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關鍵詞 模糊聚類分析；DNA分類；數學建模

中圖分類號 O242 文獻標識碼 A 文章編號 1673-9671-(2012)052-0202-02

1 概述

2000年6月，人類基因組計劃中DNA全序列草圖完成。DNA序列由A、T、C、G4種堿基按一定規律排列而成。當前生物信息學最重要的課題之一是研究由這4種堿基排列成的序列中蘊藏的規律。目前在這項研究中最普通的思想是省略序列的某些細節，突出特征，然后將其表示成適當的數學對象。這種被稱為粗粒化和模型化的方法往往有助于研究其規律性和結構。現已知20個人工序列1～10屬于A類，11～20屬于B類，要求運用數學建模方法發掘已知類別DNA序列的特征，從而據此對未知類別的20個DNA序列進行分類。本文對T和G堿基在各DNA序列中所占的比例數據進行標準化處理，放大兩類DNA序列的差異，采用模糊相似矩陣，模糊等價矩陣，λ截矩陣方法對DNA序列進行分類。

2 模糊聚類分析模型

2.1 主要研究步驟

通過觀察發現，A類DNA序列中G堿基含量較多，T堿基含量較少，而B類DNA序列則剛好相反。所以可用這20條DNA序列中T和G堿基在自身序列中所占的頻率作為基本研究對象，并對T、G堿基所占的比例的原始數據進行標準化，放大差異。再建立相應的模糊相似矩陣，模糊等價矩陣和λ截矩陣，找出一個最優的λ值進行DNA序列分類并使分類準確度達到最高。最后用上述方法以及λ值對另外20個未明類別的序列進行分類。

2.2 原始數據標準化

先對T和G堿基頻率作標準化處理。平移—標準差變換

（i=1,2…，20；j=2,4）

其中xi是第i個DNA序列，x'ij是指堿基A，G，C，T在第i個DNA序列中出現的頻率，x"ij是對x'ij進行標準化后的標準頻率值，

，，（j=2,4）。

進行平移—極差變換，（j=2,4），

可得到關于堿基頻率的模糊矩陣

2.3 模糊聚分析法

相關系數刻畫隨機變量之間的線性相關性：相關系數絕對值越大，隨機變量之間的線性關系越密切；相關系數為0，稱隨機變量線性無關。所以利用相關系數法對堿基頻率模糊矩陣的元素進行處理，利用公式：

得到一個關于xi與xj相似程度的模糊相似矩陣rij。

如果xi與xj的相似程度為rij，那么模糊矩陣R=(rij)20×20，顯然R是模糊相似矩陣，為

為了從模糊相似矩陣R得到模糊等價矩陣R=(rij)n×n，從n階模糊相似矩陣R出發，依次求平方RR2R4…直到R2i×R2i=R2i(2i≤n,i≤log2n)，求出R傳遞閉包t(R)，則t(R)=R。對于已知分類的20條DNA序列，由大到小取一組λ∈[0,1]，確定相應的λ截矩陣Rλ=(λij)20×20，且λ截矩陣為一個對角線為1的對稱0-1矩陣。即可將其分類：若λij=1，說明第i條DNA序列與第j條DNA序列屬于同一類。若λij=0，說明第i條DNA序列與第j條DNA序列不屬于同一類。對于未分類的DNA序列，利用已求出的λ值，得到相應λ截矩陣，再利用已知λ值便可對未分類的DNA序列進行分類。

2.4 分類結果及其分析

應用Matlab軟件對第1-20個DNA序列數據進行處理，經平移-極差變得到類別A、B中A、T、C、G堿基的標準化頻率（表1）。

可得到標準化矩陣：

那么得到表示這1-20個DNA序列之間的相關程度的模糊相似矩陣：

進而求得傳遞閉包t(R)及模糊相似矩陣RR=t(R)。對模糊等價矩陣R進行分析，發現選取λ∈(0.8714，0.9834)會得到最高的準確

率，高達100%，識別率為90%，沒有出現誤判。計算時可取平均值λ=0.9764，得到λ截矩陣Rλ=(λij)20×20。對于λ截矩陣Rλ=(λij)20×20，若λij=1，說明第i條DNA序列與第j條DNA序列屬于同一類；若λij=0，則說明第i條DNA序列與第j條DNA序列不屬于同一類。最后得到分類結果：

A{1，2，3，5，6，7，8，9，10}

B{11，12，13，14，15，16，18，19，20}

C類（無法識別）{4，17}。

采用以上方法對第1-20個DNA序列分類的準確率為100%，識別率為90%，沒有出現誤判。把標號為21-40的DNA序列添加到原來的數據中，采用同樣的模型與已求出的λ值對其進行分類，結

果為：

A類{22，23，25，27，29，33，34，35，36，37，39}

B類{21，24，26，28，30，31，38，40}

C類{32}。

3 結論

本文運用數學建模模糊聚類分析法方法，對T和G堿基在各DNA序列中所占的比例數據進行標準化處理，放大兩類DNA序列的差異，采用模糊相似矩陣，模糊等價矩陣，λ截矩陣方法對DNA序列進行分類，方法簡單、實用，且分類結果準確率高達100%，識別率為90%，沒有出現誤判。

參考文獻

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[論文摘要]建模能力的培養，不只是通過實際問題的解決才能得到提高，更主要的是要培養一種建模意識，解題模型的構造也是一條培養建模方法的很好的途徑。

一、建模地位

數學是關于客觀世界模式和秩序的科學，數、形、關系、可能性、最大值、最小值和數據處理等等，是人類對客觀世界進行數學把握的最基本反映。數學方法越來越多地被用于環境科學、自然資源模擬、經濟學和社會學，甚至還有心理學和認知科學，其中建模方法尤為突出。數學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，數學過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程。”《新課程標準》中強調：“數學教學是數學活動，教師要緊密聯系學生的生活環境，要重視從學生的生活實踐經驗和已有的知識中學習數學和理解數學。”

因此，不管從社會發展要求還是從新課標要求來看，培養學生的建構意識和建模方法成了高中數學教學中極其重要內容之一。在新課標理念指導下，同時結合自己多年的教學實踐，我認為：培養建模能力，不能簡單地說是培養將實際問題轉化為數學問題的能力，課堂教學中更重要的是要培養學生的建模意識。以下我就從一堂習題課的片段加以說明我的觀點及認識。

二、建模實踐

片段、用模型構造法解計數問題（計數原理習題課）。

計數問題情景多樣，一般無特定的模式和規律可循，對思維能力和分析能力要求較高，如能抓住問題的條件和結構，利用適當的模型將問題轉化為常規問題進行求解，則能使之更方便地獲得解決，從而也能培養學生建模意識。

例1：從集合｛1，2，3，…，20｝中任選取3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？

解：設a，b，c∈N，且a，b，c成等差數列，則a+c=2b，即a+c是偶數，因此從1到20這20個數字中任選出3個數成等差數列，則第1個數與第3個數必同為偶數或同為奇數，而1到20這20個數字中有10個偶數，10個奇數。當第1和第3個數選定后，中間數被唯一確定，因此，選法只有兩類：

（1）第1和第3個數都是偶數，有幾種選法；（2）第1和第3個數都是奇數，有幾種選法；于是，選出3個數成等差數列的個數為：2=180個。

解后反思：此題直接求解困難較大，通過模型之間轉換，將原來求等差數列個數的問題，轉化為從10個偶數和10個奇數每次取出兩個數且同為偶數或同為奇數的排列數的模型，使問題迎刃而解。

例2：在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種不同的作物，每種作物種植一壟，為了有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有幾種（用數字作答）。

解法1：以A，B兩種作物間隔的壟數分類，一共可以分成3類：

（1）若A，B之間隔6壟，選壟辦法有3種；（2）若A，B之間隔7壟，選壟辦法有2種；（3）若A，B之間隔8壟，選壟辦法有種；故共有不同的選壟方法3+2+=12種。

解法2：只需在A，B兩種作物之間插入“捆綁”成一個整體的6壟田地，就可以滿足題意。因此，原問題可以轉化為：在一塊并排4壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物有 種，故共有不同的選壟方法=12種。

解后反思：解法1根據A，B兩種作物間隔的壟數進行分類，簡單明了，但注意要不重不漏。解法2把6壟田地“捆綁”起來，將原有模型進行重組，使有限制條件的問題變為無限制條件的問題，極大地方便了解題。

三、建模認識

從以上片段可以看到，其實數學建模并不神秘，只要我們老師有建模意識，幾乎每章節中都有很好模型素材。

現代心理學的研究表明，對許多學生來說，從抽象到具體的轉化并不比具體到抽象遇到的困難少，學生解數學應用題的最常見的困難是不會將問題提煉成數學問題，即不會建模。在新課標要求下我們怎樣才能有效培養學生建模意識呢？我認為我們不僅要認識到新課標下建模的地位和要有建模意識，還應該要認識什么是數學建模及它有哪些基本步驟、類型。以下是對數學建模的一些粗淺認識。

所謂數學建模就是通過建立某個數學模型來解決實際問題的方法。數學模型可以是某個圖形，也可以是某個數學公式或方程式、不等式、函數關系式等等。從這個意義上說，以上一堂課就是很好地建模實例。

一般的數學建模問題可能較復雜，但其解題思路是大致相同的，歸納起來，數學建模的一般解題步驟有：

1．問題分析：對所給的實際問題，分析問題中涉及到的對象及其內在關系、結構或性態，鄭重分析需要解決的問題是什么，從而明確建模目的。

2．模型假設：對問題中涉及的對象及其結構、性態或關系作必要的簡化假設，簡化假設的目的是為了用盡可能簡單的數學形式建立模型，簡化假設必須基本符合實際。

3．模型建立：根據問題分析及模型假設，用一個適當的數學形式來反映實際問題中對象的性態、結構或內在聯系。

4．模型求解：對建立的數學模型用數學方法求出其解。

5．把模型的數學解翻譯成實際解，根據問題的實際情況或各種實際數據對模型及模型解的合理性、適用性、可靠性進行檢驗。

從建模方法的角度可以給出高中數學建模的幾種重要類型：

1．函數方法建模。當實際問題歸納為要確定某兩個量（或若干個量）之間的數量關系時，可通過適當假設，建立這兩個量之間的某個函數關系。

2．數列方法建模。現實世界的經濟活動中，諸如增長率、降低率、復利、分期付款等與年份有關的實際問題以及資源利用、環境保護等社會生活的熱點問題常常就歸結為數列問題。即數列模型。

3．枚舉方法建模。許多實際問題常常涉及到多種可能性，要求最優解，我們可以把這些可能性一一羅列出來，按照某些標準選擇較優者，稱之為枚舉方法建模，也稱窮舉方法建模（如我們熟悉的線性規劃問題）。

4．圖形方法建模。很多實際問題，如果我們能夠設法把它“翻譯”成某個圖形，那么利用圖形“語言”常常能直觀地得到問題的求解方法，我們稱之為圖形方法建模，在數學競賽的圖論中經常用到。

從數學建模的定義、類型、步驟、概念可知，其實數學建模并不神秘，有時多題一解也是一種數學建模，只有我們認識到它的重要性，心中有數學建模意識，才能有效地引領學生建立數學建模意識，從而掌握建模方法。

在新課標理念指導下，高考命題中應用問題的命題力度、廣度，其導向是十分明確的。因為通過數學建模過程的分析、思考過程，可以深化學生對數學知識的理解；通過對數學應用問題的分類研究，對學生解決數學應用問題的心理過程的分析和研究，又將推動數學教學改革向縱深發展，從而有利于實施素質教育。這些都是我們新課標所提倡的。也正是我們數學教學工作者要重視與努力的。

參考文獻

[1]董方博，《高中數學和建模方法》，武漢出版社.

[2]柯友富，《運用雙曲線模型解題》，中學數學教學參考，2004(6).

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【關鍵詞】 小學；模式；建模能力；教學；培養研究

運用合理的數學方式、數學思想以及數學知識依次解決教學過程中出現的各種問題是目前進行數學建模的主要表現形式. 因此，需要在小學教學中，大力培養小學生數學建模的基本思想，則能夠有效地提高孩子們的數學素養，將整個教學質量水平顯著提高. 隨著我國教育事業快速發展，加上不斷更新的新課程改革理念，培養小學數學建模的思想，能夠大幅度提升學生的創新性能力. 因此，如何正確培養小學生的建模思想，本文從多個方面展開探究.

一、小學數學模型的概念與培養模式的價值

（一）小學數學模型的概念

在教學中，小學數學模型主要指依據數量相依關系或者某一種事物的基本特征，積極應用形式化的語言，用簡單或概括地形式將其表述出來. 在構建小學數學模型中，一切小學數學基本概念、各種數學公式與方程、公式系列構成的算法系統以及基本理論體系等都可以作為素材以促使學生正確理解與處理問題的能力. 簡單言之，小學數學建模是構建模型的過程，小學數學模型思想則是教學建模過程中的基本思想.

（二）培養并研究小學數學模型價值

在小學數學教學過程中，其構建模型價值在于①能夠對原始問題進行充分的事先假設-初步分析-抽象思考-不斷加工. 同時靈活選用相應的數學工具、選擇合適的方法與模型、從而全面的分析整個過程；②針對各種問題，對小學數學模型需要依次求解-反復驗證-再次分析-不斷修改-提出假設-驗證并求解，能很好的表現學與用之間的關系. 因此，嚴格按照這樣的過程能一定程度上促使孩子們，提升小學數學意識、數學眼光以及綜合素養，最為重要的是提升小學數學的品質. 因此，無論是大學、中學，還是小學的視野，研究小學數學模型價值對今后學生們的學習，無疑能夠顯著提升.

二、綜合培養小學生數學建模的能力與研究

（一）合理應用小學數學思想，把握數學建模的關鍵點

如何正確的培養小學生數學建模的思想，是數學教學課程中的重點. 其不能片面的應用小學數學的基礎知識，與此同時，理解小學數學的思想方法以及提升運用知識的能力也是主要的因素. 所以，小學教師在進行教學工程中需要將運用數學思想方法與理念作為主要的問題，需要不斷地進行研究并綜合實踐. 此外在數學教材中，有許多的問題依然能夠多次編輯及運用，逐漸豐富小學數學建模的素材. 繼而數學教師要在解決問題中，幫助學生靈活運用多個角度去思考問題，從而能夠將未知漸漸轉化成為已知，讓低年級的小學生通過構建模型對比自身所學的知識，從而能夠進一步拓展學生的思維.

（二）早期培養數學建模能力與案例分析

針對低年級的小學生，小學教師需要培養學生靈活應用感性材料，全方面、多個角度去感知數量相依關系，從而幫助學生進行數學建模. 主要是幫助學生靈活利用豐富且有趣味的學具，使用折疊或者拼湊的方法，鍛煉學生分析和綜合的能力. 將所觀察的事物，經過自身實踐操作，漸漸用準確且簡單的數學語言總結結果. 將單純的計數準備知識進行升華，發散小學生的思維，從而能大幅度提升學生的建模能力以及解決各種問題的能力. 例如應用“湊十法”， 先初步分析算法，再添加輔的學習方式配合教學. 先研究8加幾的算法，在學習7加幾的算法，從而感知湊十法，以提高小學生發散思維能力. 因此，只有早期正確引導學生主動構建數學模型的能力與意識，才能為高年級教學提高前提基礎.

（三）數學模型的構建與靈活比較

如果想培養學生構建數學模型的能力，則需從現實生活中由“原型”漸漸過度至“抽象”. 一方面，嘗試構建情景模式，讓學生能夠準確的把握具體與抽象模型的關系. 小學數學教師在講解“相交與平行”理論知識的時候，一般常用鐵路軌道或者練習本當中的線條等生活中各類的素材，從而使小學生易于理解，善于透過現象看到事物的本質屬性. 同時，教師也必須正確引導學生如何思考、測量等方式，將數學概念模型演變成為真正的認知. 另一方面，善于利用分類與比較的方式，將抽象思維漸漸過渡到具體思維. 能對各種問題進行合理分類，找到共同點與差異性，進行反復比較，利用辨析的方法，將各個問題的本質逐步認清.

（四）學會激發學生的主動性，自主構建數學模型

善于猜測，訓練小學生的求知力，能夠很好的激發他們主動思考的能力. 利用觀察事物的能力，將初步的理論進行反復驗證，即使結論不正確，也能促使他們積極探討、不斷挖掘潛在知識，也是構建數學模型的表現形式之一，依次為猜測-不斷驗證-多次修正-得出結論. 以計算圓柱體表面積為例，需要不斷的猜測其面積和什么之間有無必要的聯系，讓小學生自主探究、不斷發散思維，先分析并猜測其側面積與上下底面積是獲取圓柱體表面積的前提，接著在進行實際檢驗. 需要先計算圓柱體的側面積，其側面積是底面圓的周長與高的乘積，而圓柱體的表面積等于上下底面面積加上側面積. 教師可準備相關材料進行示范，逐步得到準確的結果. 總之，培養并研究小學生數學建模的能力，需要充分發揮主觀能動性，才能將模型理念賦予真實性.

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【關鍵詞】數學建模思想；教學改革；現狀；思路

1目前高職高專院校在教學中運用數學建模思想的現狀

1.1課程內容體系存在局限性，未能體現數學建模思想的內涵。數學建模的主要思想就是將生活中復雜的內容數學化、簡單化，并且根據研究對象的發展規律來實現主要矛盾的掌握，從問題的本質出發建立合理的數學模型最終獲得解決問題的途徑，而目前大多高職高專所使用的數學教材只注重傳授理論知識和提高解題的技巧，忽略數學的應用性，導致整個教材體系缺乏對學生的實際應用能力的培養，使得學生只會做題，不會去利用數學思想解決實際問題，高職高專學生的實際應用意識和科技創新能力本身比較弱，對他們而言，教材應該具備實用性，應該和各個學科的內容產生融合而不是一味的強化理論知識。此外，在高等數學的課堂上，教師大都拿著教材照本宣科，沒有做到根據學生的實際情況進行調整，使得教學效率和學生能力一直無法提高。1.2傳統的授課方式存在弊端，教學方法較為單一。傳統的數學教學課堂可以理解為“包辦”模式，教師詳細的講解數學定理的內容，原理甚至利用大量的時間在黑板上一步一步推導、驗證定理成立的原因以及例題求解的過程，在課堂上剩余的時間里學生只是按部就班的去遵循老師所講的內容，照著例題去做練習，這樣由老師單方面的灌輸，雖然可以使學生快速的了解新的知識和內容，但很容易使得學生出現走神的現象，使得課堂效率收到了極大的影響，此外，也容易讓學生產生依賴的心里，主動獲取知識分析知識的能力逐漸消失，最終會導致學生喪失在實際生活中利用數學思想解決問題的能力，使得以學生為主體的課堂成為空談。1.3考核方式與學生實際需求存在較大差距在目前高職高專數學考試中大都出現了一種嚴重的問題，就是學生課堂所學內容與期末考試脫節，在教學中很多不同專業的學生在數學學習的過程中采用一致的評價標準，然而每個專業所學內容與對數學基礎知識的要求都不同，并且每個專業的課時、進度都不一樣，這就導致學生所學和考試脫節的現象發生，不同的專業所學內容應有不同層次的要求，這樣一味的以統一的模式考試，使得很多學生喪失了學習數學的信心和興趣。

2基于數學建模思想的教學改革的思路

2.1將數學建模思想和專業課相結合，構建新的課程體系。按專業分類設置數學課程理論教學內容；將數學建模思想穿插在整個教學過程中，但不能再每節內容前都機械的引入數學建模,而是要結合學生實際，對數學教學內容進行選擇和整合。采用案例教學法和討論法相結合的方式培養學生的數學應用能力，在教學中對一個新概念或是新內容都力求用與專業課緊密相連的實例引入。按專業分類設置數學建模課程實驗教學內容。數學建模思想的滲入，要求數學課堂應重思想輕理論，因此可以讓學生利用MATLAB、lingo等數學軟件減輕學生的運算負擔，更注重數學的應用性。數學建模思想和課堂相結合能充分調動學生的積極性，讓學生深刻體會到數學本身就是刻畫世界的模型而并非純理論體系，改變學生對數學的偏見，提高學生的數學素養。2.2通過加強例題的應用性來深入數學建模思想老師在課堂的教學中除了傳授新知識外，還可選取生活中與教學相關的例子，拉近書本與生活之間的距離，如利用物理、經濟、生物等方面的經典案例來實現日常生活的滲透，這樣不僅能調動學生的學習興趣，還能進一步提高學生解決問題與分析問題的能力。2.3在作業中著重體現數學建模思想的應用在高等數學教學中除了讓學生掌握基本的概念和方法后，還得有效的提高學生解決問題的能力，在教學中就需要引入十分重要的環節，即課后作業的布置，也就是在每一節課結束后為了鞏固和提高學生的應用能力而布置一定的作業，其中最有效的方法就是讓學生根據所學內容結合實際寫論文，以這樣的方式來使得學生將所學理論知識與實際相結合，將數學知識更好的融入平常生活中，最終實現提高學生分析問題解決問題的能力的目標，以及加深學生將數學建模思想和應用性結合的意識。通過布置作業方式的改革，使得學生能夠提出更具體的問題，需要借助建模的思想將問題簡化、假設和求解。最后達到解決問題的目的。2.4建立科學的考核方式傳統的考核方式單一，只是簡單考察學生的計算能力，并未和實際相聯系，不能將學生的創新能力很好的體現出來，我們應該將學生成績分成三部分，平時成績+數學論文+數學實驗，通過這幾部分的結合能更好的降低不及格率，挖掘學生的潛力，全面提高學生的綜合素質。培養應用型人才是高職高專教育的主要目標，而將數學建模思想帶入到課堂，能夠充分挖掘出學生的創新思維和分析能力，有效的培養出學生的數學應用能力。同時，在建立模型的過程中，可以讓學生深刻體會到如何將問題數學化，如何用數學工具解決數學化的問題，又如何將數學問題和實際問題聯系起來的過程，引導學生用數學建模思想來解決專業知識，讓數學知識在專業課學習中得到最大的應用

參考文獻

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關鍵詞：運籌學；數學建模；教學；案例

中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）08-0106-03

運籌學應用分析、試驗、量化的方法，對經濟管理系統中人、財、物等資源進行統籌安排，為決策者提供有依據的最優方案，以實現最有效的管理。該課程主要培養學生在掌握數學優化理論的基礎上，具備建立數學模型和優化計算的能力。本文提出一種新的教學改革思路，將運籌學和數學建模兩門課程合并為一門課程，即開設大容量交叉課程《運籌學與數學建模》來取代《運籌學》和《數學建模》兩門課程，采用案例教學和傳統教學相結合的教學方法，數學建模和優化算法理論并重的教學模式。這樣既可以避免出現極端教學和隨意選取教學內容的現象，又可以將新穎的教學方法與傳統方法相結合，按照分析問題、數學建模、優化算法理論分析及其方案制定、實施等解決實際問題步驟展開教學。下面就該課程開設的必要性、意義、可行性、注意事項及其存在問題等方面進行分析。

一、開設《運籌學與數學建模》課程的必要性

1.一般院校的運籌學課程的教學課時大約為64或56（包含試驗教學），所以教學中不能囊括運籌學的各個分支。一方面，由于課時量不足，教師選取教學內容時容易出現隨意性和盲目性；另一方面，教學中為強化運籌學的應用，消弱理論教學，從而導致學生對知識的理解不透徹，在實際應用中心有余而力不足。

2.運籌學解決實際問題的步驟是：（1）提出和形成問題；（2）建立數學模型；（3）模型求解；（4）解的檢驗；（5）解的控制；（6）解的實施。大部分教學只涉及步驟（3），即建立簡單數學模型，詳細介紹運籌學的算法理論，與利用運籌學解決實際問題的相差甚遠。因此，學生仍然不會應用運籌學解決實際問題，從而導致學生認為運籌學無用。

3.數學建模課程包含大量的運籌學模型；運籌學在解決實際問題的環節中包含建立數學模型步驟。目前兩門課程分開教學，部分內容重復教學，浪費教學課時。

二、開設《運籌學與數學建模》課程的意義

1.激發學生的學習動機，培養學習興趣。該課程包含數學建模和運籌學兩門課程的內容，內容容量大，教學課時豐富，教學過程中能夠以生產生活中的實際問題為案例，分析并完整解決這些問題，創造實際價值，使學生認識到該課程不但對未來的工作很重要，而且還有可以利用運籌學知識為企業或個人創造價值，改變運籌學“無用論”的觀念。從而激發學生的學習動機，產生濃厚的學習興趣。

2.合理處理教學內容。運籌學與數學建模的課時量相對充足，能夠安排更多的內容，能夠系統、完整地介紹相關知識，在一定程度上避免了運籌學內容安排的隨意性和盲目性。

3.促進教學方法改革。運籌學與數學建模的教學不再是簡單的數學建模和理論證明，教學內容豐富、信息量大，傳統的一支筆一本教案一塊黑板的模式不再適用，需尋找新的教學方法，促進了多種教學方法的融合。

4.培養學生綜合能力。實際案例源于社會、經濟或生產領域，需要用到多方面的知識，但學生不可能掌握很多專業知識。因而，在解決實際案例的過程中，需要查閱大量的相關文獻資料，并針對性閱讀和消化。而且，實際案例數據量大，需要運用計算機編程實現。因此，通過該課程的學習，可以提高學生多學科知識的綜合運用能力和運用計算機解決實際問題的能力。

5.改變教學考核方式。教學改革后，教學內容已延伸到運用優化知識解決實際案例的整個過程。教學過程中既有對實際案例分析、建模，又有算法介紹、求結果的檢驗及其最終方案的實施。因而，傳統的單一閉卷考試改為筆試和課后論文相結合的方式。

三、開設該課程的可行性

1.運籌學和數學建模互補性、遞進性使得開設該課程在理論上可行。數學建模是利用數學思想去分析實際問題，建立數學模型；運籌學是利用定量方法解決實際問題，為決策者提供決策依據。由此可見，建立數學模型為運用運籌學解決實際問題的重要步驟。所以，運籌學可以認為是數學建模的進一步學習。同時，運籌學模型為數學建模課程介紹的模型中的一部分，并且運籌學處理實際問題的方法為數學建模提供了專業工具。因此，運籌學與數學建模在內容上是互補的。由此可知，開設該課程在理論上是可行的。

2.計算機的發展使得開設該課程在操作上可行。隨著計算機的發展，能很快完成大數據量的計算，實際案例的數據分析、數學建模及其求解能快速實現，從而使得該課程的教學工作能順利開展。

3.大學生的知識儲備使得開設該課程在基礎上可行。學習該課程的學生是高年級學生，通過公共基礎課和專業基礎課的系統學習，分析問題、解決問題的能力得到進一步提高。同時，運籌學和數學建模所需基礎知識類似，學習該課程所需的線性代數、概率論與數理統計、高等數學及微分方程等課程也已經學習，運用運籌學與數學建模知識解決實際案例所需的基礎知識已經具備。因此，開設該課程是可行的。

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關鍵字：初中數學；建模；探討

一、數學建模含義

所謂數學建模就是把所要研究的實驗問題，通過數學抽象構造出相應的數學模型，再通過數學模型的研究，使原問題獲得解決的過程。即數學建模是將某一領域或某一實際問題，經過抽象、簡化、明確變量和參數，并根據某種規律建立變量和參數間的一個明確的數學模型，然后求解該問題，并對此結果進行解釋和驗證。

二、強化數學建模教學的意義。

根據數學建模的特點，在初中數學教學中，滲透建模思想，開展建模活動，具有重要意義。

1、促進理論與實踐相結合，培養學生應用數學的意識。

數學建模的過程，是實踐—理論—實踐的過程，是理論與實踐的有機結合。強化數學建模的教學，不僅能使學生更好地掌握數學基礎知識，學會數學的思想、方法、語言，也是為了學生樹立正確的數學觀，增強應用數學的意識，全面認識數學及其與科學、技術、社會的關系，提高分析問題和解決問題的能力。

2、培養學生的能力。

數學建模的教學體現了多方面能力的培養：（1）翻譯能力，能將實際問題用數學語言表達出來，建立數學模型，并能把數學問題的解用一般人所能理解的非數學語言表達出來；（2）運用數學能力；（3）交流合作能力；（4）創造能力。

3、發揮了學生的參與意識，體現了學生的主體性。

根據現代建構主義學習觀，知識不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，而只能由學生依據自身已有的知識和經驗主動地加以建構。所以數學建模的教學，符合現代教學理念，必將有助于教學質量的提高。

三、 初中數學建模基本環節

數學素質教育的主戰場是課堂，如何圍繞課堂教學選取典型素材激發學生興趣，以潤物細無聲的形式滲透數學建模思想，提高建模能力呢？根據我們的實踐，采用知識的發生、形成過程與應用相滲透的教學模式可以實現這個目標，以“問題情景----建立模型----解釋、應用與拓展”的基本敘述方式，使學生在樸素的問題情景中，通過觀察、操作、思考、交流和運用中，掌握重要的現代數學觀念和數學的思想方法，逐步形成良好的數學思維習慣，強化運用意識。這種教學模式要求教師以建模的視角來對待和處理教學內容，把基礎數學知識學習與應用結合起來，使之符合“具體----抽象----具體”的認識規律。

其五個基本環節是：

1、創設問題情景，激發求知欲

根據具體的教學內容，從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，選編合適的實際應用題，讓學生帶著問題在迫切要求下學習，為知識的形成做好情感上的準備，并提供給學生充分進行數學實踐活動和交流的機會。

2、抽象概括，建立模型，導入學習課題

通過學生的實踐、交流，發表見解，搜集、整理、描述，抽象其本質，概括為我們需要學習的課題，滲透建模意識，介紹建模方法，學生應是這一過程的主體，教師適時啟發，介紹觀察、實驗、猜測、矯正與調控等合情推理模式，成為學生學習數學的組織者、引導者、合作者與共同研究者。

3、研究模型，形成數學知識

對所建立的模型，靈活運用啟發式、嘗試指導法等教學方法，以教師為主導，學生為主體完成課題學習，形成數學知識、思想和方法，并獲得新的數學活動經驗。

4、解決實際應用問題，享受成功喜悅

用課題學習中形成的數學知識解答開始提出的實際應用題。問題得以解決，學生能體會到數學在解決問題時的實際應用價值，體驗到所學知識的用途和益處，成功的喜悅油然而生。

5、歸納總結，深化目標

根據教學目標，指導學生歸納總結，拓展知識的一般結論，指出這些知識和技能在整體中的相互關系和結構上的統一性，使學生認識新問題，同化新知識，并構建自己的智力系統。同時體會和掌握構建數學模型的方法，深化教學目標。此外，通過解決我國當前亟待解決的緊迫問題，引導學生關心社會發展，有利于培養學生的主體意識與參與意識，發揮數學的社會化功能。

四、有關開展初中數學建模教學的幾點建議

1、數學建模作業的評價以創新性、現實性、真實性、合理性、有效性等幾個方面作為標準，對建模的要求不可太高，重在參與。

2、數學建模問題難易應適中，千萬不要搞一些脫離中學生實際的建模教學，題目難度以“跳一跳可以讓學生夠得到”為度。

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關鍵詞：數學建模 數學模型 高等數學教學

中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2014）10（b）-0180-01

隨著科學技術的飛速發展，作為當代科學技術重要標志之一的數學，在各行各業科學研究中的作用日益凸顯，利用數學方法解決各種實際問題已成為衡量研究水平高低的標準之一，數學建模受到廣泛的重視，成為科研人員進行科學研究的有力工具。作為承擔培養國家科研人才重任的高校，承擔著普及和推廣數學建模的責任。全國高等學校數學課程指導委員會明確提出，要加強對學生建立數學模型并利用計算機分析處理實際問題能力的培養和訓練。中國工業與應用數學學會每年組織全國大學生數學建模競賽，來促進和培養大學生數學建模的能力。但是很多高校參加數學建模競賽的只是很少的一些學生，多數學生對數學建模了解不夠，這種現象極大地阻礙了數學建模的普及和發展，也阻礙了我國科研水平的提高。在所開設的數學課程中融入數學建模內容，使學生接觸、學習并掌握數學建模的思想和方法，解決實際問題，無疑是解決這一問題行之有效的方法。

1 數學建模在高等數學教學中的意義

1.1 使學生深刻體會數學的作用，激發學習高等數學的興趣

我校是一所醫學院校，高等數學是一門必修的公共課，傳統的高等數學的內容和方法與醫藥學的知識聯系不緊密，很多學生不了解這門課程對他們的工作和學習到底有什么用，感到枯燥乏味，抽象難學，缺乏學習的興趣。而數學建模是數學知識與應用能力共同提高的最佳結合點，是激發學生學習欲望，培養主動探索，努力進取學風和團結協作精神的有力措施。如果在高等數學教學中融入數學建模，將高等數學與數學模型，尤其是醫藥學模型有機相結合，體現從實際問題中抽象出數學模型，并用數學知識加以解決的思想方法，不僅使學生充分感受到數學理論和方法巨大的應用價值，充滿學之以用的渴望，還能培養學生積極主動，團結協作的意識，提高分析問題和解決問題的實際應用能力，激發學生學習高等數學的興趣和熱情，調動學生學習的積極性和主動性。

1.2 培養學生的邏輯思維和創造性思維能力

數學建模是在實驗，觀察、分析的基礎上，將實際問題進行合理的簡化與假設，把一個實際問題轉化為一個數學問題，并用數學的方法解決和驗證的過程。需要學生運用全面地。發展的、變化的思維去觀察、分析和解決問題，這個過程會極大提高學生的邏輯思維能力。同時，數學建模是開放性問題，沒有統一的標準和方法，這正是啟迪創新意識和創新思維，鍛煉創新能力的重要途徑。針對同一個問題，學生可以充分發揮他們的想象力和創造力，尋找解決問題的知識，取得寶貴的實踐經驗，使自己的創造性思維得到提高。

1.3 促進教師素質的提高

在當今的社會環境中，數學建模是不僅僅只涉及數學一個學科，而是包含物理、化學、醫學、經濟等眾多領域，綜合性極強的項目，這就對教師隊伍的素質和水平提出了更高的要求，教師除了具有深厚數學基礎、較強的邏輯思維能力、理解分析能力，實際動手能力，還必須具有廣博的知識面，對新知識和新事務強烈的渴望和汲取，教師只有不斷全面提高自身的綜合素質，才能把先進的數學建模的思想和方法教給學生，才能適應當前飛速發展的社會對高素質人才的需要，也能極大提高教師自身的業務能力和科研水平。

2 高等數學教學中的數學建模

2.1 數學建模對高等數學教學的作用

與初等數學相比，高等數學的許多概念更為抽象，如果直接給出概念，很容易出現不易理解和應用的問題，如函數的極限、連續、導數、定積分等。實際上，這些概念的形成的本身就來自于解決實際問題的過程，我們完全可以通過一些簡單直觀的實際問題解決過程來引入相關的概念，使學生深刻領會概念的本質，了解利用概念解決實際問題的思想方法和過程，培養學生數學建模的意識。例如：（1）可以用“如何求變速直線運動的變化率―瞬時速度”和“如何求細菌繁殖的變化率―增殖速度”兩個實際問題來引入導數的概念，使學生領會導數的數學本質就是函數的瞬時變化率，許多類似問題的變化率如化學反應速度、邊際成本等都可以用導數來解決。（2）可以用“如何求曲邊梯形的面積”和“如何求變速直線運動的路程”兩個實際問題來引入定積分的概念，使學生領會定積分的數學本質就是通過分割、近似代替、求和、取極限的步驟所得到的具有特定結構的和式極限，當這個和式的極限存在時，就把這個極限值稱為函數在閉區間上的定積分。許多實際問題如不規則平面圖形的面積、液體壓力、單位時間內的血流量、心臟輸出量的測定等都可以用定積分來解決。

2.2 在高等數學教學中融入數學建模

數學的價值在于應用，要想使學生體會到高等數學的價值，就要在教學中結合不同學科的實際問題，引導學生利用所學的數學知識加以解決，培養學生數學建模的經驗。例如：（1）在極限部分使用細菌繁殖模型、藥物吸收模型。（2）在連續部分使用巧切蛋糕模型、椅子平穩模型。（3）在導數部分使用水面上升速度模型、經濟學中邊際需求和邊際利潤等模型。（4）在導數的應用部分使用小血管中的軸流問題模型、易拉罐設計問題模型、咳嗽問題模型、磁盤最大存儲量模型。（5）在定積分部分除了教材中的應用外，又使用了牙弓長度模型、單位時間內的血流量模型、心臟輸出量的測定模型、資金流量的現值模型。（6）在微分方程部分使用放射性同位素衰變模型、溶液稀釋模型、種群增長模型、牛頓冷卻模型、新產品銷售量模型等。

任何一門科學，只有成功應用數學時，才能真正達到完善。在高等數學教學中融入數學建模，就是培養學生數學建模的思想、方法和意識，為了把數學知識應用于各個學科，各個領域奠定堅實基礎。

參考文獻

[1] 周義倉，赫孝良.數學建模實驗[M].西安交通大學出版社，2001：91-106.

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【關鍵詞】數學建模教學策略

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）11-0016-02

進入20世紀以來，數學的應用以空前的廣度和深度向諸如經濟、人口、生態、地質等新的領域滲透。數學的應用已成為科技進步的重要推動力，無論是微觀的機理研究，還是宏觀的決策分析都離不開數學的應用，人們已習慣用數學思維思考問題，用數學語言表達問題，用數學方法解決問題。而要用數學方法來解決實際問題，首先需要建立實際問題的數學模型，即針對該實際問題，分析其重要特征，進行必要的簡化假設，運用適當的數學工具，建立的一個數學結構。我們把這樣的一個過程稱為數學建模。數學建模是實現與發揮數學應用功能的重要手段，同時也是啟迪創新思維、培養創新人才的一個重要途徑。

英、美等國自二十世紀七十年代在研究生和本科階段相繼開設了“數學建模”課程，并于七十年代末期進入中學課堂。我國在上個世紀八十年代中期，借鑒英、美等國開設“數學建模”課程的經驗，由清華大學應用數學系主任蕭樹鐵教授首倡并實踐，在清華大學和國內部分高校開設了“數學模型”課程[2]。

近幾年，隨著“全國大學生數學建模競賽”規模和受認可程度的日益壯大，隨著教育部在新課標中將“數學建模”設為新增內容模塊，隨著對高等數學教學改革的呼聲日益強烈，越來越多的地方院校開始重視數學建模教育的重要作用，在理工類專業甚至是經管類專業大量開設“數學建模”課程。但數學建模課程與傳統的數學課程不同，數學建模課重點在于培養學生的創新思維和創新能力，如何進行有效的數學建模教學是一個問題。

本文將對目前大學數學建模教學現狀進行分析，總結出教學過程中存在的突出問題，并提出大學數學建模教學策略。

一、數學建模教學的現狀分析

目前，開設“數學建模”課程的院校越來越多，但是通過調查我們發現效果并不是很理想，學生用數學解決實際問題的能力并沒有得到很大程度上的提高。經過深入的調查和分析，我們發現主要有以下幾個方面的問題。

首先，學生缺乏良好的基礎。建立數學模型解決各種實際問題，需要開放式的數學建模思維，需要善于聯想發散的創新意識，需要堅持不懈的頑強毅力，需要合理分工團結合作的協助能力。而這些往往都不是傳統課程教學中所側重的，在從小學到大學的傳統數學課上，學生從課堂上學到的可能更多的是具體的知識方法，做的可能更多的是有固定解法有正確答案的數學題。因此數學建模課程的基礎要求與培養目標和學生的建模基礎之間存在巨大的差距。所以沒有好的學習基礎，不能得到好的學習效果也就是很自然的事情了，在僅僅一門“數學建模”課上進行彌補也是幾乎不太可能的事情。

其次，教師普遍缺乏開展研究性教學的經驗。數學建模的教學是一種以學生為主體的創造性研究性學習。與傳統數學教學以知識為中心不同，數學建模的教學強調讓學生親身體驗如何“用數學”、如何抓住主要因素簡化問題將實際問題化為數學問題，在實踐中感受數學建模的思想，體會運用數學的力量。因此，數學建模教師在教學中不能只關注學生的學習結果，更應該重視學生在學習過程中的情感和體驗，重視培養學生的直覺思維。而這些可能是目前教師所缺乏的，或者是教師在教學過程中很容易忽視的，需要我們的教師在教學過程中重視，采用恰當的教學模式教學手段，充分調動學生的學習積極性，強化實踐教學，讓學生在大量實踐中學會建模。

再次，目前缺乏系統的適合不同層次學生學習的數學建模教材。現有的新編的數學建模教材大多面向數學建模競賽培訓，案例一般相對比較復雜，初學者學起來會比較困難，不適合初學者進行學習，也有一些早期的數學建模教材案例大多比較簡單，但大多與時代脫節，不能有效的激發學生的學習興趣。

最后，部分學校存在功利意識。數學建模教育的目的在于激發學生主動探究問題的積極性，培養學生的創新精神和研究問題的科學性，而科學研究和創新往往不是在短期內就可以看到好的成果的，數學建模教育應該重視的是學生參與建模實踐的過程，在實踐中體會一種用數學解決實際問題的意識，想用數學會用數學創造性的解決實際問題，從而帶來能力上的提高。各種數學建模競賽只是給學生提供更多實踐機會的一個平臺，能否獲獎不應該是我們建模教學的根本目的，重要的是在參與的過程中，學生體會到了什么，學到了什么？但在部分學校，目前出現了重建模競賽輕建模教學的情況，重視賽前對重點學生的突擊培訓，輕視在平時對所有學生的常規建模教學工作，甚至出現了，為了獲獎由老師捉刀的情況，從建模能力培養上，學生自然也就不會有多大的收獲。

二、數學建模的教學策略

數學建模的教學是一個系統工程，不應該簡單的只是開設一門課的問題，從學生建模意識的滲透，到教師教法的研究和教學內容的恰當選取，到學校各方面的正確認識和重視，都是構建合理有效的數學建模策略所需要考慮的問題。

首先，我們要通過多種渠道分層次開展數學建模的思想和方法的推廣和教學。數學建模課程的學時是十分有限的，而且“用數學”的思維習慣的養成也不是短時間內就可以完成的事情。所以數學建模思想的推廣不能僅限于數學建模課，應該通過多種渠道分層次的在整個大學期間進行不斷的滲透和強化，只有這樣才能達到培養學生創新思維，提高學生用數學解決實際問題的能力。

我們可以嘗試在高等數學，線性代數等數學類基礎課上滲透數學建模的思想和方法。教師可以結合數學課的教學內容，舉一些簡單的、離學生生活較近的數學建模題目的例子，對數學建模的概念、步驟和方法進行講解，并可以適當的采用matlab等數學軟件用加深學生的直觀影響。這樣做不僅可以提前對學生進行數學建模的啟蒙，也讓數學類基礎課的教學更加生動有趣。同時我們還可以借助學生社團的力量，在課外開展數學建模講座和數學建模興趣小組等活動，這對于維持學生的學習積極性體會數學建模的魅力也是非常有益的。總之，數學建模的教學一定不能局限于一個學期的課堂教學，最好能通過各種途徑貫徹始終。

其次，我們要重視數學建模課主講教師的培養。建模比賽中獲過獎或者指導過學生獲獎的教師也不一定能教好數學建模課，不一定能使學生的建模能力得到普遍的提高。要成為一名優秀的建模教師，需要更新教育教學觀念，改變以學生為中心的教學模式，多與其他院校的建模老師交流，學習他人的成功教學模式和教學經驗，還需要擴展教師的知識體系，才能駕馭開放的建模問題，最重要的是提高教師的敬業精神和教學團隊的合作精神，和其他課程的教學相比較，數學建模的教學需要教師付出大量課外的勞動，沒有團結合作，拼搏奉獻的教學隊伍，是不可能開展好數學建模的教學工作。

再次，我們要針對學校的實際情況有目的性的選擇合適的案例開展教學。好的數學建模案例應該適合學生的能力水平，難度太大的問題會使得學生無從入手失去興趣，太容易的問題也會學生感覺乏味得不到提高，我們需要隨著學生建模能力的提高，逐步提高案例的難度。與實際聯系緊密的熱點問題可以更好的吸引學生的興趣，體會數學建模的魅力，但所涉及的專業背景不能太深，最好在學生的認知范圍以內。開放性的問題可以更好的發揮學生的想象力，給學生更大的發揮空間，更好的鍛煉學生的建模能力。

參考文獻：

[1]蒲俊，張朝倫，李順初，探索數學建模教學改革提高大學生綜合素質[J]中國大學數學2012，12，24-25

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【關鍵詞】新課改 數學模型 中學數學建模教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）02-0118-03

一 中學數學建模概述

1.數學模型的定義及分類

根據全國科學技術名詞審定委員會的審定公布，我們把數學模型定義為：數學模型是把對研究對象觀察到的一系列結果和實踐經驗，總結成一套能反映其內部因素數量關系的數學公式、邏輯準則和相關算法。這些公式、準則和算法是拿來描述和研究客觀現象的規律。

我們根據不同的分類方式，把數學模型分成很多種，常見的一些種類有：（1）數學模型根據模型應用的領域不同，可以劃分為人口模型、交通模型、污染模型等。（2）數學模型根據建立模型的數學方法不同，可以劃分為數學模型、幾何模型、微分方程模型等。目前，我國大多數的教學用書中提到的數學建模的分類編排都是按照上面的標準來進行的。（3）數學模型根據表現特性的不同，考慮到數學模型中是否受到隨機變量的影響，把數學模型分為確定性模型和隨機性模型。進入21世紀以后，由于數學研究和數學模型在廣度和深度的不斷發展，近幾年來還出現了突變性模型和模糊性模型、靜態模型和動態模型、線性模型及非線性模型等。（4）根據數學模型建模目的的不同，分為描述模型、預報模型、優化模型、控制模型等。

2.中學數學建模教學概述

數學建模教學主要是針對過去中學數學教育內容過于抽象化，對數學知識和學生實際日常生活的聯系不緊密問題而提出的。數學建模要求學生對日常生活和社會中遇到的實際問題先進行抽象化，然后建立數學模型，最后求解得出最優模型。即建模、解模的過程，如圖1所示。

圖1

二 中學數學建模教學

1.建模問題的合理性

考慮到中學階段學生的知識水平有限和中學數學的教學大綱規定，我們把中學數學建模教學的主要內容進行恰當的調整。首先，應當適當縮小中學數學建模教學的選題范圍，通常我們考慮的是函數（構建函數關系）、不等式組、數列、幾何和求最值等幾個方面。其次，在教學方法上也力求通過計算機技術輔助教學，增強其新穎性和趣味性。

2.中學數學建模教學常用的方法

第一，理論分析法。這是一種在中學數學建模教學中經常用到的方法。它具體是指：（1）對所要建立模型的問題各種變量與常量進行分析和界定范圍；（2）運用我們已經公認的，如數學、物理等學科中被普遍證明的原理、定理和推論，建立合理的數學模型；（3）利用數學理論推導問題的解決方法。

第二，模擬法。這是一種在現實中通過對模擬的數學模型進行反復試驗，從而達到解決問題的目的。構建模擬的數學模型，就是要運用數學知識找到一種結構和性質與建模問題主要結構和性質相同的模型。如報童賣報問題就可以用隨機模擬思想解決。

第三，函數擬合法。這是一種在處理離散型數據時使用最多的方法。（1）我們依據題目所給出的初始數據，在直角坐標系上描出相對應的各個點；（2）依據各個點的分布情況，用圓滑的曲線描繪出大致圖形；（3）根據圖像大致擬合成相應的直線或圓錐曲線，并通過相應的關鍵點求解出此圖像的函數關系式，這就是所要建立起來的數學模型。如我們通過一次函數、二次函數、指數函數、冪函數擬合某個工廠產量、某件產品的銷量、人口增長率等，解決日常生產生活中的問題。

三 中學數學建模教學的教學方式

1.立足教材基本知識點，培養學生的趣味

由于我國的數學教材普遍存在知識理論性強，但缺乏在實際生活中的可運用性。很多學生甚至家長認為只要不是想成為數學家，離開校園工作后，數學僅僅拿來會上街買菜算賬就夠了。于是，大多數學生都是為了成績而學數學，根本不知道數學可以提高自己日后的管理能力和問題的解決能力。

在提倡素質教育的今天，我們可以通過多種方式提高學生對數學問題的興趣。如改變設問方式、變換題設條件，把教材中出現的應用問題拓寬成新的數學建模應用問題。對于教材中的一些純理論數學問題，我們可以從科學性、現實性、新穎性、趣味性、可行性等原則出發，編制出一套有一定實際背景或應用價值的數學建模問題。按照以上的方式組織教學活動，能大大地培養起學生對數學知識的應用能力。

如在講授高中數學必修5第一章等比數列，等比數列求和公式及應用這一節課時，教師向學生講述這樣一個實例。

教師：傳說在古代印度有這樣一個國王很喜歡下象棋。某天，一位棋藝很高超的棋手和國王對弈，國王得意洋洋地說：“如果你贏了我，你的任何要求我都會滿足。”經過一番搏殺，國王輸了。棋手慢慢地說道：“陛下只需要派人用麥粒填滿象棋棋盤上的空格，第1格1粒，第2格2粒……以后每格是前一格粒數的2倍。”國王笑著說道：“這個獎勵太容易辦到了。”于是，他立即命令下面的官員辦理。過了數天，官員慌張地報告國王：“大事不好了，如果這樣下去，印度近幾十年生產的所有麥子加起來都還不夠。”

學生個個都露出了詫異的表情。通過這個例子，極大地調動了學生探究問題的積極性，紛紛在課堂上討論起來。老師抓住時機引導學生求1+2+4+…+271，即和學生一起推導出等比數列求和公式。學生計算出麥子的總粒數為272-1粒，這的確是一個相當大的數。

數學應該是有趣的，也應該是有用的，最后也必然是能有效解決實際問題的。

2.立足生活問題，強化學生的應用意識

“學以致用”，應用問題來源于日常生活中大大小小的事情，通過建立中學數學模型，我們可以解決現實生活中的很多問題。如解決上班族合理負擔出租車資、十字路口紅綠燈的設計、蟻族住房問題、鉛球投擲等問題。

如在木料加工廠，師傅們要把一根直徑為200mm的圓木加工成矩形截面的柱子，請問怎樣鋸才能使廢棄的木料最少？

思路分析：這是一個簡單的

生活實際問題，要從數學理論上

來解決。首先要把這個問題抽象

成一個純幾何問題。問題的核心

就是要使廢棄的木料最少。轉化

成數學語言就是使柱子的截面積

最大。這其實就是一個求最大值

問題。所以，問題就可抽象為求內接于直徑為d的已知圓O的最大矩形面積（如圖2所示）。

考察圓木的橫截面可建立模型：設圓的直徑為d，這個圓的內接矩形的面積為S，其中一條邊AB的長為x，而另一

條邊長為y，且y= ，問題轉化為求x為何值時，S

值最大。利用重要不等式或一元二次函數求得，當x= 時，

即d=100 ，廢料最少。

通過上面的例題，說明我們緊密聯系教材內容，可以引導學生思考日常生活中的數學問題。在課堂教學中，這種方式不僅能加深基本知識的理解和運用，同時還會增強學生應用數學的信心，讓中學生獲得必要的解決問題的能力。

3.立足社會熱點問題，介紹建模方法

隨著經濟的發展，中學數學建模問題可以把國家發生的大事和熱點、市場經濟中的利潤和成本、個人的儲蓄和消費、公司的投標計劃等作為材料。我們可以對這些材料進行篩選，找到與教材的合理切入點，把材料融入到課堂教學活動中。生動有趣的問題不僅可以激發學生建立模型的靈感和樹立正確的價值觀，還可以為日后積極主動地運用數學建模思維提供能力上的準備。

如1998年7月26日，廣州至重慶高速公路廣安段指揮中心接到電話預報，24小時后將有一場百年一遇的大暴雨。為了保證高速公路無險情，指揮中心決定在23小時內筑好一道防洪堤壩。這道堤壩可以用來防止正在施工的華鎣山隧道主體工程遭到山洪的損毀。經過防洪專家估算，這道堤壩的建造任務除了需要現有人員全體參戰外，還要調來20輛大型翻斗車同時工作23小時。由于事出突然，只有一輛車可以立即投入使用，其余的翻斗車必須從重慶各地緊急調來。經過協調，每20分鐘能有一輛翻斗車到達工地施工。已知指揮中心最多可以調來26輛翻斗車到工地，請問23小時內能不能完成建好防洪堤壩的任務？并說明理由。

第一步：弄清題意。必須讀懂題意，知道整道題說的是怎樣一個問題。

第二步：聯系知識點。學生需要把問題情景中的文字語言轉化為數學的符號語言，然后用數學公式最好是函數表達式來確定數量關系。同時，還要根據這道題的題眼來明確所涉及的知識點。

第三步：建好數學模型。首先，在明確好了自變量和因變量的關系后，學生對已有的數學理論知識進行分析和歸納，構建起問題相對應的數學模型，從而完成生活實際問題向數學關系表達式的轉化。其次，在答題過程中需要嚴謹的思維過程和比較扎實的計算能力。這樣，才能又快又準地解決問題。

于是我們有了這樣的答題思路：首先，弄清題意。通過讀懂題意和深刻理解題意兩個方面，后者把“問題情景”轉化為數學符號語言。于是，學生找到目標函數與約束條件的主要關系：翻斗車的工程量之和要大于或者等于要完成的工程總量20×23（車每小時）。其次，建立模型。把要完成防洪堤壩的主要關系模擬化、抽象成數學函數或不等式。即假設從第一輛翻斗車開始施工算起，各輛翻斗車的工作時間分別為a1，a2，……a25，a26小時，由題意可得，這些數組成一個公差為d=-1/12（小時）的等差數列，且a≤23。最后，求解最優值。把完成堤壩修筑任務轉化為一般的等差數列求和問題，根據不等式來確定答案范圍。

本例題是我們在高一下學期學習了等差數列求和公式和不等式知識后，結合正在修建的廣渝高速公路重點工程和1998年的抗洪斗爭背景編寫的。這個例子不僅能使學生體會到數學建構思維，也讓學生受到德育的熏陶，展示了數學在中學生社會化方面的影響。

4.立足實踐，培養應用意識和建模能力

如隨著經濟的發展，某人也想提高自己的生活居住水平。日前，他想在廣安市城里購買一套商品房，價格為38萬元，首次付款10萬元后，其余的款額20年按月分期付款，月利率為0.39%（公積金利率）。他希望到中國農業銀行去了解一下，如果他辦理商業性個人住房貸款（月利率為0.62%），請你幫他算算每月應付款多少元？用上面兩種方法算算20年總共還了多少錢？（方法省略）

中華文化博大精深，游戲中也有豐富的素材，如魔方、九連環、優化骰子等，教師還可以結合教材內容提出新的游戲規則，讓學生在做游戲的過程中學到知識、學會方法和理解數學思想，從中引導學生構建數學模型。由此可見，豐富的游戲對青少年數學潛力的開發影響很大。

進入21世紀以后，新課改的一個重要目標就是要在教學中不斷加強綜合性、應用性內容，重視聯系學生的生活實際和社會實踐，突出理論與知識相結合，引導學生關心社會，關心未來。因此，在教學中重視和加強數學建模的教學和應用尤為重要，是數學教學的突破口和出發點。

參考文獻

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[6]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].北京：高等教育出版社，2008

篇10

關鍵詞：數學建模；課程；素質教育

中圖分類號：G64文獻標識碼：A

一、引言

數學方法在現代經濟學發展中起著越來越重要的作用，而數學模型是經濟學研究必需的工具，運用所學的數學知識通過建立模型來解決經濟問題是經濟類專業學生在參加工作后經常要做的工作。大學教育，對于大部分學生來說是他們走向工作崗位前最后的以學習為主的階段，也是他們各項單科知識得以融會貫通，綜合素質積淀最快、最關鍵的時期。因此，在經濟類專業學生的數學基礎課上，應該重視培養學生在這方面的能力。數學建模選修課的開設和數學建模競賽的開展，為培養學生的知識應用能力和創造性思維提供了良好的環境和機會。

數學建模是運用數學的語言和方法，去描述或模擬實際問題中的數量關系，并解決實際問題的一種強有力的數學手段。這門課程作為高等數學、線性代數、概率論與數理統計的后繼課程，學生已經初步掌握高等數學的相關基礎理論知識和思維方法，具備開設這門課的基礎。數學建模的一般步驟可概括為以下幾點：

1、建模準備。了解問題的實際背景，明確建模目的，收集掌握必要的數據資料。分析問題，弄清其對象的本質特征。

2、模型假設。根據實際問題的特征和建模的目的，對問題進行必要的簡化，提出若干符合客觀實際的假設。

3、建立模型。根據模型假設，利用適當的數學工具，建立各個量之間的定量或定性關系，采用盡量簡單的數學工具，建立數學模型。

4、模型求解。為了得到結果解決實際問題，要對模型進行求解，在難以得出解析解時，應當借助計算機求出數值解。

5、模型分析。對模型求解得到的結果進行數學上的分析，有時是根據問題的性質，分析各變量之間的依賴關系或穩定性態，有時則根據所得的結果給出數學上的預測，有時則是給出數學上的最優決策或控制。不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數據的穩定性或靈敏性分析等。

6、模型檢驗。分析所得結果的實際意義，用實際問題的數據和現象等來檢驗模型的真實性、合理性和適用性。模型只有在被檢驗、評價、確認基本符合要求后，才能被接受，否則需要修改模型。要得到一個符合現實的數學模型，一個真正適用的數學模型，其實是需要不斷改進、不斷完善的。

大學生數學建模競賽最早是1985年在美國出現的。1989年在幾位從事數學建模教育教師的組織和推動下，我國幾所大學的大學生開始參加美國的競賽。1994年起教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦全國大學生數學建模競賽，每年一屆，這項活動被教育部列為全國大學生四大競賽之一。20世紀八十年代以來，我國各高等院校相繼開設數學建模課程。數學建模課程是在高等數學、線性代數、概率與數理統計之后，為實現理論和實踐一體化、進一步提高運用數學知識和計算機技術解決實際問題，培養創新能力所開設的一門廣泛的公共基礎課。教育必須反映社會的實際需要，數學建模課程進入大學課堂，既順應時展的潮流，也符合教育改革的要求。

二、強化數學建模教學的意義

數學教育是基礎教育的提高階段，應著眼于未來，為培養高素質的人才打好基礎。數學建模課程的教學以掌握概念、強化應用、培養技能為教學重點，在教學環節中，充分注意引導學生通過對各種實際問題建立數學模型、求解及檢驗，掌握數學概念、方法的應用，逐步培養學生綜合應用所學知識解決實際問題的能力，并且結合教學內容特點培養學生獨立學習的習慣。充分重視習題課的安排和課外作業的選擇，使學生有足夠的復習和練習時間，及時、正確地獨立完成作業。根據數學建模教學的特點，不難看出，在對經濟類專業學生的數學教學中，滲透建模思想，開展建模活動，具有深遠意義。

1、培養學生的應用意識。數學具有極其廣泛的應用性。在我們的日常生活中，運用到數學知識的例子隨處可見。在社會生活的各個領域里，數學的概念，法則和結論更是被廣泛地應用著，很多看似與數學無關的問題都可以運用數學工具加以解決。數學模型是溝通實際問題與數學工具之間的橋梁，通過對學生進行數學建模教學，能夠促進理論與實踐相結合，并且逐漸培養學生的應用意識。

2、培養學生的能力。通過數學建模課程的教學與參加數學建模競賽的實踐，使我們深刻感受到數學建模過程，不僅是對大學生知識和方法的培養，更是對當代大學生各種能力的培養。

（1）抽象概括能力。應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是十分困難的一步。建立教學模型的過程，是把錯綜復雜的實際問題簡化，抽象、概括為合理的數學結構的過程。數學建模過程使學生對復雜的事物，有意識地區分主要因素與次要因素，本質與表面現象，從而抓住本質解決問題。它有利于提高學生思維的深刻性和抽象概括能力。

（2）自學能力。數學建模競賽是以3人一隊為單位參加的，要求大學生在3天內以論文形式完成所選題目。同時，在比賽的短短3天時間里，要查閱大量的資料，取其精華，從中尋找到所需要的資料，收集必要的信息，這也必須要求大學生掌握科學的方法。這種能力必將使大學生在未來的工作和科研中受益匪淺。

（3）洞察力和想象力。數學建模的模型假設過程就是根據對實際問題的觀察分析、類比、想象，用數理建模或系統辨識建模方法作假設，通過形象思維對問題進行簡單化、模型化，做出合乎邏輯的想象，形成實際問題數理化的設想。

（4）利用計算機解決問題的能力。我們倡導大學生盡量利用計算機程序或某些專用的數學應用軟件如Mathematica，Matlab，Lingo，Mapple等，以及當代高新科技成果，將數學、計算機有機地結合起來去解決實際問題。數學建模教學中結合實驗室上機實踐，計算機的應用不僅僅表現在數學建模中模型的簡化與求解，而且給大學生提供了一種評價模型的“試驗場所”，這就有助于培養大學生利用數學軟件和計算機解決實際問題的能力。

（5）創新能力。我們在教學中應給學生留有充分的余地，鼓勵學生開闊視野、大膽懷疑、勇于進取、勇于創新，讓學生充分發揮想象力，不拘泥于用一種方法解決問題，從而培養學生的創新能力。在數學建模競賽中，對給出的具體實際問題，一般不會有現成的模型，這就要求大學生在原有模型的基礎上進行大膽嘗試與創新。

（6）論文寫作和表達能力。數學建模成績的好壞、獲獎級別的高低與論文的撰寫有著密切的關系，數學建模的答卷，是評價的唯一依據。寫好論文的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。通過數學建模競賽，學生能夠學會如何更加準確地闡述自己的觀點、想法。

（7）合作交流能力，團隊合作精神。大學生數學建模競賽過程中，必須學會如何清楚地表達自己的思想，實現知識的交流與互補；必須學會如何傾聽別人的意見以發揮整體的作用；必須學會如何與別人合作，從不同的觀點中總結出最優的方案以謀求最大成功。

3、體現學生的主體性。數學建模發揮了學生的參與意識，體現了學生的主體性。教師的主導作用體現在創設好問題情境，激發學生自主地探索解決問題的途徑，而學生的主體作用體現在始終明確自身是競賽的主體。學生必須在全過程集中自己的思想系統去接受教師發出的教學信息，與原有知識體系融合、內化為新的體系。學生要對教師所給予的信息有批判性地、創造性地、發展性地能動反映，要在相互討論、相互啟發下尋求更多更好的解答方案。我們通過數學建模的教與學為學生創設一個學數學、用數學的環境，為學生提供自主學習、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會，數學建模教學與其他教學方式相比，具有更強的問題性、實踐性、參與性與開放性，教師與學生處于平等的地位，通過學生對學習的內容進行報告、答辯、討論等形式極大地調動了學生自覺學習的積極性。

三、強化數學建模教學的對策

1、激發學生的學習興趣。興趣是學習的動力，如何激發高校學生學習數學的興趣，如何把所學的數學知識真正地應用到經濟專業課中去，已經是高校數學教師探討的熱門話題。把數學建模的思想融入到平時的數學教學過程中可以激發學生學習數學的興趣。由于數學建模的研究對象通常是一些實際問題，所以數學建模教學為學生建立了一個由數學知識通向實際問題、專業知識的橋梁，是使學生的數學知識和應用能力共同提高的最佳結合方式。學生參與數學建模及競賽活動，能切身體會到學習數學的實用價值和數學對自己各方面能力的促進，這是傳統教學無法達到的效果，并且激發了學生學習數學的濃厚興趣。從這點上看，數學建模教學是符合現代教育學、心理學理論，順應時代潮流，有助于素質教育和創新教育的全面實施。

2、通過組建數學建模協會，推進數學建模教學。通過組建數學建模協會，組織一些基礎性的活動，開展一些講座，講授數學建模的基本原理、基本方法，內容以初等數學模型、微分方程模型、差分方程模型、優化模型為主，豐富和完善了數學教學的內容。并且通過數學建模協會舉辦基礎知識比賽，宣傳數學建模的意義，激發學生學習數學建模的興趣，提高學生的數學應用意識和參加數學建模的積極性。

3、不斷提高教師自身的水平。首先要求教師本身具有數學建模能力，否則無法組織學生的數學建模活動。因此，應該對數學教師進行數學建模培訓，幫助他們樹立數學建模的意識，掌握數學建模的知識、方法和教學形式，使他們能夠最大限度地利用學校資源開展數學建模活動。

四、結束語

綜上所述，對經濟類專業學生開設數學建模課程，對學生的發展有著非常重要的意義。通過組織數學建模活動和競賽，不僅能夠提高師生對數學的認識水平，而且能夠培養一批既具有創新意識、創新精神和實踐應用能力，又具有競爭意識和團隊意識、團結協作和拼搏精神的優秀大學生，從而促進學生綜合素質的全面發展。全國大學生數學建模競賽組委會李大潛院士曾經說過：“數學教育本質上就是一種素質教育，數學建模的教學及競賽是實施素質教育的有效途徑。”因此，我們對經濟類專業學生開設數學建模課程，將數學建模活動和數學教學有機地結合起來，就能夠在教學實踐中更好地體現和完成素質教育。

（作者單位：1.河北金融學院；2.保定供電公司）

主要參考文獻：

[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型[M].第三版.高等教育出版社，2004.