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拜讀了王芝平、郝澎老師的研究性教學課例，筆者為之振奮和感慨：我在教學中不也經歷過這樣的研究式教學嗎？這樣的研究式教學是令人快樂的啊!遺憾的是在現今的課堂上實在太少了！如果師生在數學課堂中都能置身于數學探究之中，那么我們的數學教學就能演繹成一幕幕“數學研究”的活劇．我們的數學教學就可以甩掉“枯燥乏味”的帽子，進入一個教師樂教、學生樂學的數學樂園！

欣喜之余，筆者愿結合此課例和自己的實踐就教師在研究性教學中如何發揮自己的積極作用談幾點體會和認識．

1教師是數學課程的開發者和創造者

以往在教師的頭腦中，教學內容和進度是由國家的教學大綱和教學計劃規定的，教師的任務只是按照教科書、教參去教，承擔的是“傳遞”任務．新一輪課程改革認為，課程不等同于教材，而是教師和學生共同探求新知識的過程；課程不只來源于教材，而且來源于教師、學生和環境，是在四者之間的相互作用和相互影響中生成和發展的；課程實施的意義不只是傳授知識或培養能力，而是培養一個在知識、能力、情感態度和價值觀諸方面全面、和諧發展的人．因此，教師是課程的開發者和創造者，教學不只是“教教材”，而是“用教材教”，整個教學的過程既是課程實施的過程，也是課程不斷開發和生成的過程．

從課例中可見，王老師十分成功地實踐了“教師是課程的開發者和創造者”．

首先，王老師運用自己的數學素養和教學經驗對教材進行了深入的挖掘，將教材第101頁的2個習題整合為“拋物線焦點弦的有關性質”的研究課題．這樣，通過教師與教材的相互作用，提供到課堂上與學生交流的課程內容就已經不再是教材靜態的、單一的內容了，而是內容更為豐富，思想更為鮮活，內涵更為深刻的課程內容了．

其次，王老師充分發揮了學生3和學生8所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源所具有的獨特的教育意義．

具體地說，對學生3的不當類比，王老師并沒有簡單地否定或糾正，而首先是讓學生說出他個人的思維方式．這樣，師生了解到了學生發生錯誤的實際思維過程，從而就為進行有針對性地有效糾錯提供了必要的基礎．事實上．類比思維是極其可貴的，這樣的“錯誤”從思維方式上來說是有其合理之處的，如果我們簡單地予以否定，那么學生要么莫名其妙，不能真正理解、認識到自己的錯誤，要么會懷疑“類比”并且不敢再行“類比”了．類似地，對于學生8的錯解，王老師沒有向學生明確地表明自己的觀點（“能證明或否定它嗎？”），而是通過設問給了學生一個思考、探究的機會．

進一步地，王老師讓學生上講臺演示，“給了他充分表達自己想法的機會和探索的時間”，然后再讓大家進行討論．這樣，王老師通過提供研討的時空，把學生對“問題”的種種思考和想法都充分地開發出來了．同樣，對于學生8的錯解，王老師通過問句“能證明或否定它嗎？”打開學生思維的窗戶，給了學生一個廣闊的思維空間，使他們充分地展開探究活動．從而把學生對問題的思考和想法全部開發出來了．

特別地，在探究學生3的命題的整個過程之際，從“肯定猜想”——“沒有大膽的猜想．就不會有偉大的發現”，到“質疑猜想”（包括組織討論）——“猜想到的結論一定是正確的嗎？”．再到“證明（反駁）猜想”——特例檢驗、圖形直觀，學生經歷了科學研究的一般過程，從而受到了科學的思維方法論教育．其次，教師對錯誤、失敗以及出錯學生的尊重之舉于無形之中便對學生進行了一次很好的情感態度方式乃至人生觀的教育．顯然，此二者對學生的意義已超越了具體問題的獲解，具有深遠的“發展”意義．因此可以說，它們是王老師對學生所犯“錯誤”、所歷“曲折”這種特殊的課程資源最重要的課程開發．

2教師是數學活動的組織者、指導者和推進者

課例中一個值得引人深思的現象是，王老師在本節課的17處講話中．有13處有問號，另有6處有感嘆號．這反映或說明了什么？

在傳統的數學課堂上，教師生怕學生看不懂教材或不能很好地理解教師講授的內容，于是不厭其煩地反復講，追求講深講透．當代建構主義學習觀認為，學生的數學學習是學生從自己已有的知識和經驗出發．并憑借自己已有的知識和經驗對新的問題情境、新的知識進行同化或順應的自主建構過程．特別是這種建構是發生在每一個學生的頭腦里的，是他人無法替代的，如果沒有對新情境、新知識的自主建構活動，那么新情境、新知識就無法與已有的知識和經驗建立實質性的聯系，從而“學習”就不可能真正地發生．因此，傳統的數學課堂中教師不厭其煩的反復講解從實質上來說并無助于學生對新情境、新知識的認知，無助于學生學會探究問題．解決問題．

那么，在課堂中教師又該如何處理講和不講呢？進一步地，教師在課堂中究竟該發揮什么樣的作用呢？事實上，王老師在這一課例中一系列詞句和感嘆句給了我們很好的注解，即教師在課堂中應積極地發揮學生數學活動的組織者、推進者和指導者的作用．

具體地說．王老師在充分挖掘教材和精心組織教學內容的基礎上，一上課即出示問題情境讓學生進行思考、探索（“我們能發現什么結論嗎?”)；在“眾生”得出4個結論之后即組織學生探究、證明（“能證明這些結論嗎？”）；在學生證明它們之后即組織學生深入研究“通徑中的這些結論，在拋物線的一般的焦點弦中會怎樣呢？”；在學生3得出錯誤結論之后通過追問、質疑、設疑、鼓勵等連續4個問句組織學生包括學生3本人對學生3的解答進行反思、辨析；隨后又通過設問“你能證明或否定它嗎？”引導學生對學生8的解答進行辨析、探究；在證明了通徑的焦點弦的性質后，通過設問“那么，通徑是否是拋物線的焦點弦中唯一最短的呢？”，及時地組織學生探究其唯一性；最后，通過設問“我們還能發現什么結論嗎？”，鼓勵學生展開思維探索新的結論，通過設問“我們還有哪些收獲呢？”鼓勵和提醒學生從其他方面（思維、情感態度、價值觀）進行歸納總結．在課例結束之際，王老師還不失時機和熱情地鼓勵、組織學生進行課外研究活動．從而我們清晰地看到，正是通過王老師一系列的問句，探究活動被有條不紊、循序漸進地組織和推進；而學生不斷地進入思考和深入思考的境地．

特別是每當學生在階段性的研究活動中取得了成果之際．王老師都能及時地予以充分地肯定或表揚（感嘆）．事實上．教師的這種肯定或表揚對處于數學探究活動中的學生來說是十分寶貴的，那是教師對他們的無價獎賞，也是師生情感的一種溝通與交流，是促使他們鼓足干勁，再接再厲，進入下一階段的數學探究活動的興奮劑．可見王老師深知學生的心理需要．從更深入的角度來說，事實上王老師在不知不覺中把自己對學生智慧的欣賞態度、對學生由衷的熱愛之情轉化成了推動學生的探究活動深入發展的課程資源了．

當然，王老師沒有忘記，教師在學生的探究活動中應有的指導作用．比如，對于學生3的猜想，通過王老師的質疑讓學生明白猜想是需要證明或反駁的；在師生對學生3的思考討論完畢之余，王老師的小結讓學生認識到“在科學發現中，錯誤和失敗不僅是在所難免的，也是我們所需要的，很多情況下，真理來自錯誤，成功源自失敗”；王老師還指導學生注意從學生3失敗（錯誤猜想）的可取（合理）之處著手探究問題的解決，事實上這即是真實的科學研究的一般方法和歷程；在學生10解答之余王老師及時地小結解題思想方法“解析幾何問題一般離不開代數運算”、“見繁即變，見簡即用，不膠一法，乃為通術”；在學生12完成證明之后，王老師即從數學哲學和數學方法論上進行了小結；“邏輯的嚴謹性是數學的主要特征．由觀察、猜想獲得的結論，必須通過嚴謹的數學演繹論證，才能上升為數學定理”；最后，王老師從數學及科學研究的高度對本節課的數學內容和師生經歷的數學活動進行了闡釋．所有這些都使得本節課教師的教學和學生的探究活動從具體的數學內容中脫胎出來，上升到一般的科學研究層面，具有了思維方法論的教育意義．而這正是一般的數學教學所缺乏的！

不過，王老師對學生11另一種解答的評價“真是得來全不費功夫!”似值商榷．事實上這一評價容易使一些學生對數學生發一種“神秘”感，也無助于學生了解方法的來源及其發生的思維過程，從而就難以對它產生真正的“理解”．其實，學生11的解法并不是不可捉摸、憑空而來的．從“直線的表達式”這一知識結構出發便可十分自然地獲得．因此．教師不妨反問學生11“你是如何得到的”，從而使學生從知識結構上深入地認識這一解法并獲得相應的理解．

3教師要盡可能地“放手”

應該說，在這一節課中，王老師讓學生充分地進入了數學探究活動之中，突出了學生在課堂中的主體地位．特別是王老師敢于讓學生經歷錯誤，善于指導學生從錯誤中走出來，避免了弗賴登塔爾所說的“教學法的顛倒”，體現了“數學教學即數學研究”的教學思想，是十分值得贊賞的．

但是，筆者在此又愿提出如下意見與大家商討，即在這一節課中，學生探究活動的研究性、自主性和廣泛性是否可以進一步改善？

具體地說，由拋物線通徑的性質到拋物線一般的焦點弦的性質無疑體現了“從特殊到一般”的思想方法，但是這一轉折在課例中卻是教師本人給出的，從而是否真正發揮了應有的教育意義就值得懷疑．即如果沒有教師的推廣，學生能否自主地生發并由此而深刻地體驗“由特殊到一般”的研究思想？

其次，在學生6回答完畢之后，教師提出的“那么學生3的猜想中有合理的地方嗎？”也給人一種“生硬”的感覺．即如果沒有教師這種突兀的指引，學生能否采取這樣一種策略呢？

事實上，以上兩個地方正是探究活動暨思維教育的重要環節，因而我們就不得不為師生感到擔心：是否錯過了思維教育或磨礪的重要機會？

筆者以為，對于前一問題，我們是否可以這樣處理，即在提出“圓錐曲線的焦點弦問題是解析幾何中一個非常重要的問題．今天，我們就來共同研究拋物線焦點弦的有關性質”這一問題之后，教師并不講授通徑的概念，而是放手讓學生自行去探究一陣，包括鼓勵和指導學生幾個人一組地“共同”探究．

可以說，以上的改進方案就給予了學生更具真實性和挑戰性的問題：沒有了“通徑”這一具體條件，問題更為開放；沒有“通徑”這一特殊情形的提示，對一般情形的研究也更為真實．從而，“問題”給予學生的探究空間就更為廣闊，引發的探究性活動就更具自主性．同時，由于給予了學生自主探究的時間，特別是通過小組共同研究，學生更易被廣泛地調動起來，他們的思維也更能在思想的交流、碰撞和啟發中得到激活，并從不同的角度廣泛和深入地展開，從而為接下來全班性的師生共同研討打下必要的基礎．

事實上，學生通過自覺或盲目的探究更易發現并從整體上感知“拋物線的焦點弦的長在它垂直于橫軸時最短，而當它的傾斜角由90°逐漸減小到0°時，拋物線的焦點弦就逐漸變成拋物線的對稱軸，它的長度將由2p趨于無窮大”．而且，由于此種情況下此結論往往首先是從圖形(的變化）上看出來的，因而就不會像課例中那樣受已有結論“｜AB｜＝2p”的干擾了．特殊地，由此數形結合思想及解析幾何所蘊含的“運動觀”就能更廣泛地得到體驗和認識．

特別地，由此也更有利于學生形成良好的數學觀，體會和認識“特殊到一般”的方法論，增進發現問題和提出問題的能力，形成創新的意識和科研的欲望，獲得成功的體驗和成就后的滿足．即,通過以上，學生可以清晰地看到，“通徑”的概念是數學上必要和合理的“創造”，而“特殊”在科學研究中具有重要的研究價值，“特殊到一般”是科學研究的重要方法論，學習不等于被動接受，他們是可以有所創造的！

對于后一問題，筆者以為，此時完全可以放手讓學生自行（包括獨立思考和合作討論）去嘗試證明（開放），而沒有必要把學生的思維突然指引到學生3的解答上去（收斂）．不要怕學生找不到合理或高效的思路，學生在由盲目到自覺、由失敗到成功的曲折歷程（體驗）中更能理解和認識“錯誤之中有合理的地方”、“要善于從失敗之中汲取有益的成分獲得有益的啟示”，這比單純地由教師給出這一道理更為有效——這也是一種啟發式或灌輸式．

事實上，以上的討論已提醒我們，思維方法的教育一如知識的教授，也是不可灌輸而只能讓學生從自己已有的知識和經驗出發，在“經歷”問題解決的過程中自主建構的；在問題解決的過程中，只有方向是他（們）自己選擇的，子問題是他（們）自己提出的，信息是他（們）自己收集處理的，方法是他（們）自己思考（包括相互交流、相互啟發）獲得的，才能真正地、有效地培養學生勇于創新的意識、獨立思考的精神、問題解決的能力特別是提出問題的能力，以及合作、交流的行為方式．因此，我們在試圖進行思維方法教育時，就需要進行必要的放手，特別是在某些重要環節，我們又必須盡可能地放手，否則易使設計之中的思維方法教育成為實際上的“知識（經驗）灌輸”．

一般地說，在此課例中，問題基本上是教師提出來的，而學生基本上是被教師從一個問題引領到另一問題，基本上只是在嘗試解決教師所提問題而沒有“提出問題”的行為．特別是在一些探究的關鍵環節上，學生尚未多加思考時教師便已主動地“牽引”（提問）學生前行，實是遺憾．

事實上，以上就涉及了一種更為普遍和值得探討的教學現象，即在許多數學課堂上，我們往往看到問題一提出來教師即讓學生口答，問題最終在教師和幾位學生的“問——答”之中解決了．當然，有時也有一些學生能跟上來，能聽懂他們之間的對話并參與其中（齊答)．但事實上．由于每個學生具有的知識和經驗不盡相同，他們對問題的感知、理解、探究、解答的方式、方法、進程也是不盡相同的，特別是在速度上往往相差很大．從而在這樣的教學當中，我們就往往可以看到這樣一種現象，即當部分（往往是少部分）對問題的感知、理解、探究、解答走在前面的學生說出他們的思考之際，另一部分（往往是大部分）學生便喪失了經歷對問題的感知、理解、探究、解答的機會，因為發言者已使他們的認識“一步到位”了．試想，這種“得來全不費功夫”的問題解決對他們來說到底具有多大的意義呢？即便許多學生能“聽懂”發言者的解答或他與教師之間的對話!更何況在許多課堂中．許多學生因此便只能當“看客”了．“事非經過不知難”．不經歷問題解決活動的實際探索過程，特別是不經歷其中“發生錯誤、產生障礙、克服困難、由失敗走向成功”的過程，誰能真正學會思維，學會解決問題？

筆者以為，從以上討論可見，此課例在此也存在著這一問題．又比如，從發表的課例實錄來看，在學生3的猜想受到質疑之際，教學活動主要是教師與學生3、4、5、6之間的對話．此時，教師給予了學生3“充分表達自己想法的機會和探索的時間”，即沒有給予其他學生足夠的獨立思考或相互討論的時空．那么，除學生6之外，還有幾人已發現拋物線的焦點弦的這一性質？同樣地，對于拋物線的焦點弦的性質的證明，教師也沒有給予學生獨立思考或相互討論的時空，那么除學生9之外，還有幾人已想到了設直線的方程并與拋物線方程聯立加以證明？既然舍得花“一分鐘”時間讓學生動手演算，那么是否可以再花“一分鐘”時間讓學生動腦思考再組織他們交流、討論呢？

總的來說，瑕不掩玉，從這節課例我們不難看到，數學研究性教學所展示的數學其內容是那樣的豐富多彩，其思維是那樣的鮮活生動，整個探究活動是那樣的充滿智慧和挑戰，教育意義是那樣的豐富完整．因此，以研究的方式從事數學教學就可以擺脫傳統的數學教學枯燥無味、有知識教授缺乏能力培養、忽視情感態度價值觀教育等弊端與不足，使數學教學煥發青春活力．