導語：如何才能寫好一篇高中函數數學知識點，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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知識的確是天空中偉大的太陽，它那萬道光芒投下了生命，投下了力量。下面小編給大家分享一些高中數學函數知識點，希望能夠幫助大家，歡迎閱讀!

高中數學函數知識點11.函數的奇偶性

(1)若f(x)是偶函數，那么f(x)=f(-x);

(2)若f(x)是奇函數，0在其定義域內，則f(0)=0(可用于求參數);

(3)判斷函數奇偶性可用定義的等價形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);

(4)若所給函數的解析式較為復雜，應先化簡，再判斷其奇偶性;

(5)奇函數在對稱的單調區間內有相同的單調性;偶函數在對稱的單調區間內有相反的單調性;

2.復合函數

(1)復合函數定義域求法：若已知的定義域為[a，b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于x∈[a,b]時，求g(x)的值域(即f(x)的定義域);研究函數的問題一定要注意定義域優先的原則。

(2)復合函數的單調性由“同增異減”判定;

3.函數圖像(或方程曲線的對稱性)

(1)證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在圖像上;

(2)證明圖像C1與C2的對稱性，即證明C1上任意點關于對稱中心(對稱軸)的對稱點仍在C2上，反之亦然;

(3)曲線C1：f(x,y)=0,關于y=x+a(y=-x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);

(4)曲線C1:f(x,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f(2a-x,2b-y)=0;

(5)若函數y=f(x)對x∈R時，f(a+x)=f(a-x)恒成立，則y=f(x)圖像關于直線x=a對稱;

(6)函數y=f(x-a)與y=f(b-x)的圖像關于直線x=對稱;

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4.函數的周期性

(1)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數;

(2)若y=f(x)是偶函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為2︱a︱的周期函數;

(3)若y=f(x)奇函數，其圖像又關于直線x=a對稱，則f(x)是周期為4︱a︱的周期函數;

(4)若y=f(x)關于點(a,0),(b,0)對稱，則f(x)是周期為2的周期函數;

(5)y=f(x)的圖象關于直線x=a,x=b(a≠b)對稱，則函數y=f(x)是周期為2的周期函數;

(6)y=f(x)對x∈R時，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，則y=f(x)是周期為2的周期函數;

5.方程k=f(x)有解k∈D(D為f(x)的值域);

6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;

7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);

(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1);

(3)logab的符號由口訣“同正異負”記憶;

(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);

8.判斷對應是否為映射時，抓住兩點：

(1)A中元素必須都有象且唯一;

(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;

9.能熟練地用定義證明函數的單調性，求反函數，判斷函數的奇偶性。

10.對于反函數，應掌握以下一些結論：

(1)定義域上的單調函數必有反函數;

(2)奇函數的反函數也是奇函數;

(3)定義域為非單元素集的偶函數不存在反函數;

(4)周期函數不存在反函數;

(5)互為反函數的兩個函數具有相同的單調性;

(6)y=f(x)與y=f-1(x)互為反函數，設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A);

11.處理二次函數的問題勿忘數形結合;二次函數在閉區間上必有最值，求最值問題用“兩看法”：一看開口方向;二看對稱軸與所給區間的相對位置關系;

12.依據單調性，利用一次函數在區間上的保號性可解決求一類參數的范圍問題;

13.恒成立問題的處理方法：(1)分離參數法;

(2)轉化為一元二次方程的根的分布列不等式(組)求解。

高中數學函數知識點2奇偶性

注圖：(1)為奇函數(2)為偶函數

1.定義

一般地，對于函數f(x)

(1)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數。

(2)如果對于函數定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數。

(3)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那么函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

(4)如果對于函數定義域內的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言

②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇(或偶)函數。

(分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然后再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

2.奇偶函數圖像的特征：

定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數《==》f(x)的圖像關于原點對稱

點(x,y)(-x,-y)

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

3.奇偶函數運算

(1) .兩個偶函數相加所得的和為偶函數.

(2) .兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

(3) .一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

(4) .兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

(5) .兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

(6) .一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

定義域

(高中函數定義)設A,B是兩個非空的數集，如果按某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數的定義域;

值域

名稱定義

函數中，應變量的取值范圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合

常用的求值域的方法

(1)化歸法;(2)圖象法(數形結合)，

(3)函數單調性法，

(4)配方法，(5)換元法，(6)反函數法(逆求法)，(7)判別式法，(8)復合函數法，(9)三角代換法，(10)基本不等式法等

高中數學函數知識點3對數函數

對數函數的一般形式為 ，它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數里對于a的規定，同樣適用于對數函數。

右圖給出對于不同大小a所表示的函數圖形：

可以看到對數函數的圖形只不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

(1)對數函數的定義域為大于0的實數集合。

(2)對數函數的值域為全部實數集合。

(3)函數總是通過(1，0)這點。

(4)a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸;a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

(5)顯然對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為 ，從上面我們對于冪函數的討論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則只有使得

如圖所示為a的不同大小影響函數圖形的情況。

可以看到：

(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這里的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

(2) 指數函數的值域為大于0的實數集合。

(3) 函數圖形都是下凹的。

(4) a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分別接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分別接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6) 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

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關鍵詞： 高中數學 解題方法 審題 邏輯思維

高中數學解題最重要的是正確地把在課堂上學到的數學知識應用到題目解決中，當然學生打好扎實的數學知識基礎是關鍵，有了基礎知識積累，學生可以培養定式的解題思想與技巧模式，切忌在沒有任何解題思想下胡亂展開題海戰術，這樣只會讓學生越做越迷茫，越做越沒有信心，因為每道題的不同而大傷腦筋。在老師的指導下，學生遵循基本法解題，并不時應用實用解題技巧才是高效率高收獲的數學實力積累模式。按照解題基本法，在解題上解決高中數學問題一般分為兩個階段，在兩個階段中，運用不同解題思想與思考方法最終形成正確的解題思路。下面從兩個階段分別展開高中數學解題方法與技巧的探討。

一、在審題階段

高中數學問題有著基本的復雜性與抽象性，學生接觸到一個稍陌生的題目之后，千萬不要盲目就開始套用基本的解題法，如換原元、配方法等，這樣或許會套中一個題目，使其直接解決，但失敗的幾率很大，很容易浪費有限的解答時間，并且有可能中了題目設置的陷阱得出錯誤的答案。因此，哪怕在考試中時間緊迫也不要忽視甚至直接忽略審題這一步驟。

拿到題目后的審題階段，首先要將問題層層盤剝，過濾掉無用的和誤導型的信息，把握題干的關鍵字，最后判定題目的本質與問題指向。在這個過程中需要的是學生嚴謹、邏輯性強的數學思考方式，要能夠透過題干繁雜的數學元素看到本質的數學符號，甚至將具體實際闡述簡化為抽象性的數據表達。

將問題簡化后，就能通過問題的闡述看出其考查的知識點或知識面。這個時候需要的是學生的發散性數學思想，利用有限的數據聯想出與答案的有效推導路線，如幾何函數中是用圖解法，還是代數運算需要學生聯系平時類似問題解答方式的經驗積累和給出條件的合理有效運用方法，最終確定解題思路。

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參考文獻：

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關鍵詞：數學；思想方法；高中數學；滲透

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識之中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論的本質認識；而數學方法是以數學為工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系的過程，經過推導、運算和分析，以形成解釋，判斷和預言的方法。數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分，但又有別于基礎知識。數學思想方法是對數學知識內容及其所使用方法的本質認識，是用于對數學問題的認識、處理和解決，用于指導人們解題，求解數學問題的重要的思想方法。下面結合教學實踐談談如何在高中課堂教學中滲透數學思想與方法。

一、在知識的生成中滲透數學思想方法

數學知識的發生過程實際上也是數學思想方法的發生過程。任何一個概念，都經歷著由感性到理性的抽象概括過程；任何一個規律，都經歷著由特殊到一般的歸納過程。如果我們把這些認識過程返璞歸真，在教師的引導下，讓學生以探索者的姿態出現，去參與概念的形成和規律的揭示過程，學生獲得的就不僅是數學概念、定理、法則，更重要的是發展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養成良好的思維品質.因此，概念的形成過程、結論的推導過程、規律的被揭示過程都是滲透數學思想方法的極好機會和途徑。如函數的概念學生在初中階段就已經接觸，但較完整的定義卻在高中出現。如何在函數概念的教學中滲透函數思想呢？筆者認為：中學數學中的函數思想包括變數思想、集合的對應（映射）思想、數形結合的思想、研究函數自變量、函數取值范圍以及變量之間關系的不等式控制思想等。其中變數思想是函數思想的基礎，對應思想是函數思想的實質，數形結合思想和控制思想是函數思想的具體體現和應用。因此，根據高一學生的認知水平，在函數概念教學時應該抓住函數是兩個變量之間的一種特殊的對應（映射）的思想進行滲透，可以通過豐富的實例，讓學生體會函數是描述變量間的依賴關系的重要數學模型。

二、在問題的解決過程中滲透數學思想方法

問題是數學的心臟，數學問題的解決過程實質是命題的不斷變換和數學思想方法的反復運用過程。問題解決是以思考為內涵，以問題目標為定向的心理活動。數學領域中的問題解決與其他科學領域用數學去解決問題不同，數學領域里的問題解決不僅關心問題的結果，而且關心求得結果的過程，即問題解決的整個思考過程。通過問題解決可以培養數學意識，構建數學模型，提供數學想象；伴以實際操作，可以誘發創造動機，可以把數學嵌入活的思維活動之中，并不斷在學數學、用數學的過程中，引導學生學習知識、掌握方法、形成思想，促進思維能力的發展。

數學問題的解決過程是用“不變”的數學思想和方法去解決不斷“變換”的數學命題，在數學問題的解決過程中滲透數學思想和方法，不僅可以加快和優化問題解決的過程，而且還可以達到會一題而明一路，通一類的效果。

三、將數形結合思想滲透到試題分析和講解中

數學是研究空間形式和數量關系的一門科學，數學內容的“數”與“形”決定了幾何與代數的聯系。數形結合就是把抽象的數學語言與直觀的幾何圖形結合起來，即數式與圖形、數量關系與空間形式的結合，根據具體數學問題，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使問題互相轉化，從而使問題得以解決.具體解題中的數形結合，是指對問題既進行幾何直觀的呈現，又進行代數抽象的揭示，兩方面相輔相成，而不是簡單的代數問題用幾何方法，或幾何問題用代數方法來解決，這兩方面只有雙向的信息溝通才是完整的數形結合。數形結合的解題思想方法，其本質是“數”與“形”之間的相互轉換。“數形結合”就是以數學問題的條件和結論之間的內在聯系為依據，在分析其代數意義的同時揭示其幾何的直觀意義的解決數學問題的方法。從而使數量間的空間形式的直觀形象和代數數據的精確和諧并巧妙的相結合。

四、在復習與小結中提煉、概括數學思想方法

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【關鍵詞】 快樂教學 熱點 有效途徑

【中圖分類號】 G623.5 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1006-5962（2012）08（b）-0031-01

目前中職學校學生的數學基礎較差，他們對數學學習也就沒有太大興趣，這也嚴為教師在教學過程中造成了較大的困難。因此，教師就要探討如何提高中職學生學習數學的興趣，從而提高中職數學教學的質量和教學效率。

1 加入生活元素，讓學生在實踐中體驗快樂

所謂數學，既來源生活，也體現生活。因此，教師在數學教學過程中，要注入生活元素，讓學生從生活中體驗學習數學的樂趣。比如，教師在講到有關概率的知識的時候，就可以用硬幣和骰子等貼近生活的教學工具，讓學生通過生活實踐，來體會數學知識。

例如：某學校為了舉辦校慶，開辦了慶節抽獎活動，馬明來到抽獎活動場地，活動舉辦人對馬明說：“這里有M、N兩個紙盒子，而且里面都分別裝有一些小球，但是你只能從其中的一只盒子中摸球。”

活動獲獎規則如下：在M盒中有黃色乒乓球4個，綠色乒乓球2個，一人只能摸一次且一次摸出一個球，若為綠球則可獲得玩具熊一個，否則不得獎；在N盒中有黃色小球2個，綠色小球2個，要求一人只允許摸一次且一次摸出兩個球，若兩球均為綠色小球那么就可以拿到一個電玩熊，否則就拿不到獎品。

那么，請問馬明在哪只盒子內摸到兩個綠色小球的機率更大些？說明你的理由.

解答：把馬明從M盒中抽出綠色小球的概率記為PM.把馬明從N盒中抽出綠色小球的概率記為PN，那么PM=2/（4+2）=1/3，

馬明從N盒中摸出兩球的所有可能出現的結果為：黃黃，綠黃，黃綠，綠綠，共4種結果，且4種結果出現的可能性相等，把馬明從B盒中抽出兩個綠球的概率記為PN，

則PN=1/4，PM>PN，馬明在M盒中摸球獲得電玩熊的概率最大。

根據觀察分析，此題就是采用了學生最為熟悉的生活情景作為例題，引起學生的關注，這樣，就可以充分調動學生的積極性。因此，學生會分析：根據把B盒中的兩個黃球記為黃1，黃2，兩個綠球記作綠1，綠2，馬明從B盒中摸出兩球的所有可能出現的結果為：黃黃，綠黃，黃綠，綠綠，且4種結果出現的可能性相等，即可得出答案。

因此，教師要教學的過程中，要引入生活元素，使得生活服務于數學，讓學生從現實生活中學習知識，增加學生學習數學的樂趣。

2 加強數學思想方法的滲透，激發學生學習數學的快樂感

數學教學中數學思想方法的應用，可以有效地構建學生的數學思想體，而且數學思想方法也是比較有效的學習數學的工具。所以教師要將數學思想方法滲透到數學教學中，提高學生解決問題的能力。在這里我們舉例說明一下：

例如：已知函數y=kx與函數y=b/x相交于點M（1，y）、點N（x，-2），那么請用用數形結合的方法，結合自已的經驗解決以下兩個問題：

（1）求出b+k的值.（2）當x為何值時，kx>b/x.

分析：（1）先根據題意可知M、N兩點關于原點對稱，即x=-1，y=2，把點M（1，2）分別代入正比例函數y=kx與反比例函數y=b/x.求得b，k的值，所以可得b+k=4；（2）kx>b/x，即2x>2/x，解得不等式即可。

解答：解：（1）因為反比例函數是中心對稱圖形， 所以M、N兩點關于原點對稱，

即x=-1，y=2。 把點M（1，2）分別代入正比例函數y=kx與反比例函數y=b/x，得k=2，b=2，

所以b+k=4；（2）kx>b/x，即2x>2/x， 解得x>1或-1

本題就是利用函數數形結合的思想方法，綜合考查正反比例函數與方程以及不等式等知識點。先由點的坐標求函數解析式，根據不等關系解x的范圍，找出解決問題的關鍵信息，體現了數形結合的思想。

例二：已知關于x的方程|x-2|+|x-3|=b，研究b存在的條件，對這個方程的解進行討論。

分析：方程解的情況取決于b的情況，而b與方程中常數2、3有依存關系，這種關系決定了方程解的情況，因此，探求這種關系是解本例的關鍵。運用分類討它法或借助數軸是探求這種關系的重要方法與工具，讀者可從兩個思路去解。

解答：（1）當x≤2時，原式=2-x+3-x=bb=5-2xb≥1 （2）當23時，原式=x-2+x-3=bb=2x-5b>1

這道題運用的數學思想有：分類討論思想等和方程思想，題中給出了條件，但沒有明確的結論，這是一種探索性數學問題，它給我們留有自由思考的余地和充分展示思維的廣闊空間，我們應從問題的要求出發，進行分析、收集和挖掘題目提供的各種信息，進行全面研究.

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關鍵詞：中等職業院校 數學教學 數學建模思想 教學改革

數學建模思想在數學教學活動中已經得到廣泛的認可，在不同階段、不同層次的教學中取得了良好的教學效果。但是對于中職教育而言，數學教學體系的構建并不完善，出于學生基本情況、數學教材使用情況、數學教學認知與能力水平情況的影響，數學建模思想尚未完全運用于中職數學教學實踐中。為了中職數學更深層次的教學改革，本文以理論聯系實際的方式，從實踐教學的視角對數學建模思想在中職數學教學中的應用進行深入的分析。

一、中職數學教學中數學建模思想運用可行性分析

數學建模思想在中職數學教學中運用是否具備可行性，需要結合實際進行調查驗證。為了完成本文的研究，對筆者所在學校所開展的數學教學實際情況、學生數學學習實際情況進行了詳細的調查分析。調查采用問卷調查的方式，包括學校學生數學應用能力、數學建模思想解決實際數學問題的社會需求、數學建模思想在當前中職院校數學教學中體現情況以及學生對數學建模思想的認知四個方面。

調查結果顯示，筆者所在學校學生在數學建模正確率、驗證模型正確率方面的表現差強人意，表明學生在數學知識的實際運用上并未表現出應有的水平。對中職院校的數學課本抽樣調查結果發現，雖然絕大多數數學教材的設計已經涉及了數學建模思想，但是培養學生數學應用能力方面的內容仍然欠缺；在中職數學所能夠涉及的社會崗位抽樣調查結果顯示，比如資源環境領域、物流運輸領域等對運用數學建模思想解決實際數學問題的能力需求空間巨大。

對學生的綜合問卷調查結果則表明，超過80%的學生認為數學建模能力的建立十分必要，對于其以后的就業具有積極的幫助，他們樂于接受數學學習中的數學建模能力構建。從這些實際調查結果可知，當前中職數學教學中引入數學建模思想具有較強的可行性。

二、數學建模思想在中職數學課堂教學過程中的構建

1.融入數學建模思想的中職數學課堂

融入數學建模思想的中職數學課堂教學與其他教學模式一樣，同樣需要經過五個基本步驟，而且在每個步驟中需要結合數學建模思想的特征、優勢、原則、規律以及中職學生數學學習的基本情況進行針對性的課堂設置，并且課堂教學整體上要遵循構建主義理論。

首先在備課階段，教師需要對構建主義、人本主義以及數學建模思想、中職數學教學內容、中職學生基本情況具有充分的了解和認知，以全新的數學建模教學觀念準備教學材料；其次在課堂引入階段，教師在備課時已準備的豐富教學素材的基礎上，以構建主義要求導入新知識，尤以數學軟件進行教學演示為宜；再次在引導教學階段，教師引導學生對新知識進一步挖掘，遵循啟發引導、循序漸進的原則；第四在課堂結束階段，通過一堂課的教學，學生對所學的數學建模知識獲得了基本的了解和掌握，在結束階段需要進一步總結以鞏固學生的數學建模思想；最后在課后的鞏固階段，以傳統的課外作業和學期測評方式對學生進行考核評價，使學生及時發現問題并分析和解決問題，使數學建模知識得到進一步鞏固。

2.中職數學基礎知識的鋪墊

從整體上來看，中職數學教學中的數學建模能力的培養是一個系統工程，需要經歷一系列的步驟，而基礎知識的鋪墊則被視為第一步。在中職數學基礎知識的鋪墊階段，通常所采取的教學方式為“講解-傳授”式，要求教師自身對數學建模思想具有足夠的了解和掌握，然后結合自己的了解和實踐，以講解的方式向學生傳授數學建模的基礎知識，以使學生對數學建模具有初步的認知，進而引導和幫助學生建立基礎的數學知識體系和數學建模基礎知識體系。此外，在教師進行數學建模講解時，除基礎認知之外，還需要引導學生對數學建模的基本運用方法進行初步的感悟，并建立系統的數學基礎語言體系。

3.數學建模思想融入課堂的教學階段

在中職學生獲得初步的數學建模基礎知識后，應在數學教師的引導下進入下一階段的學習，即課堂融入階段。在中職數學教學中，數學建模思想的課堂融入通常以“活動―參與”的教學模式，其強調數學建模課堂教學中學生的主動參與性，突出學生在學習中的主體地位。數學建模融入課堂教學階段至關重要，對教師本身的素質和要求較高，要求教師對課堂教學具有整體的、靈活的把握能力。課堂融入階段通常包括情景創設、師生合作活動探索、師生交流和討論、師生總結與研究拓展、課后實踐活動五個步驟。

4.中職學生數學建模思想的應用

中職教育對人才培養具有較高的實際運用能力要求，這就需要中職數學教學同樣要求實際應用能力的訓練和鍛煉。經過以上階段的教學實施之后，中職學生基本獲得了系統數學知識和基本的數學建模能力，接下來需要在教師的引導下進入實踐應用聯系階段。該階段的目的在于鍛煉學生自主完成數學實習作業、體會運用數學建模思想模擬解決實際數學問題的經過，進而鞏固學生的建模思想。

在該階段，教師應該堅持學生自主的原則，指導學生完成自我檢驗和自我修正。學生的自主練習可采取獨立完成、小組合作完成等形式，數學實習作業題的設置則需要難易適中，能夠給學生預留足夠的發揮空間。

三、中職數學建模思想的教學應用實踐

在中職數學建模教學中，教師設計的教學內容應以日常生活中遇到的數學問題為例，這樣能夠強化學生的理解和記憶。

比如在基礎知識鋪墊階段，以城市用水收費標準為例來引導學生學習分段函數，使其結合自身日常生活中經常遇到的事情來加深對數學基礎知識的理解，并在此基礎上引導學生對日常生活中常見的涉及分段函數知識點的案例進行常識性應用和鞏固，比如出租車的收費模式等。

而在數學建模思想融入課堂教學階段，可在學生已掌握知識點基礎上，教師設置情境進行互動性學習，比如“函數知識在手機卡計費中的應用”，教師創設情境，讓學生通過建立函數模型來解決實際問題。

數學建模思想的實際應用是中職數學教學的最終目的，在此階段，教師不妨將實際生活中的問題設計成數學案例，要求學生在課余時間獨立或以團隊合作的方式完成練習。

例如：某蔬菜大棚黃瓜種植中，由于菜農對于市場行情并沒有準確合理地把握，因此對出售價格和時間的關系掌握不準，進而無法確定最佳經濟收入。在這個背景下，請學生結合歷年市場發展趨勢與行情解決如下問題：建立黃瓜市場出售時間與價格的函數關系，并解釋市場發展趨勢；建立黃瓜種植時間與成本的函數關系，并解釋成本的變化原因；在哪個時間段上市能夠使菜農獲得最大收益？

學生通過團隊配合所做出的最佳方案如下。

第一步，進行市場調研，包括網絡資料搜集與蔬菜市場實地調研。經過為期三天的調研，學生獲得了2015年2月15日起300天的市場資料和數據，在經過教師的指導后，學生通過直角坐標系下的離散點圖找到了市場變化趨勢，成功地將日常生活中的實際問題轉化成為了數學問題。

第二步，學生結合300天的數據進行了模型假設，即假設一：所搜集到的數據為真實可靠的數據；假設二：種植成本與市場售價間的差額為菜農的實際純收益。

第三步，在該問題的關鍵點上引入建模思想，即種植成本與上市時間在2月15日起第150天時出現最低拐點，而市場售價與上市時間關系函數則在2月15日起第200天時出現最低拐點。在該處引入建模思想，可以得出種植成本Q與時間t之間的函數關系，以及市場售價P與時間t之間的函數關系。

對所出現的兩個時間拐點而言，由于氣候的影響，黃瓜在資料時間起點后的150天進入高產期，種植成本達到最低，此后黃瓜的市場供給開始增加，進而在此后的50天左右，市場供給達到最大化，造成市場售價最低，之后隨著產量的減少，市場供需逐漸平衡，市場售價也開始回升。將生產成本與實踐的關系函數進行整理，然后將其與銷售價格和時間的關系函數進行整合，得出生產成本、銷售時間、市場售價之間的綜合函數，在此函數的基礎上對時間區間進行計算，便可得到最佳值。

第四步，討論分析，假設菜農的最大收益為K，則K=P-Q，那么：

當100≤P≤300而且0≤t≤200時，那么當P=250且t=50時，K得到最大值為100；

當100≤P≤300而且200≤t≤300時，在P與t的限制條件下，P取值400無意義，因此P應當取值300，對應的t取值300，此時K值為87.5；

由以上分析可知，當從2月15日起第50天時，菜農選擇上市所獲得的收益最大。

在學生完成此案例之后，一方面可以使學生對數學知識的實際運用獲得了直觀的認知，另一方面也培養了中職學生的數學應用能力。

四、實踐教學效果分析

在筆者所在學校數學建模思想實踐教學實施一段時間之后，采用問卷調查的方式分別對學生和教師進行了調查。結果顯示，學生對于該模式的教學認可度明顯提升，并表現出積極的興趣和主動的參與，而且階段性的測試結果也表明其數學成績獲得了明顯的提升。實踐應用結果表明，數學建模思想在中職數學教學中的應用明顯改變了中職生學習數學的態度，學習的積極性和興趣不斷提升，學習方式也由原來的被動模式轉變為主動模式，學生的綜合能力和學習成績大大提升。

此外，對教師的調查結果也顯示，教師也更樂于采用此類教學方式，更樂于引入數學建模思想來進行中職數學教學。綜合實踐表明，中職數學教學中融入數學建模思想的教學模式具有推廣價值。

參考文獻：

[1]李濤.中等職業學校數學建模課程建設之研究[D].魯東大學，2013.

[2]王娟，侯玉雙.數學建模思想在數學分析課程教學中的應用[J].科技信息，2013（23）.

篇6

關鍵詞： 中職生 數學學習興趣 課堂教學效率

中職生一般都是經過各類高中層層選拔后剩下來的學生，這些學生因各種原因，數學基礎差，逐漸失去了學習數學的興趣。數學是中職學校的一門重要基礎課程，是各類專業學生必修的主要文化基礎課，對數學學科缺乏興趣，導致數學課堂教學效果不好，嚴重制約了中職學生學習其它專業的能力和信心。著名數學家華羅庚說：“有了興趣就會樂此不疲，好之不倦，因而也就會擠時間來學習了。”如果學生對數學沒有興趣，就會視數學學習為一種苦役，也就不可能心情愉快地進行學習。因此，充分調動起學生的學習積極性，以及培養學生學習數學的興趣和良好的學習習慣，對于優化中職學校數學教學質量具有十分重要的意義。如何培養中職學生學習數學的興趣，我認為應從以下幾方面著手。

一、老師要接納和尊重學生，建立良好的師生關系

一般說來，大部分中職生由于在初中時數學成績掉隊，屬于所謂的“差生”，經常被學校和教師批評，因此他們的內心很脆弱，經受不住打擊。進入中職學校后，換了環境，渴望老師對自己“以誠相待”，不歧視，不諷刺，不打擊，不揭短，有怕遭冷落的共同心理。融洽的師生感情是不斷提高數學教學質量的基礎和前提。因此，教師對學生要抱有誠摯的愛，平等尊重，做到曉之以理，動之以情，學生便能“親其師，信其道”。這樣才能建立起良好的師生關系。老師心中有學生，學生心中才會有老師，師生感情上的一致性，會引起雙方信息的共振，此時學生的接受能力最強，教學效果最好。當學生有所進步時，老師要及時給予鼓勵、肯定和表揚。所以，教師不僅要注意自己的形象，而且要愛生如子，言傳身教，為人師表，注意對學生情感方面的教育。

二、給數學增添更多的人文色彩

數學常被學生視為最理性的學科，數學教師也被稱為最理性的教師。數學課上很少有對學生的情感教育，要像語文課一樣煽情似乎就更不可能了。其實，教師可以深挖相關的數學史實及數學家的奇聞軼事，讓學生感受數學的人文之美。如果教師在課堂上適當講一些與學習有關的數學趣事，可以令學生對所學的內容留下深刻的印象，也會讓他們產生學習的動力。因此，教師結合教材，在教學過程中適時、適當地向學生介紹與數學相關的人文知識，能提高學生學習數學的興趣，激發求知欲。

數學學科蘊藏著大量美的因素，從概念到結論、從定義到公式、從外表到結構、從形式到內容、從理論到實踐，無一不體現出美的特征。例如“勾三股四弦五”體現了直角三角形中的奇異美（特殊性），又體現了統一美。而對于一般三角形，這種統一美又得到了突破，得到余弦定理，充分顯示了數學的動靜美和簡、美、真的規律。數學美是客觀存在的，教學中，教師若能采取各種方式向學生展現和揭示數學美，就能引發學生追求數學美的心理傾向，使他們感到學習數學是一種美的享受，從而熱情高漲地投入學習。

三、改善教學內容，讓數學貼近生活和專業實際

數學源于生活，根植于生活。數學教學就要從學生的生活經驗和已有的知識點出發，讓數學問題生活化，讓數學貼近學生專業特色，從而調動學生學習積極性，增強學習數學的趣味性。尤其是對于中職生，更應該聯系生活實際和學生專業特色來培養他們的學習興趣。長期以來，為什么一些學生對數學不感興趣，甚至對數學學習產生恐懼心理呢?其主要原因是：數學離學生的生活太遠，令他們感到數學枯燥、抽象難學。

數學來源于生活，必須為生活服務，把數學生活化，學生的學習興趣必然大增。教學中可以把股市漲跌的“時間之窗”與數列中的斐波那契數列聯系起來。學習了排列組合和概率，可以和學生探討我國推出的“福利彩票”、“體育彩票”的中獎問題，以及銀行貸款、房款按揭、峰谷用電、居民儲蓄等關乎每個家庭的經濟問題。又如：增長率、企業成本與利潤的核算、市場調查與分析、比賽場次安排問題，等等，都可以讓學生感受到數學應用的廣泛性，并明確數學可以幫助他們更好地認識自然和人類社會，更好地適應生活。因此，教師在教學過程中應注意指導學生應用所學的數學知識去解決日常生活中的實際問題，努力架設起一座通向數學宮殿的興趣之橋，使學生在這一實踐過程中去發現興趣的源泉，并在解決問題的同時感受到自己的勞動所取得的成就，體驗到戰勝困難后的歡樂。這樣，學習數學的興趣就能得到持續發展和進一步開拓。

另外，中等職業學校的數學教學，既要滿足未來公民的基本教學要求，又要為學生進一步的學習提供必要的數學準備，更要突出地為現行的專業教學服務。這就要求我們在文化課教學中，要經常有意識地了解專業技能中需要的專業知識，熟悉專業問題中應用到的數學知識。在每一個知識點學完后都安排一些結合所學的專業或實際問題的簡單應用，讓學生“學中做，做中學”，并加強與其他專業課程的聯系。如講完函數及不等式的知識后，向學生介紹需求函數、成本核算、利潤函數等應用于企業管理上的問題；在三角函數知識學完后，可以介紹三角函數在簡諧振動、正弦交流電等電子電工中的應用問題。如此一來，使學生覺得學好數學非常重要，處處都離不開數學。這樣不但能夠激發學生學習數學的興趣，而且能夠為學生學好數學增加動力，從而達到突出應用，為專業服務的目的。

四、充分利用課堂教學環節

課堂教學是目前中學數學教學的基本組織形式，是其教學過程中最重要的環節。教師應精心設計課堂教學，充分激發學生學習數學的興趣，我認為應注意以下三個環節。

（一）注意課堂引入，創設教學情境，激發學生的學習興趣。

在剛上課時，就要用有趣的故事或游戲誘發學習的興趣，吸引學生的注意力。導入是教學過程的起始環節，它的一個重要的作用是引起學生的興趣。有了興趣，教學就有了動力，教學過程就有了活力，也就成功了一半。例如在學習“排列數”公式的引入時，可向學生提出：我市的電話號碼由七位數字上升到八位數字，你能知道可以多裝幾部電話嗎？又如講“對數運算”的引入時，可先向學生提出一個容易接受但又很難猜準的問題：一張兩毫米厚的硬紙皮，如果足夠大，我們把紙皮對折再對折，當對折了100次后，這堆紙將有多高?在同學們做出種種猜測后，教師再告訴大家，其厚度遠遠超過珠穆朗瑪峰的高度。這結果超出了習慣的直覺，學生們好奇、懷疑、急于想知道是怎樣算出來的。這就誘發了學生心理上的懸念，使其興趣盎然，求知的熱情油然而生，這時，教師若能抓住時機，及時轉入正題，往往能收到事半功倍的教學效果。

（二）講究教法，提高課堂教學質量。

由于中職生邏輯思維能力較差，因此根據教材內容的不同特點，教師在教法上要不拘一格，靈活多變。

1.要注意由淺入深、由易到難，盡量降低學習的起點和坡度，分散難點，給予模仿性學習的機會，同時還要加強變式訓練，循序漸進，使學生理解、掌握知識的情況能及時得到反饋。

2.加強直觀教學和多媒體輔導教學，應注意使用教具、掛圖、電教片等方式進行直觀教學，還要注意引進新的教學方式和手段，如采用多媒體技術、網絡技術，使用教學軟件、教學課件、電子教案等，從而豐富學習內容，擴大學習空間，提高教學效率和教學質量。

3.提高教學語言的藝術性。教師要隨時觀察全班學生的學習情緒，中職生上課容易開小差、注意力不集中。這時，教師應恰當運用藝術性的教學語言來活躍課堂氣氛，喚起學生濃厚的學習興趣，帶領他們走入神奇的數學天地，使課堂教學生機盎然，有聲有色。著名教育家夏尊曾說：“教育沒有情感，沒有愛，如同池塘里沒有水一樣，沒有水就不能成為池塘，沒有情感，沒有愛，也就沒有教育。”教學中要加強師生情感交流，以引起共鳴，教師在課堂上要以滿腔熱忱的愛去點燃學生自信的火種，用親切的語言和表情，多鼓勵、少指責，使學生以愉悅的心情投入學習。長此以往，學生對教師倍加信任，在愉悅的情境下，學習數學的興趣會不斷提高。

（三）重視課堂總結。

在教學結束時，教師不能簡單地說一句“現在就講到這里”，而應該千方百計為學生留下無窮的韻味和趣味。課堂結尾和開講一樣，是課堂的重要組成部分。成功的結尾會使整個講述在歸納中得以升華。課堂總結應與生活實際聯系起來，即在總結時用新知識解釋生產、生活中的現象和問題，從而激發學生的興趣。

總之，激發學生學習數學的興趣，培養學生學習能力，是學習數學、探索數學的關鍵。因此，數學教師在教學中應積極利用數學的人文情懷，培養學生學習數學的興趣；創設問題情境，聯系學生生活實際和專業特色，激發數學學習的興趣；努力探求教學內容與教學方法的最佳整合，提高學生數學學習的興趣，從而提高中職數學課堂教學效率。

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關鍵詞：高中數學；課堂教學；分層教學

高中階段的數學學科教學與初中階段的數學教學相比，更加偏重對學生數學獨立學習能力的培養以及學生數學思維發散的引導，因此，數學教師需要在日常的課堂教學中通過分層教學實現數學教學的邏輯效果。一般來說，高中數學的分層教學主要依據課本教材的內容難易度以及學生自身數學學習能力和成績的高低，決定課堂教學的步驟和內容安排。從某種程度上來說，分層教學可以對課堂教學氛圍的調動和調節、學生學習習慣的培養、教學數量和質量的提高起著重要的作用和意義。筆者根據自身的教育教學經驗以及教學案例分析來看，針對高中生的數學學科教學，分層形式的教學模式往往可以從上述幾個方面探討其中蘊含的意義和作用。

一、調節課堂積極的教學氛圍

高中生在學習數學知識的過程中，通常不只是局限在課本教學的情境中，往往還需要積極配合教師的課堂教學活動，實現對數學原理和公式的深入把握和理解。分層教學在整個教學過程中往往會分階段地以不同的形式表現出對課堂教學氛圍的調節和調動。

首先，高中數學教師在進行新課程原理的講授過程中，一方面需要對原理內偶然中的每個構成要素作出詳盡的解析，另一方面還要注重對數學原理發生過程的講解，逐層分析每個數學公式的步驟。學生們在數學教師這樣的分層講解中，一方面學習和收獲到了新的數學原理知識，另一方面還能在教師的講解中體會數學學習的邏輯性，繼而逐步培養正確的數學學習思維。高中生們在明確理解數學原理的基礎上，才能跟得上教師的課堂教學步驟，繼而以認真積極的學習心態投入到接下來的數學互動中來，從某種意義上來說也是對數學課堂基礎氛圍的保證教學。

其次，高中生在數學教師的教學指導下理解了一定的數學原理和數學計算方式以后，往往還需要通過課堂活動和課下任務，鍛煉和提高自身的數學學習能力，實現對數學原理的認知和運用的最終效果。學生在進行數學活動和課下任務的過程中，往往也需要在數學教師的分層教學引導下逐步有秩序的完成，例如，高中數學教師在教授函數類章節知識時，可以采取由易到難的教學形式鼓勵和要求學生們在獨立或合作中，不斷鍛煉和提高自身的解讀能力。在課堂學習中，要求學生快速有效地解答課堂教師的提問和黑板解題演算；在課堂活動中，積極投入到互動和游戲中體會數學學習的智慧和樂趣；在課下任務中，及時進行數學原理的調查和思考，繼而從中發現抒寫原理運用的合理性和相關性，從而進一步發散和拓展數學思維。

二、培養學生良好的學習習慣

高中生在數學教師的分層教學中，一方面會逐步學習到數學原理知識，提高數學難題的解答演算能力，另一方面還會在多次的練習活動中逐漸培養良好的學習思維和學習習慣。這是數學課堂分層教學的重要目的，同時也能進一步刺激和提升學生數學學習的自信心和自覺性。一般情況下，分層教學對學生數學學習習慣的培養可以從兩個方面表現出來，一種是正向培養，另一種就是反向糾正。

首先，在正向培養方面數學教師需要在日常的分層教學中，有目的、有意識的指導學生們認清數學原理中的各個關鍵要素，繼而引導學生們在不同的數學題型中學會多種數學方法的靈活跳躍和運用。這是分層教學中對學生學習習慣培養的最直接表現，可以端正學生學習數學的態度，為今后的獨立解答打下良好的基礎。具體來看，數學教師在初步教授數學原理要素時，可以引導學生學會發現關鍵詞和關鍵數字；在進行數學題目演算時可以鼓勵學生們主動說出接下來的每一步的演算，提高學生課堂活動的主動性；在布置數學任務后，要求學生保質保量地完成課堂和課下作業，形成學與練相結合的數學學習方法。

其次，在反向糾正方面數學教師的分層教學可以刺激學生提高數學學習的注意力和反思力。針對學生們課堂和課下任務的完成錯誤情況，有針對性的對錯題進行分層講解，對由于做題不細致和不認真而導致的錯題，數學教師應當嚴格要求，并指導學生進行自主獨立的改正；對由于題目復雜而導致的錯題，數學教師更應該在錯題的講練中進行分層解析，讓學生弄懂每一步的原因，繼而能夠保證在今后遇到相同題型時做到胸有成竹，建立起成熟完整的數學學習思路，并盡量避免由于粗心導致的不良學習習慣，進而提高高中生的數學學習效率。

三、保證質量的教學內容和教學效果

前文主要是從課堂教學范圍和學生學習習慣培養兩方面，探討數學課堂分層教學的重要性。除此以外，分層教學最主要的教學意義，表現在保證和提高課堂的教學內容和教學效果，延伸數學學科的教學意義。

首先，高中數學教師的分層教學往往需要按照教學大綱的總體要求合理安排教學計劃和教學步驟。學生們在數學教師的教學指導下，會由易及難地學習各類數學原理、數學公式，繼而探究數學中的各類問題。就分層教學的內容來看，數學教師會從代數和幾何兩個層面進行教學，在代數數學方面，數學教師往往會通過數學案例引導學生逐層了解數學原理的形成過程，并在此基礎上學會運用數學原理；在幾何數學方面，數學教師需要借助各類二維或三維圖形幫助解析數學原理，在弄清每個圖形走向原理的基礎上實現對幾何原理的深入把握。