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摘要對量化容差關系中由于容差度閾值的變化而引起的論域覆蓋的粒度、粗糙集的近似精度與粗糙熵、知識的粗糙熵的度量變化進行了討論。建立了量化容差關系下知識依賴的概念，并探討了容差度閾值和知識的變化對知識依賴度量的影響。對量化容差關系所產生的覆蓋進行修正，以使得新覆蓋的任一模塊里的任意元素均兩兩滿足量化容差關系，并進行了相關性質的證明。

關鍵字粗糙集；量化容差關系；不完備信息系統；熵；知識依賴

1引言

粗糙集理論[1](RoughSetsTheory，簡稱RST)是一種用于處理含糊和不精確性問題而又不同于模糊集理論的新型數學工具。Pawlak提出的RST僅僅適用于所有屬性值都已知的完備信息系統，然而現實世界中由于各種原因存在著大量的不完備信息系統(IncompleteInformationSystems[2]，簡稱IIS)，因此如何使用RST處理IIS正逐漸成為RST研究領域的一個熱點問題。使用RST處理IIS，大致可以分為兩種方式：1、間接處理，即數據補齊或數據刪除方法；2、直接處理，對基于不可分辨關系（等價關系）的RST模型進行擴充。由于間接處理方法會損害到數據的原有分布特征，挖掘出的規則往往帶有不確定性，因此使用直接方法處理IIS就具有其獨特的優勢。

隨著理論研究的不斷深入，目前已經涌現出了很多擴展RST模型以處理IIS，如容差關系模型[2]、量化容差關系模型[3]、限制容差關系模型[4]、相似關系模型[3]等等。由于量化容差關系是一種推廣的容差關系，量化容差類是一個用關于參考元素的容差度作為成員函數的模糊集合，因此文中主要圍繞量化容差關系在RST中的若干問題進行討論。

2量化容差關系

2.1容差關系

一個IIS是一個二元組：，其中U是一個被稱為論域的非空有限的對象集合；AT是一個非空有限的屬性集合。

對于任意a∈AT，有a:U→Va，其中Va是屬性a的值域（可包含空值，文中用〝*〞表示）；V為全體屬性值域，即；定義f為信息函數，對于，有f(x,a)∈Va.

定義1.1令S為一IIS，屬性集合，則由A決定的容差關系如下表示：

2.2量化容差關系

量化容差關系是容差關系的推廣，在容差關系中加入了描述對象之間的相似程度這一參考因素。

令S為一IIS，其中.假設對于，x在屬性a上取值的概率為(表示集合Va的基數).

定義1.2令S為一IIS，對于，x,y在屬性集合上取等值的概率（容差度）為，

其中表示x,y在屬性a上取等值的概率，其取值如下所示：

定義1.3令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，則量化容差關系定義如下：

若假定容差度為1，量化容差關系就退化成定義1.1中的容差關系。

定義1.4令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對于，x關于的量化容差類定義為：

.

一般來說，在IIS中，量化容差關系對于論域構成了一個覆蓋而非劃分，若令表示覆蓋，則.

3基本概念

a)近似精度及粗糙熵

定義2.1令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對于，X關于的上、下近似集合可表示為和，其中

定理2.1令S為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，且，則

證明：對于，因為，所以.若，則必定有；反之則不一定成立。所以.同理可以證得.

定理2.1說明粗糙集合的下近似集隨著容差度閾值的減小而不斷減小，上近似集卻隨著容差度閾值的減小而不斷增大。

定義2.2令S為一IIS，且，容差度閾值λ∈[0，1]，則X關于的近似精度，粗糙性分別如下所示：

定理2.2令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對于，有.

證明：利用定理2.1的結果，易證。

定理2.2說明隨著容差度閾值的減小，粗糙集合的近似精度在不斷減小，粗糙性在不斷增大。

定義2.3令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則知識A的粗糙熵定義為：

定理2.3令S為一IIS，，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則.

證明：對于，因為，所以.于是可以得到不等式

.

擴充這個不等式就可以得到.

為了對粗糙集的不確定性進行更為精確的測量，已有學者開始研究各種不同的粗糙集的粗糙熵[5]。根據量化容差關系，可以定義如下兩種不同形式的粗糙集的粗糙熵。

定義2.4令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，對于，X關于知識A的粗糙熵定義為：

定理2.4令S為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對于有.

證明：利用定理2.2及2.3的結果，易證。

作為一種特殊的容差關系，量化容差關系當然也滿足容差關系下的一些性質，如定理2.5所示。

定理2.5令為一IIS，屬性集合，若容差度閾值λ∈[0，1]，則，，，.

b)知識依賴

利用對象的分類，可以方便地研究兩個不同屬性子集，即知識之間的依賴關系[6]。

定義2.5令S為一IIS，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，屬性集合B對于屬性集合A的依賴關系表示為，當且僅當對于，若，則必定有.

定義2.6令S為一IIS，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，則知識A與B之間存在等價依賴當且僅當且.

知識的部分依賴表示知識之間的推理可以是部分的，換言之，只有部分關于B的知識可以從A推導出來。知識的部分依賴一般用知識的正區域來表示。

定義2.7令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，則知識A對于知識B的正區域表示為：

.

定義2.8令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，知識B以程度k依賴于知識A，表示為，其中.

當k=0時，知識依賴表示為；當k=1時，知識依賴表示為.

定理2.6令S為一IIS，，容差度閾值λ1,λ2,λ3∈[0，1]且，如果有知識依賴，，那么.

證明：對于，根據定理2.1，因為，所以，即.所以.

定理2.6說明隨著知識依賴的被依賴部分的容差度閾值逐漸減少，依賴部分對于被依賴部分的依賴程度逐漸減小。

定理2.7令S為一IIS，，容差度閾值λ1,λ2,λ3∈[0，1]且，如

果有知識依賴，，那么.

證明：對于，因為，所以.

對于，若，則，反之則不一定成立，所以，即.

定理2.7說明隨著知識依賴的依賴部分的容差度閾值逐漸減少，依賴部分對于被依賴部分的依賴程度逐漸增大。

定理2.8令S為一IIS，若且容差度閾值λ∈[0，1]，則有知識依賴.

證明：對于，若，則.因為，所以，即.滿足定義2.5，所以.

定理2.9令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，如果有知識依賴，那么.

證明：對于，若，則，即.對于，可以得到，于是有，即.

定理2.10令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]，如果有知識依賴，，那么.

證明：類似于定理2.9的證明，對于，有.

對于，若，則，反之則不一定，所以，即.

4基于量化容差關系的覆蓋

1)覆蓋粒度

定義3.1在一IIS中，，分別為論域U的兩種不同覆蓋，若對于，必定使得，并且對于，必定使得，則稱覆蓋比覆蓋更為精細，或者說比更為粗糙，表示為<.

定理3.1令S為一IIS，，若容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則<.

證明：對于，因為，所以.滿足定義3.1，所以.

定理3.2令S為一IIS，容差度閾值λ∈[0，1]，若，則.

證明：對于，因為，所以，即，滿足定義3.1，所以<

定理3.1和3.2說明在量化容差關系下，隨著容差度閾值的減小，覆蓋的精細程度也在不斷地減小；隨著知識的不斷增加，覆蓋的精細程度不斷地增大。

2)覆蓋修正

令，由定義1.4可知，中的所有元素都只是與x之間存在量化容差關系，而對于，并不一定能保證m，n之間也存在著量化容差關系。因此有必要重新定義由量化容差關系所產生的論域覆蓋，以保證覆蓋中任一模塊中的任意兩個元素之間都具有量化容差關系。

定義3.2令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則論域的覆蓋表示如下：

.

3)相關性質

定理3.3令S為一IIS，屬性集合，容差度閾值λ∈[0，1]，則

證明：(1)對于，有，于是，使得.所以.

又因為y為中任意取得，所以

(2)對于，必定使得且.而此時根據量化容差類的定義，有.又因為y為中任意取得，所以有綜合(1)(2)，定理得證。

由定理3.3可得看出，覆蓋相比于覆蓋更為精細，即.

定理3.4令S為一IIS，，容差度閾值λ1，λ2∈[0，1]且，則對于，必定，使得.

證明：對于，令，則，因為，所以，即必定有使得.因為x,y為M中任意取得，所以.

定理3.5令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對于，必定，使得.

證明：對于，令，則.因為，所以，即必定存在使得.因為x，y為M中任意取得，所以.

定義3.3令S為一IIS，，容差度閾值λ∈[0，1]，對于，論域覆蓋為，X的上、下近似集合可表示為，其中

定理3.6，.

證明：(1)令，則∩.根據定理3.3，必定，使得且M∩X≠Φ，即.所以.

令，則使得x∈M且M∩X≠Φ.由定理3.3可知，，即∩，.所以.

(2)令，則.由定理3.3，對于且x∈M，必定，即.所以.

5結束語

作為一種RST擴展模型以便于直接處理IIS，量化容差關系用容差度描述對象之間的相似程度，是容差關系的進一步拓展。

本文對基于量化容差關系的RST中的一些基本概念，如覆蓋的精細程度、粗糙集的近似精度、粗糙熵、知識的粗糙熵以及函數依賴進行了討論，研究了容差度閾值的變化對這些概念的度量的影響。分析了由量化容差關系產生的論域的覆蓋，發現在這個覆蓋里，任一模塊中的元素都只是與模塊的生成元素存在量化容差關系，于是重新定義了基于量化容差關系的覆蓋，使得任一模塊中的任意兩個元素之間都具有量化容差關系，并聯系原有覆蓋進行了相關性質的討論。

參考文獻

[1]Pawlak.Z.Roughsetsandintelligentdataanalysis[J].JournalofInformationSciences.2002，(147)：1－12

[2]Kryszkiewicz.M.Roughsetapproachtoincompleteinformationsystems[J].JournalofInformationSciences.1998，(112)：39－49

[3]Jerzy.Stefanowski.Incompleteinformationtablesandroughclassification[J].JournalofComputationalIntelligence.2001，(17)：545－566

[4]王國胤.Rough集理論不完備信息系統中的擴充.計算機研究與發展.2002，39(10)：1238-1243

[5]QiangLi，JianhuaLi，XiangLi，andShenghongLi.Evaluationincompletenessofknowledgeindatamining[J].Springer-Verlag，LNCS(3309).2004，278－284

[6]D.A.Bell，putationalmethodsforroughclassificationanddiscovery[J].JournaloftheAmericanSocietyforInformationScience.1998，(49)：403－414