導語：如何才能寫好一篇零點分段討論法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1. 零點分段討論法

例1 解不等式[|x－1|＋|2－x|＞3－x]．

分析 由于實數1、2將數軸分成(－∞，1]，(1，2]，(2，+∞)三部分，故分三個區間來討論．

解 （1）當[x1]時，

原不等式可化為[－(x－1)－][(x－2)＞x＋3]，

即[x＜0]．

故不等式的解集是[{x|x＜0}.]

（2）當[1＜x2]時，

原不等式可化為[(x－1)－(x－][2)＞x＋3]，

即[x＜－2]．

故不等式的解集是[∅]．

（3）當[x＞2]時，

原不等式可化為[(x－1)＋(x－2)]>[x＋3]，

即[x＞6]．

故不等式的解集是[{x|x＞6}]．

綜上可知，原不等式的解集是[{x|x＜0或x＞6}]．

點撥 對于含有兩個或兩個以上絕對值的不等式的求解問題，通常采用零點分段討論法. 零點分段一般分為三步：（1）找到使多個絕對值等于零的點；（2）分區間討論，去掉絕對值而解不等式，一般地，[n]個零點把數軸分為[n＋1]段進行討論；（3）先分段求得解集，再求它們的并集．

2. 利用絕對值的幾何意義

例2 不等式[|x-5|+|x+3|10]的解集為（ ）

A. [-5.7] B. [(-∞,-5]⋃[7,+∞)]

C. [-4,6] D. [(-∞,-4]⋃[6,+∞)]

解析 利用絕對值的幾何意義.

[x-5+x+3]表示實數軸上的點[x]到點[x=-3]與[x=5]的距離之和，

[]要使點[x]到點[x=-3]與[x=5]的距離之和等于10，只需[x=-4]或[x=6].

于是當[x6]或[x-4]時，

可使[x-5+x+310]成立.

答案 D

例3 畫出不等式[x+y1]的圖形，并指出其解的范圍.

解析 先考慮不等式在平面直角坐標系內第一象限的情況.在第一象限內不等式等價于：[x0]，[y0]，[x+y1]. 其圖形是由第一象限中直線[y=1-x]下方的點所組成.

同理，可畫出第二、三、四象限的情況.從而得到不等式[x+y1]的圖形是以原點[O]為中心，四個頂點分別在坐標軸上的正方形，如下圖. 這樣，不等式解的范圍就一目了然.

[1][1][-1][-1]

點撥 利用絕對值和絕對值不等式的幾何意義來解不等式或者證明不等式，往往能使問題變得直觀明了，幫助我們迅速而準確地尋找到問題的答案.關鍵是在遇到相關問題時，能否準確地畫出不等式的圖形，從而有效地解決問題.

3. 構造函數法

例4 求使不等式[|x-4|+|x-3|

分析 本題對條件進行轉化，變為函數最值問題，從而簡化討論.

解 設[f(x)=|x-4|+|x-3|],

要使[f(x)

則[a]應該大于[f(x)]的最小值.

由三角不等式得，

[f(x)=|x-4|+|x-3||(x-4)-(x-3)|=1,]

所以[f(x)]的最小值為1.

[a>1].

例5 求證[a+b1+a+ba1+a+b1+b.]

分析 利用函數的單調性.

證明 研究函數[fx=x1+x]在[x0]時的單調性. 設[0x1

[x11+x1-x21+x2=x1-x2(1+x1)(1+x2)

[fx=x1+x]在[x0]時是遞增的.

又 [a+ba+b,]將[a+b]、[a+b]分別當作 [x1]和 [x2]，則有[a+b1+a+ba+b1+a+b][=a1+a+b][+b1+a+ba1+a+b1+b].

點撥 對某些分式不等式中出現了絕對值又不方便去掉的情況，我們所采用的方法是通過分析不等號左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當作是所構造的兩個取值點，然后利用函數的單調性來證明.

4. 分析法

例6 [若f(x)=1+x2,且a、b]為互異實數，求證：[f(a)-f(b)

分析 用綜合法不易入手時，可從結論加以分析，逐步尋找使前一個不等式成立的充分條件或充要條件.

證明 方法1：欲證[f(a)-f(b)

只需證[a2+1-b2+1

[只需證1+a2+1+b2-2a2+1b2+1]

[

[即證a2+1b2+1>1+ab].

（1）[當1+ab

（2）[當1+ab0時,]

[只需證1+a2+b2+a2b2>1+2ab+a2b2]，

[即證a2+b2>2ab,而此式顯然成立,]

[原不等式成立.]

方法2：[欲證f(a)-f(b)

[只需證a2+1-b2+1

[只需證1+a2+1+b2-2a2+1b2+1]

[

[即證a2+1b2+1>1+ab.]

[(a2+1)(b2+1)=1+a2+b2+a2b2]

[1+2ab+a2b2=1+ab21+ab].

[a≠b, (a2+1)(b2+1)>1+ab.]

[原不等式成立.]

點撥 本題考查用分析法證明不等式. 因為每一個不等式都是前一個不等式成立的充分條件或充要條件，因而相鄰兩個不等式之間要用反向單箭頭“⇐”（表示后一個不等式是前一個不等式成立的充分條件）連結；或用雙向箭頭“⇔”（表示后一個不等式是前一個不等式成立的充要條件）連結；也可以用“需證”“即證”等語句連結.

5. 平方法

例7 解不等式[x+3-x-3>3.]

分析 不等式兩邊均為非負數，故可以利用“平方法”.

解 不等式兩邊都是非負數，

將不等式兩邊分別平方得，

[x+32+x-32-2x2-9>9,]

整理得，[2x2+9>2x2-9.]

此不等式兩邊都是非負數，

兩邊分別平方得，[2x2+92>4x2-92,]

整理得，[x2>94.]

原不等式的解集為[xx>32或x

點撥 在利用“平方法”去絕對值符號時，必須注意“不等式兩邊都是非負數”這個條件.

6. 等價轉化法

例8 解不等式（1）[|x+2|+|x-2|

（2）[|x2-4|+|x+3|>5].

解析 （1）原不等式等價于，[|(x+2)+(x-2)|

即[|x|

所以原不等式的解集是[{x|-6

（2）原不等式等價于，[|(x2-4)+(x+3)|>5]或[|(x2-4)-(x+3)|>5,]

即[|x2+x-1|>5]或[|x2-x-7|>5],

解得，[x

所以原不等式的解集是[{x|x

點撥 形如[|f(x)|+|g(x)|][|h(x)|]型不等式的簡潔解法是利用等價命題來轉化，即：①[h(x)>0, |f(x)|+|g(x)|

[h(x)>0|f(x)+g(x)|

②[h(x)>0, |f(x)|+|g(x)|>|h(x)|⇔]

[|f(x)+g(x)|>|h(x)|]或[|f(x)-g(x)|>|h(x)|,]

此類題目若用零點分段法來解答，則顯得繁雜.

1. 已知 [f(x)=1+x2]，求證[f(a)-f(b)

2．[|x－4|＋|x－3|

A.[a>7] B.[a>1]

C.[a

3．解不等式[log13x]＋[log133-x]≥1.

4. 解不等式[x+3-x-3>3.]

[1. f(a)-f(b)=1+a2-1+b2=a2-b21+a2+1+b2=a+ba-b1+a2+1+b2

提示：也可用分析法.

2. B

提示: 代數式[|x－4|＋|x－3|]表示數軸上的點到(4, 0)與(3, 0)兩點的距離和，最小值為1，當[a>1]時，不等式有解.

3. [{x| 0

提示： 分[0