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1什么是數學思維方式

1．1數學思維方式的含義

思維是有意識的大腦對客觀事物能動的、間接的和概括的反映．［1］這種反應是一個相當復雜的過程，參與了人的態度、認知、意識、情感等因素，形成了不同的認識路徑，這種不同的認識路徑既有共性，又有差異性，反映出的就是不同的思維方式．即思維方式是人們對客觀事物中的一些現象、問題進行觀察、分析、推理、判斷、決策等過程中形成的動態的思維路徑．思維及其方式決定著一個人的思維力，這種思維力是人的素質一個表征，它反映著一個人能否有效地分析問題和解決問題．有些人善于集中思維、有些人善于發散思維，這種不同的思維方式長期使用就會成為一個人的思維定勢，進而會形成人的不同性格，不同的認知結構．思維方式的不同決定了一個人做事和處理問題的風格和行為的不同．不斷地優化與反省思維就是一個人進步的表現．一個不想思考的人是頑固者，一個不能思考的人是傻瓜，一個不敢思考的人是奴隸．［2］而善于思考，勇于探索的人才是思維的主人，才能做自己的主人，一個善于思考的民族才是富有生命力的民族，作為數學教育就是擔當培養和優化學生數學思維方式的重任．數學思維方式是人們在遇到問題時有意識地應用數學知識、思想、方法等去思考解決問題的過程中所形成的途徑，不同的人有不同的思維途徑．這種途徑通常表現為對問題的迅速的進行檢試、模式認別、知識搜集、方法探試、解決嘗試等路徑．宏觀上審視路徑發現有綜合思維方式與分析思維方式；有發散思維方式與聚合思維方式；還有正向思維方式與逆向思維方式以及再現性思維和創造性思維方式等．［3］具體審視有觀察、分析、比較、綜合、判斷、歸納、類比、反思、批判等方式，仔細剖析就是我們常說的數學方法在解決問題的過程中所具體表現出的路徑．由于數學知識、思想、方法、經驗等參與問題產生、解決的全過程，因此數學思維方式是由掌握了一定數學知識的人借助于數學思維進行的一種思維活動，這種思維活動的結構中包括邏輯、分析、觀察以及數學活動和數學經驗，參與思維的成份主要有數學符號、數學命題、數學證明、數學運算等，這些思維要素的參與具有抽象性、多角度性、技巧性等．如在解決問題的過程中，數學思維方式的一個顯著特點就是將問題數學化、進而建構數學模型、再對模型進行反思、推廣、延伸、提煉，使之具有更大的普適性，這就使數學的思維方式與其他學科的思維方式有了質的差異．也正是由于數學思維方式體現出數量化、模式化、精細化、最優化等特性，就使得數學思維方式對學生的發展具有其他學科不可替代的重要價值．

1．2數學思維方式的基本特點

數學思維方式不僅僅表現為解決問題、探尋規律的過程，而且也是人們心智訓練的重要途徑，特別對推理、記憶力、反思力、意志力的提升具有獨有的功效，主要緣于數學思維的問題、材料、過程、步驟、階段、內容等方面顯現出的思維力量．如統計思維、概率思維、確定性思維、形象思維、抽象思維等思維類型所形成的思維力量、所蘊藏的本質含義、所承載的教育價值，使得數學思維方式具有十分顯著的特點．具體地講有如下幾點：數學思維方式的目的特點：數學思維方式是目的性比較強的一種思維，對于一個具體的數學問題，人們在思考中會緊緊圍繞著問題尋求數學模式，或者創新數學模式，思維始終與目標一致、并能及時進行調適、決策、建構圖式、做出預見，朝著即定的目標邁進，這在問題解決過程中表現的最為突出．數學思維方式的過程特點：數學思維過程是一個復雜的心理活動過程，在目的性、問題性、概括性、邏輯性的導引下，參與思維的感覺、知覺、表象、概念、判斷、推理及數學知識、思想、方法等基本元素與情感要素整合，借助于分析、綜合，抽象、概括，歸類、比較，系統化和具體化處理等環節形成對問題提出、問題解決、問題反思的獨有的過程體系．數學思維方式的結構特點：數學思維不是漫無邊際的思考過程，它會形成一種思維模式，遵循一定的思維程式，形成一定的思維結構，可概述為確定目標、接受信息、加工編碼、概括抽象、操作運用、反思檢驗、獲得成功．數學思維方式的非認知特點：由于數學思維的材料是經過抽象概括出來的，具有一定的難度，需要一定的支持力量，除了數學自身的自然性、有用性、清楚性，［4］以及數學追求一種和諧和秩序，追求一種普適性和邏輯的完美性外，［5］還需要動機、興趣、情緒、情感、意志、氣質、性格參與其中，以強化解決問題的意志力．數學思維方式的方法特點：數學思維是訓練人門思維的最好工具，緣于數學自身的基本特征以及由此所形成的數學方法和策略，問題的解決具有多樣化的特點，在思考方法的過程中會碰到許多困難和障礙，需要毅志力、整合力、靈活性，如公式的變形能力、代換能力、命題的嵌套能力，外部數學信息、內部數學信息、不同分支數學信息之間的聯結能力等，使得數學思維在訓練思維方法方面具有更大的優勢．

2為什么要培養學生的數學思維方式

2．1培養學生的數學思維方式是由數學教育的根本目標所決定

由于時代的發展，數學教育的根本目標發生了重大的變化．在信息社會中，數學教育具有四個方面的主要目標：一是奠基學生良好數學素養，親身感知數學價值；二是培養學生終身學習數學的習慣和能力，形成嘗試和應用數學去解決現實問題的意志；三是使學生形成良好的數學思維方式，能夠有效的進行數學交流、數學思考，靈活的應用數學思想方法于現實生活中；四是使學生具備利用數學的思想、方法去處理信息的能力．數學教育的目標歸根到底是提升學生的數學素養，這種素養就是要使學生形成良好的數學品質、寬闊的數學眼光、敏銳的數學思維，靈活的思維方式去分析問題、解決問題，使之不僅具有綜合型的特點，而且具有分析型的特點；不僅具有整體觀點分析探究個別的能力，而且能從個別的東西出發認識整體．形成這種素質的著力點就是培養學生的數學思維方式，教育者必須為學生數學思維方式的優化營造良好的學習環境，不斷地開放學生的思維，使歸納思維、類比思維、演繹思維、統計思維、概率思維上一個新的臺階，使數學思維能更好地遷移到生活、學習、勞動的方方面面．數學教育的根本目標導引的數學教學過程必須是開放、動態、機敏的一種過程，是一種文化溝通與發展的過程，是讓學生借用優美的數學思維方式去更好地認識客觀世界，更好地發展自我，認識自我．在數學教育過程中，嚴格的定義、縝密的推理與表征、比喻，精巧的運算、確定的結論等都能體現出數學思維的風格與特點．而數學思維方式就展現在課堂上點點滴滴的實踐活動中、語言敘述中、文字表達中，師生之間的對話思維碰撞中．這種數學教育目標就要求數學教育過程中時刻以數學思維方式的培養為重心，以思維方式的優化為切入點，不管是問題的設計、例題的分析、習題的演練、命題方法的提煉都要展現數學思維方式的精髓性，都要考究提問、討論、操作等是否激活了學生的思維，思維能否產生火花，思維的靈活性和反應性能否得以舒展．在《義務教育數學課程標準（2011年版）》以及普通高中《數學課程標準（實驗）》中也都明確強調數學思維方式在數學教育體系中的重要性，如運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，［6］使學生掌握數學的基本知識、基本技能、基本思想，使學生表達清晰、思考有條理，使學生具有實事求是的態度、鍥而不舍的精神，使學生學會用數學的思考方式解決問題、認識世界．［7］從中反映出數學思維方式的培養的重要性，學會數學思維方式也就成為數學課程目標的本真反應，數學課程內容的設計、展現都是圍繞著學生數學思維方式的培養來運作．

2．2培養學生的數學思維方式是人的全面發展的特性所決定

人的全面發展首先是思維的發展，主要體現在思維方式的培養上，好的思維習慣、思維道德、思維品質、思維德性及思維藝術，是一個人全面發展的表現之一，而良好的思維方式將影響人的一生．數學思維方式以其獨有的思維魅力參與人的全面發展過程，促進人的整體素質的提高，歸因于數學語言可以清晰準確地描述和表達客觀現象，數學的知識、思想、方法可以靈巧地解決一些復雜的問題，數學的運算、數學的證明可以用來訓練學生的思維能力．人的全面發展離不開知識與技能的夯實、過程與方法的歷練、情感態度與價值觀的提升，由于數學思維方式在參與夯實、歷練、提升的過程中具有其他學科不可替代的作用，使得培養學生的數學思維方式成為人生歷程中極為重要的途徑．良好的數學思維方式具有解放人的思想、開拓人的思路、激發人的創造欲望的功能，特別是在對數學問題進行艱苦的探索過程中，會讓人產生渴望成功、奮發拚博、處于不懈地追求的精神狀態，也會產生不斷的凈化人的靈魂、完善人的品格、充實人的思想的作用．數學思維的表達方式：簡潔、準確、清晰；數學思維的過程表現：和諧、對稱、均勻；數學思維的活動方式：周密、理性、高效，這些都不斷地顯現出數學思維的魅力，這種魅力滲透到數學教學活動的始末，在思維的啟動點、助燃點、閃光點處產生出持久力、牽引力、助推力．如在中心射影觀點下研究兩條直線之間的對應關系，發現兩直線之間的點并非一一對對應，為了使之一一對應，需要在直線上增加無窮遠點，而無窮遠點的加入破壞了原有直線上的一些固有性質，使之與我們已有的認知發生沖突，而這種沖突就迫使人們轉變觀念，開闊思路，數學家用高超的想象力改造了直線的結構，不僅與以往的觀念相適應，而且使引入的無窮遠點能在坐標觀點下得以刻劃，應用了齊次化的思想解決了此問題，據此不斷擴展，使得點也有方程，線也有坐標，使點與直線在幾何中的位置真正處于平等的地位，提升了人們認識問題的深度，把抽象的點、線、面具體化為方程式，使一一對應更加完美．從中也映照出數學本身既是數學思維的結果，又是科學思維的工具．

2．3培養學生的數學思維方式是社會發展的必然訴求

作為一種“思想的體操”的數學，各行各業都用到，就像今天識字、閱讀一樣，數學成為公民必需的文化素養，一個人是否受過這種文化熏陶，在觀察世界、思考問題時會有很大差別，有了數學修養的經營者、決策者在面臨市場有多種可能的結果、技術路線有多種不同選擇的時候，會借助于數學的思想和方法，甚至通過計算來做判斷，以避免或減少失誤．［8］在高速發展的社會中，人們之間需要更多的交流、溝通、合作，需要智慧參與社會發展建設之中，需要有敏銳的思維視野，寬厚的知識體系，來豐富與發展社會，數學作為一種有用的理性工具，用他獨特的思想與方法去充實與完善人的思想與方法體系，不斷地開拓人的認識視野，促進人類社會的發展．社會的發展需要有良好數學思維方式的人，不管是從事科研工作的人，還是普通的社會建設者，數學中的歸納、類比、分析、綜合以及數學中的一些核心概念、公式、方程、模型等都對從事的工作有啟迪作用．不管他們從事什么工作，那些深深銘刻于頭腦中的數學精神、思維方式、研究方法等都會隨時隨地發生作用，讓他們受益終生．也就是說具有良好數學思維方式會在改變學生的行為方式、生活方式等方面發生重要的作用．

3如何培養學生的數學思維方式

3．1從戰略的高度確立培養學生數學思維方式的新理念

由于數學思維方式在人的發展過程中具有獨特而又有重要的價值，就需要我們在數學教育中樹立培養思維方式優先的理念：在數學課程的建構中以數學思維方式的提升為基點、在數學教學中以數學思維活動的展開與豐富為活動點、在教學模式、方法、內容的選取中，時刻思考如何滲透與培養學生的數學思維方式、在考試評價中以數學思維方式的優化為關鍵點，在數學教育的每一個細節處，向思維方式的優化要效益．只有在思想上高度認識思維方式培養的重要性和緊迫性，才能全面深刻地理解數學課程標準中對思維方式培養的要求，才能站在一個新的高度上對習以為常的問題從數學思維方式提升與優化的角度展開深入的探究，才能使每一位參與數學教育的工作者時時刻刻有思維方式培養的意識．尤其是一線的數學教師，才能在備課方面有意識、有目的的體現思維優化的意識、在教學的實施層面，不斷的拓展思維空間、在評價層面具有批判反思意識，從而形成一種數學思維方式的探究文化．理念具有先導性，確立了思維方式優化的理念會使我們在行動上充分面向全體學生的思維及關注個別學生的差異，就能更加注重聯系現實生活與社會，關注學生動態思維發展的過程，使之教學模式與思維模式靈巧配合，能及時地開發數學課程資源，針對學生的發展水平及思維特點，創造性地開展教學活動，在開拓思維方式新路徑上能夠整合挖掘思維因素、優化組合思維成分，靈活應用思維的方法與技巧，做到重點突出，方法得當，措施到位，行動到位．

3．2從實踐的層面探索培養學生數學思維方式的新體系

數學思維方式的提升主要體現在數學教學過程中，好的理念、想法、精髓都要通過數學教學實踐途徑來實現．具體的實踐過程包含在設計過程、實施過程、評價過程中．在設計過程中，不論是教學過程的設計、還是作業的設計、考試的設計都要有強烈的動機、開放心態去創造性地體現數學思維方式的培養．突出的一點就是要使學生在探究問題時產生不同的思維方式、讓學生在做中經歷、感受、體驗數學思維的力量、提升數學思維的質量．設計時要經常向自己問這樣的問題：通過什么途徑來優化提升學生的數學思維方式，教師應當做什么，學生應當做什么，教學資源如何合理使用，并嘗試著不斷地改進、記錄、完善這些問題的答案．使設計的活動能夠讓學生通過自主、合作、探究等學習方式，掌握必備的知識、技能，提煉數學思想，積累數學活動經驗，拓展思維空間，夯實思維基礎．在實施過程中，不可預測的事件經常發生．在教學用語、活動引導、情感激勵等方面思考的重要問題就是如何切入思維、如何升華思維、如何使思維每天有新的體驗，進而形成正確的數學思維觀，防止出現思維懸滯、偷懶、封閉以及不認真思考現象的發生，隨時要點燃學生思維的火花，使之進入現代思維的視域．在教學過程中，主要是通過問題解決、數學活動來培養和深化學生的數學思維方式．當然作業中的思維優化，日常交流中的思維優化也不可輕視，要從思維的意識、思維的方法、思維的習慣養成入手，在教學中點點滴滴滲透思維優化意識．在評價過程中，時刻以思維能力的提高為判斷教學效果的主線，在平時的教學效果反饋中、作業批改中、考試改進中要經常地反復地思考思維方式提升的幅度、力度，產生的效果．不管在即時評價中，還是在發展性評價中，每一個實施效果的檢測都要為學生塔建思維發展的適宜平臺，才能使學生的思維更加具有開放性、發散性、審美性．為學生創設易于他們接受的問題情景．在一個十分友好地界面上進行交流、分析思考．使學生在評價的過程中能找到數學思維方式的著力點，只有從不同的角度引發學生在學習過程中審視數學思維方式問題，才能真正的樹立思維優化意識．才能在交流中產生、在反思中升華、在問題解決中提高、在經驗與知識積累中發展數學思維能力．

3．3從發展的視角創新培養學生數學思維方式的新路徑

社會是不斷進步的，人是不斷發展的，數學也是如此．作為數學教育工作者，要有挑戰思維的策略和意識，不斷推出克服思維僵化的策略．用發展的視角培養學生的數學思維方式就是要理清數學發展的趨勢與脈搏，探討與論證時展的特點，找準數學思維培養的切入點，打開思維培養的新路徑．縱觀20世紀下半葉以來數學的特點，一個最大進展就是它的應用性不斷拓展，那么培養學生的數學應用意識和應用能力就是開拓培養數學思維方式的新途徑，以現實中的實際事例為突破口，幫助學生更直觀、更深刻地理解數學的內容、思想和方法，讓學生真正懂得數學究竟是什么．其中重要的是發展學生“數學”地思考問題的能力．數學的確為我們提供了一些普遍適用并且強有力的思考方式，包括直觀判斷、歸納類比、抽象化、邏輯分析、建立模型、將紛繁的現象系統化（公理化）、運用數據進行推斷、最優化等，用這些方式思考現實世界中的問題，可以使學生更好地了解周圍的世界；使學生具有科學的精神、理性的思維和創新的本領；使學生充滿自信和堅韌．實踐一直是數學發展的豐富源泉，數學脫離了現實就會變成“無源之水”、“無本之木”．因此，數學教育就要聯系學生的日常生活實際，增加數學問題的趣味性與現實性，把數學呈現為學生容易接受的“教育形態”，在實踐中去優化學生的數學思維方式．為此用發展的觀點去為學生開拓數學思維方式培養的新路徑，就要從心靈建筑的角度設計、實施、評價展開數學教育活動，富有情感的去選擇具有時代感的現實事例，在數學教育中的實踐中，滲透數學核心思想，注重對數和符號的理解、應用和表達，削弱繁瑣的計算，發揮圖形直觀的功能，“返璞歸真”，適度的“非形式化”，去為學生思維與心靈的發展營造良好的平臺，真正使學生的數學思維水平上一個新臺階．

作者：張定強工作單位：西北師范大學教育學院