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[摘要]問題是數學的心臟，問題解決是培養學生能力和素養的基本手段。發揮好初中數學問題解決的教學功能，就要著眼于提高數學問題解決策略的有效性。從創設初中數學問題的情景，注重數學問題分析的手段和現代信息技術手段的運用，引領學生問題解決中體驗數學思想方法，引導反思歸納數學問題解決的觸動切入點等方面，對初中數學問題解決策略進行了教學有效性探討。這對初中學生學會數學問題解決的方法，提高問題解決的思維能力，實現數學問題解決策略的有效教學提供了有益的幫助。

[關鍵詞]初中數學；問題解決；教學策略；教學有效性

學生的學習最終目的就是要適當的掌握部分知識，并以此為載體掌握分析問題，解決問題的方法，由此培養自己的思維能力，去解決更實際的問題。問題是數學的心臟，數學問題解決是學生提高能力，增長智慧和才干的基本手段。鑒于數學問題解決的重要性，問題解決已經成為了《義務教育數學課程標準》（2011年版）的重要內容和培養任務。數學問題解決教學一直以來都是教育工作者探討和研究的主題。眾多的教育專家從教育理論的角度進行了研究，一線工作者針對初中數學問題解決的教學模式進行了探討，有的給出了問題解決的相關原則，有的給出了數學問題解決的策略，還有的就微課這一新的教學形式專門對問題解決的教學有效性進行了實驗研究。教學有效性是教師遵循教學活動的客觀規律，用最少的時間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學效果。教學是否有效益，主要還是從學生成長角度，以學生為主體來衡量，看學生有無進步或發展，可以說這是教學有沒有效益的唯一指標[1]。因此，在初中數學問題解決策略教學中要重視有效性的研究與實踐，這樣才能讓學生的思維活躍起來，學生的數學智慧才能得到增長。

1在適宜情景中創設數學問題，激發學習動機

雖說問題貫穿數學教學的始終，但針對初中同學，如果問題來得突兀，不僅不利于激發學生的學習的好奇心和探究的動機，反而會讓學生不著邊際，失去興趣甚至不屑一顧，這就產生了適得其反的作用。所以不論是想讓學生掌握某個概念還是學會某種方法，都要創設適宜的情景——一個相關的數學問題融入其中的情景。該數學問題的解決要考慮學生思維的近鄰發展區，知識點和方法是其跳一跳能夠得著的，是和學生的身邊所見所聞的生活體驗像貼切的事物，唯有符合學生已有的認知水平，與學生實際的生活經驗息息相關，所創設問題情境才適合學生且能激發他們興趣，也才能激發學生的學習傾向，產生學習的動機[2,3]。如在開展“三角形中位線”教學時，可創設如下問題情境：一段高鐵要以隧道的方式穿越一座小山，鑒于施工核算，工程隊需要，準確測出從山的一側A到另一側B的距離，如圖1。你有什么辦法嗎？工程測量員另外選擇點C，E，F，使得點E，F分別位于AC，BC的中點處，他認為只要準確測量出EF的距離，就可以間接計算出A，B兩地之間的距離。你認為這位測量員的做法穩妥嗎？這里所呈現的數學問題情景源于生活，又與當前的熱點問題融合，為學生自主探索和發現創造營造了良好氛圍。

2在思維過程中展現分析手段，為數學問題的解決保駕護航

形式和內容是一個統一體，展現一個內容若能采用一個適宜的形式，對于內容的認識就可能變得容易甚而至于深刻起來。數學問題的解決同樣如此，對數學問題本身的質的認識，若能借助于合適的形式，對于把握問題的實質，找到問題的解決方法有著不可忽視的作用。比如對數的認識往往通過圖的直觀演示來揭示其內在的規律，抓住問題解決的突破口。當然圖的內容也是數學的重要研究對象。這也體現了數形結合的思想。一種知識方法的掌握后來就會成為學習另一種知識方法的手段。再如一個利用“二次函數求最大利潤”問題：某超市的一種運動裝原為每件60元，每個月可以銷售300件。如果價格每上漲1元，則銷售量減少10件，如果每下調1元，則每月可多賣20件。已知該運動裝的進價為40元，那如何定價才能保證每月利潤最大？該問題涉及的數據較多，解決過程中關鍵在于把握其中的量及其存在的關系。為了弄清問題蘊含的量和相應關系，我們就可以借助已經學過的數據處理與分析的方法，在弄清問題涉及的量有價格，其包括進價和不同的售價，然后就是與之對應的銷量和利潤之后，再采用表格的方式把它們列出來，如表1。因為行列分明，這對發現它們的關系無疑是有用的。學生在數據分析過程中提取出售價、單件利潤、銷售量、總利潤。雖然數據關系復雜，表格呈現后就理順了其中的關系，學生如果會用這種手段就不難發現解決問題的模型原來就是寫出二次函數，然后求解二次函數的最大值。此過程中，學生其實經歷了從復雜到簡單的思維過程，發現解決問題的辦法，列表進行數據分析手段起到了很好的輔助作用。我們根據數學問題的特點和需要，還可以運用先進的信息技術手段，如多媒體，幾何畫板，微課視頻等，如探索運用面積法證明勾股定理的問題解決教學，文[4]就運用多媒體便利直觀的圖形切割拼合演示，這對于引導學生發現面積法有著顯著的效果。文[5]就信息技術在初中數學問題解決教學中提出了六個方面的策略，但非常適宜的策略當屬數形結合的這一項，另外對于一些數學問題情景，利用信息技術手段予以展現，在解答問題的同時能給予學生視覺的享受。

3在數學問題解決中揭示數學思維方法，體驗和掌握數學問題解決的精髓

數學問題的解決總是伴有一定的方法的，數學問題解決的教學目的就在了學生在問題解決的過程中，能學會分析分析的方法，運用頭腦中構建的知識體系和方法，探索發現解決問題的思路和方法，甚至生發出新的解決辦法，即創新的方法，由此學生的心智得到了鍛煉，思維能力得以提升。所以在解決問題的過程中，教師就不能直接把方法告訴學生，否則就是犯了大忌，數學問題解決教學就沒有起到應用的效果，如果是這樣，即使學生做再多的這樣的題目，即所謂的題海戰術，如果題目變換了，學生也會一籌莫展，不知如何下手，因為應該有的思維鍛煉被扼殺在搖籃中了。但面對一個數學問題，學生往往并不是能一蹴而就的給出解答結果的，這時候教師就應該鼓勵引導其做反復的嘗試，堅持自己的信息，不斷地探索，失敗是成功之母，一種發放行不通或錯了，可以試一試另一種方法。要知道，學生在真正的數學問題解決過程中，總會經歷對問題的分析、判斷等過程，此過程中總有失誤的時候。為此，問題解決研究者提出了“可錯性學說”，這一學說告訴我們錯誤是件好事情，解決問題地過程往往是一個在錯誤中成長的過程[6]。因此，在問題解決教學中教師要樹立“容錯教育”的理念，把學生試錯當成問題解決的一個重要思路，對待學生錯誤的嘗試，要耐心的鼓勵和引導，并能在其成功后引導學生歸納正確的方法，在解決類似問題時避免錯誤的發生。如讓學生解答問題，進而給出有理數的乘方的符號規律。問題解決中，學生面臨著根據指數的奇偶判斷冪的符號的問題，解決問題時，學生不一定會迅速建構起相關認知，尊重學生的知識建構過程，讓學生對結果進行嘗試探究，如果還不足以認知，還可以計算，由特殊到一般發現符號規律。通過這樣的一個過程可以讓學生沿著自己原有的思路進行數學語言的組織，經過這樣的探究過程，學生在有理數乘方計算中對括號的認識與處理，就會深刻一些。而試錯的價值在于可以讓學生在試錯、糾錯的過程中內化對數學知識、規律的理解。再如“造橋選址問題”（如圖2），這是一個幾何問題，要用到軸對稱知識建立模型找出最短路，但又不是直接地運用，期間要經過一個對其中一個點地平移操作，哪個點都可以，所以題目具有極大地靈活開放性，適宜于學生進行探索。為此，就動員學生在草紙上畫圖，但因為有“橋必須與河垂直”的要求，學生就面臨嘗試多次，一錯再錯地結局。但這種試錯是有益的，因為學生在試錯的過程中，必須完成數學抽象的過程，即將實物圖轉換為幾何圖形（如圖3），在不斷地嘗試中明確了軸對稱在問題解決中所發揮的作用，最終獲得成功后學生就會發現此問題解決的過程中不僅需要軸對稱，還需要平移，AB兩村路程最短問題。學生通過嘗試，對錯分明，問題解決思路清晰，對方法的認識不但深刻，而且在探索的過程中，思維得到了訓練，學生在一次次批判和否定中找出新方法，最終落實到通過平移轉化的方法上來。數學問題解決教學中，教師還要把握學生的問題解決的最近思維發展區，搭建橋梁，做好鋪墊和引導，以便學生能進行聯想遷移或變換轉化。這些都是思考解決數學問題的重要方法，在引導學生運用后，一次兩次學生是無意識的，但這種熏陶，在潛移默化幾次后也根據時機予以揭示，讓其成為學生今后解決此類問題的自覺地行為，升華為一種思維能力。

4在數學問題解決后的反思歸納中，延伸解決數學問題的思維品質和能力

數學家喬治•波利亞就數學解題曾經說過：“數學教學的目的在于培養學生的思維能力，培養良好思維品質的途徑是進行有效的訓練。”數學問題解決不僅是需要聯結各知識，而且體現了數學思想和解題方法進行反復指導與推進的過程。過程進行的始終都要求學生進行不斷地反思。反思解題，除了確定答案地對錯，更重要地是能依據題目地的特點多角度，多層次，多方位地聯想，糾正解答過程的錯誤，找出錯誤的根源；對于正確的解答，歸納用到的可行方法，進而反思該方法能否可以推廣；或是反思該問題是否還有別的解答方法，從比較判斷中獲得最佳解題方法。如上述圖2的河上搭橋問題，在學生梳理所用的方法后，可以進一步啟發學生，題目的條件可以怎么改？看看河道能不能改為不平行的，改了怎樣處理？可否中間有兩條河道？讓學生對自己提出挑戰。通過引申和變式，使學生運用不同的知識和方法，多角度處理問題，準確解數學問題的解題規律和本質。學生的認識也提高了一個層次，在困難的挑戰中，思維品質也得到了不斷地優化。數學反思是糾錯的重要手段，反思是數學思維活動的核心和動力，錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素。反思不僅能改善學生的思維能力和習慣，還能提高學生的解題能力。

【參考文獻】

[1]楊啟亮.課堂教學有效性的幾個基礎問題[J].教育發展研究,2012(8):26-30,52.

[2]崔保常.如何構建初中數學“問題解決”課堂教學模式[J].數學學習與研究,2016（4）:25.

[3]楊基華.初中數學問題解決的教學策略解析[J].數學學習與研究,2016（19）:53。

[4]顏科.初中數學問題解決教學的意蘊[J].數學教學通訊，2018,2(中旬):12-13.

[5]沈春梅.芻議初中數學“問題解決”[J].數學教學通訊，2018,9(中旬):28-29.

[6]王光生，何克抗.基于信息技術的數學問題解決教學策略[J].開放教育研究,2009(2):37-43.

作者:倉懷寶 單位:山東省臨沭縣第二初級中學數學教研室