導語：獨家原創(chuàng):多元函數(shù)的極值及教學探究一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：討論了工科高等數(shù)學中多元函數(shù)極值的教學間題,將多元函數(shù)極值的一個判定方法移植到工科高等數(shù)學教學中去。

關鍵字：多元函數(shù)，極值，二次型，正定，負定

1.引言

由于自變量的個數(shù)大于3時,多元函數(shù)極值存在性的判定比較繁復,現(xiàn)行工科高等數(shù)學中關于多元函數(shù)極值存在性判定問題,局限于討論二元函數(shù),這是遠遠不夠的。因此,尋求能被學生接受的自變量個數(shù)大于3時多元函數(shù)極值的存在性的判別方法是十分有必要的。本文介紹了運用線性代數(shù)的相關知識判定多元函數(shù)極值的存在性的方法。這些知識都是成熟的結果,并非作者的創(chuàng)造發(fā)明,但將這些知識經(jīng)過整理移植到工科數(shù)學教學中去卻是一個十分有意義的工作。這種方法能為大學生們十分自然地接受,而且能擴大工科學生的知識容量,提高學生運用學得的知識解決實際問題的能力,激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

2預備知識

定義1含有個變量的二次齊次函數(shù)

(2-1)稱為二次型，取，則（2.1）可寫成

當為復數(shù)時,稱為復二次型；當為實數(shù)時,稱為實二次型。記

，

則二次型可表示成

,

其中A為對稱陣。二次型與對稱陣A之間存在著一一對應關系,A稱為二次型的矩陣,而稱為對稱陣A的二次型,對稱陣A的秩稱為二次型的秩。

定義2設有實二次型,如果對任何,都有,則稱為正定二次型,并稱對稱陣A是正定的,記作A>0;如果都有,則稱的負定二次型,并稱對稱陣A是負定的,記作A<0;如果都有,則稱為半正定的,稱對稱陣A是半正定的,記作;如果都有,則稱了為半負定的,稱對稱陣A是半負定的,記作；如果既不是半正定也不是半負定的,則稱為不定的,相應地,對稱陣A稱為不定的。

由定義,實二次型的正定性與它的矩陣的正定性是等價的。

關于對稱陣的正定性有如下判別法:

定理2.1對稱陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都為正;即

或A的各階主子式都為正。

對稱陣為負定的充分必要條件是奇數(shù)階主子式為負,偶數(shù)階主子式為正,即

定理2.2對稱陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正,對稱陣A為負定的充分必要條件是A的特征值全為負。

定義3設有n元函數(shù)，在區(qū)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù)，對，記

分別稱和

為在的梯度（grad）和在的海森矩陣（Hessianmatrix）

3多元函數(shù)極值的判別法

定理3.1（必要條件）：設多元函數(shù)在點具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則它在該點的梯度必然為零,即

證：反證法。不妨設為極大值，而，則有某一i，使。不妨設，則存在的某一鄰域，使得在這一鄰域內(nèi)當時，有，矛盾。

定理3.2（充分條件）：設多元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，且，則

（1）正定時，取得極小值；

（2）負定時，取得極大值；

（3）不定時，在處不取極值；

（4）半正定或者半負定時，在點處可能取極值也可能不取極值。

證：由連續(xù)性，存在點的某一鄰域，使當時，與同號，于是當時，記

注意到，由一階泰勒公式，

可知，（1）當正定時，，取得極小值；

（2）當負定時，，取得極大值；

（3）當不定時，不恒大于或不恒小于，因而不是極值；

（4）研究函數(shù)，顯然，為半正定陣，而卻不是的極值

由定理3.2可得如下推論

推論1設二元函數(shù)在某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),又，記，則

（1）當在點處取得極小值；

（2）當，在點處取得極大值；

（3）當時，在點不取極值；

（4）時，在點可能取極值也可能不取極值。

證由定理3.2及定理2.1既得。

推論2設多元函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，且，則

（1）的特征值全為正值時，取得極小值；

（2）的特征值全為負值時，取得極大值；

證由定理3.2及定理2.2既得。

例1求函數(shù)的極值

解：，

由，解得或。

當時，

因，，

正定，取得極小值；

當時，

，，

不定，在(0,1,1)點不取極值。

4結束語

上述提出的關于多元函數(shù)極值的判定方法的教學方案需同時開設高等數(shù)學和線性代數(shù),在多元函數(shù)極值的教學中采用上述教案則是水到渠成,得心應手的事。如果按照傳統(tǒng)的課程設置組織教學,采用上述教案也是可行的,沒有多大困難,只需引進n維向量、矩陣及相應概念。這些概念在多元函數(shù)極值后面的教學中也很有用,并能激發(fā)學生的學習興趣和積極性,激勵學生去自學一些諸如線性代數(shù),經(jīng)濟數(shù)學等課程,提高人才素質,并使后續(xù)的線性代數(shù)教學更得心應手。

參考文獻

[1]趙賢淑.多元函數(shù)極值的求法及其應用[J].高等數(shù)學研究,1996,(01).

[2]葉克芳.多元函數(shù)的極值、條件極值和最值的關系[J].工科數(shù)學,1995,(02).

[3]邱煒源.多元函數(shù)極值的又一種判別法[J].湖州師范學院學報,1994,(06).

[4]葉淼林.關于多元函數(shù)的極值[J].安慶師范學院學報(自然科學版),1995,(04).

[5]張聲年,程冬時.多元函數(shù)的極值問題[J].江西科技師范學院學報,2004,(06).

[6]龍莉,黃玉潔.多元函數(shù)的極值及其應用[J].鞍山師范學院學報,2003,(04).