導(dǎo)語(yǔ)：如何才能寫(xiě)好一篇討論單調(diào)性的步驟，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

《函數(shù)的單調(diào)性》是人教版高中數(shù)學(xué)必修一的內(nèi)容，該內(nèi)容包括函數(shù)的單調(diào)性的定義與判斷及其證明。函數(shù)的單調(diào)性一節(jié)中的知識(shí)是前一節(jié)內(nèi)容函數(shù)的概念和圖像知識(shí)的延續(xù)，它和后面的函數(shù)奇偶性，合稱為函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)眾多性質(zhì)中的重要性質(zhì)之一，它是研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及其他函數(shù)單調(diào)性的理論基礎(chǔ)；在解決函數(shù)值域（或最值）、定義域、不等式、比較兩數(shù)大小、求方程的根的個(gè)數(shù)（或函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)）等具體問(wèn)題中均需用到函數(shù)的單調(diào)性；同時(shí)在這一節(jié)中利用函數(shù)圖象來(lái)研究函數(shù)性質(zhì)的數(shù)形結(jié)合思想將貫穿于我們整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、學(xué)情分析

本節(jié)復(fù)習(xí)課安排在必修一所有內(nèi)容都完成后的一節(jié)期中復(fù)習(xí)課。依據(jù)現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生能根據(jù)函數(shù)的圖象觀察出“隨著自變量的增大，函數(shù)值增大”的變化趨勢(shì)，且能用符號(hào)語(yǔ)言進(jìn)行嚴(yán)密的代數(shù)證明。在教學(xué)過(guò)程中，要注意讓學(xué)生掌握代數(shù)證明的格式，要注意讓學(xué)生在內(nèi)容上緊扣定義貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性

2.會(huì)用函數(shù)的單調(diào)性解決函數(shù)根的個(gè)數(shù)、函數(shù)的值域等問(wèn)題

3.體會(huì)函數(shù)思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想

在本節(jié)課的教學(xué)中以函數(shù)的單調(diào)性的概念為線，它始終貫穿于教師的整個(gè)課堂教學(xué)過(guò)程和學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程；利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)函數(shù)單調(diào)性概念的深層理解，且“取值、作差與變形、判斷、結(jié)論”過(guò)程學(xué)生不易掌握。所以對(duì)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)確定如下：

四、教學(xué)重點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明。

五、教學(xué)難點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性的靈活應(yīng)用。

六、課前準(zhǔn)備

學(xué)生復(fù)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的定義，并完成題目：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；②求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

七、教學(xué)設(shè)計(jì)

[教學(xué)環(huán)節(jié) 問(wèn)題展示 設(shè)計(jì)意圖 課前預(yù)習(xí) 已知函數(shù)①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)； 復(fù)習(xí)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，強(qiáng)調(diào)其步驟：取值――作差――變形――定號(hào)――結(jié)論 課內(nèi)探究（一題多問(wèn)） ②求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

③不等式

對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； 1.會(huì)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間或利用函數(shù)的奇偶性解決單調(diào)區(qū)間有關(guān)的問(wèn)題

2.利用函數(shù)的單調(diào)性，知道自變量的大小關(guān)系會(huì)求自變量的大小關(guān)系

3.解決恒成立問(wèn)題 一題多變 變式1：已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

變式2：設(shè)函數(shù)在 [1，2]上的最小值為，求 1.已知函數(shù)的單調(diào)性解決參數(shù)問(wèn)題

2.會(huì)利用單調(diào)性求最值

3.體會(huì)轉(zhuǎn)換思想和分類討論思想 ]

八、精彩回放

師：求方程的根

生1：方程的根為

師：方程就只有一個(gè)根嗎？并說(shuō)明理由。

生2：方程的根等價(jià)于函數(shù)的零點(diǎn)，而函數(shù)是單調(diào)遞增的，故方程就只有一個(gè)根

師：這里我們用到了函數(shù)的什么性質(zhì)？

生2：函數(shù)的單調(diào)性

師：這節(jié)課我們就來(lái)復(fù)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性（板書(shū)課題）。

師：請(qǐng)同學(xué)們看例題：

例題：已知函數(shù)

①用定義證明函數(shù)在[0，+∞）上是增函數(shù)；

師：復(fù)習(xí)增函數(shù)的定義。

生3：當(dāng)x1

師：用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟。

生4：取值――作差――變形（乘積的形式或平方和的形式）――定號(hào)――結(jié)論

師：本題中求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并說(shuō)明理由。

生5：的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，在是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)。

生6：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，令單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是，減區(qū)間。

師：本題中若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

生7：將變量帶入解析式去解不等式。（做了一段時(shí)間后）發(fā)現(xiàn)計(jì)算量太大，沒(méi)法解決。

生8：利用函數(shù)的單調(diào)性，，

師：已知函數(shù)的單調(diào)性，并且知道函數(shù)值的大小關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？

生9：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當(dāng)f（x1）

師：變式1： 已知函數(shù)在 [0，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

生10：任取，且

師：你能總結(jié)一下思路嗎？

生10：函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，當(dāng)x1

師：你們還有其他的解法嗎？

生11：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，令單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，符合

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

要使在單調(diào)遞增，則，

綜上所述，

師：變式2： 設(shè)函數(shù)在 [1，2]上的最小值為g（a），求g（a）。

生12：令，

①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增

當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞減，

師：總結(jié)一下本節(jié)課學(xué)的知識(shí)點(diǎn)和思想方法。

生13：知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性①當(dāng)x1

思想方法：數(shù)學(xué)結(jié)合思想，轉(zhuǎn)換思想，分類討論思想。

九、教后說(shuō)教

本節(jié)課是必修一內(nèi)容上好后為學(xué)生期中考試準(zhǔn)備的一節(jié)復(fù)習(xí)課。

（1）通過(guò)求方程的根的個(gè)數(shù)引出函數(shù)的單調(diào)性，而這個(gè)方程的根學(xué)生容易看出來(lái)，但為什么只有1個(gè)根，只能利用函數(shù)的單調(diào)性加以解決。這樣讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)單調(diào)性的重要性，更加激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的積極性，大大提高了課堂效率。

（2）例題及變式歸納出證明函數(shù)單調(diào)性的方法、步驟及注意點(diǎn)，還對(duì)單調(diào)性進(jìn)行靈活應(yīng)用：①已知當(dāng)x1

（3）題目設(shè)置一題多問(wèn)，一題多變，復(fù)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性涉及的題型，讓問(wèn)題更集中，更加突出問(wèn)題的本質(zhì)。

（4）本節(jié)課內(nèi)容完整，思路清晰。符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神。例題及變式由淺入深，完整，全面。

篇2

關(guān)鍵詞：?jiǎn)握{(diào)性；同課異構(gòu)；反思；高效

近年來(lái)，隨著新課程實(shí)施的不斷深入，廣大一線教師和教研員都在日益關(guān)注課堂教學(xué)的實(shí)效性問(wèn)題，關(guān)于“有效課堂教學(xué)”的討論進(jìn)行地轟轟烈烈． 先進(jìn)的教育理念需要物化為教學(xué)實(shí)踐，才能對(duì)教學(xué)實(shí)踐起促進(jìn)作用，教師的教學(xué)能力最終也是需要通過(guò)教學(xué)實(shí)踐才能得到提高． 我們教研組積極開(kāi)展同課異構(gòu)教學(xué)，讓所有教師都接觸新的教學(xué)方式，并圍繞著如何改變課堂教學(xué)中教師“教”的方式和學(xué)生“學(xué)”的方式這一主題，讓教師們?nèi)巳苏勼w會(huì)，說(shuō)感想，大膽設(shè)計(jì)課堂教學(xué)新思路，從而大大增加課堂教學(xué)的有效性． 下面就兩位教師開(kāi)展《函數(shù)的單調(diào)性》的同課異構(gòu)教學(xué)談?wù)勛约旱捏w會(huì)．

課堂引入環(huán)節(jié)的比較與評(píng)析

1. 周老師的課堂引入

多媒體顯示兩組圖象

提問(wèn)：下列兩組圖象的變化趨勢(shì)有什么區(qū)別？

學(xué)生：圖1的圖象都是上升的，圖2的圖象都是下降的．

教師：函數(shù)圖象的“上升”、“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)——單調(diào)性． 提出課題，板書(shū)．

問(wèn)題：二次函數(shù)y=x2的圖象的變化趨勢(shì)怎樣呢？

2. 王老師的課堂引入

材料一：我市某天12小時(shí)的氣溫圖．

材料二：人的大腦是一個(gè)記憶的寶庫(kù)，人腦經(jīng)歷過(guò)的事物、思考過(guò)的問(wèn)題、體驗(yàn)過(guò)的情感和情緒、練習(xí)過(guò)的動(dòng)作，都可以成為人們記憶的內(nèi)容． 德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家名叫艾繽浩斯，他描繪非常有名的揭示遺忘規(guī)律的曲線． 這條曲線告訴人們?cè)趯W(xué)習(xí)中的遺忘是有規(guī)律的，遺忘的進(jìn)程不是均衡的，不是固定地一天丟掉幾個(gè)，轉(zhuǎn)天又丟幾個(gè)的，而是在記憶的最初階段遺忘的速度很快，后來(lái)就逐漸減慢了，到了相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)候后，幾乎就不再遺忘了，這就是遺忘的發(fā)展規(guī)律，即“先快后慢”的原則．

問(wèn)題1：說(shuō)出氣溫在哪些時(shí)段內(nèi)是逐步升高的或下降的？

學(xué)生：0到3點(diǎn)，圖象下降；3點(diǎn)到7點(diǎn)，圖象上升；7點(diǎn)到12點(diǎn)圖象上升．

問(wèn)題2：怎樣用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)艾繽浩斯遺忘曲線“隨著時(shí)間的增加記憶的保持量降低”這一特征？

3. 觀點(diǎn)與評(píng)析

周老師采用的是問(wèn)題引入，學(xué)生總結(jié)每組三張圖片的共同點(diǎn)和兩組圖片的不同點(diǎn)，對(duì)兩組圖象的不同變化趨勢(shì)（上升和下降）有了直觀形象的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生初步體會(huì)增（減）函數(shù)． 問(wèn)題具有起點(diǎn)低、可操作性強(qiáng)的特點(diǎn)，學(xué)生很容易入手． 很自然地帶出二次函數(shù)作為探究的對(duì)象．

王老師采用的是情境創(chuàng)設(shè)，由貼近生活的兩幅函數(shù)圖（我市的氣溫變化圖和艾繽浩斯遺忘曲線），帶領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，趣味性的小故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)的好奇心和興趣．以問(wèn)題帶動(dòng)學(xué)生的思維，通過(guò)第二個(gè)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)的好奇心．

單調(diào)性概念形成教學(xué)環(huán)節(jié)的比較與評(píng)析

1. 周老師的教學(xué)處理

學(xué)生畫(huà)好二次函數(shù)y=x2的圖象：

問(wèn)題1：觀察函數(shù)的圖象，指出函數(shù)從左向右是怎樣變化的？

學(xué)生：在y軸的左邊，圖象下降；在y軸的右邊，圖象上升．

問(wèn)題2：此函數(shù)在區(qū)間?搖_______內(nèi)y隨x的增大而_______，

在區(qū)間_______內(nèi)y隨x的增大而_______．

問(wèn)題3：如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確地表述這種y值隨著x的值增大而增大（減小）呢？

（教師提示：增大，至少需要幾個(gè)量比較，如何用式子表達(dá)量的增大動(dòng)態(tài)．）

在老師的幫助下，學(xué)生逐步完善到式子x1

2. 王老師的教學(xué)處理

問(wèn)題1：畫(huà)出下列函數(shù)圖象，指出其變化趨勢(shì)．

（1）f（x）=x；（2）f（x）=x2（以此函數(shù)為例，探究概念的形成）．

填寫(xiě)下表：

問(wèn)題2：圖象上升或下降，函數(shù)值和自變量的變化關(guān)系？

學(xué)生：通過(guò)表格數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，表1中x值增大，y的值也增大；表2中x值增大，y的值減小．

問(wèn)題3：區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)單調(diào)遞增，

區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)單調(diào)遞減.

問(wèn)題4：如何用數(shù)學(xué)式子表達(dá)x的增大？

學(xué)生：譬如：取兩個(gè)值1，4，則1

問(wèn)題5：在區(qū)間（0，+∞），x的增大怎么表達(dá)？

學(xué)生：（思考、討論）得出0

問(wèn)題6：類比x的增大，那么y的增大（減小）的表達(dá)是什么？

學(xué)生：（迫不及待地報(bào)出）y1y2）．

（師生一起整理探討的過(guò)程，得到單調(diào)性的概念）

3. 觀點(diǎn)與評(píng)析

兩位老師都以二次函數(shù)y=x2為例，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)增（減）函數(shù)的概念． 但兩位老師的教學(xué)設(shè)計(jì)有所不同．

周老師給出二次函數(shù)的圖象，以填空的形式，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注區(qū)間以及x與y之間的變化情況，結(jié)合初中所給的y隨著x的增大而增大（減小），引導(dǎo)學(xué)生如何用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示x和y之間的這種變化，再通過(guò)三道判斷題，完善了概念中的區(qū)間和任意性．指導(dǎo)學(xué)生對(duì)特殊的二次函數(shù)的增（減）性的表達(dá)遷移到一般的函數(shù)增減性的表達(dá)，從而得出函數(shù)單調(diào)性的概念． 周老師的導(dǎo)語(yǔ)貼近學(xué)生，問(wèn)題設(shè)計(jì)易促動(dòng)學(xué)生，又是步步以舊知帶出新內(nèi)容，學(xué)生很容易接受，也愿意接受新知識(shí)的擴(kuò)充，學(xué)生的積極性和主動(dòng)性比較高，學(xué)生積極參與整個(gè)過(guò)程．

王老師要求學(xué)生畫(huà)好圖和填寫(xiě)表格中x對(duì)應(yīng)的y值，引導(dǎo)學(xué)生注意圖象的上升（下降），并說(shuō)明圖象的變化與變量x和y之間的變化具有什么關(guān)系？學(xué)生完成表格，在表上很容易得到x增大，y的值增大（減小），再提示學(xué)生如何將這種變化情況表達(dá)出來(lái)．王老師通過(guò)一系列的本原性問(wèn)題使學(xué)生突破了思維的瓶頸，讓學(xué)生感受到：通過(guò)用任意的點(diǎn)x1和x2的大小關(guān)系來(lái)判斷f（x1）和（x2）的大小關(guān)系，可以得到函數(shù)單調(diào)性的整體性質(zhì)，這既讓學(xué)生理解了教師最終給出的嚴(yán)格的單調(diào)性定義，也讓學(xué)生體驗(yàn)到了如何用局部的點(diǎn)的任意性推演到函數(shù)的整體單調(diào)的性質(zhì)這一數(shù)學(xué)思想方法． 這種從形變化引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)來(lái)表達(dá)，將數(shù)形結(jié)合思想無(wú)形中遁于具體的操作，讓學(xué)生在做中悟的做法很值得學(xué)習(xí)．

課本29頁(yè)?搖例題2教學(xué)處理環(huán)節(jié)的比較與評(píng)析

1. 周老師的教學(xué)處理

練習(xí)：畫(huà)出函數(shù)y=的圖象，并寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間．

學(xué)生：畫(huà)出圖象，寫(xiě)出區(qū)間（－∞，0），（0，+∞）． 有學(xué)生輕輕說(shuō)，好像應(yīng)該是（－∞，0）∪（0，+∞）． 學(xué)生均表現(xiàn)出疑惑，陷入思考． 片刻后，

教師：究竟是（－∞，0），（0，+∞），還是（－∞，0）∪（0，+∞）？

教師（追問(wèn)）：為什么？請(qǐng)說(shuō)明理由．

學(xué)生：是（－∞，0），（0，+∞）． 因?yàn)槿1=－1，x2=1，則y1

教師：（例2）如何用函數(shù)的單調(diào)性證明y=在（0，+∞）是減函數(shù)？

（學(xué)生思索后，由學(xué)生敘述，教師板書(shū)，共同完成，總結(jié)證明步驟的四部曲）

教師：（變題）如何證明y=（k為正常數(shù)）在（0，+∞）上是減函數(shù)？

學(xué)生：對(duì)比例2的過(guò)程，進(jìn)行證明．

教師：（趁機(jī)拋出課本29頁(yè)例題2）：物理學(xué)中的玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大． 試用函數(shù)的單調(diào)性證明之．

學(xué)生：輕而易舉地將問(wèn)題歸結(jié)為變題，輕輕松松解決了物理學(xué)中的問(wèn)題，揭示了其數(shù)學(xué)本質(zhì)．

教師：（變題）函數(shù)y=的單調(diào)性情況怎樣？

學(xué)生：要對(duì)k進(jìn)行討論，分k>0和k0時(shí)，在區(qū)間（－∞，0），（0，+∞）上都是減函數(shù)；當(dāng)k

2. 王老師的教學(xué)處理

與學(xué)生一起閱讀課本29頁(yè)例題2（略）后給出問(wèn)題．

問(wèn)題1：本例涉及了哪類函數(shù)模型？

學(xué)生：是反比例函數(shù)模型．

問(wèn)題2：它的單調(diào)區(qū)間是什么？它們的單調(diào)性變化情況怎樣？

學(xué)生：定義域是（－∞，0）∪（0，+∞），所以有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間（－∞，0），（0，+∞），因?yàn)閗>0，所以在兩個(gè)區(qū)間上都是減函數(shù)． （部分學(xué)生反應(yīng)敏捷，快速質(zhì)疑，指出體積不能是負(fù)的）

學(xué)生：因?yàn)轶w積不為負(fù)，所以單調(diào)區(qū)間只有一個(gè)，在（0，+∞）上是減函數(shù)．

教師：及時(shí)點(diǎn)撥，提醒學(xué)生要注意實(shí)際問(wèn)題需要滿足的條件．

問(wèn)題3：那如何證明它在（0，+∞）上是減函數(shù)?

思考幾分鐘后，由一個(gè)學(xué)生主述，其他學(xué)生修正，教師板書(shū)，共同完成，并總結(jié)證明的四個(gè)步驟．

3. 觀點(diǎn)與評(píng)析

周老師先給出一道練習(xí)，回顧了反比例函數(shù)y=（x≠0）的圖象，應(yīng)用了單調(diào)性的性質(zhì)，并且將學(xué)生中出現(xiàn)的單調(diào)區(qū)間為（－∞，0）∪（0，+∞）的現(xiàn)象進(jìn)行了說(shuō)明．很自然地過(guò)渡到例2，證明y=在（0，+∞）是減函數(shù)．此題的解決對(duì)抽象的定義進(jìn)行步驟化，使學(xué)生對(duì)定義有進(jìn)一步的理解．改變y=的分子1為k，一道變題，將高度提升，含參數(shù)的題目，顧及學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的一部分學(xué)生，這一變也揭示了玻意耳定律p=（k為正常數(shù)）的數(shù)學(xué)本質(zhì)，完成了課本中的例題．最后將k的條件放開(kāi)，引入分類討論的思想． 周老師通過(guò)變題，由一個(gè)基本問(wèn)題變式而生成互相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題鏈，使學(xué)生學(xué)一道題，會(huì)一類題，有助于學(xué)生掌握解決這類問(wèn)題的規(guī)律，并使原有的孤立的、零碎的知識(shí)整體化，促進(jìn)對(duì)知識(shí)塊整體的認(rèn)知，增強(qiáng)系統(tǒng)性和條理性，實(shí)現(xiàn)量與質(zhì)的統(tǒng)一． 變題使得學(xué)生容易搞清相似的概念或題型情景間的聯(lián)系與區(qū)別，不至于混淆，加深了基本概念的理解；通過(guò)多問(wèn)、多思、多用等激發(fā)學(xué)生思維的積極性和獨(dú)創(chuàng)性． 周老師設(shè)計(jì)的題目環(huán)環(huán)相扣，步步深入，整個(gè)過(guò)程猶如行云流水． 雖然課堂氣氛活躍，學(xué)生的思維訓(xùn)練得到發(fā)展，但遺憾的是學(xué)生練習(xí)的題量不多，是不是落實(shí)到位很難檢測(cè)．

王老師先利用過(guò)渡語(yǔ)保持了課堂的自然與流暢，使物理問(wèn)題在數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)科之間的融合． 王老師設(shè)計(jì)的3個(gè)問(wèn)題緊緊圍繞著解決例題的核心因素，又充分關(guān)注思想方法（數(shù)學(xué)建模思想、轉(zhuǎn)化化歸思想等）的滲透，使解決問(wèn)題的過(guò)程始終是在數(shù)學(xué)思想方法的指導(dǎo)下進(jìn)行的． 問(wèn)題1幫助學(xué)生理解、分析題意，舍棄與數(shù)學(xué)無(wú)關(guān)因素，建立函數(shù)模型，將問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，梳理自變量和因變量之間的關(guān)系． 問(wèn)題2指導(dǎo)學(xué)生在用數(shù)學(xué)方法解題時(shí)，碰到純數(shù)學(xué)和實(shí)際的約束條件有出入時(shí)，如何適當(dāng)?shù)奶幚砗眠@兩者之間的關(guān)系． 對(duì)于問(wèn)題3，在證明函數(shù)在（0，+∞）是減函數(shù)的處理上，王老師也始終不脫離本課的核心內(nèi)容，回歸到函數(shù)單調(diào)性的概念特征上去． 但是縱觀整堂課的過(guò)程，此題的處理與前后的銜接不是很自然，顯得有點(diǎn)孤立．

小結(jié)環(huán)節(jié)的比較與評(píng)析

1. 周老師的教學(xué)處理

小結(jié)：

1． 函數(shù)單調(diào)性的定義中有哪些關(guān)鍵點(diǎn)？

2． 判斷函數(shù)單調(diào)性有哪些常用方法？

3． 利用函數(shù)單調(diào)性證明的步驟有哪幾步？

2. 王老師的教學(xué)處理

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1． 單調(diào)函數(shù)的圖象特征；

2． 函數(shù)單調(diào)性的定義及其判斷方法；

3． 證明函數(shù)單調(diào)性的步驟.

3. 觀點(diǎn)與評(píng)析

周老師的小結(jié)以問(wèn)題的形式讓學(xué)生對(duì)本節(jié)課講授的知識(shí)結(jié)構(gòu)、主線進(jìn)行歸納總結(jié)，加深對(duì)知識(shí)的鞏固，鍛煉學(xué)生的總結(jié)、概括能力． 王老師簡(jiǎn)明扼要地幫助學(xué)生回憶所學(xué)的內(nèi)容，幫助他們進(jìn)行知識(shí)梳理，辨清知識(shí)之間的聯(lián)系． 兩位老師都進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)這節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幫助學(xué)生建立和完善他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提高他們解決問(wèn)題的能力．

反思及對(duì)今后教學(xué)的啟示

古羅馬著名思想家普羅塔克曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“學(xué)生不是一個(gè)需要添滿的罐子，而是一顆需要點(diǎn)燃的火種．” 兩位教師都在導(dǎo)入環(huán)節(jié)非常注重激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與喚醒學(xué)習(xí)求知欲望，但好的導(dǎo)入還必須立足學(xué)發(fā)展區(qū)，緊扣教學(xué)重點(diǎn)與核心內(nèi)容，這樣才能在有效提升主體的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力的同時(shí)為更有效地達(dá)成教學(xué)目標(biāo)服務(wù)，好的導(dǎo)入是成功的一半．

新課程的指導(dǎo)思想之一就是強(qiáng)調(diào)問(wèn)題性、啟發(fā)性，指出遵循認(rèn)知規(guī)律，以問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，在課堂中要以恰時(shí)恰點(diǎn)的問(wèn)題引導(dǎo)數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷思想方法的產(chǎn)生過(guò)程． 兩堂課中都采用“問(wèn)題鏈”形式給出有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，很好地激發(fā)了學(xué)生的研究熱情，他們利用舊知，探討解決方案的同時(shí)產(chǎn)生了新知識(shí)、新方法，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成了一個(gè)再創(chuàng)適的過(guò)程． 問(wèn)題式的對(duì)話不只是簡(jiǎn)單的語(yǔ)言交流，而是我們要注重強(qiáng)調(diào)對(duì)“對(duì)話”空間和“對(duì)話”內(nèi)涵的拓展，真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的自主學(xué)習(xí)成為可能．好的問(wèn)題能激活學(xué)生原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，喚醒學(xué)生的運(yùn)用意識(shí)．

篇3

關(guān)鍵詞： 高考 導(dǎo)數(shù) 函數(shù)

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分是以高一時(shí)學(xué)習(xí)的函數(shù)單調(diào)性為前提的，直接講明判定可導(dǎo)函數(shù)增減性的方法，如果能利用好導(dǎo)數(shù)這個(gè)有效工具，便可以突破很多初等數(shù)學(xué)思想和方法上的局限，真正拓寬對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決思路，簡(jiǎn)化解題步驟和提高解題能力.為此，本文以四道高考的典型題目為例，分別從解題思路、步驟及適當(dāng)?shù)耐卣沟确矫嫒胧郑怪哂羞B貫性和邏輯性.

一、高考數(shù)學(xué)考試中對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的考查

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)

把導(dǎo)數(shù)當(dāng)做研究函數(shù)問(wèn)題的“利刃”，可解決有關(guān)極值、單調(diào)性等問(wèn)題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想，熟練掌握一般的求解步驟：

首先求導(dǎo)，并求出駐點(diǎn)，接著以駐點(diǎn)為界點(diǎn)劃分定義域，最后在各區(qū)間內(nèi)確定其增減性并由此判斷出相應(yīng)的極值.

首先，本題開(kāi)門見(jiàn)山地給出了x≥0，a>0，因而ax+1>0.但是若沒(méi)有此條件的限制，在求解過(guò)程中則可能忽視函數(shù)的定義域，從而一下子擴(kuò)大了討論范圍，最終造成分類情況增多，繼而出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，在解決這類問(wèn)題時(shí)要先求出函數(shù)的定義域，再往下繼續(xù)求解，這點(diǎn)務(wù)必注意.

由于含有參數(shù)a，故在求導(dǎo)之后，令f′（x）=0.找出分界點(diǎn)，并求出函數(shù)的增減區(qū)間，注意分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能前后不一致，換句話說(shuō)就是不能變換討論的對(duì)象.

二、結(jié)語(yǔ)

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、凸凹性、拐點(diǎn)等可以較準(zhǔn)確地畫(huà)出中學(xué)階段的大部分函數(shù)圖像，為數(shù)形結(jié)合教學(xué)做好準(zhǔn)備.只有真正理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，考試時(shí)才能以不變應(yīng)萬(wàn)變.由此可見(jiàn)，在導(dǎo)數(shù)部分的學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)中，教師和學(xué)生要防止簡(jiǎn)單將導(dǎo)數(shù)作為一種規(guī)則的步驟去學(xué)習(xí)，而不在理解思想性上動(dòng)腦子的傾向.因此，教師和學(xué)生不應(yīng)該把平時(shí)的訓(xùn)練重點(diǎn)放在對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的純技巧、高難度上，形成形式化的運(yùn)算練習(xí)，而應(yīng)當(dāng)凸顯導(dǎo)數(shù)的價(jià)值性，從根本上增強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識(shí).

參考文獻(xiàn)：

[1]洪毅.數(shù)學(xué)分析[M].廣東：華南理工大學(xué)出版社，2003：56-58.

[2]李長(zhǎng)明.導(dǎo)數(shù)與微分[M].貴陽(yáng)：貴州人民出版社，1987：74-77.

[3]王元明.數(shù)學(xué)是什么[M].長(zhǎng)沙：東南大學(xué)出版社，2003：56-59.

[4]杜德懷.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2007：20-22.

[5]上海市教育委員會(huì).高等數(shù)學(xué)[M].上海：中國(guó)科學(xué)院印刷廠，2005：35-38.

篇4

1.知識(shí)與技能

能從文字、形與數(shù)三方面解釋說(shuō)明增、減函數(shù)的概念及函數(shù)單調(diào)性的定義；初步學(xué)會(huì)利用函數(shù)圖像和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法。

2.過(guò)程與方法

結(jié)合生活實(shí)例及已學(xué)的特殊函數(shù)，通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用；體會(huì)分類討論思想及集合語(yǔ)言的運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力；通過(guò)對(duì)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，提高學(xué)生的推理論證能力。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)知識(shí)的探究過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣，讓學(xué)生感受從具體到抽象，從特殊到一般，從局部到整體，從感性到理性的認(rèn)知過(guò)程。

[教學(xué)過(guò)程]

（一）創(chuàng)設(shè)情境

師：剛才通過(guò)大屏幕我們欣賞到了四季更迭，應(yīng)該說(shuō)季節(jié)的變換讓我們充分感受到自然之美，眾所周知這種色彩的演變?cè)从跍囟取＝裉炀妥屛覀儚臏囟乳_(kāi)始，進(jìn)入今天的數(shù)學(xué)探索歷程。讓我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題。（用多媒體展示問(wèn)題，老師身入同學(xué)中）

師：?jiǎn)栴}1：觀察沈陽(yáng)市秋季某一天24小時(shí)，溫度隨時(shí)間變化的函數(shù)曲線。如圖，分析隨時(shí)間的逐漸推移，溫度的變化情況。

■

生：從零時(shí)至3時(shí)溫度下降，從3時(shí)至14時(shí)溫度上升，從14時(shí)至24時(shí)溫度下降。

師：很好。在這位同學(xué)清晰、準(zhǔn)確的描述中，提到了兩個(gè)關(guān)鍵詞：上升與下降。（升高、降低）

師：請(qǐng)問(wèn)：在我們學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)中，有沒(méi)有類似具有既上升又下降（升高、降低）或僅上升、僅下降的例子，誰(shuí)能舉例？

生：一次函數(shù)的整體上是上升或是下降的，二次函數(shù)在對(duì)稱軸左右的升降是相反的。

生：反比例函數(shù)。

（演示學(xué)生提出的實(shí)例，在生動(dòng)活潑的氛圍中，了解“上升與下降”圖形特征）

師：如此多（實(shí)例）熟知的函數(shù)，都具有這種特征，為了更好描述這些事物的這種共性，教材用了兩個(gè)字來(lái)形容，即“增、減”。若與函數(shù)相結(jié)合，我們就將這種具有“升高”或“降低”的特征函數(shù)，取名為“增函數(shù)”與“減函數(shù)”——統(tǒng)稱函數(shù)的單調(diào)性。這就是我們這節(jié)要研究的主要內(nèi)容。

（二）初步探索，展示內(nèi)涵

第一層：歸納（圖像特征）

師：由剛才溫度函數(shù)曲線，可迅速觀察出在某時(shí)間段上函數(shù)的“增、減”。若現(xiàn)在換個(gè)方向觀察（從右到左），能否說(shuō)此時(shí)因函數(shù)圖像呈上升趨勢(shì)就在這個(gè)時(shí)間段上是增函數(shù)，呈下降趨勢(shì)就在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)是減函數(shù)？

生：不行。

師：一旦改換觀察方向結(jié)果就大相徑庭，為此，在這里我們將觀察的方向作以統(tǒng)一規(guī)定。

第二層：數(shù)學(xué)符號(hào)表示

師：有了這個(gè)規(guī)定，由圖像觀察增、減函數(shù)簡(jiǎn)單易行，但我們知道有些函數(shù)的圖像是難以畫(huà)出的，特別對(duì)于存在無(wú)限延展的圖像（例如二次曲線），更是受限于我們的視野及紙張等實(shí)際條件的約束，無(wú)法通過(guò)觀察來(lái)判斷遠(yuǎn)處的增、減。所以急待尋找一種更為嚴(yán)格、通用、可行的方法來(lái)定義增、減函數(shù)。“形”難以完美體現(xiàn)的，數(shù)學(xué)中我們就用“數(shù)”來(lái)形容。今天我們就一同來(lái)嘗試用數(shù)的方式來(lái)體現(xiàn)圖形的增減，進(jìn)而來(lái)定義增、減函數(shù)。

師：如何將數(shù)與形聯(lián)系在一起呢？如何用數(shù)體現(xiàn)形的增、減，現(xiàn)在我們借助以下的問(wèn)題作以分析，從中你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

師：判斷1、根據(jù)問(wèn)題1中的圖像，因?yàn)楫?dāng)1

生：錯(cuò)。

師：為什么？

生：在[3，14]上為增函數(shù)，1與15不在這個(gè)區(qū)間內(nèi)。

師：很好。所以我們?cè)诒硎鲈鰷p時(shí)必須指明在同一區(qū)間內(nèi)才可以研究。（板書(shū)：區(qū)間）

師：判斷2、因?yàn)楫?dāng)8

生：錯(cuò)。

生：對(duì)。（出現(xiàn)意見(jiàn)上的分歧，分組討論，派代表發(fā)言、演示）

師：判斷3、因?yàn)楫?dāng)t1

生：錯(cuò)。

師：如何形容[3，14]上為增函數(shù)更準(zhǔn)確？?jī)牲c(diǎn)不行、多個(gè)有限點(diǎn)也不行？那應(yīng)該多少個(gè)點(diǎn)？

生：任意點(diǎn)。

師：哪上的任意點(diǎn)？

生：區(qū)間上的任意點(diǎn)。（教師板書(shū)：任意）

師：如何實(shí)現(xiàn)任取？由于取定點(diǎn)、定值是不可行了，必須取變點(diǎn)，需要取幾個(gè)變點(diǎn)呢？

（引導(dǎo)學(xué)生舍棄具體問(wèn)題的實(shí)際意義，抽象得到函數(shù)單調(diào)性定義，幫助學(xué)生完成思維的飛躍）

生：兩點(diǎn)。

師：如何實(shí)現(xiàn)任取？看圖像，為方便我們從函數(shù)圖像中截取一段進(jìn)行研究。

生：函數(shù)在某區(qū)間上任意兩點(diǎn)y隨x的增大而增大；則函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；函數(shù)在某區(qū)間上任意兩點(diǎn)y隨x的增大而減小；則函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)。

（學(xué)生可借助已有的認(rèn)知基礎(chǔ)很容易答出這樣的表述，在表述中讓各組暢所欲言，在對(duì)比中尋出更合理科學(xué)的表達(dá)方式。老師將有代表性的幾種定義方式用展示屏臺(tái)演示）

師：所有的定義方式都有哪些公共關(guān)鍵詞？

生：區(qū)間，任意，增大，減少。

師：現(xiàn)在我們以這里面公認(rèn)最優(yōu)的這一定義表述為基礎(chǔ)，如何用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá)？

生：對(duì)于函數(shù)f（x）的某個(gè)區(qū)間M上的任意兩個(gè)自變量的值x1，x2，

（1）當(dāng)x1

（2）當(dāng)x1f（x2），則說(shuō)f（x）在這個(gè)區(qū)間M上是減函數(shù)。

師：形容增、減有沒(méi)有其他方式？

師：1到1.5如何去形容它們間的增，反之如何形容它們的減？（引入增量）

生：作差比較，差為正值時(shí)為增，差為負(fù)值時(shí)為減。

師：改變量定義：Δx=x2-x1，表示自變量x的改變量；Δy=f（x2）-f（x1），Δy表示因變量y的改變量。

師：板書(shū)概念：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳，區(qū)間MA. 如果取區(qū)間M中的任意兩個(gè)值，

（1）當(dāng)改變量Δx=x2-x1>0時(shí)，有Δy=f（x2）-f（x1）>0，那么就稱函數(shù)y=f（x）在區(qū)間M上是增函數(shù)。

（2）當(dāng)改變量Δx=x2-x1>0時(shí)，有Δy=f（x2）-f（x1）

（3）單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

若函數(shù)y=f（x）在某個(gè)區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，則說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間M上具有單調(diào)性，這一區(qū)間M叫做函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。

師：科學(xué)定義有哪些關(guān)鍵詞，有何特征？

生：“定義域、區(qū)間、任意”“同號(hào)則增，異號(hào)則減”即“同增異減”。

（三）循序漸進(jìn)，延伸拓展

師：例1、如圖，定義在閉區(qū)間[-5，5]上的函數(shù)y=f（x）的圖像，根據(jù)圖像說(shuō)出y=f（x）的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，函數(shù)y=f（x）是增函數(shù)還是減函數(shù)。

■

生：函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間有[-5，-2），[-2，1），[1，3），[3，5]，其中y=f（x）在區(qū)間[-5，-2），[1，3）上是減函數(shù)，在區(qū)間[-2，1），[3，5]上是增函數(shù)。（小結(jié)判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：從左至右）

師：例2、判斷以下函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，并加以證明。①f（x）=3x+2；

生：解：在R上為增函數(shù)；

證明：任取x1，x2∈R，且x1

則Δx=x1-x2>0

Δy=f（x2）-f（1）=（3x2+2）-（3x1+2）——作差

=3（x1-x2），——變形

Δx>0 Δy>0——判號(hào)

f（x）=3x+2在R上是增函數(shù)。——定論

歸納解題證明步驟：設(shè)元、作差、變形、判號(hào)、定論。

師：②f（x）=x2

生：解：在（-∞，0]上為減函數(shù)，（0，+∞）上為增函數(shù)

（兩組證明（-∞，0]，兩組證明[0，+∞），以競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制提高效率）

生：證明：①任取x1，x2∈（0，+∞），且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）>0，

f（x）=x2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)。

②任取x1，x2∈（-∞，0]，且x10，

Δy=f（x2）-f（x1）=x22-x12=（x2-x1）（x2+x1）

f（x）=x2在區(qū)間（-∞，0]上是增函數(shù)。

師：你在證明中出現(xiàn)了哪些疑難？同學(xué)是如何將你的疑難解決的？

生：①出現(xiàn)x22-x12如何去解釋：有理有據(jù)，不能評(píng)經(jīng)驗(yàn)。

②單調(diào)區(qū)間的表示，不要寫(xiě)成范圍，應(yīng)寫(xiě)成區(qū)間。

（四）歸納總結(jié)，內(nèi)化知識(shí)

由學(xué)生自己總結(jié)，再由師生共同歸納完善。

篇5

一、溫故知新，在對(duì)話中生成新課

奧蘇貝爾認(rèn)為：“影響學(xué)習(xí)最重要的因素是學(xué)生己知的內(nèi)容，弄清了這一點(diǎn)之后，進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)。”回顧初中學(xué)習(xí)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，學(xué)生隨意選定以上幾個(gè)函數(shù)的具體解析式，利用幾何畫(huà)板軟件畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖像。教師：請(qǐng)同學(xué)們結(jié)合自己畫(huà)出的圖形，觀察所畫(huà)•34•函數(shù)圖像的升降變化，并說(shuō)說(shuō)自己的看法。學(xué)生1：從左至右看，一次函數(shù)的圖像是上升的。學(xué)生2：從左至右看，二次函數(shù)在Y軸左側(cè)是下降的，在Y軸右側(cè)是上升的。學(xué)生3：從左至右看，反比例函數(shù)的圖像在Y軸兩側(cè)是下降的。教師：比較所畫(huà)的函數(shù)圖像的升降變化情況，說(shuō)一說(shuō)它們的不同點(diǎn)。在這里，教師啟發(fā)、鼓勵(lì)學(xué)生暢所欲言，進(jìn)行交流和討論，表達(dá)出自己的看法。學(xué)生4：所畫(huà)的圖像有上升的，也有下降的。教師：那么它們上升或下降的范圍有多大?學(xué)生5：可能是定義域上，也可能是定義域的某個(gè)區(qū)間。教師：所畫(huà)的函數(shù)圖像升降變化，不同函數(shù)相應(yīng)升降變化區(qū)間各不一樣，表現(xiàn)為：在某些區(qū)問(wèn)上升，某些區(qū)間下降。我們常說(shuō)：“數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)是自然的。”學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)，利用幾何畫(huà)板軟件繪圖，并從圖像變化中獲取對(duì)函數(shù)單調(diào)性的直觀感知，建立數(shù)與形的結(jié)合，溫故知新，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。這里，不同層次的學(xué)生親身經(jīng)歷了做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程，通過(guò)人機(jī)互動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了實(shí)踐性對(duì)話。教師更多地啟發(fā)學(xué)生輸入具體函數(shù)解析式，親自動(dòng)手操作，在動(dòng)態(tài)狀態(tài)下觀察圖像的變化趨勢(shì)以及升降特點(diǎn)，體會(huì)某一種函數(shù)在不同區(qū)間上的變化差異。此時(shí)，“教師越來(lái)越少地傳遞知識(shí)，越來(lái)越多地激勵(lì)思考”，通過(guò)與學(xué)生對(duì)話，新的教學(xué)內(nèi)容不斷地生成與轉(zhuǎn)化，師生共同分享理解新知識(shí)。

二、創(chuàng)設(shè)多元聯(lián)系表示形式，在交流中重組，并建構(gòu)單調(diào)函數(shù)概念

華羅庚說(shuō)：“形缺數(shù)時(shí)難人微，數(shù)缺形時(shí)少直觀。”以函數(shù)g(X)=X為例。教師：函數(shù)g(X)=X圖像在Y軸右側(cè)是上升的，在函數(shù)g(X)=X圖像上任找一點(diǎn)P“按橫坐標(biāo)(即自變量)X增大”的方式移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)(即函數(shù)值)Y的變化規(guī)律如何?教師指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件的“度量坐標(biāo)”功能，在函數(shù)g(X)=X圖像上任找一點(diǎn)P并拖動(dòng)它，測(cè)出其坐標(biāo)。學(xué)生自主觀察，并思考問(wèn)題。學(xué)生6：在Y軸右側(cè)，拖動(dòng)點(diǎn)P，隨著自變量x的增大，函數(shù)值Y也增大。師生間、學(xué)生間相互溝通，相互補(bǔ)充，達(dá)成共識(shí)，總結(jié)規(guī)律后，給出增(減)函數(shù)的自然語(yǔ)言描述。學(xué)生7：在某個(gè)區(qū)間I上，若隨著自變量X的增大，函數(shù)值y也增大；在區(qū)間I上，若隨著自變量X的增大，函數(shù)值y減少。在這里，學(xué)生學(xué)會(huì)用自然語(yǔ)言描述圖像“上升”、“下降”的特征，學(xué)生對(duì)單調(diào)函數(shù)概念的學(xué)習(xí)，從定性分析過(guò)渡到定量分析，從直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到數(shù)學(xué)符號(hào)表述。教師指導(dǎo)學(xué)生利用幾何畫(huà)板軟件進(jìn)行如下操作：(1)在區(qū)間[0，+oo)上，從0開(kāi)始，拖動(dòng)點(diǎn)P，每隔0．1秒取一個(gè)自變量的值，算出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值表(如圖1(1)所示)。(2)在區(qū)間[0，+oo)上，從2開(kāi)始，拖動(dòng)點(diǎn)P，每隔0．5秒取一個(gè)自變量的值，算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值表(如圖1(2)所示)。(3)在區(qū)間[0，+oo)上，從5開(kāi)始，拖動(dòng)點(diǎn)P，每隔1秒取一個(gè)自變量的值，算出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值表(如圖1(3)所示)。(4)在區(qū)間[0，+。。)上，從0開(kāi)始，拖動(dòng)點(diǎn)P，任選一個(gè)自變量的值作起點(diǎn)，隨機(jī)地取一批自變量的值，算出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值表(如圖1(4)所示)。教師：結(jié)合以上的實(shí)驗(yàn)操作，觀察以上表格中，自變量X的值從小到大變化時(shí)，函數(shù)值Y是如何變化的。學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作進(jìn)行嘗試，得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)值表，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，各自表述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。教師及時(shí)抓住時(shí)機(jī)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽用自己的語(yǔ)言回答問(wèn)題，教師加以糾正和引導(dǎo)，并給予評(píng)價(jià)，形成正確的結(jié)論：任選兩個(gè)自變量的值，自變量大的函數(shù)值也大。教師：由于剛剛所驗(yàn)證的是一些具體的有限個(gè)的自變量的值，如果任意給出一些[0，+O0)上的x，X的值，當(dāng)X<x時(shí)，能否驗(yàn)證都有X<X；呢?學(xué)生8：如果給出具體數(shù)值，容易驗(yàn)證，但區(qū)間內(nèi)的值有無(wú)限個(gè)。學(xué)生陷人思考之中，不知如何是好。一會(huì)兒后，有學(xué)生提出：不給X，X賦具體數(shù)值，當(dāng)X<X時(shí)，驗(yàn)證X<X成立，行嗎?學(xué)生9：太好了，這就體現(xiàn)X，X：取值的任意性了。學(xué)生10：若x<x；成立，轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證X一X；<0即可。此時(shí)，課堂氣氛也活躍起來(lái)，大家進(jìn)行熱烈討論，教師參與其中，師生在相互傾聽(tīng)和接納過(guò)程中，更好地理解知識(shí)和珍視差異。學(xué)生11(交流討論后)：事實(shí)上，。．‘x1+x2>0，X1一X．<0．‘．f(X1)一f(X2)=X—X=(X1+X2)(Xl—X2)<0，得X<X即f(X1)<f(X2)。以上表述過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)解析式來(lái)描述。再次操作確認(rèn)，通過(guò)邏輯推理，從理論上給出單調(diào)函數(shù)定義形式化的表達(dá)。正如波利亞在《怎樣解題》中提到的：“嚴(yán)格表述的數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在形成過(guò)程中的數(shù)學(xué)則是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”教師：我們把具有函數(shù)值隨著自變量的增大而增大這種性質(zhì)的函數(shù)叫增函數(shù)。教師：我們應(yīng)如何定義增函數(shù)?教師進(jìn)一步從具體函數(shù)g(X)=X延伸到一般函數(shù)Y=f(X)，引導(dǎo)學(xué)生討論、交流，說(shuō)出各自的想法，并進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)，完善后給出增函數(shù)的定義，從具體到一般引出增函數(shù)的定義。教師：從函數(shù)圖像上可以看到，函數(shù)g(X)=X在Y軸左側(cè)是下降的，類比增函數(shù)的定義，你能概括出什么結(jié)論?學(xué)生通過(guò)觀察、驗(yàn)證，討論、交流，師生共同得出減函數(shù)的定義，由此培養(yǎng)學(xué)生的類比能力。教師：大家能分析一下增(減)函數(shù)定義中的要點(diǎn)嗎?教師首先讓學(xué)生自主閱讀課本中的概念，尋找增(減)函數(shù)定義的要點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，教師指導(dǎo)學(xué)生體會(huì)定義中關(guān)鍵字、詞和句，如：“某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值”、“都有”等。學(xué)生l2：我們能說(shuō)函數(shù)g(X)=X在X=0是增函數(shù)嗎?學(xué)生13：不行吧，概念中指明單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值。教師：非常好，說(shuō)明大家閱讀是比較認(rèn)真的，函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處是沒(méi)有單調(diào)性的。通過(guò)定義分析，實(shí)現(xiàn)師生和文本對(duì)話，學(xué)生把定義與圖形結(jié)合起來(lái)，使新舊知識(shí)融為一體，加深對(duì)單調(diào)函數(shù)概念的理解，同時(shí)也滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

三、深入自主探究，在共享中鞏固并倍增新知

教師：請(qǐng)同學(xué)們利用幾何畫(huà)板軟件，畫(huà)出函數(shù)Y=X一3x一9x在(一3，5)內(nèi)的圖像，并指出它的單調(diào)區(qū)間。教師：現(xiàn)在我們來(lái)思考必修一課本中的探究題：•36•函數(shù)f(x)=的定義域I是什么?它在定義域I上的單調(diào)性是怎樣的?你能用定義證明自己的結(jié)論嗎?學(xué)生14：定義域I是(一∞，0)u(0，+。。)，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)。學(xué)生15：好像不對(duì)吧，從函數(shù)圖像上看，從左至右，它的圖像不是一直下降的。學(xué)生16：現(xiàn)取兩個(gè)值，X=一1，X：=1，可得f(X1)=一1，f(X2)=1此時(shí)X1<X2，f(X1)<f(X2)。學(xué)生一下子感覺(jué)茫然了，找不出問(wèn)題關(guān)鍵所在。教師：回到定義，大家是否注意到這樣的話：“某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值”，這里任意兩個(gè)自變量的值是否應(yīng)該在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間來(lái)取值呢?如何更_tY_．fl0才獲得的結(jié)論呢?學(xué)生17：函數(shù)f(X)在區(qū)間(一∞，0)和(0，+∞)上是減函數(shù)。教師：回答很好。如何證明你們的結(jié)論呢?學(xué)生18(交流討論后)：任取0<x<x2，所以x一x1>0，X1‘2>0則f(x1)一f(x2)=一=>o所以函數(shù)f(X)在區(qū)間(0，+∞)上是減函數(shù)，同理可證，函數(shù)f(X)在區(qū)間(一o。，0)也是減函數(shù)。教師：以上題目的解題過(guò)程，請(qǐng)大家概括一下用定義證明一個(gè)函數(shù)是某個(gè)區(qū)間上的增(減)函數(shù)的一般步驟。學(xué)生(協(xié)作討論)：取值一作差一判斷符號(hào)一得出結(jié)論。

四、回顧總結(jié)

篇6

一、進(jìn)一步深入理解函數(shù)概念

初中階段已經(jīng)講述了函數(shù)的定義，進(jìn)入高中后在學(xué)習(xí)集合的基礎(chǔ)上，接著重新學(xué)習(xí)函數(shù)概念，主要是用映射觀點(diǎn)來(lái)闡明函數(shù)，這時(shí)就可以用學(xué)生已經(jīng)有一定了解的函數(shù)，特別是二次函數(shù)為例來(lái)更深刻地認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念。二次函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集A（定義域）到數(shù)集B上的對(duì)應(yīng)f：AB，使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素x對(duì)應(yīng)，記為f（x）=ax+bx+c（a≠0）。這里ax+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素x在集合B中的對(duì)應(yīng)元素，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí)，在學(xué)生掌握函數(shù)值的記號(hào)后，可以讓學(xué)生進(jìn)一步處理如下問(wèn)題：

題型I：已知f（x）=2x+x+2，求f（x+1）.

這里不能把f（x+1）理解為x=x+1時(shí)的函數(shù)值，只能理解為自變量為x+1的函數(shù)值。

題型Ⅱ：設(shè)f（x+1）=x-4x+1，求f（x）.

這個(gè)問(wèn)題理解為，已知對(duì)應(yīng)法則f下，定義域中的元素x+1在集合B中的對(duì)應(yīng)元素為x-4x+1，求定義域中元素x的在集合B中的對(duì)應(yīng)元素，其本質(zhì)是求對(duì)應(yīng)法則。

一般有兩種方法：

（1）把所給表達(dá)式表示成x+1的多項(xiàng)式。

f（x+1）=x-4x+1=（x+1）-6（x+1）+6，再用x代x+1得f（x）=x-6x+6.

（2）變量代換：它的適應(yīng)性強(qiáng)，對(duì)一般函數(shù)都適用。

令t=x+1，則x=t-1，所以f（t）=（t-1）-4（t-1）+1=t-6t+6，從而f（x）=x-6x+6.

二、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與圖像

在高中階階段學(xué)習(xí)單調(diào)性時(shí)，必須讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）在區(qū)間（-∞，-］及［-，+∞）上的單調(diào)性的結(jié)論用定義進(jìn)行嚴(yán)格的論證，使它建立在嚴(yán)密理論的基礎(chǔ)上，與此同時(shí)，進(jìn)一步充分利用函數(shù)圖像的直觀性，給學(xué)生配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)，使學(xué)生逐步自覺(jué)地利用圖像學(xué)習(xí)與二次函數(shù)有關(guān)的一些函數(shù)的單調(diào)性。

題型Ⅲ：畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并通過(guò)圖像研究其單調(diào)性。

（1）y=|x+2x-1|?搖（2）y=x+2|x|-1

這里要使學(xué)生注意這些函數(shù)與二次函數(shù)的差異和聯(lián)系。掌握把含有絕對(duì)值記號(hào)的函數(shù)用分段函數(shù)表示，然后畫(huà)出其圖像。

題型Ⅳ：設(shè)f（x）=x-2x-1在區(qū)間［t，t+1］上的最小值是g（t），求：g（t），并畫(huà)出y=g（t）的圖像.

解：f（x）=x-2x-1=（x-1）-2，在x=1時(shí)取最小值-2

當(dāng)1∈［t，t+1］即0≤t≤1，g（t）=-2

當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=f（t）=t-2t-1

當(dāng)t＜0時(shí)，g（t）=f（t+1）=t-2

g（t）=t-2，（t＜0）-2，（0≤t≤1）t-2t-1，（t＞1）

首先要使學(xué)生弄清楚題意。一般的，一個(gè)二次函數(shù)在實(shí)數(shù)集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但當(dāng)定義域發(fā)生變化時(shí)，取最大或最小值的情況也隨之變化，為了鞏固和熟悉這方面知識(shí)，可以再給學(xué)生補(bǔ)充一些練習(xí)。

如：y=x-5x+6（-3≤x≤-1），求該函數(shù)的值域.（可適當(dāng)改變區(qū)間）

三、二次函數(shù)的知識(shí)，可以準(zhǔn)確反映學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

題型Ⅴ：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x+（x-a）|x-a|.

（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；

（2）求f（x）的最小值；

（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），直接寫(xiě)出（不需給出演算步驟）不等式h（x）≥1的解集.

解析：本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問(wèn)題的綜合能力。

（1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1?圯a＜0a≥1?圯a≤-1

（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x-2ax+a，f（x）=f（a），a≥0f（），a＜0=2a，a≥0，a＜0

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x+2ax-a，f（x）=f（-a），a≥0f（a），a＜0=-2a，a≥02a，a＜0

綜上f（x）=-2a，a≥0，a＜0

（3）x∈（a，+∞）時(shí)，h（x）≥1得3x-2ax+a-1≥0，=4a-12（a-1）=12-8a，

當(dāng)a≤-或a≥時(shí)，≤0，x∈（a，+∞）；

當(dāng)-＜a＜時(shí)，＞0，得：（x-）（x-）≥0x＞a

討論得：當(dāng)a∈（，）時(shí)，解集為（a，+∞）；

當(dāng)a∈（-，-）時(shí)，解集為（a，］∪［，+∞）；

當(dāng)a∈［-，］時(shí)，解集為［，+∞）.

篇7

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程總是充滿了矛盾，如教與學(xué)的矛盾、學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的矛盾、學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的矛盾等.有矛盾才能有發(fā)展，其中，學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)基礎(chǔ)、能力水平與教學(xué)要求之間的矛盾是數(shù)學(xué)教學(xué)的決定性動(dòng)力.作為教師，應(yīng)努力做到敏銳地發(fā)現(xiàn)、深刻地認(rèn)識(shí)各種矛盾，進(jìn)而在教學(xué)中科學(xué)合理地暴露、“創(chuàng)設(shè)”甚至“激化”矛盾，以幫助學(xué)生在解決矛盾的過(guò)程中發(fā)展自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、提升自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這可以充分體現(xiàn)出教師的專業(yè)水平、教學(xué)能力與教學(xué)智慧.

“函數(shù)的單調(diào)性”是反映函數(shù)變化規(guī)律的一個(gè)最基本的性質(zhì)，是學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)概念后研究的第一個(gè)函數(shù)性質(zhì)，也是學(xué)生在高中階段遇到的第一個(gè)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)的概念，對(duì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)具有示范和引領(lǐng)作用.本節(jié)課匯集了數(shù)學(xué)教學(xué)的諸多矛盾，如何在教學(xué)中處理好這些矛盾，特別是其中的主要矛盾，對(duì)每個(gè)數(shù)學(xué)教師都是一項(xiàng)極具挑戰(zhàn)性的任務(wù).筆者認(rèn)為，“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，關(guān)鍵是要深刻認(rèn)識(shí)、科學(xué)處理以下“三個(gè)矛盾”.1 “上升”、“下降”、“單調(diào)”等名詞的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生的生活理解之間的矛盾

“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)，通常是從現(xiàn)實(shí)生活入手――展示某地某天的氣溫變化圖、舉出生活中描述“升降”變化規(guī)律的成語(yǔ)（如蒸蒸日上、每況愈下、此起彼伏）并畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象等，然后讓學(xué)生觀察得到：函數(shù)圖象有的呈上升趨勢(shì)，有的呈下降趨勢(shì)，有的在一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈上升趨勢(shì)，而在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)呈下降趨勢(shì)，此時(shí)教師指出：函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)――單調(diào)性，接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生用自然語(yǔ)言進(jìn)行描述，并體驗(yàn)單調(diào)性是函數(shù)的局部特征（教師可在此處提前介紹“增函數(shù)”、“減函數(shù)”、“單調(diào)區(qū)間”等名詞）.

這里，“上升”、“下降”、“單調(diào)”的數(shù)學(xué)意義與學(xué)生在日常生活中的理解有一定的“矛盾”：在生活中，若從A到B是“上升”，則從B到A就是“下降”，如同“上坡”“下坡”那樣，僅僅考慮了鉛垂方向；而在數(shù)學(xué)中，若x增大時(shí)y也隨之增大，則稱函數(shù)y=f（x）“上升”，若x增大時(shí)y隨之減小，則稱函數(shù)y=f（x）“下降”，是水平與鉛垂這兩個(gè)方向的“合成”.在生活中，“單調(diào)”是指“重復(fù)而缺少變化”；而在數(shù)學(xué)中，“單調(diào)”是指“隨著自變量的增大，函數(shù)值始終增大或始終減小”，是不斷變化的.對(duì)此，有些學(xué)生可能會(huì)因區(qū)分不清而產(chǎn)生錯(cuò)誤理解.例如，對(duì)于函數(shù)y=x2（x≥0），有學(xué)生認(rèn)為：x由小到大時(shí)，y是“上升”的，x由大到小時(shí)，y是“下降”的；又如，對(duì)于函數(shù)y=2，有學(xué)生認(rèn)為它是“單調(diào)”的，理由是“y始終沒(méi)有變化”.

因此，在本節(jié)課的教學(xué)中，教師應(yīng)明確地指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)名詞與日常概念區(qū)分開(kāi)：

（1）對(duì)于同一段函數(shù)圖象來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)上它究竟是“上升”還是“下降”，應(yīng)該是確定的，不能產(chǎn)生歧義.因此，我們選擇x軸正方向作為參照，從左往右，沿著圖象“策馬前行”，函數(shù)圖象的“上升”“下降”就有了統(tǒng)一的規(guī)則和統(tǒng)一的結(jié)論；

（2）數(shù)學(xué)上的“單調(diào)”，其本身也含有“重復(fù)而缺少變化”的意味，但它不是指函數(shù)值始終保持不變，而是指函數(shù)在某個(gè)區(qū)間“上升”“下降”（或“增加”“減少”）具有不變的規(guī)律性，反映的是一種“變中的不變性”，當(dāng)然也顯得“單調(diào)”.

2 學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知習(xí)慣與新知學(xué)習(xí)的必要性之間的矛盾

我們知道，“精確定量思維方式”是數(shù)學(xué)教育所能給予學(xué)生的最重要和最基本的數(shù)學(xué)素質(zhì)，也是培養(yǎng)學(xué)生理性精神的最好體現(xiàn).在高中階段，“函數(shù)的單調(diào)性”定義之所以要進(jìn)一步符號(hào)化（形式化），正是基于數(shù)學(xué)精確化、嚴(yán)謹(jǐn)性的要求.只有這樣，學(xué)生才可以通過(guò)準(zhǔn)確的計(jì)算進(jìn)行推理論證，以保證結(jié)論的嚴(yán)密性，在此過(guò)程中逐漸培養(yǎng)并形成“算法的思維”.

然而，學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過(guò)一次、二次、反比例函數(shù)，對(duì)函數(shù)的單調(diào)性已經(jīng)初步有了直觀形象的認(rèn)識(shí)：圖象從左往右上升（y隨x的增大而增大）是增函數(shù)，圖象從左往右下降（y隨x的增大而減小）是減函數(shù).他們會(huì)覺(jué)得這種定義通俗易懂、易于接受，用它解決函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)也沒(méi)遇到過(guò)什么困難，進(jìn)而產(chǎn)生疑問(wèn)：為什么還要費(fèi)盡周折地去學(xué)習(xí)符號(hào)化（形式化）定義呢？豈不是“多此一舉”！學(xué)生一旦在心理上排斥新知，那么教與學(xué)的效果都將大打折扣，這是一個(gè)很重要的問(wèn)題.

因此，在學(xué)習(xí)抽象的定義之前，教師應(yīng)針對(duì)性地設(shè)置“認(rèn)知沖突”，以便讓學(xué)生充分體驗(yàn)到學(xué)習(xí)新知的必要性，增強(qiáng)研究的興趣和積極主動(dòng)性.例如，可讓學(xué)生依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的圖象特征或自然語(yǔ)言描述，嘗試判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.由于學(xué)生對(duì)該函數(shù)的圖象性質(zhì)并不熟悉，因此無(wú)法判斷函數(shù)圖象呈現(xiàn)什么樣的變化趨勢(shì)，也難以根據(jù)函數(shù)解析式描述其變化規(guī)律.此時(shí)，學(xué)生就會(huì)自然意識(shí)到自己知識(shí)上的欠缺，認(rèn)識(shí)到用精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)定義的必要性，從而進(jìn)入一種“憤悱狀態(tài)”，產(chǎn)生較強(qiáng)勁的學(xué)習(xí)動(dòng)力.

3 學(xué)生現(xiàn)有的思維水平與函數(shù)單調(diào)性定義的思維要求之間的矛盾

這是本節(jié)課教學(xué)的核心矛盾.剛進(jìn)入高一的學(xué)生，其思維處于從經(jīng)驗(yàn)型水平向理論型水平轉(zhuǎn)變的階段，仍然偏于簡(jiǎn)單化、直觀化，邏輯思維水平不高，抽象概括能力不強(qiáng).函數(shù)單調(diào)性的定義，是數(shù)學(xué)概念形式化的典型案例，具有高度的抽象性.從“隨著x增大，y也增大”這一自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)換到“對(duì)于某區(qū)間上任意的x1<；x2，有f（x1）<；f（x2）”這一數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，跳躍性較大，學(xué)生非常不習(xí)慣，特別是為什么要用“任意”二字，在區(qū)間上“任意”取兩個(gè)大小不等的x1<；x2，通過(guò)比較f（x1）與f（x2）的大小來(lái)刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性，學(xué)生更是感到難以理解，容易產(chǎn)生思維障礙.

為此，教師應(yīng)精心設(shè)置一系列問(wèn)題，讓學(xué)生充分參與函數(shù)單調(diào)性定義的符號(hào)化過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)的研究方法，積累基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).首先，要緊緊抓住新舊知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，使得形式化定義是在文字語(yǔ)言描述的基礎(chǔ)上自然“生長(zhǎng)”出來(lái)的，而不是“天上掉下個(gè)林妹妹”.其次，對(duì)于單調(diào)性概念中“自變量不可能被窮盡”這一本質(zhì)（也是難點(diǎn)），應(yīng)及時(shí)喚醒學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，使他們自然想到用“任意”突破“無(wú)限”.最后，對(duì)于學(xué)生中出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，應(yīng)引導(dǎo)他們結(jié)合具體例子（最好是由學(xué)生自己舉出）、分別用圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言進(jìn)行辨析，以逐步形成對(duì)概念正確、全面而深刻的理解.

以下是筆者施教這一環(huán)節(jié)時(shí)的具體設(shè)計(jì)：

問(wèn)題1 如何用符號(hào)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析其中的關(guān)鍵詞“增大”的含義及其符號(hào)表示，得出：增大，刻畫(huà)的是一種相對(duì)性，說(shuō)明第二個(gè)量比第一個(gè)量大，它是兩個(gè)數(shù)值之間的大小比較.因此，可將x的第一個(gè)取值記為x1，第二個(gè)值記為x2，則將文字語(yǔ)言“當(dāng)x增大時(shí)，函數(shù)值f（x）隨之增大”用符號(hào)語(yǔ)言表示即為“當(dāng)x1<；x2時(shí)，f（x1）<；f（x2）”.

問(wèn)題2 能否取滿足x1<；x2的若干組具體數(shù)值，只要驗(yàn)證相應(yīng)的f（x1）<；f（x2）均成立，就可以斷定函數(shù)f（x）的單調(diào)性？

教師應(yīng)盡量放手讓學(xué)生思考討論，若學(xué)生作肯定回答，則追問(wèn)“為什么”；

若學(xué)生作否定回答，則讓其舉出反例，以不斷完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必要時(shí)教師應(yīng)進(jìn)行引導(dǎo)：

以函數(shù)f（x）=x2（x∈R）為例，由于自變量x的取值“無(wú)限”，因此，不論驗(yàn)證多少次也無(wú)法窮盡.雖然當(dāng)-1<；2<；3<；…時(shí)，有f（-1）<；f（2）<；f（3）<；…，但這并不能保證f（x）=x2（x∈R）的圖象從左往右始終“上升”.可見(jiàn)，具體驗(yàn)證是不可靠的.

問(wèn)題3 在此之前，你有沒(méi)有遇到過(guò)“無(wú)法窮盡”的情況？當(dāng)時(shí)是怎么處理的？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶“子集”的證明方法：設(shè)A、B是兩個(gè)無(wú)窮集合，要證明AB，逐一驗(yàn)證A中的每一個(gè)元素都屬于B是不可能的，于是，為了突破“無(wú)限”這個(gè)障礙，就一般性地“任取”一個(gè)元素x∈A，只要能證明x∈B就行了.

至此，學(xué)生不難理解，在函數(shù)f（x）的單調(diào)性中，x1、x2也應(yīng)該是“任意”的.

問(wèn)題4 設(shè)區(qū)間D是函數(shù)f（x）的定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間，如何用x1，x2，f（x1），f（x2）來(lái)刻畫(huà)函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是增函數(shù)、減函數(shù)呢？

學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)單調(diào)增（減）函數(shù)的定義，師生共同修正.在此過(guò)程中，學(xué)生可能會(huì)有一定的模仿的成分，這也是一種內(nèi)化的過(guò)程，對(duì)初學(xué)者來(lái)說(shuō)是正常的，也是必要的.

問(wèn)題5 請(qǐng)你嘗試?yán)蒙鲜龆x判斷函數(shù)y=x+1x在[1，+∞）內(nèi)的單調(diào)性.

這是對(duì)前述“遺留問(wèn)題”的呼應(yīng)，由學(xué)生盡量獨(dú)立完成，教師可在“作差”、“變形”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)適時(shí)予以指導(dǎo)，解決該問(wèn)題后，師生共同概括出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟.顯然，由之前的“不能”到現(xiàn)在的“能”，既加深了學(xué)生對(duì)定義的理解與掌握，也體現(xiàn)了定義的應(yīng)用價(jià)值，學(xué)生從中可以獲取成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和心理上的滿足感.

問(wèn)題6 判斷下列說(shuō)法是否正確，并說(shuō)明理由.

（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），若取x1=0，且對(duì)于任意的x2>；0，都有f（x2）>；f（0），則f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是增函數(shù)；

（2）下圖是三個(gè)分段函數(shù)（定義域均為R）的圖象，它們都是R上的增函數(shù)；

（3）反比例函數(shù)y=1x的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，0）∪（0，+∞）.

篇8

1. 幾何方面的應(yīng)用 在導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義是導(dǎo)數(shù)概念的延伸，是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的重要內(nèi)容。導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念，當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個(gè)函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時(shí)，稱這個(gè)函數(shù)可導(dǎo)或者可微分。可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)，不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。

在解析幾何中，我們求曲線的切線，只需要知道曲線的方程y=f（x）和曲線上的任意一點(diǎn)，利用對(duì)函數(shù)求導(dǎo)就可以得到這一點(diǎn)的切線方程。

下面給出求曲線的切線方程的方法步驟：

（1）求導(dǎo)數(shù)，得到曲線在該點(diǎn)的切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，利用點(diǎn)斜式求出切線方程：y-f（x0）=f'（x0）（x-x0）

例1. 試求曲線y=xlnx上點(diǎn)（1，2）的切線方程

解： 對(duì)函數(shù)f（x）=xlnx

求導(dǎo)得f'（x）=lnx+1

所以f'（1）=ln1+1=1，所以在點(diǎn)（1，2）的切線方程為

y-2=1（x-1）

即 y=x+1

切線方程： y=x+1

先求出函數(shù)y=f（x）在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式便可求出切線方程。

例2. 求垂直于直線2x-6y+1=0并且和曲線y=x3+3x2-5相切的直線方程。

解 因?yàn)樗蟮闹本€與已知直線2x-6y+1=0垂直

所以所求直線的斜率 k1=-3

又因?yàn)樗笾本€與y=x3+3x2-5相切，

所以它的斜率 k2=y'=3x2+6x

因?yàn)閗1=k2 即 3x2+6x=-3

所以（x+1）2=0 即 x=-1

代入曲線方程得 y=（-1）3+3（-1） 2-5=-3

所以切點(diǎn)為 （-1，-3）

故所求直線方程為y+3=-3（x+1）即3x+y+6=0 。

2. 在函數(shù)方面的應(yīng)用 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)性質(zhì)的試題，研究對(duì)象已經(jīng)突破了單純的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等命題常以復(fù)合的函數(shù)形式出現(xiàn)。

2.1 函數(shù)單調(diào)性的討論。（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最基本的性質(zhì)之一，是研究函數(shù)所要掌握的最基本的知識(shí)。通常用定義來(lái)判斷，但當(dāng)函數(shù)表達(dá)式較復(fù)雜時(shí)判斷f（x1）-f（x2）正負(fù)較困難。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，只需求出f'（x） ，再考慮f'（x）的正負(fù)即可。此方法簡(jiǎn)單快捷而且適用面廣。

利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

一般地，在某個(gè)區(qū)間（a，b）內(nèi)，如果f'（x）>0 ，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f'（x）<0 ，那么函數(shù)y=f（x）在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。

如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f'（x）=0 ，則f'（x）是常函數(shù)。

注意：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)， f'（x）>0 是f'（x）在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件。

（2）求函數(shù)y=f（x）單調(diào)區(qū)間的步驟。

①確定y=f（x）的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)解f'（x）=0 此方程，求出它們?cè)诙x域區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù)根。

③當(dāng)f'（x）>0時(shí)， y=f（x）在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f'（x）<0時(shí)， y=f（x）在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)。

例3. 判定函數(shù)y1=x3-x和y2=x3+x在（-∞，+∞）上的增減性。

解： y'1=3x2-1=3（x+13）（x-13）

當(dāng)y'1>0 得 x<-13或x>13

當(dāng)y'1<0 得 -13

所以y1=x3-x在（-∞，-13）和（13，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-13，13）內(nèi)單調(diào)遞減。

因?yàn)閥'2=3x2+1>0 ， 故y2=x3+x在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增。

2.2 函數(shù)的極值的求法。

例4.求函數(shù)f（x）=13x3-4x+4的極值。

解：因?yàn)?f（x）=13x3-4x+4，所以f'（x）=x2-4=（x-2）（x+2） 。

令f'（x）=0 ，解得x=2或x=-2 。

下面分兩種情況討論：

（1）當(dāng)f'（x）>0 ，即x >2或x <-2時(shí)；

（2）當(dāng)f'（x）<0 ，即-2

當(dāng)x變化時(shí)，f'（x） ，f（x） 的變化情況如下表：

因此，當(dāng)x=-2 時(shí)， f（x）有極大值，并且極大值為f（-2）=283 ；

當(dāng)x=2 時(shí)， f（x）有極小值，并且極小值為f（2）= -43。

點(diǎn)評(píng)：求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟可歸納為：

（1）求導(dǎo)數(shù)f'（x） ；

（2）求方程f'（x）=0 的根；

（3）檢查f'（x） 在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x） 在這個(gè)點(diǎn)處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x） 在這個(gè)點(diǎn)出取得極小值。

2.3 函數(shù)的最值求法。極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的局部性質(zhì)，而不是函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)的性質(zhì)。在解決實(shí)際問(wèn)題或研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們更關(guān)心函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上，哪個(gè)值最大，哪個(gè)值最小。當(dāng)然函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上一定是連續(xù)的不斷的曲線，它必有最大值和最小值。

例5. 求函數(shù)y=cos2x+cosx+1 的極值和最值。

解： y'=-2cosxsinx-sinx ，

令y'=0 得 sinx（2cosx+1）=0

解得sinx=0或cosx=- 12， 由sinx=0 可得：

cosx=1或cosx=-1 ，因此，

當(dāng)cosx=- 12 時(shí)，得y極小 = 34；

當(dāng) cosx=1時(shí)， 得 y極大=3；

當(dāng)cosx=-1 時(shí)，得y極大=1 。

則ymax =3， ymin= 34

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)。它涉及到了高中數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，要解決這類問(wèn)題往往需要各種技能，并且需要選擇合理的解題途徑。用導(dǎo)數(shù)解決這類問(wèn)題可以使解題過(guò)程簡(jiǎn)化，步驟清晰，學(xué)生也好掌握.應(yīng)注意函數(shù)的極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，極值是一個(gè)局部性概念，最值是某個(gè)區(qū)間的整體性概念。

一般地，求函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：

（1）求 f（x）在（a，b） 內(nèi)的極值；

（2）將 f（x）的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b） 比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，從而得出函數(shù)f（x） 在[a，b] 上的最值。

3. 利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題，也稱為最值問(wèn)題。解決這些問(wèn)題具有非常現(xiàn)實(shí)的意義。這些問(wèn)題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（小）值問(wèn)題。

例6.有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合建一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最省？

解：設(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米，所需水管總費(fèi)用為y元，

則y=500（50-x）+700 x2+402=25000-500x+700 x2+1600，

y'=-500+700x12（x2+1600）-122x=-500+700x x2+1600，令 y'=0，解得 x=50 63

當(dāng)x∈[0，50 63） 時(shí)，y'<0 ；當(dāng)x∈[50 63，50） 時(shí)，y'>0 ，所以當(dāng) x=50 63時(shí)， y'取得極小值，也是最小值。

答：水廠建在距甲距離為50-50 63 千米時(shí)，所需水管費(fèi)用最省。

解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問(wèn)題情景”譯為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，找出問(wèn)題的主要關(guān)系，并把得主要關(guān)系近似化、形式化、抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題。再化歸為常規(guī)問(wèn)題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法解題。

“生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例”實(shí)際上是求實(shí)際問(wèn)題的最大（小）值，其主要步驟如下：

（1）列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中的變量之間的函數(shù)關(guān)y=f（x）系 ；

（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'（x） ，解方程f'（x）=0 ；（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f'（x）=0 的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大（小）者為最大（小）值。

導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中只能介紹一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用。對(duì)于高中學(xué)生，這一部分內(nèi)容不能挖掘太深，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，本質(zhì)上就是將初等數(shù)學(xué)中一些高難度、繁雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化。但也要求學(xué)生對(duì)該部分內(nèi)容要掌握其實(shí)質(zhì)，弄清楚與其他各章節(jié)內(nèi)容的聯(lián)系。從解決上述三個(gè)方面的應(yīng)用中可以看到，導(dǎo)數(shù)在應(yīng)對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，感覺(jué)有入手易，過(guò)程簡(jiǎn)便的優(yōu)勢(shì)，它的最終目的還是考查函數(shù)的性質(zhì)。所以我們不僅要掌握導(dǎo)數(shù)的概念，求導(dǎo)的公式和求導(dǎo)的法則及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的極值、單調(diào)區(qū)間。證明函數(shù)的增減性等，還要學(xué)會(huì)把導(dǎo)數(shù)與其它知識(shí)相結(jié)合，去尋找求一些復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法。

參考文獻(xiàn)

[1] 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選修2-2A版，人民教育出版社

篇9

思維品質(zhì)包括思維的深刻性、嚴(yán)密性、靈活性、敏捷性、獨(dú)立性等。如何有效地培養(yǎng)學(xué)生的思維思維品質(zhì)呢？我在教學(xué)實(shí)踐中作了一些探索：

一、思維深刻性的培養(yǎng)

函數(shù)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，貫穿于數(shù)學(xué)的始終。函數(shù)的定義域是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素之一，函數(shù)的定義域似乎是非常簡(jiǎn)單的，然而在解決問(wèn)題中不加以注意，常常會(huì)使人誤入歧途。在解函數(shù)題中強(qiáng)調(diào)定義域?qū)忸}結(jié)論的作用與影響，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)是十分有益的。函數(shù)單調(diào)性是指函數(shù)在給定的定義域區(qū)間上函數(shù)自變量增加時(shí)，函數(shù)值隨著增減的情況，所以討論函數(shù)單調(diào)性必須在給定的定義域區(qū)間上進(jìn)行。

如果在做題時(shí)，沒(méi)有在定義域的兩個(gè)區(qū)間上分別考慮函數(shù)的單調(diào)性，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念一知半解，沒(méi)有理解，在做練習(xí)或作業(yè)時(shí)，只是對(duì)題型，套公式，而不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)，也說(shuō)明學(xué)生的思維缺乏深刻性。

二、思維嚴(yán)密性的培養(yǎng)

函數(shù)關(guān)系式包括定義域和對(duì)應(yīng)法則，所以在求函數(shù)的關(guān)系式時(shí)必須要考慮所求函數(shù)關(guān)系式的定義域，否則所求函數(shù)關(guān)系式可能是錯(cuò)誤。如：某單位計(jì)劃建筑一矩形圍墻，現(xiàn)有材料可筑墻的總長(zhǎng)度為100m，求矩形的面積S與矩形長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式？

解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：

S=X(50-X)故函數(shù)關(guān)系式為：S=X(50-X) ．

如果解題到此為止，則本題的函數(shù)關(guān)系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說(shuō)學(xué)生的解題思路不夠嚴(yán)密。因?yàn)楫?dāng)自變量 取負(fù)數(shù)或不小于50的數(shù)時(shí)，S的值是負(fù)數(shù)，即矩形的面積為負(fù)數(shù)，這與實(shí)際問(wèn)題相矛盾，所以還應(yīng)補(bǔ)上自變量 的范圍：0

即：函數(shù)關(guān)系式為： S=X(50-X)（ 0

這個(gè)例子說(shuō)明，在用函數(shù)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，必須要注意到函數(shù)定義域的取值范圍對(duì)實(shí)際問(wèn)題的影響。若考慮不到這一點(diǎn)，就體現(xiàn)出學(xué)生思維缺乏嚴(yán)密性。若注意到定義域的變化，就說(shuō)明學(xué)生的解題思維過(guò)程體現(xiàn)出較好思維的嚴(yán)密性。

三、思維靈活性的培養(yǎng)

思維的靈活性指善于根據(jù)事物的發(fā)展變化，及時(shí)地用新的觀點(diǎn)看待已經(jīng)變化了的事物，并提出符合實(shí)際的解決問(wèn)題的新設(shè)想、新方案和新方法。 實(shí)踐證明講什么練什么的單一反饋模式易使學(xué)生形成錯(cuò)誤定勢(shì)，不利于學(xué)生知識(shí)的掌握，技能的形成和素質(zhì)的發(fā)展。因此應(yīng)重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行多角度的類比訓(xùn)練，使學(xué)生舉一反三，觸類旁通，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)心解決問(wèn)題的思考過(guò)程及采用策略。 如在講授反正弦函數(shù)時(shí)，教師可以這樣安排講授：

①對(duì)于我們過(guò)去所講過(guò)的正弦函數(shù)Y=SinX是否存在反函數(shù)？為什么？

②在（-∞，+∞）上，正弦函數(shù)Y=SinX不存在反函數(shù)，那么我們本節(jié)課應(yīng)該怎么樣研究所謂的反正弦函數(shù)呢？

③為了使正弦函數(shù)Y=SinX滿足Y與X間成單值對(duì)應(yīng)，這某一區(qū)間如何尋找，怎樣的區(qū)間是最佳區(qū)間，為什么？

講授反余弦函數(shù)Y=ArcCosX時(shí)，在完成了上述同樣的三個(gè)步驟后，我們可向?qū)W生提出第四個(gè)問(wèn)題：

④反余弦函數(shù)Y=ArcCosX與反正弦函數(shù)Y=ArcSinX在定義時(shí)有什么區(qū)別。造成這些區(qū)別的主要原因是什么，學(xué)習(xí)中應(yīng)該怎樣注意這些區(qū)別。

四、思維獨(dú)立性的培養(yǎng)

教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材和借助形象思維的參與，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性。 例如我在《等比數(shù)列求和公式》的教學(xué)中，首先講了這樣一個(gè)故事：甲、乙兩人訂立了一個(gè)合同，一個(gè)月內(nèi)甲每天需付給乙1萬(wàn)元，而乙第一天需付給甲1分錢，第二天2分錢，第三天4分錢……，以后每天乙付給甲的錢數(shù)都是前一天的2倍，直到30天期滿．猜想一下，這一合同對(duì)誰(shuí)有利？由于問(wèn)題富有趣味性，學(xué)生頓時(shí)活躍起來(lái)，憑自己的自覺(jué)猜測(cè)結(jié)論．我及時(shí)點(diǎn)題：這就是我們今天研究的課題《等比數(shù)列求和公式》．這樣巧設(shè)懸念，使學(xué)生一開(kāi)始就對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，自覺(jué)地啟動(dòng)積極的思維。

篇10

1． 串聯(lián)情況：本部分是函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)． 重點(diǎn)是了解函數(shù)的定義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域、值域，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用． 在熟練掌握有關(guān)技能的同時(shí)，注意換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，并通過(guò)對(duì)分段函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、抽象函等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)．

2． 考情分析：從近幾年來(lái)看，對(duì)本考點(diǎn)的考查形勢(shì)穩(wěn)中求變，向著更靈活的方向發(fā)展，多為尋求變量間的函數(shù)關(guān)系，再求出函數(shù)的定義域、值域，進(jìn)而研究函數(shù)性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題．考查以選擇或填空題為主，以解答題形式出現(xiàn)的可能性相對(duì)較小，本節(jié)知識(shí)作為工具和其他知識(shí)結(jié)合起來(lái)命題的可能性依然很大．

3． 破解技巧：

（1）函數(shù)的定義域是使式子有意義的自變量的取值范圍，一般是構(gòu)建不等式組求解．

（2）要克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，其中列表法、圖象法直觀，解析法是常用表述法，同時(shí)也要注意自變量的實(shí)際意義的要求．

（3）確定函數(shù)f（x）的值域或最值一般用不等式法、配方法、幾何法、換元法，也可直接利用它的圖象和性質(zhì)求解，還可利用單調(diào)性定義或?qū)?shù)法確定其性質(zhì)，再求值域．

4． 經(jīng)典例題：

函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)锳，g（x）=lg［（x－a－1）（2a－x）］（a

（1）求A；

（2）若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

破解思路 實(shí)數(shù)集合間的相互關(guān)系一般需注意數(shù)軸（或韋恩圖）的利用；含參問(wèn)題討論需注意合理的分類討論．

經(jīng)典答案 （1）由2－≥0得x

（2）由（x－a－1）（2a－x）>0得［x－（a+1）］（x－2a）

設(shè)函數(shù)f（x）=x－1（x≥0），（xa，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

破解思路 分段函數(shù)體現(xiàn)了“分類”的數(shù)學(xué)方法，也是高考命題的熱點(diǎn)之一． 解此類問(wèn)題一般需從兩方面考慮問(wèn)題，必要時(shí)可結(jié)合圖象處理．

經(jīng)典答案 法1：當(dāng)a≥0時(shí)，有a－1>a，得a

法2：分別作出函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)y=x的圖象，用兩函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)確定取值范圍．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)的圖象與性質(zhì)是函數(shù)的主體部分． 考查形式靈活多變，一般是通過(guò)函數(shù)與不等式、導(dǎo)數(shù)或數(shù)列的交匯與鏈接，借助函數(shù)圖象的直觀工具，全面考查函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合、抽象思維、邏輯推理及創(chuàng)新能力．

2． 考情分析：函數(shù)性質(zhì)是高考命題的主線索，不論是何種函數(shù)，必須與函數(shù)性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，函數(shù)圖象是函數(shù)形的體現(xiàn)，著力考查作圖、識(shí)圖、用圖能力． 從近幾年來(lái)看，以中等難度、題型新穎的試題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，預(yù)計(jì)以組合形式、一題多角度考查函數(shù)性質(zhì)的試題會(huì)成為新的熱點(diǎn)．

3． 破解技巧：函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，學(xué)習(xí)本單元要從定形、定性、定位各方面深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法；掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律，并靈活運(yùn)用圖象輔助解題．

4． 經(jīng)典例題：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+2x－a（x∈R，a為實(shí)數(shù)）

（1）若f（x）為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）設(shè)a>2，求函數(shù)f（x）的最小值．

破解思路 （1）函數(shù)的奇偶性問(wèn)題，一要確定函數(shù)的定義域，二要看f（x）與f（－x）的關(guān)系；

（2）討論二次函數(shù)的區(qū)間最值問(wèn)題：①注意對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置；②注意系數(shù)a的符號(hào)對(duì)拋物線開(kāi)口方向的影響．

經(jīng)典答案 （1）由偶函數(shù)的定義得f（－x）=f（x），即2x－a=2x+a，解得a=0．

（2）f（x）=x2+2x－a（x≥a），x2－2x+a（x2，x≥a，得x>1，從而f（x）在x≥a時(shí)單調(diào)遞增， f（x）的最小值為f=．

當(dāng)x0知f（x）的最小值為a－1．

假設(shè)定義域?yàn)椋?，1］的函數(shù)f（x）同時(shí)滿足以下三個(gè)條件時(shí)稱f（x）為“友誼函數(shù)”：

①對(duì)任意的x∈［0，1］，總有f（x）≥0；

②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立，則下列判斷正確的有_________．

（1）f（x）為“友誼函數(shù)”，則f（0）=0；

（2）函數(shù)g（x）=2x－1在區(qū)間［0，1］上是“友誼函數(shù)”；

（3）若f（x）為“友誼函數(shù)”，且0≤x1

破解思路 解決抽象函數(shù)問(wèn)題一般有三種思路：

①利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用；

②適當(dāng)?shù)摹百x值”也是得到一些基礎(chǔ)結(jié)論的好方法；

③尋求函數(shù)“模型”通過(guò)簡(jiǎn)圖處理．

經(jīng)典答案 （1）取x1=x2=0得f（0）≥f（0）+f（0），又由f（0）≥0，得f（0）=0．

（2）顯然g（x）=2x－1在［0，1］上滿足①g（x）≥0；②g（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，則有g(shù)（x1+x2）－［g（x1）+g（x2）］=2－1－［（2－1）+（2－1）］=（2－1）（2－1）≥0，故g（x）=2x－1滿足條件①②③，所以g（x）=2x－1為友誼函數(shù)．

（3）因?yàn)?≤x1

綜上，正確答案是（1）（2）（3）．

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：f（2－x）=－f（x），且在［－1，0］上是增函數(shù)，下面關(guān)于f（x）的判斷：

①f（x）是周期函數(shù)；

②f（5）=0；

③f（x）在［1，2］上是減函數(shù)；

④f（x）在［－2，－1］上是減函數(shù)．其中正確的判斷是________.

（把你認(rèn)為正確的判斷都填上）

破解思路 研究函數(shù)圖象，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面入手，即解析式定量分析與圖象的定性分析．

經(jīng)典答案 因?yàn)閒（2－x）=－f（x），所以f（x）有對(duì)稱中心（1，0）．

又f（2－x）=－f（x），所以f（x）= －f（2－x），所以f（x+4）=－f［2－（x+4）］= －f［－（x+2）］．

又f（x）為偶函數(shù)，所以f（x+4）= －f（x+2），所以f（x+4）=f［2－（x+2）］=f（－x）=f（x），所以4是f（x）的一個(gè)周期．

從而由圖象可知其中正確的判斷是①②③．

1． 串聯(lián)情況：二次函數(shù)是中學(xué)代數(shù)的基本內(nèi)容之一，它既簡(jiǎn)單又具有豐富的內(nèi)涵和外延． 作為最基本的初等函數(shù)，可以它為素材來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最值等性質(zhì)，還可建立起函數(shù)、方程、不等式之間的有機(jī)聯(lián)系；作為拋物線，可以聯(lián)系其他平面曲線討論相互之間關(guān)系．

2． 考情分析：有關(guān)二次函數(shù)的內(nèi)容與近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展緊密聯(lián)系，是我們進(jìn)入高校繼續(xù)深造的重要知識(shí)基礎(chǔ)． 從近幾年高考的形勢(shì)來(lái)看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”（即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式）的考查力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用． 高考試題中有近一半的試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān)．

3． 破解技巧：學(xué)次函數(shù)，可以從兩個(gè)方面入手：一是解析式，二是圖象特征． 從解析式出發(fā)，可以進(jìn)行純粹的代數(shù)推理，從圖象特征出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的自然結(jié)合．

4． 經(jīng)典例題：

已知二次函數(shù)y=f（x）=x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），且函數(shù)y=fx－是偶函數(shù)．

（1）求f（x）的解析式．

（2）已知t

（3）函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)是一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

破解思路 （1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的基本方法，可設(shè)一般式、頂點(diǎn)式、兩根式，若是結(jié)合圖象處理可獲簡(jiǎn)潔過(guò)程．

（2）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質(zhì)求解；也可利用單調(diào)性定義或?qū)?shù)法確定其性質(zhì)，再求值域．

經(jīng)典答案 （1）因?yàn)楹瘮?shù)y=fx－是偶函數(shù)，對(duì)稱軸方程為x=－，故b=1．

又因?yàn)槎魏瘮?shù)f（x）=x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．

因此， f（x）的解析式為f（x）=x2+x+11．

（2）g（x）=（x-2）•x，當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=－（x-1）2+1，當(dāng)x>0時(shí)，g（x）=（x-1）2－1，由此可知g（x）max=0．

當(dāng)1≤t

當(dāng)1－≤t

當(dāng)t

（3）如果函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，設(shè)為P（m，n2），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，則m2+m+11=n2，從而4n2－（2m+1）2=43，即［2n+（2m+1）］［2n－（2m+1）］=43．

注意到43是質(zhì)數(shù)，且2n+（2m+1）>2n－（2m+1），2n+（2m+1）>0，所以有2n+（2m+1）=43，2n－（2m+1）=1，解得m=10，n=11.

因此，函數(shù)y=f（x）的圖象上存在符合要求的點(diǎn)，它的坐標(biāo)為（10，121）．

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a，b∈R，a>0），設(shè)方程f（x）=x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2．

（1）如果x1

（2）如果x1

破解思路 在求解二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，要靈活運(yùn)用判別式、邊界函數(shù)值、對(duì)稱軸等來(lái)轉(zhuǎn)化運(yùn)算過(guò)程． 本題條件x1

經(jīng)典答案 設(shè)g（x）=f（x）－x=ax2+（b－1）x+1，則g（x）=0的兩根為x1和x2．

（1）由a>0及x1

即3+3•－

（2）由（x1－x2）2=（x1+x2）2－4x1x2=－， 可得2a+1=． 又x1x2=>0，所以x1，x2同號(hào)．

所以x1

即g（2）0，2a+1=或g（－2）0，2a+1=，解之得b．

本題還可拆分為以下兩道較簡(jiǎn)單的問(wèn)題：

（拆分1）集合A=｛（x，y）y=x2+mx+2｝，B=｛（x，y）x－y+1=0，且0≤x≤2｝，若A∩B≠，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． （答案：m∈（－∞，－1］）

（拆分2）已知關(guān)于x的方程x2－2tx+t2－1=0的兩個(gè)實(shí)根屬于區(qū)間（-2，4），則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_______．（答案：－1

把題設(shè)中“兩個(gè)實(shí)根屬于區(qū)間（-2，4）”改為“至少有一實(shí)根屬于區(qū)間（-2，4）”或“至少有一實(shí)根屬于區(qū)間［－2，4］”或“一實(shí)根大于4，一實(shí)根小于-2”作為練習(xí)效果更好．

已知函數(shù)f（x）=ax2+（b－8）x－a－ab（a≠0）. 當(dāng)x∈（－3，2）時(shí)， f（x）>0；當(dāng)x∈（－∞，－3）∪（2，+∞）時(shí)， f（x）

（1）求f（x）在［0，1］內(nèi)的值域；

（2）當(dāng)c為何值時(shí)，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立？

破解思路 （1）確定函數(shù)f（x）在［a，b］上的值域，可直接利用它的圖象和性質(zhì)求解，也可利用單調(diào)性的定義或?qū)?shù)法確定其有關(guān)性質(zhì)，再求值域.

（2）關(guān)于不等式恒成立的問(wèn)題，常見(jiàn)解法有數(shù)形結(jié)合法、分離參數(shù)法與主元法. 多數(shù)與參數(shù)取值范圍有關(guān)的問(wèn)題，都可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題來(lái)處理. 如以下兩道題.

（拆分1）設(shè)f（x）=x2－2ax+2，當(dāng)x∈［－1，+∞）時(shí)， f（x）≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. （答案：a∈［－3，1］）

（拆分2）已知函數(shù)f（x）=lg（2x－b），b為常數(shù)，若當(dāng)x∈［1，+∞）時(shí)， f（x）≥0，則（ ）

A. b≤1 B. b

C. b≥1 D. b=1

（答案:A）

經(jīng)典答案 由題意得x=－3和x=2是函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，且a≠0，則0=a•（－3）2+（b－8）•（－3）－a－ab，

0=a•22+（b－8）•2－a－ab.解得a=－3，

b=5.所以f（x）=－3x2－3x+18.

（1）由函數(shù)圖象知，函數(shù)f（x）在［0，1］內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)x=0時(shí)，y=18；當(dāng)x=1時(shí)，y=12. 所以f（x）在［0，1］內(nèi)的值域?yàn)椋?2，18］.

（2）令g（x）=－3x2+5x+c，則g（x）在，+∞上單調(diào)遞減. 要使g（x）≤0在［1，4］上恒成立，則需g（x）max=g（1）≤0，即－3+5+c≤0，解得c≤－2. 所以當(dāng)c≤－2時(shí)，不等式ax2+bx+c≤0在［1，4］上恒成立.

1． 串聯(lián)情況：本部分主要側(cè)重考查以下幾點(diǎn)：一是以指對(duì)數(shù)運(yùn)算為依據(jù)，考查求函數(shù)值、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；以考查單調(diào)性為目的的大小比較；以指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)為載體，以某一性質(zhì)為核心，結(jié)合其他知識(shí)，把問(wèn)題延伸，主要以考查知識(shí)的綜合運(yùn)用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位． 從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題． 題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考查函數(shù)的性質(zhì)． 若它們與其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大．

3． 破解技巧：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，運(yùn)算可相互轉(zhuǎn)化，性質(zhì)可相互理解，方法可相互借鑒．

（1）學(xué)會(huì)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化；

（2）結(jié)合指對(duì)數(shù)“互反”性質(zhì)記憶有關(guān)的概念、圖象和性質(zhì)．

（3）底是參數(shù)時(shí)，一定要區(qū)分底是大于1還是小于1的，與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題還要緊扣對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）=ax（x

A． 0， B． （0，1）

C． ，1 D． （0，3）

破解思路 本題考查意圖：一是解決指數(shù)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要對(duì)底數(shù)a進(jìn)行討論；二是考慮分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，這是學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，應(yīng)緊扣定義理解．

經(jīng)典答案 由條件知， f（x）在R上為減函數(shù)，則0

設(shè)函數(shù)f（x）=loga1－，其中0

（1）證明：f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)；

（2）解不等式f（x）>1．

破解思路 證明函數(shù)單調(diào)性的常用方法有：

定義法，一般是作差、分解、判斷.

導(dǎo)數(shù)法，若f（x）在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則f ′（x）≥0（x∈A）f（x）在A內(nèi)為增函數(shù)；

f ′（x）≤0（x∈A）f（x）在A內(nèi)為減函數(shù)．

經(jīng)典答案 （1）任取x1，x2∈（a，+∞），且x1f（x2），所以f（x）是（a，+∞）上的減函數(shù)．

（2）由01得loga1－>logaa，則0

已知函數(shù)f（x）=a－，

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；

（2）求證：不論a為何實(shí)數(shù)， f（x）在R上總為增函數(shù)；

（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

破解思路 （1）判斷函數(shù)的奇偶性，先考察定義域，再利用定義判定；

（2）解決具體函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，一般可用單調(diào)性定義解決；也可用求導(dǎo)方法解決． 但用定義證明要注意合理的判斷過(guò)程．

經(jīng)典答案 （1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0=a－1，所以a=1；

（2）函數(shù)f（x）在（－∞，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：設(shè)x1，x2∈R，且x1

因?yàn)楹瘮?shù)y=2x在R上是增函數(shù)，且y>0，又因?yàn)閤10，所以f（x1）

（3）由單調(diào)性知2x+1>1，則0

定義在R上的單調(diào)函數(shù)f（x）滿足f（3）=log23且對(duì)任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．

（1）求證：f（x）為奇函數(shù)；

（2）若f（k•3x）+f（3x－9x－2）

破解思路 利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“f”符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解．

經(jīng)典答案 （1）證明：在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令x=y=0，代入上式，得f（0）=0；再令y=－x代入上式，得f（x－x）=f（x）+f（－x）=f（0）=0，即f（－x）=－f（x）對(duì)任意x∈R成立，所以f（x）是奇函數(shù)．

（2）f（3）=log23>0，即f（3）>f（0），又f（x）在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f（x）在R上是增函數(shù)，且f（x）是奇函數(shù)．f（k•3x）

令t=3x>0，問(wèn)題等價(jià)于g（t）=t2－（1+k）t+2>0對(duì)任意t>0恒成立．

當(dāng)

當(dāng)≥0，即k≥－1時(shí)，則g=2－>0，得－1≤k

綜上，當(dāng)k

1． 串聯(lián)情況：本部分內(nèi)容在高考中地位并不非常突出，但屬于必考內(nèi)容，整個(gè)命題過(guò)程源于教材，又高于教材，是教材中問(wèn)題的延伸、變形與組合，主要以考查知識(shí)的綜合運(yùn)用和能力的發(fā)展為目的．

2． 考情分析：函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解一定是高考的考點(diǎn)． 題型可為選擇題、填空題和解答題，多為函數(shù)零點(diǎn)（即方程的根）的應(yīng)用問(wèn)題，即已知函數(shù)的零點(diǎn)的存在情況求參數(shù)的值，同時(shí)考查函數(shù)方程的思想．

3． 破解技巧：解決該類問(wèn)題關(guān)鍵是利用函數(shù)方程思想或數(shù)形結(jié)合思想，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的方程或不等式求解．

4． 經(jīng)典例題：

定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

破解思路 奇偶函數(shù)的問(wèn)題，可以根據(jù)對(duì)稱性先研究一部分，數(shù)形結(jié)合是解決此類問(wèn)題的常用方法．

經(jīng)典答案 因?yàn)閤≥0時(shí)， f（x）=log0.5（x+1）（0≤x

綜上S=－1（－1

1． 串聯(lián)情況：導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的內(nèi)容，是解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)，研究函數(shù)的性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、極值和最值是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題．

2． 考情分析：對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的交匯考查非常全面，所占分值較高，既有基本題也有綜合題． 一般以兩種形式考查：一是直接把導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于多項(xiàng)式函數(shù)性質(zhì)的研究，考查多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等：二是把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列等相聯(lián)系，進(jìn)行綜合考查，主要考查函數(shù)的最值或求參數(shù)取值范圍問(wèn)題．

3． 破解技巧：首先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)f ′（x），得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，一般列表判定單調(diào)區(qū)間與極值或最值；若是含參變量的單調(diào)性或極值問(wèn)題，則應(yīng)結(jié)合定義域?qū)Ψ匠谈膯?wèn)題進(jìn)行討論；求解某些綜合問(wèn)題時(shí)，還要進(jìn)行命題轉(zhuǎn)化（如恒成立、大小比較、數(shù)列問(wèn)題等），逐步化歸為基本問(wèn)題來(lái)解決，尤其要注意分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想的綜合運(yùn)用．

4． 經(jīng)典例題：

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋郏?，+∞），部分函數(shù)值如表1所示，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖1所示，若正數(shù)a，b滿足f（2a+b）

表1

圖2

A． ，1

B． ，4

C． （1，4）

D． －∞，∪（4，+∞）

破解思路 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與利用初等函數(shù)研究單調(diào)性不同，其中導(dǎo)函數(shù)是通過(guò)函數(shù)值的正負(fù)研究其單調(diào)性的，初等函數(shù)是通過(guò)圖象的上升或下降來(lái)研究其單調(diào)性的．

經(jīng)典答案 由函數(shù)表與導(dǎo)數(shù)圖判定得－3

已知函數(shù)f（x）=x3+2bx2+cx－2的圖象在與x軸交點(diǎn)處的切線方程是y=5x－10．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+mx，若g（x）的極值存在，求實(shí)數(shù)m的取值范圍以及函數(shù)g（x）取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值．

破解思路 用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究切線方程時(shí)要注意該點(diǎn)是否在曲線上． “三次型”函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二次函數(shù)，我們往往可以通過(guò)研究二次函數(shù)的根的分布問(wèn)題來(lái)解決此類題目．

參考答案 （1）由已知，切點(diǎn)為（2，0），故有f（2）=0，即4b+c+3=0．①

又f ′（x）=3x2+4bx+c，由已知f ′（2）=12+8b+c=5得8b+c+7=0． ②

聯(lián)立①②，解得b=－1，c=1，所以函數(shù)的解析式為f（x）=x3－2x2+x－2．

（2）因?yàn)間（x）=x3－2x2+x－2+mx，令g′（x）=3x2－4x+1+m=0，當(dāng)函數(shù)有極值時(shí)，則Δ≥0，方程3x2－4x+1+m=0有實(shí)數(shù)解， 由Δ=4（1－m）≥0，得m≤1．

①當(dāng)m=1時(shí)，g′（x）=0有實(shí)數(shù)根x=，在x=左右兩側(cè)均有g(shù)′（x）>0，故函數(shù)g（x）無(wú)極值．

②當(dāng)m

表2

所以在m∈（－∞，1）時(shí)，函數(shù)g（x）有極值．當(dāng)x=（2－）時(shí)，g（x）有極大值；當(dāng)x=（2+）時(shí)，g（x）有極小值．

已知函數(shù)f（x）=alnx－ax－3（a∈R）．

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)f（x）的圖象在x=4處切線的斜率為，若函數(shù)g（x）=x3+x2f ′（x）+在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

破解思路 討論函數(shù)的單調(diào)性其實(shí)就是討論不等式的解集的情況，大多數(shù)情況下是歸結(jié)為一個(gè)含參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論． 討論函數(shù)的單調(diào)性是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行的，不要忽視了定義域的限制．

經(jīng)典答案 （1）f ′（x）=（x>0）． 當(dāng)a>0時(shí)， f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1］，減區(qū)間為［1，+∞）；

當(dāng)a

當(dāng)a=0時(shí)， f（x）不是單調(diào)函數(shù)．

（2）f ′（4）=－=得a=－2， f（x）= －2lnx+2x－3，所以g（x）=x3++2•x2－2x，所以g′（x）=x2+（m+4）x－2．

因?yàn)間（x）在區(qū)間（1，3）上不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=－2，所以g′（1）0， 所以m－，m∈－，－3．

1． 串聯(lián)情況：函數(shù)應(yīng)用題與綜合應(yīng)用題是最能體現(xiàn)考生函數(shù)水平的試題：一次函數(shù)、二次函數(shù)、y=x+（a＞0）型、指數(shù)型、對(duì)數(shù)型與現(xiàn)實(shí)生活相結(jié)合，考查建模能力，而函數(shù)與數(shù)列、不等式、導(dǎo)函數(shù)等眾多知識(shí)的交匯已經(jīng)成為函數(shù)綜合應(yīng)用中的典型問(wèn)題．

2． 考情分析：函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，高考對(duì)應(yīng)用題的考查即考小題又考大題，而且分值呈上升的趨勢(shì)． 高考中重視考查環(huán)境保護(hù)及數(shù)學(xué)課外的綜合性應(yīng)用題等問(wèn)題． 出于“立意”和創(chuàng)設(shè)情景的需要，函數(shù)試題設(shè)置問(wèn)題的角度和方式也不斷創(chuàng)新，重視函數(shù)思想的考查，加大函數(shù)應(yīng)用題、探索題、開(kāi)放題和信息題的考查力度，從而使高考考題顯得新穎、生動(dòng)和靈活．

3． 破解技巧：解函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟（四步八字）

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題的意義．

4． 經(jīng)典例題：

行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，要繼續(xù)向前滑行一段距離后才會(huì)停下，這段距離叫剎車距離． 為測(cè)定某種型號(hào)汽車的剎車性能，對(duì)這種型號(hào)的汽車在國(guó)道公路上進(jìn)行測(cè)試，測(cè)試所得數(shù)據(jù)如表3． 在一次由這種型號(hào)的汽車發(fā)生的交通事故中，測(cè)得剎車距離為15.13 m，則該汽車在剎車時(shí)的速度是多少？

破解思路 所求問(wèn)題為根據(jù)表3數(shù)據(jù)，建立描述v與s之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型的問(wèn)題． 此模型不能由表格中的數(shù)據(jù)直接看出，因此，以剎車時(shí)車速v為橫軸，以剎車距離s為縱軸建立直角坐標(biāo)系． 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，可看出應(yīng)選擇二次函數(shù)作擬合函數(shù)．

經(jīng)典答案 假設(shè)變量v與s之間有如下關(guān)系式：s=av2+bv+c，因?yàn)檐囁贋?時(shí)，剎車距離也為0，所以二次曲線的圖象應(yīng)通過(guò)原點(diǎn)（0，0）． 再在散點(diǎn)圖中任意選取兩點(diǎn)A（30，7．30），B（80，44．40）代入，解出a，b，c，于是s=0.0062v2+0.0563v． （代入其他數(shù)據(jù)有偏差是許可的）

將s=15．13代入得15.13=0.0062v2+0.0563v，解得v≈45.07．

所以，汽車在剎車時(shí)的速度是45.07km/h．

如圖2，有一塊半橢圓形鋼板，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2r，短半軸長(zhǎng)為r，計(jì)劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底AB是半橢圓的短軸，上底CD的端點(diǎn)在橢圓上，記CD=2x，梯形面積為S．

圖2

（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出其定義域；

（2）求面積S的最大值．

破解思路 梯形面積是“上底加下底，乘以高除以2”，題目中已經(jīng)給出梯形的上、下底分別為2x和2r，但是其高是多少呢？這顯然取決于橢圓的形狀． 又橢圓的方程正是這一形狀的“數(shù)”的表示，有了方程就可知高與x的關(guān)系，進(jìn)而梯形的面積S與x的關(guān)系式（目標(biāo)函數(shù)）也就不難寫(xiě)出來(lái)了．以導(dǎo)數(shù)為工具求函數(shù)S（x）的最大值是比較自然而常規(guī)的方法．

經(jīng)典答案 （1）以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)C在橢圓+=1（y≥0）上，所以S=2（x+r）•，定義域?yàn)椋鹸0

（2）記f（x）=S2=4（x+r）2（r2－x2）（0

1． 認(rèn)真落實(shí)本章的每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，注意揭示概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)． 從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面體會(huì)并加強(qiáng)對(duì)一些小結(jié)論形成過(guò)程的理解．