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V帶傳動因結構相對簡單、對制造精度要求不高、中心距變化范圍較大、噪音低與過載打滑的優點在機械產品中得到了廣泛的應用．V帶傳動的缺點是傳動比受負載變化的影響，機械效率一般在0．92～0．97之間［1］，實際值常常通過試驗方法得到［2］．關于V帶傳動的設計方法一直在進步［3-8］，當量摩擦系數也得到深入的研究［9］，但對以計算方法獲得更加精確的V帶傳動機械效率的研究相對較少，多數認為彈性滑動是主要因素，計入彎曲能量損失計算的比較少［10］．本文以帶的拉彎、回彈與拉直過程中的能量損失以及彈性滑動總量對應的能量損失進行計算，研究出了V型帶傳動機械效率的精確計算公式，計算結果與試驗數據很接近．

1V帶傳動機械效率的計算

V帶傳動如圖1所示，其傳動的能量損失包括帶在大、小輪上被拉彎與拉直過程中的能量損失以及彈性相對滑動引起的摩擦能量損失，忽略空氣的阻力．圖1V型帶傳動Fig．1V-beltdrive設小帶輪、大帶輪的轉速分別為n1(r/min)、n2(r/min)，帶繞入小帶輪彎曲的角速度與離開小帶輪拉直的角速度ω1(rad/s)、帶繞入大帶輪彎曲的角速度與離開大帶輪拉直的角速度ω2(rad/s)分別為ω1=2πn1/60，(1)ω2=2πn2/60．(2)普通V帶的截面尺寸見GB/T11544—1997，截面圖如圖2所示，h(mm)為帶的厚度，bp(mm)為節寬，ha(mm)為中性層頂部厚度，為楔角(°)，z軸在截面的中性層上．在彎曲變形時，截面關于z軸的慣性矩Jz(mm4)為Jz=∫ha－(h－ha)r2［bp+2rtan(/2)］dr=bph3a/3+h4a/2×tan(/2)+bp(h－ha)3/3－(h－ha)4/2×tan(/2)．(3)圖2V型帶的截面慣性矩Jz計算Fig．2CalculationonsectioninertiamomentJzofV-belt設E為帶的彈性模量，E=130～200N/mm2，截面小時取小值，截面大時取大值．小帶輪、大帶輪的節圓直徑分別為d1(mm)、d2(mm)．由于帶的彈性良好，其拉彎與拉直對應的彎矩與純彎曲對應的彎矩幾乎相同［11］，所以使用材料力學中的彎矩計算公式以簡化計算的復雜性，單根V帶在小帶輪、大帶輪上的彎矩M1、M2分別為M1=EJz/(0．5d1)N•mm，(4)M2=EJz/(0．5d2)N•mm(5)設帶的彈性回復系數為k(試驗值k=0．75～0．85)，截面小時取小值，截面大時取大值．則單根V型帶在彎曲與伸直過程中的功率損失N1為N1=［M1•ω1+M1(1－k)ω1+M2•ω2+M2(1－k)ω2］/106kW(6)設單根V帶的截面積為A(mm2)，z根帶中拉力的變化量F=F1－F2，F1(N)為緊邊拉力，F2(N)為松邊拉力．小帶輪的包角α1=π－(d2－d1)/a(rad)，a(mm)為中心距，帶在小帶輪上的滑動角為α1h(rad)，α1h≤α1，如圖1所示，滑動段的帶長L1=α1h•d1/2，滑動角α1h與帶相對于小帶輪的彈性滯后滑動總量ΔL1分別為αh1=ln(F1/F2)/fv．(7)ΔL1=F(0．5α1hd1)/(zEA)mm．(8)根據帶的總長不變，得帶相對于大帶輪的彈性超前滑動總量ΔL2=ΔL1．帶相對于小帶輪滯后滑動的平均速度Vh1為Vh1=ΔL1×10－3/t=ΔL1×10－3/(α1h/ω1)m/s．(9)由于歐拉公式F1=F2efvah中的滑動角αh與帶輪半徑無關，所以大帶輪上的滑動角α2h=α1h，帶相對于大帶輪滯后滑動的平均速度Vh2為Vh2=ΔL2×10－3/t=ΔL2×10－3/(α2h/ω2)m/s．(10)帶的彈性相對滑動產生的功率損失N2為N2=(F•Vh1+F•Vh2)/103kW．(11)帶傳動過程中的功率總損失NL為NL=N1+N2kW．(12)設帶傳動的輸入功率為N，則帶傳動的機械效率η為η=(N－NL)/N．(13)

2設計實例與參數測量

一個螺旋式運輸機的驅動電機功率P為5．5kW，n1為1440r/min，傳動比i為3．2，每天工作不超過8h．A型帶的當量摩擦系數的測量值fv為0．52，彈性模量的測量值E為136N/mm2，彈性回復系數的測量值k為0．8，試計算該帶傳動的機械效率．1)確定計算功率Pca．取工作情況系數KA=1．2，Pca=KAP=1．2×5．5=6．6kW，N=Pca．2)選擇V帶的型號．由Pca、n查V帶的選型圖，選擇A型帶．A型帶的截面積A為81mm2，慣性矩JzA為479mm4，單位長度的質量q為0．10kg/m．3)確定帶輪的基準直徑．由選型圖選擇小帶輪的基準直徑d1為140mm，大帶輪基準直徑的計算值d2為d1×i=140×3．2=448mm，取大帶輪的基準直徑d2為450mm．4)選擇中心距a0并確定帶的基準長度Ld．初取中心距a0為1．15(d1+d2)=1．15(140+450)=678．5mm，計算初定帶長L0為L0=π(d1+d2)/2+2a0+(d2－d1)2/(4a0)=π2(140+450)+2×678．5+(450－140)24×678．5=2319．2mm．查表取標準值Ld=2240mm，中心距a≈a0+(Ld－L0)/2≈678．5+(2240－2319．2)/2=639mm．5)確定單根帶的基本功率P0與ΔP0．查表得P0=2．28kW，ΔP0=0．17kW．6)計算帶的根數z．查表得包角系數Kα為0．92，長度系數KL為1．06．z為Pca/［(P0+ΔP0)KαKL］=6．6/［(2．28+0．17)×0．92×1．06］=2．76．取z=3．7)計算小帶輪的包角α1．α1=π－(d2－d1)/a=π－(450－140)/639=2．656rad．8)計算帶的速度V．V=πd1n1/(60×1000)=π×140×1440/(60×1000)=10．56m/s．9)計算z根帶中的有效拉力F．F=1000Pca/V=1000×6．6/10．56=625N．10)計算z根帶中的張緊力F0．F0=500Pca/V×(2．5/Kα－1)+qV2=500×6．6/10．56×(2．5/0．92－1)+0．1×10．562=548N．11)計算緊邊拉力F1與松邊拉力F2．F1=F0+F/2=548+625/2=860．5N;F2=F0－F/2=548－625/2=235．5N．12)計算滑動角αh1．αh1=ln(F1/F2)/fv=ln(860．5/235．5)/0．52=2．492rad．13)計算角速度ω1與ω2．ω1=2πn1/60=2π×1440/60=150．8rad/s;ω2=2πn2/60=2π×1440×140/(60×450)=46．9rad/s．14)計算z根帶中的彎矩M1與M2．M1=zEJzA/(0．5d1)=3×136×479/(0．5×140)=2792N•mm;M2=zEJzA/(0．5d2)=3×136×479/(0．5×450)=868．6N•mm．15)計算拉彎與拉直的功率損失N1．N1=［M1•ω1+M1(1－k)ω1+M2•ω2+M2(1－k)ω2］/106=［(1+0．2)×2792×150．8+(1+0．2)×868．6×46．9)］/106=0．554kW．16)計算彈性滯后的滑動量ΔL1．ΔL1=F(0．5α1hd1)/(zEA)=625×0．5×2．492×140/(3×136×81)=3．3mm．17)計算帶滯后的平均速度Vh1與Vh2．Vh1=ΔL1×10－3/(α1h/ω1)=3．3×10－3×150．8/2．492=0．199m/s;Vh2=ΔL2×10－3/(α2h/ω2)=3．3×10－3×46．9/2．42=0．062m/s．18)計算彈性相對滑動產生的功率損失N2．N2=(F•Vh1+F•Vh2)/103=625(0．199+0．062)/103=0．163kW．19)計算功率損失NL．NL=N1+N2=0．554+0．163=0．717kW．20)計算帶傳動的機械效率η．η=(N－NL)/N=(6．6－0．717)/6．6=0．891．若d1、d2、a、z、n1不變，僅當Pca發生變化時，如4．0≤Pca≤6．6kW，則機械效率η與Pca的計算關系如圖3所示．說明輕載時V帶的機械效率變小．圖3機械效率η與Pca的關系Fig．3RelationbetweenmechanicalefficiencyηandPca試驗測量fv為0．52，E為136N/mm2，k為0．8，F0為550N，a為640mm，在電機功率P穩定在5．5kW、轉速n達到1440r/min時，V帶傳動機械效率的測量曲線如圖4所示，波動特征是由V帶沿長度方向的彈性非均勻性、縱向與橫向振動產生的，機械效率的平均值η=0．861，其中含有軸承效率，與計算結果十分接近．圖4機械效率與時間的關系Fig．4Relationbetweenmechanicalefficiencyandtime文獻［2］對C型V帶做了效率測試，負載和轉速均變化，試驗效率0．850≤η≤0．892，說明η與負載和轉速的大小相關．V帶傳動的機械效率沒有機械設計教材中給出的那么高．

3結論

V帶傳動的功率損失主要是帶在拉彎與拉直變形過程中產生的損失，約占總功率損失的77%．文獻［1］以及其他教材與手冊上給出的機械效率值偏高．計算表明，隨著帶截面積的增加與帶速度的提高，該項比例進一步增加．減小V帶的彈性模量，可以提高機械效率．V帶傳動的機械效率可以通過理論計算的方法予以精度獲得，從而為帶傳動之后的傳動(如齒輪傳動)提供更加精確的功率輸入參數．

作者:殷振朔 王洪欣 單位:中國礦業大學