導語：如何才能寫好一篇月球引力常數，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

1、首先,開普勒有三大天文定律（都是針對行星繞太陽運動的） 行星運動第一定律（橢圓定律）： 所有行星繞太陽的運動軌道是橢圓,太陽位于橢圓的一焦點上，行星運動第二定律（面積定律）： 聯接行星和太陽的直線在相等的時間內掃過的面積相等。 行星運動第三定律（調和定律）。

2、行星繞太陽運動的公轉周期的平方與它們的軌道半長徑的立方成正比，牛頓的萬有引力定律是在調和定律的基礎上提出的假設,并且被科學觀測所驗證。萬有引力的內容用公式表示就是： F=G*M1*M2/(R*R) 開普勒的調和定律認為： T*T/(R*R*R)=常數 如果我們考慮兩個做星體運動的星體,以一個質量為M1的星體做參考系,那么可以看成質量為M2的星體繞M1做圓周運動,而它們之間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力。

3、M2*（W*W)*R=G*M1*M2/(R*R) 而W＝2*3.14/T帶入上面的式子就可以得到T平方比上R的三次方是定制,也就是開普勒定律所闡述的內容,這樣就證明了牛頓引力定律. 其實科學的講,這不叫證明,因為牛頓定律是牛頓想出來的,再通過一系列科學的觀測數據來核實的,并不能從根源來證明,開普勒也是實驗天文學家,他是通過對天文資料的長期觀測總結猜想出他的三大定律的,物理學的發現往往就是通過猜想的，答案補充 G,是萬有引力系數,是常數,是規定死的,=6.67乘以10的負11次方,牛米方除以千克方答案補充 牛頓知道有個引力常數,但是他沒測試出來,測試出來的是英國物理學家卡文迪許,通過鉛球試驗測試出G的數值答案補充 假定維持月球繞地球運動的力與使得蘋果下落的力真的是同一種力的話,同樣遵從平方反比的規律,那么,由于月球軌道半徑約為地球半徑的60倍,所以月球軌道上一個物體受到的引力,比它在地面附近時受到的引力要小,前者只有后者的60的平方分之一.根據牛頓第二定律,物體在月球軌道上運動時的加速度,也就是月球公轉的向心加速度,也就應該是它在地面附近下落時的加速度的60的平方分之一答案補充 知道月球與地球的距離,月球公轉的周期,從而能夠算出月球運動的向心加速度.答案補充 數據表明,地面物體所受地球的引力,月球受到地球的引力,以及太陽與行星間的引力,是遵從同樣的規律,所以,證明了萬有引力的存在答案補充 m括號2派除以T括號的平方乘以R=mg,化簡得4派方R除以T方=a。

（來源：文章屋網 ）

篇2

High School Physics Related to "Celestial Movement"

Problem-solving Analysis

LI Xing

（Lanzhou No.58 Middle School， Lanzhou， Gansu 730000）

Abstract Discovery of the law of gravity is one of the greatest achievements of natural science. In this paper， starting from the practical examples， summarized the law of gravity several types and basic methods to solve these problems in practical application， describes the "piecemeal" and other physical ideas.

Key words centroid spacing； orbital radius； planet radius； rotation period

萬有引力定律揭示了天體運動的規律，在天文學上和宇宙航行的計算方面有著廣泛的應用。學生在這一章節的學習中，由于公式較為繁雜，解法靈活多變，對一些相近的概念容易混淆，從而出現解題失誤。在多年從事高中物理一線教學的過程中，筆者整理總結了兩類相近的物理量，加以對比剖析，以求能幫助學生走出誤區，正確地掌握解題方法。

1 三個距離的聯系與區別

在這一章中，很多題目要求根據一些環繞天體（如人造衛星等）來解決中心天體的某些參數。在這一類問題中，有關星球半徑、軌道半徑和質心間距這三個長度物理量的處理，往往成為了一些學生解題中的困惑之處。不能正確處理這三個長度關系，是學生在解決這類問題中常常出現的一個易錯點。

首先我們來對三種長度物理量來進行區分。

（1）質心間距：萬有引力定律告訴我們：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與物體質量乘積成正比，與它們距離的二次方成反比。從公式 = 可看出，這里的指的是兩物體質心間的間距。

（2）軌道半徑：本章內容有很多問題就是讓環繞天體僅在中心天體的萬有引力下做勻速圓周運動，由向心力公式 = 可看出，這里的是指物體做勻速圓周運動的軌道半徑。

（3）星球半徑：在求解某一未知天體的密度問題中，由球體體積公式 = 引出第三個長度，此處的是指星球半徑。同時，在有些問題中由于已知條件里包含了某一星球表面的重力加速度，往往要利用黃金代換 = （注：該等式并非一級公式，應用時應寫出原始公式）將未知量用已知量表示，也就要求引入星球半徑。

綜上，只有正確理解了這三個距離的關系，才不會在解題時出現約分錯誤。

應注意到：雙星問題模型中，三者皆不相等；環繞天體繞中心天體在高軌道上做勻速圓周運動時，圓周運動的軌道半徑等于環繞天體和中心天體質心間距；在近地衛星模型中，三者相等。下面我們通過幾個具體事例來分析。

例1：（2010年全國卷Ⅰ）如圖1，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間的距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。

圖1

（1）求兩星球做圓周運動的周期；

（2）在地月系統中，若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2。已知地球和月球的質量分別為5.98??24 kg和7.35??22 kg。求T2與T1兩者平方之比（結果保留3位小數）。

【解析】：（1）這是一道典型的雙星問題。該類問題的特點是兩星球的周期相等，并在彼此之間的萬有引力作用下做勻速圓周運動，故而向心力也相等。但解題易錯點在于兩星球的質心間距并不等于各自做勻速圓周運動運動的軌道半徑。即上文提到的 ≠ 。

設星球A、B各自做圓周運動的半徑分別為、，周期為T，則根據萬有引力定律對A衛星分析可知： = ，式中 = （ + ）；又 = ，聯立解得： = 。

（2）T2的求解方法中，就涉及到了環繞天體繞中心天體做勻速圓周運動這類模型，其中兩星球的質心間距等于環繞天體做勻速圓周運動的軌道半徑，即上文提到的 = 。

設地球和月球的球心間距為，地球和月球質量分別為、則由第一問可知： = ；當月球繞地球做勻速圓周運動時，地球對月球的萬有引力提供了月球繞地球做勻速圓周運動的向心力，即有： = ，解得： = ；代入數據解得：（）2 = 1.012。

【點評】：通過比對不難發現，該題涉及的問題即為上文中提到的質心間距以及軌道半徑這兩種不同的距離之間的差別。在解題時應格外謹慎，不能盲目套用公式。

例2：在某行星上以初速度自地面豎直向上彈射一個小球，用秒表測得小球經時間落回地面，已知該行星的半徑為，如果在該行星上發射一顆衛星，則衛星在該行星表面附近環繞的周期為多少？（行星表面無空氣）

【解析】：分析題目可知，該衛星是近地衛星模型。在上文中提到過，對近地衛星模型而言，衛星和星球的質心間距等于該衛星的軌道半徑，也等于該星球的半徑。即 = = 。

設該行星表面的重力加速度為，質量為，衛星質量為。則由運動學規律： = ；在星球表面，有： = ；衛星做勻速圓周運動的向心力由行星對其的萬有引力提供，故有： = ；又由題意： = = ，聯立解得： = = = 。

【點評】：在這道題中，所涉及的長度關系是上文中提到的質心間距、星球半徑、軌道半徑三者相等的情況。這類問題的解決過程中，要特別注意黃金代換式的合理應用。

2 兩個周期的區別

（1）公轉周期：公轉周期是行星繞恒星或是衛星繞行星轉動一周所用的時間。衛星的公轉周期一般都由萬有引力提供向心力這條思路求解，即由 = 解得，又由于公轉周期一般比較容易測得，有時候也可通過反向代入，解出有關中心天體的一些具體參數。

（2）自轉周期：自轉周期是一個天體沿自轉軸自轉一周所需的時間。

要注意到二者一般并不相等，比如地球的公轉周期約為365天，但自轉周期僅有24小時。某星球自轉周期求解是學生的一大難點，很多學生在解題過程中也容易混淆二者。以下面為例：

例3：已知地球質量為，半徑為，地球表面赤道處重力加速度為，萬有引力常量為。試根據以上數據求出地球自轉周期。

【解析】：很多同學會直接由 = 得出錯解 = ；實際上這里解出的T并非地球自轉周期，而是近地衛星貼著地球表面在飛行時的公轉周期。事實上，題目中給的條件“赤道處的重力加速度”是解決本題的關鍵。我們知道，在地球表面，萬有引力分為了兩個分力，其一是重力，其二是物體隨地球自轉的自轉向心力。應有，僅僅在地球的赤道處，由于這三個力都指向地心，所以可以將該矢量式寫成標量式。其中，利用自轉向心力可以求解地球自轉周期。

設地球自轉周期為，赤道處有一質量為的物體正隨地球自轉，則應有 = + ，即 = + ，解得： = 。

【點評】：這道題目是一道典型的自轉周期的求法的題目。通過這道題目的講解，力求能讓學生對兩種不同的運動周期加以區分，在解題時能夠選擇正確合理的方法進行求解。

練習：質量為的物體在某星球“赤道”的重力比“兩極”小10%，該星球的自轉周期為，則當該行星的自轉角速度為多少時，物體能在“赤道”上飄起來？

【解析】：在星球上，兩極處的萬有引力完全等于重力，赤道處的萬有引力等于重力和自轉向心力的代數和。已知自轉周期，即可以表示出自轉向心力，從而解出近地軌道上的萬有引力，由該萬有引力提供向心力，即可解出需要飄起來所對應的角速度了。

= + ， = 10 ，又物體漂浮，即有 = ； = ，即10 = ，解得： = 。

篇3

關鍵詞：衛星發射仿真；OpenGL；3D建模；可視化仿真；動畫效果

中圖分類號：TP391.9文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044(2011)16-3933-03

Research and Implementation on Simulation System of Satellite into Orbit Based on OpenGL

ZHANG Tong

(Department of Computer Science, Tongji University, Shanghai 201804, China)

Abstract: Describe the development and implementation on the OpenGL-based satellite launching orbit simulation system, including program design framework, the specific module package, object model design, satellite design and implementation process of the visual, animation effects, and so on. Realize the dynamic simulation of satellite launched into orbit.

Key words: simulation of satellite launch; OpenGL; 3D modeling; visual simulation; animation effects

目前，隨著我國空間信息科學技術研究的深入，在衛星發射中引入三維可視化圖形技術已是必然的趨勢。因此，結合當前的要求，開發有真實感的衛星發射至入軌過程仿真軟件，具有一定的實用意義。

SGI公司推出的OpenGL三維圖形庫因其易于使用而且功能強大而成為高性能圖形和交互式視景處理的標準[1]。但OpenGL沒有提供高級命令函數來定義復雜的三維模型，而只提供點、線、多邊形的方式來構建三維模型；雖然提供了創建復雜幾何物體的機制，卻未提供描述復雜的幾何物體以及建立復雜幾何物體模型的手段，所以描述衛星三維模型是一項艱巨的工作。采用借助三維建模軟件（3DSMAX）建造衛星模型既有利于三維仿真，也有利于模型運動的計算和控制，可減少大量工作量。但3DS數據格式只能保存和轉換幾何信息，色彩，材質等信息可能會在轉換時丟失，在程序的編寫過程中要對色彩和材質等進行處理。

本文在OpenGL三維圖形編程環境中，使用3D Max建立衛星模型并將其導入OpenGL，調用OpenGL圖形庫的函數，并通過對衛星軌道方程的計算，設計天體模型，實現衛星飛行過程的視覺設計和動畫效果，達到衛星發射至入軌過程的仿真目的。在實現過程中，使用了OpenGL提供的動畫機制，是整個畫面看起來更流暢，更具有真實感。

1 衛星軌道方程的計算

1.1 衛星在軌運行的無攝運動

若將地球或任何一個探測目標天體（如大行星，小行星等）看成一個質量密度分布均勻的球體，則它對繞其運行的衛星的引力作用可等效于一個質點，相當于質量全部集中在該天體質心上，于是就構成一個簡單的二體系統，一個中心天體和一個運動天體。以地球和人造衛星為例，將坐標系的原點放在地心上。討論人造衛星相對地心的運動，則衛星運動方程可寫成：

（1）

其中 r 是衛星相對于地心的位置向量，h 是衛星的高度即地心距，μ = GM 是地心引力常數，M 表示地球質量。

1.2 二體問題的積分與軌道常數

研究兩個質點在萬有引力作用下的運動規律的問題被稱為二體問題。若將地球看成質量密度分布均勻的球體，則它對繞其運行的衛星的引力作用可等效為一個質點，相當于質量全部集中在地球的質心，即地心上，于是就構成一個以地球為中心天體、衛星為運動天體的簡單二體系統。

二體系統的積分公式與軌道常數是本系統程序核心算法的基礎[2]。以下列出主要積分公式：

人造衛星繞地球的運動為一平面運動，相應的動量矩積分可寫成：

（2）

其中，h為面積速度常數，R表示面積速度方向，它是衛星運動平面的法向單位矢量。

人造地球衛星運行軌跡為橢圓，地心在橢圓的焦點上。以下為軌道積分之一，其中e和ω即兩個新的軌道常數：

（3）

衛星運動即在以上數學基礎上進行研究。

2 程序設計框架

本程序以Visual C++6.0作為編程開發平臺，調用OpenGL三維圖形庫，使用3D Max建立衛星模型并保存為3DS數據格式，將3D模型導入OpenGL，再通過坐標的變換、渲染、紋理、光照、混合等功能，充分利用一些已有的模塊，實現衛星發射至入軌過程的仿真。程序主體框架如圖1所示。

3 天體模型的設計與實現

3.1 繪制天體的父類設計

本系統中最終的衛星發射至入軌過程的動態顯示畫面中應包含地球、太陽、月亮、星空以及衛星。除了衛星，其他幾種景物的實現都可歸結為球體模型的構建，星空的實現也需借助于球體：即將整個系統置于一個半徑很大的虛擬球體中，在此球體表面映射上星空的紋理，這樣在系統中任何角度都能看到星空的景象，并且具有一定的立體感。基于這種實現上的需要，設計一個名為CModelObj的類作為其父類，通過C++提供的繼承機制，派生出所需要的子類。

根據OpenGL只提供基本幾何圖元（點，線，多邊形）的繪制特性，球體設計的思路為：繪制多個四邊形，然后將其拼接起來。

具體實現方式為：在水平方向上將球體劃分為M圈（類似于地球的緯度分割），豎直方向上將球體劃分為N圈（類似于地球的經度分割）。按照先從水平方向，再從豎直方向上循環繪制四邊形，共需要繪制M*N個四邊形。假設球體半徑為r,球的中心在坐標原點，坐標系采用OpenGL中的右手坐標系[3]。

假設球面上一個頂點A，AO與y軸的夾角為φ, AO在xoz平面的投影與z軸的夾角為θ,那么A點的坐標為

（X = r*sinφ*sinθ，Y = r*cosφ，Z = r*sinφ*cosθ）；

頂點A的法向量為( sinφ*sinθ, cosφ, sinφ*cosθ )，頂點的法向量用于實體光照模型中。對于第i行（0 ≤ i < N），第j列(0 ≤ j < M)，φ和θ的取值為

φ = i*π/NCπ/2，θ = j*2*π/M

在頂點的計算中，不僅要計算頂點的坐標和法向量，還需要計算該頂點的紋理坐標。然后將頂點的計算結果保存在數組中，供以后調用。

3.2 天體模型的實現

地球、太陽以及月球都是按照上述方法繪制。為了增加模型的真實感，使用了紋理貼圖，并且在地球增加了云層和大氣層，通過一個循環自增變量控制云層的移動，模擬真實自然界大氣層對光的折射。

云層在視覺上都是環繞在地球表面的半透明球體，因此也作為CModelObj的子類來處理。使用云層的紋理貼圖可以使其看起來更具真實感。另外，云層的透明性通過混合處理來實現。大氣層附著在云層，大氣的顯示顏色與觀察者的觀察方向、太陽的位置以及地表位置有關。地球在自轉的同時，也圍繞著太陽公轉，這意味著在不同時刻，地球表面被光源（太陽）照亮的地方都不同，但始終只有朝向太陽的一面才能被照亮。

大氣層繪制的具體實現方法為：首先計算出觀察點的太陽地平緯度（即地平線與太陽的角度距離），如圖2所示。

在程序中，先通過地球的位置，觀察點的位置，和太陽的位置，來確定AB與地球的切點O。步驟如下：

首先，計算地球中心到太陽中心的向量EF；

其次，計算出觀察位置到地球中心的向量為eyeVec；

再次，通過向量EF，和向量eyeVec，計算向量T。T與前兩個向量處于同一平面，且為觀察位置與地球的切線方向。從而得到切點O。切點O的具體算法可以參考程序中的函數CGEllipsoidAtmosphereRender::ellipsoidTangent；

最后，通過計算AB與EF的叉積，計算太陽地平緯度的余弦值。在后面的顏色計算中將使用地平緯度的余弦值。

計算出大氣的輪廓后，只需要在地球的繪制圓環即可，同樣使用四邊形拼接法來繪制。如果一個圓周用M個四邊形連接，一個圓環有N層，那么需要繪制N*M個四邊形[4]。

最后對頂點的顏色進行處理，顏色的設置應該有大氣層的厚度決定（大氣層的厚度不同，對光線的折射率不同，從而顯現出的顏色也就不同），并運用亮度因子進行亮度調節。最后的效果如圖3所示。

4 衛星飛行過程的視覺設計及實現

在本程序的設計過程中，為了體現出衛星發射后在太空中飛行的過程，將視點設置成跟蹤衛星，即視點始終跟隨衛星飛行。基于以下OpenGL變換原理實現：取景變換，模型變換，投影變換，視區變換[5]。因此，以pSendUp->xcam，pSendUp->ycam，pSendUp->zcam等變量為參數調用函數gluLookAt，此函數是實現視點跟蹤的關鍵[9]。

函數gluLookAt的函數體一共包括三組參數，分別用于指定視點的位置，定義一個相機指向的參考點和指示那一個方向向上。首先，要選擇一個能得到預想場景的視點，而參考點一般位于場景的中間位置（如果已經將場景構建在了原點處，那么參考點通常就是原點）。如何確定向上的方向向量比較復雜[6]。以本程序的設計為例，在衛星飛行過程中，該方向向量應該始終垂直于機翼并向上。而當衛星到達預定軌道并顯示在軌飛行時，則場景應該在原點，而且y軸的正方向向上。該函數在掃描全景時尤其有用。在x和y對稱的視圖體中，所指定的(eyex,eyey,eyez)點總是處在屏幕上圖像的中心點處。這樣就可以使用一系列的變換函數，逐漸移動該點，從而實現對場景的全景掃描。gluLookAt函數的原型為：

void gluLookAt( GLdoubleeyex , GLdoubleeyey , GLdoubleeyez , GLdoublecenterx , GLdoublecentery , GLdoublecenterz , GLdoubleupx , GLdoubleupy , GLdoubleupz )。該函數定義一個視圖矩陣并將其右乘到當前矩陣上，其結果返回給當前矩陣。期望的視點由參數eyex，eyey，eyez指定，而參數centerx，centery，centerz指定期望視線上的任意一點，通常取觀測場景中心的點，這兩點就確定了視線的方向。參數upx，upy，upz指定向上的方向（即視圖體自下而上的方向）。

gluLookAt函數在本程序中的調用實例為：

gluLookAt(pSendUp->xcam,pSendUp->ycam,pSendUp->zcam,pSendUp->xmis,pSendUp->ymis,(pSendUp->zmis)/10,0.0f,1.0f,0.0f);

其中，參數pSendUp->xcam,pSendUp->ycam,pSendUp->zcam,能夠實現自減運算，從而實現衛星位置和視點位置的不斷變換，以達到跟蹤的效果。試點追隨正在飛行的衛星，并按y軸方向上升。

5 實現衛星飛行的動畫效果

5.1 基于OpenGL的動畫實現

本系統中的衛星飛行動畫基于計算機動畫中標準動畫法和物理動畫法完成，基于OpenGL的雙緩沖機制來實現。在顯示前臺緩沖內容中的一幀畫面的同時，后臺緩沖正在繪制下一幀畫面，當繪制完畢，再將后臺緩沖的內容顯示出來，這時前臺緩沖則又開始繪制下一幀畫面，如此循環往復，屏幕上總是呈現顯示好的內容，因此畫面看上去是連續的，這是一種類似于流水線的操作方式[7]。

為了模擬衛星的飛行效果，在每兩幀畫面之間坐標平移和旋轉操作，即后一幀畫面可由前一幀畫面經過平移和旋轉操作得到。平移和旋轉分別由一個參數決定，參數的修改在繪制兩幀畫面之間進行[8]。在本程序中，實現衛星飛行過程的關鍵函數為：

glTranslatef(xm,ym,zm);

glRotatef(am,1.0f,0.0f,0.0f);

glRotatef(180.0f,0.0f,1.0f,0.0f);

這些語句在每兩幀畫面切換時被調用，以實現衛星位置的不斷變換。

5.2 模擬發射過程的尾焰效果

在實際的衛星發射過程中，衛星是由運載火箭送入太空的，衛星本身不帶有升空過程的動力設備。運載火箭將衛星送入預定軌道后，即與衛星脫離。同步人造地球衛星繞著地球飛行時，是以地球對其的萬有引力作為向心力繞軌運行[10]。

在本程序的設計過程中，由于技術上的一些限制條件，并沒有將衛星與運載火箭捆綁，而是假定衛星自己具有動力源，為了達到預期的仿真效果，利用OpenGL提供的一些相關技術，對火箭上升過程中的噴射尾焰進行了模擬。

實現尾焰的模擬效果主要使用視圖變換和紋理貼圖等技術。定義一些規則的幾何體，然后對這些幾何體進行預定軌道的位置變換，通過使用紋理貼圖技術，使其看起來更具有真實感。本程序中通過以下步驟進行火焰效果仿真：

首先，用規則的三維幾何體定義尾焰輪廓；

其次，對該幾何體尾部進行透明度擾動以產生火焰的噴射效果；

最后，用分段函數定義幾何體各區間的顏色以求色彩逼真。

6 結論

在本衛星發射至入軌過程仿真系統的設計過程中，以OpenGL圖形接口為開發環境，在Visual C++中調用系統封裝的OpenGL函數，運用OpenGL的各項功能，例如模型變換，投影變換等，實現了衛星發射過程的動態仿真及衛星飛行過程的動畫顯示。在本程序的編寫過程中，采用了標準動畫法來繪制衛星的過程，在視覺上帶來了一定的真實感，但在仿真方面還不夠完善，此外，衛星在軌運行的模型使用的是無攝運動模型，它比真是太空中天體的運動簡單很多。怎樣從計算公式的角度和動畫仿真的角度提高模型的真實性，還有待進一步的研究。

參考文獻：

[1] 黃權,徐學軍.基于OpenGL的衛星跟蹤仿真[J].計算機技術與發展,2007,17(2):131-134.

[2] 劉林.人造地球衛星軌道力學[M].北京:高等教育出版社,1992:1-100.

[3] Jim Pitts,Martin Van Velsen,Robin Fercoq,et al.3D Studio File Format[Z].1997.

[4] 夏一飛,黃天衣.球面天文學[M].南京:南京大學出版社,1995:20-200.

[5] Dave Shreiner,Mason Woo,Jackie Neider,等.OpenGL編程指南[M].北京:機械工業出版社,2006:1-297.

[6] Mark Segal,Kurt Akeley.The OpenGL Graphics System: A Specification(Version 2.1)[Z].2006:1-394.

[7] 唐澤圣,周嘉玉,李新友.計算機圖形學基礎[M].北京:清華大學出版社,1999:1-180.

[8] Cass Everitt.OpenGL ARB Vertex Program[Z].2003:1-58.

[9] 刁成嘉,刁奕.C++面向對象編程基礎[M].北京:機械工業出版社,2007:95-117.