導語：如何才能寫好一篇數學建模的問題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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隨著科技的快速發展，社會對應用型人才的需求日趨增加，高校教育必須加強對學生創新能力和解決實踐問題能力的培養［1］。數學建模正是銜接創造性思維與實際應用的紐帶，通過數學建模課程學習及實踐訓練，學生不僅能了解數學的應用價值，也能鍛煉創新實踐能力。由于數學建模課程的內容涉及的領域多，案例式授課，實際應用性強，與所學的高等數學、工程數學課程不同，不能形成連貫的系統性知識點，學生很難接受這門課程的學習方式。為了讓學生更好地學習數學建模，教師要改進教學模式，根據教學規律的要求，探索數學建模教學方法，將有助于學生掌握數學建模技能，從而提高解決實際問題的能力［2—4］。

二、數學建模的認知

大學開設基礎數學課程能讓學生體會到數學的嚴密邏輯體系及高度抽象的思維方法，但對數學的實際應用介紹的甚少，很難將數學與工程技術、經濟管理、生物信息等其他領域聯系起來。數學建模是用數學語言來描述實際問題，將它變成一個數學問題，再利用現有的數學工具或發展新的數學工具來加以解決的整個過程。通過數學建模學習與實踐，學生在體驗建模過程的同時提高了思維能力和創造能力。數學建模課程的學習，可以重新認識數學的作用。課程重點就是介紹數學應用到實際領域中的方法，結合案例，應用初等數學、高等數學等數學知識來解決不同領域問題。在現實中許多現象及問題都可以用到數學來解釋，如，我們看到一個四條腿椅子經過簡單的移動就可以找到合適的位置放穩現象，用高等數學中的“零點存在定理”很容易解釋這個問題;若知道某珍稀動物各年齡段數量信息，來推測未來種群是否會滅絕，可以用線性代數中的“矩陣”預測未來動物數量分布。書報供應商訂購多少數量的商品才能得到最大收益呢?用概率中的“數學期望”建立報童賣報優化數學模型可解決這類問題。數學建模競賽實踐能更好地培養和提高學生應用數學知識分析問題、解決問題的能力。幾年來，數學建模競賽賽題背景知識廣泛，要想取得好成績，不僅要掌握扎實的數學基礎，較好的計算軟件使用方法，還需要較強的自學能力，廣泛涉獵諸如物理、生物、信息等知識。例如，2012年美國大學生數學建模競賽A題“樹與樹葉”，需要了解植物樹葉生長特點，涉及到生物學知識;2014年全國大學生數學建模賽題A題“嫦娥三號軟著陸軌道設計與控制策略”涉及到萬有引力定律知識。數學建模是以數學為基礎，綜合自然科學和社會科學的實踐活動。學生們可以通過多種途徑了解數學建模，如，與數學建模課程教師咨詢、與參加數學建模系列教學活動的同學交流，瀏覽數學建模網上的數學建模課程介紹及閱讀數學建模書籍等，以獲得更多的數學建模知識與信息。

三、數學建模學習過程

在學習過程中不僅要掌握數學建模的基本方法、數學建模思維模式，同時還要能以團隊形式自主完成一整套數學建模訓練題目，才能體會數學建模的真正內涵。目前，最行之有效的途徑就是參加一次數學建模競賽。可將數學建模過程分解為三個階段:數學建模課程學習，數學建模綜合培訓，數學建模競賽及課外科技活動。

1.數學建模課程學習

(1)掌握數學建模的基本方法。數學建模基本方法介紹是從案例分析開始，首先了解問題的背景、要解決的問題，分析用什么數學方法描述問題符合的規律，建立數學模型，并對模型求解，解釋結果合理性。可以緊跟教師思路，積極展開思考，比較自己的解題思路與教師所講有哪些不同，從簡單的初等數學建模方法入手，了解數學建模的全過程。例如，魚的重量估計問題，在沒有稱重的條件下如何根據魚的長度估計魚的重量呢?在合理的假設下，利用初等比例方法建立魚重量與長度數學模型，利用魚的長度能估計出魚的重量，經驗證結果是有效的。然后，要結合所學的數學知識逐步學習一些基本的建模方法，例如，微分方程建立傳染病模型可以預測流感流行趨勢問題;概率統計方法建立的報童模型可以預測出訂購多少報能獲得最佳受益。最后，要學會模仿案例建模過程完成作業，掌握建模的基本方法和技巧。數學建模過程不是解應用題，雖然沒有唯一途徑，但也有一定規律可循，在學習中要善于思考，慢慢形成建模思維方式，有助于建模能力的提高。

(2)養成良好的自學習慣。數學建模課時有限，許多數學建模方法及案例不能在課堂上介紹，在課余時間同學們可以選讀一些教材中的案例和在期刊公開發表的建模論文，細致研讀案例的建模思想，學會舉一反三，重點是學會分析問題，了解更多領域的數學建模的方法、新穎的建模思想，提高用數學方法解決問題的能力。還可以豐富建模信息量，提高建模能力。同時，還可看到同一問題，可以選用不同的數學方法、從不同角度加以解決，這也是數學建模的魅力所在。例如，鎖具裝箱問題，可以用排列組合方法，也可用圖論方法，都能給出減少鎖具互開的裝箱方案。

2.數學建模綜合培訓

(1)數學建模方法再學習和建模能力強化訓練。隨著數學建模解決問題多元化發展，基本的數學建模方法及計算能力遠遠滿足不了實際問題的需求。因此還應學習一些現代數學方法，如，圖論，模糊數學，多元統計分析等。學會熟練運用計算機軟件技能，如，數學軟件MATLAB，EXCEL數據處理，求解數學規劃軟件及統計軟件。

(2)閱讀建模論文。通過仔細閱讀刊登在雜志或數學建模網站上的數學建模論文，學習論文的整體層次結構，寫作技巧，對問題的分析、假設、模型建立和求解過程。尋找論文的優缺點，并比對論文作者對論文的評價。要善于總結所讀的論文中解決問題的適用類型，如，優化類，預測類等，對于不同問題采用什么方法更合適，以備后繼數學建模中使用。還可以提出自己的一些想法，改進別人做過的模型，或完成其中運算過程。數學建模是一項沒有標準答案的數學應用，模型的研究結果大致符合實際就好。

(3)數學建模模擬訓練。選作歷年數學建模競賽題目或實際問題中提煉出來的數學建模題目，學習查閱資料、分析問題、建立數學模型、使用軟件求解、論文寫作來模擬數學建模全過程。請教師對論文的摘要、結構、模型的準確性、論文語言表述、格式規范等方面提出建議，再經過多輪修改，直至滿意為止。

3.參加數學建模實踐活動

(1)數學建模競賽。參加數學建模競賽是培養綜合應用數學知識解決實際問題的最有效途徑之一，參加一次數學建模競賽才能體會數學的真正魅力。目前開展的數學建模競賽可以分為四個層面，一是美國大學生數學建模競賽(MCM/ICM)，是由美國數學及其應用聯合會(CO-MAP)主辦，并得到了SIAM，NSA，INFORMS等多個組織的贊助，是一項具有世界影響的國際級競賽，為現今各類數學建模競賽的鼻祖。二是全國大學生數學建模競賽(CUMCM)，是由教育部高等教育司、中國工業與應用數學學會聯合主辦，并得到了高等教育出版社、美國COMAP公司的支持與贊助，是一項全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。三是地區級、省級、專業類別賽事，如，東三省數學建模聯賽是由黑、吉、遼三省高校聯合發起的科技賽事;電工杯數學建模競賽是由中國電機工程學會電工數學專業委員會主辦的科技活動;數學中國數學建模國際賽(小美賽)是由數學學會與數學中國(www．madio．net)和第五維信息技術有限公司協辦的全國性數學建模活動。四是由校級開展的數學建模競賽活動。在競賽中，調整好心態、應用好文獻資源、積極思考、發揮每個隊員的長處、合理分工是取得成績的必要條件。

(2)數學建模實踐。要善于發現學習和生活中的諸多問題，要學會用數學的眼光看待問題，要用數學建模的方法來解決。例如，在課程設計、畢業設計中，在校園生活中，可能面臨著方方面面的問題。要學會觀察實際現象，提煉出要解決的問題。要真正做到學會發現問題、解決問題，這需要一定的練習過程，也是學好數學建模的必要環節，可以提升自身的綜合素質和創新能力。

四、數學建模提高學生的綜合能力

一次參賽，終身受益。數學建模最能激發人的潛能，數學建模思維方式會影響學生今后的學習和工作方法。數學建模教學內容及教學方法對培養學生的綜合能力尤為突出。主要體現在:

(1)培養學生的想象力、洞察力和創新能力。不論是數學建模課程學習還是實踐，都是針對實際問題，需要學生主動查閱文獻資料和學習新知識，主動探索，提出解決方案，這種學習方式促進了創新能力的形成，也培養了學生從事科研工作的初步能力;同時增強了運用數學知識和計算機技術解決實際問題的能力和團隊協作能力。

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關鍵詞 數學建模；慕課；自主學習；MATLAB；SPSS；

中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：B

文章編號：1671-489X（2016）20-0097-02

Abstract In this paper， the problems existing in the mathematical modeling course are expounded in medical college.Aiming at theseproblems， the method of solving the teaching quality of mathematicalmodeling course is put forward.

Key words mathematical modeling； MOOC； autonomous learning； MATLAB； SPSS

1 前言

目前，醫學院校學生普遍對高等數學課程重視程度不夠，很多高校也減少了高等數學課程的學時。但醫學生一旦走入社會，認識不到利用數學問題解決實際應用問題，在科研方面利用數學的方法進行各種統計分析，會影響自己的工作。數學建模就是通過計算得到的結果來解釋實際問題，并接受實際的檢驗，來建立數學模型的全過程[1]。對學生進行數學建模課程的培養，可以使學生了解利用數學理論和方法去分析和解決問題的全過程，提高他們分析問題和解決問題的能力；提高他們學習數學的興趣和應用數學的意識與能力，使他們在以后的工作中能經常性地想到用數學去解決問題，提高他們盡量利用計算機軟件及當代高新科技成果的意識，能將數學、計算機有機地結合起來去解決實際問題。因此，在醫學院校開展數學建模課程是十分必要的。

2 醫學院校開展數學建模課程存在的問題與重要性

自1993年國家開展第一屆大學生數學建模競賽，現在已經日益發展起來，受到更多的高校和學生的歡迎。通過數學建模競賽，學生對實際應用的數學問題通過建立模型的方法得以解決，以提高實際應用能力、創新能力和團隊協作能力。但由于醫學院校學生本身對數學課程學習較少，而且對計算機軟件也是最基礎的學習，因此，對醫學院校學生來說，數學建模競賽基礎比較薄弱。

學生重視程度不夠 醫學院校的學生，大部分是臨床、護理、藥學等醫學相關專業，他們對醫學專業課學習的熱情較高，認為這些才是以后工作學習相關的重要課程，而對于那些其他的基礎課程學習熱情不高，認為只要考試及格即可，在學習態度上不夠重視，導致對很多關于數學的基礎算法、建模需要的模型設計在腦海中完全沒有概念，因此一旦進行數學建模競賽，就相對顯示出其與一般綜合性大學學生素質的差距。

醫學高等數學內容教學淺顯 現階段數學建模課程并沒有相對應的教材，而且并沒有開設相應的課程，而所學的高等數學課程一般為32～60學時，只涉及一些基礎的數學知識，對于統計課程的開設也只是學習到醫學陽性分析、卡方檢驗之類的可以應用到醫學論文應用的內容。一個數學建模過程會涉及的全面的數學知識，如果沒有對數學內容理解透徹，就難以將數學建模做出來。醫學生數學功底難以應對復雜的數學建模過程。

自學能力有待提高 目前大學生的學習狀態從高中轉換到大學，很多學習習慣仍然沒有形成，仍舊延續高中時被動學習的習慣，沒有掌握主動學習的方法和習慣。而數學建模的過程是需要學生自主學習，數學建模沒有正確答案，只是考查學生誰的算法更好，更加準確地驗證實際問題。建模過程是多學科知識、技能和能力的高度綜合，因此，自學能力要求學生在數學建模中對未知的題目、陌生的領域自己去學習、去掌握。

檢索創新能力、團隊協作能力不夠 數學建模是以小組為單位，組建成團隊，團隊中的成員要發揮各自的特長，擅長對數學問題的解讀，擅長檢索文獻，擅長計算機軟件編程以及擅長對論文的演講解釋。醫學生初入大學，對文件檢索課程學習較少，而醫學院校基本上以醫學文獻檢索介紹為主，對于綜合性的數據庫介紹較少，因此，學生還無法準確掌握檢索的方法而找到合適的參考文獻。要想建立成功的模型，不僅要求團隊中的每一位成員都有一定的能力，更重要的是都要有協作精神，要相互配合、團結一心、共同努力，但目前學生都比較有個性，而且自我意識較強，相互配合及協作能力有待于進一步加強。

學校教學軟件和教學場地受限 很多高校對于數學建模并沒有專門的場地，基本上是臨競賽前借用計算機教室或是圖書館機房，無固定的教學場地或供學生平時學習探討的場所。由于場地不固定，一些建模必備的軟件并沒有安裝，如MATLAB、C++、LINGO及SPSS等，只在競賽前臨時學習培訓和安裝使用，因此，學生對各種軟件使用起來較為生疏，需要平時的積累和練習。

數學建模對學生信息素質培養的重要性 學習數學建模相關課程和相關軟件，對培養學生信息素養是十分必要的，而對于醫學生來說也尤為重要。很多醫學問題是由數學問題解決的，如目前常用的顯著性檢驗、回歸分析、方差分析、最大似然模型、決策樹及基于二維雷當變換創建CT成像理論等，因此，數學建模對培養醫學生的科研能力、處理實際應用能力、創新意識、團隊協作能力、文獻檢索能力等是十分必要的。21世紀的大學生必備的能力就是要具備一定的信息素養，因此，數學建模對培養學生信息素養也是十分必要的。

3 解決對策

吉林醫藥學院根據以往的建模情況，近幾年逐漸摸索出解決數學建模競賽薄弱，培養學生數學意識，加強學生數學素養的對策，并取得一些成效。

提高學生興趣，建立社團組織 首先，學校和團委組織學生社團，定期舉辦一些趣味數學的講座。組織學生建立數學建模社團，通過社團，建立趣味數學競賽，介紹數學和醫學的聯系和發展。讓參加過建模競賽的選手介紹成功的經驗，從學生的角度出發，讓學生對數學建模的興趣增加，利用社團學分制度、競賽獎勵等措施培養學生對數學建模的愛好。在團隊中采用新老隊員結合，從簡單的初等模型、計算機編程，通過簡單的圖書擺放方案、銀行存款方案、汽車剎車距離模型、劃艇比賽成績模型等問題，引導新生對數學建模有概念，繼而對數學建模有濃厚興趣。

建立數學建模選修課 鑒于學生對數學建模知識涉獵較淺，學校增加數學建模選修課程，多位教師小班授課，將SPSS、MATLAB、運籌學、圖論、微分方程、概率論與數理統計等內容結合。從數學模型引入、簡單生活實例入手，逐漸增加學習難度，循序漸進，通過上機指導、模擬練習、小組討論等多種授課方式，增加學生上機練習機會，以便在實際競賽過程中克服緊張情緒、增加熟練程度。目前，數學建模選修課已經得到學生的熱烈歡迎，選修人數每次都是爆滿，而且授課中聽課效果非常好。

聯合計算機軟件課程，多教研室輔助教學 在平時教學過程中，發現有許多學生對基礎的計算機軟件程序使用有困難。因此，聯合計算機教研室教師，在選修課中增加對計算機軟件的介紹，如C++等，這是專門的一門選修課。選修數學建模的學生可優先選修計算機課程，這種設置方式也便于學生自由選擇。對于計算機基礎薄弱的學生，在選修數學建模的同時也可以選修計算機基礎，而對于編程較好的學生則可以省略計算機的學習過程。在組建的數學建模社團中定期聘請計算機教師給學生進行講座，請流行病學的教授介紹疾病模型，增加學術氛圍，多部門聯合增強師生之間的交流。

建立慕課平臺，促進學生自主學習 目前的教學模式倡導自主學習，增強學生的信息素養，培養學生的應用能力。慕課教學也是比較完善的教學形式，利用碎片化的時間，利用點滴課余時間，學生可以學習到更多高校名師授課內容。吉林醫藥學院引進慕課教學平臺，借助慕課的教學方式，讓學生利用業余時間學習，并且對學習過程中無法掌握的內容可多次重復學習，掌握所學內容。

保證教學設備，從硬件設施上保證教學質量 吉林醫藥學院建立數學建模小機房，內設10臺電腦，可供3個建模小組同時上機操作。可以在平時讓學生練習建模設計、模擬競賽、小組討論，讓教師分組教學使用。而對于省賽和國賽，另設立專門機房，以便多人多組進行競賽。

4 結語

通過以上措施，吉林醫藥學院數學建模取得良好成績，每年均有小組獲取省或國家獎項，并且學生參與積極性較高。當然，對于數學建模這門新興的學科而言，仍然需要更多關注，如增加數學建模教材的編制，完善數學建模效果的評價體系，提高教師教學水平等。只有處理好各環節，才能提高學生的應用能力、實際操作能力及處理實際問題的能力，提高信息素養。

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【關鍵字】數學教學 新課程 數學建模 實際問題

隨著科學技術、經濟的飛速發展和計算機的廣泛應用，數學日益成為一種技術，其手段就是計算和數學建模。所謂數學建模，粗略地說就是“解決各種實際問題的一種數學的思考方法。”具體地說：“數學建模就是將某一領域或部門的某一實際問題，經過抽象、簡化、明確變量和參數，并依據某種‘規律’建立變量和參數間的一個明確的數學關系（即數學模型），然后求解該數學問題，并對此結果進行解釋和驗證，若通過，則可投入使用，否則將返回去，重新進行改進。

數學建模主要有以下三個步驟：實際問題數學模型；數學模型數學的解；數學的解實際問題的解。

新課程實施以后，高中階段已全面使用新教材。在新課程理念下編寫的新高中數學教材，與以往的教材相比更加注重學生學習的過程，強調學生去體驗知識的獲得過程，通過自己的實踐獲得第一手資料，要求學生了解數學知識的來龍去脈，經歷數學知識的發現、發生、發展的過程。特別強調讓學生去發現問題、分析問題、解決問題。但在日常教學中，由于自身條件限制和學生的原因，數學建模教學這一塊仍然存在一些問題。現結合自己的教學經歷談一點感受：

一、存在問題：

1、學校方面：作為高中，學校特別注重高考升學率，狠抓常規教學，平時很少搞數學建模活動。

2、教師方面：教師在大學都學過數學建模課程，但是對這部分內容還教的不是很得心應手，平時同事間缺乏專業知識交流，數學建模方面知識匱乏。

3、學生方面：

（1）缺乏解決實際問題的信心。

與純數學問題相比，數學實際問題的文字敘述更加語言化，更加貼近現實生活，題目也比較長，數量也比較多，數量關系顯得分散隱蔽。因此，面對一大堆非形式化的材料，許多學生常感到很茫然，不知如何下手，產生懼怕數學應用題的心理。

（2）對實際問題中一些名詞術語感到生疏。

由于數學應用題中往往有許多其他知識領域的名詞術語，而學生與外界接觸較少，對這些名詞術語感到很陌生，不知其意，從而就無法讀懂題，更無法正確理解題意，比如實際生活中的利率、利潤、打折、保險金、保險費、納稅率、折舊率、教育儲蓄等概念，學生對其意思都沒懂，涉及這些概念的實際問題就談不上如何去理解了，更談不上解決問題。

二、克服數學建模困難的對策

1、學校方面。

（1）加強對教師的繼續教育，邀請專家給予指導和講座。作為一線教師，具有一定的實踐經驗，但從理論上缺乏相關知識，可以開設相關的繼續教育課程，打開思路，交流心得，增進了解，以此提高自身的數學應用意識。

（2）邀請各行各業專家做學術報告。學校利用校本教研，為了增強數學應用意識，可以邀請各行各業的一些專家到學校做學術報告或講座，不僅是局限于請教育方面的專家。一般來說，他們的報告或講座涉及實際應用，能夠反映當今數學在科技前沿上的廣泛應用。通過聽報告和參加座談，教師會了解當今社會數學的發展動向，洞悉數學應用的廣泛領域和廣闊前景，會更深刻地體會數學的應用價值。

（3）開展數學建模活動，讓師生積極參與。

2、教師方面。

（1）教師還應與新教材結合起來研究，注意研究新教材各個章節要引入哪些模型問題。如儲蓄問題、貸款問題可以結合在數列的教學中。教師要經常滲透建模意識，這樣通過教師的潛移默化，學生可以從各類大量的建模問題中領悟到數學建模的廣泛應用，從而激發學生研究數學建模的興趣，提高他們應用數學知識進行建模的能力。

（2）在數學課堂上，要適時地結合實際，將數學建模思想引入課本知識。

新課程標準在教學建議中指出：“在數學教學中，應注重發展學生的應用意識：通過豐富的實例引入數學知識，引導學生應用數學知識解決實際問題，經歷探索、解決問題的過程，體會數學的應用價值。幫助學生認識到：數學與我有關，與實際生活有關，數學是有用的，我要用數學，我能用數學，我要學數學。”因此，教師要多創設教學情境，從現實生活中引入數學知識，使數學知識生活化。讓學生帶著生活問題進入課堂，使原本覺得十分枯燥的數學問題一下變得鮮活起來。

3、學生方面：

（1）培養學生的自信心。一個人的自信心是他能有效地進行學習的基礎，更是他將來能適應經濟時代必備的心理素質。教師在教學中如果注意聯系身邊的事物，讓學生體驗數學，并嘗到成功的樂趣，對激發學生的數學興趣，培養學生的數學應用意識以及解決實際問題的自信心是非常重要的。

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[關鍵詞] 微分方程 數學建模 經濟應用

微分方程是一門獨立的數學學科，有完整的數學體系，微分方程是數學聯系實際，并應用與實際的重要橋梁，是各個學科進行科學研究的強有力的工具。微分方程在物理學、經濟學和管理科學等實際問題中具有廣泛的應用，如果說“數學是一門理性思維的科學，是研究、了解和知曉現實世界的工具”，那么微分方程就是顯示數學的這種威力和價值的一種體現，現實世界中的許多實際問題都可以抽象為微分方程的問題，例如物體的冷卻、人口的增長、琴弦的震動、電磁波的傳播、人才的分配、價格的調整等，都可以歸結為微分方程的問題，從中我們可以感受到應用數學建模的理論和方法解決實際問題的魅力。

一、邏輯斯諦(Logistic)方程

邏輯斯諦(Logistic)方程是一種在許多領域中有著廣泛應用的數學模型，下面借助樹的增長來建立該模型。

一棵小樹剛栽下去的時候長的比較慢，漸漸地，小樹長高了而且長的越來越快，幾年不見，綠蔭底下已經可以乘涼了，但長到某一高度后，它的生長速度趨于穩定，然后再慢慢降下來。下面建立這種現象的數學模型。

如果假設樹的生長速度與它目前的高度成正比，則顯然不符合兩頭尤其是后期的生長情形，因為樹不可能越長越快；但如果假設樹的生長速度正比于最大高度與目前高度的差，則又明顯不符合中間一段的生長過程。折中一下，假設樹的生長速度既與目前的高度呈正比，又與最大高度與目前高度的差成正比。

數學建模:設小樹生長的最大高度為H(m)，在t(年)時的高度為x(t)，則有

其中k>0是比例常數，稱此方程為邏輯斯諦(Logistic)方程

解微分方程:分離變量得

兩邊積分 得

整理得

故邏輯斯諦(Logistic)方程的通解為 (其中的c是正常數)

通解函數的圖像成為Logistic曲線。另外這說明樹的增長有一個限制，因此也稱為限制性模式。邏輯斯諦(Logistic)方程除了應用于生物種群的繁殖外，還應用于信息的傳播、新技術的推廣、傳染病的擴散以及商品的銷售等等。

1.人口阻滯增長模型:1837年，荷蘭生物學家Verhulst提出一個人口模型

y(t0)=t0 其中k，b稱為生命系數。

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解為

某國家人口增長滿足邏輯斯諦(Logistic)方程，其中b=275（百萬），c=54，y的單位是年，根據這些數據可求出再過100年該國的人口數。

因為把以上數據代入得

即再過100年，該國的人口數為5千萬。

2.新產品的推廣模型:設有某種新產品要推向市場，t時刻的銷量為x(t)，由于產品性能良好，每個產品都是一個宣傳品，因此，t時刻產品銷量的增長率與x(t)成正比，同時，考慮到產品銷量存在一定的市場容量N，統計表明與尚未購買該產品的潛在顧客的數量N-x(t)也成正比,于是有

符合邏輯斯諦(Logistic)方程的模型，通解

當x(t*)

研究與調查表明:許多產品的銷售曲線與Logistic曲線十分接近，許多分析家認為，在新產品推出的初期，應采用小批量生產并加強廣告宣傳，而在產品用戶達到20%到80%期間，產品應大批量生產，在產品用戶超過80%時，應轉產。

二、國民收入與國民債務問題的模型

某地區在一個已知的時期內國民收入的增長率為，國民債務的增長率為國民收入的若t=0時，國民收入為5(億元)，國民債務為0.1(億元)，試求國民收入及國民債務與時間t的函數關系

設國民收入函數為y(t),由條件知

所以得國民收入函數因為t=0時，y=5 得 c=5

故國民收入函數

設國民債務函數D(t)，由已知

解此微分方程得

由t=0時，D=0.1得c=0.1

故國民債務函數為

三、價格調整問題

某商品在時刻t的售價為P，社會對該商品的需求量和供給量分別是P的函數Q(P），S(P），則在時刻t的價格P(t)對于時間t的變化率可以認為與該商品在同一時刻的超額需求量Q(P)―S(P)成正比，即有微分方程

在Q(P)和S(P)確定情況下，可以解出價格P(t)與時間t的函數關系，這就是商品的價格調整模型

某種商品的價格變化主要服從市場供求關系,一般情況下，商品供給量S是價格P的單調遞增函數，商品需求量Q是價格P的單調遞減函數,為簡單起見,該商品的供給函數與需求函數分別為

s(p)=a + bp, Q(p)=α―βp(1)

其中a，b，α，β均為常數，且b>0,β>0.

當供給量與需求量相等時，由式(1)可得供求平衡時的價格

并稱Pe為均衡價格。

一般情況下，當某種商品供不應求，即S

其中k

將(1)代入方程，可得 (2)

其中常數λ=(b+β)k>0,方程(2)的通解為

假設初始價格P(0)=P0，代入上式，得C=p0―Pe，于是上述價格的調整模型的解為

由于λ>0知，t+∞時，p(t)Pe。說明隨著時間不斷推延，實際價格p(t)將逐漸趨近均衡價格Pe

四、人才分配問題

每年大學生都要有一定比例的人員分配教育部們充實教育隊伍，其余人員將分配到國民經濟其他部門從事經濟和管理工作。設t年教師人數為x1(t），科學技術和管理人員人數為x2(t)，又設1個教員每年平均培養α個畢業生，每年從教育、科技和經濟管理崗位上退休、死亡或調出人員的比率為δ(0

（1）

（2）

方程(1)的通解為

若設x1(0)=x01，則于是，得到方程(1)的一個特解

將上式代入方程(2），得

方程(2)的通解為

若設x2(0)=x，則，從而得到上述方程的特解

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數學建模是培養學生運用數學知識解決實際問題的能力. 我國受國際上“問題解決”教學的影響, 也注意強調對學生的分析問題和解決問題的能力培養, 開始在教育中引進實際問題, 教育部 2003 年頒布的《普通高中數學課程標準》把數學建模納入其中, 這是我國中學數學應用與建模發展的里程碑, 同時標志著數學建模正式進入我國高中數學教學.

【關鍵詞】高中；數學；建模；問題；應用

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】1009-5071(2012)02-0230-01

在高中數學中，數學建模實際上就是如何去解決生活中的實際問題。根據本人的實際教學經驗，發覺學生很難掌握數學建模這一方法。學生存在的主要困難有以下三點：（1）望而怯步,棄城投降。數學實際問題的文字敘述比較長,數量比較多,關系比較隱蔽;因此,面對一大堆非形式化的材料,許多學生不知從何下手,產生懼怕心理,有的一看是篇幅較長的文字題讀也不讀就放棄了。（2）術語不熟,題意難懂。由于實際應用題中有許多其他知識領域的名詞術語,如利率、利潤、打折、保險金、納稅率和折舊率等。如果對這些名詞術語語不熟悉,那么,正確理解題意也就談不上了。（3）雜亂無章,無從下手。許多實際問題中,涉及到的數據多又雜,數量關系不明顯,而且數據具有生活實際的本來面目,雜亂無章,頭緒紛聚,很難找到解決問題的實破口。面對題目,無從下手。但實際問題的解決又非常重要，在高考試卷中一般都會出現。

下面來看幾個2007年各地高考試卷中出現的一些關于實際問題的題目。

例1、（浙江卷理4）要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個草坪都能噴灑到水.假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是半徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個數最少是

（A）3 （B）4

（C）5 （D）6

例2、（安徽卷理21）某國采用養老儲備金制度，公民在就業的第一年就交納養老儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，歷年所交納的儲備金數目a1, a2, … 是一個公差為 d 的等差數列. 與此同時，國家給予優惠的計息政府，不僅采用固定利率，而且計算復利. 這就是說，如果固定年利率為r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為 a1（1+r）n－1，第二年所交納的儲備金就變成 a2（1+r）n－2，……. 以Tn表示到第n年末所累計的儲備金總額.

（Ⅰ）寫出Tn與Tn－1（n≥2）的遞推關系式；

（Ⅱ）求證Tn=An+ Bn，其中{An}是一個等比數列，{Bn}是一個等差數列.

例3、（湖南卷理19）如圖4，某地為了開發旅游資源，欲修建一條連接風景點P和居民區O的公路，點P所在的山坡面與山腳所在水平面α所成的二面角為θ(0″

（Ⅰ）在AB上求一點D，使沿折線PDAD修建公路的總造價最小；

（Ⅱ）對于（I）中得到的點D，在DA上求一點E，使沿折線PDEO修建公路的總造價最小；

（Ⅲ）在AB上是否存在兩個不同的點D′、E′，使沿折線PD′E′O修建公路的總造價小于（II）中得到的最小總造價，證明你的結論.

可知用數學建模來解決實際問題的方法已越來越重要。如何來解決呢？一般可構建一些學生所熟悉的模型：如構建函數模型，構建數列模型，構建不等式模型，構建解析集合模型，構建立體幾何模型，構建排列組合模型等等。下面我們結合案例來講述數學建模的一般過程。在《數學課程標準》中我們可以看出建模重點在于過程, 我們要為學生創設一個學數學、用數學的環境, 為學生提供自主學習、自主探索、自主提出問題、自主解決問題的機會. 盡量為不同水平的學生提供展現他們創造力的舞臺, 發揮學生自己的特長和個性, 提高他們綜合利用自己所學知識解決問題的能力, 感受數學的使用價值. 充分發揮學生的創新意識, 同時培養學生團隊合作的精神,養成與人交流的習慣.

案例：

你正在為你父母的投資選擇充當顧問, 你的父母早就想改善住房條件, 5 年前在銀行開設 5 年期零存整取賬戶, 堅持每月在工資發放當天存入現金 1000 元, 從沒間斷,今年剛好到期. 最近, 你的父母看中一套價值 20 萬元的房子, 決定從銀行取出這筆存款, 不足部分再向銀行申請按揭貸款, 我們一起研究你的父母還需要向銀行貸多少款? 你父母向銀行申請為期10年的貸款13萬元, 結果只批準貸款 10 萬元, 請你解釋這是為什么.問題分析: 首先收集材料調查銀行住房存貸款類型、( 整存整取, 零存整取等) 年利率、利息計算形式( 單息, 復息) . 題中所要解決的問題:父母存款額, 需貸款額, 父母的償還能力.模型假設: 銀行存貸款利率不隨物價波動即為常數.模型建立與求解:

(1) 父母現在共有存款多少?還需貸款多少?

在上述簡化假設下, 父母五年存入 5×12×1000=60000( 元) , 每筆款子由于存期不同所得本利和不同, 按單利計算, 當年五年期零存整取的月利率為 8/1000, 每期為一個月, 1000 元每期的利息為 1000×8/1000=8( 元) , 設按本金存入順序本利和依次為 a1, a2, ...a60, 則:a1=1000+60×8, a2=1000+59×8, a3=1000+48×8, a60=1000+8, 故{ an} 為公差 d=- 8 的等差數列, 實際問題就轉化為求等差數列前 n 項和:S=n( a1+an) /2=60( 1000+60*8+1000+8) /2=74640( 元)

200000- 74640=125360( 元) .

父母現有存款 74640 元, 還需向銀行貸款約 13 萬元.

( 2) 銀行減少貸款數額, 考慮什么因素?(償還能力)

( 學生互相討論) 據統計, 全家四口人每人每月的生活費400 元, 每年全家穩定收入 3.7 萬元,

月償還能力=年凈收入/12=( 37000- 400×4×12) /12=1483.33,

父母申請按揭貸款 13 萬元, 每月應歸還貸款為:( 按歇貸款是每月等額歸還本息的一種貸款種類. 10 年期貸款的月利率為 4.65/1000, 按復利計, 從貸款日起, 每過一個月還貸款一次, 每次歸還的金額相同, 10 年即 120 個月后本息全部還清. 設每月還款額為 x, 每期還款后的金額為 ai(i=1,2,…120).貸款額p=13萬,利率r=4.65/1000.則:

a1=p(1+r)-x,

a2=a(11+r)-x=p(1+r)-x(1+r)-x,

ai=ai-(11+r)-x=p(1+r)i-x(1+r)i-1-…-x(1+r)-x,

a120=p(1+r)120-x(1+r)119-x(1+r)118-…x(1+r)-x.

由于第120月貸款還清,所以a120=0(這是極關鍵的一步).所以

x［1+(1+r)+…+(1+r)119］=p(1+r)120（轉化成數學問題),

則有x=p(1+r)120r(1+r)120-r.

把p=130000,r=4.65/1000代入得x=1415.99,

1483.33-1415.99=67.34.

銀行認為貸給13萬元風險較大,月償還1415.99/13×10=1089.22(元)較符合實際.

模型分析與推廣.

(1)銀行存貸款利息計算方法是不一樣的.但復利計算則存款與貸款的本利和就相等,對換銀行與父母的角色還錢就變成零存整取了.

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研究報告摘要

隨著素質教育的全面推進，“創新精神與實踐能力”的培養已成為素質教育的核心。問題解決能力就是“創新精神與實踐能力”在數學教育領域的具體體現，是一種重要的數學素質。本課題力圖通過教學實踐研究，尋找“問題解決”能力培養與課程教材知識體系學習之間的互補與平衡，形成穩定簡明的教學理論框架及其操作性較強的數學課堂教學模式，促進學生的數學意識、邏輯推理、信息交流、思維品質等數學素質的提高，為學生的自主學習、發展個性打下良好基礎。

（一）“問題解決”課堂教學模式的理論框架：

(1)在一定的問題情境背景下，學生可以利用必要的學習材料，借助教師和同伴的幫助，通過意義建構主動獲得知識。

(2)問題解決能力的培養為學生學習數學知識提供動力，而系統的數學知識體系為問題的解決提供保障。問題解決能力的培養與數學知識體系的建構兩者之間的互補與平衡有助于學生認知結構的完善。

(3)學生和教師是教學活動中能動的角色和要素，師生關系是互為主體、互相依存、互相配合的，師生雙方的主體性在教學過程中都應得到發展和發揮。

(4)學生主體作用主要體現在學生的學習活動過程中。

(5)教師的主體作用主要體現在對教學活動進行科學認識的過程中，教學過程中教師的主導是發揮主體作用的具體表現形式。

（二）“問題解決”課堂教學模式的功能目標：

學習發現問題的方法，開掘創造性思維潛力，培養主動參與、團結協作精神，增進師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運用數學基礎知識、基本技能和數學思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。

（三）數學問題解決能力培養目標：

1.會審題——能對問題情境進行分析和綜合。

2.會建模——能把實際問題數學化，建立數學模型。

3.會轉化——能對數學問題進行變換化歸。

4.會歸類——能靈活運用各種數學思想和數學方法進行一題多解或多題一解，并能進行總結和整理。

5.會反思——能對數學結果進行檢驗和評價。

6.會編題——能在學習新知識后，在模仿的基礎上編制練習題；能把數學知識與社會實際聯系起來，編制數學應用題。

（四）“問題解決”課堂教學模式的操作程序：

教學流程：

創設嘗試自主反饋

情境引導解決梳理

1.創設問題情境，激發學生探究興趣。

從生活情境入手，或者從數學基礎知識出發，把需要解決的問題有意識地、巧妙地寓于符合學生實際的基礎知識之中,把學生引入一種與問題有關的情境之中，激發學生的探究興趣和求知欲。

創設問題情境的主要方法：(1)通過語言描述，以講故事的形式引導學生進入問題情境；(2)利用錄音、錄象、電腦動畫等媒體創造形象直觀的問題情境；(3)學生排練小品，再現問題情境；(4)利用照片、圖片、實物或模型；(5)組織學生實地參觀。

2.嘗試引導，把數學活動作為教學的載體。

學生在嘗試進行問題解決的過程中，常常難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識間的聯系，難以判斷知識運用是否正確、方法選擇是否有效、問題的解是否準確等，這就需要教師進行啟發引導。

常用啟發引導方式：(1)重溫與問題有關的知識。(2)閱讀教材，學習新概念。(3)引導學生對問題進行聯想、猜測、類比、歸納、推理等。(4)組織學生開展小組討論和全班交流。

3.自主解決，把能力培養作為教學的長遠利益。

讓學生學會并形成問題解決的思維方法，需要讓學生反復經歷多次的“自主解決”過程，這就需要教師把數學思想方法的培養作為長期的任務，在課堂教學中加強這方面的培養意識。

常用方式：(1)對于比較簡單的問題，可以讓學生獨立完成，使學生體會到運用數學思想方法解決問題的快樂。(2)對于有一定難度的問題，應該讓學生有充足的時間獨立思考，再進行嘗試解決。(3)對于思維力度較大的問題，應在學生獨立思考、小組討論和全班交流的基礎上，通過合作共同解決。

4.練結，把知識梳理作為教學的基本要求。

根據學生的認知特點，合理選擇和設計例題與練習，培養主動梳理、運用知識的意識和數學語言表達能力，達到更好地掌握知識及其相互關系和數學思想方法的目的。

常用練習形式：(1)例題變式。(2)讓學生進行錯解剖析。(3)讓學生根據要求進行命題，相互考察。

總結是把數學知識與技能通過“同化”或“順應”的機能“平衡”認知結構的必要步驟。適時組織和指導學生歸納知識和技能的一般規律，有助于學生更好地學習、記憶和應用。

常用總結方式：(1)在概念學習后，以辨析、類比等方式進行小結。(2)對解題過程進行反思。(3)從數學知識、數學思想、學習的啟示三個層面進行課堂小結。(4)布置閱讀、練習和實踐等不同形式的課外數學活動。(5)讓學生撰寫考后感、學習心得、專題小論文。(6)指導學生開展研究性課題研究。

（五）數學問題解決能力培養的課堂教學評價標準：

1.教學目標的確定：

(1)知識目標的確定應重視數學基礎知識和基本技能；(2)能力目標的確定應強調數學思想方法的揭示和培養；(3)情感目標的確定應注意學習興趣的激發、良好人際關系的建立、科學態度和創新精神的培養等等。

2.教學方法的選擇：

采用探究式、啟發式教學方法，通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與數學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的指導下發現、分析和解決問題，掌握數學基本知識、基本技能和基本數學思想方法，培養積極探索和團結協作的科學精神。

3.問題的選擇：

合適的問題至少應有如下特點之一：

(1)重視情景應用，即給出一種實際情景和需求，以解決現實困難為標志。

(2)具有探究性，即問題不一定有解，答案不必唯一，條件可以變化，試驗方案可以自己設計，允許與別人討論等等。

(3)非形式化，即不是教材內容的簡單模仿，不是靠熟練操作就能完成的，需要較多的創造性。

4.師生雙主體意識的體現：

(1)在課堂教學活動過程中，學生主動參與學習意識強，能主動發現和分析問題，能聯系新舊知識，能在獨立思考的基礎上，與同伴開展交流、討論，能提出解決問題的各種方法，并努力進行驗證。

(2)在課堂教學活動過程中，教師能創造性地設計教學過程，洞察課堂中發生地各種問題，并準確地判斷發生問題的原因，能動地、有效地處理這種問題，把握教學活動地主動權。

5.教學策略的運用：

(1)主體發展策略——在課堂教學中，強調發揮學生學習的主動性，充分體現學生的主體作用。在課堂教學設計的過程中應充分發揮教師的主體作用，組織并落實多種形式的課堂實踐活動，使學生在活動的參與過程中，提高認識能力和增強情感體驗、情感控制能力，發展個性特長。

(2)動機激發策略——在課堂教學中，教師應該把學生吸引到有興趣的、有挑戰性的學習活動中，讓學生體驗成功所產生的愉悅和成就感，學會正確地對待挫折，從正、反兩方面來有效地激發學生的學習動機。

(3)層次設計策略——在課堂教學中，應該從“自主、合作、體驗、發展”等層次為學生提供概念、定理的實際背景，設計定理、公式的發現過程，讓學生體驗分析問題、解決問題的思考過程，領悟尋找真理、發現規律的方法和思想。

(4)探究創新策略——在課堂教學中，教師應該為學生提供動手實踐的機會和探究的時間，指導學生大膽質疑，鼓勵學生敢于發表不同意見和獨特見解。

（六）數學問題解決能力的評價標準與方法：

1.數學問題解決能力的評價標準:(1)能否把實際問題轉化為數學問題；(2)能否應用各種策略或思想方法去解決問題；(3)能否有效地解決問題；(4)能否證明和解釋結果；(5)能否概括和推廣解法。

2.數學問題解決能力的評價方法：(1)觀察學生解題過程的細節；(2)聆聽學生對解題方法的討論；(3)批改學生的作業、測驗和考試卷；(4)分析學生的學習體會或考試心得；(5)閱讀學生的數學小論文。

（七）研究的成效

1.青年教師的課堂教育思想和觀念從“灌輸型”向“啟發探究型”轉化。

2.學生的學習方式從“接受性學習”向“研究性學習”轉化。

3.師生關系從“從屬型”向“平等型”轉化。

篇7

1.小學數學課堂提問存在的問題

小學數學中的"提問"是課堂教學的重要組成部分，是使用頻率最高的教學方法之一。經過師生精心設計、恰到好處的課堂提問，能有效地激發學生學習興趣，燃起學生對知識的探究熱情，從而極大地提高課堂教學效率。但是目前小學數學教學中的"課堂提問"存在著一些普遍性的問題。

1.1 "課堂提問"只重"師問生答"，不容學生的質疑。有些老師課堂提問的主體仍然是教師，提問是老師的特權，感覺老師是高高在上的，不容侵犯的，老師的提問學生必須是無條件回答的。

1.2 課堂提問目的性、思維性不強，內容模糊不清，隨意性大。如，有一位老師教學人教版五年級下冊"統計--眾數"。教學時他先出示學生做操和舞蹈的圖片，問："六一兒童節舉行體操比賽，如果你是教練如何選隊員？"生1：我認為選學習成績好的，因為不影響訓練。生2：選比較漂亮的同學。生3：選男生一半、女生一半。生4：選熱愛班集體的同學……顯然，這一提問不明確，學生的回答沒有達到教師的提問意圖。如果改問："六一兒童節舉行體操比賽，為了使隊伍整齊、美觀，你認為隊員的身高有何要求？"這樣的提問既明確，又問在關鍵處，有助于引出眾數的意義以及在生活中的運用，做到了數學和生活的緊密聯系。

1.3 問題評價方式過于刻板，難以激發學生的興趣。課堂提問一貫采用"生答師評"的形式，很少出現多元的評價方式。這種形式的提問雖然能夠了解學生知識水平、彌補學生知識不足等功能。但這種提問一般被老師完全控制，教師留給學生思考答案的時間很少，經常擔心學生的回答脫離自己預設的軌道，很不放心地打斷學生的回答，或者草率地加入個人的評價，左右學生個人想法的表達，影響了學生的思維和情緒，難以激發學生的學習興趣。

1.4 總之數學課堂教學中嚴重存在低效提問、無效提問的現象，甚至出現不良提問和失誤提問。上述問題的存在，嚴重制約著課堂提問的有效性，使其低效甚至無效。為此我們很有必要構建小學數學"以問導學"教學模式，從宏觀上把握教學活動整體及各要素之間內部的關系和功能，圍繞數學的基本問題和數學教學的重大問題展開，注重學生思維與智慧的培養，使學生學得主動、學得活潑，學得有趣、學得有效。

2.構建小學數學"以問導學"課堂模式

"教學模式"，突出教學模式的有序性和可操作性。其教學流程可以如下進行：課前提問，建立關系--探究提問，解決問題--鞏固提問，強化應用――總結提問，增強記憶。現結合新人教版小學數學五年級下冊"因數和倍數"這節課，將該教學模式的加以闡述。

2.1 課前提問，建立關系。課前談話提問，建立新舊知識的關系，為新知學習作一些遷移鋪墊；揭示并扳書課題，讓學生明確本節課學習的主要內容。例如在本課教學的開始，教師提問：我們人與人之間存在著好多的關系，老師和你們是一種什么樣的關系呢？在我們的數學里，數與數之間也有著相互依存的關系，今天這節課讓我們就一起去研究、學習類似的一個問題--因數和倍數。通過有效的提問，讓學生明確有因數與倍數之間不是單獨存在的，而是有著相互的依存關系，這就將已掌握的知識和思維方法遷移到對新知識的學習中去作準備。

2.2 探究提問，解決問題。在這一環節的教學中應該重在"問"、"導"、"學"三個字。

2.2.1 問。教師出示課題讓學生看課題提出大問題，讓學生產生學習的需要，明確學習方向、目標、任務，培養學生的提問意識與能力。這里可以是學生獨立提出的問題，學生小組提出的問題，也可以是教師補充提出的問題。教師結合學生提出的問題進行有序的板書。

例如在板書課題后教師提問：看到這個課題，你們想提出什么問題？學生通過獨立思考提出了以下的問題：（1）什么是因數？什么是倍數？（2）因數和倍數有什么關系？（3）怎樣找一個數的因數？（4）怎樣找一個數的倍數？這些問題都是具有導向性的大問題，這些問題能讓學生明確學習的主要內容和任務，激發學生探究解決問題的興趣和欲望。

2.2.2 導。這是教學的關鍵。教師以問題的方式引導學生自學課本和探究解決自己提出的問題。這樣既能突出教學的重點，突破教學的難點，又能充分發揮教師在教學過程中啟發和引導的作用。

2.2.3 學。這是教學的核心。學生在"問題"的引領下分為三步進行學習活動：（1）看書自學，獨立思考解決提出的問題；（2）小組共學，共同探討個人未能獨立解決的問題；（3）匯報展示解決問題并欣賞、點評和質疑。通過以上三個環節的學習，學生認識因數和倍數，掌握找一個數的因數和倍數的方法，充分發揮學生學習的主體作用，培養和提高學生的語言表達能力、展示匯報能力及質疑釋疑的能力。教師作適時追問以加深學生對知識的認識和理解。這使學生的學習收到事半功倍的效果。

2.3 鞏固提問，強化應用。教師設計多種形式的練習問題讓學生解決并適當展示講評，鞏固新學的知識和方法，形成技能技巧，培養和提高學生分析和解決問題的能力及應用知識的意識與能力。

例如本節課設計的練習問題如下：（1）基本題。1）請你隨意寫出一個乘法算式，同桌之間互相說一說誰是誰的因數或誰是誰的倍數。2）在研究因數和倍數時要注意什么問題？這里的問題設計目的讓學生明白這里所講的因數和倍數都是指整數。（2）加深題。1）請同學們列出的三個數的因數，你們發現了什么？2）請同學們列出的三個數的倍數，你們又發現了什么？這里的問題設計目的讓學生掌握一個數的因數和倍數的特征。（3）拓展題。媽媽買來幾個西瓜，2個2個地數，正好數完，5個5個地數，也正好數完。這些西瓜最少有多少個？這里的問題設計目的加深學生對新學知識的理解和掌握，形成技能技巧，提高辨別能力和應用能力。

2.4 總結提問，增強記憶。教師以提問的方式引導學生總結本節課主要學習內容和收獲，提出疑難問題并予以解決，加深學生的認識，增強學生的印象，強化學生的記憶，共同分享學習活動和學習成功的快樂。

篇8

關鍵詞：問題意識    以問題為中心  問題情境    民主教學氛圍

        “以問題為中心”的高中數學教學模式被認為是新課程理念下高中數學最有效的教學模式之一。以問題為中心的高中數學教學是指數學課堂教學中以有價值的問題的提出、探究和解決為線索，全面展開數學教學活動的教學方法。以問題為中心的數學教學模式要求教師和學生都必須具有“問題意識”。所謂“問題意識”，是指人們在認識活動中，經常會遇到一些難以解決或疑惑的實際問題和理論問題，并產生一定的困惑、探索的心理狀態，并在這種心理的驅使下展開積極思維，探究問題，解決問題，進而提出新問題的心理品質。當一個學生自己提出了某個數學問題，并產生了解決這個數學問題的欲望，便形成了“數學問題意識”。數學問題產生蘊含著抽象的邏輯思維活動的展開，它使人的注意力具有明顯的指向性與選擇性，這對于數學知識的探究和意義建構具有很強的激勵作用。因此在高中數學新課程中實施以問題為中心的教學模式對于增強教學的有效性，解決新課程中教師普遍感覺數學知識容量大與課時少之間的矛盾具有重大的現實意義。 本文僅就以如何建構以問題為中心的數學教學模式作一個粗淺的探究，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

        一、怎樣建構“以問題為中心”的高中數學教學模式。

        1、什么是“以問題為中心”的高中數學教學。

        所謂數學問題，就是指在數學知識的學習中從思維層面產生的疑難和矛盾。數學問題一般可以歸納為三種類型，即關于“是什么”、“為什么”和“怎么做”等三類。關于“是什么”的問題一般屬于簡單問題，而關于“為什么”和“怎么做”則屬于復雜問題，也是最有價值的問題。例如，高中數學中“什么是等差數列？”就屬于簡單問題，而“為什么有反函數的函數不一定是單調函數？”就屬于復雜的有價值的數學問題。

        以問題為中心的高中數學教學就是要抓住數學知識學習的關鍵環節，抓住思維的疑難和矛盾，產生問題意識，提出問題，然后通過探究尋求一定的思維路徑，最終解決問題和提出新問題的教學模式。

        2、“以問題為中心”的高中數學教學模式的建構。

        第一，以解決“是什么”為基礎的“事實性知識”的學習啟動教學。

        以事實性知識為基礎啟動數學教學，就是指數學教學探究活動應該從引導學生學習和掌握數學基本概念開始，完成基本的知識儲備，解決“是什么”一類的問題，為新的問題的產生和解決作準備。例如，高中數學在教學《同角三角函數的基本關系》內容時，所要儲備的事實性知識就是“三角函數的定義”，也就是首先要讓學生明確什么是“sin”，“cos”…等，然后才能夠提出“這些關于的三角函數之間有何關系？”這類問題，進而將教學推進到第二個階段。

        第二，以“為什么”和“怎么做”兩類數學問題的提出和解決為中心，展開問題探究，建構數學問題領域所蘊含的“原理性知識”和“技能性知識”的建構學習教學。

        如前所述，在學生明確了什么是“sin”，“cos”…等事實性知識后，提出“這些函數之間有何關系？”。教師可以引導學生觀察：  

        之間有何關系？

        學生容易發現：   

        至此，教師可以提出：這個關系對你有何啟發?

        此時，一般的學生都能夠由特殊到一般地歸納出

        于是，“為什么成立？”

        以及“等式的成立有何條件要求？”等問題就自然產生了。

        當“為什么成立”這類問題提出來后，教師的任務就是與學生一起互動探究，共同建構關于等式為什么成立的一系列“原理性知識”和“技能性知識”。

        不難看出，以解決“為什么”和“怎么做”為目標，以原理性或技能性知識的建構為載體的第二流程是“以問題為中心”的數學教學模式的關鍵環節。在這個環節中，需要師生以“對話”方式共同“建構”和“生成”知識。教師不可以代替學生的思維，要充當學習的參與者，引導著，組織者和促進者。只有這樣，學生才能夠在問題的解決中建構知識的意義，發展心智和思維能夠。 

        第三，以數學問題解決策略的評價和反思促進學生思維升華的心智提升教學。

        當師生通過共同探究或學生獨立探究解決了“為什么”和“怎么做”這類問題之后，教學進入第三個環節，就是讓學生展示自己解決問題的策略。這樣就有可能呈現學生群體對于同一個問題的不同解題思路。在學生展示了自己的問題解決策略基礎上，教師可以激勵其他學生對這些解決策略進行評價，在評價的基礎上教師再給予激勵性的點評。需要指出的是，在數學問題解答策略的點評過程中，教師一句恰如其分的表揚，一個激勵的眼神，一個親切的微笑和一個積極的手勢都會對學生的深入學習和探究產生極大的鼓舞，給學生的發展增添無盡的動力。

        教學至此，學生的學生熱情一定會空前的高漲，學生的思維一定能夠得到升華，學生的心智必能得到提升，新問題的產生也就水到渠成了。

        通過以上分析，我們已經明確了“以問題為中心”的教學模式有三個流程，其中第一個流程是奠基程序，第二個流程是核心程序，第三個流程是升華程序。那么，“以問題為中心”的數學教學模式的實施需要注意那些問題呢？

        二、“以問題為中心”的高中數學教學模式的實施需要注意以下三個方面

        1、教師要善于創設問題情景，培養學生的問題意識。

        教學實踐中，教師可以通過下列途徑為學生創設問題情境，以培養學生的問題意識。     

       （1）聯系生活實際，創設問題情景

        例如，在《等比數列求和公式》的教學中，教師除了可以講傳統的“國際象棋”的故事外，還可以自己構建一個更接近學生生活實際的例子。例如，筆者曾經給學生這樣講：“同學們，現在我們來作一個游戲。假如從今天開始，我在一個月內每天給你10元錢，條件是，在這個月內，你必須第一天回扣我1分錢，第二天回扣我2分錢，第三天回扣我4分錢，…，即今后每一天回扣給我的錢數是前一天的2倍，有誰愿意嗎？”。這個有趣的例子一舉，學生頓時躍躍欲試，對問題產生了濃厚的探究興趣。

        當通過等比數列求和法將問題解決之后，學生才發現30天所回扣的“感覺很少”的錢實際上會超過1000萬元。至此，學生才茅塞頓開，并從中領略到了數學的奇妙。

        （2）利用認知沖突，創設問題情境。

        例如，在教學“線性規劃”內容，引入教學時，教師可以提出下面的問題讓學生解答：

        當教師指出這個答案是錯誤的，而準確的答案應該是最小值為13，最大值為17時，學生會很疑惑，便產生了認知沖突，教師便可以引入“線性規劃”的相關問題了。

        2、需要教師營造民主的教學氛圍，讓學生敢于提出數學問題。    

        無論是課內還是課外，要激發學生的數學問題意識，需要師生之間的平等對話，需要建立民主的教學氛圍。教師要善于鼓勵學生質疑問難。高中學生具有強烈的好奇心強，求知欲和表現欲。教師在教學活動中要充分保護學生的好奇心和尊重學生的求知欲。師生之間需要建立民主、平等、和諧的人際關系。教師要努力消除學生在數學學習中的緊張和焦慮心理，讓學生輕松、愉快的學習數學，消除對數學的神秘感，促進學生在寬松的環境中產生問題意識，進而自己提出問題。長此以往，學生將會從教師的思維中學會提出有價值的問題。

        3、教師要盡可能引導學生提出有價值的問題。

        高中學生的思維已經發展到理性階段，對于“是什么”的簡單問題憑知識的記憶和簡單的問答就能夠解決，因此不應該成為課堂教學的中心問題。例如，什么是指數函數？什么是橢圓？這類問題，雖然也很重要，但是這類問題的解決可以通過學生練習達成，不應該占用課堂中太多的教學時間。而象“如何推導橢圓的標準方程？”或者                             “方程在坐標系內對應的曲線是什么？”這類問題就可以成為課堂教學的中心問題加以探究解決。

        綜上所述，“以問題為中心”的數學教學模式的構建需經歷事實性知識的啟動教學、中心問題的提出和解決教學和思維升華的提升教學三個流程，同時要注意創設問題情境、營造民主的教學氛圍和提出有價值的問題等三個方面。筆者相信，隨著新課程改革的深入，廣大的高中數學教師一定能夠在實踐中逐步體會到“以問題為中心”的數學教學模式對于增強高中數學課堂教學的有效性是事半功倍的。

 

      參考文獻：

      ［1］、鐘啟泉，《基礎教育課程改革綱要（實行）》解讀，華師大出版社，2001年8月；

      ［2］、張仲文，《新課改，把權利還給學生》，教育導報，2009年12月5日；

篇9

一 學員學習的現狀分析

職業院校的學生一般入學比較寬泛，學生大多數數學基礎薄弱，有的連初中基礎都不具備。學生對高等數學的學習感到困難，甚至一部分同學感到聽不懂，出現了厭學棄學的情況。而這門課程是理工類學生十分重要的輔助基礎課程，對專業課的學習有著至關重要的作用，只有有了好的數學基礎，學習專業課才能更輕松順利。但用老師講學生聽的傳統教學模式已不能適應實際學情。學生已經厭倦了這樣枯燥無味的學習模式，加上本來基礎就差，就更使學生對這門課程感到恐懼厭煩，使高等數學課程成為了“攔路虎”課程。但對數學基礎好的同學，或基礎一般但樂學愿學的同學而言，數學課是他們感到快樂的課程。因為數學成績的領先使這些同學學習數學的興趣倍增，信心倍增。我想如果我們能夠改變原有的教學模式，讓課堂變得生動活潑，激發學生的學習興趣，使學生由厭學到愿學，那么對數學教學而言將是一種進步和突破。

二 導學模式嘗試

1.制訂課程方案

制訂課程方案主要是為了讓學生明確，該課程是什么性質的課程；教學目的和教學要求是什么；重點難點是什么；課程結構如何；教學中將采用什么樣的教學形式和環節；課時的安排等。教師可以在所教的班級為學生建立一個QQ群，每一次上課之前都把下一節的教學方案發到群里，讓同學們共享并可以隨時在群里一起討論，當然教師也要積極參與，給同學適當的提示和幫助，這樣就增強了學習的時效性，也是變相地幫助學生預習。因為很多學生沒有預習的好習慣，這樣聽課的效率自然就差。而現在網絡發達，學生們手機上網已是普遍現象，教師可以利用這種資源投其所好與時俱進，讓學生在網絡的世界里學習數學。這樣既滿足了學生的喜好，又達到了教學目標。

2.創建快樂課堂，靈活轉變教學手段

課堂講授是高等數學的主要授課方式，但只一味地講知識點學生會感到沉悶沒有樂趣，實踐證明調動學生積極性是上好一節數學課的重要手段。教師可以在課前甚至在講課中間穿插一些學生感興趣的話題，以聊天的方式對學生進行德育，“以德樹人”，不但學生感覺輕松，也可以拉近師生感情。如我在教學中就將課程盡量設計成能對學生的學習起促進作用、鼓動作用、引導作用的課型。在學生感覺到疲乏時，我有時會帶領大家做手指操并告訴大家多活動活動手指才能更聰明。學生聽后會一起大笑，幽默的語言、小小的活動使得學生很快從難懂厭學的情緒中走出來，變得活躍快樂。歡笑過后進行講解時，學生會帶著愉悅的心情聽課，效果會好很多。總之，要對學生多關愛、尊重、理解，好的感情基礎也是學生樂學的重要因素。

第一，分層教學。職業院校的學生學習程度落差很大，有高考500多分入學的，也有200多分入學的，還有從中專升學的。統一的教學進度顯然不適合這樣的學情。分層教學、因材施教是比較可行的教學方法。教師可以通過摸底考試、座談等方法了解學生的數學基礎，然后按照程度的不同將學生分成不同的學習小組。每個小組選出小組長對具體的小組學習情況進行管理和總結，教師及時和各小組長溝通交流，根據實際情況對方案進行調整，以達到最佳的學習效果。教學中可以采用歸納梳理法、各個擊破法、優幫差等多種教學方法。針對數學基礎較好的學生群體，采用歸納梳理法進行導學，效果顯而易見。教師只要從旁引導，以學生為教學主體，讓他們進行自主探索學習，相互討論、相互幫助。這樣既有利于學生開發智力，更有助于對知識的記憶和理解，一舉多得。各個擊破法可以用于數學基礎不扎實的學生群體。這些學生對高等數學基本知識的掌握和運用較差、基本概念比較模糊，在學習中的問題也比較多，做習題時不知從何下手。教師采用各個擊破的教學方法，本著學生學一個、教師講一個、學生會一個的原則，讓這樣基礎的同學從點點滴滴中逐漸增強數學的基礎，一點一點進步。另外，針對少數對數學充滿畏難情緒的學生，教師首先要從思想上多關心、多鼓勵他們，讓他們樹立起信心。教師可以讓基礎好的同學在平時多幫助基礎差的同學，制定小組定期檢查。要多些耐心，按部就班從最基礎的東西為他們補起。通過小組學習活動，引導他們逐步入門，為他們能起步學習奠定一個好的基礎。

第二，任務型導學。開放教育倡導以教師為主導、學生為主體，尊重學生個體差異。推行任務型導學模式就遵循了這一原則。在完全了解學生數學基礎的前提下，幫助和指導學生根據教學計劃制定自己的課程學習計劃和進度。在課程學習計劃中，教師要讓每個學生明確自己在各個時段所要完成的學習任務。當然，這種學習任務只是建議性的，而不是強制性的。學生明確了各自的學習任務后，教師必須要定期或不定期地督促、檢查學生各個時段的學習任務完成情況。輔導教師可以通過電話、交談、微信、E-mail等方式保持和學生的經常聯系。特別是可以通過對學生作業的及時批改和個別輔導來檢查、了解、幫助和指導學生的學習全過程。對學習困難大、任務完不成的學生，輔導教師應傾注更多的幫助和關愛。對學習基礎好的學生，輔導教師也可以鼓勵他們學習更多的東西。

三 教學體會

1.尊重每一個學生，創建幽默課堂

當今大學生自尊心和自我意識較強，教學中要尊重每一個學生。我想記住每一個學生的名字，是尊重他們的第一步。當他們表現得好時，教師可以隨口叫出他們的名字給予表揚和肯定，這會大大增加學生的自信心和學習興趣。當他們犯了錯時，教師可以適當地提醒，讓他們感受到教師對他們的關注。第二步是要了解他們的個性，關注每一個學生的學習動態，增進師生間的感情。第三步是創建幽默課堂，因為數學課是一門抽象難理解又很沉悶的課程，如果只用專業語言去講知識，學生感到乏味，所以教師要學會幽默，時常讓學生笑一笑，在笑聲中學習既輕松又快樂。實踐證明，教師語言的幽默活潑對教學來講十分重要，要主動營造一種幽默和諧的氛圍，讓學生處在輕松的課堂中去學習和探索，這樣才能增加學生的學習興趣和熱情。

2.堅持“少而精”的講解

葉圣陶曾說：“老師自始至終不要多講，而要努力引導，使學生自求得之”。精講，就是教師集中 講精華部分，講關鍵的內容，講重點、難點，講知識的結構體系。講規律性的東西，講本質的東西。教師要在規定的教學時間內做到語言簡練到位，不要把學生當小孩，其實他們都十分聰明，有著很強的適應能力和接受能力。學生一旦理解和掌握了這些知識，便可以舉一反三。同時，在課堂上要留給學生思考的時間，講到重點、難點處，有必要停頓和重復，讓學生有時間去思考和領會。若教師只顧把自己所知道的東西全盤托出、口不停講、手不停寫，學生便只能高度緊張地聽和寫，沒有自己去理解和消化的時間，也就談不上深入思維，對自學能力的培養有負面影響。特別在教學中，應重視學生在教學活動中的主體地位，根據教學對象的特點，適當調整進度，使學生從被動機械地學習轉為自主、靈活地學習，充分調動學生學習的積極性和自覺性。

3.注重復習和小結

高等數學課一周只有4～6個課時，學生學習有間斷性的特點，今天學的內容過兩天上課時可能就忘記了。所以復習小結是重要的教學環節，它可以加強學生對知識的理解和記憶。這是一個由認識、理解到消化、吸收的過程。歸納整理有兩種方法：一種是按照內容的內在聯系整理；一種是按照概念、理論、方法或重點問題進行歸納整理。教師可以讓學生對所學知識按照概念、理論進行整理，這樣可加深對知識的記憶，也可檢測學生的學習情況。

篇10

摘要：數學建模是一種利用數學思想解決實際問題的方法,通過抽象、簡化建立數學模型，能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學思想和教學手段。

關鍵詞：數學建模；建模思想；數學教學

數學建模把現實生活中的問題加以提煉、簡單，抽象成數學模型，并對該模型進行探究、歸納，利用所學數學知識、思想、方法驗證它的合理性、再用該模型來解釋或解決相應的數學問題的過程。

在數學教學（或解題過程）中引入數學建模思想,適當開展數學建模的活動,對學生的能力培養起著重要作用,也是數學教學改革推進素質教育的一個切入點。數學建模為我們提供了將數學與生活實際相聯系的機會，提供了理論聯系實際的平臺，數學建模的過程，就是將數學理論知識應用于實際問題的過程。

一、數學建模思想的提出

隨著素質教育不斷深入，數學建模理念不斷深化，提高數學建模教學勢在必行。數學建模能力的培養，既能使學生可以從熟悉的問題情境中引入數學問題，拉近數學與實際生活的聯系，激發學生學習數學的興趣，又能培養學生的數學應用意識。

二、數學教學中應用數學建模思想的實際意義

（1）激發學生學習數學的興趣

在教學過程中，設置問題情境，引導學生主動分析探究問題，鼓勵學生積極展開討論，培養學生主動探究實際問題的能力，能夠從具體的實際問題中抽象出數學問題，建立數學模型，達到應用數學知識解決實際問題的功效。

（2）培養學生的應用意識和創新意識

通過數學建模教學，既可以培養學生的數學應用意識、鞏固學生的數學方法，又可以培養學生的創新意識以及分析和解決實際問題的能力。

（3）數學建模教學改善了教和學的方式

數學建模使教學過程由以教為主轉變為以學為主，突出學生大膽提出各種突破常規，超越習慣的想法和質疑，充分肯定學生的正確的、獨特的見解，重視了學生的創新成果。

（4）重視課本知識的功能

數學建模應結合正常的教學內容逐步滲透，把培養學生的應用意識落實到平時的數學過程中，逐步提高學生的建模能力，達到“如何由思想轉化為具體步驟”，而不是單純地教步驟，教操作。

（5）加強數學建模思想在實際問題中的應用

要讓學生學會建模，就必須從一些學生比較熟悉的實際問題出發，讓他們有獲得成功的機會，享受成功的喜悅，從而培養學生發現問題，轉化問題的能力，逐步培養他們的建模能力。

三、數學建模思想應用的方式：

1、以教材為載體，重視基本方法和基本解題思想的滲透。

數學建模為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程，建模思想。

2、根據所學知識，引導學生將實際應用問題進行分類，建立數學模型，向學生滲透建模思想

為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節內容，引導學生將實際應用問題進行分類使學生掌握熟悉的數學模型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以通過類比尋找記憶中與題目相類似的數學模型，利用數學建模思想，建立數學模型。

3、突破傳統教學模式，實行開放式教學向學生滲透建模思想

傳統的課堂教學模式通常是教師提供素材，學生被動地參與學習與討論，學生真正碰到實際問題，往往仍感到無從下手。因此要培養學生建模能力，需要突破傳統教學模式。

四、數學建模能力的培養：

數學建模應結合平常的教學內容切入，把培養學生的應用意識落實到教學過程中，使學生真正掌握數學建模的方法，培養學生的數學建模能力。

1、以課本知識為基礎，培養數學建模能力

數學建模能力的培養是一個漸進的過程。因此，從七年級開始，應有意識地逐步滲透建模思想。課本每章開始都配有反映實際問題的插圖，抽象出各章主要的數學模型，一般也是由實際問題出發抽象出來的，反映了數學建模思想。

2、以課堂教學為平臺，培養數學建模能力

在課堂教學中想培養數學建模能力不是簡單把實際問題引入，而應根據所學數學知識與實際問題的聯系，在教學中適時地進行培養。

3、以生活性問題為基點，培養數學建模能力

大量與日常生活相聯系的數學問題，大都可以通過建立數學模型加以解決。只要結合數學課程內容，適時引導學生考慮生活中的數學，會加深對數學知識的理解和運用，恰當地將其融入課堂教學活動中，會增強數學應用的信心，獲得必要的應用技能。

4、以實踐活動為媒介，培養數學建模能力

在平時的教學中，應加強實際問題的教學，使學生從自身的生活背景中發現數學、創造數學、運用數學，培養建模應用能力。

5、以相關學科為鏈接，培養數學建模能力