導語：如何才能寫好一篇數學建模的兩種基本方法，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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[論文摘要]建模能力的培養，不只是通過實際問題的解決才能得到提高，更主要的是要培養一種建模意識，解題模型的構造也是一條培養建模方法的很好的途徑。

一、建模地位

數學是關于客觀世界模式和秩序的科學，數、形、關系、可能性、最大值、最小值和數據處理等等，是人類對客觀世界進行數學把握的最基本反映。數學方法越來越多地被用于環境科學、自然資源模擬、經濟學和社會學，甚至還有心理學和認知科學，其中建模方法尤為突出。數學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數學來源于現實，存在于現實，并且應用于現實，數學過程應該是幫助學生把現實問題轉化為數學問題的過程。”《新課程標準》中強調：“數學教學是數學活動，教師要緊密聯系學生的生活環境，要重視從學生的生活實踐經驗和已有的知識中學習數學和理解數學。”

因此，不管從社會發展要求還是從新課標要求來看，培養學生的建構意識和建模方法成了高中數學教學中極其重要內容之一。在新課標理念指導下，同時結合自己多年的教學實踐，我認為：培養建模能力，不能簡單地說是培養將實際問題轉化為數學問題的能力，課堂教學中更重要的是要培養學生的建模意識。以下我就從一堂習題課的片段加以說明我的觀點及認識。

二、建模實踐

片段、用模型構造法解計數問題（計數原理習題課）。

計數問題情景多樣，一般無特定的模式和規律可循，對思維能力和分析能力要求較高，如能抓住問題的條件和結構，利用適當的模型將問題轉化為常規問題進行求解，則能使之更方便地獲得解決，從而也能培養學生建模意識。

例1：從集合｛1，2，3，…，20｝中任選取3個不同的數，使這3個數成等差數列，這樣的等差數列可以有多少個？

解：設a，b，c∈N，且a，b，c成等差數列，則a+c=2b，即a+c是偶數，因此從1到20這20個數字中任選出3個數成等差數列，則第1個數與第3個數必同為偶數或同為奇數，而1到20這20個數字中有10個偶數，10個奇數。當第1和第3個數選定后，中間數被唯一確定，因此，選法只有兩類：

（1）第1和第3個數都是偶數，有幾種選法；（2）第1和第3個數都是奇數，有幾種選法；于是，選出3個數成等差數列的個數為：2=180個。

解后反思：此題直接求解困難較大，通過模型之間轉換，將原來求等差數列個數的問題，轉化為從10個偶數和10個奇數每次取出兩個數且同為偶數或同為奇數的排列數的模型，使問題迎刃而解。

例2：在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種不同的作物，每種作物種植一壟，為了有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法共有幾種（用數字作答）。

解法1：以A，B兩種作物間隔的壟數分類，一共可以分成3類：

（1）若A，B之間隔6壟，選壟辦法有3種；（2）若A，B之間隔7壟，選壟辦法有2種；（3）若A，B之間隔8壟，選壟辦法有種；故共有不同的選壟方法3+2+=12種。

解法2：只需在A，B兩種作物之間插入“捆綁”成一個整體的6壟田地，就可以滿足題意。因此，原問題可以轉化為：在一塊并排4壟的田地中，選擇2壟分別種植A，B兩種作物有 種，故共有不同的選壟方法=12種。

解后反思：解法1根據A，B兩種作物間隔的壟數進行分類，簡單明了，但注意要不重不漏。解法2把6壟田地“捆綁”起來，將原有模型進行重組，使有限制條件的問題變為無限制條件的問題，極大地方便了解題。

三、建模認識

從以上片段可以看到，其實數學建模并不神秘，只要我們老師有建模意識，幾乎每章節中都有很好模型素材。

現代心理學的研究表明，對許多學生來說，從抽象到具體的轉化并不比具體到抽象遇到的困難少，學生解數學應用題的最常見的困難是不會將問題提煉成數學問題，即不會建模。在新課標要求下我們怎樣才能有效培養學生建模意識呢？我認為我們不僅要認識到新課標下建模的地位和要有建模意識，還應該要認識什么是數學建模及它有哪些基本步驟、類型。以下是對數學建模的一些粗淺認識。

所謂數學建模就是通過建立某個數學模型來解決實際問題的方法。數學模型可以是某個圖形，也可以是某個數學公式或方程式、不等式、函數關系式等等。從這個意義上說，以上一堂課就是很好地建模實例。

一般的數學建模問題可能較復雜，但其解題思路是大致相同的，歸納起來，數學建模的一般解題步驟有：

1．問題分析：對所給的實際問題，分析問題中涉及到的對象及其內在關系、結構或性態，鄭重分析需要解決的問題是什么，從而明確建模目的。

2．模型假設：對問題中涉及的對象及其結構、性態或關系作必要的簡化假設，簡化假設的目的是為了用盡可能簡單的數學形式建立模型，簡化假設必須基本符合實際。

3．模型建立：根據問題分析及模型假設，用一個適當的數學形式來反映實際問題中對象的性態、結構或內在聯系。

4．模型求解：對建立的數學模型用數學方法求出其解。

5．把模型的數學解翻譯成實際解，根據問題的實際情況或各種實際數據對模型及模型解的合理性、適用性、可靠性進行檢驗。

從建模方法的角度可以給出高中數學建模的幾種重要類型：

1．函數方法建模。當實際問題歸納為要確定某兩個量（或若干個量）之間的數量關系時，可通過適當假設，建立這兩個量之間的某個函數關系。

2．數列方法建模。現實世界的經濟活動中，諸如增長率、降低率、復利、分期付款等與年份有關的實際問題以及資源利用、環境保護等社會生活的熱點問題常常就歸結為數列問題。即數列模型。

3．枚舉方法建模。許多實際問題常常涉及到多種可能性，要求最優解，我們可以把這些可能性一一羅列出來，按照某些標準選擇較優者，稱之為枚舉方法建模，也稱窮舉方法建模（如我們熟悉的線性規劃問題）。

4．圖形方法建模。很多實際問題，如果我們能夠設法把它“翻譯”成某個圖形，那么利用圖形“語言”常常能直觀地得到問題的求解方法，我們稱之為圖形方法建模，在數學競賽的圖論中經常用到。

從數學建模的定義、類型、步驟、概念可知，其實數學建模并不神秘，有時多題一解也是一種數學建模，只有我們認識到它的重要性，心中有數學建模意識，才能有效地引領學生建立數學建模意識，從而掌握建模方法。

在新課標理念指導下，高考命題中應用問題的命題力度、廣度，其導向是十分明確的。因為通過數學建模過程的分析、思考過程，可以深化學生對數學知識的理解；通過對數學應用問題的分類研究，對學生解決數學應用問題的心理過程的分析和研究，又將推動數學教學改革向縱深發展，從而有利于實施素質教育。這些都是我們新課標所提倡的。也正是我們數學教學工作者要重視與努力的。

參考文獻

[1]董方博，《高中數學和建模方法》，武漢出版社.

[2]柯友富，《運用雙曲線模型解題》，中學數學教學參考，2004(6).

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課程是高校教育教學活動的載體，是學生掌握理論基礎知識和提高綜合運用知識能力的重要渠道，學生創新能力的形成必定要落實在課程教學活動的全過程中。“數學建模”是一門理論與實踐緊密結合的數學基礎課程，課程的許多案例來源于實際生活，其學習過程讓學生體驗了數學與實際問題的緊密聯系。數學建模課程從教學理念及教學方法上有別于傳統的數學課程，它是將培養學生的創新實踐能力作為主要任務，利用課程體系完成創新能力的培養。由于課程教學內容系統性差，建模方法涉及多個數學分支，課程結束后還存在著學生面對實際問題無從下手解決的現象。通過深入研究課程教學體系，將傳授知識和實踐指導有機結合，實施以數學建模課程教學為核心，以競賽和創新實驗為平臺的新課程教學模式。

一、數學建模課程對培養創新人才的作用

（一）提高實踐能力

數學建模課程案例主要來源于多領域中的實際問題，它不僅僅是單一的數學問題，具有數學與多學科交叉、融合等特點。課程要求學生掌握一般數學基礎知識，同時要進一步學習如微分方程、概率統計、優化理論等數學知識。這就需要學生有自主學習“新知識”的能力，還要具備運用綜合知識解決實際問題的能力。因此，數學建模課程對于大學生自學能力和綜合運用知識能力的培養具有重要作用。

（二）提高創新能力

數學建模方法是解決現實問題的一種量化手段。數學建模和傳統數學課程相比，是一種創新性活動。面對實際問題，根據數據和現象分析，用數學語言描述建模問題，再進行科學計算處理，最后反饋到現實中解釋，這一過程沒有固定的標準模式，可以采用不同方法和思路解決同樣的問題，能鍛煉學生的想象力、洞察力和創新能力。

（三）提高科學素質

面對復雜的實際問題，學生不僅要學會發現問題，還要將問題轉化為數學模型，利用數學方法和計算軟件提出方案用于解釋實際問題。由于數學建模知識的寬泛性，需要學生分工合作完成建模過程，各成員的知識結構側重點有所不同，彼此溝通、討論有助于大學生相互交流與協作能力的培養，最終的成果以科學研究論文的形式體現，科學論文撰寫過程提高了學生科學研究的系統性。

二、基于數學建模課程教學全方位推進創新能力培養的實踐

（一）分解教學內容增強課程的適應性

根據學生的接受能力及數學建模的發展趨勢，在保持課程理論體系完整性和知識方法系統性的基礎上，教學內容分解為課堂講授與課后實踐兩部分。課堂教師講授數學建模的基礎理論和基本方法，精講經典數學模型及建模應用案例，啟發學生數學建模思維，激發學生數學建模興趣；課后學生自己動手完成課堂內容擴展、模型運算及模型改進等，教師答疑解惑。課堂教學注重數學建模知識的學習，課后教學重在知識的運用。隨著實際問題的復雜化和多元化，基本的數學建模方法及計算能力滿足不了實際需求。課程教學中還增加了圖論、模糊數學等方法，計算機軟件等初級知識。

（二）融入新的教學方法提高學生的參與度

1.課堂教學融入引導式和參與式教學方法。數學建模涉及的知識很多是學生學過的，對學生熟悉的方法，教師以引導學生回顧知識、增強應用意識為主，借助應用案例重點講授問題解決過程中數學方法的應用，引導學生學習數學建模過程；對于學生不熟悉的方法，則要先系統講授方法，再分析講解方法在案例中的應用，引導學生根據問題尋找方法。此外，為了增強學生學習的積極性和效果，組織1～2次專題研討，要求學生參與教學過程，教師須做精心準備，選擇合適教學內容、設計建模過程、引導學生討論、糾正錯誤觀點。

2.課后實踐實施討論式和合作式教學方法。在課后實踐教學中，提倡學生組成學習小組，教師參與小組討論共同解決建模問題。學生以主動者的角色積極參與討論、獨立完成建模工作，并進行小組建模報告，教師給予點評和糾正。對那些沒有徹底解決的問題，鼓勵學生繼續討論完善。通過學生討論、教師點評、學生完善這一過程，極大地調動了學生參與討論、團隊合作的熱情。同時，教師鼓勵學生自己尋找感興趣的問題，用數學建模去解決問題。

3.課程綜合實踐推進研究式教學方法。指導學生在參加數學建模競賽、學習專業知識、做畢業設計及參與教師科研等工作中，學習深入研究建模解決實際問題的方法，通過多層次建模綜合實踐能提高分析問題、選擇方法、實施建模、問題求解、編程實踐、計算模擬的綜合能力，進而提高創新能力。

（三）融合多種教學手段，提高課程的實效性

1.利用網站教育平臺實施線上課堂教學。線上教學要選取難易適中，不宜太專業化，便于自學，并具有與課堂教學承上啟下功能，服務和鞏固課程的需要的內容，利用互聯網云教育平臺，學習多媒體課件、教學視頻，及通過提供的相關資料來學習。教師還可通過網站問題、解答疑難、組織討論，學生通過網站學習知識、提交解答、參與討論。學生能更有效地利用零散時間，培養自我約束、管理時間的意識和能力。

2.充分利用多媒體課件與黑板書寫相結合的課堂教學手段。根據課堂教學要求，規劃設計制作課件與黑板書寫的具體內容，同時連接好線上的學習成效推進課堂教學。課件主要介紹問題背景、分析假設、建模方法、算法程序和模型結果，而模型推導和分析求解的具體過程，則通過板書展示增加了課堂教學的信息量，也促進學生消化理解難點和技巧。

3.指導學生小組學習的課后教學手段。指導學生以學習小組為單位開展建模學習與實踐活動，提倡不同專業學生之間的相互學習、取長補短，通過學習與討論增強學生自主學習的意識和能力。數學建模過程不是解應用題，雖然沒有唯一途徑，但也有規律可循，在小組學習中發揮團隊力量、提高建模能力。

（四）構建多層次建模問題，培養學生創新能力

案例選擇、教學設計、知識銜接是數學建模在創新型人才培養中的關鍵。

1.課堂教學建模問題。課堂教學通過應用案例講解有關建模方法，所選問題包括兩類：一是基本類型，圍繞大學數學課程主要知識點的簡單建模問題，如物理、日常生活等傳統領域中的建模問題，學生既能學習建模方法又能感受數學知識的應用價值；二是綜合類型，涵蓋幾個數學知識點的綜合建模問題，如SAS的傳播。問題要有一定思考的空間，且在教師的分析和引導下學生能夠展開討論。

2.課后實踐建模問題。課后學生要以學習小組為單位完成教師布置的數學建模問題。問題要圍繞課堂教學內容，難易適當，層次可分，以便學生選擇和討論。同時，問題還要有明確的實際背景，能將數據處理、數值計算有機結合起來。另一方面，鼓勵學生學會發現日常生活和專業學習中的建模問題，引導學生提出正確的思考方向，幫助學生給出解決問題的方案。

（五）組織多元化過程考核，注重學習階段效果

1.課堂內外考試與網上在線考試相結合的過程考核。教師按照教學要求將考試可以分解兩種形式：課堂內結合應用案例組織課堂討論，通過學生參與情況實施考核；課堂外針對基礎知識可實施在線測試，對綜合知識點設計一定量的大作業，根據學生完成情況實施考核，也允許學生自主選題完成大作業。

2.課程教學結束的綜合考核。課程綜合考核重點在于測試學生知識綜合運用能力，可以采取兩種形式之一。一是集中考試法，試題包括有標準答案的基礎知識、課堂講授的建模案例、完全開放的實際問題；考試采取“半開卷”形式，即可以攜帶一本教材，但不能與他人討論。二是建模競賽實踐的考核法。數學建模選修課期間剛好組織東北三省數學建模聯賽和校內數學建模競賽，鼓勵學生參加競賽，依據競賽論文實施考核。

在考核成績評定上，采用綜合計分方式，弱化期末考核權重，加大過程考核分量，注重過程學習，提高考核客觀性。

（六）教學團隊建設

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一、數學建模簡介

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。 簡單地說：數學模型就是對實際問題的一種數學表述。具體一點說：數學模型是關于部分現實世界為達到某種目的而建立的一個抽象的簡化的數學結構。更確切地說：數學模型就是對于一個特定的對象為了一個特定目標，根據特有的內在規律，做出一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學結構可以是數學公式、算法、表格、圖示等。 數學建模就是建立數學模型，建立數學模型的過程就是數學建模的過程。

應用數學去解決各類實際問題時，建立數學模型是十分關鍵的一步，同時也是很困難的一步。建立數學模型的過程，是把錯綜復雜的問題簡化、抽象為合理的數學結構的過程。要通過調查、收集數據資料，觀察和研究實際對象的固有特征和內在規律，抓住問題的主要矛盾，建立起反映實際問題的數量關系，然后利用數學的理論和方法去分析和解決問題。這就需要深厚扎實的數學基礎，敏銳的洞察力和想象力，對實際問題的濃厚興趣和廣博的知識面。下面通過“哥斯尼堡七橋問題”這個典型的數學建模問題來初步感受一下在數學教學中建模思想的運用與滲透。

在具體的教學中，我們經歷了“問題情境—建立模型—解釋、解決問題”這樣一個過程。在這個過程中，最閃光、最具價值的就是把實際問題抽象、概括成為簡單數學問題這一部分，即建立數學模型的過程。下面著重研究一下在小學數學教學中，學生建立數學模型的幾種方法。

二、在小學數學教學中滲透建模思想，建立數學模型

1、原型轉化，建立數學模型

現實生活是數學的源泉，數學問題是現實生活化的結果。有意義的學習一定要把數學內容放在真實的且有趣的情境中。讓學生經歷從生活原型問題逐步抽象到數學問題。如乘法結合律數學模型的建立，可先從學生身邊熟悉的生活原型引入：“我們班有4個學習小組，每組排兩列課桌，每列有5張。一共有多少張課桌？（用兩種方法解答）”學生經過自主探索與合作交流，得出兩種方法解答的結果是相同的，就是（5×2）×4=5×（2×4）。這一組數學關系式就是乘法結合律的特例。接著師生再結合生活中的實際問題進行探討，得到一樣的規律。然后讓學生歸納出更為一般的數學模型為：（a×b）×c=a×（b×c）。

數學模型反映了研究對象的元素和結構，凸現了研究對象的本質特征。借助數學模型的研究，有利于學生建立良好的認知結構，有利于提高思維的導向，有利于解決更多的生活中的實際問題和數學領域中的問題。

2、認知同化，建立數學模型

學生的認知結構是在掌握知識過程中形成和發展的，是學生原有認知結構與新知識相互作用的結果。在這一過程中，學生原有的認知結構遇到一種新的知識輸入而產生一種不平衡的狀態，通過學生的認知活動使其原有的認知結構與新知識發生作用，這時新知識被學生原有的認知結構所吸收，即“同化”，從而使學生的認知結構達到新的平衡——建立起新的（或統一的）數學模型。

美國教育界有句名言：“學校中求知識的目的不在于知識本身，而在于使學生掌握獲得知識的方法。”所以，不能把數學教育單純的理解為知識傳授和技能的訓練。學生進入社會后，也許很少用到數學中的某個公式和定理，但其數學思想方法，數學中體現出來的精神，卻是他們長期受用的。

3、認知順化，建立數學模型

學生原有的認知結構遇到一種新知識的輸入而產生一種不平衡狀態，這時新知識不能被學生原有的認知結構“同化”，就引起學生原有認知結構的改造，即“順化”，從而使學生的認知結構達到新的平衡——建立新的數學模型。如為了加深小學高年級學生對“鐘面上的數學問題”的認知，可設計這樣的問題情境：現在是下午4時10分，時針與分針所夾的角是幾度？要解答這個問題單純用時、分、秒的知識是不能解決的，應該與角的度數問題進行重組。

三、在小學數學教學中滲透建模思想方法應注意的幾個問題

1.提高滲透的自覺性

數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有“形”的，而建模思想方法卻隱含在數學知識體系里，是無“形”的，并且不成體系地散見于教材各章節中。教師講不講，講多講少，隨意性較大，常常因教學時間緊而將它作為一個“軟任務”擠掉。對于學生的要求是能領會多少算多少。因此，作為教師首先要更新觀念，從思想上不斷提高對滲透建模思想重要性的認識，把掌握數學知識和滲透建模思想同時納入教學目的，把建模思想方法教學的要求融入備課環節。其次要深入鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行建模思想方法滲透的各種因素，對于每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行建模思想方法滲透，怎么滲透，滲透到什么程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。

2.把握滲透的可行性

建模思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現。因此，必須把握好教學過程中進行建模思想教學的契機——概念形成的過程，結論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規律揭示的過程等。 同時，進行建模思想方法的教學要注意有機結合、自然滲透，要有意識地潛移默化地啟發學生領悟蘊含于數學知識之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法。

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關鍵詞：高數教學；融入；數學建模思維方法

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在數學課堂教學中融入數學思想方法，其目的是還原數學知識源于生活且應用于現實的本來面貌，以數學課程為載體，培養學生“學數學、用數學”的意識與創新能力。因此，數學教師有責任對數學教材加以挖掘整理， 進行相關的教學研究，從全新的角度重新組織數學課堂教學體系。數學知識形成過程，實際上也是數學思想方法的形成過程。在教學中， 注重結合數學教學內容，從它們的實際“原型”（源頭活水）和學生熟悉的日常生活中的自然例子， 設置適宜的問題情境， 提供觀察、實驗、猜想、歸納、驗證等方面豐富直觀的背景材料， 讓學生充分地意識到他們所學的概念、定理和公式，不是硬性規定的，并非無本之木，無源之水，也不是科學家頭腦中憑空想出來的，而是有其現實的來源與背景，與實際生活有密切聯系的。學生沿著數學知識形成的過程，就能自然地領悟數學概念的合理性，了解其中的數學原理，這樣既激發了學生學學數學的興趣，又培養了學生求真務實理性思維的意識。

一、高數教學中具體滲透數學思維方法

下面具體以講解二元常系數非齊次線性微分方程的特解形式為例穿插數學思維方法的過程，對于這部分內容是微分方程這一章節的重點，也是難點，有些同學對于如何設特解的形式一籌莫展。教材書上歸納總結了幾種情況下特解的設立，一般根據方程右邊f（x）的形式來設取，歸納表格如下：

兩種方法設立的特解形式相同，至此可以說明假設的特解形式得以驗證，即兩種情況可以統一在一起，這樣便于學生在理解的基礎上記憶，而不用考慮p，q是否等于0的情況，這種方法的優點主要在于與f（x）的第二種形式完美統一在一起，它們之間有著一定的內在聯系性。重新整理一下，二元常系數非齊次線性微分方程的特解形式的設立可以歸納如下：

這樣在講解過程中就培養了學生的觀察能力，內在邏輯聯系，歸納總結能力，并激發了學生學習數學的興趣和積極性，他們會覺得原來學數學這樣有趣，這是一個發現、探索的過程，而數學的發展就是在數學家通過類似的這樣一個發現、探索的過程不斷發現數學概念、定理的，通過學習學生能感覺出數學的文化底蘊，以及數學家發現數學定理的艱辛，那么自己在不斷探索的過程中就有了動力與激情，無意中就培養了學生不畏艱難的奮斗精神，而這對于鍛煉學生的毅力等品質有很大的幫助。

二、高數課堂融入數學思維方法的建議

1.增強融入意識，明確主旨

數學課堂教學的任務不僅僅是完成知識的傳授， 更重要的是培養學生用數學思想方法解決實際問題的能力，這是數學教育改革的發展方向，“學數學”是 為了“用數學”。數學思想方法的融入數學課堂教學，與現行的數學教學秩序并不矛盾， 關鍵是教師要轉變觀念， 認識數學思想方法融入數學課堂教學的重要性， 以實際行動為課堂教學帶來新的改革氣息。在平時的教學中， 要把數學教學和滲透數學思想方法有機地結合起來。同時，應充分認識到數學應用是需要基礎（數學基礎知識、基本技能和基本思想方法）的，缺乏基礎的數學應用是脆弱的， 數學思想方法融入的數學課堂教學中，并不是削弱數學基礎課程的教學地位，也不等同于上“數學模型”或“數學實驗”課，應將教學目標和精力投入到數學基礎課程的核心概念和內容， 數學思想方法融入過程只充當配角作用， 所用的實際背景或應用案例應自然、樸實、簡明、扼要。

2.化整為零，適時融入

在大學數學課堂教學過程中適時融入數學建模思想和方法，根據章節內容盡量選取與課程相適應的案例，改革“只傳授知識”的單一教學模式為 “傳授知識、培養能力、融入思想方法”并重的教學模式，結合正常的課堂教學內容或教材，在適當環節上插入數學建模和數學應用的案例，通過“化整為零、適時融入、細水長流”，達到“隨風潛入夜，潤物細無聲”的教學效果。

3.化隱為顯、循序漸進

數學思想方法常常是以隱蔽的形式蘊含在數學知識體系之中，這不僅是產生數學知識、數學方法的基礎，而且是串聯數學知識、數學方法的主線，在知識體系背后起著“導演”的作用。因此，在教學過程中應適時把蘊含在數學知識體系中的 思想方法明白地揭示出來，幫助學生理解數學知識的來龍去脈。在新知識、新概念的引入，難點、重點的突破，重要定理或公式的應用、學科知識的交匯處等，采用循序漸進的方式，力爭和原有教學內容有機銜接，充分體現數學思想方法的引領作用。同時，注意到數學思想方法融入是一個循序漸進的長期過程， 融入應建立在學生已有的知識經驗基礎之上，在學生的近發展區之內，必須在基礎課程教學時間內可以完成，又不增加學生的學習負擔。可以根據教學內容側重突出建模思想方法的某一個環節，不必拘泥于體現數學建模的全過程， 即“精心提練、有意滲透、化隱為顯、循序漸進”。

4.激趣、適度拓展

數學思想方法融入數學課堂教學目的是提高學生“學數學、用數學”的意識，激發學生的學習興趣。因此，教師應結合所學內容，選擇適當的數學問題，親自動手進行建模示范，在學生生活的視野范圍內，針對學生的已有的數學知識水平、專業特點，收集、編制、改造一些貼近學生生活實際的數學建模問題，注意問題的開放性與適度拓展性，盡可能地創設一些合理、新穎、有趣的問題情境來激發學生的好奇心和求知欲，使W生體驗應用數學解決問題的成功感。

總之，作為新時期的數學教育工作者， 我們的教學必須適應學生發展的需要，在數學課堂教學過程中， 既要注重數學知識的傳授，更要重視能力的培養和數學思想方法的滲透，只有三者和諧同步發展，才能使我們的教學充滿活力，為學生數學應用能力的提高做一些有效而實際的工作。

參考文獻：

[1]王秀蘭.將數學建模思想融入高等數學教學的思考[J].科技資訊，2016，01

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關鍵詞：數學建模素質教育教學改革培養

實施素質教育的重點是培養學生具有創新精神和實踐能力，造就合格的社會主義事業接班人。為此，廣大教育工作者就如何向學生傳授知識的同時，全面提高學生的綜合素質進行著不斷地探索與研究，并提出了許多解決問題的方法和思路。筆者結合多年的教學實踐，認為數學建模是實施素質教育的一種有效途徑。

一、數學建模的內涵及其發展過程

數學建模是通過對現實問題的抽象、簡化，確定變量和參數，并應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學問題；然后求解該數學問題，最后在現實問題中解釋、驗證所得到的解的創造過程。數學建模過程可用下圖來表明:

因此，數學建模活動是一個多次循環反復驗證的過程，是應用數學的語言和方法解決實際問題的過程，是一個創造性工作和培養創新能力的過程。而數學建模競賽就是這樣的一個設計數學模型的競賽活動。

1989年我國大學生首次組隊參加美國的數學建模競賽(AMCM),1992年開始由中國工業與應用數學學會(CSTAM)舉辦我國自己的全國大學生數學建模競賽(CMCM)。到1994年改由國家教委高教司和中國工業與應用數學學會共同舉辦，每年一次，數學建模教育實踐相繼開展。現已成為落實素質教育、數學教育改革的熱點之一。1996年“全國大學生數學建模競賽”工作會議后，全國高校掀起了數學建模熱潮，參加院校逐年遞增。到目前為止，數學建模競賽己經成為全國大學生的四大競賽之一。

數學建模教育及實踐對密切教學與社會生活的聯系、促進大學數學課程的更新具有十分重要的意義，特別是對大學生綜合素質的提高有著不可低估的作用。本文擬就數學建模對學生素質能力的培養、以及對數學教學改革的啟示談一些拙見，供同行參考。

二、數學建模對大學生素質能力的培養作用

1.數學建模有利于培養學生的創造能力和創新意識

數學建模通常針對的是從生產、管理、社會、經濟等領域中提出的原始實際問題，這類問題一般都未作加工處理，也未作任何假設簡化，有些甚至看起來與數學毫無關系。因此，建模時首先要確定出哪些是問題的主要因素，哪些是次要因素，做出適當的、合理的假設，使問題得到簡化；然后再利用適當的數學方法和知識來提煉和形成數學模型。一般地講，由于所作假設不同，所使用的數學方法不同，可能會做出不同的數學模型，這些模型甚至可能都是正確的、合理的。例如，1996年全國大學生數學建模競賽A題（可再生資源的持續開發和利用），就這一題而言，可以在合理、科學的假設前提下，利用微分方程建立魚群演變規律模型；也可以建立可持續捕撈條件下的總產量最大的優化模型；還可以建立制約各種年齡的魚的數量的微分方程和連結條件，然后采用迭代搜索法處理，它給學生留下了極大的發揮空間，任憑學生去創造和創新。評閱答卷時教師對具有創造性和創新意義的在評定等級上還可給予傾斜。因此，數學建模是一種培養學生創造能力和創新精神的極好方式，其作用是其他任何課堂教學無法替代的。

2.數學建模有利于培養學生的組織協調能力

在學校里學生通常是自己一個人念書、做題，幾個人在一起活動的機會不多，特別是不同專業的學生在一起研究討論問題的機會就更不多了，而建模比賽是以3人組成一隊一起參加的，這樣設置的初衷就是為了建立隊員之間的相互信任，從而培養隊員的協作能力。比賽要求參賽隊在3天之內對所給的問題提出一個較為完整的解決方案，這么短的時間內僅僅依靠一兩個人的“聰明才智”是很難完成的，只有合3人之力，才能順利給出一個較好的結果來，而且要給出一份優秀的解決方案，創新與特色是必不可少的。因此3人在競賽中既要合理分工，充分發揮個人的潛力，又要集思廣益，密切協作，形成合力，也就是要做個“人力資源”的最優組合，使個人智慧與團隊精神有機地結合在一起。因此數學建模可以培養同學的合作意識，相互協調、、取長補短。認識到團隊精神和協調能力的重要性對于即將面臨就業選擇的莘莘學子來說無疑是有益的，以至對他們一生的發展都是非常重要的。

3.數學建模有利于培養和提高學生的自學能力和使用文獻資料的能力

數學建模所需要的知識，除了與問題相關的專業知識外，還必須掌握諸如微分方程、數學規劃、計算方法、計算機語言、應用軟件及其它學科知識等，它是多學科知識、技能和能力的高度綜合。寬泛的學科領域和廣博的技能技巧是學生原來沒有學過的，也不可能有過多的時間由老師來補課，所以只能通過學生自學和討論來進一步掌握。教師只是啟發式地介紹一些相關的數學知識和方法，然后學生圍繞需要解決的實際問題廣泛查閱相關的資料，從中吸取自己所需要的東西，這又大大鍛煉和提高了學生自覺使用資料的能力。而這兩種能力恰恰是學生今后在工作和科研中所永遠需要的，他們可以靠這兩種能力不斷地擴充和提高自己。

4.數學建模有利于培養和提高培學生的計算機應用能力

應用計算機解決建模問題，是數學建模非常重要的環節。其一，可以應用計算機對復雜的實際問題和繁瑣的數據進行技術處理，若用手工計算來完成其難度是可想而知的；同時也可用計算機來考察將要建立的模型的優劣。其二，一旦模型建立，還要利用計算機進行編程或利用現成的軟件包來完成大量復雜的計算和圖形處理。沒有計算機的應用，想完成數學建模任務是不可能的。例如1999年全國大學生數學建模競賽題B（礦井選址問題），它需要借助計算機進行全方位的搜索，以確定最佳鉆井地址，從而節約鉆井費用，提高經濟效益。因此，數學建模活動對提高學生使用計算機及編程能力是不言而喻的。

5.可以增強大學生的適應能力

在知識經濟時代，知識更新速度不斷加快，如果思維模型和行為方式不能與信息革命的要求相適應，就會失掉與社會同步前進的機會。如今市場對人才的要求越來越高，人才流動、職業變化更加頻繁，一個人在一生中可能有多次選擇與被選擇的經歷。通過數學建模的學習及競賽訓練，他們不僅受到了現代數學思維及方法的熏陶，更重要的是對不同的實際問題，如何進行分析、推理、概括以及如何利用數學方法與計算機知識，還有各方面的知識綜合起來解決它。因此，他們具有較高的素質，無論以后到哪個行業工作，都能很快適應需要。

如上所述，開展數學建模教學與實踐這項活動，將有助于大學生創新能力、實踐能力等能力的培養，從而有助于大學生綜合素質能力的提高。此外，數學建模還可以幫助學生提高論文的寫作能力、增加學生的集體榮譽感、以及提高大學生的分析、綜合、解決實際問題的能力，在此我們不再一一論及。

三、數學建模對數學教學改革的一些啟示

數學建模從教育觀念、內容、形式和手段都有一定的創新，對數學教學改革有積極的啟示意義。

1.突出了教與學的雙主體性關系

數學建模競賽以師生互動為基本特點，教師的主體性與學生的主體性同時存在、互相協同，最后形成一種最優的互動關系。教師的主體性表現在:①教師是組織者。整個競賽訓練過程中的人員選拔、教學安排、分析模擬等都離不開教師的策劃和嚴密安排。②教師是教學過程中的主導者。教師要根據學生的學習興趣、能力及特點，不斷修正自己的教育內容和方法，在發揮自身主體性同時又要開發被教育者的主體性。學生的主體性表現在:①始終明確自身是競賽的主體。學生必須在全過程集中自己的心向系統去接受教師發出的教學信息，與原有知識體系融合、內化為新的體系。②學習過程中的創造與超越。學生要對教師所給予的信息有批判性地、創造性地、發展性地能動反映，要在相互討論、相互啟發下尋求更多更好的解答方案。

因此，這種雙主體的關系是對以往教師為中心、為主體的教學方式的根本突破，這種突破的條件首先是競賽機制和教育觀念的創新和變革，這對我們數學教學改革提供了積極的啟示。

2.促進了課程體系和教學內容的改革

長期以來，我們的課程設置和教學內容都具有強烈的理科特點：重基礎理論、輕實踐應用；重傳統的經典數學內容、輕離散的數值計算。然而，數學建模所要用到的主要數學方法和數學知識恰好正是被我們長期所忽視的那些內容。因此，這迫使我們調整課程體系和教學內容。比如可增加一些應用型、實踐類課程：像“運籌學”、“數學模型”、“數學實驗”、“數學軟件介紹及應用”、“計算方法”這些課程等等；在其余各門課程的教學中，也要盡量注意到使數學理論與應用相結合，增加實際應用方面的內容和例題，從而使教學內容也得到了更新。

3.增加新興科技知識的傳授，拓寬知識面

數學建模所使用的材料涉及范圍十分廣泛，要求教學雙方具有較廣的知識面，同時并不要求掌握各個專業領域中比較艱深的部分。這些特點對于目前數學教材中存在的內容陳舊、知識面狹窄及形式呆板等問題，具有借鑒作用。數學建模的試題通常聯系新興的學科，在科學技術迅猛發展的今天，各種新興學科、邊緣學科、交叉學科不斷涌現，廣博的知識面和對新興科學技術的追蹤能力是獲得成功的關鍵因素之一，也是當代大學生適應市場經濟，畢業以后走向社會的必備條件。

全國大學生數學建模競賽組委會主任李大潛院士曾經說過:“數學教育本質上就是一種素質教育，數學建模的教學及競賽是實施素質教育的有效途徑”。因此，如果我們能逐步地將數學建模活動和數學教學有機地結合起來，就能夠在教學實踐中更好地體現和完成素質教育。

參考文獻：

[1]李同勝.數學素質教育教學新體系和實驗報告[J].教育研究,1997(6):2-3.

[2]姜啟源.數學模型[M].北京:高等教育出版社,1996.1-204.

[3]陳國華.數學建模與素質教育[J].數學的實踐與認識,2003(2):110-113.

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一、開展數學建模教學的意義

在中學開展建模的教學，可使學生體會數學與自然及人類社會的密切聯系，體會數學的應用價值，培養應用意識，增加對數學的理解和應用數學的信心。

在中學開展建模教學，可使學生學會用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活中的數學問題，進而形成勇于探索，敢于創新的科學精神。

以建模為手段，能激發學生的學習積極性，使學生學會團結協作，建立良好的人際關系，培養相互合作的工作能力。

二、數學建模教學存在的問題和困難

數學建模教學存在的問題和困難，主要是在中學數學教學中，數學建模教學得不到應有的重視。相當一部分教師認為數學主要是培養學生的運算能力和邏輯推理能力，至于如何從數學的角度出發，分析和處理學生周圍的生活及生產實際問題更是無意顧及。

三、 實施數學建模教學的具體做法

用數學建模解決實際問題，首先要經過觀察、分析、篩選、區分獲得的信息，洞察實際問題的數學結構，提煉出數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統中去處理。這不僅要求學生有一定的抽象思維能力而且要有相當的觀察分析、綜合、類比、推斷等能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，為將數學建模活動融入到平時的教學中。

1. 在課堂上適當引用應用性例題，進行數學建模示例，培養學生的應用意識。結合本地教材讓學生掌握基本的數學模型和引入建模思想。如在比例問題的應用教學中可引入以下一個實際問題作為例題來進行教學。

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【關鍵詞】混合建模；支持向量機；雙酚A催化劑活性；軟測量

1.引言

隨著工業過程對象的日益復雜，在很多應用中，僅僅靠控制常規的測量參數很難達到讓人滿意的控制效果，而且很多重要的指標都很難在線獲得，所以促使軟測量技術產生并得以發展。比如雙酚A催化劑活性，雙酚A的生產工藝主要采用陽離子交換樹脂法[1]，以酸性陽離子交換樹脂為催化劑，陽離子樹脂催化劑隨著時間的變化，其活性不斷降低，其下降的程度直接影響縮合反應的程度，所以它是直接影響生產雙酚A的重要因素，因此，研究雙酚A催化劑活性的變化是既有理論價值，又有重要的工程意義。看過多篇文獻，知道催化劑活性建模方法可以采用常規的時間序列建模方法比如支持向量機，但是這是完全基于歷史數據的黑箱模型，缺乏物理化學基礎，其模型估計結果不具有可解釋性，往往難以反應對象的特性，有可能難以把握催化劑活性的變化趨勢。本文提出了將機理與支持向量機相結合的一種建模方法，即混合建模[2]，又被稱為“灰箱建模”，它在反應過程的機理和噪聲影響的同時，能夠較為實際地反應過程的真實情況，在現實中得到了廣泛的應用。

2.軟測量理論

軟測量的基本思想[3]是把自動控制理論與生產工藝過程知識有機結合起來，應用計算機技術對于一些難于測量或暫時不能測量的重要變量(主導變量)，選擇另外一些容易測量的變量(輔助變量或二次變量)，通過構成某種數學關系來推斷和估計，用軟件來代替硬件功能。

軟測量技術主要由4個相關要素組成：(1)中間輔助變量的選擇；(2)數據處理；(3)軟測量模型建立；(4)軟測量模型的在線校正。其中(3)是軟測量技術最重要的組成部分。

2.1 中間輔助變量的選擇

它是建立軟測量模型的第一步，它包括變量類型，變量數量和監測點的選擇。三者互相關聯，互相影響。常用的選擇方法有兩種：一種是通過機理分析的方法，找到那些對被測變量影響大的相關變量；另一種是采用主元分析，部分最小二乘法等統計方法進行數據相關性分析，剔除冗余的變量，降低系統的維數。需要注意的是，輔助變量的個數不能少于被估計的變量數。

2.2 數據處理

軟測量是根據過程測量數據經過數值計算而實現的，其性能在很大程度上依賴于所獲過程測量數據的準確性和有效性。為了保證這一點，一方面，我們要均勻分配采樣點，減少信息重疊。另一方面，對采集來的數據進行適當的處理，因為現場采集的數據會受到不同程度環境噪聲的影響而存在誤差。一般數據處理包括數據預處理和二次處理。

2.3 數學模型的建立

軟測量模型是軟測量技術的核心。它是通過輔助變量來獲得對主導變量的最佳估計。本文利用了兩種方法。一種是單一的支持向量機建模，另一種是混合建模方法。

2.4 數學模型修正

由于過程的隨機噪聲和不確定性，所建數學模型與實際對象間有誤差，若誤差大于工藝允許的范圍內，應對數學模型進行校正。

3.離子交換樹脂催化劑失活[4]

3.1 離子交換樹脂催化反應機理分析

常用的離子交換樹脂為磺化的苯乙烯一二乙烯基苯交聯的球粒狀共聚物。它既不溶解，也不熔融，但是它可以溶脹，每個樹脂顆粒都由交聯的立體骨架構成，磺酸基團連結于樹脂內部的空間網狀骨架上，骨架可離解出氫離子，作為活性中心。該催化反應屬于正碳離子的反應機理。

3.2 離子交換樹脂催化失活機理分析

雙酚A合成反應使用陽離子樹脂催化劑，在使用過程中，隨時間推移，催化劑會逐漸失去它的活性。陽離子樹脂催化劑失活的主要原因是催化劑的活性基團失去活性或有活性的基團被轉化成沒有活性的基團，也會因為自身特性和操作條件的變化引起催化劑活性的波動。根據相關化學原理，使得陽離子交換樹脂失去活性的因素大致有如下幾個：陽離子物質；醇；氫原料物質；高溫；水[5][6]。

然而上面五個影響催化劑活性的因素都沒有辦法用傳感器在線測量，也就不適用于工業現場對催化劑活性的軟測量。為了滿足雙酚A生產現場對催化劑活性進行在線監測的需求，本文結合相關機理以及生產經驗，通過分析尋找出了影響催化劑活性并可在線測量的若干因素，將其運用到催化劑活性軟測量建模之中。通過研究大量文獻，可以知道影響催化劑活性并能在線測量的幾個因素：催化劑的使用時間；酚酮比；反應溫度；生產負荷，將這些影響因素運用到軟測量建模中去。

3.3 催化劑活性輔助變量的數據處理

我們知道了有4個變量對催化劑失活產生影響。從采樣數據中我們盡可能排除噪音成分，保留真實信號。數據預處理一般包括：首先提出一部分不在原始數據變量操作范圍或重復的數據，然后再用原則對數據進行進一步的篩選，對篩選后的數據進行平滑處理，最后再將數據進行分類。本文選取100個數據，75個作為訓練數據，25個作為測試數據。

4.離子交換樹脂催化劑活性建模

4.1 基于支持向量機[7]建立催化劑活性模型

4.1.1 基于回歸支持向量機的方法

近年來，作為機器學習領域中備受矚目的支持向量機(SVM)在許多領域取得了成功的應用，顯示出巨大的優越性：(1)支持向量機基于統計學習理論，根據結構風險最小化原則，具有小樣本學習能力，即由有限的訓練樣本得到小的誤差，對獨立的測試集仍然能保證小的誤差；(2)支持向量機算法是一個凸優化問題，因此局部最優解一定是全局最優解，所以本文先利用支持向量機軟測量方法對催化劑活性進行建模研究。

4.1.2 支持向量機建模

(1)輔助變量選取

確定模型輸入輸出變量。輸出為催化劑活性，而影響其的因素大致有四個：催化劑時間；酚酮比；反應溫度；生產負荷。

(2)數據采集和處理

本文采集了100個數據，每連續四個數據中取一個作為測試集，其余三個為訓練集。這樣就有75個訓練集，25個測試集。

(3)催化劑活性建模

將催化劑時間，酚酮比，反應溫度和生產負荷分別作為該模型的輸入，輸出為催化劑活性。通過matlab仿真，得到如圖3-1、圖3-2。

由圖3-1、3-2可以看出，用單一的支持向量機建模得出的相對誤差在[0.8%，-1%]，預測效果相對不是很理想，于是，我們提出了混合建模來進行預測。

4.2 基于混合建模建立催化劑活性模型

4.2.1 基于混合建模的方法

我們知道，常用的軟測量方法有機理建模，數據驅動建模和混合建模方法。機理建模方法可解釋性強，外推性好，但是建模過程非常復雜。而數據驅動建模根據過程的輸入輸出數據直接建模，幾乎無需要過程對象的先驗知識。但是這種建模方法通常學習速度慢，且容易造成過擬合現象，此外，用這種方法建立的模型不具有可解釋性。而混合建模方法則是把簡化機理建模方法和數據驅動建模方法結合起來，互為補充。簡化機理模型提供的先驗知識，可以為基于數據驅動的模型節省訓練時間；同時基于數據驅動的模型又能補償簡化機理模型的未建模特性。因此，混合建模方法現已被廣泛地應用并且取得了很好的效果。

本文主要對催化劑活性進行部分機理分析[1]，我們知道催化性活性會隨使用時間的累積而下降，這是催化劑時候過程中容易把握的部分，所以把這個作為建立機理模型的基礎。本文利用數值回歸的方法，建立數學表達式f(t)，來描述時間和催化劑活性之間的函數表達式。將現場中的催化劑活性數值和催化劑使用時間作為輸出和輸入，進行二次多項式回歸，確定f(t)的數學表達式。f(t)帶有一定的先驗知識，能夠較為準確地描述催化劑活性的變化趨勢，為之后的活性建模提供基礎。在以上說的四個催化劑活性影響因素中，除了催化劑時間外，還有生產負荷(flow)，酚酮比(rate)和反應溫度(T)。這三個因素對催化劑的影響較難把握。為了反映這些模糊因素對催化劑活性的影響，本文使用支持向量機來描述催化劑活性和這三個因素之間的對應關系。將上述三個影響因素作為支持向量機模型的輸入，真實催化劑和趨勢曲線f(t)的差值作為模型的輸出，訓練得到支持向量機模型。模型結構圖如圖3-3。

4.2.2 混合建模

(1)輔助變量選取

與支持向量機不同，混合建模是在確定催化劑活性與催化劑時間關系的先驗知識下，將生產負荷，酚酮比和催化劑溫度作為輸入，而真實催化劑數值和f(t)之間的差值作為輸出。

(2)仿真建模

采取和支持向量機一樣的數據采集和處理，提取相同的100組數據，75個訓練集，25個測試集。然后進行仿真，如圖3-4、3-5。

如圖3-4、3-5所示，我們得出了將機理和支持向量機結合起來的建模效果遠遠優于用單一的支持向量機，其相對誤差在[0.07%，-0.13%]。

5.結束語

文章將支持向量機和機理與支持向量機相結合的兩種建模方法都應用到了催化劑活性建模中，從仿真結果可以看出，混合建模明顯優于單一支持向量機方法。所以，在進行建模的時候，盡量的了解過程的機理，在機理的基礎上，結合一些智能方法，能夠得到更加良好的效果。我們還了解到影響催化劑活性的四個重要因素，并且找到了催化劑活性變化的規律，建立了操作變量和催化劑活性間的軟測量模型，用于催化劑活性的在線監測。

參考文獻

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[3]潘立登,李大宇,馬俊英.軟測量技術原理與應用[M].北京:中國電力出版社,2008.

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[7]張學工.關于統計學習理論與支持向量機[J].自動化學報,2000,26(1):21-42.

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【關鍵詞】數學建模；基本方法；步驟

數學建模就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法，也就是通過對實際問題作抽象、簡化、確定變量和參數并應用某些“規律”建立含變量和參數的數學問題，求解該數學問題并驗證所得到的解，從而確定能否用于解決實際問題的這種多次循環，不斷深化的過程。數學建模可以培養學生下列能力：（1）洞察能力，許多提出的問題往往不是數學化的，這就是需要建模者善于從實際工作提供的原形中；抓住其數學本質，同時有些數學模型又可以有許多現實意義，這使得建模者不得不具有很強的洞察以及多種思維方式進行橫向、縱向的研究；（2）數學語言翻譯能力即把經過一定抽象和簡化的實際用數學的語言表達出來，形成數學模型，并對數學的方法和理論推導或計算得到的結果，能用大眾的語言表達出來，在此基礎上提出解決某一問題的方案或建議；（3）綜合應用分析能力，用已學到的數學思想和方法進行綜合應用分析，并能學習一些新的知識；（4）聯想能力，對于不少的實際問題，看起來完全不同，但在一定的簡化層次下它們的數學建模是相同的或相似的，這正是數學應用廣泛性的體現，這就要培養學生有廣泛的興趣，多思考，勤奮踏實地學習，通過熟能生巧達到觸類旁通地境界。因此，目前有越來越多的高等院校自己組織或參加全國乃至國際大學生數學建模竟賽。然而，有部分學生特別是初次參加數學建模的學生對數學建模感到很茫然，本人多次承擔數學建模指導老師，撰寫該論文，希望對初次參加數學建模的同學有所幫助。

1.建立數學模型的一般步驟

1.1 使問題理想化

在眾多因素中孤立出所研究的問題是科學研究的經典方法。按照辯證唯物主義觀點，世界上一切事物都是相互依賴、相互依存的，要精細地研究一個問題常常無從下手，就是因為思考相關問題太多所致。因此，對初學者最好的方法就是使問題簡單化、理想化，在特殊或極端情況下進入課題，然后加入相關因素，修正結果，使問題深化。這一步的核心思想就是在復雜的現實中孤立我們所關心的事物與什么有直接因果關系，把這些孤立出來的事物用符號、算式及相關學科的理論進行數學分析處理的全過程，就可以認為是數學建模的過程了。

1.2 假定及符號認定

在比較理想的情況下建立數學模型還是很容易的。所謂理想就是通過假設條件把所研究的問題進一步明確，哪些條件先不慮，哪些條件應設為變量，哪些變量與時間（路程、費用等等）有關。這樣就為下一步建立數學模型打下了良好的基礎。

1.3 數據處理與模型建立

數學模型的建立一般有兩種情況。其一，問題本身給出一些數據，建模的人應從數據上找出一定的規律性，這時就應通過相應的數學方法整理數學數據。如使用最小二乘法、統計學方法等。對于沒有數據的數學模型的建立，一般要使用數學手段建立形式，如矩陣、微分方程、數學優化形式等等，這些都可以視為數學模型的初創時期。在建模初期還必須注意使用其它學科的成果，如物理學、化學、生物學、電工、機械、光學等學科，把這些學科的現成結論直接拿來使用也是數學建模時必不可少的一環。

1.4 分析結果及修改模型

在比較理想的狀態下建立的數學模型一般都與實際原形有較大差距。為使數學模型更能反映原形，就必須按實際情況再修改、補充新條件，分析新結論，最終經反復研究會得到一個令人滿意的結果。

2.以對“減肥問題的研究”為例，探討數學建模方法和步驟

2.1 問題的提出

對于人類來說，肥胖癥或減肥問題越來越引起人們的廣泛關注。目前各種減肥食品或藥物數不勝數，各種減肥新法也紛紛登場，如國氏全營養素、減肥酥、soft海藻減肥香皂等。一時間，愛美的人，害怕肥胖的人面對如此多的食品、藥物或療法簡直無所適從。這里不準備也不可能去論證各種食品、藥物或療法的機理和有效性，只從數學上對減肥問題作些討論，即科學減肥的數學。

2.2 合理假設

A1：不妨假設人體由脂肪構成。（相對而言，成人是由骨骼、水分、脂肪組成，短時間內人體的骨骼、內臟等變化不大，可視為常數。）

A2：設時刻t，人的體重為W（t）千克，顯然W（t）可假設為t的連續函數；

A3：假設單位時間內人食用食物產生的熱量為A大卡，同樣也假設A為常數；

A4：單位時間內維持新陳代謝的熱量為B大卡，同樣也假設為常數；

A5：設單位時間內因運動消耗的能量與體重成正比，即C?W（t）大卡（由于運動需要消耗能量，而且體重越大，能量越多）；

A6：對于人體系統而言，能量守恒；

A7：過剩的熱量按1千克脂肪=D大卡熱量轉化為脂肪（D=4.2*10焦耳/千克，稱為脂肪的能量轉換系數）；

A8：初始時刻t=0時，體重為W0千克。

注：1千克脂肪完全“然燒”相當于釋放10000（即1D）大卡熱量。

2.3 模型的建立

由能量（熱量）守恒原理即任何時間段內由于體重的改變所引起的人體內能量的變化應該等于這段時間的攝入的能量與消耗的能量之差。故在t（或[t，t+t]時間間隔內，“增加”的熱量=t[單位時間內吸入熱量-單位時間內消耗的熱量]，于是有：

3.總結

（1）一般方法只供參考，各步有機聯系但側重點不同。

（2）模型雖粗，但能定性說明問題，每步還有改進的余地。

參考文獻：

[1]數學建模[M].高等教育出版社.

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【關鍵詞】基本模型；建模方向；建模能力；解決問題

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）01-0009-03

蘇教版三年級上冊的教材包括八個單元，依次是“兩、三位數乘一位數”“千克和克”“長方形和正方形”“兩、三位數除以一位數”“解決問題的策略”“平移、旋轉和軸對稱”“分數的初步認識（一）”“期末復習”。其中解決問題的內容大致是這樣分布的：①具有明顯指向性的從條件出發分析和解決的問題，集中在第五單元；②與計算教學緊密結合的簡單實際問題，指第一、四單元中直接運用兩、三位數乘（除以）一位數計算或估算解決的問題，如“求一個數是另一個數幾倍”和“求一個數的幾倍是多少”，以及相關的單兩步計算的問題；③其他簡單問題，如涉及重量單位換算、長方形和正方形周長計算、簡單同分母分數加減計算的簡單實際問題。

解決實際問題的過程，是根據數學變量之間的關系或關系網建構解法的過程，也就是結合運算意義建模或連續建模過程。解決問題的關鍵在于合理地建模或連續建模，小學階段數學建模的基礎在于對加減乘除四則運算意義的理解，其關鍵在于對問題中出現的數量關系的分析。

而學生在一、二年級已經知道了最基本的數量關系，理解了四則運算的意義，并初步建立了它們的模型（把部分合起來得整體是加法的基本模型，從整體中去掉一部分得另一部分是減法的基本模型；而乘法是求幾個相同加數的和的簡便運算，除法則是把整體按一定的要求平均分，求平均分的結果）。同時學生已經能夠簡單模糊無意識地運用解決問題的基本策略――從條件想起和從問題想起，進而建模或連續建模解決簡單實際問題。

三年級上冊解決問題的教學，需要引導學生有意識地從條件出發，結合四則運算的意義，分析數量之間的關系或關系網，建立或連續建立數學模型，進行運算及運算組合解決問題。在幫助學生積累分析數量關系、探尋解題思路經驗的過程中，培養學生“從條件想起”的策略意識（滲透從問題想起的策略），鼓勵學生嘗試簡單推理，初步發展抽象思維。

一、掌握基本數學模型

1. 復習鞏固，熟練運用基本運算模型

三年級的學生已經對加減乘除四則運算的基本模型非常熟悉：加法本質是“合”，把部分合成整體，“部分+部分=總體”；乘法的本質也是“合”，是把相同部分合起來的簡便運算，“每份數×份數=總數”。減法的本質是“分”，表達把整體分成部分的過程，“總體-部分=部分”；除法的本質也是分，要求每部分完全相同，“總數÷每份數=份數”，“總數÷份數=每份數”。

四則運算，既相互區別，也有所聯系：①加法和減法，乘法和除法互為逆運算，本冊也經常用到這一點。比如第四單元中提倡用乘法驗算兩、三位數除以一位數，觀察“商×除數（+余數）=被除數”是否成立。第二單元中克與千克之間的單位換算，5千克=5000（5×1000）克，5000克=5（5000÷1000）千克。②加法和乘法的本質都是“合”，乘法是求幾個幾的和的簡便運算，減法和除法的本質都是“分”，除法是特別的平均分。乘法可以轉化成加法，除法可以轉化成減法，但在實際運用中一般選擇更加簡便的表達方式。第三單元學生在探索長方形和正方形周長的過程就體現了這一點。

這些已知的運算模型在本冊的解決問題中，被不同情境包裝后以不同的形式不斷重復出現。比如同樣是乘法模型，在書P1例1中以圖文結合的方式呈現，“王阿姨在購物網站訂購了3箱黑玉米，每箱20根，一共有多少根？”，每箱根數×箱數=總根數。在書P15第5題中以表格的方式呈現，“每個書包39元，2個一共多少元？每個文具盒12元，5個一共多少元？每瓶墨水4元，18瓶一共多少元？”，每個書包的價格×書包個數=書包的總價格，每個文具盒的價格×文具盒個數=文具盒的總價格，每瓶墨水的價格×墨水瓶數=墨水的總價格，都是“單價×數量=總價”。

因此三年級上學期解決問題的教學，首先要讓學生能夠從現實生活和具體情境中抽象出數學問題，然后不斷地建立模型、解決模型，進而熟練地運用這些運算模型，最后在加深基本數量關系理解的基礎上，掌握這些“簡單的”模型。

2. 遷移新知，豐富調整基本運算模型

復習鞏固已知的運算模型是一種“同化”，是學生將外界信息納入到已有的四則運算基本模型的認知結構的過程。但是有些信息與現存的認知結構并不十分吻合，比如學生之前沒接觸過“分數”運算，不了解“倍”的概念，這時就應調整改變原來對于運算模型的認知，進行“順應”。當學生的新認知結構能夠輕松同化環境中的新經驗時，就會再次感到平衡，從而在不斷地“平衡――失衡――再平衡”中，實現對基礎運算模型的認知發展。

（1）加法和減法模型。“同分母分數加減法”的教學，需要學生結合對加減運算意義的理解，在把同分母分數加減法與整數運算相聯系，豐富對原有加減法基本模型應用范圍的認識。

①學生找出“小明吃了這塊巧克力的 ”和“小紅吃了這塊巧克力 ”這兩個信息，并從條件出發提出問題“兩人一共吃這塊巧克力的幾分之幾”，“小明比小紅多吃了這塊巧克力的幾分之幾”？

②根據加法意義，得出“小明吃的+小紅吃的=兩人一共吃的”，求“兩人一共吃這塊巧克力的幾分之幾”，也就是求“ + =？”。學生自由探索，如把整塊巧克力想象成一個由8塊小長方形組成的大長方形，把它的 涂上紅色， 涂上綠色，思考“5個 加上2個 是7個 ，就是 ”，得出涂色部分共占大長方形的 。在過程中體會，分數加法的意義與整數加法的意義相同，是把兩個數合并成一個數的運算，再次豐富學生對加法的運算模型的認識。

③根據減法意義，得出“小明吃的-小明吃的當中與小紅吃的同樣多的部分=小明比小紅多吃的”，求“小明比小紅多吃了這塊巧克力的幾分之幾”，也就是求“ - =？”。其探索過程與同分母分數加法相似，通過遷移整數減法中“大數-小數=相差數”，認識到分數減法與整數減法意義一樣，都是從總數中去掉一個數得另一個數的運算，從而豐富學生對減法的運算模型的認識。

④進行相關變式的題組練習，總結出運算模型“ + = ”。

（2）乘法和除法模型。“每份數×份數=總數”，“總數÷每份數=份數”，“總數÷份數=每份數”是解決乘除法問題的基本數量關系式，其他如“單價×數量=總價”，“路程÷時間=速度”等都是對它們的簡單延伸。本冊教材要求學生聯系對乘、除法運算含義的已有認識，理解“倍”的含義，能正確解答求一個數是另一個數的幾倍和求一個數的幾倍是多少的簡單實際問題。這是對乘法、除法運算模型的豐富，也是對乘除法運算意義的再認識。

求一個數的幾倍是多少的實際問題的關鍵是建立“倍”的概念。求一個數的幾倍是多少，就是求幾個這個數的和，本質上是求幾個相同加數的和，符合乘法的運算模型。而要知道一個數是另一個數的幾倍，就是要把一個數平均分，看能分成幾個另一個數。其本質上是一種包含除，大數里有幾個小數那么多，有幾個那么多就是幾倍，符合除法的運算模型。

二、策略引領建模方向

“解Q問題的策略”單元是蘇教版教材特色之一，三年級上下冊分別安排了“從條件想起”和“從問題想起”，這也是學生建立模型解決問題的兩種基本思路。

1. 明確“從條件想起”的策略

（1）提取條件信息，并理解其含義：信息的呈現方式多種多樣，有文字、表格、圖片等，有的很明確，有的卻很隱晦。因此，在解決問題前必須用畫線段圖、列表統計等手段提取信息，同時設法理解其中的關鍵，如“至少”“不大于”“照這個速度”等。

（2）組合條件信息，碰撞解決問題：根據數量關系組合條件，看能否直接解決問題，如果不能則先得出新信息，幫助解決問題。像這樣從已知條件向問題推理的方法，就是“從條件想起”。

比如，書P71例1：“小猴幫媽媽摘桃，第一天摘了30個，以后每天都比前一天多摘5個。小猴第三天摘了多少個？第五天呢？”

學生在提取條件信息“第一天摘30個”和“以后每天都比前一天多摘5個”后，需要先理解“以后每天都比前一天多摘5個”這一關鍵的條件。根據它表明的數量關系，通過列式計算、填表列舉等方法，依次得出第二天摘的、第三天摘的......

2. 滲透“從問題想起”的策略

解決問題可以“從條件想起”，自然也可以“從問題想起”，或者把二者相結合。比如同樣是解決書P71例1，可以先通過畫線段圖，分析條件得出第n天摘的比第一天摘的多（n-1）個5的桃，那么求第5天摘的桃，就是求“比第一天摘的30多4個5的數是多少”。甚至當所要求的數比較大，比如第100天摘了多少個桃時，也能輕松解決。

三、培養綜合建模能力

本冊教材有計劃地依次安排了比起低年級更多的連續兩問的實際問題、兩步計算實際問題，這對學生來說無疑是一次思維的飛躍。為了幫助學生實現這次飛躍，我們需要從以下幾個方面培養學生綜合建模的能力。

1. 提取信息，理解含義

《數學課程標準》中希望學生“經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程”，在本冊教材中，我們需要關注學生的畫圖（尤其是線段圖）和列表整理。比如在解決與“倍”相關的問題時，我們常讓學生“圈一圈”，也常用到直條圖、線段圖。書P27的思考題：“小欣家離學校850米。一天早晨，她從家去學校上學，大約走到總路程的一半時，發現忘記帶數學書。于是她又回家拿書，再去學校。這天早晨，小欣上學大約一共走了多少米？”利用線段圖能夠很直觀地發現題中的信息表示小欣一共走了“2個850米”。

2. 疊加組合，接力建模

學生認知的是發展的，其發展是有規律的。教材在學生掌握基本數量關系后有層次地安排了難易不同的實際問題，這就要求我們根據不同的數量關系或關系網，把有聯系的不同條件進行一次或多次的組合，甚至疊加組合，進行不斷地建模或接力建模。比如書P44第10題：“一塊長方形菜地，長8米，寬5米。菜地四周圍上籬笆，籬笆長多少米？如果菜地一面靠墻，籬笆至少長多少米？”從條件出發能夠先求出長方形的一組鄰邊的長度，進而得出長方形周長，解決“籬笆長多少米”這一問題。然后結合“菜地一面靠墻”這個新條件，得出“籬笆長度=長方形周長-靠墻那條邊的長度”或“籬笆長度=一組鄰邊的長+一條邊的長度”，進而由“至少”兩字入手解決最后的問題。

3. 結合現實，靈活思考

有些問題并不能直接通過計算解決，有些問題的解決方法不止一種，因此就需要我們從不同的角度思考，建立模型后，再根據實際問題的現實意義，進行判斷和推理，最終解決問題。

比如在第一、四單元中直接運用兩、三位數乘（除以）一位數估算解決的問題。書P15第7題，“一個影劇院有318個座位。東華小學近1200名師生分4場觀看一部電影，能都有座位嗎？為什么？（口答）”。觀看一場電影的人數×觀看電影的場數=觀看電影的總人數，每人對應一個座位，300×4=1200（人），318×4>1200，所以能都有座位。或者需要觀影的總人數÷觀影的場數=每場需要容納的人數，如果每場需要容納的人數比318個座位數少，則人人都能有座位。1200÷4=300（人），300

三年級上學期的解決問題的教學，關鍵在于幫助學生更好地合理地建立數學模型，主要應做到三點，即掌握基本數學模型，用策略引領建模方向，培養綜合建模能力。也就是要引導學生從現實生活和具體情境中抽象出數學問題，初步學會從已知條件出發并在條件和問題之間建立聯系的思考方法，讓學生能夠結合對加減乘除四則運算的義的理解及其基本模型的建構，提煉出相關的數量關系式，靈活地運用四則運算及運算組合，建立相關模型或連續建模，最終解決相關問題。

篇10

【關鍵詞】：職業高中 創新能力 數學建模

社會上很多人認為，職業教育只是普通教育的一個補充，其受重視的程度不及普通教育，而且教育的對象大多是一些中考失利者，面臨一個難教的問題，導致一個現象就是:國家很重視，但社會不見得.筆者認為要想有所改觀，不僅我們要呼吁整個社會關心職業教育，而且作為教師也應該從提高職高生素質上下工夫。新教學大綱對學生提出新的教學要求，要求學生：（1）學會提出問題和明確探究方向；（2）體驗數學活動的過程；（3）培養創新精神和應用能力。

其中，創新意識與實踐能力是新大綱中最突出的特點之一，數學學習不僅要在基礎知識，基本技能和思維能力，運算能力，空間想象能力等方面得到訓練和提高，而且在分析和解決實際問題的能力方面同樣需要得到訓練和提高，而培養學生的這些能力僅僅靠課堂是不夠的，必須要有實踐。培養學生的創新意識和實踐能力是數學教學的重要目的和基本原則，要使學生學會提出問題并明確探究方向，能夠運用已有的知識進行交流，并將實際問題抽象為數學問題，就必須建立數學模型，從而形成比較完整的知識結構。

數學模型是數學知識與數學應用的橋梁，研究和學習數學模型，能幫助學生探索數學的應用，產生對數學學習的興趣，培養學生的創新意識和實踐能力，并對學生的智力開發具有深遠的意義，現就如何加強高中數學建模教學談幾點體會。O

一．要重視章前問題的教學，使學生明白建立數學模型的意義。 2 A$ Z% }8 l. f! a

職業高中的學生自信心差，缺乏積極性，進職校的學生，多是經普高篩選以后剩下的，學生中差生多，基礎薄弱，先天不足， 他們害怕抽象的數學.同時，職校的學生普遍存在著一種 “失敗者”的心態，集中表現為自信心差，學習缺乏積極性.學生缺乏動力和興趣，不少學生視學習數學為一種負擔，沒有信心學好數學，主要是缺乏學好數學的動力和興趣.不僅如此，大多數學生對自己的要求不高，學習自控力差，沒有良好的學習習慣與較為科學的學習方法，學習水平參差不齊.

職業高中的教材的每一章都由一個有關的實際問題引入，可直接告訴學生，學了本章的教學內容及方法后，這個實際問題就能用數學模型得到解決，這樣，學生就會產生創新意識，實踐意識，學完要在實踐中試一試。

這是培養創新意識及實踐能力的好時機要注意引導，對所考察的實際問題進行抽象分析，建立相應的數學模型，并通過新舊兩種思路方法，提出新知識，激發學生的求知欲。這樣通過章前問題教學，學生明白了數學就是學習，研究和應用數學模型，同時培養學生追求新方法的意識及參與實踐的意識。

二．通過幾何、三角形測量問題和列方程解應用題的教學滲透數學建模的思想與思維過程。

學習幾何、三角的測量問題，使學生多方面全方位地感受數學建模思想，讓學生認識更多的數學模型，鞏固數學建模思維過程，教學中對學生展示建模的過程如下：

0現實原型問題數學模型數學抽象簡化原則演算推理現實原型問題的解數學模型的解返回解釋W

列方程解應用題體現了在數學建模思維過程，要據所掌握的信息和背景材料，對問題加以變形，使其簡單化，以利于解答的思想。且解題過程中重要的步驟是據題意更出方程，從而使學生明白，數學建模過程的重點及難點就是據實際問題特點，通過觀察、類比、歸納、分析、概括，化歸等基本思想，聯想現成的數學模型或變換問題構造新的數學模型來解決問題。如利息（復利）的數列模型、利潤計算的方程模型、決策問題的函數模型以及不等式模型等。

三．結合各章研究性課題的學習，培養學生建立數學模型的能力，拓展數學建模形式的多樣性與活潑性。

高中新大綱要求每學期至少安排一個研究性課題，就是為了培養學生的數學建模能力，如“數列”章中的“分期付款問題”、“平面向量 ‘章中’向量在物理中的應用”等，同時，還可設計類似利潤調查、洽談、采購、銷售等問題。現設計了如下研究性問題：

例1根據下表給出的數據資料，確定該國人口增長規律，預測該國2000年的人口數。

時間(年份) 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 " w& u0 C3 Y; s$ ]% @

人口數(百萬) 39 50 63 76 92 106 123 132 145

分析：這是一個確定人口增長模型的問題，為使問題簡化，應作如下假設：（1）該國的政治、經濟、社會環境穩定；（2）該國的人口增長數由人口的生育，死亡引起；（3）人口數量化是連續的。基于上述假設，我們認為人口數量是時間函數。建模思路是根據給出的數據資料繪出散點圖，然后尋找一條直線或曲線，使它們盡可能與這些散點吻合，該直線或曲線就被認為近似地描述了該國人口增長規律，從而進一步作出預測。