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有效教學是目前實踐中存在的主要問題，也是理論界探討的很重要話題。解決問題的鑰匙應該是一題多解與一題多變，一題多解的教學能優化思維品質，推動探索創新，使知識融會貫通有利于提高學生的創造性。教學中應該精講多練，質疑辯論，師生共探。一題多變的教學有利于提高學生的創造性及運用數學知識去分析實際問題的能力，有利于激發學生的創造性及運用數學知識去解決實際問題的能力，可以是中國數學成功的典型代表之一。可從一般化、變圖、變式、變條件和題組教學入手。

1.一題多解促使思路多向，培養思維的廣闊性。一題多解訓練教學，能讓學生以問題作為思維起點，誘導學生既能順向思維又能逆向思維，逐步培養他們形成由正及反、由此及彼的逆向思維習慣。培養他們困難時自覺調整思維角度，向反方向作某種試探猜測，聯想新意會。教學中教師通過選擇典型題目，鼓勵積極思考，引導從多角度、多方法、多層次地觀察思考問題，在廣闊范圍內尋求解法，從而培養學生思維的廣闊性。

2.一題多解能暴露思維過程，培養思維的深刻性。一題多解必然促使每個學生動腦思考，從而展示發現解法的思維過程，也能使教師了解學生思維受阻的情況，利用學生典型錯誤進行正確誘導，變換策略，另辟蹊徑再達目的。教師的解釋未必是學生的想法，是把教師的思維暴露給學生，未必能解決學生思維的所有問題。一題多解促使教師想學生所想，順應學生的認識規律與基礎，有針對地點撥，使學生的思維處于積極興奮的最佳狀態，在迷惑好奇的情境中，在躍躍欲試的狀態下，激起思維波瀾，從而對問題的本質屬性及解法規律有更深刻的理解。培養學生思維的深刻性。

3.一題多解推動學生積極競爭，培養思維的敏捷性。蘇霍姆林斯基說：“要把學生從智力的惰性狀態中拯救出來，就是要使每個學生在某件事情上把自己的知識顯示出來，在智力的活動中表現出自己。”一題多解往往是綜臺，將自己的解題思路亮出，后面同學必須異于前面同學的解法。于是整個課堂氣氛活躍個個躍躍欲試，競爭激烈相互啟發，后來經過歸納總結，共提出了四大類不同解法達四十多種之多。即將三角函數的降冪公式，積化和差及和差化積公式，運用得滾瓜爛熟，對學生運用知識的能力的提高，起著不可估計的作用。長久訓練能使學生迅速直觀分析處理問題，簡縮運算環節和推理過程，即思維敏捷。

4.一題多解推動學生主動學習，培養學生思維的靈活性。傳統的數學教學沒有真正做到問題教學、思維過程教學，而是偏重于結果、標準答案、題海戰術。學生的數學思想方法沒有形成，缺乏靈活性，因而思路狹窄解法單調，對概念的本質缺乏正確的認識和深層次理解，不能做到解題思路的優化。而一題多解能抓住“精講多練”的核心，“少而精”，真正地提高教學效率，而非盲目做題。

不同的解法促動學生細心觀察，認真審題，會利用題中關系，進行分析、比較提高分析能力，使他們能夠合理選擇思維起點，培養靈活性。同時有利于辨析正誤，準確掌握概念的內涵和外延，提高數學素養。

1.變換條件，促進學生主體探索。在例題教學和習題講解時，不宜就題論題，而應該啟發引導學生將思路延續下去，列出同類問題的不同解決辦法，從題目的各個方面聯想，類比，通過條件復式，變換條件，引入新問題，促進學生主體探索。

例1,已知點P是一次函數y=-x+6在第一象限的圖像上的點，又點A的坐標為（4,0），問點P能否成為等腰三角形AOP的一個頂點，若能，求P的坐標。

分析：由于并未指明等腰三角形的哪條邊為底，哪條邊為腰，故應引導學生分情況進行探討（|PO|=|PA|,|PO|=|OA|,|PA|=|OA|,解略）。

解決問題后，可以進一步提問學生：若條件不變，要使△AOP為等腰直角三角形的點P是否存在？成為等邊三角形呢？這樣層層深入，讓學生自己去探討結果，研究其規律，引起學生濃厚的興趣，自問自答，自己提出問題自己探索，其收獲決非簡單“改改題”這么單純。由于學生自己出題，自己解答，長此以往能使學生養成多問多思的主動探索習慣，大大提高學生自己提問，解題的能力。

2.題組教學，促進思維發散性和批判性。發散思維是從同一來源材料探求不同答案的思維過程和方法，是分析性思維。發散性要求對問題尋求多種解決途徑，這種思維是創造性思維的基礎。在題組教學中對學生進行發散性思維的訓練，可以培養學生敏銳的觀察力、積極的求異勝和創造性，增強學生舉一反三的探索能力。同時對問題條件，解決問題的方法有一個深刻認識。

例2,甲、乙、丙等7人排成一排，求以下各種情況的不同排法。

經過這樣的訓練，可以使學生明白事物都不是一成不變的，應勤于思考，敢于提出不同觀點，勇于質疑、批判，從而培養他們積極的批判性。

3.探索變式，培養思維的創造性。創新是素質教育的核心，更是時代的要求，是選拔人才的需要。因此，這就要求在教學中，教師要有目的、有計劃地對學生進行創新思維的訓練，引導學生從解答的問題出發，標新立異，敢于猜想，勇于用所學知識去解決背景全新的問題，從而培養學生的創造性精神。

其證明并不難，就略去不談。但其結論非常重要，我們不妨稱線段AB為拋物線的焦點弦，由焦點弦，我們能夠引導學生證明下列一組演變習題都是正確的：

（1）過拋物線焦點弦兩端點的切線與拋物線的準線，三線共點。

（2）拋物線焦點弦中與其端點切線的交點的連線，平行于拋物線的對稱軸。

（3）拋物線焦點弦中點與其端點切線的交點連結線段，等于焦點弦長的一半。并且被這條拋物線平分。

（4）拋物線焦點弦兩端點的切線互相垂直。

（5）拋物線的準線是其焦點弦兩端點的切線的交點的軌跡。

（6）過拋物線焦點弦一端，作準線的垂線，那么垂足，原點以及焦點弦的加一端點，三點共線。

4.引入開放題，全面提高學生分析、解決問題的能力。開放題分為條件開放題、策略開放題、結論開放題。開放題具有一些特性：非完備性、不確定性、發散性、探究性、發展性、創新性。

過去提倡“以教師為主導，學生為主體”的教學思想，在實際教學中，教師主導地位被絕對化，“主導”實際上變成“主宰”，學生主體遲遲得不到體現。針對這種情況，引入開放題的教學，能充分體現學生的主體性，培養學生的主體意識（即學習的主動性，自覺性，探索性，深刻性）。