導語：如何才能寫好一篇高等函數的概念，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

三角函數與解三角形

第九講

三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換

2019年

1.（2019北京文8）如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點，P為圓周上的動點，

是銳角，大小為β.圖中陰影區域的面積的最大值為

（A）4β+4cosβ

（B）4β+4sinβ

（C）2β+2cosβ

（D）2β+2sinβ

2.（全國Ⅱ文11）已知a∈（0，），2sin2α=cos2α+1，則sinα=

A．

B．

C．

D．

3.（2019江蘇13）已知，則的值是

.

2010-2018年

一、選擇題

1．(2018全國卷Ⅰ)已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊上有兩點，，且，則

A．

B．

C．

D．

2．(2018全國卷Ⅲ)若，則

A．

B．

C．

D．

3．(2018北京)在平面坐標系中，，，，是圓上的四段弧（如圖），點在其中一段上，角以為始邊，為終邊，若，則所在的圓弧是

A．

B．

C．

D．

4．（2017新課標Ⅲ）已知，則=

A．

B．

C．

D．

5．（2017山東）已知，則

A．

B．

C．

D．

6．（2016年全國III卷）若，則=

A．

B．

C．

D．

7．（2015重慶）若，，則

A．

B．

C．

D．

8．（2015福建）若，且為第四象限角，則的值等于

A．

B．

C．

D．

9．（2014新課標1）若，則

A．

B．

C．

D．

10．（2014新課標1）設，，且，則

A．

B．

C．

D．

11．（2014江西）在中，內角A，B，C所對應的邊分別為若，則的值為

A．

B．

C．

D．

12．(2013新課標2)已知，則

A．

B．

C．

D．

13．（2013浙江）已知，則

A．

B．

C．

D．

14．（2012山東）若，，則

A．

B．

C．

D．

15．(2012江西)若，則tan2α=

A．?

B．

C．?

D．

16．（2011新課標）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊在直線上，則=

A．

B．

C．

D．

17．（2011浙江）若，，，，則

A．

B．

C．

D．

18．（2010新課標）若，是第三象限的角，則

A．

B．

C．2

D．2

二、填空題

19．（2017新課標Ⅰ）已知，，則

=__________．

20．（2017北京）在平面直角坐標系中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱．若sin=，則sin=_________．

21．（2017江蘇）若，則=

．

22．（2016年全國Ⅰ卷）已知是第四象限角，且，則

.

23．（2015四川）已知，則的值是________．

24．（2015江蘇）已知，，則的值為_______．

25．（2014新課標2）函數的最大值為_______．

26．（2013新課標2）設為第二象限角，若

，則=_____.

27．（2013四川）設，，則的值是____________．

28．（2012江蘇）設為銳角，若，則的值為

．

三、解答題

29．（2018浙江）已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點．

(1)求的值；

(2)若角滿足，求的值．

30．（2018江蘇）已知為銳角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

31．（2015廣東）已知．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值．

32．(2014江蘇)已知，．

(1)求的值；

(2)求的值．

33．（2014江西）已知函數為奇函數，且，其中．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

34．（2013廣東）已知函數．

(1)

求的值；

(2)

若，求．

35．（2013北京）已知函數

（1）求的最小正周期及最大值．

（2）若，且，求的值．

36．（2012廣東）已知函數，（其中，）的最小正周期為10．

(1)求的值；

(2)設，，，求的值．

專題四

三角函數與解三角形

第九講

三角函數的概念、誘導公式與三角恒等變換

答案部分

2019年

1.解析

由題意和題圖可知，當為優弧的中點時，陰影部分的面積取最大值，如圖所示，設圓心為，，.

此時陰影部分面積.故選B.

2.解析

由，得.

因為，所以.

由，得.故選B.

3.解析

由，得，

所以，解得或．

當時，，，

.

當時，，，

所以.

綜上，的值是．

2010-2018年

1．B【解析】由題意知，因為，所以，

，得，由題意知，所以．故選B．

2．B【解析】．故選B．

3．C【解析】設點的坐標為，利用三角函數可得，所以，．所以所在的圓弧是，故選C．

4．A【解析】由，兩邊平方得，所以，選A．

5．D【解析】由得，故選D．

6．D【解析】由，得，或，

，所以，故選D．

7．A【解析】．

8．D【解析】由，且為第四象限角，則，

則，故選D．

9．C【解析】知的終邊在第一象限或第三象限，此時與同號，

故，選C．

10．B【解析】由條件得，即，

得，又因為，，

所以，所以．

11．D【解析】=，，上式=．

12．A【解析】因為，

所以，選A.

13．C【解析】由，可得，進一步整理可得，解得或，

于是．

14．D【解析】由可得，

，，答案應選D。

另解：由及可得

，

而當時，結合選項即可得.答案應選D．

15．B【解析】分子分母同除得：，

16．B【解析】由角的終邊在直線上可得，，

．

17．C【解析】

，而，，

因此，，

則．

18．A【解析】，且是第三象限，，

．

19．【解析】由得

又，所以

因為，所以

因為．

20．【解析】與關于軸對稱，則

，

所以．

21．【解析】．

22．【解析】因為，所以

，因為為第四象限角，所以，

所以，

所以，

所以．

23．【解析】由已知可得，

＝．

24．3【解析】．

25．1【解析】

．，所以的最大值為1．

26．【解析】,可得，

，=．

27．【解析】，則，又，

則，．

28．【解析】因為為銳角，cos(=,sin(=，

sin2(

cos2(，所以sin(．

29．【解析】(1)由角的終邊過點得，

所以．

(2)由角的終邊過點得，

由得．

由得，

所以或．

30．【解析】(1)因為，，所以．

因為，所以，

因此，．

(2)因為為銳角，所以．

又因為，所以，

因此．

因為，所以，

因此，．

31．【解析】（Ⅰ）．

（Ⅱ）

．

32．【解析】（1），

；

（2）

．

33．【解析】（1）因為是奇函數，而為偶函數，所以為奇函數，又得

所以，由，得，即

（2）由（1）得：因為，得又，所以因此

34．【解析】（1）

（2）

所以，

因此

35．【解析】：（1）

所以，最小正周期

當（），即（）時，

（2）因為，所以

因為，所以

所以，即

36．【解析】（1）．

（2）

篇2

Qin Yufang；Zheng Xiaoqi

（①上海海洋大學信息學院，上海 201306；②上海師范大學數理學院，上海 200234）

（①College of Information Technology，Shanghai Ocean University，Shanghai 201306，China；

②Department of Mathematics，Shanghai Normal University，Shanghai 200234，China）

摘要：復變函數主要研究復數域上的函數，是高等數學課程的延伸。本文闡述了復變函數和高等數學在理論體系上的異同，并強調其差異性。在復變函數的授課中，采用對比教學法，以加深學生對知識的理解，提高分析和解決問題的能力。

Abstract: Complex Analysis, which mainly studies the functions in the complex fields, is the extension of Advanced Mathematics. In the paper, we discuss the similarities and differences between Complex Analysis and Advanced Mathematics in theory, with an emphasis on the differences. In the courses of teaching, we exploit the comparative teaching, which intends to deepen the understanding the knowledge and improve the abilities to analyze and solve the problems.

關鍵詞：初等函數 解析函數 級數

Key words: elementary function；analytic function；series

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A文章編號：1006-4311（2011）20-0234-02

0引言

復變函數是高等院校數學系和許多工科院系的一門專業基礎課，它不僅在數學的其它分支，如常微分方程、積分方程、概率論有著重要的應用，而且廣泛應用于其它科學領域，如理論物理、空氣動力學、流體力學、彈性力學、自動控制學等。因此，如何學好復變函數這門課程是非常重要的。

復變函數主要利用微分、積分、級數展開等工具研究復數域上函數的性質。從這個意義上講，復變函數本質上是將實數域上的分析學推廣到復數域上，因此，學習復變函數課程既可以加深對各種分析學工具的理解，又可以培養學生利用這些工具研究和分析新問題的能力。

復變函數中“實數到復數”的推廣并非平凡的推廣，實數域上的函數、積分、微分等概念很容易被感知。然而，由于引入了虛數單位i，復數域上的相應概念很難形象地理解，例如函數圖像都很難在我們感知的空間中直觀地描述出來。并且，由于定義域擴充到復數域上，從而發展出柯西積分定理、最大模原理等優美的結論。因此，“指出聯系、強調區別，采用對比的方式教授相關內容”是復變函數教學的一個重要方法之一。本文將結合作者在分析領域多年的教學經驗，將復變函數與高等數學進行縱橫對比，分清異同，理解本質，希望給學習這門課的學生及任課老師一些借鑒。

1初等函數的定義和性質

在復變函數中，首先根據歐拉公式形式地給出了復數域上指數函數的概念，然后利用指數函數定義了冪函數，三角函數，反三角函數，雙曲函數和反雙曲函數等初等函數。無論從定義的方式和概念的形式，都與高等數學中實數域上的初等函數存在很大的不同，但是，當復數域上初等函數的定義域限制到實數域時，就是實數域上對應的初等函數。在性質方面，兩者呈現出許多相異的地方[1]。例如：①復數域上的對數函數、冪函數、反三角函數和反雙曲函數均為多值函數，這一點增加了復變函數研究的復雜性和難度；②復數域上的指數函數是以2πi為基本周期的函數；③復數域上的正弦函數和余弦函數在定義域上是無界的。

除了強調復變函數中某些概念及其性質呈現出的差異這些知識點外，在教學中還應使學生明確概念推廣所遵循的一些基本原則。一方面，概念的推廣必須滿足相容性，例如當復數域上函數限制到實數域時，必須與實函數的一切性質相吻合。另一方面，概念推廣要盡可能保持原對象的性質，尤其是運算性質。以三角函數為例，它在復數域上是無界的，但限制在實數域上就是高等數學中研究的三

角函數，而且，三角恒等式如和差化積、積化和差、二倍角、半角公式也都是成立的。課堂上，引導學生對比復數域和實數域上的概念，分析從實”到“復”變化中的異同，使得學生在學習的過程中不斷地思考，從而加深對概念本質的理解，并激發探求新知識的積極性。

2分析學工具的比較

復變函數中的基本概念如極限、連續、導數、積分以及級數，與高等數學中的定義方式完全一致。例如，極限均是采用“ε-δ”語言來定義的，積分是采用分割、近似代替、求和、取極限來定義的。由于定義方式完全相同，它們的運算性質是一致的。此外，由于一個復函數可以等價地由實部和虛部兩個二元實函數來刻畫，因此復函數的極限存在性、連續性等與其實部、虛部兩個二元實函數的極限存在性、連續性等價。然而可微性是個例外，復函數的可微性不僅要求實部、虛部兩個二元實函數是可微的，還要求它們的偏導數滿足一個條件――柯西黎曼方程（C.-R.方程）。由于滿足了較為苛刻的條件，可微的復變函數具有更好的性質，人們單獨對這類函數進行研究，即復變函數中的一個重要研究對象―解析函數。

泰勒展開是研究函數性質的一個重要工具。高等數學中對一個實函數進行泰勒展開的條件是[2]，f（x）在區域x-x■

在教學中，引導學生比較高等數學和復變函數中極限、連續、可導等概念的異同點，這樣既能夯實高等數學的基礎，又能在學習復變函數時達到事半功倍的效果，從而實現縱向層次上的對比教學。

3可導與解析的關系

解析是比可導更強的一個概念，復函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的鄰域內可導。因此，復函數在某點解析，一定可導，但反之不一定成立。在定義域的每點都解析的函數稱為解析函數。解析函數具有一個非常好的性質，即無窮階可導性，因此解析函數可以利用泰勒展開定理和洛朗展開定理來研究自身的性質。利用泰勒展開式，人們研究解析函數的零點的分類，并推導出解析函數零點必孤立和唯一性定理、最大模原理等結論；利用函數的洛朗展開式，人們研究解析函數孤立奇點的分類，并為著名的留數定理奠定了理論基礎；另外，這兩類級數是微分方程中冪級數解法的理論基礎。

在教學中，引導學生分析復變函數中概念之間的相似之處與差異，例如解析和可導、泰勒級數和洛朗級數等，使得學生在掌握新概念的同時領悟概念間的內在聯系，從而實現橫向層次上的對比教學。

4導數、積分與級數的關系

在復變函數中，泰勒展開定理的內容如下[3]：若f（z）在圓域D：z-z■

同樣，洛朗展開定理將洛朗級數、導數和積分聯系在一起。特別的，洛朗級數中（z-z■）■項的系數具有重要的地位，這個系數被定義為孤立奇點的留數。留數是復變函數中的一個重要概念，留數方法已成為計算復變函數中積分的一個重要工具，并且留數方法還可以計算被積函數的原函數不能用初等函數表示的實積分，此外，在流體力學、彈性力學的應用中發揮了重要作用。

5柯西積分定理和格林公式的關系

柯西積分定理是復變函數理論中最重要的定理之一，在研究解析理論中起著關鍵性的作用。根據柯西積分定理[4]，設f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在區域D內解析，C為區域內任意一條有向簡單閉曲線，則∮■f（z）dz=0，在講解這個定理時，引導學生進行如下思考：高等數學里是否有對應的定理？

下面我們看一下高等數學中的格林公式。設函數P（x，y），Q（x，y）在區域D內具有一階連續偏導數，C為區域內任意一條有向分段光滑閉曲線，則∮■ Pdx+Qdy=■■-■dxdy，其中D0為C所圍成的區域[2]。 從形式上看，似乎沒有聯系。實際上，根據f（z）的解析性質，它一定滿足柯西-黎曼條件，即■=■，■=-■，所以

∮Cf（z）dz=∮■udx-vdy+i∮■vdx+udy

=■-■-■dxdy+i■■-■dxdy=0，

其中D0為C所圍成的區域。從而柯西積分定理可以看成是格林公式在復變函數中的推廣。

在教學過程中，除了講解課本上的已知結論，還鼓勵學生多思考，開拓創新思維，這樣學生不僅理解知識的本質，還可以享受到創新的快樂，激發學習的熱情和積極性。

總之，與高等數學相比，復變函數研究的內容和分析問題的方法有很多內在的聯系與區別。因此在教學中采用對比教學法，比較和探究復變函數和高等數學的異同，加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

參考文獻：

[1]焦紅偉,尹景本.復變函數與積分變換[M].北京:北京大學出版社,2007.

[2]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

篇3

【關鍵詞】工程數學；復變函數；積分變換；教學方法

工程數學是高等數學的后續課程，是一門重要的工科專業必修課。它不僅在數學的其他分支，如常微分方程、積分方程，有著重要的應用，還在其他科學領域有著廣泛的應用，如理論物理、流體力學等。

我校是醫學院校，針對我校生物醫學工程專業，我們在學生大二第一學期開設了工程數學這門課程，是一門必不可少的專業基礎類必修課程。它為電工與電路分析、模擬電子技術、信號與系統等后續專業專業課學習提供了必要的數學工具，在整個課程體系中占有舉足輕重的地位和作用。因此，如何學好工程數學這門課程是非常重要的。我校工程數學計劃54學時，包括復變函數和積分變換，學時少，內容多。在教學過程中，學生也時常反應概念難懂、方法不易掌握、習題難做，容易與高等數學的知識點混淆。對此，本文結合實際授課經驗和我校工程數學這門課程教學改革，淺談教學過程中遇到的一些問題和對一些知識點的處理建議。

工程數學和高等數學既有區別又有聯系。它們的研究對象都是函數，研究主線都是通過變量研究函數，從而定義極限，利用極限去研究函數的連續、導數、積分。兩者的差異在于工程數學研究的函數是復變函數，高等數學研究的函數是實變函數。從實變函數到復變函數，函數的定義域與值域從實數域擴大到復數域。因此，復變函數是實變函數理論的延續和拓展，兩者的區別和聯系貫穿教學的始終，在教學過程中，通過類比的方式，利用高等數學的知識，理解復變函數與實變函數的區別。例如，對許多基本概念及定義進行理解時，使用類比法多做對比，找出相似點與不同點，加深對這些概念的理解。

1 復數的定義

一般稱（其中，x，y是實數）是一個復數。但這個概念的本質是什么呢？類似實數可用直線上的點來表示，一個復數由一對有序實數（x，y）唯一確定，當建立直角坐標系后，平面xoy上的任意一點P（x，y）可以按照一定規則與一對有序實數（x，y）建立一一對應的關系，也可以和起點為原點，終點為P的向量建立一一對應的關系。因此，從幾何角度理解，復數可以用點P或者向量來表示，也可以說復數是向量的另外一種表示方式。因此，復數的本質應該是向量，而不是“數”。“數”的本質特性是可以比較大小的，因此，可以從這個角度不難理解，復數為什么不能比較大小了。

2 復變函數的定義

復變函數是一元實變函數的直接推廣，它的定義與一元實函數的定義形式完全相同，但是復變函數的自變量和因變量都取自復數，其與兩個二元實變函數相對應，因此，復變函數在幾何上就可以看成是z平面上的一個點集G到平面上一個點集的映射。因而，無法用直觀的圖形來表示函數關系，若要直角坐標系畫出，需要四維空間，而一元實變函數在幾何上表示的是一條平面曲線。這是復變函數與實變函數定義上的一個不同。在向學生講解復變函數的幾何特性時，可以從簡單的例子出發，例如，函數可以先介紹點與點的對應，然后是點集與點集的對應，如Z平面上的曲線在該函數作用下的圖像。復變函數與實變函數另外一個不同在于復變函數可以是多值函數，例如，開方函數可以將Z平面上的一點映射為平面上的兩個點。

3 復變函數的極限與連續

復變函數與一元實變函數的極限、連續在定義形式上相似，許多基本性質與運算法則也相同，但本質上與二元實變函數一致。定理證明[1-2]，一個復變函數的極限存在充要條件是它的實部函數與虛部函數的極限都存在；一個復變函數在某一點連續充要條件是它的實部函數與虛部函數在點是連續的。因此，研究復變函數的極限和連續等問題可以轉化為兩個二元實變函數的極限與連續問題。其次，復變函數中自變量的變化趨勢與實變函數的自變量的變化趨勢也有所不同，復變函數中自變量的變化趨勢指的是以任何方式任何路徑區域，不僅僅是左右兩個方向趨于，而實變函數的自變量的變化趨勢是指從左右兩個方向趨于。因此，復變函數的極限要求更高、更嚴格。而連續是基于極限這個基礎的，所以復變函數連續也要比實變函數連續要求更高。

4 解析函數

解析函數是復變函數的一個重要研究對象。函數解析是比可導（可微）更強的一個概念，復變函數在一點處解析，不僅要求在該點可導，還要求在該點的領域內可導。因此，復變函數在一點解析，一定是可導的，反之，不一定成立。在區域D內每點都解析的函數稱為區域D上的解析函數。判斷復變函數在某一點可導的充要條件是它的實部函數和虛部函數在這一點可導，且滿足柯西-黎曼方程。要判斷函數在這一點的解析性，一般只能通過定義。其次，要判斷一個復變函數在區域D內的充要條件是它的實部函數和虛部函數在區域D內可導且在區域D內滿足柯西-黎曼方程。這里主要利用了開區域的定義，因為開區域每個點都是其內點，故若函數在開區域D內處處可導，則在D內處處滿足上述兩個條件。因此，對于D內任意一點，必存在該點的一個鄰域，使得函數在該鄰域內處處可導。故由函數解析的定義可得，函數在區域D內的每一點處解析。

5 復變函數的積分

從形式上看，復變函數的積分是實變函數定積分的一種自然推廣。但其本質上是復平面上的，它可以與二元實函數的線積分聯系在一起。相對應就有了柯西-古薩基本定理，在此基礎上，得到了一系列推廣定理如：復合閉路定理、閉路變形原理等。柯西積分公式的證明基于柯西-古薩定理。其重要性在于解析函數在區域內部的值可以通過其在邊界上的值通過積分得到。

綜上所述，工程數學中蘊含了豐富的數學方法，特別是類比的數學方法。工程數學中很多問題可以通過一定的技巧轉化為高等數學的問題，很多的結論可以通過與高等數學的知識類比得到。但是，它們在概念上也有一定的差異，因此，在教學過程中，要注重與高等數學知識銜接，比較和探究它們的異同，概括它們的原理，使得學生在掌握新概念的同時，領悟概念間的內在聯系，從而加深學生對知識的理解，提高分析問題和解決問題的能力。

【參考文獻】

[1]王錦森.復變函數[M].1版.北京：高等教育出版社，2008.

[2]鐘玉泉.復變函數輪[M].3版.北京：高等教育出版社，2004.

[3]熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復變函數中的遷移教學[J].大學數學，2010，26（2）：203-206.

篇4

關鍵詞 高等數學 數學結構 數學理解

對數學來說，結構無處不在，結構是由許多節點和聯線繪成的穩定系統。數學中最基本的就是概念結構，它們之間的聯系組成了知識網絡的結構，剖析高等數學的知識結構，有助于加深對高等數學的理解。由于理解是學習數學的關鍵，學生可以通過對數學知識、技能、概念與原理的理解和掌握來發展他們的數學能力。從認知結構，特別是結構的建構觀點來看，學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能夠組織起適當的、有效的認知結構，并使其成為個人內部知識網絡的一部分，那么這才是理解。而其中所需要做的具體工作，就是需要尋找并建立恰當的新、舊知識之間的聯系，使概念的心理表象建構得比較準確，與其它概念表象的聯系比較合理，比較豐富和緊密。在學習一個新概念之前，頭腦里一定要具備與之相關的儲備知識，它們是支撐新概念形成的依托，并且這些有關概念的結構，是能夠被調動起來的，使之與新概念建立聯系，否則就不會產生理解。所以要使新舊知識能夠互相發生作用，建立聯系，有必要建立一個相應的數學結構，以加強對基礎知識的理解。在微積分的學習中，通過對其結構的剖析，使學習者頭腦中的數學結構處于不斷形成和發展之中，并將其發展的結構與已形成的結構統一起來，以達到對數學知識的真正理解。

一、高等數學內容的結構特點

高等數學以極限思想為靈魂，以微積分為核心，包括級數在內，它們都是從量的方面研究事物運動變化的數學方法，本質上是幾種不同性質的極限問題。連續性質是自變量增量趨于零時，函數對應增量的極限；導數是自變量增量趨于零時，函數的增量（偏增量）與自變量增量之比（差商）的極限；一元或多元積分都是和式的極限，而無窮級數則是密切聯系序列極限的另一種極限。微分是從微觀上揭示函數的有關局部性質，積分則從宏觀上揭示函數的有關整體性質，它們之間通過微積分基本定理聯系起來；廣義積分把無窮級數與積分的內部溝通起來；而微分方程又從方程的角度把函數、微分、積分有機地聯系起來，展示了它們之間的內在的依賴轉化關系。

二、如何利用結構加強理解

（1）注重整體結構理解當代著名的認知心理學家皮亞杰認為“知識是主體與環境或思維與客體相互交換而導致的知覺建構，雖然現今的教材基本上按一定框架編寫，但其中相關的知識點要在學生的頭腦中形成一個網絡，并達到真正理解，還需要一個很長的過程，在這個過程中需要師生的共同努力。在教學中教師應將數學邏輯結構與心理結構統一起來，把學生看成是學習活動的主體，引導學生根據自己頭腦中已有的知識結構和經驗主動建構新的知識結構。理解知識的前提是理解它如何在頭腦中表征的，這個過程主要表現為學生對概念的理解和掌握，在此基礎上再加以運用，達到更深意義上的掌握。由于高等數學具有清晰的數學結構，因而其相關知識學習中也充滿了知識的同化過程。在高等數學知識結構中，微積分建立在極限的基礎之上。因此在高等數學中，新知識獲得要依賴于認知結構中原有的適當觀念，同時新舊知識還必須要有相互作用，即新舊意義的同化，才能形成高度分化的認知結構。如微分是差商的極限，積分為微分的逆運算，而定積分則為和的極限，只有將這些新舊概念在頭腦中不斷同化作用，才能形成新的高級知識結構網絡，才能加強對相應數學知識的真正理解。這個過程實際上是一個內部認知過程，它要求學習者要有積極主動的精神，即有意義學習傾向；同時還要在學習者的認知結構中找到適當的同化點。學生的認知結構是從所接受的知識結構轉化而來的，因此教學是一個動態的過程。

（2）注重結構中的概念理解數學結構是有許多個結構所組成的，而個別的概念一定要融人其它概念，合成的概念結構才有用。數學中的概念往往不是孤立的，它們之間存在著一定的聯系，理清概念之間的聯系，既有助于數學結構的建立，有助于新的概念地自然引入，從而有助于對數學知識的理解與掌握。在微積分這部分內容中，多元函數的極限、連續、偏導數、全微分、方向導數這組概念之間的聯系，與一元函數中的極限、連續、偏導數、微分概念之間的聯系，這兩者之間既有相同之處，又有不同之處，而且每個相對的概念之間又存在一定的聯系與區別，多元函數中許多微分概念是在一元函數基礎上的推廣與發展，它們是密不可分。積分學中的定積分、重積分、二類曲線積分、二類曲面積分之間也存在著類似的關系。通過聯想，可以從二維空間進入到三維空間，直至到更多維的空間，從有形進入無形，從現實世界進入虛擬世界，這樣步步滲入，步步構建，不斷引入新概念，不斷更新組建數學結構，使學生頭腦中的數學結構不斷更新，不斷完善，從而達到對知識的真正理解與掌握。

（3）在教學中利用數學結構加強學生的數學理解教師對數學結構的理解對學生建立起自身的數學結構起著不可缺少的作用才能理解數學。首先，在數學中利用高等數學結構的縱向與橫向聯系，有意識地幫助學生建立自己的知識結構，如在利用求曲邊梯形的面積來引入定積分的概念時，其基本思維方法是：分割、近似代替，求和、取極限，最后得出定積分的概念。而這一方法同樣可解決求曲頂柱體的體積、空間物體的質量、曲線段的質量等問題，區別僅在于取極限時趨向于零的元素不同而已。在具體每一章的講解中，要著重介紹此章知識的數學結構中的內在聯系及其本章的關鍵與核心的處理方法，使學生能夠抓住本質，真正做到變被動學習為主動學習，主動建構自己本章的數學結構，并能用框圖展現出知識間的內在聯系，只有這樣才能提高學生學習高等數學的興趣和積極性，增加對高等數學知識的理解，提高高等數學學習的質量。幫助學生建立自己的數學結構，也有利于培養學生的思維能力、歸納能力、分析問題、解決問題的能力，還能促進其自學，調動和增強學生學習高等數學的信心和自覺程度。

參考文獻：

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關鍵詞：財經；高等數學；習題課；分層次教學

中圖分類號：G640 文獻標志碼：A文章編號：1673－291X（2011）02－0216－03

自1969年諾貝爾經濟學獎設立以來，絕大多數獲獎成果都是建立在比較復雜的數學基礎上的，因此《高等數學》是財經類學生的一門非常重要的基礎課程。但是因為高等數學比較抽象，所以對于某些學生特別是文科學生來講，還是有一定的難度的。因而，在高等數學的教學課程中，除了要在課堂上將這些比較抽象的數學概念講清楚以外，適當設置一些習題課也是比較好的方法。因為習題課可以使得學生對于所學過的知識進行消化和理解，同時也為下一階段的學習打好基礎。習題課可以說是高等數學教學中非常重要的一個環節，既可以幫助學生加深對于經濟數學概念的理解，也能夠提高學生應用經濟數學的能力。

一、高等數學習題課教學目的

設立高等數學習題課教學不僅是學生學習掌握知識的需要，還是高等數學課自身使命使然。對于幫助學生理解與深化概念、提高解題能力、加強經濟數學修養以及培養學習興趣都有很大的幫助。通過反復學習與訓練，能夠增強學生學習高等數學的信心。

1.對所學高等數學概念和理論的再思考

高等數學是一門很嚴密的學科，對于概念的定義都很精確、抽象，因為時間的關系，課堂上教師不能面面俱到，習題課就是對加深高等數學概念經濟理解的一種非常有效補充。教師可以通過在習題課上對習題講解，結合其中涉及到的概念，加以有針對性地講解，做到習題和理論有效結合，將理論與習題交織在一起，形成一個網絡，這將有利于學生構架整個的知識框架，有了這個大框架，學生更加深刻地理解概念和習題，學習經濟數學的熱情就會提高很多，學習效果將得到較大改善。比如，講到函數的概念時候，要反復提醒函數概念的經濟和金融應用。

2.提高學生的解題技巧

在高等數學的教學過程中，經常會遇見學生抱怨，如將書上以及老師講的內容全部弄懂了，但仍不會做書后面的習題。究其原因，主要是因為學生看懂和聽懂的內容不是他自己真正掌握的，比如看懂的是書作者所呈現的作品，聽懂的是老師所傳授知識。那么如何才能將知識轉換為學生自己的呢？筆者通過多年的教學實踐發現，最為有效的途徑就是通過學生自己去嘗試，而習題課恰恰就是這樣一個很好的平臺。在習題課上，教師可以多講一些解題技巧，然后讓學生自己去實戰，真正讓自己所聽所看的知識轉換為真正屬于自己的東西。同時老師不僅要講習題，關鍵在于教會學生怎么去做題，怎么樣舉一反三，觸類旁通，利用聯想、類比、歸納等各種手段。比如，講到數值計算的方法求定積分近似值的時候，常常會講授兩種方法，其中一種是比較簡單的梯形法，另外一種是稍微復雜的拋物線型法，很多同學會將兩者混起來，這時候就要善于歸納總結。有的同學就歸納出了口訣，比如梯形法是，一頭一尾是一倍，中間統統是兩倍，然后再除以2；而拋物線法則是一頭一尾還是一倍，奇數下標為4倍，偶數下標為2倍，下標是從0開始標，注意是除以3。如果記住了這類歸納出來的口訣，那么以后這兩種方法就不會混淆起來了。從而建立從題設到未知路徑的通道和橋梁紐帶，學會分析問題，真正做到教會學生做習題并使他們樂在其中，這也是習題課的最大目的。

3.深化相關高等數學概念的經濟含義

高等數學基礎是經濟類學科的一門基礎課程，是以后學習概率論、統計學和計量經濟學等學科的基礎，而且很多概念和理論與現實的經濟問題相關。在高等數學教學過程中，學生會經常問到數學到底有什么用處，學習目的不太明確。那么教師可以充分利用習題課這一平臺，多舉一些應用方面的例子，打消學生的數學無用論思想，增強學生學習的主動性和積極性。比如，當講到函數的定義時候，強調函數的概念中要排除一對多的情形，就可以將股票的價格看為時間的函數來進行解釋：第一，在交易時期，任何時間都有股價，也就是任何定義域中的變量都有象；第二，任何時間只可能有一個股價，但是可以允許多個時間對應同一個股價，就是說，允許多對一，而不允許一對多。再者高等數學中常用的幾類函數，例如符號函數，其實可以對應于一個賭博模型，也就是有輸有贏，那么是不是可以設計只贏不賠的模型呢？答案就是絕對值函數，對應于金融工程中的跨式期權，只是要減去期權費而已。再比如，學期伊始，可以先向學生明確本課程的兩大目的：求導數和求積分。然后說明導數和積分的實際背景：導數就是變化率，求積分就是相當于求平均值。可以就人的身高問學生兩個問題：其一，人的身高一生何時變化最快，何時變化最慢；其二，人的身高一生的平均值如何計算。從而讓同學明確高等數學的討論較多涉及有實際意義的問題，而不完全是討論抽象的問題。還有如定積分就是曲邊梯形的面積，現實生活中在測量湖泊的流量就會用到相關知識。通過詳細地講這些例子，學生就能夠加深對高等數學的經濟含義的理解，從而激發他們對高等數學的興趣，變被動為主動。其他的例子如彈性的經濟含義等。

4.培養學生分析經濟現象的能力

高等數學基礎課有很強的經濟應用性，很多概念都是從經濟學直接引用過來的，比如需求和供給函數、市場均衡、成本函數、收入函數和利潤函數。還涉及到彈性，如何求經濟函數的最值問題，都可以找出其經濟含義的背景，比如講到定積分在高等數學中的應用的時候，就可以提醒學生，我們學了導數，那么導數是怎么應用到經濟數學中的呢？應該是利用導數求出函數的最值問題，求出最小的平均成本以及最大利潤。當然這還需要和連續函數在閉區間上的駐點唯一性定理結合起來用，只有在連續函數在閉區間上的唯一駐點才能夠使局部效果的極值成為函數的整體最值。學了不定積分，那么在經濟中有什么用處呢？可以利用不定積分求出經濟函數。有兩個步驟：第一步是求不定積分，第二步則是利用初始條件求出自由未知數。這樣就可以將經濟函數求出來，當然可以和導數在經濟函數的應用結合起來一起用。那么定積分怎么樣在經濟中應用呢？通過定積分可以求出經濟函數的改變量，利用的是牛頓－萊布尼茲公式即可以解決這個問題，這樣將全部相關的串起來，那么學生就能夠掌握知識結構，同時也確實能夠體會經濟中會用到數學，學生則會端正學習數學的態度。教師可以將許多經濟中的問題用來作為例子，從而引導學生培養對經濟現象的分析和把握能力。

二、習題課教學的模式

高等數學課程和其他的課程相比，比較抽象，較難掌握。以前的高等數學的教學模式主要是以課堂講授的形式，但是隨著計算機和網絡的發展，筆者認為，可以在教學過程中采取以下幾種教學模式。

1.課堂教授型

高等數學是一門比較抽象、深奧的學科，要盡可能地讓學生接受、理解，其中較有效的方式是課堂傳授的方法。教師通過對教學素材精挑細選，課堂上使用幽默的口頭語言、豐富的表情語言和形象的形體語言，將深奧抽象的數學講得通俗易懂，淺顯具體。重點講解如何利用基本知識點來求解習題，將問題分解為基本概念和基本理論的邏輯推理關系，講授通用的解題思路和解題方法，將尋求解題思路的思維過程呈現出來，這樣學生才容易接受，才能達到預期的效果。

2.小組學習型

數學的核心是問題，針對于數學問題的討論，可以組建一些學習小組，數學的習題課也可以利用這個學習小組，經過小組成員之間的討論，學生學習高等數學的你追我趕的積極性得到很大提高。教師可以出一些相關的題目，以小組的形式，發動班級學生圍繞專題進行討論和交流，尋求解題過程，形成一致的意見，然后和其他小組的意見相結合，最后由教師加以總結或者評判。比如，在講求導數的過程中，介紹完了導數的基本公式后，筆者經常會出幾個典型的題目。要求同學分成幾個小組進行討論，一來新同學比較容易犯錯誤，二來題目本身有很多種做法，值得讓大家一起來討論討論。所以教師可以出一些能夠用多種方法求解的題目以及解法之間有很多的差異的題目，通過學生之間小組之間進行討論，然后教師加以總結組織，結果是很明顯的。在此過程中，學生和教師的積極配合和有效互動，通過學生和學生之間，小組和小組之間以及學生和教師之間的多渠道全方位交流，能夠達到很好的教學效果。

3.網絡答疑型

現在高校的網絡資源相當豐富，網上不僅有教學資源、教學視頻、網絡課程，還有和學生交流的BBS平臺及習題庫，教師可以充分利用學校這些豐富的網上交流平臺與同學展開交流。網絡答疑形式類似課堂小組交流，而課堂上組織小組交流活動，花的時間會比較多，因此可以充分高效地利用網絡答疑這種形式。具體的，可先由教師根據教學的進度，布置一些相關的作業或者習題，留給學生在課堂以外討論，過一段時間，教師可以針對于學生學習過程中普遍存在的問題或者比較難掌握的知識點組織一到兩次適時BBS，然后將討論的結果加以整理置頂，以便學生的學習和總結。這種有主題而且連貫性答疑形式很受學生的歡迎。另外教師也可以根據學生的水平，結合所學專業的特點，布置一些專業相關的開放題、思考題，也可以找一些數學史方面的資料，開展專題BBS，找一些高等數學在經濟學中的具體應用資料。一個學期反復做幾次，可以解決學生在學習中遇見的很多問題，學生的學習信心和興趣將會得到較大提高，使得網絡課堂真正成為學生學習數學的第二課堂。

4.分層次形式

現在同學的數學基礎、理解能力、學習能力、存在著較大差異，所以教師在進行習題課的教學中應該要考慮到不同層次的學生需求。特別是選取素材的時候要進行分層次教學，對于基礎較差、學習能力不強的學生，要求其掌握基本的概念和理論；對于那些水平相對好點的學生則不僅要掌握書上的基本內容，還可以適當提高標準增加習題難度，同時鼓勵他們幫助那些學習有困難的同學。這種做法有助于提高每個學生的積極性，使得每一個學生在習題課上都有所進步。

三、習題課教學的實施

習題課和一般的課程不同之處在于，其教學方式、教學目標、習題設計、教學策略是有差別的。這些差異要求教師精心準備，學生積極配合，這樣才能將一堂習題課上好，達到預先設定的效果。

1倡導“避免一言堂”的教學方式

在高等數學教學過程中，由于教師和學生的差距，往往容易形成上課只有教師一言堂的情況，但是習題課主要是解決學生自己的問題，所以習題課必須要學生多講多做，這樣才能暴露出學生自己的問題，教師才能有針對性的解決學生中存在的問題。高等數學概念以及經濟數學知識都是相互聯系的，所以教師和學生可以相互交流，積極發言，結合自己所熟悉的，談談各自對于概念的理解，以及概念和概念之間的聯系，這樣可以加深學生對于數學概念和理論的了解。講解數學題時，也可以對一個題目討論多種解法。這樣每個學生都是課堂的主體，沒有局外人，師生之間，同學之間就實現了多向交流，會收到較好的效果。比如講求函數的最值時候，一般的方法是在求出函數的表達式后對函數求導數再求出駐點，然后進行最值的討論，但是如果目標函數比較特殊的時候，比如是一個二次多項式或者滿足基本不等式的函數，那么此時就可以用二次函數的最值討論或者利用基本不等式來求目標函數的最值，這樣就可以和初中的知識掛起來，使得同學容易理解函數的最值問題了。

2.堅持循循善誘的教學方法

根據課程標準，習題課教學目標可以概括為三級：理解知識目標，應用知識目標，能力目標。在設計習題課的時候，應該辨別該習題課的目標，然后按照此目標，注意目標的階段性和可行性，循序漸近引導學生，千萬不要急于求成，否則會適得其反。比如，求復合函數的導數的時候，必須先掌握了初等函數的導數，然后在掌握復合函數的分解基礎上，再掌握復合函數的求導法則，才能夠掌握復合函數求導。所以教師堅持循循善誘的教學方法，逐步引導學生上好這堂習題課。由于習題具有層次性，不同水平的學生都能學到其相應水平的知識，從而能夠調動學生的積極性，極大改善學生學習效果，較好的完成教學任務。

3.遵循精編細選的習題設計原則

習題課上選用的題目有一定的要求，即要具有一定的典型性、針對性、科學性和啟發性。所謂典型性就是指經常會遇見的問題，不偏不怪的題目；所謂針對性，主要是針對某個知識點或者經常容易犯錯誤的地方；所謂科學性就是指符合客觀規律的表達清晰、嚴謹、科學；啟發性主要是指對學生的思維具有一定的啟發。一般習題課上的題目要遵循上面四個條件，這樣取得的效果會比較明顯。比如，講復合函數求導數的時候，應該舉一些常見的函數的求導，兩重或者三重的復合函數，三重以上的復合函數求導則屬于偏怪的題目了，對學生知識的掌握幫助有限，這種情況應盡量避免。再比如，教定積分計算的時候，我們可以設計如下三種基本類型：題目（1）是一般的定積分，在區間[1，3]上的定積分；題目（2）是瑕積分，因為被積函數在積分下限是沒有意義的；題目（3）則是被積函數在無窮限上的積分，從上面的例子可以看出，題目雖然不是很難，但是能夠概括出這章節討論題目的基本類型和主要知識，如果選題能夠顧及到這點，那么習題課就能夠取到很好的效果。如果所選的習題滿足以上四個要求，遵循精編細選的習題設計原則，那么就不用再搞題海戰術，就可以達到較好的教學效果。

4.貫徹重視分析過程的教學策略

數學是一門思維邏輯很強的學科，教師進行習題課分析的時候應該著重分析解題的過程，分析題目的來龍去脈，重點剖析題目的邏輯思維結構，而不只是注重答案的求解。這樣才能使得學生真正掌握數學知識，構建數學的知識結構，數學的習題課效果才能更加明顯。比如，利用分步積分法求函數的積分，教師要將過程講得很仔細，否則同學無法辨認哪個函數該積分，哪個函數是用于求導數，要將辨別的標準和同學講得很清楚并總結規律。如果只講一個結果，學生很難做到舉一反三、觸類旁通。

結束語

習題課是高等數學教學中的關鍵一環，通過習題課使得同學能夠梳理高等數學中的抽象概念和相關的定理，另外一方面也要加強高等數學知識在財經中的應用的教學，使得學生具有應用高等數學知識解決財經問題的能力。另外教師想要將習題課上好，要在習題的選擇、授課方法等方面下工夫。因此，如何上好經濟數學這門課的習題課，是一個值得不斷探討的問題。

參考文獻：

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[3] 盧柏龍.在數學習題課中培養學生的思維能力[J].上海工程技術大學教育研究，2002，（1）：30-35.

篇6

關鍵詞：高等數學 教學法 創新

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養具有創新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養并非要從研究生階段才開始著重培養，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養一種標新立異提問題的習慣至關重要。而對本科生科研能力的培養最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數學中微積分的創立、一元微積分到多元微積分的發展以及各個重要概念的產生無不透露出數學家發現問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養學生的科研能力，最重要的是培養學生發覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創造的學習模式的轉變，這種學習模式的轉變進而要求教師授課模式的轉變。本文就講透基本概念，引導學生發現學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉變學習模式，進而培養學生的科研能力。

1 講透基本概念

數學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數和微分，更多的是該讓學生把握數學思想，深刻理解數學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質。以極限概念為例，怎么理解數列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質的東西就是用距離去刻畫，即數列和某個定點的距離當時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關鍵是距離起著重要作用。再以函數可微概念為例，很多學生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數是不是可微就是看這個函數的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關系，即是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數的增量和其自變量的增量是否成線性比例關系，二元函數的變量是兩個，即看是否成立？同樣多元函數的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發現問題的前提。

2 引導學生發現學科的不足

無論哪門學科之所以產生、發展，往往源于人們對已有相關學科的不滿以及該學科創立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結果展現給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產生。數學就是在不斷地發現學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數學史上曾發生過三次數學危機，可每一次危機都沒有前人的理論而只是在數學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數學更加完善了，危機的產生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數，這樣簡單的函數為何不可積？可能有人認為這是實變函數的內容超出了高等數學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養學生的創新意識。人人都認為所創造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發展了，這給了學生一種提出質疑的態度，培養了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續課程是實變函數，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關概念的歸納比較，展示概念之間的內在聯系和本質區別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數為例，從定義來講，無窮級數與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續的對應關系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數與有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發現定理的成就感。

4 結語

高等數學的教學要使學生不僅知道許多重要的數學概念、方法，而且領會到數學的精神實質和思想，從而在自己所學的領域中不斷發現問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉變了學生從被動接受到主動思考創造的學習模式，才能培養其科研能力。

參考文獻

篇7

關鍵詞：極限；左右極限；函數

求函數極限的方法很多，有些函數可直接計算極限。另外，還有些函數需要分別考查兩個單側極限，即左、右極限，然后利用函數極限存在的充分必要條件判斷。若左、右極限相等，則函數在該處的極限存在；否則不存在。需考察左、右極限的函數求極限問題是教學的難點，為了便于掌握，將常見題型分析如下：

一、求分段函數在分段點的極限

一般地，若某點的兩側是同一表達式，則可直接計算雙側極限，如果是分段函數的區間分段點，由于分段點的兩側具有不同的表達式，因而左右極限有可能不同，必須考察左、右極限。求分段函數在分段點的極限時，不必考慮函數在分段點的取值情況，只需分析在分段點左右兩側的取值情況即可。

例1：函數f（x）=x+1 x>1x-1 x≤1，問■f（x）在x=1處的極限是否存在。

解：f（x）在x=1處的右極限f（x）=■x+1=2，

f（x）在x=1處的左極■f（x）=■x-1=0，

因為■ f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=1處的極限不存在。

二、求含絕對值的函數的極限

含絕對值的函數在求極限時，一般可先去掉絕對值，改寫為分段函數，然后再考察函數在分段點的左、右極限。

例2：考察函數f（x）=■在x=0處的極限。

解：將|x|改寫為分段函數|x|=-x，x

所以■f（x）=■■=-1，■f（x）=■■=-1

因為■f（x）≠■f（x），所以f（x）在x=0處的極限不存在。

三、求取整函數的極限

由[x]≤x

例3：討論極限■（■-[■]）是否存在。

解：當x>1時，有0

四、求當x趨向無窮時含ax（a>0且a≠1）的函數極限，或求當x趨于零時含a■的函數的極限

因為當a>1時，■ax=0或■a■=0，■ax=+∞或■a■=+∞，當0

■ax=+∞或■a■=+∞，

所以■ax或■a■不存在。故需要討論左右極限。

例4：討論f（x）=■）在x=0處的極限是否存在。

解：當x0-時■2■=■2u=0，當x0+時■2■=■2u=+∞，所以■f（x）=■■=■=-1，■f（x）=■■=■=1，

因此該函數在x=0處的極限不存在。

五、求含arctanx（arccotx）的函數x趨向無窮的極限，或含arctan■（arccot■）的函數x趨于零的極限

這是因為當■arctanx=π/2，當■arctanx=-π/2，故■arctanx不存在。同樣■arccotx=π，■arccotx=0，故■arccotx不存在。

同理當x0+和x0-時arctan■（arccot■）的極限值不相等，故需討論左、右極限。

例5：求極限■■的值。

解：因為■■=■=0，■■=■=0，該函數的左右極限存在且相等，故所求極限存在且■■=0。

六、求含偶次方根的函數的極限

由于開偶次方根的結果為非負數，求xx0或x∞時的極限，應分xx0+或x∞和xx0-或x-∞兩種情況討論。

例6：求■x（■-x）

解：因為■x（■-x）=■■

=■■=■，■x（■-x）

=■■=■■=∞，故所求極限不存在。

左、右極限的概念和計算是高等數學教學的重點和難點，這部分內容概念抽象，題型靈活多樣，需要及時總結歸納。只有深刻理解基本概念，掌握好各種題型的解題技巧，才能找到解決問題的切入點和突破口。

參考文獻：

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關鍵詞： 高等數學 樣例教學 選取原則

一、引言

中國文藝有樣板戲，例如《紅燈記》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。這些作品運用中國傳統和外國藝術形式來表現戲劇的主題，這些樣板戲經電影、電視、廣播反復播放，在這樣一種文藝熏陶下，“窮人的孩子早當家”、“渾身是膽雄赳赳、打不盡豺狼決不下戰場”、“智斗、定能戰勝頑敵渡難關”、“娘子軍連連歌、軍民團結一家親”這樣一些場景和表達出的思想為當時的人們所熟知，連不熟悉戲曲的男女老少都能哼唱幾句。撇開樣板戲，作為重要基礎課程的高等數學，它所引入的許多概念、方法如果能通過選取的樣板例題來傳遞，讓學生通過反復學習和研摩樣板例，來體會數學思想，靈活運用數學概念和方法，那么樣板例題選取的研究工作就是有意義的。

二、選取準則

從心理學角度來說，教師提供給學生的新材料知識如果缺乏潛在的意義，即新知識與學生認識結構中的有關知識無法建立空質的聯系，原有知識不能同化新知識，而獲得明確而穩定的意義，而只是靠死記硬背獲得知識；或者學習者缺乏積極主動學習心向，而處在被動狀態；那么所學材料與學習者認識結構中原有的觀念的適當部分只是建立起了暫時的、生硬的、表面的聯系，所學習的知識很快就會被學習者遺忘。另外，在教學內容的選擇上，如果教師提供給學生的新材料知識缺乏潛在的意義和遷移的生成能力，那么學生往往就不能有效地加以消化和理解，以達到融會貫通。綜合上面的考慮，本文就高等數學樣例教學上提出來如下的選取準則并給出相應的樣例加以說明。

1.能將所學許多概念和方法“串”起來的樣例。

人們的思維活動是從問題開始的，如果教師能通過樣例引入問題，分析問題，并在這個過程中引入或復習已學過的概念、方法，以最終解決問題，那么學生在圍繞解決問題的過程來學習或復習概念和方法，就會學得自然、牢靠。

例如，物理上光的折射定律表述如下［1］：一束光從點A（0，y），y＞0出發經過界面y=0到達B（x，y），x＞0，y＜0。設光在介質1（y＞0）和介質2（y＜0）中速度分別為v，v。

證明：折射定律=等價于光以最短的時間從點A到達點B，其中α，β分別是入射角和折射角，進而從數學角度上說明光傳波的特性：按用時最短的路徑傳波。

分析與解答：設光線與界面＄y=0＄的交點為變量x，則從A到B需要的時間為

t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。

該例給出如何建立函數模型，將所研究的問題轉化為數學問題一個范例。運用連續函數介值性定理和函數的嚴格單調性證明了極值點存在和唯一性。該例研究函數的最小值是一個全局問題，將其歸結為±∞的局部性質（極限）、極值點候選點存在性、極值點判定等研究，這是一個將全局問題轉化為局部問題研究的范例。該例題中學生可以體會到極限的應用，導數在研究函數單調性上應用，可導極值點的必要條件，函數連續性在零點存在性問題上應用。

學生熟練掌握該例就能對極限、連續性、導數、最值問題求解步驟有個感性的認識。

類似地，從物理、化學、生物或其他工程技術鄰域提出典型樣例幫助理解和掌握高等數學中概念和方法的做法，以及從數學角度來理解一些大自然最優規律很有意義。

2.能幫助理解和記憶抽象概念、性質，實現從具體到抽象的過渡的樣例。

高等數學中定積分及其性質比較抽象，學生掌握起來較難，這時可以選取一個具體的例子加以講解，來幫助學生來理解和掌握這些性質。高等數學中定積分就是一維長度向平面區域面積的推廣，定積分存在與否實際是與平面區域面積是否有定義密切相關的。那么定積分存在被積函數具有什么特征呢？

例如Rimanne函數R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互質0，x=0，1，或為［0，1］中無理數。通過Riemanne函數，學生可以更好認識可積函數的性質：了解一個可積函數可以有很多（可數個）不連續點，但是它仍可以在［0，1］上可積。除此之外，通過Riemanne函數還可以了解如下的可積函數性質。

（1）函數的可積性是一個整體性質：f（x）在區間［0，1］上可積，這時可以改變可數個點處f（x）函數值的定義，則所得新函數仍是可積的且函數的積分值不變。設f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可積，則?蘩f（x）dx≥0。現在問題是進一步如果存在點x∈［a，b］有f（x）＞0，問是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函數R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非負且在（0，1）上有理點取正值，盡管取R（x）＞0的點有可數多個，但是仍有?蘩R（x）dx=0。對R（x）＞0的點進行研究發現，這些點一個共同點都是R（x）的不連續點。于是，一個自然問題就是：設f（x）在［a，b］上非負且可積，如果在x∈［a，b］處連續且f（x）＞0，則是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。該例可以引導學生思考對積分值做出影響的是函數定義域中的哪些點或哪些子集。

（2）變限積分函數的可導性：由［1，2］知道如下結論：f（x）在［a，b］上可積，則F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是連續函數；進一步，若f（x）在x∈［a，b］處連續，則變限積分函數F（x）在點x處可導，且F′（x）=f（x）。一個自然問題出來了，若f（x）在［a，b］上可積，且在x∈［a，b］處不連續，則F（x）是否一定不可導呢？回答是否定的。考慮Riemanne函數，則由積分單調性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）當然在［0，1］處處可導。高等數學中一些重要的函數形式就是由變限積分定義的函數，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，還有單擺運行周期的函數就是一個由變限積分函數t=?蘩dθ就是一個由變限積分函數。因此借助于黎曼函數來理解對這類函數連續性、單調性、可導性等性質當然是很有意義的。

3.了解問題的來龍去脈并為新課程開啟大門的樣例。

現在使用的教材中大部分對冪級數和微分方程的關系都放在習題之中，通常是讓學生驗證某一冪級數是方程的解。如果教師能先通過一個簡單微分方程的冪級數解的求解過程，導出冪級數，再來研究冪級數的性質，那么這個過程會使得學生感覺冪級數性質研究是有迫切需要的，也是有意思的。

考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。

分析與解答：可設方程有冪級數解y=ax。對y進行逐項微分，并調整求和指標，再由冪級數的唯一性，就得到下面的遞推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。

故得到原方程的冪級數解為

y=a［1+］+a［x+］，其中a，a為任意常數。

由［2］知，若a≥0且a=0，則=0。易驗證上述冪級數解中=0，=0，=0，再由數列極限與子列極限關系知，=0。因此，由冪級數收斂半徑的根式判別法知，方程解的定義域為（-∞，+∞）。

該例可以使得學生對冪級數收斂半徑及其性質研究意義有了切實體會，并對數學分析中函數的來源有了了解，并提高學生對后繼微分方程課程的學習興趣，以及對以后碰到特殊函數有了感性認識。

三、結語

通過教學實踐和與學生的交流，我體會到一個好的教學樣例可以更好地幫助學生了解和掌握高等數學中的基本概念、工具，使之學得扎實牢靠。本文給出的幾個樣例的選取原則意在拋磚引玉，不斷思考如何用適當選取的樣例來將所教學的知識串起來，讓學生好學、好記、好用，提高他們的學習興趣，并拓寬他們的眼界和思路。

參考文獻：

［1］歐陽光中，姚允龍.數學分析（上、下冊）.上海：復旦大學出版社，1993.

［2］華東師范大學數學系.數學分析.北京：高等教育出版社，2001.

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關鍵詞：Origin；高等數學；幾何圖形

中圖分類號：TP391.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9599 (2011) 18-0000-02

Application of Origin in the Teaching of Advanced Mathematical

Jiao Zhilian

(Taiyuan Normal University,Taiyuan 030031,China)

Abstract:The paper introduced the unique advantages of Origin in the drawing technique by solving practical problems of advanced mathematical.The powerful drawing technique of Origin can be convenient to draw geometry,it makes the problems of space analytic geometry and mathematical analysis has become visualized and vivid,and helps students from the perceptual to understand the teaching content.

Keywords:Origin;Advanced Mathematical;Geometric Figure

OriginLab公司研發的專業制圖和數據分析軟件Origin，是公認的簡單易學、操作靈活、功能強大的科學繪圖與數據分析軟件。它是從事科學研究和工程師設計必備的工具，在科技領域享有很高的聲譽[1]，隨著Origin版本的不斷更新和完善，近幾年來關于Origin在科技、教學、實驗等方面的論文非常層出不窮[3-5]。

而高等數學是一門十分抽象的學科，傳統的方法是教師對定義、定理、推論等在黑板上進行推導，學生要跟上教師的邏輯推理過程，才能理解掌握。如果沒有與教學過程相配合的各種圖形，學生難以進行感性思維。在學習中若能借助幾何圖形，就可以從直觀上理解數學中抽象的概念、無法觀察的現象以及多維空間中的函數，則可以收到事半功倍的效果。Origin強大的圖形輸出功能使我們能較容易地解決上述問題，方便、快速地繪出各種圖形。本文通過幾個實例討論了幾何圖形在高等數學中的作用，及在Origin下實現圖形可視化的方法。

一、實例及分析

（一）利用幾何圖形理解抽象概念

高等數學中有許多概念都很抽象，往往又非常重要，例如極限和導數，通過幾何圖形能夠很好的體現這些概念內涵。

例1：在 上作 的圖形，觀察 的極限和 時的極限。

用Origin作出函數 的圖形[2]（如圖1所示），根據圖1可以非常直觀地觀察到： 和 。在計算復雜函數極限時，往往要使用這兩個已知極限，通過以上繪圖可以加深學生對它們的記憶。

（二）利用圖形理解可以將函數展成冪級數的形式

為了便于研究一些復雜函數，我們往往希望用一些簡單函數來近似表示，而冪級數是各類函數中最簡單的一種。因此用冪級數近似表達函數是近似計算和理論分析中的一個重要內容。但是，即使在教學中通過嚴格的證明得到泰勒公式和麥克勞林公式，學生還是很難理解，一個復雜函數怎么就能用冪級數來表示，這時可以借助于幾何圖形來讓學生理解。

例2：將函數 展成麥克勞林級數。

利用麥克勞林公式可得： 。

可以用Origin作出 階冪級數 的圖形（如圖2-1～2-6），由圖2可知，當 不斷增大，增大到 時，在區間 范圍內 階冪級數就可以代替函數 。可以想象當 一直不斷增大，即 時，無窮冪級數就可以代替函數 。

（三）利用幾何圖形建立空間思維形象

在空間解析幾何和多元函數微積分內容的學習中經常需要借助多元函數的圖形來理解。但是在許多教材中給出的三元函數的圖形，往往是用word軟件或其他幾何畫板軟件畫出來的，所顯示的立體感不強。如果建立不起空間圖形的概念，在學習多元函數的極限、導數、積分內容時常會感到困惑。利用Origin可以方便的建立三維空間的函數圖形[1]，使我們搭建起空間思維的模型，從而找到解決問題的途徑。

例3：給出正圓錐面和雙曲拋物面（馬鞍面）的圖像。

通過圖3-1和3-2可以使學生直觀了解正圓錐面和雙曲拋物面在三維立體空間的分布情況。從圖3也可以使學生理解，為什么雙曲拋物面也被稱作馬鞍面。同時，Origin還可以使我們從不同角度觀察圖形的分布情況，如圖4-1和4-2所示。

二、結束語

從本文的例子可以看出，利用Origin可以繪制數學中幾乎所有的圖形，并可以從不同的視角觀察圖形的變化。在數學教學和學習中充分應用Origin軟件的可視化功能，借助幾何圖形可以直觀、充分地理解數學中的概念和定理的內涵。因此，當圖形問題用其它數學軟件難以解決時，Origin將是解決問題的一個得力的工具。

參考文獻：

[1]方安平,葉衛平.Origin8.0實用指南[M].機械工業出版社,2009,109-111.

[2]周劍平.精通Origin實用教程(7.5版)[M].北京航空航天大學出版社,2004,103-106

[3]趙瑪,魏劍英,韓周祥.Origin6.0軟件在分析化學數據處理中的應用[J].鄭州輕工業學院學報(自然科學版),2006,21(3):25-28

[4]吳世彪.Origin軟件在溶液表面張力實驗數據處理中的應用[J].安徽化工,2008,34(6):37-39

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【關鍵詞】 函數連續 函數改變量 高等數學

【中圖分類號】 G424 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2012）11（b）-0117-02

《高等數學》是我們學校計算機專業的一門重要課程，這也是專轉本學生必學必考的一門課程。據多數學生反映及本人教學發現，高等數學確實是一門比較難的課程，對于我們學校的學生而言學習更為困難。之所以更難，有兩個主要原因。其一，高等數學這門課程難，它是初等數學以外的一門數學，它有其固有的特點，這就是高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。其二，計算機專業學生自身特點.在經過一學年的《高等數學》課程教學后，發現學生對這門課程表現出不知所措，無奈，無所謂的態度，這是一種令人擔憂的現象，尤其是在講函數的連續性這里，問題更是很多，為了能改變課堂教學中學生突然沒反應這一令教師尷尬的場面，我進行了不斷嘗試，認真鉆研教材，結合學生的特點，努力尋找一種他們易懂易學的方法，引起他們學習的興趣，幫助他們找回學習的信心。筆者打算就函數的連續性第一課時談談自己的教學設計，并針對設計進行教學反思與評價。

1 函數的連續性第一課時教學設計

《函數的連續性》是南京大學出版社周明儒編著的《高等數學》（文科類）第一章《極限與連續》中第5小節的內容，函數連續的概念、證明函數在某點連續以及判斷分段函數在某點的連續性是本節課的重點，也是難點.函數的連續性第一課時是在學生學習了函數概念、函數極限的概念、性質以及計算的基礎上，對函數的性質進一步進行的討論。高等數學研究的主要對象是初等函數，而連續性是初等函數的重要性質。因此，這一節內容是高等數學課程的基礎性知識，十分重要，而函數的連續性第一課時的學習又是下面學習間斷點，導數概念的基礎，因此學好第一課時是學習其他知識的前提。

1.1 看一看，直觀感知函數的連續性

現實世界的許多現象和實物不僅是運動變化的，而且其運動過程是連續不斷的，如每日氣溫的變化、物體運動路程的變化、金屬絲加熱或冷卻時長度的變化等，這種連續不斷變化的現象和事物在數量上的描述就是函數的連續性。通過生活中事物的現象讓學生直觀感知連續的概念，讓學生體會到函數的連續性是微積分學習的一重要概念，它也是下面學習導數的前提。

1.2 講一講，為函數在一點連續定義的學習打好基礎

改變量也成為增量，它包括自變量改變量和函數改變量。

設函數在區間I上有定義，是I內的一點，再取一點（），用記號表示從到時的改變量，則有，亦即。

此時，當自變量從到時，函數相應的改變量是。如果用表示函數改變量。

則=。

講到這時，很多學生在函數的改變量的表示

不懂，一臉茫然。發現他們對于函數值是什么？

如何求已經沒概念了，所以此時我的設計是畫圖，幫助他們直觀理解函數改變量的表達式。如圖1：

1.3 求一求，強化對函數增量公式的記憶和理解

例1 設，=1，求當，，時相應的的值。

解===1.

若，則，故

若，則，故

若，則，故

顯然，通過上例具體的值可以感知到，函數改變量（亦稱增量）可以是正數，也可是是零或是負數。此時可以引導學生思考何時為正何時為負？為什么？

教師此時可以通過上圖1幫助他們發現結論。

1.4 議一議，引出函數在一點連續的概念

在學習了改變量的基礎上再來學習函數在一點連續的概念就顯得不那么難了。函數連續的特征是自變量變化很小時，函數值的變化也很小。用改變量的符號，給出函數在某一點連續的定義。

定義1 若， （1）

則稱函數在點連續。

下面引導學生發現另一個式子：

若取，則。

當時，有，即。從而（1）式可以變為，由函數極限的四則運算得，

又因為，

從而有（2）

對于（2）式其實是不難推出的。但是對于這些計算機班學生，他們進校時基礎相當薄弱，前三年基礎數學學的也不好，所以導致這兒（2）式的推導上存在很多困難，因此教師需要耐心引導，和他們一起在相互交流探討中體驗學習的快樂，從而得出式子（2），這個式子是很重要的，尤其在對判斷分段函數在一點是否連續上起著方法上的指導作用。那么對于證明函數在某一點連續可以有兩種方法，分別用（1）式和（2）式證明。判斷函數在某一點是否連續也可以從兩方面入手。

下面就通過例題來感受一下。

1.5 證一證，加深函數在某一點連續定義的理解和應用

例2 證明函數在點連續。

證 （方法一）對于任意，有

則

依定義（1）式知點連續。

（方法二）由于，且，

所以

依定義（2）式知點連續。

通過證明函數在某個點連續的例題幫助學生理解定義，并通過兩種方法講解引導學生通過比較加強對式子的記憶。在應用式子（1）時關鍵是求對，很多學生忘記如何求，這是函數中最基本的求函數值問題。所以在這兒教學中會再舉一些函數求值問題，幫助學生拉開記憶大門，保證都會求函數值，進而會求函數改變量。應用式子（2）關鍵是會求，對前面求函數極限要求較高。

1.6 練一練，及時鞏固所學知識

①證明函數在處連續。

分別讓兩位學生到黑板上板演，對書寫格式及內容進行評價分析.

②討論函數在處的連續性。

分析 由于這個是分段函數，0是分界點，因此用定義（2）式來判斷簡單易行。

解 由于，且

所以

故依定義（2）式知在點處連續.

2 教學反思，提高教學

新課程標準中非常強調教師的教學反思。思之則活，思活則深，思深則透，思透則新，思新則進。所以我打算從以下三個方面進行反思：

（1）教學態度，在教學中，教師的態度對學生的學習和生活有一定的影響，對于大部分不想學習的孩子來說，應該多些耐心，多些愛心，多些激勵，多些贊揚。對于剛講過的學生又忘記了，此時生氣只能讓氣氛更加糟糕，只能換種心態看待，不妨開個小玩笑，調節一下氛圍，繼續再來耐心講一遍，此時學生會受到感染，坐直身體，豎起耳朵，認真聽講，教師對學生不能放棄。

（2）教學設計，通過這節課的設計，與預想的差不多，學生對于定義（2）式的推導有著一定的困難，加上他們對于所學過的知識點不能融會貫通，所以單純的理論學習顯得枯燥無味。著名數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”。所以在設計本節課1.2內容時充分利用了“數形結合”的思想，將抽象的知識直觀化，提高學生的興趣和信心。其次本節課用了類比分析的方法，培養了學生的思維能力，提高學生的基本運算能力，通過練一練的分析求解，提高學生運用數學知識解決問題的能力。

（3）教學效果，新的課堂教學評價標準應首先關注學生的學習，體現新課程的核心理念――為了每一個學生的發展；強調教學內容與學生生活以及現代社會和科技發展建立聯系；倡導主動、合作、探究的學習方式；使學生學會學習，形成正確的價值觀；培養創新精神與實踐能力。本節課中，教師引導學生積極參與，注重評價多元化和科學化，尊重他們自尊心，給他們樹立信心。大部分學生積極主動參與，整節課大部分學生伴有喜悅，滿足、成功等體驗，從教材的學習中得到了生活、情感等方面的感悟，培養了他們全面發展的能力。