決問題時，情況就完全不同了，它是用數學去描述、理解和解決學生熟悉的現實問題。這種問題不僅有社會意義，而且不局限于單一的教學，還要用到學生多方面的知識，在這方面英國數學課程設計中的課程交叉值得我們學習借鑒。所謂課程交叉就是在某學科教學過程中，突出該學科與現實生活以及其它學科的聯系。英國的數學課程交叉主要表現為：從現實生活題材中引入數學；加強數學與其它科目的聯系；打破傳統格局和學制限制，允許在數學課程中研究與數學有關的其它問題等。
數學課程中強化“應用”意識，落實到具體，必須在教材、教學、考試等方面都要增加用數學的意識。用數學的什么呢？可分為如下三個層次：
用結論用數學的現成公式，這是最低層次，人們最容易看到的地方。
用方法如方程的方法、圖表的方法、分析與綜合邏輯推理的方法等。
用思想研討問題的一般過程，觀察、分析、試驗；從需要與可能兩個方面考慮問題；逐步逼進；分類與歸一；找特點、抓關鍵；從定性到定量等。通過用數學，學生才能理解知識、掌握知識；通過用數學，才能訓練學生的思維。
值得指出的是，與課程中強化數學的應用意識相關的一個問題就是允許非形式化。首先，應恰當掌握數學理論形式化的水平，加強對理論實質的闡述。我們非常贊同“允許非形式化”的觀點，“不要把生動活潑的觀念淹沒在形式演繹的海洋里”，“非形式化的數學也是數學”。數學課程要從實際出發，從問題出發，開展知識的講述，最后落實到應用。例如，極限概念可以在小學圓面積公式、初中平面幾何中圓周率的近似值的求法、高中代數等比數列求和等處逐步引進相關意識，在學微積分時才正式引入。只要不在形式化上過分要求，學生是不難接受并能加以運用的。其次，應恰當掌握對公式推導、恒等變形及計算的要求。隨著計算機的普及，二十一世紀對手工計算的要求大大降低。從增強用數學的意識講，也應降低對公式推導與恒等變形的要求，否則沒有時間來講應用。要充分利用幾何直觀，形象地加以說明。否則應用的重點難以突出，生動活潑的思維會淹沒在繁難的計算和公式推導中，“增強用數學的意識”就會落空，學生思維水平也不會提高，新內容的引入將障礙重重。 轉貼于
在此筆者要強調的是，要使數學課程中應用意識的增強落到實處，一個重要的舉措就是數學課程應對數學建模必須給予極大的關注。數學模型是為了一定的目的對現實原型作抽象、簡化后所得的數學結構，它是使用數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述。而對現實事物具體進行構造數學模型的過程稱為數學建模。也就是說，數學建模一般應理解為問題解決的一個側面、一個類型。它解決的是一些非常實際的問題，要求學生能把實際問題歸納（或抽象）成數學模型（諸如方程、不等式等）加以解決。從數學的角度出發，數學建模是對所需研究的問題作一個模擬，舍去無關因素，保留其數學關系以形成某種數學結構。從更廣泛的意義上講，建模則是一種技術、一種方法、一種觀念。
數學課程內容應是數學科學內容的“教育投影”，數學應用范圍的不斷擴大，迫切要求數學課程作出反應。人們發現，這些應用都有一個共同點，就是把非數學問題抽象成數學問題，借助于數學方法獲得解決。因此，數學模型作為一門課程首先在一些大學數學系里被提倡。后來，人們又發現，傳統的中小學數學課本中的應用僅僅是：把日常生活中的經濟、商業、貿易和手工業中的問題用一定程序表達，內容只涉及計數、四則運算和測量等。這種應用無論是方式還是內容，與數學在現實生活中的應用相比，相差甚遠。于是數學建模作為一種教學方式在中小學受到重視，通過“做數學”達到“學數學”的目的。
目前從整個范圍來看，世界各國課程標準都要求在各年級水平或多或少地含有數學建模內容，但各國的具體做法又存在著很大差異，主要有以下幾種。
①兩分法。數學課程方案由兩部分構成。前一部分主要處理純數學內容；后一部分處理的是與前一部分純數學內容相關的應用和數學建模，它有時是現成模型結果的應用，有時是整個建模過程。這種做法可簡單地表示為：數學內容的學習數學應用和建模。
②多分法。整個教學可由很多小單元組成，每個單元做法類似于“兩分法”。
③混合法。在這種做法里，新的數學概念和理論的形成與數學建?；顒颖辉O計在一起相互作用。這種做法可表示為：問題情景的呈現數學內容的學習問題情景的解決新的問題情景呈現新的數學內容的學習這個新的問題被解決……
④課程內并入法。在這種做法里，一個問題首先被呈現，隨后與這問題有關的數學內容被探索和發展，直至問題被解決。這種做法要注意的是，所呈現問題必須要與數學內容有關并容易處理。
