導語：如何才能寫好一篇高考數學歸納法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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【關鍵詞】高考 數學歸納法 結合

數學歸納法是數學中一種證明與自然數n有關的數學命題的重要方法，是通過有限次的驗證、假設和論證來代替無限次的事例的驗證，從而達到嚴格證明命題的目的，也就是把從某些特殊情況下歸納出來的規律，利用遞推的方法，從理論上證明這一規律的一般性。合理地運用數學歸納法解決問題是中學數學教學中的一個重要內容。

一、數學歸納法的基本原理

用數學歸納法證明一個命題時，必須包括下面兩個步驟：

第一步：驗證當n取第一個值（如n=1）時命題成立；

第二步：假設當n=k（k∈N）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。

完成了這兩個步驟，就可斷定命題對一切自然數都成立。

這里的第一步稱為奠基步驟，是命題論證的基礎；第二步稱為歸納步驟，是判斷命題的正確性能否從特殊推廣到一般的依據。這兩個步驟密切相關，缺一不可。如果只有奠基步驟而無歸納步驟，那就屬于不完全歸納法，因而，論斷的普遍性是不可靠的。反之，如果只有歸納步驟而無奠基步驟，那么歸納步驟中的假設（簡稱歸納假設）就失去依據，從而使歸納步驟的證明失去意義，這一步即使得以證出，其結果也是建立在不可靠的基礎上的，所以仍然不能斷定原命題是否正確。

二、關于歸納步驟的證明思路

用數學歸納法證題時，關鍵在歸納步驟，而歸納步驟的關鍵，又在于合理應用歸納假設。因此，熟悉歸納步驟的證明思路是十分必要的。就中學教材而論，應用數學歸納法證明的命題大致有兩種類型：

（1）能直接應用歸納假設來證明的。證明這類問題時，通常在歸納假設的兩邊同加（或同減）某項，通過適當變換完成證明，對于這種類型的題目，在中學的課本中是比較常見的。

（2）不能直接應用歸納假設來證明的。這類命題解題時，一般通過下面兩種途徑，為應用歸納假設創造條件：（1）先將n=k+1帶入原式，然后將所得表達式作適當的變換，從而證到結論；（2）利用其它數學知識，建立P（k）（第k號命題）與P（k+1）（第k+1號命題）的聯系，從而得到結論成立。對于這種類型題目在中學數學的學習中，特別是在高考大題中的出現概率是比較高的。

學生學會了數學歸納法，意味著既掌握了一種證明方法，可以解決很多以前他們解決不了的問題，又開拓了知識領域。但在利用數學歸納法證明的過程中，不僅會遇到各種技巧上的困難，而且即使學生具有應用數學歸納法的技巧，也常常不能真正理解它的含義。因此，數學歸納法是一個教學難點，在中學數學教學中應給予足夠的重視。

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【關鍵詞】數論；取整函數；不定方程；奇偶分析；同余

數論知識原是數學競賽內容，近年悄然融入到高考數學試題之中，先是在選擇填空題中占一席之地，后來登堂入室解答題甚至壓軸題，與數列、函數、不等式知識聯袂出現，蔚然成為高考數學的新熱點.這類試題覆蓋面廣、構思精巧、難度較大，深入研究這類試題很有必要.本文試圖通過數論知識分類，探討此類試題的解題思想與解題方法.1取整函數

取整函數也稱為高斯函數，用符號[x]表示，定義為不大于x的最大整數； 取整函數常考查到的知識點與性質有：

2不定方程

變量取整數的方程稱為不定方程，不定方程是數論中一個十分重要的課題[1].一般多元一次不定方程用輾轉相除法.其他不定方程的類型很多，解題大多用到奇偶分析法、因式分解法、分討論法、換元法、構造法、無窮遞降法、不等式估計法、同余法等.不少不定方程求解難度很大，甚至成為世界難題.

例2（2007年高考湖北理科數學第21題）已知m，n為正整數，

綜上，不定方程的解只有n=2，3.

評注求解不定方程用到了不等式估計法與分類討論法.第（Ⅲ）題是埃斯柯特問題的一個特例.我國數學家柯召與孫琦曾經研究了更一般的不定方程：xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n，獲得了較重要的成果[2].

3奇數與偶數

4倍數與余數

設a，b∈[WTHZ]Z[WTBX]，存在唯一的整數對（q，r），使a=bq+r，其中0

（1）a|b且b|ca|c；（2）a|b，a|ca|xc+yb（x， y∈[WTHZ]Z[WTBX]）；（3）（a，b）=1，且

a|c，b|cab|c；（4）若（a，b）=1，a|bca|c.

例4（2015年高考北京理科數學第22題）已知數列{an}滿足：a1∈[WTHZ]N[WTBX]*，a1≤36，且an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，2an-36 ，an>18，[JB）]（n=1 ，2 ，…）

.記集合M={an|n∈[WTHZ]N[WTBX]*}.

（Ⅰ）若a1=6，寫出集合M的所有元素；

（Ⅱ）若集合M存在一個元素是3的倍數，證明：M的所有元素都是3的倍數；

（Ⅲ）求集合M的元素個數的最大值.

解（Ⅰ）由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]可知：a1=6，a2=12，a3=24，a4=12， 所以M={6，12，24}.

（Ⅱ）因為集合M存在一個元素是3的倍數，所以不妨設ak是3的倍數，由已知an+1=[JB（{]2an ，an≤18 ，

2an-36 ，an>18[JB）]，可用數學歸納法證明對任意n≥k，an是3的倍數.當k=1時，M中的所有元素都是3的倍數；如果k>1時，因ak=2ak-1或2ak-1-36， 所以3|2ak-1，又（2，3）=1，于是3|ak-1，即ak-1是3的倍數.類似可得，ak-2，…，a1都是3的倍數，從而對任意n≥1，an是3的倍數.因此，M的所有元素都是3的倍數.

（Ⅲ）由于M中的元素都不超過36，由a1≤36，易得a2≤36，類似可得an≤36，其次M中的元素個數最多除了前面兩個數外，都是4的倍數，因為第二個數必定為偶數，由an的定義可知，第三個數及后面的數必定是4的倍數，另外，由定義可知，an+1和2an除以9的余數一樣.

（1）若{an}中有3的倍數，由 （Ⅱ）知，所有的an都是3的倍數，所以an除以9的余數是3，6，3，6，…，或6，3，6，3， …，或0，0，0，0，….而除以9余3且是4的倍數只有12，除以9余6且是4的倍數只有24，除以9余0且是4的倍數只有36，則M中的數從第3項起最多2項，加上前面的2項，最多4項.

（2）{an}中沒有3的倍數，則 an都不是3的倍數，對于a3除以9的余數只能是1，4，7，2，5，8中的一個，從a3開始an除以9的余數是1，2，4，8，7，5；4，8，7，5，1，2；…，不斷的6項不依次序重復出現（可能從2，4，8，7，或5開始），從而知除以9的余數只能是1，2，4，5，7，8且為4的倍數（不大于36），只有28，20，4，16，32，8，所以M中的項加上前面2項最多有8項.而a1=1時，M={1，2，4，8，16，32，28，20}，項數為8，所以集合M的元素個數的最大值是8.

評注第（Ⅲ）題也可以用窮舉法來解，因為a1≤36，討論還不算太繁雜.發現數列{an}的周期性，是解決這一問的關鍵.討論數列{an}每一項被9除的余數，使解題過程化繁為簡.5同余與剩余類

同余的定義：設m≠0，若m|（a-b），即a-b=km，則稱a同余于b模m，b是a對模m的剩余，記作ab（mod m）.剩余類定義：設m∈[WTHZ]N[WTBX]+，把全體整數按其對模m的余數r（0≤r≤m-1）歸于一類，記為Kr.每一類Kr（r=0，1，2，…，m-1）均稱為模m的剩余類.同一類中任一數稱為該類中另一數的剩余.K0，K1，…，Km-1是模m的完全剩余類.這里常被考查到的結論有：（1）ab（mod m），bc（mod m）ac（mod m）；（2）ab（mod m），cd（mod m）a+cb+d（mod m）；（4）ab（mod m），cd（mod m）acbd（mod m）.例5（2015年高考江蘇數學第23題）已知集合X={1，2，3}，Yn={1，2，3，…，n}（n∈[WTHZ]N[WTBX]*），Sn={（a，b）|）a整除b或b整除a，[JB（]a∈X，b∈Yn[JB）}]，令f（n）表示集合Sn所含元素的個數.

（1）寫出f（6）的值；

（2）當n≥6時，寫出f（n）的表達式，并用數學歸納法證明.

解（1）根據題意按a分類計數：a=1，b=1，2，3，4，5，6；a=2，b=1，2，4，6；a=3，b=1，3，6；共13個，所以，f（6）=13.

綜上所述，結論對一切滿足n≥6的正整數n均成立.

評注第（2）題按命題者的意愿，要求考生先由不完全歸納法得出結論，再用數學歸納法證明，但這樣要求，反而限制了學生的思維發散.

從上面的例題可以看到，數論知識在高考試題中的滲透比較深，不少題難度比較大.如果從來沒有進行過數論知識的培訓，不了解數論中的方法與技巧，學生要想在這些題上拿到高分是很不容易的.因此，我們在平時的教學中，應該注意使用好選修教材《初等數論》，開闊學生的視野，做到有備無患.

參考文獻

[1]潘承洞，潘承彪.初等數論[M].北京：北京大學出版社，1998.

[2] 柯召，孫琦.關于方程xn+（x+1）n+…+（x+h）n=（x+h+1）n[J].四川大學學報（自然科學版），1962（2）：9-18.

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1.觀察法

觀察法就是觀察數列特征，找出各項共同構成規律，橫向看各項間的關系結構，縱向看各項與項數n的內在聯系，從而歸納出數列的通向公式，然后利用數學歸納法證明即可。

例1、在數列{}，{}中且成等差數列，成等比數列（）。求及，由此猜測{}，{}的通向公式，并證明你的結論。

解：有題設條件得，

由此得，

猜測

用數學歸納法證明：

（1）當n=1時，有以上知結論成立；

（2）假設n=k時，結論成立；即，，那么當時，，

所以當n=k+1時，結論也成立，

由（1）（2），可知對一切正整數都成立。

點評：采用數學歸納法證明多是理科教學內容，較為容易，好掌握。

2.定義法

直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應于已知數列類型的題目。

例2、等差數列是遞增數列，前n項和為，且a1，a3，a9成等比數列，。求數列的通項公式.

解：設數列公差為d（d>0）

a1，a3，a9成等比數列，

3.利用公式求通項

有些數列給出的前n項和與的關系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導出與的遞推式，從而求出。

例3.數列的前n項和為，=1，（n∈），求的通項公式。

解：由=1，=2，當n≥2時，==得=3，因此是首項為=2，q=3的等比數列。

故= （n≥2），而=1不滿足該式

所以=。

4.構造等比數列法

原數列既不等差，也不等比。若把中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數，為一次式。

例4、已知數列中，=2，=

（1）求的通項公式。

解：構造新數列，使之成為的等比數列

整理得：

使之滿足已知條件解得是首項為的等比數列，由此得

5.構造等差數列法

數列既不是等差數列，也不是等比數列，遞推關系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構造一個等差數列，從而間接求出。

例5、數列滿足，首項為，求數列的通項公式。

解：兩邊同除以得

數列是首項為=1，d=1的等差數列

故

6.取倒數法

有些關于通項的遞推關系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出。

例6、已知數列

解：把原式變形得兩邊同除以得 是首項為-1，d=-1的等差數列

故

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【關鍵詞】高考數學；廣東卷；全國卷；命題；復習策略

一、高考數學全國卷的命題特點

近年來，高考數學全國卷突出主干知識，全面走進新課改，在新課改的影響下，側重于結合向量、概率的運算；函數、導數、方程、不等式等相關題型的比重越來越大；空間圖形與方程的曲線也成高考的重點.數學高考的復習更傾向于抓住重點建構知識網格，引導學生從科學的高度與思維去認知試題.考生需要有綜合的數學知識、思想方法與學科能力，能抓住重點并突破創新，分析解決試題的多種方法，尋找最適合的解題方法.高考數學全國卷從考生出發，在平穩中考基礎，在題型交匯處考方法，在綜合中考能力與創新，試題充分反映考生的數學素養和學習能力.

二、廣東高考數學基于全國卷的復習策略與建議

1.注重基礎知識的融會貫通

高考數學全國卷相對于廣東卷選擇題比例增多，難度增大，但全國卷的選擇題和廣東卷的有著很大區別，全國卷考查的更深入一些，更注重基礎知識的綜合運用，考查的內容稍微高級一些，需要知道相關的數學知識才能順利解題.

這就要求考生對于基礎知識理解要到位，懂得融會貫通.平時多練習一些形式變化多樣的選擇題，能夠靈活使用相關的知識點進行知識的聯系，把握并適應選擇題難度的升高.

2.把握解答題的側重點，注重知識的綜合運用

廣東卷與全國卷的必做解答題的考點基本保持一致，全國卷在三角和數列中會選擇其一進行解答題的考察，近年來對數列的考察力度逐漸減少，要求考生掌握基本求和與通項，利用相關算法進行數列求和，三角方面不會脫離三角函數的知識.

高考數學廣東卷沒有涉及概率內容，而全國卷的概率解答題一直作為必考題出現.16年的考生應注意概率大題的計算與運用，克服自己的概率題的障礙，平時多思考，注重生活實際概率問題的解決.

解析幾何和函數綜合是廣東卷與全國卷共同的壓軸題，難度也幾乎一致.

全國卷的題型相對具有典型性，比如圓錐曲線最值問題，需要進行分類討論.全國卷圓錐曲線占比增大，廣東考生應注意備考時加強圓錐曲線題型的訓練，彌補在圓錐曲線綜合知識上的空缺與不足.

高考數學全國卷注重基礎知識的聯系，強調綜合創新能力的應用，考察考生的解決問題的綜合能力.例如15年高考數學全國卷理科（24）題，結合了幾何向量、導數與函數的知識，意在考察考生的交匯點知識綜合運用能力.這種命題模型將會成為今后的穩定的考察方向.

3.注意選做題解題形式，強化思維與邏輯

廣東考生需要注意的是選做題由2選1變成3選1，全國卷不等式成為必做題，分值的比例也有所增加.考生應把握不等式選講的學習，增加選修課程的熟悉度.

全國卷的選做題變成3選1，題目與內容都相對增加，要求廣東考生注意時間的把握， 建議考試在備考時對自己的學習情況有一個整體的認知與分析，將試題類型按照自己的擅長做出一個排序，防止浪費大量的解答時間.

將數學的抽象與邏輯進行數和形的角度觀察與歸納，通過演繹證明、空間想象等思維方法進行數學問題的分析與推理是近年來全國卷數學的主要特征之一.

全國的考題中證明題需要嚴格的步驟與過程，體現著學生的平面幾何知識基礎的運用.要求廣東考生平時加強邏輯演繹過程的訓練，側重于知識的梳理，進行反證法或數學歸納法進行推理證明，加強嚴密的邏輯思維與證明步驟.證明題中考生應注意輔助解答，不能忽視作圖輔助與條件表達，防止不必要的丟分.

建議廣東考生平時強化理性思維，加強數形結合與分類討論思想的系統訓練，加強對于邏輯題目結構的探索，找到適用于自己的一套邏輯解題模式.

4.注重知識積累與拓展，結合生活實際

全國卷題量大，要求考生在備考時鍛煉做題速度，基于常規與基礎進行務實的復習，雖然考察的都是基礎知識，但全國卷注重在題型中滲透新思維與知識交匯，建議廣東考生注重積累知識，查缺補漏，進行反復研究與拓展訓練，對題型的規律與特點進行總結，制定自己的解題策略，合理的分配時間.

全國卷近年來將試題融入實際性問題，綜合考察學生的實踐能力與數學應用能力，這是近年來數學高考的探索與改革趨勢.高考數學全國卷保證了考查的重點，也同時兼顧了試卷的深度與創新度，使試卷不僅具有穩定性，還注重考查雙基和學生的綜合實踐能力，同時反映了學生個性品質特點.

2014年高考數學全國卷理科（18）題，主要考查事件的概率、隨機變量的分布列和數學期望等知識，體現了數學在實際生活中的應用考查，要求學生具有數學應用意識與綜合能力.又例如2012年高考數學全國卷理科（19）題，側重于考生的實踐能力的考查：乒乓球比賽規則規定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續發球2次后，對方再連續發球2次，依次輪換.每次發球，勝方得1分，負方得0分.設在甲、乙的比賽中，每次發球，發球方得1分的概率為0.6，各次發球的勝負結果相互獨立.甲、乙的一局比賽中，甲先發球.考查的是相關比賽概率的具體計算與探究.建議廣東考生平時注重數學在實際生活的應用，將數學知識融入到日常生活，解決實際問題，這樣更有利于對全國卷實際應用解答型的把握.

【參考文獻】

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一、圓錐曲線與方程

對于圓錐曲線的有關問題，要有運用圓錐曲線定義解題的意識，“回歸定義”是一種重要的解題策略．如：（1）在求軌跡時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據圓錐曲線的方程，寫出所求的軌跡方程；（2）涉及橢圓、雙曲線上的點與兩個焦點構成的三角形問題時，常用定義結合解三角形的知識來解決；（3）在求有關拋物線的最值問題時，常利用定義把到焦點的距離轉化為到準線的距離，結合幾何圖形利用幾何意義去解決.直線與圓錐曲線的位置關系：（1）有關直線與圓錐曲線的公共點的個數問題，應注意數形結合；（2）有關弦長問題，應注意運用弦長公式及韋達定理來解決；（3）有關垂直問題，要注意運用斜率關系及韋達定理，設而不求，簡化運算．這部分考查的重點是拋物線．

【例1】如圖，已知拋物線M:x2=4py(p>0)的準線為l，N為l上的一個動點，過點N作拋物線M的兩條切線，切點分別為A,B，再分別過A,B兩點作l的垂線，垂足分別為C,D．(1)求證：直線AB必經過y軸上的一個定點Q，并寫出點Q的坐標；

(2)若ACN,BDN,ANB的面積依次構成等差數列，求此時點N的坐標．

溫馨提醒：在復習這部分時，通常遇到的題目解法較多（即入口較寬）時，要注意擇優．其實在處理解析幾何題時，同學們主要是在“算”上的功夫不夠．所謂“算”，主要講的是算理和算法．算法是解決問題采用的計算的方法，而算理是采用這種算法的依據和原因．我們要注意培養自己的計算能力．

二、空間向量與立體幾何

可以這樣說：“只要建立了空間直角坐標系，剩下的便是運算了．”應用空間向量解決立體幾何問題一般包括以下題型：解決空間平行與垂直、空間角度與距離問題．

【例2】如圖，直三棱柱A1B1C1－ABC中， C1C=CB=CA=2，ACCB. D、E分別為棱C1C、B1C1的中點.

（1）求點E到平面ADB的距離；

（2）求二面角E－A1D－B的平面角的余弦值；

（3）在線段AC上是否存在一點F，使得EF平面A1DB？若存在，

確定其位置；若不存在，說明理由.

溫馨提醒：

利用空間向量解決立體幾何問題，關鍵是要能熟練掌握如何用空間向量來表示各種位置關系與數量關系，落腳點就在向量運算上.

三、數學歸納法

運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題．

運用數學歸納法，可以證明下列問題：與自然數n有關的恒等式、代數不等式、三角不等式、數列問題、幾何問題、整除性問題等等．

【例3】設數列{an}滿足a1＝a，an＋1＝a2n＋a1，M={a∈R|n∈N*，|an|≤2}．

（1）當a∈（－∞，－2）時，求證：aM；

（2）當a∈（0，14］時，求證：a∈M；

（3）當a∈（14，＋∞）時，判斷元素a與集合M的關系，并證明你的結論．

【證明】（1）如果a2，aM．

（2） 當 0

事實上，當n=1時，|a1|=|a|≤12．此時a∈M

設n=k－1時成立（k≥2為某整數），即|ak－1|≤12，

則對n=k，|ak|≤|ak－1|2+a≤(12)2+14=12．

由歸納假設，對任意n∈N*，|an|≤12＜2，所以a∈M．

（3） 當a>14時，aM．證明如下：

對于任意n≥1，an>a>14，且an+1=a2n+a．

對于任意n≥1，an+1－an=a2n－an+a=(an－12)2+a－14≥a－14，

則an+1－an≥a－14．所以，an+1－a=an+1－a1≥n(a－14)．

當n>2－aa－14時，an+1≥n(a－14)+a>2－a+a=2，即an+1>2，因此aM．

溫馨提醒：數學歸納法是一種只適用于與正整數有關的命題的證明方法．兩個步驟缺一不可，第一步是遞推的“基礎”，第二步是遞推的“依據”．第二步中歸納假設起著已知條件的作用，在n=k+1時一定要用到它，否則就不是數學歸納法，第二步的關鍵是“一湊假設，二湊結論”．

四、排列組合、二項式定理

對于排列組合、二項式定理的綜合問題的考查，主要是在知識網絡交匯處設計問題，以其他章節知識為背景，考查同學們運用多種知識處理問題的綜合能力．

【例4】設數列{an}是等比數列，a1=C3m2m+3?A1m－2，公比q是(x+14x2)4的展開式中的第二項（按x的降冪排列）．（1）用n,x表示通項an與前n項和Sn；

（2）若An=C1nS1+C2nS2+…+CnnSn，用n,x表示An．

溫馨提醒：由于這部分內容的課時較少，一般是將排列組合、二項式定理融入到導數，數學歸納法，概率統計等內容中去，所以同學們要注意這類交匯型問題.

五、概率統計

【例5】在1,2,3,…,9這9個自然數中，任取3個不同的數．

（1）求這3個數中至少有1個是偶數的概率；

（2）求這3個數和為18的概率；

（3）設ζ為這3個數中兩數相鄰的組數（例如：若取出的數為1,2,3，則有兩組相鄰的數1,2和2,3，此時ζ的值是2）．求隨機變量ζ的分布列及其數學期望Eζ．

【解】（1）記“這3個數至少有一個是偶數”為事件A，

則P（A）=C14C25+C24C15+C34C05C39=3742；

（2）記“這3個數之和為18”為事件B,考慮三數由大到小排列后的中間數只有可能為5、6、7、8，分別為459，567，468，369，279，378，189七種情況，所以P(B)=7C39=112；

（3）隨機變量ζ的取值為0,1,2,ζ的分布列為

ζ012

P51212112

ζ的數學期望為Eζ=0×512+1×12+2×112=23．

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關鍵詞：數學觀察；觀察角度；智慧

從信息加工的角度看，數學活動中的觀察就是有目的、有選擇地對各種數學材料進行概括的知覺過程，其成果就是數學材料的外部特征和整體特征。在數學考試中，如何贏得充裕的解答時間，是每位同學的共同愿望。實際上，有不少同學為了爭取時間，一拿到試卷就做，有時已知條件都沒有看清，反而浪費了時間。其實在解題過程中先觀察一下，花少量的時間認真審題，看清條件和結論，說不定會有一些意想不到的發現。

但是，每個學生的知識經驗、個性特點均不相同，因而觀察的效果也不相同。在觀察過程中，有的學生觀察只憑興趣，抓不住重點；有的走馬觀花；有的草率急躁；還有的觀察不夠全面；同時為了保證解題的準確率和速度，觀察必須是一個有序的思維過程，不能是雜亂無章的，否則，觀察就會起到負面作用。所以在教學過程中，非常有必要對學生進行有針對性的指導，培養學生良好的觀察習慣，找到合適的觀察角度。

一、整體局部觀察

由于學生的知識水平有限，往往在觀察的過程中只注意到問題的一個方面而忽視整體，從而無從下手。所以要教育學生從整體與部分的角度進行觀察，在把握整體特征的同時也要注意局部所具有的特點。從整體中看部分，在部分中把握整體，只有這兩方面都考慮全面，才能抓住問題的關鍵。

二、特殊數值觀察

有些數學問題蘊含的性質比較隱蔽，如果稍加分析，便會發現一些特征，尤其是一些特別的數值，對解題具有一定的導向作用，所以要善于觀察，從數字之間的聯系去尋找解題的思路。

三、特殊結構觀察

有些數學問題中的結構其實隱含著某種特殊的關系，善于觀察并加以聯想，從而實施轉換，找到解決問題的方法。

四、猜想觀察

數學中的某些問題，一時看不出它具有哪些特征，或者很難找到解決問題的辦法，此時，我們常常通過觀察，從而獲得猜測，然后對其正確性進行推斷，達到解決問題的目的。像在數列運算中，在求數列解析式的時候經常會先猜想再利用數學歸納法去證明。

上面的思路對思維和變形的要求比較高，如果變形的方向不正確就很難達到最終的結果。所以我們還可以按觀察并猜想的方法。

第（3）小題也可以利用數學歸納法。利用思路2，就將過程轉換成簡單的公式變形，使難度大大降低。

當然在數學解題的過程中，通過不同的觀察方法，可以得到有效的解題途徑。我們需要將觀察與思維有效地結合起來，注意觀察的目的性和條理性，從而不斷地地提高觀察的準確性和全面性，當遇到類似問題的時候，就可以達到舉一反三的效果。

參考文獻：

[1]馮寅.數學解題中的六大觀察法[J].中學數學：高中，2002（3）.

[2]李永誠.慧眼巧解題[J].內蒙古教育，2008（6）.

篇7

關鍵詞：新課程，職高高考，數學復習

 

職業高中的對口高考已越來越多的被社會、被政府、被學生和學生家長所認識、所認可,并成為各職業中學學生進入高一級學校學習深造的平臺，成為推進學校快速發展的“風火輪”。而就職業高中高考的數學復習來說, 對不少高考考生認為，數學復習是難過的一道檻兒，知識綜合性強，涉及范圍廣, 使許多同學感到既畏懼，又無從下手，甚至認為自己不是學習數學的料。那么新課程理念下如何提高職業高中高考數學復習效率呢？筆者結合自己多年的教學經驗,提出幾點建議, 旨在拋磚引玉，希望各位舉一反三。，職高高考。

一、吃透考試大綱, 夯實基礎

《考試大綱》其實對于我們每個人來說都不陌生，從學生時代起就對《考試大綱》有所了解，簡單地說,《考試大綱》就是對考什么，怎么考，重點是什么；答什么，怎么答等問題的具體規定和解說。所以我建議同學們也應該認真學習《考試大綱》，依綱復習，必能抓住重點，少走彎路。其中, 廣東省職業學校對口升學考試數學《考試大綱》指出：'今后的教學和復習中首先要切實抓好基礎知識的學習,并在此基礎上, 強調了知識間的內在聯系，注意從學科的整體高度出發，立足于數學學科，夯實基礎，要求考生能

確定概念與結論的類型，把握中心概念，注重各部分知識的綜合性、相互聯系及在各自

發展過程中各部分知識間的縱向聯系 ，自主梳理出主干知識，對主干知識要強化記憶，加深

理解，做到微觀上記憶清晰，宏觀上脈絡清楚。

綜觀這兩年廣東省的對口高考數學試題，總體來說難度不大，沒有偏難怪題出現，沒超過該考綱，試題設置較為科學嚴謹，題目分布情況也比較合理。因此,我們更要關心對《新課程標準》、《考試大綱》中規定知識點，知識面, 注重知識的橫向比較和縱向聯系，注重理論聯系實際，發現命題中圖形，數表和數列、周期性變化等變化規律。同時,應該關注廣東省職業學校對口升學考試數學新課程改革的進程,了解新課程改革后的新高考方案，考試內容和考試模式等; 注意將新

課程教材中的新思想、新精神、新成果滲透到原有課程的教學中,只有這樣, 才能少走彎路，少做或不做無用功。

二、掌握題型，注意知識歸類與題型的積累

歸類復習是教與學的過程中一個必不可少的環節，歸類就是把每項的具體商品按其特性歸在一處復習，概念是歸類復習中最常用的一種教學方式，目的是運用歸類比較有利于學生把同類概念聯系起來，又把它們區別開來，使學生明確概念的外延從而加深對概念內涵的理解，從而靈活運用所學概念解決實際問題，而運用概念的過程又是深化理解概念的過程，可使學生更深刻地理解概念的含義，而對各判定公理及判定定理之間的歸類，則有利于尋找空間中幾何元素的位置關系，解決實物和幾何之間的內在的聯系，憑借

直覺思維，在想象實物和幾何體之間的關系中尋得答案，例如：在考查線線、線面、面面之間關系的判定與性質時可沿以下：這條路線歸納證題思路：把線面平行轉化為線線平行．用轉化的方法掌握應用

直線與平面平行的性質定理，即由線面平行可推得線線平行，通過線線垂直、線面垂直、面面垂直的轉化提高化歸轉化能力。這環環相扣，把學生引入一個又一個“憤”與“悱”的境地，使得學生抓住問題的本質，理清思路，制訂合理的解題策略。因此，教學時教師一定要有針對性地選好題型，利用知識的內在聯系，引導學生去掌握這些概念、定理之間內在聯系與區別，只有如此學生才能使學生掌握一定的條

理性和規律性，才會對公式、定理和規則熟悉，解題速度自然就越快。

再有，在立體幾何的復習中，要通讀教材，初步把握教材的基本內容及編寫意圖后，教師要深入研讀教材，系統整理課本中的基本概念、基本方法和基本定理，針對考題特點，講析應對策略、復習方法、規律步驟，引導學生從紛繁復雜的教材中加以歸納和總結，只有這樣，才能起到自我體驗、自我感悟、自我教育的目的。

三、狠抓基礎知識，夯實教育教學基本功

扎扎實實地學好了數學基礎知識和技能, 是學好數學的前提和基礎，是提高對口高考數學優異成績的根本途徑。最近，國家教育部公布的信息顯示,考生由于概念不清楚、公式錯用、張冠李戴而失分的情況十分嚴重。因此，數學考試的形式不管如何變化,在任何情況下,都要清醒地認識到自身的差距和不足，扎扎實實、認認真真夯好基礎, 切切實實把好數學的基本功，平時加強數學教學管理，掌握全校數學教學狀況，在校園創設濃濃的數學氛，這是職業高中高考數學復習中最關鍵的因素。

1、那么如何切切實實抓好數學的基本功呢。首先狠抓審題，突出重點，加強訓練。數學是用形式化的符號語言反應數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科,其符號通常表示的不是學生熟悉的生活空間,而是一個廣義的概念，它的確定給符號確定了目標和標準。因此,只有對數學基礎知識和基本技能的理解與掌握, 才能提升學生對數學語言的理解能力。，職高高考。，職高高考。在職業高中高考數學中, 通過對信息內容的自動分析，

探尋解題的突破口，以確定解題的思路、方案和途徑,是十分重要的。

如何能利用有限的時間培養學生的審題能力呢，筆者認為, 審題意識的提高和

審題習慣的培養既需要教師潛移默化的熏陶,也需要著意進行訓練。因此，教學中,要首先應有意識引導

學生審題，可以適當做一些審題訓練，以提高學生的審題能力，逐步做到對試題瀏覽一到兩遍，做到胸有全局，以穩定情緒、增強信心, 學生自己能讀懂題意，分析題意是一種不可缺少的能力，而教師正面地給學生講原理，對如何讀題,審題可以作一些提示，但絕不能代替學生的思維;同時教師必須為學生提供審題的機會，為學生留有思考的時間和空間。，職高高考。

2、加強對學生運算能力和分析問題、解決問題能力的培養。從近幾年的廣東省職業學校對口升學考試數學試卷來看,雖然考題型基本一致，難度大致相當,但，運算量的逐年增加，對計算的要求

越來越高，這就造成很多同學解題上很大的障礙,看來只有平時多多訓練，在對口高考中才會輕松。運算能力的強弱主要表現在運算的正確與否和速度的快慢上,是獲得了解題的突破口之后,在基本概念、主要公式、運算法則的指導下, 對言語提供的事實運用演繹推理

進行解釋，尋找與設計合理、簡捷的運算途徑, 提高運算的合理性與簡捷性的整個過程。

3、數形結合能力。在數學教學中，由數想形，以形助數的數形結合思想，具有可以使問題直觀呈現的優點，數形

結合的思想方法是學好中學數學的重要思想方法之一,其相應的能力包括識圖能力、空間想象和思維能力、構造圖形的能力等。識圖能力是學習數學的最基本最重要的能力，能夠熟練準確地識圖用圖，對數學學習乃至

終身發展都是有益的。在職業高中高考數學復習中,我們要將基本功訓練，提高和展示，培養學生的觀察和創作活動擺到十分重要的位置上,因為這是職業高中高考數學復習的主要方向。

四、引導學生重視錯題，挖掘錯題的功能，用好錯題資源

職三的復習, 各類“仿真”“模擬”試卷要做上幾十套，基本上涵蓋了高考的整個內容。而在做的過程中, 記錄著

學習中這樣或那樣的錯誤，這些錯誤 ,是指把平時練習中的問題歸納、總結并收集起來。職三的復習中，有的同學做題只重數量而不重質量的做題方式，完全是題海戰術，做過后從來不注重總結出題規律

和自己的薄弱環節，這樣不僅要占用學生大量的時間，而且對學生身體的負擔

也很大。做題的目的是鞏固和消化學習成果，培養和鍛煉分析問題和

解決問題的能力，是克服自己的弱點和不足的有效手段。俗話說“失敗者成功之母”， 最核心的，最好的經驗，都是從失敗，錯誤的實踐中總結出來的，因此，自己發現錯誤的原因并及時改正，有助于以后不再犯類似的錯誤。假如平時做題出錯較多，就只需把平時作業及考試中做錯的典型性錯誤找出來，把錯誤的習題從試卷上“剪切”下來，在旁邊寫上評析，然后保存好，每過一段時間，看一看。這樣

才能及時查漏補缺，對癥下藥，及時搬掉“攔路虎”，及時予以補救。，職高高考。除了把不同的題目弄懂以外，還要

注意對自己不會的題型進行突破，向老師求教解題技巧，并做一些強化訓練，注意一題多解(方法的發散)，多題一解(方法的歸類，舉一反三)，及時回納。

結束語：

總之,在職業學校對口升學考試數學復習中,我們要樹立正確的世界觀，人生觀,牢固確立確立學生在數學教學中的主體地位, 堅持在教師的點撥下學習轉換到充分發揮自主意識進行自能學習的軌道上來, 使學生更好地認識高考、體驗高考、磨煉意志和提高自身素質，以提高高職學生自身的應試能力。，職高高考。同時教師要想方設法創設情境，把學生的心理調節到最佳狀態, 激發參與意識，使學生樂于參與,在職業學校對口升學考試中創造出優異的成績。

參考文獻：

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篇8

關鍵詞：探索性問題；教學策略；解題思路

為了培養學生能夠用數學工具描述和處理自然界和社會中的某些現象，培養學生從數學角度發現和提出問題，并且提供進行探索和研究的渠道和廣闊的空間，新課程高中數學教學和考試評價中出現了一些新題型． 它們具有以下一些特征：①給出題設條件，但題目結論未指明，或者只給出結論范圍，要解題者自己作出判斷和選擇；②題目給出結論，但條件殘缺，或不給出條件，要求給出或補充使題目結論成立的條件；③給出一些特殊情況，要求歸納、猜測一般結論并給出證明；④先給出一個封閉性的問題，改變題設條件或結論，討論其結論或條件將發生怎樣的變化；⑤條件結論都知道，解題需要經歷觀察、試驗、歸納、猜測的探索過程等． 它們區別于封閉性的數學問題，更能培養學生的創新精神和實踐能力，人們稱之為數學探索性問題． 由于探索性問題具有較強的趣味性、較大的靈活性和較深的隱蔽性，加之其問題背景新穎、解法靈活多變，故能很好地考查學生的觀察、比較、分析、綜合、抽象和概括等思維能力，特別是運用知識方法分析和解決問題的創新能力． 從近幾年全國及各省市高考自主命題中我們不難發現：探索性問題呈逐年上升的趨勢． 但是由于探索性問題的求解缺乏現成的套路和方法，解題的思考方向有很大的不確定性，且內容廣泛、形式多樣，給學生解題帶來一定困難． 因此，有效指導學生探究解決探索性問題有利于激活學生思維，提高問題解決能力，實現創新性學習．

指導方法，尋找學習的鑰匙

“未來的文盲不再是不識字的人，而是沒有學會怎樣學習的人”，這充分說明了學習方法的重要性，它是獲取知識的金鑰匙．學生一旦掌握了學習方法，就能自己打開知識寶庫的大門． 因此我們要改進課堂教學，不但要幫助學生“學會”，更要指導學生“會學”． 在教學中，筆者主要在讀、議、思等幾個方面給予指導．

1． 教會學生“讀”． 這主要用來培養學生的數學觀察力和歸納整理問題的能力． 我們知道，數學觀察力是一種有目的、有選擇的對數學材料的知覺能力． 教會學生閱讀，就是培養學生對數學材料的直觀判斷力，這種判斷包括對數學材料的深層次、隱含的內部關系的實質和重點，逐步學會歸納整理，善于抓住重點以及圍繞重點思考問題的方法． 這在預習和課外自學中尤為重要．

2． 鼓勵學生“議”． 在教學中鼓勵學生大膽發言，對于那些容易混淆的概念，沒有把握的結論、疑問，就積極引導學生議，真理愈辯愈明，疑點愈理愈清． 對于學生在議中出現的差錯、不足，教師要耐心引導，幫助他們逐步得到正確的結論．

3． 引導學生勤“思”． 從某種意義上來說，思考尤為重要，它是學生對問題認識的深化和提高的過程． 養成反思的習慣，反思自己的思維過程，反思知識點和解題技巧，反思各種方法的優劣，反思各種知識的縱橫聯系，適時地組織引導學生展開想象：題設條件能否減弱?結論能否加強？問題能否推廣？等等．

鼓勵質疑，讓學生學有創見

我們會經常遇到這樣的情況：有的學生在解完一道題時，總是想問老師或找些權威的書籍，來驗證其結論的正確． 這是一種不自信的表現，他們對權威的結論從沒有質疑，更談不上創新． 長此以往的結果，他們只能變成唯有書本是真理的“書呆子”． 中學階段，應該培養學生相信自己，敢于懷疑的精神，甚至應該養成向權威挑戰的習慣，這對他們現在的學習，特別是今后的探索和研究尤為重要． 如果真找出“權威”的錯誤，對學生來講也是莫大的鼓舞． 例如：拋物線y2=2px的一條弦直線是y=2x+5，且弦的中點的橫坐標是2，求此拋物線方程． 某教師答案特意寫成如下形式：

由y=2x+5，y2=2px得：4x2+（20-2p）x+25=0①．

由x1+x2==4得p=18，故所求拋物線方程為y2=36x．

然后讓學生產生質疑：把p=18代入方程①，方程無實解；或方程①要有Δ=4p（p－20）>0，即p20，故p=18不合題意． 本題無解．

教學中，對這樣的新發現、巧思妙解及時褒獎、推廣，能激起他們不斷進取、努力鉆研的熱情． 而且筆者認為，質疑教學，對學生今后獨立創造數學新成果很有幫助，也是數學探索能力的一個重要方面． 教師還要深入分析并把握知識間的聯系，從學生的實際出發，依據思維規律，提出恰當的富于啟發性的問題，去啟迪和引導學生積極思維． 同時采用多種方法，引導學生通過觀察、試驗、分析、猜想、歸納、類比、聯想等思想方法，主動地發現問題和提出問題．

教師還要引導學生廣開思路，重視發散思維，鼓勵學生標新立異，大膽探索． 例如，已知點P（x，y）是圓（x－3）2+（y－4）2=1上的點，求的最大值和最小值． 本題用參數方程或直接利用點在圓上的性質，解決較煩瑣． 此時應打破常規，恰當點撥，引導學生數形結合． 設k=，問題變為求直線y=kx的斜率的最大值和最小值問題，再進一步引導，求的最大值和最小值問題，可把定點分圓上、圓內、圓外幾種情況進行討論，由此可使學生對求之類的數的最大值、最小值問題的幾何意義有更深入的了解． 因此，教師不僅要讓學生學會學習，而且要鼓勵創新，發展學生的學習能力，讓學生創造性地學習．

因題施教，培養問題解決能力

1． 對存在型探索性問題的教學． 這類問題一般具有上述①②④特征，通常討論的是在給定的題設條件下是否存在某個數學對象或成立某個數學結論的問題，具體提法常常是某個數學事物或某種特征是否存在，若存在求出這個事物或特征，若不存在請說明理由． 解這類問題的基本策略是：先假設所探求的對象存在或結論成立，以假設為前提進行運算或邏輯推理，若推出矛盾則假設不成立，從而得到否定的結論，即不存在；相反則存在，事實上是借用反證法的思路．

例1 已知常數a>0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a，O為AB的中點，點E，F，G分別在BC，CD，DA上移動，且==，P為GE與OF的交點（如圖1），是否存在兩個定點，使P到這兩點的距離的和為定值？若存在，求出這兩點的位置及此定值，請說明理由．

圖1

分析：根據題設條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩點距離的和為定值．

解：按題意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）．

設===k（0≤k≤1）．

由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak），直線OF的方程為：2ax+（2k－1）y=0①．

直線GE的方程為：－a（2k－1）x+y－2a=0②．

從①②消去參數k，得點P（x，y）坐標滿足方程2a2x2+y2－2ay=0，

整理得+=1．

當a2=時，點P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點．

當a2≠時，點P軌跡為橢圓的一部分，點P到該橢圓焦點的距離的和為定長．

即當a2

當a2>時，點P到橢圓兩個焦點0，a-，0，a+的距離之和為定值2a．

2． 對歸納型探索性問題的教學． 這類問題通常討論的是給出一些特殊情況的結論，要求推斷出一般的或普遍性結論的問題． 大多涉及自然數的數學問題，如含自然數n的等式、不等式、整除問題和有關的幾何問題等等． 解這類問題的基本策略是從條件出發通過觀察、試驗、分析、比較、歸納、猜想，探索一般規律；然后對歸納、猜想的結論進行證明． 如果是含自然數n的命題可采用數學歸納法，否則可采用演繹推理的方法．

例2 設數列｛an｝滿足an+1=a－nan+1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）當a1=2時，求a2，a3，a4，并由此猜想出｛an｝的一個通項公式．

（Ⅱ）當a1≥3時，證明對所有的n≥1有

（ⅰ）an≥n+2；

（ⅱ）++…+≤．

解：（Ⅰ）由a1=2，得a2=a－a1+1=3，

由a2=3，得a3=a－2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a－3a3+1=5．

由此猜想｛an｝的一個通項公式：an=n+1（n≥1）．

（Ⅱ）（ⅰ）用數學歸納法證明：

①當n＝1時，a1≥3=1+2，不等式成立；

②假設當n＝k時，不等式成立，即ak≥k+2，那么，ak+1=ak（ak－k）+1≥（k+2）?（k+2－k）+1≥k+3，也就是說，當n＝k+1時，ak+1≥（k+1）+2．

根據①和②，對于所有n≥1，有an≥n+2．

（ⅱ）由an+1=an（an－n）+1及（ⅰ），對k≥2，有ak=ak-1（ak-1－k+1）+1≥ak-1（k－1+2－k+1）+1=2ak-1+1，

……

所以ak≥2k-1a1+2k-2+…+2+1=2k-1（a1+1）－1．

于是≤?，k≥2，

≤+=≤≤=．

3． 對比較型探索性問題的教學． 對通常討論的是若干對象之間的關系或某些性質上的異同問題，經常出現的形式是判斷幾個代數式或某些數值的大小，比較幾個函數、幾條曲線之間的異同，比較數列之間的差異． 求解策略視比較而定，對比較數、式大小可采用作差、作商、代數基本不等式、函數單調性等方法來處理，從邏輯方法角度考慮可選用綜合法、分析法、反證法、數學歸納法等． 對比較幾個數學對象性質的問題一般先分析所比較數學對象性質的特征，然后用類比聯想法來作出分析和比較，如對函數的比較可采用數形結合、特殊化等方法．

例3 已知數列｛bn｝是等差數列，b1=1，b1+b2+…+b10=145．

（Ⅰ）求數列｛bn｝的通項bn；

（Ⅱ）設數列｛an｝的通項an=loga1+（其中a>0，且a≠1），記Sn是數列｛an｝的前n項和，試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結論．

本小題主要考查等差數列基本概念及其通項求法，考查對數函數性質，考查歸納、推理能力以及用數學歸納法進行論證的能力．

解：（Ⅰ）設數列｛bn｝的公差為d，由題意得b1=1，10b1+d=145，

解得b1=1，d=3，所以bn=3n－2．

（Ⅱ）由bn=3n－2，知Sn=loga（1+1）+loga（1+）+…+logn1+=loga（1+1）1+…1+，

而logabn+1=loga．

因此要比較Sn與logabn+1的大小，可先比較（1+1）1+…1+與 的大小．

取n＝1有（1+1）>，

取n＝2有（1+1）1+>，

……

由此推測（1+1）1+…1+>①．

若①式成立，則由對數函數性質可斷定：

當a>1時，Sn>logabn+1；

當0

下面用數學歸納法證明①式．

（ⅰ）當n＝1時已驗證①式成立．

（ⅱ）假設當n＝k（k≥1）時，①式成立，即（1+1）1+…1+>，

那么，當n＝k+1時，（1+1）1+…1+1+>?1+=（3k+2）．

因為（3k+2）3－［］3==>0，所以（3k+2）>=，因而（1+1）?1+…1+1+>．

這就是說①式當n＝k+1時也成立．

由（ⅰ）（ⅱ）知①式對任何正整數n都成立．

由此證得：

當a>1時，Sn>logabn+1；

當O

4． 對討論型探索性問題的教學． 這類問題通常是討論題設中包含的多種可能的情形或題設中含有在某一取值范圍內變化的參數，導致探索結果有多種可能的情形，有時問題比較隱蔽，常以前三類問題中某一類型的形式出現．解題基本策略是首先發現題設包含的多種可能，然后采用分類討論的方法來處理（如例1）．

探索性問題一般以解答題形式出現，但這幾年也出現在選擇題和填空題中，如例4—例6，解題過程略．

例4 向高為H的水瓶中注水，注滿為止，若注水量V與深h的函數關系的圖象如圖2所示，

圖2

那么水瓶的形狀可能是：（ B ）

例5 如圖3，在直四棱柱A1B1C1D1－ABCD中，當底面四邊形ABCD滿足什么條件時，有A1CB1D1． （注：寫上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形．）

圖3

例6 α，β是兩個不同的平面，m，n是平面外的兩條不同直線． 給出四個論斷：

①mn；②αβ；③nβ；④mα．

篇9

數據處理能力

數據處理能力主要依據統計或統計案例中的方法對數據進行整理、分析，并解決給定的實際問題.統計是研究如何合理收集、整理、分析數據的科學，它可以為人們制定決策提供依據，逐漸成為一個必備常識. 統計的教學具有重要的地位，新課標高考對統計知識的考查力度得到加強.

數據處理能力考查主要表現在： （1）在概率統計中命制試題，它是把有關數據處理與概率統計題綜合在一起，其側重點在概率統計的有關知識.具體表現在抽樣方法、統計圖表、用樣本估計總體等.（2）在線性回歸分析中命制試題，具體表現在求回歸方程并由此解決其他有關問題，其側重點在最小二乘估計. 此類試題有較復雜的運算過程，同時考查運算能力.

例1 （2014年高考山東卷）乒乓球臺面被網分隔成甲、乙兩部分，如圖1所示，甲上有兩個不相交的區域[A，B]，乙被劃分為兩個不相交的區域[C，D].某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規定：回球一次，落點在[C]上記3分，在[D]上記1分，其他情況記0分.對落點在[A]上的來球，隊員小明回球的落點在[C]上的概率為[12]，在[D]上的概率為[13]；對落點在[B]上的來球，小明回球的落點在[C]上的概率為[15]，在[D]上的概率為[35].假設共有兩次來球且落在[A，B]上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：

（1）小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；

（2）兩次回球結束后，小明得分之和ξ的分布列與數學期望.

圖1

解析 （1）記[Ai]為事件“小明對落點在[A]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

記[Bi]為事件“小明對落點在[B]上的來球回球的得分為[i]分”（[i]=0，1，3），

則[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

記[D]為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.

由題意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的獨立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）?P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為[310].

（2）由題意知，隨機變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6.

由事件的獨立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得隨機變量[ξ]的分布列為：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以數學期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

應用意識

縱觀近幾年高考試題，高考命題在“用”中必考，問題的設計多與函數、方程、數列、不等式、三角函數、解析幾何、立體幾何等知識聯系. 考查貼近生活、有社會意義和時代意義的應用題，立意考查“大眾”數學應用題是高考命題的一個趨勢，也是高考的一個熱點問題. 在應用題中主要考查閱讀能力、應用能力和探究能力，關注當前國內外的政治、經濟、文化，緊扣時代的主旋律，凸現了學科綜合的特色，是高考命題的一道亮麗風景線，其解題的關鍵在于構建適當的數學模型.

例2 （2014年高考江蘇卷）如圖2，為了保護河上古橋[OA]，規劃建一座新橋[BC]，同時設立一個圓形保護區. 規劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓.且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80m. 經測量，點A位于點O正北方向60m處， 點C位于點O正東方向170m處（OC為河岸），[tan∠BCO=43].求新橋BC的長？

[北][東]

圖2 圖3

解析 法1：（兩角差的正切）如圖3，連結[AC]，由題意知，[tan∠ACO=617]，則由兩角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新橋[BC]的長度為[150]m.

法2：由題意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直線[BC]的斜率[k=-43]，則直線[BC]所在直線的方程為[y=-43（x-170）]. 又由[ABBC]可知，[AB]所在的直線方程為[y=34x+60]；聯立方程組[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即點[B（80，120）]，則[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新橋[BC]的長度為[150]m.

點撥 從考試角度來說，應用題主要考查兩個方面的能力：建立數學模型的能力（簡稱“建模”能力）、解決數學模型的能力（簡稱“解模”能力）. 從應試方法上如何突破呢？首先要系統研究所有可能出現的應用題并做到能對癥下藥，常考查的應用題類型有：函數應用題（以分式函數為載體的函數應用題、以分段函數為載體的函數應用題、以二次函數為載體的函數應用題）、三角測量應用題（以三角函數的定義為載體的三角應用題、以三角函數的圖象為載體的三角應用題、以解三角形為載體的三角應用題、以立體幾何為載體的三角應用題、以追擊問題為載體的三角應用題）、數列應用題、線性規劃應用題、解析幾何應用題.

創新意識

對創新意識的考查是對高層次理性思維的考查，要求考生不僅能理解一些概念、定義，掌握一些定理、公式，更重要的是能夠應用這些知識和方法解決數學和現實生活中的比較新穎的問題.回顧近年來的高考數學試題，不難發現：關注探究創新意識，考查數學理性思維，已成為高考命題的一種趨勢.在高考試題中常常通過創設一些比較新穎的問題情境，構造一些具有一定深度和廣度、能體現數學素養的問題，著重考查數學主體內容.題型主要有：（1）條件探究型，（2）結論開放型，（3）條件和結論都發散型，（4）信息遷移型，（5）存在型，（6）解題策略開放型.

例3 （2014年高考重慶卷）設[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及數列[{an}]的通項公式；

（2）若[b=-1]，問：是否存在實數[c]使得[a2n

解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由題設條件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

從而{（[an]-1）2}是首項為0，公差為1的等差數列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改寫為[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用數學歸納法證明上式.

當[n=1]時，結論顯然成立.

假設[n=k]時結論成立，即[ak=k-1]+1，

則[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

這就是說，當[n=k+1]時結論成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：設[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用數學歸納法證明命題[a2n

當[n=1]時，[a2=f（1）=0]，[a3=f（0）=2]-1，所以[a2]

假設[n=k]時結論成立，即[a2k

易知[f（x）]在（-∞，1]上為減函數，

從而[c=f（c）>f（a2k+1）>f（1）=a2]，即[1>c>a2k+2>a2].

再由[f（x）]在（-∞，1]上為減函數，

得[c=f（c）

故[c

綜上，存在[c=14]使[a2n

法二：設[f（x）=（x-1）2+1]-1，則[an+1=f（an）].

先證：0≤[an]≤1（[n∈N*]）.①

當[n=1]時，結論明顯成立.

假設[n=k]時結論成立，即[0≤ak≤1].

易知[f（x）]在（-∞，1]上為減函數，

從而[0=f（1）≤f（ak）≤f（0）=2-1

即[0≤ak+1≤1]. 即當[n=k+1]時結論成立.故①成立.

再證：[a2n

當[n=1]時，[a2=f（1）=0]，[a3=f（a2）=f（0）=2]-1，

所以[a2

假設[n=k]時，結論成立，即[a2k

由①及[f（x）]在（-∞，1]上為減函數得，

[a2k+1=f（a2k）>f（a2k+1）=a2k+2，]

[a2（k+1）=f（a2k+1）>f（a2k+2）=a2（k+1）+1.]

即當[n=k+1]時，②成立.

所以②對一切[n∈N*]成立.

由②得，[a2n

即（[a2n]+1）2

因此[a2n

又由①②及[f（x）]在（-∞，1]上為減函數得，

[f（a2n）>f（a2n+1），即a2n+1>a2n+2].

所以[a2n+1]>[a22n+1-2a2n+1+2]-1，

解得[a2n+1]>[14]. ④

篇10

關鍵詞：高三 數學 建議

在進行數學復習的過程中，數學教師應當深刻認識復習的成效，取決于學生在課堂上能產生多少思維量，對學過的知識進行再加工，要求數學教師能夠將知識以全新的面貌呈現在學生面前，讓學生能夠產生新的感受，復習應當有重點，能夠突出難點，為學生制定科學合理的復習計劃，為復習工作的順利開展奠定基礎。

一、立足教材，以不變應萬變

從近年的高考數學趨勢來看，出題方向仍然堅持“新題不難，難題不怪”的思路，有的知識點看起來在教材中沒出現過，但是經過細心推敲，“一層紙”的距離常常使數學教育者恍然大悟，在數學教育者和社會各界的有識之士的不斷探索之下，對是高考數學的普遍意義有了全新的認識――“注意通性通法，淡化特殊技巧”，為學生的復習道路指明了方向。

例如，數學教師在幫助學生復習直線方程帶入圓錐曲線的相關知識點的時候，可以將直線方程帶入曲線方程，整理成一個一元二次方程，再將“根的判別式、韋達定理、兩點之間的距離公式”等教材中重要的知識點進行融合改編成另外一種精彩的試題，其中涵蓋了解析幾何題型的基本方法，也是往年高考的重點，數學教師應當研讀教材，從學科的整體意義上出發，回歸課本，幫助學生吃透教材中的例題、經典題型。幫助學生建立系統的知識理論體系，以不變應萬變。避免死記書本上的例題和理論，重點掌握解析例題過程中，對例題涵蓋的知識點進行剖析，對針對性極強的題型進行強化訓練，提高復習成效。

二、明確復習主題，突出復習重點

數學教師應當運用一雙敏銳的雙眼，深刻剖析近年來數學的考試重點，認真研究各年的高考題型，明確考試重點，在復習課堂上能夠有針對性的進行復習，教師講到位，學生學到位，科學的復習計劃往往起到事半功倍的效果，為學生的復習之路保駕護航。

（一）例如，復習函數相關知識內容的時候，應當以不等式的知識點為復習主體，代數以函數為主干，不等式與函數結合的相關題型為考試“熱點”

（關于函數的性質，單調性、奇偶性、周期性、對稱性應當以具體函數、和圖像結合進行直觀展開）

1.在復次函數與一元二次方程相關知識點的時候，在內容上，應當以二次函數的值域含參變量的二次函數值域為復習重點；在解題方法上，應當以配方、換元和不等式為復習重點。另外，與一元二次函數具有很大聯系的其方程根的分布、不等式的解法以及二次曲線交點問題等，這些都應當在高三數學復習中以大量課時來攻堅。

2.在復習不等式證明相關知識點的時候，不難發現，數列跟函數與不等式的聯系一直是考式中的“熱點”，此時，可以運用數學歸納法進行復習重點，時刻跟隨高考的考試基調，為學生的復習之路點一盞明燈。

3.在復習解不等式相關知識點時，復習重點應當突出靈活轉化和分類分層為復習重點。

（二）數列知識點的復習應當以考試重點等比、等差的通項、求和、極限為復習重點，關于難點抽象數列的復習，只要求學生掌握“歸納―總結”就可以。

（三）三角函數的復習地位比較尷尬，考試非重點，但難度指數一直偏高，因此，數學教師應當對本部分的訓練只要求學生進行公式的靈活運用即可（三角之間的基本轉化）。

（四）復數應為考試非重點，只要求掌握基本公式，對例題進行訓練帶過，難度不做特殊要求。

（五）立體幾何應當將線段與線段、線與面、面與面的空間位置關系作為復習重點。幾何體的復習以正方體的知識點為重點，錐形體的復習以側棱或者側面在地面的投影為復習重點；對于有一定難度的幾何體的結合體，位置關系的證明和三垂定理以及逆定理為復習重點。（二面角能夠強化三垂定理的訓練）。空間距應當以點與面之間的距離，線與面之間的距離，面與面之間的距離為復習重點。

（六）另外針對教材中新增的一些知識點（導數的幾何意義、導數的應用、線性規劃、向量、抽樣方法、期望與方差、概率與統計）等知識點，命題形式有個輕微的變化，選擇題過渡為解答題的前幾步，僅僅只有線性回歸的知識沒有在考題中遇到過，針對這樣的命題趨勢，數學教師，復習過程中應當重視線性回歸的復習力度，有備無患。

三、以錯補錯，不斷完善

復習過程中不難發現，部分學生對于易錯的題型總是一錯再錯，教師當時的講解過后不能鞏固理解，有些學生只重視做題的數量，采用題海戰術進行復習鞏固，錯題得不到及時的思考與分析就被扔到一邊，針對這一現象，數學教師應當在復習課堂上注重學生學習能力的培養，幫助學生養成良好的復習習慣，引導學生對錯題，難題進行深入探究，從而發現自己的不足，吃一塹，長一智，避免再犯類似的錯誤。

例如，數學教師可以要求每個學生準備一個記錯本，當遇到易錯題型的時候，隨手記錄在錯題本上，數學教師可以將學生的記錯本定期收繳，掌握學生的掌握狀況，因材施教，出現問題的時候能夠具體問題，具體對待，宏觀掌控學生的復習基調，為學生制定切實可行的應對策略。在無數次錯誤中總結出來的經驗，不斷完善學生的解題技巧，面對錯題本上的涂鴉，幫學生將壓力變成動力，激勵學生進行在復習之路上勇敢前行，為高考取得一個好成績打下基礎。

總之，高三這個特殊的時期，學生任罩兀心里壓力大，數學教師的壓力也很大。但是數學教師應當理性的看待這一時期，認真剖析歷年的命題形式、以及考試熱點，幫助學生制定出更清晰、完善的復習計劃，有針對性的進行復習，不盲從。避免“題海戰術”，復習有重點，突出難點，錯題本的巧妙利用，能夠作為學生的后備力量，成為學生的復習之路奠基石，有利于學生在高考中能夠取得優異的成績。

參考文獻：

[1]李慧敏.“導學案”與學生數學自主學習[J].中學數學雜志，2011，（01）.

[2]梁志恒.高三數學復習課探究性教學模式初探[J].新課程學習（學術教育），2010，（09）.

[3]張國輝.高三數學復習課的教學策略[J].湖南教育（下），2010，（04）.