導語：如何才能寫好一篇常見的建立數學模型的方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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一、數學建模的涵義

在把實際問題進行數學模型的創建時，實質就是把實際問題中所蘊含的數學知識提取出來，形成一個具有實際意義的數學模型，運用數學語言和數學公式對這個數學模型進行研究探索，進而達到解決實際問題的目的。教師在培養學生的數學建模意識時，就要提高學生分析數學問題的能力，通過把實際問題抽象簡化成為數學問題，利用學生已有的知識進行解決。數學建模從本質上說就是進行一系列的發現問題、提出問題、解決問題的過程，這個過程對學生的數學能力要求很高，學生必須具備敏銳的觀察力和分析力，能把實際問題與自己掌握的數學模型相聯系，然后進行提取，在數學世界中解決實際問題，最后把結果再帶入問題中進行驗證。

二、數學建模基本過程

（一）問題分析

數學模型就是現實世界中的問題同數學知識進行聯系的工具，最初在進行數學建模時，就是要把實際問題用數學語言和數學符號進行表述。在把現實問題轉化成數學模型時，學生要充分對這個問題進行了解，了解問題的成因和背景，把對解決問題能提供幫助的數據都收集起來，以更好地對問題進行抽象和概況。

（二）合理的簡化假設

在實際的生產和生活中，往往受到各方面因素的影響，要解決的問題是時刻變化的，在解決這種多變問題時，要把問題進行合理假設，通過假設把問題簡單化，然后運用數學模型進行解決。在進行假設時，要根據問題的背景進行合理假設，假設進行得合理，通過運用數學建模思想這個問題就能獲得解決；如果假設不合理或者假設沒有根據實際情況進行，那么可能利用數學建模求解出來的答案就不適合實際問題，這就是一個不成功的建模過程。所以，學生在進行建模思想的運用時，一定要根據事實進行假設，才能得出合理有效的解決問題的方法。

（三）建立模型

通過假設，把實際問題中的相關變量之間建立等量關系，從而建立數學問題。在建立模型時，學生要根據從實際問題中提取出的常量和變量建立合適的數學模型，使問題能獲得解決。在建立數學模型時我們要遵循以下原則：有簡單方法時一定要用簡單方法，能運用初等工具時一定要用初等工具，一定要使建立的模型最簡單，最易解決。

（四）求解數學模型

數學模型建立之后，接下來就是要對所建立的模型求解。在求解過程中，要使用適當的數學工具，使數學模型在簡單有效的方法下獲得解決。如果遇到的問題比較復雜，通過一般的數學工具解決不了，那么就可以在事實的基礎上對所建立的模型進行細微變化，使模型獲得解決。

（五）模型分析、檢驗、修改與推廣

所建數學模型求解出來之后，就要把求得的結果帶入實際問題中進行分析檢驗，以驗證所得的答案是否能滿足現實要求，并將不合理的結果進行修改。

案例：教師在對不等式進行講解時，先讓學生回憶在探究|x|=3的幾何意義時運用了數學中的數軸，之后提出|x|>3和|x|

教師通過數軸來引入不等式意義的探究，這也是把數軸這個數學模型引入了課堂。假設x是數軸上的一個數，那么當它在哪個范圍內取值時|x|>3，在哪個范圍內取值時|x|3和|x|

這個案例是運用學生學過的知識對新知識進行建模，通過建模讓學生能更清楚、更深刻地理解了不等式的幾何意義。可見數學建模思想的運用能促進學生學習數學知識，在不斷提高數學建模思想的過程中，學生的數學能力也在不斷提高。

數學建模除了可以讓學生能更好地接受新知識以外，還常用來解決生活中的實際問題。

三、高中常見數學應用模型

（一）函數模型

我們可以從生活中很多現象中抽象出函數模型，例如，如何控制才能使用水量達到最低？如何能使工廠的收入最高？如何使生產化肥的工廠用原材料最省等等。這些問題都能通過函數模型進行解決。

（二）數列模型

數學中的數列主要應用在從特殊到一般來進行研究的問題中，利用數列模型可以解決我們生活中的很多問題。例如，銀行利率的增長率是多少？我國每年人口出生率是多少？細胞分裂的速度是多少等等諸多問題。

（三）不等式模型

在最值問題的求解時常用到這個模型，通過從實際問題中概括出來數學式子，然后再運用解不等式的方法獲得最值。

（四）解析幾何模型

解析幾何模型在一些建筑中比較常見，例如拱形橋的修建中就設計到了解析幾何的模型。把拱形橋中涉及的數學問題分析、概括出來，就能運用數學語言解決拱形橋中的拱高和半徑等問題。

（五）排列、組合模型

排列組合模型的應用很廣泛，在很多現實問題中都可以運用到這個模型。

（六）概率模型

在高中數學學習中，學生需要了解概率模型。概率模型是從具有不確定事件中提取出來的數學模型，通過解決概率模型問題來解決實際問題中的幾率問題。

生活中存在數學模型的現象很多，學生在日常生活中要養成對事物進行深入分析的習慣，善于把實際問題的本質提取出來，把現實問題抽象成數學模型，從而獲得問題的解決。

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關鍵詞： 初中數學教學 模型思想 數學應用意識

1.引言

模型思想是體現數學應用價值的典型思想。新版《數學課程標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。”從數學教育的角度來看，建立模型的實質是幫助學生體會數學與外部世界的聯系，而發展學生模型思想的基本活動就是建立模型。

2.數學模型的內涵及數學建模的意義

“數學模型”這個概念，從廣義上看包括一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程，以及由此構成的算法系統等。“數學建模”則是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化，能近似解決實際問題的一種有力的手段。《標準》指出：“建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”

新課程理論提倡以“問題情境數學模型解釋、應用與拓展”的模式展開課堂活動，這是因為開展建模活動能促進學生理論與實踐相結合，培養學生應用數學的意識；有助于讓學生體驗數學與現實生活及其他學科的聯系，在解決實際問題的過程中，激發學生對數學的興趣，增進學生對數學的感情。

3.發展學生模型思想，培養數學應用意識

3.1學生的思維經歷從具體到抽象的過程，有助于發展學生的模型思想。

高度的概括性是數學的一個鮮明特點，模型正是高度概括的產物，但學生的認知發展和學習內容則是具體的。教學中教師不僅要重視每一個知識點的教學，還要定期、適時地對學生所學內容進行概括、歸納、升華。例如，在學習有理數之后，學生已經知道了有理數的定義、分類、表示方法等，此時，教師概括“任何一個有理數都可以用字母a表示”，就是一個由具體到抽象的過程。學生再次看到a，就會思考a是正數、零還是負數，a是整數還是分數。此時，學生的頭腦中就建立起有理數的模型。

培養學生數學應用能力的離不開應用題的訓練，在應用題訓練過程中，“原型模型應用”是數學知識呈現的方式，應用題充當其中的“原型”和“應用”的角色，它促使數學與現實“牽手”，幫助學生用數學的眼光、數學的方法、數學的思維認識客觀世界，嘗試解決所遇到的現實問題。在解決數學應用題的過程中，常見的建模方法有：對現實生活中普遍存在的等量關系或不等關系，建立方程模型或不等式模型；對現實生活中普遍存在的變量關系，建立函數模型；涉及對數據的收集、整理、分析，建立統計模型；涉及圖形的，建立幾何模型，等等。

3.2發揮問題情境的“建模”功能，引導學生從現象中抽象出數學問題。

在數學教學中，教師應當注重引導學生通過動手實踐、自主探究和合作交流等學習方式，開展有效的數學實踐活動。要給予學生充足的時間和空間，讓他們思考當前面臨的實際問題，而教師不能包辦代做，或者只是為了引入新課而設置一個問題情境。如，一些教師在講授新課之前，給學生展示了一個非常有趣的問題情境，正當學生興味盎然、躍躍欲試地要進行探索、發現的時候，教師卻戛然而止，迫不及待地將問題所需要用的數學模型向學生“和盤托出”，以便“順順利利”地引入新課。這種“直接告訴”的方法當然是不可取的。可以說，情境是一種引入新課的手段，它可以培養學生數學建模的能力，教師切不能忽視問題情境在“建模”方面的功能。

開展好建模教學，有助于提高學生知識應用能力和實踐能力。在數學教學過程中，教師不僅要讓學生掌握數學模型的概念及建模的方法，而且要培養學生把客觀事物的原型與抽象的數學模型聯系起來的能力。在建模過程中，學生所面臨的主要問題是如何從雜亂無章的現象中抽象出數學問題，并探究出問題的答案。為了有效培養學生構建數學模型的能力，教師可先從建立簡單模型入手進行訓練，在學生對有關數學知識充分理解的基礎上，訓練學生敏銳的洞察力，敏捷的想象力，以及頓悟能力，培養學生的抽象思維能力和創新意識。

3.3以建模為核心，培養學生將實際問題數學化的能力。

數學建模的關鍵是將實際問題轉化為數學問題，建模能力是學生各種能力的綜合運用，它涉及文字理解能力、對實際問題的熟練程度、對相關數學知識的掌握程度，以及觀察、分析、比較、抽象概括等各種科學思維方法的綜合運用。數學教學要以建模為核心，培養學生將實際問題數學化的能力。通過構建數學模型，解決實際問題，可以鞏固學生的基礎知識，訓練學生的運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，培養學生應用數學的意識。蘇科版《數學》九年級下冊“二次函數的應用”，就是用相關的數學問題建立數學模型，解決實際問題的典型例子。生活中很多問題都是通過建立數學模型，走由“形”到“數”的路徑，求出問題答案的。如，蘇科版《數學》九年級下冊有這樣一道題目：“一座拋物線形的拱橋架在一條河流上，這座拱橋下的水面離橋孔頂部3米時，水面寬6米。當水面上升1米時，水面寬多少？（精確到0.1米）”橋下水位的上升或下降這一自然現象對于學生來說并不陌生。在汛期，人們要根據水位上升的速度判斷橋下何時可以通航，何時需要停航，這是一個具有現實意義的問題。這就要求學生能將實際問題與數學問題建立起聯系，并探求出問題的答案，讓數學服務于生活。

4.結語

數學建模的目的是通過利用數學知識解決現實生活中的問題，提高學生解決問題的能力。在教學過程中，教師要引導學生反思、總結建模的過程是什么、數學模型有哪些、注意的問題是什么，進而強化學生應用數學的意識，發展學生的模型思想，培養學生的數學應用能力。

參考文獻：

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[關鍵詞]模型　模型方法 圖書館學情報學研究 圖書館學情報學方法論

[分類號]G250　G350

著名控制論創始人N?維納曾經指出：“科學知識是由一系列抽象模型(最可取的是形式模型，特殊場合是實體模型)所組成的”。模型是人類在認識世界實踐中的一大創造，模型方法是人們進行理論思維的一種重要手段。在各種科學研究活動中，幾乎處處都可以看到模型的作用，模型方法已成現代科學方法的核心。在圖書館學情報學領域，圖書館學情報學模型方法已經引起了研究者的高度重視，盡管它不是唯一的科學方法，但由于其具有簡單明了、形象生動、直觀等特點，已經成為現代圖書館學情報學科學研究的一種重要方法。

1 圖書館學情報學模型及其類型

1.1 圖書館學情報學模型

為了更好地認識圖書館學情報學的結構、功能、屬性、關系和過程，通過抽象化與理想化概括出來的思維描述、模仿、映象形式，叫做圖書館學情報學模型(以下簡稱“圖情模型”)。圖情模型是一種簡化描述，比客觀對象(圖書館學情報學)簡單，但又高于客觀對象。它抓住了客觀事物的主要特征及其運動規律的本質，省略了一些非本質的部分，是圖書館學情報學實體或現實系統的高度抽象或模仿，它由與研究主題相關的本質、特點的主要因素構成，并可以表示出這些因素之間的邏輯關系或定量關系，它既可以是定性的，也可以是定量的，通常表現為抽象的、數學的、理論的形態。

通過對這種科學模型的研究，推知圖書館學情報學的某種性質或者規律，這種研究方法就是圖情模型方法。

1.2 圖書館學情報學模型類型

從模型描述原型的方式角度上看，常見圖情模型主要有以下三種類型。

1.2.1 行為模型　根據所要研究系統的運動和功能，構造出其行為模型。例如，程序設計圖、檢索步驟以及圖書館文獻分編工作流程圖、情報分析步驟圖、決策過程圖；“看不見的學院”和“情報交換小組”等非正式過程情報傳遞模型；OhioLINK和CALIS等圖書館聯盟模型，等等。

1.2.2　結構模型 根據系統的結構建立起來的模型，主要包括以下模型：

框圖模型。用圖框表示組成因素或功能轉換，圖框之間用帶箭頭的線連接起來，表示模型的結果順序或功能轉換。如申農的通訊模型圖，米哈依洛夫的情報交流模型，嚴怡民教授的廣義情報交流模型，等等。

直觀示意圖模型。用線條簡單的圖表示系統因素或關系的模型，如表示知識、情報、信息邏輯關系的著名文氏圖、圖書館網絡拓撲圖、情報檢索系統檢全率、檢準率圖表模型等等。

網絡圖模型。這是按照數學圖論的方法用點線建立的模型，點表示組成因素，線表示點之間的關聯，比如以學科發展過程中出現的重要論文被引用狀況所作的網絡圖模型，通過引用相關分析可以得出不同專業之間關聯的結構網絡圖，美國情報學家H?D?懷特和B?C?格雷菲斯利用作者同被引關系所得出的“知識地圖”也是網絡圖模型。

典型的結構模型都是圖形模型，既可以表達很抽象的內容，也可以表示很直觀的內容，具有簡明易懂、一目了然的特點。一些用語言或者數學模型很難說得清楚的問題，一份圖形模型卻能很好地解決問題。

1.2.3 數學模型　數學模型是采用數學方法用各種數學符號、數值來描述圖書館學情報學的組成因素及其之間的數量關系。如英國情報學家B?C?布魯克斯提出的情報與知識關系的基本方程式K[S]＋I=K[S＋S]；布拉德福定律、洛特卡定律、齊夫定律、普賴斯曲線的數學表達式就是反應文獻情報流規律的數學模型，情報傳播的熱傳導模型，等等。數學模型按照表達的形式劃分，分為以下模型：

解析式和圖像模型。通過函數關系和圖像描述系統的基本性質，解析式和圖像本身就是一個系統的模型。比如，圖書館讀者閱覽量隨時間的變化曲線，洛特卡定律的數學表達式和圖像描述等等。

方程組模型。如果系統存在多個變量，并且這些變量互相制約使系統處于平衡狀態，可用方程組模型描述。比如，情報系統的微分方程組模型。

圖表模型。當系統內某特性發生變化，對應的狀態值也隨之變化，把這些變化值按照一定格式排列起來就成為圖表模型，比如情報檢索系統的檢全率、檢準率圖表模型。

數學模型準確、便于操作、易于計算，是最常用的一種模型。由于數學是最基礎的學科，一門學科沒有數學的參與就不能說其已建立了真正的學科，所以其他一切模型，如果能結合數學模型來表達，則表明它已抓住了研究對象最本質的變化規律，可以認為數學模型是最深刻的模型；并且隨著計算機技術的發展，可以幫助研究者處理復雜的模型、減輕計算負擔、驗證和補充模型，數學模型方法應用領域也會日趨擴大。

2 圖書館學情報學模型方法的功能

在圖書館學情報學科學研究中，人們廣泛應用模型來分析圖情系統、圖情活動中的各種關系、各種要素的普遍聯系，模型方法具有多方面的功能與作用。首先，圖情模型具有解釋功能。模型是對客觀對象本質特征的概括，簡單清楚，使用模型可以使人們觀察到各種現象之間的關系、各主要構成要素的功能及作用等，對系統的結構和特性能做出科學的解釋。如用簡單的框圖模型解釋科學情報交流系統，令人一目了然。其次，啟發功能。模型體現了圖書館學情報學的規律性，并使極其抽象、深奧的概念、假設、理論準確具體地表達出來，便于正確理解其科學意義。近年來圖書館個性化服務研究得如火如荼，文獻[5]依據信息服務技術構建一個信息資源集成化、網頁定制化、服務一體化的個性化圖書館服務系統模型，用戶利用該模型，可以組織、定制相關資源，組織收藏個人參考文獻信息，設定各種信息通告，直接進入與自己相關的個性化服務項目，這一認識過程就是通過模型啟發人們進行研究和探索。再者，指導實踐。模型是一種科學的簡化抽象，在模型的基礎上進行研究一般優于實際情況。這樣，就能以科學模型所提供的優化條件為追求目標，使人們找到了在實踐中怎樣改善客體及其環境，以爭取達到最佳或較佳效果的方向和途徑。比如情報分析中的SWOT理論模型，WT、WO、ST、SO對策就是發揮優勢因素、克服劣勢因素、利用機會因素、化解威脅因素，爭取最佳效果；利用布拉德福定律模型確定本館的核心情報源和核心讀者，指導館藏的維護與情報源的有效利用。最后，預見功能。模型方法可以分析、推斷、預見原型的未來趨勢，在理想的條件下揭示原型的性質、功能發揮程度或可能發生的情況，從而形成科學的預見。比如，建立圖書借閱量的灰色模型，對圖書借閱量進行

預測，在此基礎上結合現有書庫存量和灰色預測得到的預期借閱率，得出預期圖書的建議購買量。

3　圖情研究中建構模型的邏輯過程

建構模型一般分為以下步驟：①模型準備，了解并研究圖情活動的實際背景，明確建模的目的，掌握其數據、資料、特征等，有時還要求建模者做深入細致的調查研究。②模型假設，對問題進行必要的簡化，用精確的語言做出假設。不同的簡化和假設會得到不同的模型，假設做得不合理或過分簡單，將導致模型的失敗或部分失敗；假設作得過于詳細、考慮因素過多，使模型太復雜而無法進行下一步工作。所以，重要的是善于辨別問題主次，果斷地抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問題均勻化、線性化。③模型建立，根據所做假設用一定的模型描述出來，比如用適當的數學工具刻畫各變量之間的關系，建立相應的數學結構(公式表格、圖形)，這是建構模型最關鍵的一步，是一個質的飛躍過程。建立具體模型涉及許多技巧問題，構建者要根據研究的性質、目的建立簡明、合理的模型。④模型求解，包括解方程、圖解、邏輯推理、定理證明等。⑤模型分析，把模型置于與原型相似的外部條件下對模型求解的結果進行分析，比如數學模型要根據研究對象問題的性質，分析各變量之間的依賴關系或穩定狀態。⑥模型檢驗，將模型分析的結果“翻譯”到實際對象中，用實際現象、數據等檢驗模型的合理性和適用性與正確性。一個較成功的模型不僅能解釋已知的現象，還能預言一些未知的現象并被實踐所證明。如果檢驗結果與實際不符或部分不符，并且建模和求解過程無誤的話，問題出現在模型假設上，就應當修改或補充假設，重新建模。⑦預測與決策。

4 圖情研究中建構模型的方法論原則

模型建構是一門技術，也是一種藝術。圖書館學情報學的特性以及活動的多樣性決定了其建模方法的多樣性，主要的建模方法有以下5種：

4.1 提煉法

這種方法是在分析研究客觀事物和過程的基礎上，對圖情系統的各要素、經驗、資料進行歸納、提煉，用圖解或邏輯形式得出抽象模型，一般來說都是結構模型，基本上是一種靜態模型，這種模型常帶有經驗色彩。比如米哈依洛夫的情報交流模型，嚴怡民教授在《情報學概論》中提出的廣義情報交流模型等。

4.2　類推法

類推法是根據兩種事物的相似性，從某一事物的規律性來推測另一事物的規律或屬性，即將相關學科的特定模型引入圖情研究，所得的模型可以認為是模擬模型。比如情報學中常用的申農通訊系統模型、情報傳播的熱傳導模型、耗散結構理論模型、協同理論模型、突變理論模型等等。

4.3　數學方法

借助概率與統計學、離散數學、微分與微分方程、圖論、層次分析等方法建立數學模型，布拉德福、洛特卡、齊夫和普賴斯開創性地利用數學方法建立數學模型，采用數學方法建立數學模型有利于圖情研究走上更加成熟的階段。

4.4　灰色模型法

依據灰色系統理論建立模型，灰色系統理論是通過定性和定量相結合、利用動態關聯度和生成數的概念，用情報信息不全的離散數據建立情報信息完全、時間連續的動態模型，包含定性分析、因素分析、初步量化、動態量化、優化5個階段，建模的關鍵要處理好每個步驟的聯系，合理地進行生成處理和關聯度分析。灰色模型屬于數學模型，經常用于情報分析與預測，如文獻[8]、[9]運用灰色模型分別實現圖書館管理研究。

4.5　模糊模型法

模糊系統理論是在現代控制論基礎上發展起來的，運用模糊數學理論建立模型，情報研究中有時某些對象表現出模糊性，不能做出非此即彼的判斷，不能進行精確描述和測量。模糊數學利用模糊集合、論域和隸屬度的概念，采取模糊集合運算和模糊關系合成運算等方法建立數學模型，成功地解決模糊性問題；建模的關鍵是正確描述模糊關系。模糊模型也屬于數學模型，多用于情報研究與預測，是圖情量化研究的一種行之有效的方法。如文獻[10]模型。

5　模型方法在圖書館學、情報學中的應用

5.1　在基礎理論研究中的應用

一門學科的最高境界是構造科學理論，圖書館學情報學基礎理論研究通過建立模型反映檢驗理論或者科學事實，揭示本質屬性和相對關系，如果再繼之使用數學模型，就會畫龍點睛妙筆生花，給理論以量的規定性，大幅度提高理論的精確度。比如使用數學模型定義情報概念、文獻情報流基本定律，采用框圖建立圖書館中介性模型、情報系統模型、文獻存貯與檢索系統結構模型、科技文獻鏈結構模型等。模型作為理論探討的內容，對我們認識圖情規律很有價值，使得問題簡明，便于思考分析。

5.2　在信息資源管理中的應用

在信息資源管理中應用模型方法要定量描述圖書情報系統的主要因素和關系，建立恰當的數學模型。一般模型結構有兩種，一種是采用統計模型方法(如回歸法和方差分析法)，通常假定結構是線性模型，這是最常用的方法；另一種是根據基本原理推導出模型結構，比如資源分配模型反映圖書使用的莫爾斯模型、反映某主題文獻在期刊分布中的布拉德福定律模型、反映讀者到館率的泊松分布模型等。模型方法極大地改變了傳統的圖書情報管理技術，成為現代圖書情報信息資源管理的一種新理念，有利于圖書情報機構節約經費、提高圖書情報系統性能、使信息資源利用最大化。

5.3　在信息檢索中的應用

模型方法在信息檢索中應用比較早，也較為系統和成熟，出現了許多模型，比如傳統的布爾檢索模型，Salton的矢量檢索模型和擴展布爾檢索模型；S.K.M.Wong在詞與詞的相依性基礎上建立了廣義矢量模型；z.w.Ras利用格與布爾代數理論建立了代數模型；Cooper和Bookstein建立了情報檢索的集合論模型；一些專家還提出了概率檢索模型、邏輯模型、矩陣向量模型等；隨著網絡的發展專家們相繼提出了基于概念的情報檢索模型、案例檢索模型、分布式情報檢索系統的拓撲模型、神經網絡檢索模型等。可見，模型在理論和實踐上解釋檢索過程與檢索相關性，不同類型的模型代表著不同的情報檢索系統，反映著不同系統本質上的差別；模型有助于情報檢索理論的研究，情報檢索研究者也一直比較關注檢索模型的建構。

5.4　在文獻信息規律研究中的應用

文獻信息規律研究是完全建立在模型方法的基礎上，文獻計量學的發展、成熟就是數學模型方法應用的一個典型范例。文獻計量學方法包括布拉德福定律、洛特卡定律、齊夫定律、文獻指數增長定律、文獻老化定律，又被公認為圖書情報專門研究方法。建立模型是文獻計量學研究的重要手段，通過建立模型可以完成從紊亂的統計數據到文獻計量規律性認識的飛躍過程。任何研究工作，只有從定性描述發展到定量分析、定量評價和預測，才能成為一種真正成熟的科學，文獻計量學作為情報學的一個重要分支學科，其發展前途是

光明的，而在此數學模型方法的作用是十分巨大的。

5.5　在讀者服務和服務質量評價中的應用

在新的信息技術環境下，研究者積極探索讀者服務模型，比如建立以用戶為核心的虛擬參考咨詢自導式服務模型、基于用戶需求分析的個性信息推送服務模型、基于用戶定制的個性信息推送服務模型、基于信息資源整合的個性信息推送服務模型、個性化信息分類定制服務模型、個性化信息智能服務模型、個性化信息垂直門戶服務模型、個性化信息呼叫中心服務模型，在服務質量評價中建立以用戶滿意度、忠誠度為核心的SERVQUAL數學模型等，模型方法有利于探討數字圖書館服務和評價的有效模式，為構建可互操作的現實數字圖書館服務系統提供有益參考。

5.6　在情報研究與預測中的應用

在情報研究與預測中，情報研究者利用已知數據分析出規律，通過數學變換將多數的規律轉換成模型表達式，然后通過模型進行預測。常見的預測模型有回歸分析模型、交叉影響分析模型、趨勢外推模型、投入產出模型、時間序列模型等等。模型方法可以幫助情報研究人員開拓視野，驗證假設，把握問題本質；實際上在一些問題的預測上可能得出與假設或實際值不相吻合的結論，這將刺激研究的進一步深入，致力改進建模的每一個環節，重新建立不同的模型進行結果的比較，提高綜合分析判斷水平，最后獲得更有價值的成果。

此外，模型方法還廣泛應用于文獻采購、圖書館管理、用戶研究、學科動態研究、讀者滿意度研究、知識組織研究等方面，現在模型方法已經越來越多地在圖情研究中被采用，越來越多地應用到了圖書館活動、情報活動以及探尋它們運行機制的方方面面。

6 圖情模型方法應用的局限性與存在的問題

模型方法成為研究者經常采用的一種方法。據筆者對“中文科技期刊數據庫”調查，從1989－2007年通過模型方法研究圖書館學和情報學的論文共1342篇，而2002－2007年就占69％，說明模型方法的應用處于上升趨勢，并且研究發現圖情模型方法應用中存在著一些問題。

對于圖情模型來說，研究者提出了較多的定性描述模型，這無疑是對圖書館學情報學理論研究有很大幫助，但對定量描述的模型相對較少，這表明圖情建模的研究有待深入，在這一領域有待于新的突破。

定量描述的模型必須運用恰當的數學模型，有的理論研究論文提出的問題可能是實際的，但由于數學模型選擇得不當，在復雜的數學過程之后，結論仍然是數學的，沒有能夠把數學模型語言描述和產生的概念與規律還原為現實的、具體的內容。

圖書館學情報學里存在著許多經典的模型，但更多的模型提出以后不久就被人們遺忘，因此模型權威性問題必須引起研究者的高度關注。怎樣提高模型的權威性?根本的是要用實踐檢驗，也可以通過提高建模工作的質量來未雨綢繆，建模需要有充分的定性分析作基礎，要尋求研究對象的特點、規律和內在聯系；根據研究對象結構和性能所涉及的性質現象，如隨機現象、必然現象、模糊現象等，有針對性地選擇合適模型，并要講究建模策略；使用邏輯、實驗等方式來檢驗與修正模型；比較不同的模型，從中選擇比較理想的模型。模型方法表現出一種抽象思維的力量，研究者建模還需要學量的知識與依賴智慧的作用。

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關鍵詞：數學模型　應用　構造　創新能力

一、引子

隨著科學技術日新月異的發展，數學在各個領域的作用越來越重要。不管是不同于數學領域的其它自然科學領域，還是社會科學領域，都力圖通過建立數學模型來分析、處理實際問題，以期使問題得到解決。把應用還給數學，是近幾年來我國數學教育界在分析總結國內外數學教育的經驗教訓后所取得的共識，應用問題進入中學數學的課堂教學已成為事實。有資料統計表明，數學建模方法在全國通用九年義務制教材初中課本中出現的頻數最高，達108。由此可以看出，這一數學思想方法的重要性。因此，開展“數學建模”教學，加強數學與生活應用的結合，加強對學生創新意識、創新能力的培養已經擺在了每一位數學教育工作者面前。這不僅是數學學科發展的需要，也是素質教育的需要。

二、數學模型與數學模型方法

1．數學模型

所謂模型，是一種結構，這種結構是通過對原型的形式化或模擬與抽象得到的，是一種行為或過程的定量或定性的表示，通過它可以認識所代替的原型的性質和規律，模型的種類很多，可以是物質的，也可以是思想的。思想模型又可分為不同的類，如形象模型和符號模型，數學模型是一種符號模型。數學模型是現實原型的數學抽象化的產物，是“針對或參考某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述的一種數量結構。”對“數學建模”可以理解為“數學建模就是尋求建立數學模型的方法的過程。”

2．數學模型方法

所謂數學模型方法是通過建立數學模型來解決實際問題的一種方法。一般分三步進行：（1）對現實問題進行抽象分析，建立數學模型；（2）對建立的模型進行推理和演算，數學地求得模型的解；（3）把模型的解返回到現實問題中去，檢驗數學模型的符合程度或獲得現實問題的解。

三、數學模型方法的應用

運用數學模型方法思想，既可以通過建立數學模型解決實際問題，也可以通過構造等價數學模型（甚至現實原型）解決某些純數學問題。實際問題是復雜多變的，數學建模較多的是探索性和創造性，但是初中數學應用性問題常見的建模方法還是有規律可以歸納總結的。

1.建立幾何模型

諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算、作物栽培等傳統的應用問題，涉及一定圓形的性質，常需要建立相應的幾何模型，轉化成為幾何或三角函數問題求解。

例1：（臺風）某次臺風中心在O地，臺風中心以25千米/時的速度向西北方向移動，離臺風中心240千米的范圍內會受臺風影響，某A市在O地的正面方向320千米處，問A市是否會受此臺風的影響？若會，將持續幾個小時？

分析：這是綜合解直角三角形的問題，畫出示意圖：如圖1，先計算出AB的長，比較得：AB

例2：足球賽中，一球員帶球沿直線L逼近球門AB，在什么地方起腳射門最為有利。

分析：這是幾何定位問題，畫出示意圖，如圖2：根據常識，起腳射門的最佳位置P應該是直線L上對AB張角最大的點，此時進球的可能性最大，問題轉化為直線L上求點P，使∠APB最大，為此過A、B兩點作圓與直線L相切，切點P即為所求，當直線L垂直線段AB時，易知P點離球門越近，起腳射門越有利，可見“臨門一腳”的工夫現應包括選取起腳射門的最佳位置。

2.建立方程模型

例3：如左下圖，某小區規劃在長為40M，寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道，使其中兩條與AB平行，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積為144M，求甬道的寬度。

分析：如右上圖，作整體思考，設甬道的寬度為xM，則問題轉化為：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合題意舍去）

3.建立直角坐標系與函數模型

當變量的變化具有近似函數關系，或物體運動的軌跡具有某種規律時，可通過建立光平面直角坐標系，轉化為函數圖像討論。

例4：有一批1米長的合金鋼材，現要截成長為27cm和13cm兩種規格，用怎樣的方法截取使材料利用率最高？并求出材料最高利用率。

分析：作出直線　圖像，確定與直線最近的整數點（4，2），則4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率為98%。

例5：如右圖，某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型（曲線AOB）的薄殼屋頂，它的拱寬為4m，拱高CO為0.8m。施工前要先制造建筑模板，怎樣才能畫出模板的輪廓線呢？

分析：為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數的關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。

4.建立不等式模型

對現實生活中廣泛存在的不等量關系：如投資決策等可挖掘實際問題隱含的數量關系，轉化成不等式組的求解式，目標函數在閉區間的最佳問題。

例6：某機床廠生產中所需墊片可外購，也可以自己生產。如外購每個價格是1.10元，如自己生產，則每月的固定成本將增加800元，并且生產每個墊片的材料和勞力費用需0.60元，試決定該廠墊片外購或自產的決策轉折點。

分析：在固定成本增加800元不變的條件下，決定墊片外購還是自產的關鍵在于量的多少，設該廠每月需要墊片x個，則外購費用為1.1x元，自產費用為（800+0.6x）元，當外購費用大于自產費用時則自產，否則便外購，問題轉化為求不等式1.1x>800+0.6x的解，解得x>1600；當該廠墊片需要量在1600個以上時，自產較為合算；少于1600個時以外購為好，而恰為1600個時外購和自產一樣，都需花費1.1×1600=1760元。

總之，數學應用和建模能力也是一項專門的能力，它與學習、掌握純粹數學的能力有密切關系，但并不等價，應用的意義、技巧、方法、能力也需要一個培養鍛煉、提高的過程。數學建模的過程，要善于透過實際問題的現象，抓住數學問題的本質，尋求內在聯系，綜合運用數學知識。由于初中學生知識水平和認知能力的限制，數學建模能力的培養要適時滲透，反復訓練，及時歸納方能水到渠成。

四、數學建模能力的培養

數學模型方法在中學數學教學中是一種重要的思想方法，熟練掌握和運用這種方法，是培養學生運用數學分析問題、解決問題能力的關鍵。怎樣才能使學生更好地掌握這種方法呢？這要求逐步培養學生以下能力：

⑴　理解實際問題的能力；

⑵　洞察能力，即善于抓住系統要點的能力；

⑶　抽象分析問題的能力；

⑷　“翻譯”能力，即把經過一定抽象、簡化的實際問題用數學的語言符號表達出來，形成數學模型的能力和應用數學方法進行推演或計算得到的結果能用自然語言表達出來的能力；

⑸　運用數學知識的能力；

⑹　通過實際加以檢驗的能力。

參考文獻：

[1]錢佩玲邵光華，數學思想方法與中學數學，P94.北京師范大學出版社.

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關鍵詞：數學建模；概率模型；數學教育

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）51-0178-02

一、概率理論與數學建模

隨著數學教育的發展，通過數學建模的教學實踐，可以看到作為數學知識與數學應用橋梁的數學建模活動，對培養學生從實際中發現問題、歸結問題、建立數學模型、使用計算機和數學軟件解決實際問題的能力，起到了其他數學課程無法替代的作用；對于培養學生的獨立思考和表述數學問題和解法的能力，有其獨到之處.國際數學教育界對數學建模教學的共識和重視的程度也隨之提高，數學建模是指根據具體問題，在一定假設下找出解這個問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程.數學模型從影響實際問題的因素是確定性還是隨機性的角度上可以分為確定性的數學模型和隨機性的數學模型.如果影響建模的主要因素是確定的，并且其中的隨機因素可以忽略，或是隨機因素的影響可以簡單地表現為平均作用，那么所建立的模型應當是確定的數學模型；相反地，如果隨機因素對實際問題的影響是主要的，不能忽略，并且在建模過程中必須考慮到，此時，建立的模型應是隨機性數學模型.本文主要討論了簡單的隨機問題中的概率模型，通過舉例說明概率基本知識在數學建模中的應用.建立概率模型的過程主要有如下特點：

1.隨機性.隨機性體現在整個概率模型的建立中，由于隨機因素對實際問題的影響不能忽略，在建模初期的模型分析與模型假設中必須考慮到隨機性的影響，在模型建立環節也會用到分析隨機問題的思想.

2.基礎性.在概率模型中，用到的概率知識基本上是期望、方差、概率分布等基本知識，所以對這些基礎知識的全面掌握是建立概率模型的關鍵.

3.啟發性.在概率模型中，如何全面地考慮建模中的不確定因素具有探索性與啟發性，而且對這些隨機因素的考慮可以激發學生的學習興趣與創造能力.

4.可轉化性.有很多確定性模型在考慮了隨機性的影響后，都可以轉化成相應的隨機性模型.

二、概率基礎知識在數學建模中的應用

客觀世界中，事物的產生、發展變化往往具有隨機性，它的特點是條件不能完全確定結果.例如某地區的降雨量、某流水生產線上的次品數、某商場一天中顧客的流量，某射手在射擊中命中靶心的次數，等等.這就要求學生在分析和求解模型中運用隨機性的思想.在此情況下，概率知識在模型中的應用也就成為必然，而且概率知識的引入也能極大地豐富了數學建模活動中數學方法的使用.

從概率模型的特點可以看出，有很多確定性的模型，當考慮了其中隨機因素的影響之后，它們都可以轉化成概率模型來求解.例如，人口模型中的指數增長模型和阻滯模型，在給定了生育率、死亡率和初始人口等數據基礎上預測了未來人口，但事實上人口的出生與死亡是隨機的，當考慮到這一點時，我們所建立的應當是隨機人口模型；再如確定性存貯模型可以轉化為隨機存貯模型等.

為了更好地將概率知識應用到數學建模中，我們應當做到以下幾點：（1）熟練地掌握概率的基本知識；（2）全面地理解所研究的實際問題；（3）充分地考慮到實際問題中的隨機性影響，并在建立模型過程中體現出隨機性；（4）對所建立的模型能作出準確地檢驗.下面舉例說明.

案例1 機票預售問題.

航空公司采用超額預訂機票的對策來應付某些旅客可能不能按時乘機的情況，以增加航空公司的收入.但預訂機票數超出座位數太多，不僅影響航空公司的信譽，而且損失過多的付給旅客的補貼.因此存在一個適度超額預訂機票的問題.

我們首先通過分析、假設，來簡化、明確問題：設f表示某航班飛行一次的固定費用，包括燃料費和維護費、機組人員的工資和報酬，以及租用機場的設施等費用.以N記飛機的座位數，以g記每位旅客所付機票費.設一個已訂票的旅客按時到達機場的概率為p，設航空公司已訂出的機票數為m，在已訂機票的m人中有k人未能按時到達機場的概率為pk，則pk=C（1-p）kpm-k. （1）

下面計算一次飛行的利潤S.

（i）如果飛機滿座，且訂票數恰好等機的座位數，即m=N，那么S=Ng-f.

（ii）如果實際訂票數大機的座位數，即m>N，而且m人中有k人未按時到達，在不考慮補償已定票而未能乘上飛機的旅客的情況下，一次飛行的利潤為：S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f，若m-k>N

由于“m人中有k人未按時到達”是隨機事件，其概率可由（1）表示，于是一次飛行的平均利潤應該用S的數學期望表示，記作，因此我們有：

為了獲得最大利潤，從（2）式可看出：唯一的辦法是減小一切0≤j≤N時Pj+m-N之值，使它盡可能接近零.由二項式分布性質可知，當m增大時Pj+m-N減小，因此增大可增加利潤.

但是，增大m會導致過多預訂了票的旅客乘不上飛機的情況發生.因此航空公司對超額預訂機票應采取一定的補救措施，如支付給這些旅客一定的補貼以消除影響.

（iii）如果實際訂票數大機的座位數，即m>N，而m人中有k人未按時到達，在考慮給每一位已訂票而未能乘上飛機的旅客補償費b的情況下，航班飛行的利潤公式應改為S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f-（m-k-N）b，若m-k>N

于是一次飛行的平均利潤即S的期望利潤為

由上式可以看到期望利潤與g、b、f、N、m、p諸因子有關.如果固定其他因子不變，僅考慮求m使得S達到最大，這就是航空公司希望解決的問題.

上面所舉的例子是概率模型中常見的素材，其中概率的思想和方法都體現在了建模過程中，因此概率知識在數學建模中的應用極大地豐富了建模方法，推動了數學建模的發展.

在教育向素質教育全面發展的過程中，要求學生不但要掌握知識，同時還要學會應用知識，數學建模毫無疑問是應用知識的一種很好的方式.所以在教學過程中應當注重知識的應用性，以促進學生的全面發展.

參考文獻：

[1]袁震東，等.數學建模[M].第3版.上海：華東師范大學出版社，1997.

[2]袁震東，等.數學建模方法[M].上海：華東師范大學出版社，2003.

[3]李大潛，等.中國大學生數學建模競賽[M].北京：高等教育出版社，1998.

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[關鍵詞]數學；市場營銷；應用

[中圖分類號] G71 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2017）09-0119-01

數學來源于生活，又服務于生活。在我們的大千世界中蘊含著大量的數學信息，數學無處不在無時不有，人們離不開數學，因而數學在現實世界中有著非常廣泛的應用，數學與我們的生活存在著密切的聯系。市場營銷學作為一門應用性學科，已成為社會的重要部分，越來越受到社會的重視，在生活中有著重要的作用，自然市場營銷與數學已經緊密地結合在一起。數學是市場營銷的基礎，促進市場營銷更好地發展，市場營銷也應用著數學，兩者相互作用，相互促進。

一、應用簡單的數學知識解決營銷問題

市場營銷是指一個企業為適應和滿足消費者需求，從產品開發、定價、宣傳推廣，到將產品從生產者送達消費者，再將消費者的意見反饋回企業的一系列企業活動。企業在這一系列活動中直接應用數學知識解決營銷問題的比較多。如在市場調研中收集到的第一手資料的分析整理與處理，產品價格的制定，廣告費用的預算，市場占有率、銷售利潤額、利潤率、投資收益率的計算，企業總成本的預算等。除了最簡單的數學計算之外，還可以利用計算機進行科學計算和數據處理，更主要的是將數學抽象思維和邏輯推理能力應用于市場營銷中，分析評價企業的營銷環境、市場競爭狀況、市場需求情況等，便于企業制定恰當的營銷策略，指導企業創造競爭優勢，力求在競爭中立于不敗之地。

如市場調查是市場營銷中非常重要的部分，而市場調查與數學是緊密結合的，兩者息息相關。

隨機抽樣調查案例：

某地區百貨商店為10000戶，其中大型、中型與小型百貨商店分別為1000戶、2000戶、7000戶，當抽樣數為200戶時，若用分層比例抽樣法應從各層中各抽多少樣本？

按照分層比例抽樣公式，各層的樣本數分別為：

大型百貨商店：N大=1000/10000*200=20（戶）

中型百貨商店：N中=2000/10000*200=40（戶）

小型百貨商店：N小=7000/10000*200=140（戶）

二、數學建模在營銷中的廣泛應用

數學模型對經濟領域中企業營銷價值的提升越來越明顯。運用現代數學方法研究營銷問題，不僅豐富了營銷學的分析工具，推動了營銷學的發展，而且使研究者對營銷問題的解釋能力和對市場的預測能力都得到了極大提高。

在市場營銷中建立數學模型，進行列表調查，繪制圖表進行統計，運用數學公式進行復雜的計算等都非常常見。在市場營銷中市場調查與預測是非常重要的一環，而市場調查與預測都和數學關系密切，其經常用到隨機抽樣、列表對比、畫圖分析、建立數學模型，這些都運用到數學這一有利的工具，使營銷者擁有豐富的信息，更好地去預測，做出最正確的決策。

下面結合營銷實例證實常用的經濟數學模型的實際應用價值。

（1）時間序列分析法的主要模型

時間序列分析就是要把過去的銷售序列Y分解成趨勢（T）、周期（C）、季節（S）和不確定因素（E）等部分，通過對未來這幾個因素的綜合考慮，進行銷售預測。這些因素可構成線性模型，即Y=T+C+S+E；

也可構成乘數模型，即Y=T*C*S*E；

還可以是混合模型，如Y=T*（C+S+E）。

（2）線性回歸模型

對線性回歸模型的構建及預測，確定兩個變量之間是線性相關，就可以進行線性回歸分析。線性回歸分析的方法是在相關點之間找到一條直線，以這條直線表明兩個變量之間的數量變動關系。

設線性回歸模型為：YC = A + BX。其中，YC 表示Y 的估計值，X、Y 表示經濟變量。模型的關鍵問題是如何根據以往資料確定系數A、B ，一般采用最小平方法，即先計算Y = A + BX 的總和，然后計算ΣXY 的總和，由此計算出A、B 的值，即A = ΣY/ N， B = ΣXY/ X2。

建立好數學模型以后，就可以進行市場數據的預測，將相關的經濟數值如銷售額、銷售量、生產總值代入回歸預測模型，就能得到此后相關經濟指標的預測值。

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關鍵詞：系統建模；系統辨識；參數估計；參數模型；非參數模型

中圖分類號：TP391文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2008)16-21286-03

System Modeling Based on the System Identification

XIANG Xiao-yan1, JIANG Xiao-hui2

(1. College of Physical Science and Information Engineering, Jishou University. Jishou 416000, China; 2.College of Mathematics and Computer Science, Jishou University, Jishou 416000, China)

Abstract: In analysing and designing of the control system,the most important is modeling. Mathematical models usually has three categories. The first model building method is according to the mechanism in control process. The second is based on the input and output data of controlling process to model the structure and parameters. The third one is between modeling methods above.Them usually called white box, black-box and grey box model. The methods of system identification are briefly intruduced. And significant types of mathematical model are manly investigated.

Key words: system modeling; system identification; parameter estimation; the model parameters; non-parametric model

1 仿真及建模

一般對控制系統進行設計和分析研究，也就是根據被控對象的特性進行控制器的設計，以獲得滿足性能指標要求的最優控制系統。分析和研究控制系統的主要目的之一是獲得控制器的最佳整定參數。但是在實際生產過程中，大部分的被控對象是比較復雜的，并且要考慮安全性、經濟性，以及進行實驗研究的可能性等，這在現場實驗中往往不易做到，甚至根本不允許這樣做。例如，在研究導彈飛行、宇航、反應堆控制系統時，不經模擬仿真實驗，將對人類的生命和健康帶來很大的危險。這時，就需要對實際系統構建物理模型進行研究，然后把對模型實驗研究的結果應用到實際中去，這種方法就叫模擬仿真研究，簡稱仿真。因此，仿真就是用模型（物理模型或數學模型）代替實際系統進行實驗和研究。它所遵循的基本原則是相似原理，即幾何相似、環境相似和性能相似。依據這個原理，仿真可分為物理仿真、數學仿真和混合仿真。其中物理仿真需要制作物理模型，必須進行大量的設備制造、安裝、調試工作，并且實驗數據處理也不方便。數學仿真比物理模型方便簡單很多，只要有一臺數學仿真設備就可以對不同的控制系統進行仿真實驗和研究。

數學仿真的主要工具是計算機，因此一般也稱為計算機仿真。其一般過程為：①根據仿真目的確定仿真方案；②建立系統的數學模型；③建立仿真模型；④編寫仿真程序；⑤進行仿真實驗；⑥仿真結果分析。通常，將實際系統抽象為數學模型，稱為一次模型化，涉及系統辨識技術問題，又稱為建模問題。將數學模型轉化為可以在計算機上運行的仿真模型，稱為二次模型化，涉及到仿真編程、運行、修改等技術，稱為系統仿真技術。

數學模型主要有三類，黑箱、白箱和灰箱。相應地，建立數學模型的方法有三類。根據過程內在機理、物料和能量衡算等物理和化學規律建立的模型是白箱模型；用過程輸入輸出數據確定過程模型結構和參數的方法建立的模型是黑箱；介于兩者之間的各種建模方法建立的模型是灰箱模型。

2 數學模型

在生產過程中，最常用的建模方法是將過程看做一個黑箱，根據過程的輸入輸出數據，通過系統辨識的方法建立數學模型。系統辨識方法有非參數模型辨識和參數模型辨識方法兩大類。

2.1 非參數模型

利用直接記錄或分析系統的輸入和輸出信號的方法估計系統的非參數模型。所謂非參數模型是指系統的數學模型中非顯式地包含可估參數。例如，系統的傳遞函數、頻率響應、脈沖響應、階躍響應等都是非參數模型。非參數模型通常以響應曲線或離散值形式表示。非參數模型的辨識可通過直接記錄系統輸出對輸入的響應過程來進行；也可通過分析輸入與輸出的自相關和互相關函數，或它們的自功率譜和互功率譜函數來間接地估計。非參數模型是經典控制理論中常用的描述線性系統的數學模型。傳遞函數反映輸入與輸出的拉普拉斯變換在復數域上的響應關系，頻率響應反映它們的傅里葉變換在頻率域上的響應關系，而脈沖響應和階躍響應則是在時域上的響應關系。它們從不同的方面反映系統的動態特性。非參數模型比參數化模型直觀，辨識非參數模型的方法和計算也比辨識參數化模型的簡單。脈沖響應可以用直接記錄輸入脈沖函數的輸出響應的方法來辨識；頻率響應也可以直接利用單頻正弦輸入信號的響應來辨識。但是這種直接辨識方法只能應用于無隨機噪聲的確定性系統。對于有隨機噪聲的系統或隨機輸入信號，必須使用相關分析法或功率譜分析方法。隨著快速傅里葉變換儀、偽隨機信號發生器和相關儀的問世，辨識系統的非參數模型已變得比較容易。但非參數模型應用于實時控制和適應性控制仍不如參數化模型方便。非參數模型在某些情形下，可以轉化為參數模型。例如，如果一個系統的傳遞函數可以表示為有理分式H(s)=K/(a+s)，則系統的模型可以用常微分方程y'+ay=ku表示，a與k為待估計的模型參數，這是參數化模型。又如，對于離散系統的權函數序列（離散脈沖響應序列）{hi,i=0,1,…}，如果在i充分大（如i>N0），而│hi│充分小時,則模型可以表示為■并可用最小二乘法給出有窮權函數序列{hi，i=0,1,…N0}的估計。一般說來,由參數模型容易獲得非參數的脈沖響應或頻率響應，但由非參數模型化為參數模型則要困難得多。

從過程的數學模型對階躍信號的響應來分析，可將過程的數學模型分為四大類。

2.1.1 自衡非振蕩過程

這是工業生產過程中最常見的類型。圖1(a)是這類過程的輸出響應曲線。常用下列傳遞函數描述這類過程的數學模型。

■

其中，τ是過程的時滯，K是過程的增益，T是時間常數。

圖1 非參數模型過程特性

2.1.2 無自衡非振蕩過程

這類過程通常具有積分特性，輸出向單方向增加或減少，直到輸出達到極限值。圖1(b)是這類過程的輸出響應曲線。常用下列傳遞函數描述這類過程的數學模型：

■

2.1.3 自衡振蕩過程

這類過程在生產控制中不多見，輸出為衰減振蕩，最終達到新的穩態。圖1(c)是這類過程的輸出響應曲線。常用下列傳遞函數描述這類過程的數學模型：

■

2.1.4 具有反特性的過程

這類過程輸出先降（或升）后升（或降），最終根據過程師傅自衡特性，能達到或不能達到新的穩態。一般含有積分特性的過程是不能自衡的。圖1(d)是這類過程的輸出響應曲線。常用下列傳遞函數描述這類過程的數學模型：

■

2.2 參數模型

現代控制理論中常用參數模型對過程進行描述，參數模型是指用有限參數描述的過程模型。常用的參數模型有AR模型、ARX模型、ARMAX模型、BJ模型和輸出誤差模型等，常用狀態方程、差分方程或微分方程描述這類參數模型。

2.2.1 自回歸模型（AR模型：Auto-Regresive Model）

當過程輸出僅與它過去的值有關時，可采用自回歸模型。AR模型形式為：

A(q)y(k)=e(k)

其中■

q是延時因子，即q-1y(k)=y(k-1) a1,a2,…,ana 是模型參數，e(k)是白噪聲過程。

2.2.2擴展自回歸模型（ARX模型：Extended Auto-Regressive Model）

又稱受控自回歸模型，是擴展控制變量后的自回歸模型。ARX模型的形式為：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+e(t)

其中

■

nk為控制時滯

2.2.3 擴展自回歸滑動平均模型（ARMAX模型：Extended Auto-Regressive,Moving Average Model）

這是應用最廣的一類參數模型。ARMAX模型的形式為：

A(q)y(t)=B(q)u(t-nk)+C(q)e(t)

與ARX模型比較，增加了對滑動噪聲信號平均值的項。AR模型、ARX模型都是ARMAX模型的特例。

BJ模型（Box-Jenkins Model）

BJ模型的形式為：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

其中，D(q)和F(q)也是q的多項式，階次分別為nd和nf。

2.2.5 輸出誤差模型(Output Error Model)

輸出誤差模型是BJ模型的一個特例，它的形式為：

y(t)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+e(t)

一般輸入輸出模型

一般輸入輸出模型通常是ARMAX模型的特例，可以用通用的模型形式來表示：

A(q)y(k)=[B(q)/F(q)]u(t-nk)+[C(q)/D(q)]e(t)

參考文獻：

[1] P. Eykhoff, Systems Identification, Wiley, London,1974. 潘科炎、張永光，等譯. 系統辨識：狀態與系統參數估計[M]. 北京：科學出版社，1980.

[2] 控制系統分析、設計和應用――MATLAB語言的應用[M]. 北京：化學工業出版社，2003.

[3] 李國勇，謝克明.控制系統數字仿真與CAD[M]. 北京：電子工業出版社，2005.

篇8

《數學課程標準》明確指出："要發展學生的應用意識，讓學生認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，數學在現實生活中有著廣泛的應用。"因此，在數學教學中，教師要將教學內容和現實生活緊密聯系起來，引導學生將所學的數學知識運用于生活實踐，使學生體驗到數學學習不但有趣，而且有用。

1.以生活實踐為主線，科學設計教學過程

1.1 引用現實生活中的例子創設教學情境，提高學生的學習興趣。在日常生活中，數學的應用隨處可見。因此，教師要積極地從學生的現實生活中收集信息，教學中把與數學相關的問題抽象出來，使學生感受到數學就在自己身邊，對數學學習產生親近感。例如，在教學"角的初步認識"和"三角形、圓、長方形、正方形、平行四邊形的認識"時，教師可以給學生展示日常生活中常見的物件，如課本、橡皮、課桌、文具盒、紅領巾等，再利用多媒體課件從中抽象出角、圓、長方形、三角形、正方形、平行四邊形等幾何圖形，讓他們感受到學習的幾何圖形就藏在自己的身邊，從而激發學生的學習興趣和學習熱情。

1.2 強調數學學習的實踐性，淡化抽象性。在課堂教學過程中，教師若過于注重讓學生用規范的數學專業術語復述思考過程，進行算理分析，而不將所學內容與學生的實際生活相聯系，只會將學生帶進死胡同，使他們感到數學學習是無聊的、枯燥的，進而產生厭學情緒。例如，在教學"兩數相差多少的應用題"這節課時，有這樣一道題："一個養殖場飼養了白豬23只，黑豬11只，白豬比黑豬多幾只？"學生回答：23-11=12（只）。在解答這道題的過程中，一些教師要求學生說出算式中23、11、12各表示的意思，程式化地讓學生這樣敘述：23表示23只白豬，11表示白豬有與黑豬同樣多的11只；白豬的23是由兩部分組成的，一部分是和黑豬同樣多的11只，另一部分是比黑豬多的12只；從23只白豬中去掉與黑豬同樣多的11只，剩下的就是比黑豬多的12只……在這樣程序化的、生硬的語言分析中理解題意，使學生失去了靈活的解題能力；在這種空洞的、無味的文字復述中，學生只會越學越糊涂，越學越沒興趣。在現實的生活實踐中，學生對這道題最直接的理解就是"白豬多，黑豬少，從23只白豬里去掉11只，得出的結果就是白豬比黑豬多12只"。這樣的表述方式更符合小學生的思維方式，因此學生更容易接受，而且體會到學習數學是一件非常輕松有趣的事情。這就要求教師在課堂教學中要從學生已有的生活經驗和知識背景出發，提供符合學生思維方式和感興趣的學習素材，使他們有更多的機會從自己熟悉的身邊事物中學習和認識數學，體驗到數學與生活的緊密聯系，了解數學的應用價值，體會到學習數學的樂趣。

2.小學數學教學方法生活化

在教學過程中，教學目標與教學內容的完成，都依賴于教師所選擇的教學方法，如何選擇合適的教學方法，體現生活化的意圖是我們設計教學流程要著力思考的，在操作實踐中，我們所理解的教學方法生活化主要是從創設情境、數學建模、實踐操練等三方面進行的。

2.1 建構數學模型，進行"數學地思考"。義務教育階段的數學課程指出，"要強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學的理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進一步的發展"。為此，教學研究了如何使孩子們親身體驗一個問題解決的探索過程，學會從自己熟悉的現實原型中抽象出形式化數學表達式（即數學模型），再將它應用到新的實際問題的解決中去。

首先，研究了如何建立數學模型。數學模型的建立是個生活問題數學化的過程，是解決生活問題的有效形式。在建立模型的過程中，學生能體會到從實際情景中發展數學，獲得再創造數學的絕好機會，在建立模型，形成新的數學知識的過程中，學生能更加體會到數學與大自然和社會的密切聯系。在數學模型的構建過程中隱含了由"實際問題"到"數學模型"的抽象過程，而這種抽象并不是通常意義下的"簡單化"和"理想化"，它主要是一個應用語言、符號重新進行表征的過程，即"數學化"。這個過程的基本模式就可表征為：生活問題DD數學模型。

其次，研究了數學模型的應用。數學模型的應用是個數學問題生活化的過程，數學模型的建立并不是學習的終極，還應讓學生學會模型在現實中的應用。實質上是對抽象化了的數學模型，即符號形式的數學表達式重新進行"意義賦予"的過程，從而就使抽象的數學概念與主體的已有生活經驗或知識聯系起來，成為"十分直觀明了"的東西。

篇9

關鍵詞： 初中數學應用題 特點 模型 “建模能力”

新的數學課程標準關注學生全面、持續、和諧地發展，強調培養學生的應用意識。數學應用題是中學階段體現數學應用性非常典型的內容，是學生了解數學應用的一個窗口，是目前檢測學生應用意識和能力的一個重要方面。通過應用題，可以培養學生用數學的眼光和從數學的角度去思考、解決問題，使學生深刻地感受到數學與現實世界的密切聯系，而應用題的解決可以提高學生分析問題和解決問題的能力。筆者結合新課程數學教學的經驗，對新課程背景下初中數學應用題教學提出一定的對策建議。

一、科學總結出新課程背景下初中應用題呈現的特點

初中數學新教材是新課程改革的一項重要成果，同時新教材中應用題教學內容的變化也在一定程度上代表了初中數學新課程改革的方向。結合新教材中應用例題，筆者總結出新課程中應用題呈現以下幾個方面的特點：

1.應用題編題范圍的廣泛化

原教材中應用題的取材相對比較單一，主要涉及行程、工程、材料、零件、銷售、生產、度量、比賽等背景的問題，內容陳舊，范圍過窄，離學生的現實生活較遠。新教材中應用題的問題背景就相當豐富了，涉及建筑、自然、材料設計、人口、經濟、環保、交通、雕塑、數學史、城市規劃、生態、健康、工程技術、軍事、城市規劃等各個方面，且日常生活中的鬧鐘、撲克牌，家里鋪的地磚，周圍的高樓大廈、花園、電梯、登山纜車，老井上的轆轤，微觀世界的粒子運動，浩瀚宇宙中的行星運轉都可成為應用題的背景。

2.應用題取材的生活社會化

新教材中應用題的取材不僅考慮數學自身的特點，更遵循了學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，向學生提供了貼近他們的生活、真實而富有挑戰性、關注社會發展的學習素材，使學生了解數學的價值，體會數學與自然及人類社會的聯系，增進對數學的理解和應用數學的信心。

新教材的應用題中有學生日常生活中再熟悉不過的東西，如：書桌、鉛筆盒、筆筒、足球、鐘表、方向盤、小動物等。

3.應用題表現形式的多樣化

原教材中的應用題主要以文字敘述為主，新教材中應用題的呈現方式結合表格、圖像、圖片、對話、寓言故事等，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現了素材，可以提高學生的學習興趣，滿足多樣化的學習需求。

表格式應用題除了具有直觀、簡明扼要、對比性強等特點外，還具有濃厚的生活氣息，使學生感受到數學就在我們身邊。按照表中提供的信息可以解決不同的問題，既體現了數學應用的廣泛性，又能培養學生應用數學的意識和能力。統計與概率部分提供了大量的表格式應用題。例如，新教材八年級下冊第178頁習題第2題：2000年9月28日，我國選手伏明霞、郭晶晶分別獲得悉尼奧運會女子三米板跳水冠、亞軍。告知獲得前六名的選手的決賽成績（分數），試計算各個選手5次跳水成績的平均分和方差，并比較這六名選手的表現。

4.應用題注重突出建模思想

數與代數領域，數學建模是一條主線。該領域中的方程、不等式、函數都是刻畫現實世界的重要模型：方程是刻畫現實世界數量關系的數學模型，函數是刻畫現實世界數量變化規律的數學模型，一次函數反映了均勻變化的規律。空間與圖形領域強調幾何建模過程：由于其自身的特點較之其他模型更直觀、形象，更宜于從現實情境中抽象出數學的概念、理論和方法。在這樣的前提下，新教材中的應用題力求體現“問題情境―建立數學模型―解釋、應用與拓展”的模式，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用來展現數學知識的形成與應用過程，這事實上就是解決實際問題的基本途徑、數學建模的基本過程。所以這樣的呈現方式有助于增強學生的數學應用意識，初步領會數學建模的思想和方法，滲透數學建模的意識。

二、幫助學生歸納常見的初中數學應用題模型

通過對新課程背景下初中數學教材及近年來全國各地中考數學應用題題型的歸納，我們可以發現初中數學應用題出題的模型范圍基本上都是緊緊圍繞考試大綱的，變化的只是具體的實際生活案例載體，但是經過抽象后解決問題的數學模型基本上都是比較集中的。鑒于這種規律，結合新課程數學知識點中出應用題的高頻率知識點，教師可以利用自己對知識系統性掌握的優勢，幫助學生對初中數學應用題常見模型作一個基本的總結與歸納，如表1所示：

通過上表可以看出，在初中數學的知識點中最容易出應用題的知識點多集中在方程、函數、不等式及統計等方面，為了進一步讓學生對以上各類數學應用題模型的基本題型有一個基本的認識與了解，教師在這樣總結的基礎上還應針對各類模型選取與之配套的例題來進行講解，增加學生對數學應用題模型類型的掌握。需要說明的是，由于教師幫助學生總結數學應用題模型在知識點上跨度比較大，因此這種教學策略一般適合在初二下學期，以及初三年級進行。

三、重視過程教學，培養“建模能力”

新課程的一個重要要求就是要求學生能把一些常見的實際問題轉化為數學問題。把實際問題轉化為數學問題，即為數學模型。數學模型不同于一般的模型，它是用數學語言模擬現實的一種模型，即把一個實際問題中某些事情的主要特征、主要關系抽象成數學語言，近似地反映事物的內在聯系與變化的過程。解決此類問題的關鍵步驟主要有兩個：一是建立數學模型（建模）；二是運用有關知識求解數學模型（解模）。建模就是構建適當的數學關系（如公式、函數、方程或圖形），使原來的問題情境轉化為易于解決的問題的解題方法，解模就是從題設條件和求解結論中得出啟示，構造出一些新的數學形式，通過對這些數學形式的研究可以得出解題思路，從而達到解題的目的。

要實現這樣的目的，在初中數學應用題教學中教師就不能以追求講解應用題求解結果為目標，而要注重初中數學應用題過程教學。在這個過程中教師應教會學生怎樣去建模，并結合新課程中應用題解題的一般過程，在應用題教學中注重讓學生掌握以下的建模流程，如圖1所示：

下面通過一道初中新課程教材中比較常見的應用題類型來說明建模過程在數學應用題求解中的重要流程與作用。

例題：東方超市銷售一種成本為每千克40元的水產品，經市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能銷售出500千克；銷售單價每漲價一元，月銷售量就減少10千克。針對這種水產品的銷售情況，請解答以下問題：

（1）當銷售單價定為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤。

（2）商場計劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？

這是一道與日常生活非常接近的應用題，取材于生活中常見的營銷問題。根據上文分析的建模過程，教師在教學時候就要鼓勵學生從這些日常生活實際中抽象出數學模型來，結合這道具體的例題，教師應該提醒學生在實際問題與數學模型之間進行轉換時候要注意到以下幾個數量關系：

銷售利潤 = （銷售單價 - 銷售成本）×銷售量

銷售量 = 原銷售量 - 滯銷量

銷售單價 = 原定單價 + 漲價

明白了這些基本模型等式之后，設銷售單價為每千克x元，則每千克的銷售利潤為（x -40）元；月銷售量為500-（x-50）×10千克；月銷售利潤為（x-40） ×［500-10（x-50）］元。

所以問題1的解答為：當銷售單價為55元時，月銷售量為500-（55-50） × 10=450（千克），所以月銷售利潤為（55-40）×450=6750（元）。

但是當銷售單價為60元時，月銷售成本為：40×［500-（60-50） ×10=16000（元），根據“月銷售成本不能超過10000元”，所以銷售單價定為每千克80元。

通過上述這道例題可以看出，初中數學應用題解題的關鍵是要找出題目所給出的實際問題中蘊藏的數學模型及等量關系，然后將實際問題直接轉化成為純數學問題，得到數學模型的解之后再回頭代入實際問題之中，從而得到解決實際問題的答案。

總而言之，新課程標準對學生在應用題學習方面的要求還是比較高，教師應該在充分領悟到新課程標準對應用題教學要求基礎上，推陳出新，講究應用題教學方法，提高新課程背景下初中數學應用題的教學效果。

參考文獻：

［1］韓躍欽. 新課程理念下的數學應用題教學［J］.新課程研究（基礎教育），2008，（8）.

［2］張婕. 新課程下的應用題教學［J］.成功（教育），2007，（10）.

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關鍵詞 新素質 倒立擺 課程實踐

1引言

對于自動化專業或相近專業來說，倒立擺正在成為一種面向自動控制類課程的較為理想的高端教學實驗手段和創新能力提升平臺。倒立擺亦逐漸成為自動控制領域中較為常見的控制律檢測驗證設備而存在。于是搞清楚倒立擺的控制原理，系統地總結倒立擺的建模過程將更加方便于廣大教育工作者的教育及科研實踐。

基于這樣的考慮，本文以倒立擺小車為實例，將詳細呈現關于對這樣一個倒立擺控制問題的建模過程、模型抽象、仿真構建及成果展示。力求達成一個完整系統的倒立擺控制范本。

2倒立擺小車的物理實體

倒立擺小車通俗的說，就是讓一個處于可自由轉動狀態的桿在小車上保持向上的直立狀態。在自由狀態下，這個桿在干擾力的作用下會左右晃動，無法保持向上直立。為此，就必須施加控制作用，通過自動控制技術使其保持直立，這就是倒立擺的控制。通過倒立擺控制，可以檢驗控制算法對于非線性、靜態不穩定等問題的處理能力。而國防和社會生活領域的許多控制問題，也都可以借鑒倒立擺的控制思想和方法，如火箭豎立發射時的穩定控制、行走機器人的穩定控制、運動平臺上隨動天線的指向控制等。

3 倒立擺小車狀態空間的抽象

因倒立擺小車的控制目標是對小車控制而使細桿得以穩定，所以必要以桿為研究對象分析。在完成對小車物理實體的分析與變量設定后，根據受力分析與運動學定量關系的推導可以得出小車系統基于牛頓第二定律的運動微分方程組，其意義是用前文抽象出的運動變量描述任意時刻的運動狀態。至此已經完成了從小車的實體模型中抽象數學模型的過程。

5結語

倒立擺小車的穩定控制器設計問題，都是以分析實體模型、通過物理定律建立數學模型、抽象傳遞函數并搭建仿真模型、設定控制器參數并用一定的方法調參。本文通過對倒立擺小車的控制設計實例為讀者總結了一套完整的倒立擺控制設計研究方法。

參考文獻

[1] 孟秋艷.論大學生創新素質的培養與提高[J].教育探索，2006（10）：19-20.

[2] 師進生，劉清芝，王強，等.高等學校創新教育的探索與實踐[J].科教文匯旬刊， 2015（5）：25-26.

[3] 王艷芳.大學生創新創業素質培養的探索與實踐[J].中國校外教育：理論，2011（1）：9.