導語：如何才能寫好一篇拋物線及其標準方程，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

關鍵詞：拋物線;標準方程;實際應用

一、拋物線及其標準方程的定義

1.拋物線的定義

平面內與一個定點F和一個定直線l距離相等的點的軌跡叫作拋物線，F和l分別是拋物線的焦點和準線。

另一種表達方式是：若 =1，則M的軌跡是拋物線。

2.拋物線的標準方程

設直線l與x軸的交點為K，=P，則F=（ ，0），l：x=- ，設點M的坐標為（x，y），則

化簡得，y2=2px（p0）。

根據拋物線在平面內的位置不同，可得出其他形式的標準方程：

y2=-2px x2=2py x2=-2py，其中p0。

二、拋物線及其標準方程的運用

1.給出拋物線的標準方程，求焦點坐標和準線方程

這類問題是比較簡單的拋物線問題，可以通過拋物線的方程求出p值，根據拋物線在坐標軸中的位置，確定焦點和準線的位置，從而得到結果。

例1：已知拋物線的標準方程是y2=4x，求它的焦點坐標和準線方程。

解：由2p=4，得出p=2，所以焦點坐標是（1，0），準線方程是x=-1。

例2：已知拋物線的標準方程是x2=8y，求它的焦點坐標和準線方程。

解：根據拋物線方程可知焦點在y軸上，由2p=8，得p=4，所以焦點坐標是（0，2），準線方程是y=-2。

例1和例2是拋物線的基礎題型，只需要根據拋物線的標準方程確定焦點F在x軸還是y軸上，準線與哪條坐標軸平行，就可以準確計算出焦點和準線。

2.給出拋物線的焦點坐標或準線方程，求它的標準方程

求解這類問題的關鍵是通過焦點坐標和準線方程確定拋物線的位置，從4個基本方程中選擇正確的表達形式。

（1）直接給出

例3：已知拋物線的焦點坐標F（5，0），求它的標準方程。

解：由焦點坐標可知，拋物線的標準方程屬于y2=2px，由 =5，得出p=10，所以拋物線標準方程為：y=20x。

例4：已知拋物線的準線方程為y=3，求它的標準方程。

解：由準線方程可知拋物線位于第三、第四象限，所以拋物線的標準方程為x2=-2py，由 =3，得出p=6，所以拋物線標準方程為x2=-12y。

總結：在進行拋物線標準方程的求解時，一定要根據題意進行判斷分析，而且要注意焦點和準線方程的符號。

（2）間接給出

在熟悉了較為簡單的拋物線計算后，已經能夠較為靈活地在焦點、準線、標準方程之間進行轉換，此時需要進行拋物線的深入研究，對其中的各個知識點加以鞏固。

例5：求過點B（1，2）的拋物線的標準方程。

解：經過分析，只有拋物線開口向上或者是開口向右時，才能經過點B，所以當拋物線的焦點在x軸的正半軸上時，把B（1，2）代入y2=2px，得p=2;當拋物線的焦點在y軸的正半軸上時，把B（1，2）代入x2=2py，得p= 。所以，拋物線的標準方程是y2=4x或x2= y。

總結：當給出平面中一個點的坐標時，就能夠判斷出拋物線在平面中的位置和開口方向，之后將點的坐標代入到標準方程中，求出p值，從而列出標準方程。

例6：已知拋物線的標準方程是y2=-8x，將焦點向左移3個單位，求新的拋物線方程。

解：由y2=-8x得p=-4，所以焦點F的坐標為（-2，0）新的焦點F?的坐標為（-5，0），由=-5，得p=-10，所以新的拋物線方程是y2=-20x。

總結：知道了拋物線方程就能求出焦點坐標，根據題意將焦點移動，得出新的焦點坐標，求出p值，就能得到新的拋物線的標準方程。

以上是數學中的常見題型，較為簡單，只需要熟悉拋物線的定義和標準方程就可以輕松解答這類問題，下面我們將研究拋物線的實際應用問題。

三、拋物線的應用

學習數學是為了更好地解決實際中的問題，而在實際的生活中，經?？梢钥吹礁黝悢祵W模型，我們可以將所學的知識代入，將實際問題轉化為我們熟悉的數學問題，使問題簡單化。

例7：如圖，排球運動員站在點O處練習發球，將球從O點正上方2m的A處發出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式y=a（x-4）2+h。已知球網與O點的水平距離為6m，高度為2m，球場的邊界距O點的水平距離為12m。

（1）當h=3時，求y與x的關系式。

（2）當h=3時，球能否越過球網？如果球能越過球網，球會不會出界？

解：（1）因為A點在拋物線上，所以將A點坐標（0，2）代入方程，得16a+h=2。因為h=3，所以a= =- ，

y=- （x-4）2+3。

（2）當h=3 x=6時，y=- （x-4）2+3 y=- （6-4）2+3=2.752，所以此時球能越過球網。

當h=3 x=12時，y=- （12-4）2+5=10，所以球會出界。

本題是拋物線知識的延伸，我們應把實際的排球發球問題建立出數學模型，使其轉化為拋物線問題，通過代入數據計算拋物線的頂點和與x軸的交點坐標，從而判斷出球是否會越過球網和出界。

在實際生活中經常會遇到拋物線問題，如拱橋的形狀、投籃時籃球的運動軌跡等，所以學生應學好拋物線，將數學和生活實際結合到一起，以解決更多的實際問題。

總之，本文將常見的拋物線問題一一列舉出，并提出了相應的解題方法，在遇到有關拋物線的實際問題時，我們應善于建立拋物線的數學模型，將各種已知條件代入，以便學生思考和計算。

篇2

一、充分重視信息的反饋

根據學生的知識基礎、能力水平等實際情況，我將教學目標分為三個層次：

識記：記住拋物線的定義和有關概念。

理解：理解拋物線的定義，掌握拋物線的四種標準方程及其性質；能區分拋物線與橢圓、雙曲線之間的聯系與區別。

簡單應用：（1）能夠深刻理解拋物線的定義以及有關概念，掌握拋物線的四種標準；（2）能根據拋物線的標準方程確定其圖像的位置，并懂得根據拋物線的方程用“五點法”畫出圖像；（3）初步懂得應用所學的知識解決實際問題。

通過學生課堂聽講、回答問題、課堂練習、形成性檢測等學習活動中反饋的信息，了解學生學習的情況。具體情況如下：

1、僅有個別學生達到“簡單應用”的學習目標。他們基本上掌握拋物線的定義、各種標準方程激起性質，能區分拋物線與橢圓、雙曲線之間的聯系與區別，并能靈活地運用所學的知識解決實際問題。

2、只有一半左右的學生達到“理解”層次的學習目標，存在的問題主要表現在：

（1）能記住拋物線的定義，理解拋物線各種標準方程及其性質，但理解不夠深刻；

（2）不能靈活地運用所學的知識解決實際問題。

3、還有一部分學生僅達到“識記”層次的學習目標，存在的問題主要表現在以下幾個方面；

（1）對拋物線的定義理解不夠深刻；

（2）對拋物線四種標準方程所對應的圖形、焦點、準線混淆，不能正確寫出焦點坐標、標準方程和大體上對方程的曲線做出估計。

從反饋的信息來看，各個層次學習目標達標的學生比例尚未達到預期的目的，學生的學習效果育教學目標之間存在著一些偏差。

二、利用信息的反饋進行教學診斷

根據教學反饋的信息，我對學生產生學習困難的原因進行分析，主要有以下幾個方面：

1、存在學習的自卑感，缺少完成任務的自信心，在學習上態度不認真。

2、基礎知識不扎實，如對前面學習的橢圓、雙曲線的定義和有關概念理解得不夠深刻，特別是沒有掌握其標準方程的指導方法，影響到對拋物線標準方程的理解。

3、不明確教師提出的學習任務與要求，學習方法不對頭。

三、根據信息反饋因材施教

針對目標教學過程中存在的問題，我采取了一系列教學措施。具體的做法如下：

1、樹立信心、明確方向

利用課堂教學信息的反饋，不但教師可以了解自己本節課教得情況，同時注意有針對性地對學生的學習效果進行有效的評價，并指出存在的問題，讓學生了解自己學習的效果，明確進一步學習的方向。這樣師生都能對下一節課以及今后的學習有了目標，同時也鼓勵學生樹立起學習新知識的信心，牢牢掌握住基本公式。如：面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。定點F叫做拋物線的焦點。定直線l叫做拋物線的準線。

拋物線的離心率y2=2px

基本點：頂點，焦點

基本線：準線，對稱軸

基本量：P(決定拋物線開口大小)

2、因勢利導、鞏固提高

對于已達到“簡單應用”目標的學生，著重陰道他們區分拋物線與橢圓、雙曲線三者之間的定義、圖形及幾何性質的聯系與區別，并配合一些靈活、綜合的題目進行練習。如：在拋物線y=1/4x²的上側，求與拋物線相切于原點的最大圓。這樣，可以鞏固他們所學的知識，提高他們的解題技巧和綜合解題的能力。

對達到“理解”學習目標的學生，要求他們進一步掌握拋物線的基本概念、圖形以及幾何性質，并有目的地安排一些題目進行練習，加深理解，達到熟練地運用標準的技能技巧。如，從拋物線標準方程中的y、x的取值符號，判斷曲線圖像所在的象限，以加深學生對標準方程的理解和掌握。

例：已知拋物線的對稱軸是x=1，拋物線與y軸交于點（0，3），與x軸兩交點間的距離為4，求此拋物線的解析式。

分析設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c。若按常規解法，則需要解關于a、b、c的三元一次方程組，變形過程比較繁雜；若巧用拋物線的對稱性，解法就簡捷了。因為拋物線的對稱軸為x=1，與x軸兩交點間的距離為4，由拋物線的對稱性可知，它與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點。于是可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）。又因為拋物線與y軸交于點（0，3），所以3=-3a。故a=-1。y=-（x+1）（x-3），即y=-x2+2x+3。

3、矯正補救、掌握目標

對尚未達到“識記”目標的學生，我通過補充一些基本題引導他們學習，并加以個別輔導，使他們基本上理解拋物線的定義、圖形以及幾何性質。

例如：拋物線的標準方程：1、右開口拋物線:y^2=2px；2、左開口拋物線:y^2=-2px；3、上開口拋物線:y=x^2/2p；4、下開口拋物線:y=-x^2/2p。

篇3

1．　考綱解讀：

（1）在平面直角坐標系中，結合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素（兩個點、一點和方向）．

（2）理解直線的傾斜角和斜率的概念，經歷用代數方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式；了解直線的傾斜角的范圍；理解直線的斜率和傾斜角之間的關系，能根據直線的傾斜角求出直線的斜率．

（3）根據斜率判定兩條直線平行或垂直，根據兩條直線平行或垂直的位置關系求直線方程中參數的值．

（4）根據確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）的特點和適用范圍；根據問題的具體條件選擇恰當的形式求直線的方程；體會斜截式與一次函數的關系．

（5）了解二元一次方程組的解與兩直線交點坐標之間的關系，體會數形結合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標．

（6）探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式；會求兩條平行直線間的距離．

2．　考場對接：

通過2012年的考點統計可以看出，在高考題中，本節內容主要以選擇題、填空題為主要題型，考查兩直線的位置關系，屬于基礎題，難度不大．對直線與方程的考查，還滲透在平面解析幾何的解答題中，與其他知識（圓與圓錐曲線）結合出題．

3．　經典例題：

（2012浙江）設a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋（a＋1）y＋4＝0平行”的（ ）

A．　充分不必要條件

B．　必要不充分條件

C．　充分必要條件

D．　既不充分也不必要條件

失分警示 本題屬于基礎題，解題時注意判斷充分必要條件的步驟，即先驗證充分性，再驗證必要性，最后綜合起來下結論．　在表述的時候要弄清順序關系，以防發生概念錯誤．

方法突破 在研究充分和必要條件時，可先求一者的等價條件，再和另一者作比較．

完美答案 當a＝1時，直線l1：x＋2y－1＝0與直線l2：x＋2y＋4＝0顯然平行；若直線l1與直線l2平行，則有■=■，解得a＝1或a＝-2．　故選A．

4．　命題趨勢：

直線的方程、兩直線的位置關系、距離問題一直是高考考查的熱點問題，單純考查直線的知識一般在選擇題、填空題中出現；直線和其他知識的交匯問題一般出現在解答題中，有一定的難度．

1．　考綱解讀：

（1）回顧確定圓的幾何要素（圓心、半徑，不在同一直線上的三個點等），在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程；根據問題的條件，選擇恰當的形式求圓的方程；理解圓的一般方程和標準方程之間的關系，會進行互化．

（2）根據給定直線和圓的方程，判斷直線與圓的位置關系（相交、相切、相離）；根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）．

（3）用直線和圓的方程解決一些簡單的問題．

（4）在平面解析幾何初步的學習過程中，體會用代數方法處理幾何問題的思想，感受“數”與“形”的對立和統一；初步掌握數形結合的思想方法在研究數學問題中的應用．

（5）通過具體情境，感受建立空間直角坐標系的必要性，了解空間直角坐標系，會用空間直角坐標系刻畫點的位置；掌握空間兩點間的距離公式及其應用．

2．　考場對接：

圓的方程，直線與圓、圓與圓的位置關系是高考考查的重點，在2012年高考試題中，主要在選擇題、填空題中考查直線與圓、圓與圓的位置關系，尤其是含參數的問題，考題基本上屬于中低檔難度的題．

3．　經典例題：

（2012天津）設m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，則m+n的取值范圍為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，考查直線與圓的位置關系，不等式的性質.　注意不要忽略了m，n∈R這個條件，在運用基本不等式時注意其成立的條件，求取值范圍時注意不要擴大或縮小范圍．

方法突破 由直線與圓相切的條件可以得到一個關于m，n的等式，觀察等式的性質，利用基本不等式的形式消除差異，化為關于m+n的不等式，解出其取值范圍即可．

完美答案 因為直線（m+1）x+（n+1）y－2=0與圓（x－1）2+（y－1）2=1相切，所以■=1，化簡得mn=m+n+1.　又當m，n∈R有不等式mn≤■■成立，所以mn=m+n+1≤■，即（m+n）2－4（m+n）－4≥0，解得m+n≤2－2■或m+n≥2+2■.　故選D．

■ （2012江蘇）在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2－8x+15=0，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是_________．

失分警示 本題屬于中檔偏難題，解答本題時不要被題中的表面意思所迷惑，要透過現象看本質，認真審清題意，將題意中的關系進行合理的轉化．

方法突破 數形結合理解題意，將兩圓的位置關系化為圓C的圓心到直線y=kx－2的距離的取值范圍問題去處理．

完美答案 圓C的方程可化為（x－4）2+y2=1，若直線y=kx－2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則圓C上的點到直線上的點的距離的最小值小于或等于1，則圓心C（4，0）到直線y=kx－2的距離小于等或等于2.　所以■≤2，解得0≤k≤■，故k的最大值是■．

4．　命題趨勢：

預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查圓方程的求解，直線與圓、圓與圓的位置關系的判斷，特別是含參數的位置關系問題仍將是考查的重點和熱點．　而在解答題中，則有可能考查以圓為背景的綜合試題，特別是圓與圓錐曲線的整合問題．

1．　考綱解讀：

（1）了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用．

（2）掌握橢圓的定義和幾何圖形及標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質，能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．

2．　考場對接：

縱觀2012年高考數學試題可以看出，選擇題、填空題主要考查橢圓的定義、標準方程和幾何性質的理解與應用，橢圓的離心率等相關知識，難度中等；解答題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質的應用，特別地，直線與橢圓的位置關系問題是考查的熱點問題，且有一定的難度．

3．　經典例題：

失分警示 結合圖形，審清題意，注意三角形哪個角是底角，細心運算，避免發生運算失誤．

方法突破 求解圓錐曲線的離心率（或其范圍）的關鍵是根據已知條件尋求一個關于a，b，c的等式（或不等）關系，再結合a，b，c的固有關系消去b，最后得到a，c的等式（或不等）關系，從而求得離心率（或其范圍）．

4．　命題趨勢：

橢圓是命題的熱點內容，預計2013年的高考仍將在選擇題、填空題中考查橢圓的標準方程、離心率的求解等知識，難度中等；將在解答題中重點考查直線與橢圓的位置關系問題，可能還會出現一些創新題型，如新定義題型、探索性問題、定點定值問題等，此類問題難度較大．同時，會加強橢圓與圓，橢圓與雙曲線，橢圓與拋物線等知識的交匯問題的考查力度．

1．　考綱解讀：

了解雙曲線的定義、圖形和標準方程，會求雙曲線的標準方程；會用雙曲線的標準方程處理一些簡單的實際問題；了解雙曲線的簡單幾何性質．

2．　考場對接：

分析2012年高考試題可以看出，雙曲線的考題基本上以選擇題、填空題為主，主要考查雙曲線的定義、方程和簡單幾何性質的應用，且出現了雙曲線和圓、橢圓、拋物線等的整合問題，總體難度中等．

3．　經典例題：

（2012浙江）如圖1，F1，F2分別是雙曲線C：■－■=1（a，b＞0）的左、右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P，Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M．　若MF2＝F1F2，則C的離心率是（ ）

失分警示 本題的解題思路并不難得出，但運算量較大，在認真審題的前提下避免發生運算錯誤，同時注意雙曲線的離心率的取值范圍，謹防增根．

方法突破 本題考查雙曲線的幾何性質的應用，離心率的求解，突破的關鍵是正確求出P，Q兩點的坐標（用a，b，c表示），再求出PQ的垂直平分線的方程，進而用a，b，c表示出M的坐標，由MF2＝F1F2列出等式，最終化為a，c的關系．

4．　命題趨勢：

預計2013年高考仍將在選擇題、填空題中考查雙曲線的標準方程的求法、定義和幾何性質的應用，其中離心率的求解和漸近線問題是考查的熱點．　此外，仍會加強將雙曲線和其他知識（如圓、橢圓、拋物線）進行交匯出題，題目難度中等偏低．

1．　考綱解讀：

（1）掌握拋物線的定義、圖形和標準方程，會求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單性質，會用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題．

（2）了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；掌握求直線和圓錐曲線的交點坐標的方法；進一步體會數形結合思想．

2．　考場對接：

透過2012年高考數學試題可以看出，拋物線是考查的熱點問題，考題既在選擇題、填空題中出現，也在解答題中出現．選擇題、填空題重點考查拋物線的標準方程的求法，拋物線的定義和性質的應用，以及拋物線在實際問題中的應用，同時還出現了拋物線與雙曲線的交匯問題，難度中等．　解答題重點考查直線與拋物線的位置關系，拋物線與其他知識（如圓、不等式等）的整合問題，且出現了探索性問題，難度較大．而曲線與方程的考查則滲透在以上各大知識板塊之中．

3．　經典例題：

（2012安徽）過拋物線y2=4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是原點，若AF=3，則AOB的面積為（ ）

失分警示 本題屬于中檔題，有一定的思維量，認真審題，找準關系，運算準確，避免發生思維受阻和運算錯誤．

方法突破 顯然AB是拋物線的焦點弦，且已知AF=3，若結合拋物線的定義，則可以求點A的坐標，從而直線AB的方程便可以得到解決，具體見如下的解法一．　本題也可以設角度（見如下的解法二），通過三角關系來表示線段的長度，從而求出三角形的兩邊及其夾角的正弦值，再求面積．

（1）求拋物線C的方程；

（2）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；

（3）若點M的橫坐標為■，直線l：y=kx+■與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當■≤k≤2時，AB2+DE2的最小值．

失分警示 本題難度較大，綜合性強，涉及的知識點多，屬于直線、圓和拋物線的綜合問題，解答時要注意數形結合思想的使用，審清題意.　解答第（1）小題難度不算大，但第（2）小題是一個探索性問題，有較大的運算量，需要扎實的運算功底，第（3）小題將直線、圓和圓錐曲線綜合起來，難度較大，需要較強的分析問題和解決問題的能力．

方法突破 第（1）小題結合拋物線的定義以及圓的相關性質可以列出一個關于p的方程，求解即可；第（2）小題可先假設存在點M，利用拋物線的切線斜率和直線MQ的斜率相等列等式求解；第（3）小題的解題目標是將AB2+DE2表示為關于k的函數，從而化為求函數的最值問題去處理，但求兩線段的長度需要用到直線與圓錐曲線相交弦長公式AB=■，以及直線與圓的相交弦長公式DE=2■等．

完美答案 （1）x2=2y．

篇4

關鍵詞：二次函數；一元二次方程；數學思想方法

二元一次方程是初中階段最重要的一個代數知識，對二次函數與一元二次的教學，許多教師都感到難以把握，綜合其原因主要有如下兩點：一是本節教學內容牽扯到了的知識點較多，有相當數量的學生對舊的知識點掌握本身就不是特別牢固，教師對教學的深淺度不太容易把握；二是本節運用了各種教學方法，有函數、方法、類比、分類討論、數形結合思想等，這都是初中數學中對學生所要培養的重要思想?？梢哉f本節內容是初中代數各種知識與思想的集中展現，是初中代數內容的一個總結。

“用函數觀點看一元二次方程”，是代數與幾何知識有機結合的一個亮點，是初中、高中知識的一個銜接點，是初中數學的重要內容，是初中學業水平考試重點考察的內容之一，因此，全面掌握二次函數的基礎知識和基本技能，并能分析和解決有關二次函數的綜合問題，合理利用他們之間代數關系是學生必備知識。

一、二次函數與一元二次方程的聯系

方程和函數有著不可分割的聯系，用函數觀點看一元二次方程要把握好以下兩點：1、用函數的思想看方程；即函數值y=0（即圖像上的點在x軸上），函數即轉化為一元二次方程方程的解即為拋物線與x軸交點的橫坐標。2、用方程的思想看函數；即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，這兩點間的距離AB=|x1-x2|，另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）-A|（A為其中一點的橫坐標；當b2-4ac=0，圖像與軸只有一個交點；當b2-4ac0時，圖像落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a

二、還需要掌握用待定系數法求二次函數的解析式

（一）當題給條件為已知圖像經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

（二）當題給條件為已知圖像的頂點坐標或對稱軸或極大（?。┲禃r，可設解析式為頂點式：y=a（x-h）2+k。

（三）當題給條件為已知圖像與軸的兩個交點坐標時，可設解析式：y=a（x-x1）（x-x2） （a≠0）

二次函數知識很容易與其他知識綜合應用，形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是初中學業水平考試的熱點考題，往往以壓軸題的形式出現。

三、二次函數與一元二次方程的綜合解題

初中代數中的二次函數與一元二次方程的關系十分密切。我們在教學學習時，以熟練地蔣這兩部份知識相互轉化。二次函數y=ax2+bx+c與一元二次方程ax2+bx+c=0從形式上看十分相似，但兩者之間既有聯系又有區別。當拋物線的y的值為0時，就得到一元二次方程。拋物線與x軸是否有交點就取決于一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況。

例1、求拋物線y=x2+6x+9與x軸的兩個交點。

【分析】令y=0，根據y=x2+6x+9的根來確定拋物線與x軸的交點的橫坐標。

解：令y=0，則x2+6x+9=0的解方程得：x1=3，x2=-3

拋物線y=x2+6x+9與x軸的兩個交點坐標為：（3，0）（-3，0）

例2、已知二次函數

（1）y=x2+2x+k-1若拋物線與x軸有兩個不同的交點，求k的取值范圍。

（2）若拋物線的頂點在x軸上，求k的取值。

【分析】此題的關鍵是利用二次函數與一元二次方程的關系來解，當拋物線與軸有兩個不同的交點，可利用b2-4ac>0來確定k的取值范圍。當拋物線的頂點在x軸上，說明拋物線與x軸只有一個交點，可利用b2-4ac=0來確定k的取值。解： x2+2x+k-1=0

（1）=22-4（k-1）=4-4 k+4=8-4 k>0

當k

（2）=8-4 k=0 當k=2時，拋物線的頂點在x軸上。

例3、已知函數y=ax2+bx+c的圖像如圖所示，那么關于x的方程ax2+bx+2=0的根的情況（ ）

A、無實數根 B、 有兩個相等的實數根C、 有兩個異號實數根 D、有兩個同號不等實數根

【解析】因為ax2+bx+c+2=0

所以 ax2+bx+c=-2，設y1=ax2+bx+c， y2=-2，因為 y1=ax2+bx+c，的圖像如圖2，-30 且 x1≠x2

所以方程ax2+bx+2=0有兩個同號不等的實數根。選D。

評析：本題解題的關鍵是通過把方程ax2+bx+2=0與拋物線y1=ax2+bx+c比較后，把已知方程轉化為兩個函數值相等的形式，再利用這兩個函數圖像的交點的橫坐標就是這個方程的解的關系，來判別方程兩實數根的情況。

總之，教學和學習這節內容，要充分運用以下兩種思想方法：一是函數與方程的思想，用變量和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖像和性質等更高層次的提練和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出帶有觀念的指導方法；二是數形結合思想，在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化、幾何問題可以代數化，“數”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。在學生理解二次函與一元二次方程的聯系的基礎上，能夠運用二次函數及其圖像、性質去解決現實生活中一些問題。進一步培養學生綜合解題的能力，在整個這個章節學習過程中始終滲透數形結合的思想，更體現了學數學的重要意義。是教學難點，相信通過教師采取積極的教學策略，定會取得滿意的教學效果。

參考文獻：

[1]數學教師用書九年級（人民教育出版社）.

[2]數學課程標準（人民教育出版社）.

篇5

1.平行四邊形ABCD的一條對角線固定在A(3，-1)，C(2，-3)兩點，點D在直線3x-y+1=0上移動，則點B的軌跡方程為()

A.3x-y-20=0 B.3x-y+10=0

C.3x-y-9=0 D.3x-y-12=0

答案：A　解題思路：設AC的中點為O，即.設B(x，y)關于點O的對稱點為(x0，y0)，即D(x0，y0)，則由3x0-y0+1=0，得3x-y-20=0.

2.由直線y=x+1上的一點向圓(x-3)2+y2=1引切線，則切線長的最小值為()

A.1 B.2

C. -2D.3

答案：C　解題思路：當該點是過圓心向直線引的垂線的交點時，切線長最小.因圓心(3,0)到直線的距離為d==2，所以切線長的最小值是l==.

3.直線y=x+b與曲線x=有且只有一個交點，則b的取值范圍是()

A.{b||b|=}

B.{b|-1

C.{b|-1≤b2μ2-8μ+10=2(μ-2)2+2≥2，且f(μ)0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，A是雙曲線漸近線上的一點，AF2F1F2，原點O到直線AF1的距離為|OF1|，則漸近線的斜率為()

A.或- B.或-

C.1或-1 D.或-

答案：D　命題立意：本題考查了雙曲線的幾何性質的探究，體現了解析幾何的數學思想方法的巧妙應用，難度中等.

解題思路：如圖如示，不妨設點A是第一象限內雙曲線漸近線y=x上的一點，由AF2F1F2，可得點A的坐標為，又由OBAF1且|OB|=|OF1|，即得sin OF1B=，則tan OF1B=，即可得=， =，得=，由此可得該雙曲線漸近線的斜率為或-，故應選D.

4.設F1，F2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點，與直線y=b相切的F2交橢圓于點E，E恰好是直線EF1與F2的切點，則橢圓的離心率為()

A. B.

C. D.

答案：C　解題思路：由題意可得，EF1F2為直角三角形，且F1EF2=90°，

|F1F2|=2c，|EF2|=b，

由橢圓的定義知|EF1|=2a-b，

又|EF1|2+|EF2|2=|F1F2|2，

即(2a-b)2+b2=(2c)2，整理得b=a，

所以e2===，故e=，故選C.5.等軸雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，C與拋物線y2=16x的準線交于A，B兩點，|AB|=4，則C的實軸長為()

A. B.2 C.4 D.8

答案：C　解題思路：由題意得，設等軸雙曲線的方程為-=1，又拋物線y2=16x的準線方程為x=-4，代入雙曲線的方程得y2=16-a2y=±，所以2=4，解得a=2，所以雙曲線的實軸長為2a=4，故選C.

6.拋物線y2=-12x的準線與雙曲線-=1的兩條漸近線圍成的三角形的面積等于()

A. B.3 C. D.3

答案：B　命題立意：本題主要考查拋物線與雙曲線的性質等基礎知識，意在考查考生的運算能力.

解題思路：依題意得，拋物線y2=-12x的準線方程是x=3，雙曲線-=1的漸近線方程是y=±x，直線x=3與直線y=±x的交點坐標是(3，±)，因此所求的三角形的面積等于×2×3=3，故選B.

7.若雙曲線-=1與橢圓+=1(m>b>0)的離心率之積大于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是()

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.銳角三角形 D.鈍角三角形

答案：D　解題思路：雙曲線的離心率為e1=，橢圓的離心率e2=，由題意可知e1·e2>1，即b2(m2-a2-b2)>0，所以m2-a2-b2>0，即m2>a2+b2，由余弦定理可知三角形為鈍角三角形，故選D.

8. F1，F2分別是雙曲線-=1(a>0，b>0)的左、右焦點，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點.若ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為()

A.2 B. C. D.

答案：B　命題立意：本題主要考查了雙曲線的定義、標準方程、幾何性質以及基本量的計算等基礎知識，考查了考生的推理論證能力以及運算求解能力.

解題思路：如圖，由雙曲線定義得，|BF1|-|BF2|=|AF2|-|AF1|=2a，因為ABF2是正三角形，所以|BF2|=|AF2|=|AB|，因此|AF1|=2a，|AF2|=4a，且F1AF2=120°，在F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×=28a2，所以e=，故選B.

9.已知直線l1：4x-3y+6=0和直線l2：x=-1，拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()

A.2 B.3

C. D.

答案：A　解題思路：設拋物線y2=4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離分別為d1，d2，根據拋物線的定義可知直線l2：x=-1恰為拋物線的準線，拋物線的焦點為F(1,0)，則d2=|PF|，由數形結合可知d1+d2=d1+|PF|取得最小值時，即為點F到l1的距離，利用點到直線的距離公式得最小值為=2，故選A.

10.已知雙曲線-=1(a>0，b>0)，A，B是雙曲線的兩個頂點，P是雙曲線上的一點，且與點B在雙曲線的同一支上，P關于y軸的對稱點是Q.若直線AP，BQ的斜率分別是k1，k2，且k1·k2=-，則雙曲線的離心率是()

A. B. C. D.

答案：C　命題立意：本題考查雙曲線方程及其離心率的求解，考查化簡及變形能力，難度中等.

解題思路：設A(0，-a)，B(0，a)，P(x1，y1)，Q(-x1，y1)，故k1k2=×=，由于點P在雙曲線上，故有-=1，即x=b2=，故k1k2==-=-，故有e===，故選C.

二、填空題

11.已知拋物線y2=4x的焦點為F，過點P(2,0)的直線交拋物線于A(x1，y1)和B(x2，y2)兩點，則(1)y1y2=________;(2)三角形ABF面積的最小值是________.

答案：(1)-8　(2)2　命題立意：本題主要考查直線與拋物線的位置關系，難度中等.

解題思路：設直線AB的方程為x-2=m(y-0)，即x=my+2，聯立得y2-4my-8=0.(1)由根與系數的關系知y1y2=-8.(2)三角形ABF的面積為S=|FP||y1-y2|=×1×=≥2.

知識拓展：將ABF分割后進行求解，能有效減少計算量.

12. B1，B2是橢圓短軸的兩端點，O為橢圓中心，過左焦點F1作長軸的垂線交橢圓于P，若|F1B2|是|OF1|和|B1B2|的等比中項，則的值是________.

答案：　命題立意：本題考查橢圓的基本性質及等比中項的性質，難度中等.

解題思路：設橢圓方程為+=1(a>b>0)，令x=-c，得y2=， |PF1|=. ==，又由|F1B2|2=|OF1|·|B1B2|，得a2=2bc. a4=4b2(a2-b2)， (a2-2b2)2=0， a2=2b2， =.

13.已知拋物線C：y2=2px(p>0)的準線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B.若=，則p=________.

答案：2　解題思路：過B作BE垂直于準線l于E，

=， M為AB的中點，

|BM|=|AB|，又斜率為，

BAE=30°， |BE|=|AB|，

|BM|=|BE|， M為拋物線的焦點，

p=2.

14.

篇6

摘要：針對目前三次拋物線形斷面渠道收縮水深計算存在的表達式復雜、計算過程繁復問題,經對收縮水深基本計算方程的變形整理,采用優化擬合的方法,以標準剩余差最小為目標函數,通過對三次拋物線形斷面渠道收縮水深計算公式的逐次擬合逼近,得到了表達形式比較簡單、便于記憶、計算快捷、有利于工程設計人員實際應用的近似計算公式。誤差分析表明,在工程實用參數范圍內,收縮水深最大計算相對誤差僅為046%,可在實際工程設計計算中應用。

關鍵詞：三次拋物線形渠道；收縮水深；優化擬合；近似計算

中圖分類號：TV133 文獻標識碼：A 文章編號：1672-1683（2012）01-0136-03

Simplified Formula for Calculating Contracted Water Depth of

Channel with Cubical-Parabola Cross Section

XIE Cheng-yu1,TENG Kai2

(1.Water Conservancy,Engineering,Construction,Supervision,Co.Ltd.,Harbin 150000，China；

2.Qiqihar Municipal Water Affairs Bureau Qiqihar 161006,China）

Abstract:The current formula to calculate the contracted water depth of the channels with the cubical-parabola cross section is complex.This paper introduces the optimal fitting method to deform the basic equation for calculating the contracted water depth.The new method is based on the objective function of the minimum residual standard deviation,and it uses the successive approximation approach to generate an approximate formula to calculate the contracted water depth of the channels with the cubical-parabola cross section,which has a simplified form of expression and is easy to remember,quick for calculation,and convenient for the engineering pared the results from the new method with those from the original equation,the maximum error of the calculated contracted water depth is about 0.46%,which suggests that the new method is applicable for the practical engineering calculations.

Key words:cubical-parabola channels;contracted water depth;optimal fitting;approximation

由于拋物線形斷面具有良好的水流條件及力學性能,因此在城市供排水及水利水電工程中,工程設計部門常根據輸水流量及地質條件,將渠道斷面設計為半立方拋物線、二次拋物線或三次拋物線形式之一,因此相關拋物線形式的水力計算問題也逐漸引起了有關學者的重視［1-5］,其中關于半立方拋物線及二次拋物線形渠道斷面收縮水深的計算已有相關研究成果［6-9］,而三次拋物線形斷面渠道收縮水深的計算研究則相對較少。文獻［10］針對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計算涉及高次方程的求解問題,棄用常規的計算過程繁復且成果精度不高的試算法及圖解法,從三次拋物線形斷面渠道收縮水深的基本方程入手,通過對初始迭代值的優化擬合,獲得了可直接完成求解的近似計算公式,具有一定的實際意義。但因該公式需分別完成中間參數及初值計算,求解過程仍顯繁瑣。為了進一步簡化三次拋物線形斷面收縮水深的計算過程,本文采用優化擬合的方法,以標準剩余差最小為目標函數,獲得了一種表達式較為簡捷、計算精度較高的近似公式。

1 收縮水深的基本計算公式

收縮水深的基本方程為［11］：

E0= hc+Q22gφ2A2c （1）

式中：E0-以收縮斷面底部為基準面的過水建筑物上游總水頭(m)；hc-收縮斷面處的水深(m)；Q-過水流量(m3/s)；g-重力加速度(m/s2)；φ-流速系數；Ac-三次拋物線形斷面面積(m2)。

三次拋物線形斷面的曲線方程為：

y=+ax3 x≥0-ax3 x

其過水斷面面積為

Ac=32•3a h4/3c（3）

設： α=hcEo （4）

將式（3）、式（4）代人式（1）,并設

k= E0 3φ2gE02Q•3a 075 （5）

經整理即可獲得計算三次拋物線形斷面收縮水深的計算公式為：

k=1α(1-α)0375 （6）

2 近似計算公式的建立及精度分析

2.1 公式建立

式（6）為高次函數的超越方程,無法直接獲解。為避免利用式（6）的超越方程求解問題,現通過以下方法尋求其替代函數。

① 根據式（6）函數,展繪關系曲線。

② 經對α-k關系曲線的線形分析,初步擬定以下函數為備選替代函數。

α=Akx+Bk+C （7）

α=1Akx+B （8）

α= 1Akx+B+C （9）

α=1Akx+Bβ （10）

式中：A、B、C、x、β分別為待定系數及指數。

③ 在工程實用范圍內［10］（即001≤α≤05）,采用優化擬合的方法,以標準剩余差最小為目標函數［12］即

S=min∑ni=1(α-α′)2/(n-1)

經對式（7）至式（10）逐次逼近擬合［13］可知,式（10）的標準剩余差S最小,其替代函數式為

α=1(0974 k1542-131)065

或 hc= E0(0974 k1542-131)065 （11）

2.2 精度分析及比較

為比較式（11）與式（6）的擬合精度,考慮在工程實用范圍內（即,001≤α≤05,259≤k≤10038）,取不同的αi值即可由式（6）分別計算出與之相對應的ki,再將ki代入式（11）求得與之相對應的α′i,并由式(12)完成式（11）替代式（6）的擬合相對誤差,結果見表1。

εi=｜αi-α′i｜αi×

100%

由表1可見,在工程實用范圍內,用式（11）替代式（6）的最大擬合相對誤差ε

通過對公式形式比較可見,本文公式較文獻［5］公式更加簡單,計算過程也更加簡捷。具體比較結果見表2。

3 應用舉例

選文獻［5］計算實例：已知閘前斷面總水頭E0=15 m,通過流量Q =162 m3/s,流速系數φ=095,若采用三次拋物線形斷面渠道,其斷面曲線方程為

y=+02x3 x≥0-02x3 x

求閘后斷面收縮水深hc。

將已知參數代人式（5）可求得

k=E03φ2gE02Q•3a075=5430 6

將k=5430 6代人式（11）即可求得

hc=E00974k1542-131065=300 m

本例收縮水深的精確解為hc=300 m,本文公式計算成果的相對誤差為0。

4 結語

本文通過優化擬合的方法完成了對三次拋物線形渠道斷面收縮水深計算公式的擬合,獲得了表達形式簡單、求解精度較高的計算公式,經誤差分析及實例計算表明,在工程實用范圍內,本文公式的最大相對誤差為046%,完全滿足工程的實際要求。

參考文獻（References）：

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篇7

【關鍵詞】微課程；課改；高效課堂

近年來，微博、微信、微商、微電影、微運動、微公益等各類“微文化”無處不在，微型碎片化信息極速地傳遞著，微型文化形式正成為一種新的潮流，為社會接受和認可，在不知不覺中改變了人們的生活方式。因此我們有理由相信：微課程教學是課改的必經之路，微課教學更有利于打造出高效課堂，微課程作為一種新興教學方式將會實現真正意義上的教學改革，并且，在其它的文化表現和傳播形式出現以前，它的作用和影響會越來越強。

新課程標準實施以來，我們一直在探索一條適合所有學生學習的教學方式，在教學改革的路上摸著石頭過河，微課程教學的提出為我的教學打開了一扇門，微課程教學不僅意味著教與學的用時少了，更意味著將復雜問題簡單化，簡單內容趣味化，這種教育教學策略，更貼近社會和聯系生活，更能有針對性地解決不同層次學生的問題，真正實現了“因材施教”和“因才施教”，更有利于促進學生的個性化發展。

下面從《拋物線及其標準方程》第一課時的教學談談我對微課程教學的理解：

一、微課程使教學內容更深、更廣

傳統的教學內容只是單純的課本知識，采用了微課程教學手段后，可對教材進行加工，利用多媒體技術將過去靜態的、二維的教材轉變為由聲音、文字、動畫、圖像構成的動態的、三維甚至四維教材，充分挖掘和利用課本中的顯性和隱性教學資源。以前的教學設計就是基于課本知識的介紹和例題講解，使用微課教學后，讓學生的學習更有針對性，針對本節課我做了三個微課程：第一個是《為什么二次函數的圖像是拋物線》，初中的時候老師講過二次函數的圖像是拋物線，但我們大多數同學并不知道為什么，通過這樣一個微課可以將選修4-4中關于拋物線的參數方程介紹清楚，同時也解決了為什么我們把二次函數的圖像叫做拋物線。第二個是《拋物線的形成》，借助幾何畫板展示：①拋物線的形成過程；②焦點到準線的距離對拋物線的影響。第三個是《拋物線標準方程的推導》，通過短短5分鐘的介紹讓學生從數的角度了解和掌握拋物線。微課程教學的運用，將教學內容從書本擴展到社會的方方面面。這樣，豐富和擴展了書本知識，學生在規定的教學時間內可以學得更多、更快、更好。

二、微課程使學生學習更主動、更積極

微課程的教學設計中，學生由被動地接受知識，轉變為主動地學習知識，可以充分使用現代化技術手段，如網上學習，微課程學習，合作交流等，利用各種學習資源，去主動建構知識。學生可以通過學習――操作――再學習――再操作，自我發現、自主學習、動手實踐，逐步理解和掌握課程的重點與難點，本節課從一開始讓學生思考二次函數的圖像為什么叫拋物線到動手繪制拋物線，學生必須具備獨立學習能力、創造能力、創新能力、自主學習能力、自我管理能力、協作能力等，學生將成為知識的探索者和學習過程中真正的認知主體。而在傳統的教學設計中，學生只是充當忠實的聽眾的角色，很少或者沒有發揮自己主動性的機會，學到的也只是課本內容，甚至在上完課后依然無法掌握技能，長此以往，學生便容易陷入這節課跟不上節奏，下節課更難跟得上節奏的惡性循環中，出現對這門課失去興趣和信心的現象，而微課則不僅僅能在課堂教學上使用，還可以在線學習或移動學習，讓學生隨時能解決自己的問題，這就會大大增強學生學習掌握這門課程的信心，激發學生學習掌握這門課程的積極性。

三、微課程使教學成果更有效

微課程教學中，教師不能再把傳遞知識作為自己的主要任務和目的，而是要把精力放在教學生如何“學”的方法上，為建構學生的知識體系創設有利的情境，使學生“學會學習”。指導學生懂得“從哪里”和“怎么樣”獲取自己所需要的知識，掌握獲得知識的工具和根據認識的需要處理信息的方法。微課是一種濃縮型課程，時間簡短，知識點明確，可以為學生提供一種“自助餐”式的學習體驗，另外，微課主題突出、內容具體。一個課程就一個主題，或者說一個課程一個事；研究的問題來源于教育教學具體實踐中的具體問題。課本不再是唯一的知識源，教師可以將相關知識以“微問題”、“微故事”等的方式做成微課程以便學生學習，層層深入，順勢而下，詳細剖析，從而引發學生更深層次的思考與研究，不斷鉆研其中的重點和難點，提高學生對這門課程基本知識和技能的認識高度。微課教學不僅意味著用時少了，更意味著將復雜問題簡單化，簡單內容趣味化，既方便學習又豐富了知識，使學生從真正意義上明白知R的來龍去脈?？傊?，微課就是用來支持學生的知識學習，從而滿足學生的多樣化、個性化、差異化的教學。

通過對于微課的學習和體驗，我認為打造高效課堂的重要環節就在于微課的制作與設計，真正做到想學生所想，進而讓微課程更貼近課堂，貼近學生。對于微課的制作與設計，我也有幾點思考與實踐：

第一，加大對信息技術手段的使用力度?；ヂ摼W發展是大趨勢，尤其是移動終端的快速崛起，網上學習、手機學習也將成為日后的主流學習方式，而微課正是適應了這種改革趨勢，走在發展前沿。

第二，加強教研，集思廣益，確立明確的微課題材，充分挖掘和使用教材，打造高效微課。

篇8

考點1：二次函數的對稱軸

例1：(2007年北京市西城區)拋物線y=x2－2x＋1的對稱軸是( ) .

A.直線x=1 B.直線x=-1

C.直線x=2 D.直線x=-2

另一種方法：可將拋物線配方為y=a(x－h)2＋k的形式，對稱軸為x=h，已知拋物線可配方為y=(x－1)2，所以對稱軸為x=1，應選A．

考點2：二次函數的頂點

例2：（2007年廣西壯族自治區）已知二次函數y=x2－2x－1，求它的頂點坐標.

思路點撥：可先將函數y=x2－2x－1化成頂點式，再求出頂點坐標.

解：配方得y=x2－2x－1=（x－1）2－2，

由x－1＝0得x＝1，y=－2.

二次函數頂點坐標為（1，－2）.

考點3：二次函數的最值問題

例3：（2007年江西?。┒魏瘮祔=x2 －2x－3的最小值是.

思路點撥：先求出二次函數的頂點坐標，頂點坐標的縱坐標就是最小值.

解：配方得y=x2－2x－3=（x－1）2－4.

頂點坐標為（1，－4）.

該二次函數的最小值為－4.

2.如果二次函數在一個實際問題中求最大最小值，除了考慮頂點坐標外，還要考慮自變量的端點值.

考點4：二次函數的平移問題

例4：（2007甘肅省蘭州市）已知y=2x2的圖像是拋物線，若拋物線不動，把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，求在新坐標系下拋物線的解析式.

思路點撥：由于是平移，不改變二次函數的開口方向和大小，只改變頂點的位置.把x軸、y軸分別向上、向右平移2個單位，則頂點的橫、縱坐標就會比原來減少2個單位.

解：原拋物線的頂點坐標為（0，0），

新坐標下拋物線的頂點坐標為（－2，－2）.

新坐標系下拋物線的解析式為y=2（x＋2）2－2＝2x2＋8x＋6.

評注：1.二次函數平移，不改變二次函數的開口方向和大小即二次項系數a不變，只改變頂點的位置，所以先求原拋物線的頂點，再根據平移求新拋物線的頂點，利用頂點方程式寫出新的拋物線的解析式.

2.對于本題的平移，也可看成坐標系不動，將拋物線分別沿著水平方向向左和垂直方向向下平移.

考點5：二次函數圖像性質的綜合

例5：

1.（2007年湖南省岳陽市）小明從如圖1的二次函數y=ax2＋bx＋c圖像中，觀察得出了下面5條信息：①a＜0；②c＝0；③函數的最小值為－3；④當x0；⑤當0＜x1＜x2＜2時，y1 ＞2.你認為其中正確的個數為（）.

A.2個B.3個C.4個D.5個

答：C

解：由圖像可知：拋物線開口向上，a＞0故①錯；拋物線過原點，c＝0，故②對；拋物線開口向上，其頂點縱坐標為－3，故函數的最小值為－3，故③對；拋物線過原點，其頂點坐標為（2，－3），當x＜0時，y＞0，故④對；拋物線的對稱軸為直線x＝2，且開口向上，當x＜2時，函數y隨x的增大而減小，故⑤對.

2.（2007年浙江?。┤鐖D2，二次函數y=ax2＋bx＋c圖像開口向上，圖像過點（－1,2）和（1,0），且與y軸相交于負半軸.

第1問：給出4個結論：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0，其中正確結論的序號為.

第2問：給出4個結論：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c=1；④a＞1，其中正確結論的序號為.

考點6：二次函數與其他函數圖像的綜合

例6：（2007年呼和浩特市）如圖3，函數y=ax2＋bx與y=ax＋b在同一平面直角坐標系中的圖像大致是（）.

解：在選項A中，二次函數y=ax2＋bx的a＞0，b＝0，而對于函數y=ax＋b來說，a＞0，b＞0，則這兩個函數解析式中的b的取值不一樣，故排除A.同樣，在選項B中，二次函數y=ax2＋bx的a＞0，b＜0，而對于函數y=ax＋b來說，a＜0，b＜0，但是從圖像上來看點（0，b）在y=ax2＋bx 的圖像上，而將（0，b）代入y=ax2＋bx時，y＝0，而不等于b，故排除B.在選項D中，二次函數y=ax2 ＋bx的a＞0，b＞0，而對于函數y=ax＋b來說，a＜0，b＜0，則這兩個函數解析式中的a、b的取值不一樣，故排除D.

評注：（1）本題考查了確定兩函數圖像能否在同一坐標系內的能力，主要辦法是根據圖像采用逐一排除法.

（2）對于二次函數的圖像與a、b、c有這樣的關系，①a與開口方向有關，當a＞0時，開口向上，當a＜0時，開口向下；②b與a和對稱軸與y軸的位置有關，當對稱軸在y軸的左邊時，a與b的符號相同，當對稱軸在y軸的右邊時a與b的符號相反；③c與二次函數與y軸交點的位置有關，當二次函數與y軸交點在y軸的正半軸上時，c＞0，當二次函數與y軸交點的在y軸的負半軸上時，c＜0.綜合以上，可用以下語言概述：左同，右異；上正，下負.

考點7：求拋物線y=ax2＋bx＋c與坐標軸的交點

例7：（2007年天津市）已知拋物線y=4x2－11x－3，求它與x軸、y軸的交點坐標.

解：由x＝0得y＝－3，所以拋物線與y軸交點坐標為（0，－3）.

考點8：用待定系數法求二次函數的解析式

例8：（2007年北京市）已知拋物線y=ax2＋bx＋c與y軸交于點A（0，3），與x軸分別交于點B（1，0）、C（5，0）兩點，求此拋物線的解析式.

思路點撥：由于已知三點，所以本題可以采用一般式求拋物線的解析式.但考慮到已知與x軸交點，所以用交點式更簡單.

解：設此拋物線為y=a(x－x1)(x－x2)．(a≠0)，則x1＝1，x2＝5．

所以y=a(x－1)(x－5).

點式.

（3）當題目條件為已知圖像與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(x－x1)(x－x2)，(a≠0).稱為交點式．

考點9：關于求二次函數解式的開放問題

例9：(2007年北京市東城區)有一個二次函數的圖像，3位學生分別說出了它的一些特點：

甲：對稱軸是直線x=4；

乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數；

丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3．

請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數解析式．

解：設所求解析式為y=a(x－x1)(x－x2)，且設x1＜x2，則其圖像與x軸兩交點分別是A(x1，0)，B(x2，0)，與y軸交點坐標是(0，a x1x2).

拋物線對稱軸是直線x=4，

x1＋x2＝8①

評注：（1）本題中，只要填出一個解析式即可.

（2）本題也可用猜測驗證法.例如：猜測與x軸交點為A（5，0），B（3，0）.再由題設條件求出a，看C是否整數.若是，則猜測得以驗證，填上即可.

篇9

中圖分類號：G6文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791(2012)04 (a)-0000-00

正文：數學是學習物理、化學、計算機等學科以及參加社會生產、日常生活和進一步學習的必要基礎，對形成良好的思想品質和辯證唯物主義世界觀有積極作用。但是，數學學習一直被認為是枯燥乏味的；又因為數學的深度與難度，學生常常有聽得懂但不會自己獨立解題的困惑。究其原因是學生缺少自主探索和靈活應變的能力，變式教學法是通過構造一系列變式展示知識發生、發展過程，數學問題的結構和演變過程，解決問題的思維過程，創設暴露思維障礙情境的思維訓練模式，能起到舉一反三、觸類旁通的效果。以下是我在變式教學中積累的一些經驗，與大家共享。

1變式在概念教學中的應用

數學教學往往是從概念入手，概念教學不是要求學生一字不差地背誦，而是要求學生識記其內容，明確與它相關知識的內在聯系，并且能靈活運用其解決相關的實際問題。所以數學概念的形成過程，其內涵、外延的揭示過程，比數學概念本身更重要。

1.1通過直觀或具體的變式引入概念，創設良好的教學情境

數學來源于生活，通過日常生活中的直觀材料組織已有的感性經驗，使學生理解概念的具體含義。如在學習異面直線的概念時，引導學生利用自己身邊的桌椅、筆等實物，嘗試在桌椅中擺放出既不相交又不平行的兩支筆，得到對異面直線的認識—既不平行又不相交，突出異面直線的概念——不同在任何一個平面內。

1.2通過概念辨析變式突出概念的本質屬性。

在形成概念以后，教師運用變式從多個角度去闡述、深化概念，挖掘概念的內涵，有利于學生知識的鞏固和遷移應用。引導學生抓住概念的各個要素對解析式、圖像兩方面問題進行概念辨析，加深對概念本質的理解和多維思考，促進學生認知結構的內化過程。

1.3通過反例變式突出概念的條件與結論

在條件比較復雜的概念中，學生往往容易顧此失彼，淡化輔助條件，導致錯誤結論。如雙曲線的定義中，學生忽視定長小于兩定點間距離的條件（即2a

2變式在例題教學中的應用

數學課本例題是訓練學生的思維材料，例題的變式教學，是給學生一個獨立的思考空間，不僅能加深基礎知識的理解和掌握，更重要的是能開發學生智力，培養和提高學生的數學素質。

2.1利用一題多解培養學生思維的靈活性。通過解題過程的變式訓練，引導學生用自由聯想的方式，打破思維定勢，從多個角度認識事物和解決問題，養成靈活的思維習慣。

2.2通過一題多變引導學生獨立思考，變重復性學習為創造性學習，培養學生隨機應變的能力，充分發揮自身的主觀能動性，強化創新意識。

2.3通過學生的思考分析，逐步揭開問題的表象，理解問題的本質，培養學生思維的深刻性。

2.4利用逆向變式培養學生逆向思維能力

概念、定理、公式的學習強調引入、推理和深化，促成了學生思維習慣的正向性，而應用知識過程中很多時候依賴于逆向思維，所以在課堂教學中應加強逆向思維的訓練。如在學生牢固掌握二項式定理的特征以后，我們可以設置問題：求 的值。在學生直接求解有困難的時候，提示學生聯想二項展開式的特點，找出二項式中兩項的值及冪指數的值，從而輕松求解。

當然，在采用變式教學時應注意一些問題：

（1）源于課本，高于課本。課本的題目都是專家精心設計和挑選的精品，我們沒理由放棄它。在教學過程中我們要挖掘其精神實質進行一題多變，一題多用，一題多解和多題一解以提高學生靈活運用知識的能力。

（2）循序漸進，有的放矢。變式教學要做到循序漸進，有的放矢。例如，橢圓的標準方程中有這樣一道習題：從圓 上任意一點P向x軸做垂線PQ,求線段PQ的中點的軌跡方程。

變式1:從圓 上任意一點P向y軸做垂線PQ,求線段PQ的中點的軌跡方程。

變式2:從圓 上任意一點P向坐標軸做垂線PQ,求線段PQ的中點的軌跡方程。

變式3:從橢圓 上任意一點P向y軸做垂線PQ,求線段PQ的中點的軌跡方程。

變式1是模仿，變式2，3讓學生熟悉掌握代入法的特點及要求

（3）縱向聯系，溫故知新。縱向聯系，溫故知新是變式教學中緊密聯系以前學知識，在新知中復習鞏固老知識，以提高效率。例如：在拋物線的標準方程中有這樣一題“斜率為1的直線過拋物線 的焦點，與拋物線有兩個交點A,B,求線段AB的長。

變式1: 斜率為1的直線過拋物線 的焦點，與拋物線有兩個交點A,B,以線段AB為直徑的圓與拋物線準線的位置關系是怎樣的。

通過變題的練習既復習了拋物線的定義又鞏固了圓與直線的知識，也加深了對梯形中位線的理解，達到變式練習的目的。

（4）橫向聯系，開闊視野。學科與學科是互相聯系的，變式教學注意到這點，就有利于培養學生的發散思維，提高他們解決實際問題的能力。例如可以用甲烷的分子結構圖來對正四面體問題的變式。

3變式在鞏固練習中的應用

課堂教學中的變式教學都是在老師的精心設計下，通過同學間的合作探討，經過老師的循循善導來完成的，老師還可以根據學生掌握的實際情況及時調整教學，以達到預期的教學目標。而鞏固練習更體現學生思考的獨立性和自主性，我們應該更多的讓學生獲得成功的喜悅，保持良好的學習積極性。所以在設置變式練習時要注意以下幾點：

（1）變式練習跨度要小，往往可以在一個題目中設置多個小題，由易入難，為學生的有效思考做好鋪墊。

（2）每次作業中安排學生自己編制一個題目，定期安排學生編制試卷，真正讓學生在動手過程中鞏固知識、應用知識。

（3）重視學生變式練習中理解應用上的偏差，加強輔導，逐步提升學生的思維能力和解題能力。

數學課堂是展示數學知識發生、發展和應用的過程，在概念教學、例題教學、練習教學中都注入變式教學的思想，保證了每一堂數學課都能在“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律。數學課堂也就一定能在變式教學中實現提高學生學習興趣，開拓學生學習思維，發掘學生學習潛力的目標。

參考文獻

[1]都興芳，劉平。探究式學習與學習策略. 中國教育學刊, 2005(8)：42-43

篇10

    很多人都認為學數學的目的就是做題、考試或者做研究,僅僅是為了將來要考大學做準備的,他們只看到了數學的理論性而沒有看到數學的實際應用性.他們忽略了數學來自于生活,而最終也要應用于生活之中.不僅如此,除了在實際生活用到的數學以外,學習數學還可以提高學生的智力,增強學生的邏輯思維能力,讓學生的思維充滿跳躍性.只有思維在不斷跳躍創新的學生,才不會永遠地安于現狀,他們會不斷地努力,不斷地前行,為自己和社會創造美好的未來,因此數學教育對于高中學生的影響是積極的.

    1.教師沒有扮演好自己的角色在傳統高中數學教學中,教師很少研究教學方法,教學形式單一,一味地向學生灌輸理論知識,這就導致了學生對數學的學習熱情不高,沒有任何學習興趣.曾經聽過一位教師上課,講的內容是二面角.一般來講,“二面角”是立體幾何的教學難點之一,教師應該詳細講解,加深學生對這一內容的理解,但是這位教師卻避難就輕,僅僅是按自己的講解方式向學生講了一道例題,然后讓學生自己去理解,自己去做,這樣做太不負責任了.

    2.學生積極性不夠,導致課堂效率低課堂教學高耗低效的現象較重,以傳統的教法為主,調動學生學習的積極性不夠,缺少讓學生必要的思考、探究、感悟的過程.學生主體參與不夠,影響了學生知識的構建和能力的提高.素質教育提出以學生為主體、教師為主導、教材為主線,將學生、教師和教材之間的關系明確地指出是很有必要的.部分學生對數學沒興趣,感覺數學是一堆枯燥的數字和煩瑣的公式,與生活聯系不大.例如,在講“拋物線及其標準方程”時,有的教師為了引出拋物線的定義,設置了這樣的問題情境:初中我們已學過的一元二次函數的圖象就是拋物線,而現在定義的拋物線與初中已學的拋物線從字面上看不一致,但它們之間一定存在著某種內在的聯系,你能找出它們之間的內在聯系嗎?教師在以一種最好的方式給學生上課,但是學生卻不好好聽,有睡覺的,有不在狀態的,不但影響教師講課的心情,重要的是最后自己沒有掌握好知識.

    二、改變教學現狀的措施

    1.學生的認知結構具有個性化特點,教學內容具有普遍性要求.如何在一節課中把兩者較好地結合起來,是提高課堂教學效率的關鍵.通過現狀調查,發現在目前的數學教學中缺乏有目的地、有意識地,具有針對性地培養學生對問題的質疑與解決問題、認識問題后的反思.學生的質疑反思能力是可以培養的,教師要有目地設計、訓練.要培養質疑反思能力必須做到:

    (1)明確教學目標.要使學生由“學會”轉化為“學會—會學—創新”.

    (2)在教學過程中要形成學生主動參與、積極探索、自覺建構的教學過程.

    (3)要改善教學環境.