導(dǎo)語：如何才能寫好一篇反三角函數(shù)，這就需要搜集整理更多的資料和文獻(xiàn)，歡迎閱讀由公務(wù)員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、常見反三角函數(shù)值：

arcsin0=0；arcsin(1/2)=π/6；arcsin(√2/2)=π/4；arcsin(√3/2)=π/3；arcsin1=π/2；atccos1=0；arccos(√3/2)=π/6；arccos(√2/2)=π/4；arccos(1/2)=π/3；arccos0=π/2；arctan0=0；arctan(√3/3)=π/6；arctan(1)=π/4；arctan(√3)=π/3；arctan0=π/2。

2、反三角函數(shù)：

常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)。在航海學(xué)、測(cè)繪學(xué)、工程學(xué)等其他學(xué)科中，還會(huì)用到如余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)、半正矢函數(shù)、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計(jì)算得出，稱為三角恒等式。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇2

一、數(shù)形結(jié)合,巧求范圍

例1.求函數(shù)y=的定義域。

解法一:由題意知需2sinx+1≥0,即需sinx≥-。如圖1,由正弦曲線知,在一個(gè)周期上[-,],符合條件的角的范圍為[-,]。根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,可知函數(shù)的定義域?yàn)閇2kπ-,2kπ+],k∈Z。

解法二:如圖2,由三角函數(shù)線可看出,滿足sinx=-的角可以是-、,而滿足sinx≥-的角的終邊必須在-、的終邊的上方,再結(jié)合正弦函數(shù)的周期性可知,所求的定義域?yàn)閇2kπ-,2kπ+],k∈Z。

例2.已知f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),當(dāng)0

解:由f(x)是定義在(-3,3)上的奇函數(shù),可知f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)呈中心對(duì)稱,把圖像補(bǔ)全,再結(jié)合y=cosx的圖像可知所求解集為(-,-1)∪(0,1)∪(,3)。

評(píng)析:例1可用兩種方法從“形”的角度來解決問題,第一種方法是根據(jù)正弦曲線的圖像特征,先找出在一個(gè)周期內(nèi)的符合條件的角的范圍,再根據(jù)周期性得到結(jié)論;第二種方法是利用三角函數(shù)線來找出角的范圍。熟練掌握函數(shù)圖像、三角函數(shù)線的畫法和合理選擇一個(gè)周期是解決問題的關(guān)鍵。例2的難點(diǎn)在于如何根據(jù)奇偶性把圖像補(bǔ)全,如何把f(x)的圖像和y=cosx的圖像有機(jī)地結(jié)合起來。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對(duì)象可分為數(shù)和形兩大部分,數(shù)與形是有聯(lián)系的,這個(gè)聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合,或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)中常用的重要的解題思想方法之一,它的特點(diǎn)是直觀、形象、解題快捷,合理利用數(shù)形結(jié)合,對(duì)解題往往可以起到事半功倍的效果。

二、縮小范圍,正確解題

例3.已知tan(α-β)=,tanβ=-,且α、β∈(0,π),求2α-β的值。

解:由兩角和差的正切公式可求tanα=tan[(α-β)+β]==,tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1,

因?yàn)棣?、β?0,π),且tanα

所以α∈(0,)、β∈(,π),(2α-β)∈(-π,0)。

因?yàn)樵?-π,0)上滿足正切值等于1的角只有-,

所以2α-β=-。

例4.在三角形ABC中,cosA=,sinB=,則cosC的值為

解:分∠B為鈍角和銳角兩種情況討論:

(1)若B為銳角,則sinA=,cosB=,所以cosC=

-cos(A+B)=-;

(2)若B為鈍角,因?yàn)閟inB=,又0

所以∠A>,從而∠A+∠B>π,不可能。

綜上所述,cosC的值只能為-。

評(píng)析:由于三角函數(shù)是周期函數(shù),即自變量與三角函數(shù)值是多對(duì)一的對(duì)應(yīng)關(guān)系,所以,解三角問題時(shí)要特別注意確定角的實(shí)際變化范圍,盡可能地縮小角的范圍,否則會(huì)出現(xiàn)增解。在教學(xué)中,這兩道題的錯(cuò)誤率都很高,均涉及到范圍的縮小問題,如例3中學(xué)生在求出tan(2α-β)=1后,往往沒有注意到根據(jù)已有信息縮小范圍,而是直接由題中所給范圍得出(2α-β)∈(-π,2π),所以2α-β的值有三個(gè),即、-、,從而出現(xiàn)增根。而例4難度則更大,更容易被學(xué)生所忽視,很多學(xué)生直接分∠B為銳角和鈍角來解題,有一部分學(xué)生可能懷疑鈍角的情形,卻不會(huì)正確縮小范圍,最終還是求出的兩個(gè)結(jié)果,導(dǎo)致錯(cuò)誤發(fā)生。

三、隱含條件,不容忽視

例5.設(shè)cosθ+sinθ=m,則使sinθ+cosθ>0的m的范圍是

解:對(duì)sinθ+cosθ=m兩邊平方易得sinθcosθ=,

由立方和公式得sinθ+cosθ

=(sinθ+cosθ)(sinθ-sinθcosθ+cosθ)

=m(1-)=

所以m(m-3)

另外,m=sinθ+cosθ=sin(θ+),所以-≤m≤……②

由①②得m的范圍是(0,]。

篇3

教學(xué)重點(diǎn):掌握用反三角函數(shù)值表示給定區(qū)間上的角

教學(xué)難點(diǎn):反三角函數(shù)的定義

教學(xué)過程:

一.問題的提出：

在我們的學(xué)習(xí)中常遇到知三角函數(shù)值求角的情況，如果是特殊值，我們可以立即求出所有的角，如果不是特殊值()，我們?nèi)绾伪硎灸?相當(dāng)于中如何用來表示，這是一個(gè)反解的過程，由此想到求反函數(shù)。但三角函數(shù)由于有周期性，它們不存在反函數(shù)，這就要求我們把它們的定義域縮小，并且這個(gè)區(qū)間滿足：

(1)包含銳角;(2)具有單調(diào)性;(3)能取得三角函數(shù)值域上的所有值。

顯然對(duì)，這樣的區(qū)間是;對(duì)，這樣的區(qū)間是;對(duì)，這樣的區(qū)間是;

二.新課的引入：

1.反正弦定義：

反正弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

(1)(相當(dāng)于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為。

反正弦：符合條件()的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，，

由此可見：書上的反正弦與反正弦函數(shù)是一致的，當(dāng)然理解了反正弦函數(shù)，能使大家更加系統(tǒng)地掌握這部分知識(shí)。

2.反余弦定義：

反余弦函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

(1)(相當(dāng)于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為。

反余弦：符合條件()的角，叫做實(shí)數(shù)的反正弦，記作：。其中，。

例如：，，由于，故為負(fù)值時(shí)，表示的是鈍角。

3.反正切定義：

反正切函數(shù)：函數(shù)，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作：.

對(duì)于注意：

(1)(相當(dāng)于原來函數(shù)的值域);

(2)(相當(dāng)于原來函數(shù)的定義域);

(3);

即：相當(dāng)于內(nèi)的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為。

反正切：符合條件()的角，叫做實(shí)數(shù)的反正切，記作：。其中，。

例如：，，，

對(duì)于反三角函數(shù)，大家切記：它們不是三角函數(shù)的反函數(shù)，需要對(duì)定義域加以改進(jìn)后才能出現(xiàn)反函數(shù)。反三角函數(shù)的性質(zhì)，有興趣的同學(xué)可根據(jù)互為反函數(shù)的函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱這一特性，得到反三角函數(shù)的性質(zhì)。根據(jù)新教材的要求，這里就不再講了。

練習(xí)：

三.課堂練習(xí)：

例1.請(qǐng)說明下列各式的含義：

(1);(2);(3);(4)。

解：(1)表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為，這個(gè)角是;

(2)表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正弦值為，這個(gè)角不存在，即的寫法沒有意義，與，矛盾;

(3)表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的余弦值為，這個(gè)角是;

(4)表示之間的一個(gè)角，這個(gè)角的正切值為。這個(gè)角是一個(gè)銳角。

例2.比較大?。?1)與;(2)與。

解：(1)設(shè)：，;，，

則，，

在上是增函數(shù)，，

，即。

(2)中小于零，表示負(fù)銳角，

中雖然小于零，但表示鈍角。

即：。

例3.已知：，，求：的值。

解：正弦值為的角只有一個(gè)，即：，

在中正弦值為的角還有一個(gè)，為鈍角，即：，

所求的集合為：。

注意：如果題目沒有特別說明，結(jié)果應(yīng)為準(zhǔn)確值，而不應(yīng)是近似值，書上均為近似值。

例4.已知：，，求：的值。

解：余弦值為的角只有一個(gè)，即：，

在中余弦值為的角還有一個(gè)，為第三象限角，即：，

所求的集合為：。

例5.求證：()。

證明：，，設(shè)，，

則，即：，即：，

，，

，，即：。

例6.求證：()。

證明：，，設(shè)，，

則，即：，即：(*)，

，，

，，即：。

注意：(*)中不能用來替換，雖然符號(hào)相同，但，不能用反余弦表示。

篇4

關(guān)鍵詞： 大學(xué)數(shù)學(xué) 高中數(shù)學(xué) 銜接 教學(xué)改革

受教育者接受教育是一個(gè)連續(xù)的過程，各教育階段之間既有聯(lián)系又有區(qū)別，是相互作用、互為影響的。針對(duì)普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、教師的教學(xué)方式等方面提出的要求，大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須在內(nèi)容和方法上相應(yīng)地加以改革。筆者長(zhǎng)期從事大學(xué)數(shù)學(xué)的教育工作，探索建構(gòu)基于大學(xué)數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)銜接的模式。

1.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)與大學(xué)數(shù)學(xué)交叉重合的部分

新課標(biāo)中最重要的改革內(nèi)容就是把微積分的知識(shí)點(diǎn)放在高中學(xué)習(xí)，微積分的教學(xué)成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。所以，對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用等方面的講解成了高中教學(xué)的重中之重，學(xué)生對(duì)這方面的學(xué)習(xí)是比較到位的。從最近幾年的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂可以看出，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容的掌握明顯比前幾年的學(xué)生透徹得多。在大學(xué)統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中，一些基本的統(tǒng)計(jì)概念如樣本、總體，樣本均值、樣本方差等，在大學(xué)可以只做適當(dāng)點(diǎn)撥，不需要作為新的知識(shí)點(diǎn)講解。

2.高中刪減但大學(xué)需要用到的內(nèi)容

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)中最重要的刪減的內(nèi)容就是反三角函數(shù)。盡管高中學(xué)習(xí)中會(huì)提到反函數(shù)，但很少有教師會(huì)真正具體詳細(xì)地講解原函數(shù)與反函數(shù)的關(guān)系，且反三角函數(shù)在《新課標(biāo)》中消失了。這個(gè)內(nèi)容的消失，導(dǎo)致學(xué)生在大學(xué)學(xué)習(xí)反三角函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的時(shí)候一頭霧水。對(duì)反三角函數(shù)的定義與概念不清不楚，導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)這方面的內(nèi)容時(shí)有很大的困難，特別是在對(duì)反三角函數(shù)的求導(dǎo)、積分運(yùn)算及求連續(xù)型概率分布時(shí)候，由于缺乏反三角函數(shù)的定義域、值域及其積分運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)反三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的運(yùn)用就頗為吃力。筆者的做法是在講解反函數(shù)概念時(shí)，結(jié)合三角函數(shù)和反三角函數(shù)的關(guān)系，及時(shí)補(bǔ)充相關(guān)知識(shí)，能使學(xué)生加深對(duì)反函數(shù)的理解。

3.樹立與高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)相適應(yīng)的教學(xué)理念

課改后的新課程與舊課程最根本的區(qū)別在于理念，對(duì)于大學(xué)教師來說，其不僅要調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，改進(jìn)教學(xué)方法，更重要的是要更新教學(xué)理念。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)與舊課程在知識(shí)體系、難易程度、組織結(jié)構(gòu)等方面都有了較大的變化，采取開設(shè)必修課、選修課的形式，按照分模塊的方式講解內(nèi)容，滿足不同層次學(xué)生發(fā)展的需要。雖然各個(gè)模塊之間依然有著內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，但這種邏輯性與以往相比有了較大的弱化，并且雖然《新課標(biāo)》在一定程度上擴(kuò)大了知識(shí)面，但是反過來，數(shù)學(xué)知識(shí)的深入程度、難易程度相對(duì)降低，對(duì)整個(gè)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了很大的影響。

很多大學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)已經(jīng)學(xué)過，特別是在大一上學(xué)期，學(xué)習(xí)的大部分是微積分的內(nèi)容，就導(dǎo)致很多學(xué)生產(chǎn)生懈怠心理；另外，進(jìn)入下學(xué)期的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的都是新知識(shí)，而且難度增大不少，沒有高中那樣高強(qiáng)度的復(fù)習(xí)，學(xué)生就對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生畏懼心理。針對(duì)上述問題與現(xiàn)象，大學(xué)教師要調(diào)整與高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)相適應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)增加或者刪減了部分內(nèi)容，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容要與之適應(yīng)。大學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容有些隨之精簡(jiǎn)，有些反而要強(qiáng)化，比如反三角函數(shù)及正割、余割函數(shù)在大學(xué)數(shù)學(xué)中用得比較多，因此筆者在大一第一次課講解函數(shù)的概念與性質(zhì)的時(shí)候，就把這方面的內(nèi)容作為重點(diǎn)講解。為防止學(xué)生因高中學(xué)過而產(chǎn)生懈怠心理，筆者在講解這方面內(nèi)容的時(shí)候，盡可能地多講解極限這一思想及有關(guān)的數(shù)學(xué)人物與數(shù)學(xué)危機(jī)等背景，利用一些現(xiàn)象講解有限無限的相互轉(zhuǎn)換，從而加深學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)終身學(xué)習(xí)的理念。面對(duì)全新的教學(xué)理念，創(chuàng)新的教學(xué)內(nèi)容，大學(xué)教師要與時(shí)俱進(jìn)，在講解知識(shí)的同時(shí)，還要加強(qiáng)自身的學(xué)習(xí)。教師可以通過數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化等教學(xué)手段提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在內(nèi)容上，多用些通俗易懂的語言或者經(jīng)歷講解一些數(shù)學(xué)概念，不但要使得學(xué)生有興趣，更要使得學(xué)生能深入思考。同時(shí)，利用多媒體教學(xué)等輔助儀器，形象客觀的圖片或者動(dòng)漫展示一些事物的細(xì)微變化過程，有助于學(xué)生對(duì)抽象事物的理解。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)已將數(shù)學(xué)文化以不同的形式滲透在各模塊的教學(xué)內(nèi)容中，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不僅要使廣大學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，更要使得學(xué)生具有豐富的人文價(jià)值，讓學(xué)生真正體會(huì)到數(shù)學(xué)不僅是源于實(shí)際問題的需要，更具有深厚的人文價(jià)值與意義。從這個(gè)角度上講，數(shù)學(xué)文化的修養(yǎng)比純粹的數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)更能反映出人的價(jià)值。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)多渠道、全方位地滲透數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，從而培養(yǎng)出具有豐富文化、科學(xué)精神的綜合型人才。

參考文獻(xiàn)：

[1]余立.教育銜接若干問題研究[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2003.

篇5

決于對(duì)被積函數(shù)的分析，還需要通過多做習(xí)題來積累經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)幾種常用的不定積分的求法，以幫助高職學(xué)生提高運(yùn)算能力和分析問題的能力。

[關(guān)鍵詞]不定積分；方法；常用方法

中圖分類號(hào)：O1 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-914X（2014）17-0160-01

不定積分是高等數(shù)學(xué)中非常重要的部分，是計(jì)算如定積分、重積分、曲線積分的基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)微分方程的求解也有著重要的作用。但是不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，即求一個(gè)未知函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。因此不定積分的求解方法靈活多變，無法遵循固定方法，只能因題而異，通過不同的習(xí)題，歸納求解技巧，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，探尋規(guī)律，開拓思路，提高計(jì)算能力和增強(qiáng)思維能力。 高職學(xué)生在學(xué)習(xí)這一部分時(shí)，一般都會(huì)感到困難，出錯(cuò)率很高，為了更好的讓學(xué)生掌握不定積分的計(jì)算，提高解題速度和計(jì)算的正確性，現(xiàn)將求解不定積分的常見方法總結(jié)如下：

5 分部積分法：稱為分部積分公式

一般地，需要利用分部積分法計(jì)算的不定積分其被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積，則確定兩個(gè)函數(shù)誰作為誰作為是利用分部積分公式的關(guān)鍵。

（1）若被積函數(shù)是冪函數(shù)（指數(shù)為正整數(shù)）與指數(shù)函數(shù)或正（余）弦函數(shù)的乘積，可設(shè)冪函數(shù)為，而將其余部分湊微分進(jìn)入微分號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次。

（2）若被積函數(shù)是冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積，可設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為，而將冪函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號(hào)，使得應(yīng)用分部積分公式后，對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失。

（3）若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正（余）弦函數(shù)的乘積，、可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的，以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分。

參考文獻(xiàn)

篇6

1、分部積分法是微積分學(xué)中的一類重要的、基本的計(jì)算積分的方法。它是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導(dǎo)而來的。它的主要原理是將不易直接求結(jié)果的積分形式，轉(zhuǎn)化為等價(jià)的易求出結(jié)果的積分形式的。常用的分部積分的根據(jù)組成被積函數(shù)的基本函數(shù)類型，將分部積分的順序整理為口訣：“反對(duì)冪指三”。分別代指五類基本函數(shù)：反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的積分。

2、設(shè)函數(shù)和u，v具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則d(uv)=udv+vdu。移項(xiàng)得到udv=d(uv)-vdu；一般來說，u,v選取的原則是：積分容易者選為v，求導(dǎo)簡(jiǎn)單者選為u。例如：∫Inx dx中應(yīng)設(shè)U=Inx，V=x。

（來源：文章屋網(wǎng) ）

篇7

1.1問題的分析

求解著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，通過分析知近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月位置可以用空間坐標(biāo)來表示，于是通過直角三角形的相關(guān)性質(zhì)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)并借助計(jì)算器，最后即可求得近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)相對(duì)著陸點(diǎn)的位置。求嫦娥三號(hào)相應(yīng)的速度與大小，借鑒了參考文獻(xiàn)[1]，并結(jié)合自身的理解，且在基本假設(shè)中的假設(shè)2下，利用能量守恒，即可得嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的勢(shì)能與動(dòng)能之和相等的一個(gè)表達(dá)式，再根據(jù)開普勒第二定律可知：在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度之比為近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)到月球球心的距離的反比，即可得第二個(gè)表達(dá)，最后聯(lián)立兩個(gè)表達(dá)式即可求出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度。對(duì)于嫦娥三號(hào)的方向，根據(jù)物理學(xué)中物體做曲線運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)，得到速度方向是沿曲線上該點(diǎn)的切線方向。

1.2能量守恒模型的建立與求解

能量守恒模型的求解將月球的質(zhì)量M為7.3477×1022kg，萬有引力常量G為6.672×10-11N.m2.kg-2，近月點(diǎn)距月球表面15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)距月球表面100km，月球的平均半徑為1737.013km，帶入（1.13）、（1.14）得到近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度分別如下：v1=1.704km/s，v2=1.625km/s嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度方向?yàn)椋貉厍€上該點(diǎn)的切線方向。

2結(jié)果分析

在假設(shè)1的情況下，計(jì)算出近月點(diǎn)（C）在離著陸點(diǎn)（A）北偏東59.204°，距離為1758.933km處。遠(yuǎn)月點(diǎn)（F）在離著陸點(diǎn)（A）南偏東24.331°，距離為3673.118km處。解決此題所運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)為：直角三角形相關(guān)性質(zhì)勾股定理、歐氏距離、三角函數(shù)中的正弦定理以及反三角函數(shù)。所涉及的工具為計(jì)算器。故知識(shí)點(diǎn)較簡(jiǎn)單、理解容易且有較好的軟件支撐，則該問解出答案比較準(zhǔn)確。在假設(shè)2的情況下，計(jì)算出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的速度v1=1.704km/s，遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度v2=1.625km/s，，附件1中所給嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)的相對(duì)速度為1.7km/s，所以本問的誤差為1.704-1.71.7=0.235%，可以看出誤差很小，故利用能量守恒的方法并結(jié)合開普勒第二定律解出嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度是可行的。由物理學(xué)中物體作曲線運(yùn)動(dòng)，物體的速度方向是沿曲線上該點(diǎn)的切線方向，故得出的嫦娥三號(hào)在近月點(diǎn)與遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度方向也是可行的。

3問題二

篇8

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)線；單調(diào)性；誘導(dǎo)公式；象限符號(hào)

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它的定義和性質(zhì)涉及的知識(shí)面較廣，并且有許多獨(dú)特的表現(xiàn)形式，因而作為高考考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能方面的重要內(nèi)容。即便是在新課改之后我們都使用了人教A版的新教材但是三角這塊的知識(shí)除了去掉了反三角函數(shù)、積化和差、和差化積、半角公式等，基本上保留大部分的內(nèi)容，所以依然是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。綜觀近幾年的高考試題，一般為一道客觀題和一道解答題，分值約占整個(gè)試卷的10%左右，高考對(duì)本章的考查表現(xiàn)為：

1、客觀題的考點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式、圖象及圖象變換、三角函數(shù)的性質(zhì)以及簡(jiǎn)單的三角變換（求值、化簡(jiǎn)及比較大小）。

2、計(jì)算或證明題的難度明顯降低，主要考查對(duì)基本知識(shí)的掌握程度以及基本技能、基本方法的運(yùn)用。試題大都來源于課本中的例題、習(xí)題得變形，因此復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)“立足于課本，著眼于提高”。

3、實(shí)際應(yīng)用題將三角函數(shù)融入三角形中，既能考查解三角形的知識(shí)與方法，又能考查運(yùn)用三角公式進(jìn)行恒等變換的技能，近年來備受命題者的青睞。

在人教版老教材中高一下冊(cè)第四章4.8節(jié)三角函數(shù)單調(diào)性中有這樣一道例題。

例4 不通過求值，指出下列各式大于0還是小于0：

其實(shí)判斷它們大于0還是小于0也就是比較它們的大?。?/p>

結(jié)合本節(jié)的教學(xué)目標(biāo)：?jiǎn)握{(diào)性，我們可以解決這一問題。而我們?cè)谌粘＝虒W(xué)工作中會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的三角函數(shù)值比較大小的題目還是多種多樣的且解法也是多種多樣的。

對(duì)此我結(jié)合對(duì)數(shù)，指數(shù)比較大小的分類方法：

① 同底不同真（同底不同指）利用單調(diào)性；

② 同真不同底（同指不同底）利用圖像關(guān)系；

③ 不同底不同真（不同底不同指）利用中間量。

將正弦余弦三角函數(shù)值比較大小這種題型進(jìn)行了分類總結(jié)。一共分了4類：

① 同角不同三角函數(shù)名

② 同三角函數(shù)名不同角

③ 不同三角函數(shù)名不同角

④ 綜合應(yīng)用。

以下簡(jiǎn)記：同角不同名，同名不同角，不同名不同角，綜合。

按照不同的類型找到了相應(yīng)的方法。以提高學(xué)生做題的速度和效率。

一、同名不同角

方法：利用三角函數(shù)線。

例如：比較大?。?/p>

圖中我們可以看到45°時(shí)正弦線MP=OM余弦線。

（1）可以明顯看出1弧度角的OM

（2）可以明顯看出190度角的OM的長(zhǎng)度大于MP的長(zhǎng)度，但是它們都是負(fù)的所以O(shè)M

點(diǎn)評(píng)：在使用三角函數(shù)線時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

1、當(dāng)角?琢的終邊在y軸上時(shí)，余弦線變成一個(gè)點(diǎn)。

2、當(dāng)角?琢的終邊在x軸上時(shí)，正弦線，正切線都變成了點(diǎn)。

3、三種有向線段必是OM,MP,AT起點(diǎn)在前終點(diǎn)在后。比較除了長(zhǎng)度外還要考慮正負(fù)。

三角函數(shù)線的正負(fù)與坐標(biāo)軸的正反方向一致。

4、三角函數(shù)線都是與單位圓有關(guān)的有向線段，所以作某角的三角函數(shù)線時(shí)，一定要先作單位圓。

5、在不使用量角器的條件下畫出非特殊角的三角函數(shù)線時(shí)可以利用，的三角函數(shù)線作為比較界線。

當(dāng)然你會(huì)發(fā)現(xiàn)利用三角函數(shù)線也可以解決在同一象限內(nèi)不同角同名的三角函數(shù)值比較大小的問題。

二、同名不同角

方法：利用單調(diào)性。

例如：比較大小：

點(diǎn)評(píng)：同角不同名的三角函數(shù)值比較大小利用單調(diào)性這一種方法要求學(xué)生熟練掌握正弦函數(shù)余弦函數(shù)，正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性。

當(dāng)然同角不同名的三角函數(shù)值比較大小不只有利用單調(diào)性這一種方法。

像例（1）就是同一象限內(nèi)的同名不同角的三角函數(shù)值比較大小可以使用三角函數(shù)線。

（2）可以通過象限符號(hào)判斷。

點(diǎn)評(píng)：像此類不同角不同名比較大小的題有時(shí)候考察的著重點(diǎn)不是比較大小而是三角函數(shù)象限符號(hào)問題。大家要熟記口訣：“第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限切為正，第四象限余弦為正。”簡(jiǎn)記：“一全二正弦三切四余弦”這種題相對(duì)來說比較簡(jiǎn)單。

當(dāng)然大家也會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方法不能解決所有的不同角不同名比較大小的問題。因?yàn)楹芏嗖煌遣煌娜呛瘮?shù)值的符號(hào)是相同的。那么我就需要另外的方法了。

方法2：利用誘導(dǎo)公式化為同名，再同名不同角的方法來判斷。

例如比較大小：

當(dāng)然在知道

的時(shí)候我們也可以利用三角函數(shù)線得到答案。

點(diǎn)評(píng)：像此類不同角不同名比較大小的題考察的著重點(diǎn)卻是六類誘導(dǎo)公式。大家要熟記簡(jiǎn)記角琢的誘導(dǎo)公式的口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限。”可見在此分類中，它可以通過誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為“同名不同角”這類。也可以說這一類已經(jīng)開始體現(xiàn)知識(shí)的靈活與連貫了。例如：

此種類型是不同名不同角但是給出了大小關(guān)系而判斷角的關(guān)系。

同樣也可以根據(jù)誘導(dǎo)公式變?yōu)橥Y(jié)合單調(diào)性得。

前三種分類雖然是比較有章可循，但并不一定是唯一的方法也可能不是最簡(jiǎn)單的方法。作這種分類目的是能夠在看到此題型可以在方法選擇上不浪費(fèi)太多時(shí)間。當(dāng)然如果知識(shí)掌握靈活，能夠想到最簡(jiǎn)單的方法也是可以的。

按此這些類型分開按圖索驥很有效率，但是方法與方法之間也不是完全割裂分離得的，也有綜合使用的。

四、綜合

前面的三種方法會(huì)分開考察也會(huì)綜合考察。這就需要大家在熟練掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用了。這種題通常要具體問題具體分析了沒有什么特定的形式。下面僅以一例作解釋。

例如比較大?。?/p>

篇9

【摘要】 不定積分的求解一直是高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，但由于其方法的靈活性以及結(jié)果的不確定性，又一直是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。針對(duì)不定積分求解方法的核心思想——“湊微分”，就其技巧、步驟的形式化方面做了相關(guān)分析和總結(jié)，并給出了一系列行之有效的“湊微分”的形式化步驟和技巧。

【關(guān)鍵詞】 不定積分; 湊微分; 換元積分法; 分部積分法; 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)

微積分是醫(yī)用高等數(shù)學(xué)的基本和主要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)甚至是自然科學(xué)的發(fā)展階段中有著不可磨滅的貢獻(xiàn)，正如恩格斯所說：“在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)現(xiàn)那樣被看作人類精神的最高勝利了。如果在某個(gè)地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績(jī)，那就正是在這里”[1]。不定積分是微積分中的重要一章，是解決反問題的重要方法，在科學(xué)、技術(shù)和經(jīng)濟(jì)等許多領(lǐng)域中有著重要的應(yīng)用。不定積分掌握程度的好壞直接決定著對(duì)后面定積分、多元函數(shù)微積分以及微分方程等章節(jié)內(nèi)容的掌握，亦對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有很大的影響。由于不定積分方法的靈活性和結(jié)果的不確定性，同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往顯得無從下手，下面結(jié)合自己在講授不定積分時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于不定積分求解方法的學(xué)習(xí)提幾點(diǎn)建議。

作者在教學(xué)之余，曾關(guān)于不定積分的求解方法總結(jié)過一句口訣“原函數(shù)，結(jié)牛萊，湊微代換分部微元來，定于不定都交代”[2]。不定積分的常規(guī)求解方法主要包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，而經(jīng)常使用的主要是換元積分法和分部積分法，其核心即——“湊微分”。

1 換元積分法中的“湊微分”

換元積分法中的“湊微分”主要體現(xiàn)在第一類換元積分法中，其基本原理是：當(dāng)〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗 不容易直接求出時(shí)，則將其轉(zhuǎn)化成〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗 ，然后令φ′(x)dx=dφ(x)=du (取φ(x)=u ) ，即〖JF(Z〗g(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]φ′(x)dx〖JF)〗=〖JF(Z〗f[φ(x)]dφ(x)〖JF)〗=〖JF(Z〗f(u)du〖JF)〗 。其中的關(guān)鍵是第一步：將g(x) 拆分成f[φ(x)]φ′(x) ，這正是“湊微分”的核心。由于“湊微分”方法靈活多樣，單單依靠幾個(gè)常見的湊微分公式并不能給同學(xué)們足夠的啟示，在講解過程中我們將方法歸結(jié)為“一拆、二靠、三轉(zhuǎn)化”三步走，并且結(jié)合常見的不定積分公式求解，這樣同學(xué)們掌握起來就比較容易了。

1.1 “拆”

遇到一個(gè)不定積分題目，首先看其能否直接拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積，若能，則挨個(gè)觀察拆分成的函數(shù)能否湊微分，找出合適的進(jìn)行湊微分求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗分析：觀察到被積函數(shù)cosx2x 可以拆分成兩個(gè)函數(shù)的乘積：cosx·12x ，并且12x 可以進(jìn)行湊微分從而變成dx 。解：〖JF(Z〗cosx2xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosx·12xdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdx〖JF)〗=sinx+C。

1.2 “靠”

若一個(gè)不定積分不能直接拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積但是難以進(jìn)行湊微分計(jì)算，則先觀察它是否與某一個(gè)不定積分基本公式形式上接近，若接近，就以此不定積分基本公式為目標(biāo)去靠近從而求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗分析：通過觀察此不定積分不能直接進(jìn)行拆分，但其與不定積分基本公式〖JF(Z〗11+u2du〖JF)〗=arctanu+C 形式上接近，因此我們可以以此為目標(biāo)去靠近。解：〖JF(Z〗1a2+x2dx〖JF)〗=1a2〖JF(Z〗11+(xa)2dx〖JF)〗=1a〖JF(Z〗1adx1+(xa)2〖JF)〗=1a〖JF(Z〗d(1ax)1+(xa)2〖JF)〗=1aarctanxa+C。

1.3 轉(zhuǎn)化

若一個(gè)不定積分既不能直接拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積但是難以進(jìn)行湊微分計(jì)算，又不與任何一個(gè)不定積分基本公式形式上接近，則可以先利用恒等變形等方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)轉(zhuǎn)化的形式進(jìn)行相應(yīng)求解。如：求解不定積分 〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗分析：此不定積分既不能直接拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積或可以拆分成若干個(gè)函數(shù)的乘積但是難以進(jìn)行湊微分計(jì)算，又不與任何一個(gè)不定積分基本公式形式上接近。通過觀察被積函數(shù)1a2-x2 可以用拆分成1a-x·1a+x ，從而逆用通分公式變成12a(1a-x+1a+x) 進(jìn)行求解。解：〖JF(Z〗1a2-x2dx〖JF)〗=〖JF(Z〗1(a+x)(a-x)dx〖JF)〗=12a〖JF(Z〗(1a+x+1a-x) dx〖JF)〗=12a[〖JF(Z〗1a+xdx〖JF)〗+〖JF(Z〗1a-x) dx〖JF)〗]=12a[〖JF(Z〗1a+xd(a+x)〖JF)〗-〖JF(Z〗1a-x) d(a-x)〖JF)〗]=12a(ln|a+x|-ln|a-x|)+C=12alna+xa-x)+C。

2 分部積分法中的“湊微分”

分部積分法主要適用于被積函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)乘積形式(主要是反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)五類基本初等函數(shù)形式的乘積)的不定積分，主體內(nèi)容可以概括為“一套公式、兩個(gè)步驟、三種類型”：一套分部積分公式即：〖JF(Z〗u(x)dv(x)〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)du(x)〖JF)〗等價(jià)于 〖JF(Z〗u(x)v′(x)dx〖JF)〗=u(x)v(x)-〖JF(Z〗v(x)u′(x)dx〖JF)〗兩個(gè)基本步驟即：① 配微分，即將〖JF(Z〗f(x)dx〖JF)〗 變形為 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 ;② 代入分部積分公式求解、化簡(jiǎn)(可以重復(fù)使用)。

三種解題類型即：① 配微分后直接套公式計(jì)算、化簡(jiǎn);② 使用兩次分部積分公式后移項(xiàng)解方程;③ 直接積分法、換元積分法和分部積分法結(jié)合運(yùn)用。

分部積分法的關(guān)鍵是步驟①中的配微分，即將f(x) 拆分成uv′。u與v′選擇不當(dāng)會(huì)使題目求解越陷越繁瑣，例如求解不定積分〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗 ：解法1：選擇u=cosx ，v′=x

〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=12〖JF(Z〗cosxdx2〖JF)〗=12x2cosx+12〖JF(Z〗x2sinxdx〖JF)〗　=12x2cosx+16〖JF(Z〗sinxdx3〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3d sinx〖JF)〗=12x2cosx+16x3sinx-16〖JF(Z〗x3cosxdx〖JF)〗= (陷入無限循環(huán)中)。解法2：選擇u=x ，v′=cosx〖JF(Z〗xcosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗xd sinx〖JF)〗=xsinx- 〖JF(Z〗sinxdx〖JF)〗=xsinx-(-cosx)+C=xsinx+cosx+C(求解簡(jiǎn)單明了)。對(duì)于u 與v′的選擇，我們有以下兩個(gè)原則:① u 、v′選擇要得當(dāng)，使 v容易求出。② 〖JF(Z〗vdu〖JF)〗要比原積分 〖JF(Z〗udv〖JF)〗 容易求解。遵循上面的兩個(gè)原則，在教學(xué)實(shí)際中我們總結(jié)出一個(gè)比較實(shí)用的方法：對(duì)拆分成乘積的兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)類型發(fā)生變化則做u，沒有發(fā)生變化則做v′，全部沒有發(fā)生變化則任選其一做u 即可。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗分析：指數(shù)函數(shù)ex 與三角函數(shù)cosx 求導(dǎo)數(shù)后仍然為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)，函數(shù)類型都沒有發(fā)生變化，則任選其一做u 即可。解1：〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=exsinx-〖JF(Z〗sinx exdx〖JF)〗=exsinx+〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=exsinx+excosx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項(xiàng)整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(sinx+cosx)+C。解2： 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=〖JF(Z〗cosxdex〖JF)〗=excosx-〖JF(Z〗exd cosx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗exsinxdx〖JF)〗=excosx+〖JF(Z〗sinxdex〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗exd sinx〖JF)〗=excosx+exsinx-〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗移項(xiàng)整理得 〖JF(Z〗excosxdx〖JF)〗=12ex(cosx+sinx)+C。另外，針對(duì)某些被積函數(shù)只有一個(gè)的情況，可以看成其與常數(shù)的乘積。如：求解不定積分 〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗分析: 被積函數(shù)arctanx 可以看成arctanx·1 ，arctanx 求導(dǎo)得11+x2 ，類型由反三角函數(shù)形式變成冪函數(shù)形式，而1求導(dǎo)得0，仍為冪函數(shù)形式不變，因此取u=arctanx ，v′=1 即v=x 。解：〖JF(Z〗arctanxdx〖JF)〗=xarccosx-〖JF(Z〗xd arccosx〖JF)〗= xarccosx+〖JF(Z〗x11-x2 dx〖JF)〗

=xarccosx+12〖JF(Z〗x11-x2 dx2〖JF)〗=xarccosx-12〖JF(Z〗x11-x2 d(1-x2)〖JF)〗xarccosx-1-x2+C。此方法對(duì)于“配微分”的選擇來說是比較實(shí)用的，并且可以培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，但在一定方面亦有其局限性，對(duì)于某些題目，容易使同學(xué)們產(chǎn)生“歧途亡羊”之感。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析: 被積函數(shù)x2 求導(dǎo)得2x ，cosx 求導(dǎo)得-sinx ，類型仍是冪函數(shù)和三角函數(shù)形式，因此應(yīng)該任取一個(gè)做u 即可，但通過下面的求解發(fā)現(xiàn)并不是如此。解法1：〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=13〖JF(Z〗cosx dx3〖JF)〗=13x3cosx-13〖JF(Z〗x3d cosx〖JF)〗=13x3cosx+13〖JF(Z〗x3sinxdx〖JF)〗=13x3cosx+112〖JF(Z〗sinxdx4〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4d sinx〖JF)〗=13x3cosx+112x4sinx-112〖JF(Z〗x4cosxdx〖JF)〗=… (陷入無限循環(huán))。解法2： 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗=〖JF(Z〗x2d sinx〖JF)〗=x2sinx-〖JF(Z〗sinx dx2〖JF)〗=x2sinx-2〖JF(Z〗xsinx dx〖JF)〗=x2sinx+2〖JF(Z〗xd cosx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2〖JF(Z〗cosx dx〖JF)〗=x2sinx+2xcosx-2sinx+C (求解簡(jiǎn)單明了)。為解決此缺陷，我們?cè)俳o出一個(gè)選擇u 及v′ 的簡(jiǎn)便方法(此法在《高等數(shù)學(xué)》[3]中亦有相應(yīng)體現(xiàn))：把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)之積，按“反對(duì)冪指三(反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))”的順序，前者為u ，后者為v′ 。

如：求解不定積分 〖JF(Z〗x2cosx dx〖JF)〗分析：被積函數(shù)x2cosx 可以看成冪函數(shù)x2 與三角函數(shù)cosx 的乘積，按照“反對(duì)冪指三”順序取u=x2 ，v′=cosx (具體求解過程即上例解法2)。其實(shí)，兩種方法各有利弊，第一種方法拓展了學(xué)生的發(fā)散思維，但對(duì)于某些問題不能廣泛使用，第二種方法雖然簡(jiǎn)潔、應(yīng)用廣泛，但是又限制了同學(xué)們發(fā)散思維的培養(yǎng)，因此我們?cè)诮虒W(xué)過程中應(yīng)該相互結(jié)合，互為補(bǔ)充，這樣才能既有效解決問題，又培養(yǎng)了學(xué)生們的思維能力。

通過上面的方法，我們幾乎可以將不定積分的基本求解形式化的確定下來，在一定程度上減輕了同學(xué)們的學(xué)習(xí)壓力。但是，對(duì)于不定積分求解步驟、方法形式化的討論，并不是要把高等數(shù)學(xué)裝扮得冰冷且美麗著，而是要在掌握形式化技巧的基礎(chǔ)上深度挖掘“冰冷的美麗”[4]后面“火熱的思考”[4]，從而達(dá)到“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[5]的目的，真正的使同學(xué)們“透過形式主義的美麗，真正領(lǐng)會(huì)到微積分的無窮魅力”[4]。

【參考文獻(xiàn)】

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2 范應(yīng)元，安洪慶，孔雨佳.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教學(xué)中人文推動(dòng)的模糊綜合評(píng)價(jià).數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志，2008，21(6)：760～761.

3 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué).第5版.高等教育出版社，2002.

4 張奠宙.微積分教學(xué)：從冰冷的美麗到火熱的思考.大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇論文集，2005.

篇10

從實(shí)際出發(fā)，探討在醫(yī)學(xué)類專業(yè)《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中實(shí)行分層教學(xué)的必要性與可行性。

【關(guān)鍵詞】 醫(yī)用高等數(shù)學(xué)； 教學(xué)效率； 分層教學(xué)

《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》是一門醫(yī)學(xué)類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，隨著生命科學(xué)與醫(yī)學(xué)科學(xué)數(shù)量化進(jìn)程的加快，數(shù)學(xué)在高等醫(yī)學(xué)教育中的地位和作用顯得愈來愈重要。在面向21世紀(jì)高等醫(yī)學(xué)人才的培養(yǎng)目標(biāo)中，應(yīng)當(dāng)使未來的醫(yī)學(xué)人才具有應(yīng)用數(shù)學(xué)分析的頭腦去研究醫(yī)學(xué)理論和臨床實(shí)踐的能力。許多教育者正在不斷探索、嘗試各種途徑，以提高《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)效率。筆者認(rèn)為實(shí)行分層教學(xué)對(duì)于提高《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教學(xué)效率是一種必要、可行的方法。

分層教學(xué)就是教師在學(xué)生知識(shí)基礎(chǔ)、智力因素和非智力因素存在明顯差異的情況下，有區(qū)別地設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)和進(jìn)行教學(xué)，遵循因材施教的原則，有針對(duì)性的實(shí)施對(duì)不同類別學(xué)生的學(xué)習(xí)指導(dǎo)，從而使每個(gè)學(xué)生都能在原有基礎(chǔ)上得到發(fā)展，從而達(dá)到總體教學(xué)目標(biāo)。分層教學(xué)有多種形式，主要有兩種：一是針對(duì)不同專業(yè)特點(diǎn)，后續(xù)課程的要求進(jìn)行分層教學(xué)，在課時(shí)計(jì)劃、教學(xué)大綱、教學(xué)內(nèi)容上進(jìn)行區(qū)別，如藥學(xué)專業(yè)開設(shè)課時(shí)是一般醫(yī)學(xué)類專業(yè)的兩倍，內(nèi)容也是增加了許多，包括了微積分的基本內(nèi)容、級(jí)數(shù)、微分方程的基本解法等；二是針對(duì)同一專業(yè)、同一要求，根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)的差別進(jìn)行教學(xué)。對(duì)于第一種我國(guó)的高?；旧献龅搅?，根據(jù)專業(yè)特點(diǎn)進(jìn)行分層教學(xué)，但對(duì)于第二種尚處于起步時(shí)期，探索階段。下面就醫(yī)學(xué)類專業(yè)《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》中進(jìn)行第二種分層教學(xué)的必要性與可行性談?wù)勛砸训目捶ā?/p>

1 實(shí)行分層教學(xué)的必要性

1.1 從教育時(shí)代特色上有必要

為實(shí)現(xiàn)“科教興國(guó)”的戰(zhàn)略目標(biāo)和可持續(xù)發(fā)展的跨世紀(jì)的宏偉計(jì)劃，在本世紀(jì)初我國(guó)青年接受高等教育的比例逐年大幅度提高，到2005年中國(guó)高等教育毛入學(xué)率達(dá)19%，我國(guó)已進(jìn)入國(guó)際上公認(rèn)的高等教育大眾化階段，有些大城市已從精英教育轉(zhuǎn)向大眾化的普及教育。高校招生規(guī)模的不斷擴(kuò)大，使新生入學(xué)基礎(chǔ)的差別相對(duì)增大。按傳統(tǒng)的教學(xué)體系和教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)所產(chǎn)生的問題和矛盾將更加突出，高等教育形勢(shì)的這一變化必然對(duì)《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》教育提出新的按不同層次進(jìn)行教學(xué)的要求。

醫(yī)學(xué)類專業(yè)中有多個(gè)專業(yè)是文理兼招，如預(yù)防專業(yè)、臨床專業(yè)、婦幼專業(yè)等，這些專業(yè)是必須開設(shè)高等數(shù)學(xué)的。我國(guó)教育部頒布的高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)高中文科、理科中學(xué)數(shù)學(xué)有些區(qū)別，對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)要求不一樣，如反三角函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)文科生不作要求、理科生必須掌握的內(nèi)容，在高考指揮棒下，有些學(xué)校為提高升學(xué)率對(duì)于文科生反三角函數(shù)不進(jìn)行教學(xué)。但反三角函數(shù)是基本函數(shù)之一，是《醫(yī)用高等數(shù)學(xué)》中必須涉及的內(nèi)容，這樣如不進(jìn)行分層教學(xué)勢(shì)必對(duì)某些學(xué)生是一種重復(fù)學(xué)習(xí)，對(duì)文科生來說是一種全新的知識(shí)，因此分層教學(xué)是必須的。

2 實(shí)行分層教學(xué)的可行性

分層教學(xué)的理論基礎(chǔ)是“掌握學(xué)習(xí)”理論，美國(guó)教育家、心理學(xué)家布盧姆(B．S．Bloom)認(rèn)為：“只要在提供恰當(dāng)?shù)牟牧虾瓦M(jìn)行教學(xué)的同時(shí)，給每個(gè)學(xué)生提供適度的幫助和充分的時(shí)問，幾乎所有的學(xué)生都能完成學(xué)習(xí)任務(wù)或達(dá)到規(guī)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)。”同一專業(yè)實(shí)行分層教學(xué)，應(yīng)遵循“掌握學(xué)習(xí)”原則：作為同一專業(yè)的課程，分層教學(xué)并不是降低對(duì)學(xué)生要求的教學(xué)，而是教學(xué)要求相同，即學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度要求是相同，只是教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際發(fā)展水平、學(xué)習(xí)方式和個(gè)性特點(diǎn)，在教學(xué)環(huán)節(jié)的組織上、課時(shí)的分配上進(jìn)行調(diào)整的教學(xué)方式。

對(duì)于文、理兼招的醫(yī)學(xué)專業(yè)，一般可以分成A、B兩組。A組對(duì)象主要為原理科生，B組對(duì)象主要為原文科生（當(dāng)然這樣的分層要充分征求學(xué)生的意見，有可能原學(xué)文科的會(huì)自愿到A組，而原理科的自愿到B組）?，F(xiàn)行教材是可行，編者們?cè)诰幗滩臅r(shí)，都是“寬編窄用”，兼顧了文、理科學(xué)生，教師在教學(xué)內(nèi)容選擇上有很大的自主性。經(jīng)過幾年的發(fā)展師資上較前幾年有了很大的提高，原來的本科生教本科生基本都不存在，教師的學(xué)歷與實(shí)際教學(xué)經(jīng)驗(yàn)都得到了提高，教師完全的能力勝任這樣的教學(xué)改革。

參考文獻(xiàn)

1 湯自凱.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法體會(huì).湖南醫(yī)學(xué)高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2001，(4)：44～45．