導語：如何才能寫好一篇數學史與數學教育，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

于是我們看到了西方中學數學課本中數學史內容的增加。丹麥的一套中學教材即由女數學史家安德遜（K.Anderson）主編，數學史完全融入了教材內容本身。波蘭的中學數學課本含有豐富的數學史知識，如著名數學家生平、數學符合的起源、不同文化背景下的數學活動或數學思想（包括埃及、中國、印度、希臘的數學），等等。

數學素養包括知識、才能和思想三個方面，即數學知識、數學能力和數學思想素養。這三個方面彼此聯系，層次由低到高。形成數學素養的關鍵是要在知識傳授、才能培養及有目的有計劃的素質教育中讓學生理解數學蘊涵的精神、思想、觀念、意義等內容，并培養他們運用數學的思想和方法去處理數學問題和現實問題的意識。數學的思想和方法、數學研究中的科學精神及數學的美，首先是從數學的發展史中總結歸納出來的。當然學生學習數學的過程也是繼承人類文化的過程，因為人在本質上是文化遺傳物，世世代代積累的文化要由人來繼承。所以在高中階段向學生介紹一些數學史，不僅可以激發學生的學習興趣，還能促進其數學素養的提升。筆者通過在教學中的探索與實踐，認為數學史對高中數學教育的積極作用主要體現在以下四點。

一、揭示數學知識的現實來源和應用

高中數學課程標準指出：講數學一定要講知識的背景，講它的形成過程，講它的應用，讓學生感覺到數學概念、數學方法與數學思想的起源和發展都是自然的。歷史往往揭示出數學知識的現實來源和應用，從而可以使學生感受到數學在文化史和科學進步史上的地位與影響，認識到數學是一種生動、基本的人類文化活動，進而引導他們重視數學在當代社會發展中之間的關系。所以說，在高中數學的教學過程中，滲透數學史的知識是十分必要的。

二、理解數學思維

一般說來，歷史不僅可以給出一種確定的數學知識，還可以給出相應知識的創造過程。對這種創造過程的了解，可以使學生體會到一種活的、真正的數學思維過程，而不僅僅是教科書中那些千錘百煉、天衣無縫，同時也相對地失去了生氣與天然的、已經被標本化了的數學。從這個意義上說，歷史可以引導我們創造一種探索與研究的課堂氣氛，而不是單純地傳授知識。這可以激發學生對數學的興趣，培育他們的探索精神。歷史上許多著名問題的提出與解決方法還十分有助于他們理解與掌握所學的內容。

三、數學歷史名題的教育價值

對于那些需要通過重復訓練才能達到的目標，數學歷史名題可以使這種枯燥乏味的過程變得富有趣味和探索意義，從而極大地調動學生的積極性，提高他們的興趣。對于學生來說，歷史上的問題是真實的，因而更為有趣。歷史名題的提出一般來說都是非常自然的，它或者直接提供了相應數學內容的現實背景，或者揭示了實質性的數學思想方法，這對于學生理解數學內容和方法都是重要的，許多歷史名題的提出和解決都與大數學家有關，讓學生感到他本人正在探索一個曾經被大數學家探索過的問題，或許這個問題還難住了許多有名的人物，學生在探索中獲得成功的享受，這對于學生建立良好的情感體驗無疑是十分重要的。

向學生展示歷史上的開放性的數學問題將使他們了解到，數學并不是一個靜止的、已經完成的領域，而是一個開放性的系統，認識到數學正是在猜想、證明、錯誤中發展進化的，數學進步是對傳統觀念的革新，從而激發學生的非常規思維，使他們感受到，抓住恰當的、有價值的數學問題將是激動人心的事情。數學中有許多著名的反例，通常的教科書中很少會涉及它們。結合歷史介紹一些數學中的反例，可以從反面給學生以強烈的震撼，加深他們對相應問題的理解。

四、榜樣的激勵作用

古希臘數學家阿那克薩戈拉晚年因自己的科學觀點觸怒權貴而被誣陷入獄面臨死刑的威脅，但他在牢房中還在研究化圓為方問題。阿基米德在敵人破城而入、生命處于危急關頭的時候仍然沉浸在數學研究之中，他的墓碑上沒有文字，只有一個漂亮的幾何構圖，那是他發現并證明的一條幾何定理。17世紀初，魯道夫窮畢生精力將圓周率π的值計算到小數點后35位，并將其作為自己的墓志銘。大數學家歐拉31歲右眼失明，但他仍以堅韌的毅力保持了數學方面的高度創造力。由于他的論文多而且長，科學院不得不對論文篇幅做出限制，在他去世之后的10年內，他的論文仍在科學院的院刊上持續發表。通過介紹數學家在成長過程中遭遇挫折的實例，對學生正確看待學習過程中遇到的困難、樹立學生學習數學的自信心無疑會產生重要激勵的作用。

總之，數學史對于揭示數學知識的現實來源和應用，引導學生體會真正的數學思維過程，創造一種探索與研究的數學學習氣氛，激發學生對數學的興趣，培養探索精神，揭示數學在文化史和科學進步史上的地位與影響進而揭示其人文價值，都有重要的意義。

參考文獻：

［1］張奠宙.中學數學教材中的“數學文化”內容舉例，數學教學，2002.4.

［2］中華人民共和國教育部.普通高中《數學課程標準》（實驗）.人民教育出版社，2004.

［3］李迪.中外數學史教程.福建教育出版社，1993.6.

篇2

隨著經濟的發展，教育的發展也逐漸進入人們的視野里，因此，教育行業也不斷的適應著社會的發展相繼進行了一些改革。積極響應新課程改革，數學教學提出了新的教學觀點，也即是將數學史應用于數學教育，因為比起知識的學習，培養學生積極的學習態度和多方面多角度考慮解決問題的方法過程，這更為重要。而當數學教育與數學史融為一體后，在實際教學中，就能培養學生這些能力。而這兩者相融合的教育教學模式，對它的發展歷程和研究展望是目前需要探討的。

1數學史應用于數學教育的發展歷程

中國數學有著悠久的歷史，出現過許多杰出數學家，取得了很多輝煌成就，其源遠流長的以計算為中心、具有程序性和機械性的算法化數學模式與古希臘的以幾何定理的演繹推理為特征的公理化數學模式相輝映，交替影響世界數學的發展。由于各種復雜的原因，16世紀以后中國變為數學入超國，經歷了漫長而艱難的發展歷程才漸漸匯入現代數學的潮流。因此，在數學史應用于數學教育方面的發展相對而言是落后于外國的。

而國外從18世紀歐拉和拉格朗日，到19世紀的柯西和車比雪夫，最后到20世紀初的龍格，利用計算機軟件演示各個階段多項式逼近函數的過程，這樣，有助于提高學生從概念的視覺解釋到正式推理能力的轉化的能力；而順著歷史的發展脈絡來引導課堂教學，也可以帶領學生體驗數學家的思考過程，促進了學生對于概念的深入理解。美國數學教育家、中國著名數學家華羅庚的導師維納也很注重在數學課堂上結合數學史，他總是將科學研究中的思想方法和要點原原本本地告訴學生。

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾非常重視發揮數學史的作用，他認為學生學習數學是一種“再創造”。著名數學家與數學教育家克萊茵在課堂上告訴初學微積分的學生們：盡管牛頓和萊布尼茲是聲名顯赫的先輩，但是他們自己也沒有透徹地理解微積分的許多概念，數學家們大約經過200年的努力，才把這些概念弄確實。這樣一來，即使學生們在開始時不能很好地理解這些概念，也不至于感到迷茫，相反他們將得到鼓舞而樹立起繼續學下去的信心，這樣也體現了數學歷史的一部分教育價值。

2數學史應用于數學教育的研究展望

2.1數學史對于數學教育發展的意義

數學史是研究數學科學發生發展及其規律的科學，簡單地說就是研究數學的歷史。它不僅追溯數學內容、思想和方法的演變、發展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素，以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。數學史既屬史學領域，又屬數學科學領域，因此數學史研究既要遵循史學規律，又要遵循數理科學的規律。

在數學教育中融入數學史，介紹數學這門學科的起源與發展，在這個過程當中，學生會逐漸了解數學家門在為數學發展做出自己的努力付出艱辛，并會產生對該學科的學習興趣。而在介紹數學發展史中出現的理論定理等，也讓學生更加了解這些傳承多年的數學知識的發生與由來，在學習時也有一定的幫助作用。數學史的學習也會讓學生在美學方面的修養多了幾分認識，數學所體現出來的美是貫穿于生活各個方面的。理論和定義的介紹說明，能培養學生無論是在學習還是其他方面，都保持一種認真、批判以及改進的態度。這些都是數學史融入數學教育的意義，它不僅僅是在數學教學方面起作用，在生活當中更是給予了人們無限的智慧。

2.2對于數學史應用于數學教育的思考

我國著名數學史專家李文林在作數學史與數學教育的錄音談話中說到：我們應從五個角度去挖掘數學史的文化價值，首先，數學為人類提供精密思維的模式；其次，數學是其他科學的工具和語言；其三，數學是推動生產發展、影響人類物質生活方式的杠桿；其四，數學是人類思想革命的有力武器；最后，數學是促進藝術發展的文化激素。因而，在今后，將數學史應用于數學教育中，應該將數學文化盡可能地結合數學課程的內容，選擇介紹一些對數學發展起重大作用的歷史事件和人物，反映數學在人類社會進步、人類文明發展中的作用，同時也反映社會發展對數學發展的促進作用。

使學生通過數學文化的學習，了解人類社會發展與數學發展的相互作用，認識數學發生、發展的必然規律；了解人類從數學的角度認識客觀世界的過程；發展求知、求實、勇于探索的情感和態度；體會數學的系統性、嚴密性、應用的廣泛性，了解數學真理的相對性；提高學習數學的興趣。數學史應用于數學教育，使得學生對數學這一領域有更深入的了解和認識，對數學學習研究當中所有的思想方法以及精神會產生更深入的感悟。學生在數學學習過程中，逐漸知道了真理是需要不斷刻苦鉆研并且有時候需要換一種思維模式來考慮問題，這會更有利于數學教育的開展。

篇3

關鍵詞：高中數學；數學史；教育

數學史與數學教學相互聯系、密不可分。高中數學教學的過程絕不能脫離了數學史，但也不是僅限于數學史的相關知識，而是通過數學史的輔助作用，使學生學會解決數學問題的思路和方法，進而培養應用意識和創新精神。只有真正地將數學史的相關知識滲透到高中數學教學過程中，才能使得數學這一門學科更容易被接受，更有利于激發學生學習數學的興趣，讓學生真正理解數學、熱愛數學，將數學史知識有效地滲透到數學教學中更加有利于培養學生正確的世界觀、科學觀和人生觀，這也將數學史所具有的人文理念體現在了數學教學中。數學教學的功能就是培養學生的思維能力，培養學生發現問題、解決問題的能力，歸根結底就是為了培養人。如果脫離數學史而僅是數學知識的傳授，人類所凝聚的數學歷史就很難得以傳承，更談不上能夠做到對數學科學的全面了解。數學史作為連接數學知識與學生思維之間的橋梁，在傳授給學生數學知識和數學歷史的過程中，必然也會給學生以智慧的啟迪。

數學是一門基礎學科，也是人類文化的重要組成部分。《普通高中數學課程標準（實驗）》明確提出：“高中數學課程的總目標是：使學生在九年義務教育數學課程的基礎上，進一步提高作為未來公民的數學素養。”具體來說就是通過高中數學教學，在教學目標上突出三個層次：第一個層次是知識與技能；第二個層次是過程與方法，注重知識的發生發展過程，鼓勵學生自主探究，培養學生應用意識和創新精神；第三個層次是情感態度與價值觀，培養學生科學的態度和正確的價值觀。要實現這些目標，高中數學教學就應該在傳授知識的同時，引導學生掌握知識的來龍去脈，領悟數學思想、方法的產生和發展過程，而數學概念、數學方法和數學思想的起源與發展正是數學史知識研究的內容，因此在高中數學教學中滲透數學史知識就顯得尤為重要。

首先，我們可以在高中數學教學過程中有意識地引入一些故事，教師尤其要重視引入故事的真實性，結合所教內容的特點選擇有針對性地引入數學史知識，會起到意想不到的效果。比如課本在編寫等差數列的前n項和公式時，就以9歲的高斯計算1+2+3+4+…+96+97+98+99+100來引入的，使學生在佩服高斯的同時，主動學習高斯解決問題的方法，讓學生在數學史知識的情境中體會數學家分析問題、解決問題的歷程，體會數學史學習的真諦。

其次，我們也可以有意識地引入悖論。很多悖論往往含有一些真理性的東西，并且在高中數學課堂教學中讓學生接觸悖論，更能激起他們的數學學習興趣，讓學生知道數學是在解決矛盾的過程中發展進化的學科。悖論對于數學史的發展具有巨大的推動力。在高中數學課堂教學的初始階段，通過悖論的引入，讓學生有一種在已有知識條件下解決新問題的沖動、深入研究的欲望，從而迅速抓住他們的注意力。比如，在學習集合知識時，就可以將19世紀數學家希爾伯特提出的著名的“理發師悖論”引入教學。

再次，我們要注重高中數學教學中歷史名題的引入。歷史名題對于歷史的發展意義重大，在很大程度上推動了歷史的變革，將這些歷史名題引入到高中數學教育中具有十分重要的價值。引入歷史名題是教師要重點引導學生分析歷史上的數學家是怎樣解決所遇到的問題的，總結和學習他們所特有的思維方式方法。比如在學習等比數列的前n項和公式時，可以以古印度國王獎勵國際象棋發明者的故事引入。

另外，任何人在其一生當中所做的事情都不可能都是完全正確的，總是會出現這樣或是那樣的錯誤。即使是偉大的、著名的數學家也是如此。因此在教學中我們可以有意識地引用一些歷史上數學家在思考過程中遇到的困難，以及數學家們迂回、曲折的解決問題的過程。有助于學生在關注知識本生的同時，關注知識的形成和發展過程，關注數學家的堅毅品質，這一點正是我們在高中階段要給予學生的。

最后，高中數學教學中引入數學家的傳記也是一個很好的選擇。數學教學中引入數學家的傳記所起到的主要是一種榜樣的作用。傳記性材料的引入，可以讓高中生認識到追求知識的過程不是一帆風順的，總會遇到許多的坎坷。通過對數學家傳記的了解，使學生掌握學習數學知識的思想方法，在實際教學中加以使用，提高學習質量。

總之，高中數學教學中滲透數學史的內容很多，教師要不斷學習相關的數學史知識，學習數學教學中滲透數學史知識的方式方法，適當將數學史料滲透到日常的教學當中。

參考文獻：

[1]鄧明立，陳雪梅.重視數學史在數學教育中的作用[J].數學通報，2002.

篇4

(一)調查對象

本校中學部十名數學教師及本年級六個班的220名同學，其中119名男生，101名女生．

(二)調查數據分析

教師問卷調查數據分析:

1．你了解數學史嗎?非常了解10%，基本了解80%，稍微了解10%．2．你在平常的教學中滲透數學史嗎?經常滲透20%，偶爾滲透80%，從不滲透0%．3．你覺得數學史融入課堂教學有必要嗎?非常有必要20%，必要70%，沒必要10%．4．你認為將數學史融入數學課堂教學這項工作實施最困難的原因是什么?考試不考，課程標準沒有明確提出40%，日常教學任務重，教學時間緊張50%，初中生年齡太小，滲透數學史沒必要10%，其它0%．學生問卷調查數據分析:1．你了解數學史嗎?非常了解0%，基本了解0%，稍微了解63．29%，不了解36．71%．

2．你的老師在平常的教學中滲透數學史嗎?天天滲透0%，經常滲透15．94%，偶爾滲透55．90%，從不滲透28．16%．3．你覺得老師將數學史融入課堂教學有必要嗎?非常有必要27．27%，有必要60．45%，隨便10%，沒必要2．28%．4．你認為將數學史融入平常的課堂教學，起到的作用中最重要的是什么?更加激發自己學習數學的興趣35．27%，加深了對數學概念的理解，更能從本質上了解數學15．60%，拓寬視野，全方位的認知和理解數學20．65%，提高數學文化修養，形成良好的數學素養23．44%，其它5．04%．

(三)由數據總結出的結論

大多數教師，意識到了數學史的有用之處，但是礙于現在一線教師的教學升學壓力，無法將數學史在日常的課堂教學中很好地滲透．而學生對數學史引入課堂持積極、歡迎的態度．他們認為這樣一來能夠增強數學教學的有趣性，改變以往數學教學的呆板、枯燥的狀態;二來有助于自己全面了解數學，提高自己的數學文化修養，來增強自己的數學素養．由此可見，我們多數的數學教師，只是把自己定義為一名數學知識的傳授者，而沒有把自己定位成數學文化的傳播者．我們忽略了教育本身的實質，也誤解了數學這門課程設置的意義與目的．教育的實質是通過發展人，來發展社會．而數學課程的設置從宏觀上來講也是為了發展人，從微觀上講是為了培養人的思維，發展人的技能與能力．數學史恰好就是一部數學思想方法發展史，它記錄了人類在數學方面思維進程的記錄，學習數學史，實質就是繼承前人優秀的數學思想．美國數學史家M•克萊因說過，“數學是一種理性的精神，正是由于這種精神，激發、促進、鼓舞并驅使著人類思維得以運用到最完善的程度”．

二、實施過程的三個注意點

1．適合的才是最好的

數學史的引用最忌生搬硬套，脫離實際教學．我們應該學會見縫插針，要將數學史的知識與自己所傳授的知識有機結合起來，這樣才能起到輔助教學的目的．

2．切勿喧賓奪主，本末倒置數學史的引用，是為了輔助課堂教學，是加餐而非正餐．每節課我們都有教學目標，教學任務．我們不能因為為了滲透數學史，而耽誤日常的課堂教學．我們應該把數學史的滲透當成常態化的任務在課堂教學中實施，不急于一次，也不急于一時．

3．多環節滲透很多數學老師誤以為，滲透數學史，就是在課堂引入的環節，介紹相關的數學家及故事，如同語文中的作者及寫作背景一樣，亦或者在涉及到有關解法時，介紹前人的一種思想．數學史應該是通過適當的手段，應用于我們教學中的多個環節．

三、對數學史融入數學課堂教學的展望與設想

將數學史融入初中的課堂教學，這是以后數學教學發展的趨勢，也是實施素質教育的體現．數學教育的目的是通過培養使學生養成一定的數學素養，來起到發展人，乃至發展社會的目的．如何將數學史較好的融入我們的課堂教學，我相信這是我們從事數學教學人的責任與義務．在此，我有一些設想與建議．

(1)在以后的教學中，每天給學生欣賞一條關于數學的名人名言，可以是關于數學概念、數學本質、數學方法、數學思想等等的．

(2)每周開辟一節課，講學生感興趣的又可以啟迪思維的數學史內容，以趣味性、啟發性的故事，去感染學生，真實地讓學生感受到數學有趣、數學有用．

(3)開展數學文化藝術節，通過學生閱讀數學史書籍，或舉辦數學故事演講比賽、數學文化知識競賽等活動，讓學生接觸到更多的數學文化知識．

篇5

小學數學教師專業發展的目標包括知識、信念、能力等方面，其中，教師的知識可以用美國數學教育家鮑爾提出的MKT理論來刻畫。所謂MKT，是Mathematical Knowl-edge for Teaching的簡稱，指的是“完成數學教學工作所需要的數學知識”，其組成成分如圖1所示。

“一般內容知識”是指除教學外，在其他背景下也使用的數學知識和技能；“專門內容知識”是指教學所特有的數學知識和技能；“水平內容知識”是關于整個數學課程中數學主題之間聯系的知識；“內容與學生知識”是指對學生的了解和對數學的了解相結合的知識；“內容與教授知識”（對應于范良火的“教學的內容知識”和“教學的方法知識”）是指對如何教授的了解和對數學的了解相結合的知識；“內容與課程知識”（對應于范良火的“教學的課程知識”）是指關于課程大綱、課程標準、教科書、教學材料以及其他教學資源的知識。

近年來，數學史在小學數學教學中的意義日益受到人們的關注，數學史融入小學數學教學的實踐探索也日益增加。我們在開發HPM教學案例（即“融入數學史的教學案例”）的過程中，確立了“大學研究人員和小學教師密切合作”的模式，使得小學數學教師在沒有受過數學史教育或缺乏數學史材料的情況下，也能走進HPM的世界。本文擬回答以下問題：數學史與小學數學教師的MKT之間有何關系？

二、數學史與MKT

雖然許多一般內容知識是教師在學生時代習得的，但在數學教學中，教師不斷會遇到新的一般內容知識，而數學史往往提供了這樣的知識，如計算兩個正整數乘積的不同方法。圖2所示是16世紀盛行于歐洲的“手指算”，而圖3則給出了古埃及人計算97～79的方法。

為了解決教學中所遇到的各類“為什么”問題，教師需要擁有豐富的專門內容知識。三角形面積公式和三角形內角和定理屬于一般內容知識，但它們的推導或證明方法則屬于專門內容知識。這類知識往往源于數學史。如，中國古代數學家用“出入相補”法證明三角形、梯形面積公式，古希臘哲學家泰勒斯通過拼圖發現三角形內角和定理。圓周率的近似值為3.14，這屬于一般內容知識，但得到該近似值的具體方法則屬于專門內容知識，劉徽的割圓術就是其中之一。至于對諸如“為什么未知數用字母x來表示”“小數是很小的數嗎”之類的問題，教師只能從數學史中尋找答案。

數學的歷史是一面鏡子，前人在數學概念理解過程中所遇到的困難和障礙，往往也是今天數學課堂上學生會遇到的困難和障礙。從數學理解的意義上說，了解歷史，也就了解了學生。盡管在古代中國，數學家出于解方程組的需要而引入了負數，但在西方，18世紀還有人問：“世界上還有什么小于一無所有？”直到19世紀，還有數學家認為負數是“荒謬的”。負數大小比較問題也完全沒有我們想象的那樣簡單。歷史上，笛卡兒、牛頓、歐拉、波爾查諾、阿貝爾等數學家都有不同于今天的理解，他們的觀點都可以歸結為“數軸上離原點越遠的數越大”或“絕對值越大，數越大”。據此有-4>-1。關于負數及其序關系的認識論障礙提示我們：學生在學習負數概念時必會遭遇困惑或出現錯誤。數學史豐富、深化了內容與學生知識。

歷史上，一個概念、公式、定理、法則甚至一個數學分支學科的產生都有其內在或外在的動因，也都有演進的過程。這種動因和過程為教師“怎么教”有關知識點提供了參照。例如，分數有分割分數和度量分數兩類。究竟如何引入分數概念？分數的歷史告訴我們，人類首先是在物品分割的情境中認識和運用分數的，因此，分割分數是理所當然的教學選擇。

數學史是一座寶藏，其中含有取之不盡、用之不竭的教學素材和思想養料，因而是數學教師的重要教學資源。針對某一個特定的知識點，教師關于相關數學史素材的知識是內容與課程知識不可或缺的一部分。另一方面，數學史知識也有助于教師對小學數學知識體系的理解。例如，關于教科書中“小數和分數孰先孰后”的爭論，需要參照數學史加以研究。

三、HPM教學案例分析

1.角的初步認識。在數學史上，“角”是一個具有多重屬性、爭議很多、很難刻畫清楚的幾何概念。古希臘哲學家泰勒斯曾將“相等的角”稱為“相似的角”。后來，亞里士多德將“角”視為“彎曲的線構成的圖形”，并且也將兩個相等的角稱為“相似的角”。可見，早期哲學家是從“形”的角度去看待“角”的，即賦予“角”以“質”的屬性。

在《幾何原本》中，歐幾里得從兩線之間位置關系的角度去刻畫“角”：“角是平面上相遇且不在同一直線上的兩條線彼此之間的傾斜度”。另一方面，歐幾里得分別將“直角”“銳角”“鈍角”定義為：

若一直線與另一直線構成的兩個相鄰的角相等，則稱這兩個角為直角；

鈍角是大于直角的角；

銳角是小于直角的角。

用“等于”“大于”和“小于”來比較兩個角，歐幾里得又賦予“角”以“量”的屬性。而徐光啟在翻譯《幾何原本》時創用“直角”“鈍角”“銳角”三個名稱，又賦予角以“|”的屬性。普羅克拉斯認為，必須同時從質、量和關系三個方面來定義角，因為單獨采用某一個方面，都未能完善地刻畫該概念。

在二年級教學案例“角的初步認識”中，教師借鑒角概念的發展歷史，按照從“質”到“量”再到“關系”的順序展開教學（如圖5）。首先，讓學生列舉生活中的角的實例，并描述什么是角。學生提到“尖尖的”“像屋頂一樣”“像L一樣”，等等，他們顯然都是從“質”的角度來認識“角”。接下來引入情境：“鳥媽媽對鳥寶寶們說，誰的嘴巴張得大，就把小蟲喂給誰吃。”讓學生判斷，圖中哪一只鳥寶寶能吃到小蟲。在學生說出鳥寶寶嘴巴大小順序之后，教師讓他們說出角的大小比較方法，從而引導學生從“量”的角度來認識角。接著，讓學生對不同大小的角進行分類，并探討：為什么小于直角的角稱為“銳角”，大于直角的角稱為“鈍角”？學生從“質”的角度，用“銳利”“遲鈍”“扎人疼”“扎人不疼”等來解釋。在練習之后，教師通過將不同的角的頂點和一邊重合，引導學生發現，角可以通過將一邊旋轉得到，從而讓學生從“關系”（即兩條邊之間的位置關系）的角度來認識角。

HPM視角下的“角的認識”的教學，讓學生經歷了角概念的產生和發展過程，在課堂上獲得探究機會，感受成功的喜悅；當教師總結，學生比較角的大小的方法、關于銳角和鈍角的解釋，都與歷史上數學家的想法相似，這大大增強了學生的自信心，讓他們感受到自己也是小數學家。

本案例中，角概念的歷史為教學設計提供了參照，是教師在HPM教學設計與實施過程中所學到的內容與教學知識；同時，對于角的三重屬性（質、量、關系）的認識，使教師關于角的一般內容知識得到了擴充與完善。數學教育研究表明，學生對于角的認識具有一定的歷史相似性，古人在對角的認識方式以及認識過程中所遭遇的困難（角的多重屬性、特殊角（零角和平角））會再現于今日的數學課堂中，因而角的歷史對教師而言是一種內容與學生知識。在教師接觸HPM之前，并未思考過“銳角”“鈍角”的辭源問題，角概念的歷史為教師彌補了專門內容知識。此外，以角的歷史為參照，教師開始審視課本上的內容，拓展了自己的內容與課程知識。

2.一位數與二位數的乘法。歷史上，求兩個正整數乘積的算法很多。1430年左右，在意；kN的一份數學手稿中，出現了一種名為“格子算”的乘法。圖6是世界上第一部印刷出版的算術教科書《特雷維索算術》（1478年）中的格子算。

在三年級教學案例“一位數乘二位數”中，教師通過實際情境，引入32×5，讓學生獨立給出自己的算法；在學生給出各種各樣的算法之后，教師引入圖7所示的格子算，讓學生加以解釋，并與豎式算法進行比較。在課堂小結部分，教師讓學生思考：為什么格子算現在不用了？

格子算的引入促進了學生對乘法算理的理解，也開闊了他們的視野，感悟到自己的解法只是很多解法中的一種。在古今方法的對比中，學生體會到現代豎式算法的優點，但也有許多學生更喜歡格子算。對于“為什么現在不用格子算”這一問題，有學生給出的解釋是：“格子算傳著傳著就失傳了”，不知不覺中，學生對于數學知識已經有了歷史感，這種歷史感讓他們更加親近數學。

在本案例中，格子算拓寬了教師關于乘法的一般內容知識。對于格子算背后的算理、格子算與豎式算法之間聯系的認識，豐富了教關于乘法的專門內容知識。在教學設計過程中，教師在大學合作者的指導下，查閱有關乘法的歷史文獻，豐富了自己的內容與課程知識。

3.圓的面積。歷史上，古希臘數學家阿基米得（Archimedes，公元前287-前212）最早給出圓面積的準確公式：圓面積等于一條直角邊長為圓半徑、另一條直角邊長為圓周長的直角三角形面積。這里，阿基米得將圓“轉化”為更簡單的三角形，從而得出了圓面積公式。

雖然阿基米得最終借助窮竭法來證明關于圓面積的命題，但他一開始是如何將圓和三角形建立聯系的呢？從微積分的角度看，圓面積的不同解決方法取決于“微元”的不同選擇，如圖8所示。

阿基米得可能使用了第一種方案。如圖9，想象圓由一些長短不同的細繩圍成，將圓“剪開”，并將各繩“拉直”，一端對齊，得到一個直角三角形，其長直角邊等于圓的周長，短直角邊等于圓的半徑。

17世紀德國數學家開普勒（J.Kepler，1571-1630）則選擇第二種方案建立起圓與三角形之間的聯系：將圓分割成無數個頂點在圓心、高為半徑的小“三角形”（實為小扇形，但將圓分得越細，小扇形越接近三角形）。將這些小“三角形”都轉變成等底等高的三角形，最后，它們構成了一個直角三角形，如圖10所示。

在六年級教學案例“圓的面積”中，教師講述開普勒求圓面積和酒桶體積的故事，并采用開普勒的方法來推導圓面積公式：先讓學生回顧“等底等高的三角形面積相等”的事實；再作圓內接正十二邊形，利用幾何畫板（PPT展示），依次對其中的12個小三角形進行等積變換，從而將其變成等積的直角三角形；然后作正二十四邊形、四十八邊形、九十六邊形，相應得到等積的直角三角形，讓學生直觀感受并猜想這些直角三角形與圓面積之間的關系。

開普勒求圓面積的方法引起學生濃厚的興趣，而開普勒的故事則讓學生感受到數學背后的人文精神。

在本案例中，開普勒的方法拓展了教師的專門內容知識和內容與教學知識；同時，該方法建立了圓面積公式和三角形面積公式之間的聯系，豐富了教師的水平內容知識。

篇6

關鍵詞：數學史；數學教育；意義

數學史對于揭示數學知識的現實來源和應用，展現數學問題的提出、解決與發展，展示數學的美，激發學生對數學的興趣，培養學生的探索精神，揭示數學在文化史和科學進步史上的地位與影響，都具有重要意義.在進行數學教學時有必要引導學生了解定理、原理誕生的時代背景、艱難歷程，以及科學家為此付出的心血和汗水，再去學習和品味定理的內涵，感受會大不一樣.他們從中不僅能悟出一些閃光的東西，而且還會激勵他們更加自覺地掌握前人經過奮斗而得來的知識.

一、數學史在數學教育中的地位

現代數學的體系猶如“茂密繁盛的森林” ，使人“站在外面窺不見它的全貌，深入內部又可能陷身迷津” ，數學史的作用就是指引方向的“路標”，給人以啟迪和明鑒. 不了解數學史就不可能全面的了解數學.歐陽絳指出 ：“數學史，也就是數學的脈絡.只有掌握了數學的脈絡，才能從實質上把握數學；只有從實質上把握數學，才能教好數學.”這充分說明了數學史對數學教師及教學的重要性.英國哲學家培根說過：“歷史使人明智” ，“數學使人周密”，這也充分說明了數學史對學生及學習數學的重要性.

二、數學史的學習有助于學生理解掌握抽象的數學知識

數學給人的感覺就是抽象不易理解，枯燥乏味，這就給數學教學帶來了困難，主要分為兩類：一是抽象概念難以讓學生理解從而為推理帶來困難，二是數學概念的深奧使學生難以把握本質.為此我們教育時需要理論聯系實際，具體與抽象相結合的教育原則.通過大量的數學史實例來引導學生領悟概念的內涵.通過恰當運用數學史，可以使教學不只局限于現成知識的靜態結論，還可以追溯到它的來源和動態演變；不只局限于知識本身，還可以揭示出其中的科學思想和科學方法，使學生終身受益.這樣就可以達到邏輯和歷史的辯證統一，化抽象為具體.

三、數學史的學習有助于增強學生學習數學的興趣

興趣指一個人對學習的一種積極的認識傾向與情緒狀態.當一個人對某一事物或活動表現出感興趣時，則它的內心活動處于最活躍狀態這是大腦的學習細胞處于高度興奮狀態而無關的細胞處于高度抑制狀態，只是學習效率最高，情況最佳！因為初高中學生的心理仍處于幼稚、不成熟的階段，他們對故事的興趣往往會大于對知識的興趣，恰當的運用數學史的知識，會讓他們的大腦處于興奮的狀態，提高興趣，在不知不覺中吸收到有用的知識.但一定要注意例子應恰當、適當.例如，在講等差數列時，可以介紹大數學家高斯在數學領域、物理學領域、天文學領域所做的貢獻，重點要講的是高斯少年時用巧妙算法做的一道數學題：

高斯解題的故事激發了學生的學習興趣，解題技巧啟發了他們的思維，在啟發中推導出了等差數列前 項和的公式 ， 在活躍的課堂氣氛中表現出學生學習的積極性.在講二項式定理時，可以介紹我國古代數學家楊輝以及他對二項展開式系數變化規律的發現，學生利用這個規律可以寫出 ，當 的每一個二項展開式，為學項式定理創造了條件.提高學生們的積極性，增進課堂的活躍氣氛，達到理想的教學效果.在講極限概念時，可以引入我國古代數學家劉徽的圓內接多邊形，當正多邊形的邊數 時，正多邊形的面積趨近于圓的面積.這種思想啟發了學生對極限概念理解，使一個極為抽象的數學概念具體化了，同時學生對極限這個概念產生了興趣，為學習極限定義打下了基礎.

四、數學教師掌握數學史知識勢在必行

每一理論的發展都離不開數學家辛勤的奮斗歷程.數學史中有許多科學家刻苦研究、嚴謹治學、勇于克服困難、堅持真理的事例。提高數學教育的質量，教師不僅要有足夠深、廣的知識，還要對數學的產生、發展的歷史背景有全局性的了解和把握，對數學內容本質的內在聯系有一定的認識.事實上，數學概念的原型，數學方法的背景都是教師備課時必須優先考慮的問題.在數學教學中，這樣就使學生清楚地理解了“負數”引入的必要性與合理性.對于一個有志于做合格數學教師的人來說，理應認真學習數學史、數學哲學、數學方法論等多方面的知識.在高等師范院校數學專業開設數學史課程，豐富準教師的數學史知識對推進素質教育具有十分重要的意義.

五、結語

總之，數學是人類文化的重要組成部分，它絕不是簡單的年代史實的羅列，它是人類智慧的演變和發展的過程是從愚昧走向文明，從粗淺走向智慧，是生動充滿激情的過程.我們在進行數學教育時就不僅要反映數學的這些生動的歷史發展過程，還要突出數學對人類社會巨大的發展作用，數學的社會需求和數學的嚴謹的思想體系，以及數學家的不怕艱辛奮發向上矢志不渝等等的可貴的數學精神.努力推行數學、數學史和數學教育以及素質教育的結合，使學生在領略數學精髓的同時，激發他們的興趣，培養他們的愛國精神，發揮他們的創造精神和啟發他們的認知發展，促進學生的理解和對數學價值的認識，構筑教師與學生的思想橋梁！

參考文獻：

[1] 杜福昌. 數學教育的理論與實踐[M] 大連：海事大學出版社，1995

[2] 尹斌庸等.古今數學趣話[M].成都：四川科學技術出版社. 1985

篇7

在科技發展日新月異的今天，教育的重要性越發凸顯。時代前進的步伐要求我們不斷完善自己、與時俱進、培養創新思維。實現這一目標的主要途徑就是不斷提高我們的課程質量，使之適合國家發展趨勢和時代要求。因此，《小學教育課程標準》要求不同學科之間內容要相互聯系，將多樣化的教學手段運用于數學教育當中。

從數學歷史發展來看，數學與生活密不可分。最初，為了解決社會、經濟需求和年齡等問題，人們發明了數學。數學最先出現在幾大古代文明發源地，如古中國、古印度、古埃及、古羅馬、古希臘及古巴比倫。在早期文明中，許多解決方法都是經驗性的，而經過后人的不斷演繹、推理、總結，才有了如今許許多多理論性的成果。數學發展的歷史告訴人們，她與社會、經濟環境是密不可分的。在她的每個發展階段，都會迸發出新的思想和觀念，并且與當時的主流意識形態和現實需求相契合。而在科學技術高度發展的今天，數學滲透到了生活的方方面面，我們用數學知識去解決許許多多的實際問題，我們的生活和社會離不開數學。不論是進行抵押貸款、購買養老金、房屋和橋梁的建設，還是太空軌道運行、互聯網跨國通訊，我們都離不開數學的應用。100多年以前，Hieronymus George Zeuthen曾寫過一本關于數學史的書。當然這并不是第一本記載數學歷史的書籍。但是這本書與眾不同之處在于它是專門寫給教師的一本讀物。Zeuthen認為數學史是數學教育中的必不可少部分。例如，數學史的學習改變了老師和學生長期以來的錯誤觀念---數學真理和研究方法不是完美無缺，不可撼動的。一些著名數學家的傳記和傳奇經歷一直激勵的許多數學愛好者不斷前進。將數學史融入數學教學中，對于數學教育來說是一項新的研究和探索，對于數學老師和學生來說亦是一項挑戰。老師的知識水平以及對數學的認知對其教學水平和教學成果有著極大的影響。這就意味著老師要不斷學習以拓展自己的專業知識和提高教學技能。教師能從眾多數學史料找出那些與課程內容息息相關，更有益于課堂教學的史實并巧妙利用，而擯棄那些只能在理論研究中發揮作用而沒有任何實際效用的史實。換句話說，我們所關注的應該是如何將數學史與數學教育巧妙的結合在一起：什么樣的歷史事件或數學問題適合引入課堂教學？如何引入？如何將數學史引入教師培訓中？以時間問題為例，有些老師可能會問這樣問："課程安排如此緊張，我哪有時間去向學生講授數學歷史呢？"我們無需為它特別安排額外的時間，只要直接給出與你講授內容相關的歷史問題即可，告訴學生這個問題發現于何時、它的背景和發展，這樣便能引導學生自覺的查閱相關資料，了解數學歷史，更加透徹的學習相關教學內容。

將數學史融入數學教學中能夠幫助學生樹立一種觀念---數學不是一項固定不變的知識系統，而是一個不斷發展變化的過程，并且與其他科學體系緊密相聯。數學史的學習使學生認識到在數學研究過程中一定會出現---錯誤、懷疑、直覺、爭論、一題多解等現象，而這些都是數學研究中必不可少的組成部分。將數學史融入課堂能夠提高學生理解力和解決問題的技巧，幫助學生建立各種數學問題之間的聯系、加強數學與其他學科之間的關聯性。我們在研究數學對世界發展中所發揮的重要作用時，就會很自然的將數學與社會、經濟通訊等方面聯系起來。 Mariolein Kool （2003）曾說隨著數學科學的發展與進步，歷史上許多著名的數學問題，會有多種不同的解決方法，已不僅僅局限于"標準答案"。因此，我們何不將這些"經典"引入課堂？在荷蘭一所圣邁克爾小學曾經做過這樣的實驗，讓20個年齡11-12 歲的學生對于3個經典問題進行研究解答并組織課堂討論。而這個經典問題就來自于我們的就教科書中。讓我們欣喜的是，學生可以利用這次機會用自己的方式去研究問題，創建自己解決問題的獨特方法。隨后，在老師組織課堂交流會中，將自己的成果與其他人充分比較和積極討論。在討論中，我們發現其中有一個孩子的方法與歷史上的標準答案重合，而其他孩子的方法或新或舊，有些很冗長繁瑣，而有些則十分簡潔巧妙。在創造性教學中，即使經典問題，我們也會拓展出許多不同的解決方案。以達到培養學生創造性思維，提高獨立解決問題的能力，激發學生的學習興趣的目的。

當然，將數學史與數學教學巧妙結合并恰當的運用也不易。著名數學家、教育家Fauvel認為我們不僅僅要讓學生了解歷史上各個數學家所作出的貢獻以及如何將歷史與現在巧妙融合。他強調將數學史運用于數學教育中不是一項簡單的任務，我們不能把它看成是一種添加劑，在適當的時候隨意加進去就可以了，不能像我們洗衣服時往洗衣機里面加衣物護理劑一樣。數學史在數學教學中的運用能使學生們具體深刻的感受數學的發展歷程，使其認識到數學是不斷發展前進的，而學生們自己也是一分子參與其中，為其發展做出貢獻。因此對于我們的學生來說，了解數學史，熟知哪種文化、哪些人曾對數學發展做出何種貢獻有非凡的意義。

希望通過這項研究，老師們能意識到數學史在創造性教學中的重要性。將數學史融合在教學中可提高課堂趣味性，激發學生的創造力，從而提高學生學習效果。通過將數學史與教學內容有效結合起來，充分提高學生課堂注意力。如果教師能將一些數學定理的產生背景，在生活中的廣泛應用以及其科學家的有趣故事引入教學中，那么我們的數學課堂將更加的豐富多彩，趣味橫生。

篇8

摘要：三角函數是三角學的重要組成部分，是刻畫周期現象的一種非常重要的模型，是高中數學教學中很重要的一類函數。對學生而言，由于這部分知識很少有實際背景支持，完全在抽象的數學符號層面展開，使得許多學生感到枯燥，難理解，缺乏學習動力，而且學生學習之后存在著對三角函數的本質不理解，不明白為什么要學這些知識等問題，而解決這些問題就需要從三角函數的發生發展中去尋找答案。本論文選擇了高中北師大版必修4，三角函數章節中重要的2個部分：弧度制和正弦函數的定義。是在許多人研究的基礎上，首先是對弧度制的教學進行了綜述的概括，繼而開始對正弦函數的定義進行教學設計。

關鍵詞：數學史;三角函數;教學設計

一、研究背景

國家教育部制訂的《普通高中數學課程標準》的基本理念之一就是在高中數學課程中體現數學的文化價值，在適當的內容中提出對數學文化的學習要求，并明確規定數學史選講納入高中數學課程，但有關三角函數的歷史卻沒有在課程中體現。現在數學史融入數學教學中的研究理論很強，但實際的具體操作方法很少，所以有很多數學史與數學教育的研究者提議要多研究一些關于數學史融入數學教學中的具體的案例。目前針對三角函數部分進行研究的人較少，主要查到了幾篇關于數學史視角下的弧度制教學的論文，而且對正弦函數單獨研究的人更少，這是由于正弦函數的歷史比較零散，內容龐雜，研究時無法整段整段的研究。本文在前人研究的基礎上，寫了一份將數學史與弧度制教學結合的教學案例，繼而通過設計正弦函數的模型來研究如何對正余弦函數的定義進行教學。

二、數學史視角下的弧度制教學

（一）關于數學史視角下弧度制教學的論述

課本中關于角的弧度制教學是通過測量同樣的圓心角所對的弧長與半徑，發現同樣的圓心角所對的弧長與半徑之比是常數。但相當多的高一學生感覺弧度很“糊涂”， 為了解決這個問題，研究數學歷史上弧度制的產生及發展歷程，發現其產生及發展的必要性，從數學史中找到答案則顯得尤為重要。根據相關的論文，本人查到的幾篇基于數學史的弧度制的教學，對弧度制教學引入數學史必要性提出以下證據：

1.很多人對弧度制概，念產生的動機缺乏正確的理解。有人認為在角度制里，三角函數是以角為自變量的函數，對研究三角函數的性質帶來不便，引入弧度制后，便能在角的集合與實數集合之間建立一一對應的關系，從而將三角函數定義在實數集或其子集上。事實上，無論是角度制還是弧度制，都能在角的集合與實數集合之間建立一一對應的關系。只不過在建立一一對應時，弧度制為十進制，不需要換算，方便;在角度制里，若將 n°的角對應實數 n 也能在角的集合與實數集合之間建立一一對應的關系，但是需要做 60進制的換算（例如 30°15′的角對應實數 30.25），不方便。但是使用的方便與否不足以說明弧度制產生的動機。

2.有人認為由弧長公式可得lr=nπ180，因此 l與 r 的比值只與圓心角的大小有關，而與所取的半徑大小無關，因而把 l 與 r 的比值作為對應的圓心角的弧度數。當 l=r 時，比值為 1，所以把等于半徑長的圓弧所對的圓心角作為 1 弧度的角。這樣對學生講也缺乏說服力，因為能夠確定圓心角的大小而與所取的與半徑大小無關的量有很多，如為什么不把等于半徑長的弦所對的圓心角作為 1 弧度的角？

（二）教學過程設計

1. 歷史鏈接：將圓分為360度源于數學史。360這個數實際上與圓的任何基本性質之間并沒有任何關系。美索不達米亞的蘇美爾人使用了六十進制，他們之所以選擇這種位值制，可能是因為30，60，360這樣的數能被許多數整除，巴比倫人和埃及人沿用了這種制度，將圓分為360等份，每一份所對的圓心角叫做 1 度，1度有60分，1分有60秒。埃及人還創用了度數的符號。

2 .弧度制產生的基礎

隨著對圓周運動的研究，對角的認識，角的單位發生了很大的變化和發展，且出現了很多的優勢。最初，在平面幾何里，我們把圓周分成 360 等份，每一份叫做 1 度的弧，把1 度的弧再細分就得到分和秒。1 度的弧所對的圓心角叫做 1 度的角。也就是說度、分、秒最初是度量圓弧這樣的曲線的長度單位，在圓弧與圓心角之間建立一一對應后，度、分、秒便成了度量角的單位。 n°的角對應實數 n 也能在角的集合與實數集合之間建立一一對應的關系，但是需要做 60進制的換算。如下圖：

六十進制的角度制十進制的角度制角度對應實數弧長表示

3030′30.530.530.5

我們可以看出當時的人們已經發現圓中角與弧長之間的一一對應關系。

這種方法是把圓周長的1360作為單位長度（長度單位不是我們學過的統一的國際長度單位，而是根據具體的實際情況取圓周長的1360）來測量弧長，此時的整個圓的長度為360，那么很顯然我們可以求出半徑為3602π，此時半徑為無理數，不方便計算。印度數學家阿耶波多根據這種方法制作了正弦表時，就取π=3.14159，按 60 進制，整個圓周長是 360 度=21600 分。如果半徑也用弧長的“分”作單位，由上式可推得 r=3437.746 分，略去小數部分，取半徑為 3438 分。我們可以看到此時的計算數字非常的大，求角所對的弦或者弧的時候計算量很大。 在這可以舉一個例子：倘若我們知道半徑為3米，那么你能計算出30.50所對的弧長嗎？根據扇形相似，對應邊成比例我們可以得出設所對的弧長為x，則34383=30.5*60x，可得x=1.597。（給出合理解釋：我們知道圓的大小形狀可以由半徑來確定，那么在確定了半徑為3602π后，我們就可以得出圓的周長為360，而且存在著對于任意角α0有唯一的弧長為α的弧與之對應）。

3.弧度制的產生

經歷千年之久后，1748 年歐拉主張用半徑為單位來量弧長。設半徑等于 1，那么整個圓周的長就是2π個半徑，半圓周的長就是π個半徑。此時是將圓周長劃分為2π個單位長度，同樣的圓心角360°也分為2π個單位長度，得到角的弧度制的表示方法。即如下：

角度制3601809057.296

弧度制2πππ21

這就是現代的弧度制。

根據北師大版高中課本弧度制的定義如下：在定義 1 度角的時候，先把圓周長分成 360 份，每一份弧所對的圓心角就是 1 度的角。類似地，在定義 1 弧度角時，以半徑為單位，把圓周分成 2π 份，每一份弧所對的圓心角就是 1 弧度的角。這時，每一份的弧長就是半徑長。因此，也有定義把弧長等于半徑的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角。

角的角度制與弧度制的比較：兩種角的單位在處理角度與弧長時都是一一對應的關系。利用角度制時，角度為α度的角所對的弧長為α. 利用弧度制，角度為αrad的角所對的弧長為α。可以發現根據扇形相似，對應邊成比例可以得到通過這兩種方法在已知弧所對的圓心角α，半徑時，可以求出弧的長度。同樣的在已知弧和弧所對的圓心角時，可以求出這個圓的半徑，即這兩種方法都揭示了對于任意圓心角α，其所對應的lr的比值是一定的。另外第一種方法是選擇了半徑為3602π，圓周長為360的圓作為單位圓來表示這種關系，而第二種方法是選擇了半徑為1，圓周長為2π的圓做為單位圓來表示這種關系。都是采用了單位圓直觀形象的表示這種關系。 但相比較第一種，第二種的計算方便，所以在以后的學習中，我們一般都會用弧度制來表示角。

4. 角度與弧度的互化

因為周角的弧度數是2π，而在角度制下它是360，所以

360=2πrad，180=πrad，1=π180rad

1rad=（180π）≈57.30=5718′

n=nπ180rad，nrad=（180nπ）

（角的角度制與弧度制間的轉換公式3602π=角的度數角的弧度數，乃是基于一整圓得到的。也可以使用基于半周所得到的等價公式：180π=角的度數角的弧度數。）

三、數學史視角下的正弦函數教學

（一）關于正余弦函數教學的論述

高中數學北師大版必修四該章節是在初中學習的基礎上，通過在單位圓中將銳角α的正弦函數坐標化得到銳角α的正弦函數值與余弦函數值的定義，繼而將其推廣到任意角α的正弦函數值，余弦函數值。最后是利用終邊定義法的原理解釋角α的正弦值是唯一確定的，與角α終邊上點的選取無關。在教學過程中學生會很困惑：為什么要在角、該角與單位圓的交點兩者之間定義這樣的函數關系，感覺到莫名其妙。在以后的學習中會很容易得產生厭煩心理。

（二）正余弦函數教學過程設計（問題引導）

1.復習引入，揭示課題

在初中，我們學習了銳角的正弦函數和余弦函數，大家回憶一下，它是如何定義的？

在直角三角形中，銳角α的正弦函數為sinα=對邊斜邊，余弦函數為cosα=鄰邊斜邊 即對每一個給定的（0，π2）內的角就可以得到一個正弦函數值（若以后不做說明，角的單位均為弧度）。

但初中所學的三角函數定義并不是三角函數的原始定義。在古代，數學家們在研究三角函數時，并不是以直角三角形為基礎的，而是在圓中來研究的。

2.構建模型

本章第一節中我們了解了現實生活中存在著大量的周期現象。它的變化規律用什么數學模型來刻畫呢？首先我們需要將圓周運動數學化，即轉化為數學問題來解決。

研究圓周運動呢，即研究當物體沿圓形路徑運動時，如何來確定某一刻它所在的位置，即倘若知道了任意時刻它的位置，那么我們就可以將其路徑確定下來，它的變化規律也就可以研究了。

尋找圓周運動的函數模型，就是當點P 繞圓周運動時，如何來刻畫點P 的位置。我們知道任意角是一條射線繞端點O旋轉形成的，在角的變化過程中，角的終邊上的點都繞點O 作圓周運動。因此，為了研究問題的方便，在平面直角坐標系中，以坐標原點為圓心，以 1 為半徑作一個圓，這個圓我們稱作單位圓。把點P 看做角 的終邊與單位圓的交點，點P 坐標為（x，y）。

3.析出函數

問題 1：隨著角α的變化，角α的終邊與單位圓交點 P 的坐標也變化，那么角α與點P（x，y）之間有怎樣的關系呢？（一一對應的關系）

問題 2：“說一說”什么叫點P 確定？角α 與它的終邊OP 誰確定誰？

角α――終邊OP ――點P（x，y）

①任意角 ――唯一的數x②任意角 ――唯一的數 y

問題 3：大家還記得函數的定義嗎？任意角和它終邊上的點P 滿足函數的條件嗎？

任意角α分別于點P 的橫縱坐標滿足函數關系

問題4：上面兩個函數刻畫了圓周運動中點的變化規律，那我們給他們取什么名字呢？請同學們能給任意角的三角函數下個定義嗎？

設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P （x，y），那么：①y叫做α的正弦，記作sinα，即 sinα= y;②x叫做α的余弦，記作cosα即cosα=x。

正弦、余弦都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標為函數值的函數，我們將它們統稱為三角函數。

4.函數規范化

（1），我們知道sinα=y，cosα=x。通常我們用x表示自變量，y表示函數值，那么任意角的三角函數該如何表示？

正弦函數y=sinx和余弦函數y=cosx

（2），我們知道我們函數中的變量x，y是變化的數，我們講到x表示角的大小，那么x可以表示實數嗎？

通過前一節角的弧度制的學習，我們知道弧度把角度單位與弧度單位統一起來，角的大小可以用角在單位圓中所對的弧長表示。所以x可以看做是角的弧度制表示的。這樣三角函數就成為x為實數，y也為實數的函數，是數與數的對應關系。以后若不做特殊說明，角的單位均為弧度制。

5.補充正弦函數的歷史，介紹數學家歐拉

目前所學的正弦函數的定義，并不是數學家們最初研究的成果。最初正弦函數的研究是從弧到弦長，后發展為角到弦長，再到比值的表示，這個過程歷經了 20個世紀。

在古希臘時期，由希臘數學家托勒密制作出第一張有記載的正弦表，但那時的正弦值和現在的正弦值有所不同。在希臘時期也沒有函數的概念，科學家為了研究天文學，從而產生了三角學，正弦函數只是三角學的一部分。隨著歷史的發展，三角學也逐漸豐富起來。和我們現在意義相同的正弦函數概念出現在18世紀，由瑞士著名的數學家和物理學家歐拉提出。

1748年歐拉在《無窮小分析論》中說：“三角函數是一種函數線與圓半徑的比值”。歐拉給出了包括正弦函數在內的六個函數的定義。歐拉提出的三角函數定義，使三角學從原先靜態研究三角形的解法中解脫出來，成為一門反映現實世界中某些運動和變化、具有現代數學特征的學科。歐拉不僅用直角坐標來定義三角函數，他還令圓的半徑等于1，定義了單位圓，以相應線段與半徑的比值定義三角函數，這樣使得三角函數的定義更為簡單。并引入了弧度制，從而使三角公式和計算大為簡化。

參考文獻：

[1]嚴士健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書數學必修4[M].北京：北京師范大學出版社，2010.9-16

[2]杜雨珊.三角學歷史研究[D].遼寧：遼寧師范大學科學技術史，2009.

[3]徐章韜.基于數學史的弧度制概念的教學設計[J].課堂鏈接，2008（12）：41-42

篇9

【關鍵詞】初中數學；數學概率；學科發展

長期以來，數學學科在教學過程中的“缺人”現象一直存在.所謂的“缺人”現象就是對人文素養的缺失與忽視.而實際上，教學過程中適當的融入數學史的做法便是很好的人文滲透.以人文滲透的方式豐富數學學習的內容與形式，可以讓學生喜歡數學、會學數學、進而學好數學.從數學史的內容分布來看，在數學教育中滲透數學史的元素可以從以下幾個方面入手.

一、數學史之數學概念的發生、發展過程

數學概念是數學中最基本的元素之一，對數學概念的歷史挖掘可以更好的讓學生對概念的本質產生直觀印象，從源頭幫助學生學好知識，學透知識.正數與負數的歷史發展正數與負數的產生是人類思維進化的大飛躍.在原始時期，人們沒有數的概念，在計數的時候往往使用手指計數，當手指數量不夠用的時候，人們就會借助結繩、棍棒、石子的方式計數.隨著社會的發展，尤其是經濟的發展.對計數的要求就逐漸變高，于是就有了自然數的概念，分數的產生.而在生活中則有了比0度還低的溫度……這些情景的出現就要求人類開始考慮數字的正反，多少兩個層面的含義，于是就誕生了負數的概念.這種正負數產生的過程就可以讓學生真切的感知負數誕生的歷史背景和社會生態，有利于學生將正負數的知識遷移運用到生活當中.

二、數學史之定理的發現與證明過程

傳統課堂中對定理的證明和介紹往往是將證明過程進行展示，學生對定理的來歷和證明過程的原始記載并無掌握，不能很好的形成對所學知識的深刻印象.將定理證明的來源及其在不同國家的歷史發展介紹給學生將有助于深化對定理的理解，學習偉大數學家對待證明的方法，并感悟數學思想的魅力.勾股定理的證明在中國，勾股定理的證明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算經》的開頭就有關于勾股定理的相關內容；而在西方有文字記載的最早給出勾股定理證明的則是畢達哥拉斯.相傳是畢達哥拉斯在朋友家做客時，無意中看到朋友家地板的形狀，于是便在大腦中出現了一系列的假設和猜想，并隨后給予了論證.當畢達哥拉斯證明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是殺牛百頭以示祝賀.現在，數學家已經從不同的角度對勾股定理進行了證明，證明方法多達幾十種.

三、數學史之數學歷史中較為有名的難題解析

在數學的發展史中，有一些流傳下來的被后人津津樂道的數學難題，這些題目的解答中往往蘊含著豐富的數學解題思想和獨特的思維方式，同時也可以讓學生感受到數學問題的奧秘并從中獲得啟示.哥尼斯堡七橋問題在18世紀的時候，有一個小城角哥尼斯堡，城中有一條河，河上坐落著七座橋，這七座橋將河中間的兩個小島與岸邊相連.在那里生活的居民就提出了一個問題，如何在既不重復，也不落下的情況下走遍七座橋，并在最后回到出發點？這個問題困擾了大家很久，但始終都沒有得到解決.直到一位名叫歐拉的數學家通過將問題簡化和抽象最終得出了問題的解決辦法.這就是后人常提到的“一筆畫”問題.

四、數學史之數學家的故事

數學家的故事往往蘊含了豐富的人生哲理，不僅教會學生如何對待工作，對待生活，對待工作中的每個細節，還在側面影響了學生從事數學工作的意愿.教師可以在教學之余穿插介紹一些中外數學家的故事，重點介紹其對待數學事業的態度以及在工作上優良的品質，以鼓勵所有學生在數學學習過程中不斷的學習數學家的品質與風貌.高斯的故事高斯十歲上學時老師給所有同學出了個題目：將1－100的數字全部寫出來并把它們相加.老師原本想讓孩子們多算一會兒好讓自己休息，其他很多同學也開始用石板逐一計算.但是高斯卻很快就將答案擺在了老師的面前.老師自然對高斯的表現異常吃驚，尤其是高斯的答案是正確的.而當高斯解釋解題過程的時候，連老師都沒有想到將數字串進行首尾相加的方法卻從一個十歲兒童的筆下得出.這不得不讓人對這個孩子的聰穎大加贊賞和敬佩.

五、數學史之中國古代的數學成就

篇10

一、讓學生習得具有普遍意義的思維方式

什么是數學的靈魂？那就是學科當有的一種獨立的思維方式，即數學思維.數學思維的培養為什么離不開專業史的教育？探討其理論根源，和所謂的“生物遺傳定律”息息相關.也就是說，在數學學習過程中，學生對某一知識的認知過程和該知識的歷史發展過程存在相似性.

在數學教學中，我們要求學生掌握數學概念、數學命題以及數學理論，期間貫穿以數學史教育，為的就是讓孩子們了解這些內容的來龍去脈，通過揭示數學思想從孕育、發生、發展、飛躍到轉換為科學理論的全過程，從中便可提取帶有普遍思維意義的認識論和方法論.

在數學的發展變化過程中，無論是概念的形成，還是重大理論的創立，如果全面綜合地來看待，我們可以歸結為一種對立統一的唯物辯證法思想.數學概念的形成是從“多”與“少”的比較開始，繼而出現了“大”與“小”、“整”與“分”，相應就有了“加”與“減”、“乘”與“除”，隨之產生了“正”和“負”、“有理”與“無理”；研究了“形”之后，便有了“直”與“曲”、“凹”與“凸”，以至發展到“常量”與“變量”、“微分”與“積分”等等都是一系列互相矛盾的數學狀態.數學正是在這樣相互轉化、融合、統一的螺旋狀循環往復的過程中向前發展.再如史料“科學家如何測算地球年齡”的教學中，應該讓學生切身體會要認識和改造客觀世界，數學和數學思維便是必須的工具之一.故而，對數學思維的規律有全局性地分析歸納，對其在此基礎之上建立其一種獨立的、具有普遍意義的思維認知方式，是數學史教育的最大價值之一.

二、發掘人格養成的精神力量

數學史料故事在中學課堂里面，絕不僅僅起到激發學生興趣的作用，更大程度上需要我們從中挖掘出史料本身的文化價值和人文精神，對學生進行一種思想上、人格上的啟迪，發揮專業史本身的人文內涵.

洪萬生先在其隨筆中就提到了阿基米德的故事.這位古希臘著名的數學家、物理學家，在敘拉古城被羅馬人攻破之時，還渾然不覺地鉆研著一道幾何題目，結果不幸被士兵所殺，他的墓碑上永遠留下了一幅著名的幾何定理圖形.十八世紀法國的蘇菲姬曼深為此故事所感，她想探究這門科學藝術是有何魔力能夠讓阿基米德奉獻出生命，她為墓碑上的圖形心醉神馳，在數學研究道路上孜孜以求，無怨無悔奉獻終身，最后自己也終成赫赫有名的數學家.

這個代表性的故事，具有獨特的啟迪作用.阿基米德解題時那種全神貫注，心無雜念的狀態，是人在求真過程中最純粹的生命狀態，所以對士兵入城渾然不覺.這一純粹之狀態是每一位老師最渴望學生能夠在數學甚至在其他任何學科的學習當中，所達到的最理想的生命狀態.蘇菲姬曼就好比現今我們的每一位學子，他們需要一個人生榜樣去感動，并為之努力和付出，最終能夠實現自己人生價值的最大化.

歷史是一段關于人的故事，數學史當中所蘊含的人的故事，已經超越了數學知識本身.數學家的品德修養，求真精神，都能給予學子最為生動啟迪和思考.例如，史料“圓周率”中對π値的探索，從古希臘的阿基米德到魏晉的劉微、南朝的祖沖之再到今天人們用計算機輔助計算.人類這種對目標的執著，對真理的探究，何嘗不是人生的又一要義.一個擁有正確的歷史觀，具有批判意識、人文意識的教師都應該在教學過程中，給予學生最恰當的點撥，從每一段塵封的歷史當中，挖掘出促成學子人格養成的精神力量，讓數學課堂真正變成人生課堂.

三、培養學生在多元文化體驗中的審美意識

著名數學史專家張奠宙教授在第二屆全國數學史與數學教育研討會上做過一個講話，他認為數學史教育需要更高的社會文化意識，營造數學文化意境，提高數學文化品味.

張奠宙先生認為，在給中學生講授平面幾何概念的時候，并非只簡單介紹歐幾里得生平和《幾何原本》成書年代就行，應結合當時社會文化背景和政治制度，向學生解釋為什么古希臘會產生公理化思想方法，并且對照中國古代數學體系，解釋為什么古代中國只注重算法體系的建立，缺乏對演繹推理的運用.兩者的不同在于，古希臘社會在“民主制度”的作用下，執政官的產生、國家財政預決算，戰爭和平等重大問題都需要建立在一個廣大公民公開投票、平等討論的基礎之上，于是古希臘整個社會文化都具有一種崇尚證據說理，邏輯推演的客觀理性精神.而古代中國數學是為皇權服務，好比李迪先生所說《九章算術》就等同于“國家管理數學”，以丈量田畝、征求賦稅、安排勞役等維護君王統治繼續運作的實用性算法成為主流.

筆者認為，在張奠宙先生所提出的講史深度基礎上，我們還應該給學生一種恰到好處的審美教育的點撥.就上個例子來說，從古希臘數學體系當中衍生出來的民主精神和理性精神，恰恰正是舊中國社會最為缺失的重要精神品格.我們就是應該借此機會向學生講授西方社會最主要的精神氣質，讓其能對這樣的精神品格進行產生一種美的感悟.

實際上，中學數學史教育在讓學生進行多元文化體驗的基礎上，更為重要的是讓其能夠有一種純粹的審美感受.不論是楊輝三角圖形的對稱美、海倫-秦九韶公式的簡潔美，還是黃金分割的比例美，再到笛卡爾創立坐標系時“大膽科學想象”的氣勢磅礴之美，這無一不昭示著數學并不是想象中的枯燥和抽象，而是看得見用得著的，她簡直是美的化身.在人教版教材七年級下冊（第41頁）當中介紹笛卡爾創立坐標方法的歷史，更重要的是要點明笛卡爾對此的思路形成過程，一個大膽的設想：科學問題數學問題代數問題方程問題.這是“為了將度量化為方程問題，即建立算術運算和幾何圖形之間的對應，于是建立了斜坐標系和直角坐標系.這是一個大膽的設想，一次偉大的哲學思考，一種氣勢磅礴的科學想象.”與其如張奠宙先生所言對這種“磅礴的科學想象”的發掘是一種“文化品位”的表現，筆者認為不如坦言，坐標系是在將幾何與代數相互連接起來的深刻的科學思考中產生出來的，我們要啟迪學生的正是這種偉大的科學想象，讓他們能夠對這種偉大的想象產生審美愉悅.

更何況張奠宙先生還有著名的數學與詩詞意境的論斷.舉例陳子昂的《登幽州臺歌》可以看做是時間和空間感的佳作.“前不見古人，后不見來者”表示時間可以看成是一條直線（一維空間），詩人以自己為原點，前不見古人指時間可以延伸到負無窮大，后不見來者則意味著未來的時間是正無窮大.“念天地之悠悠，獨愴然而涕下”是描寫三維的現實空間：天、地、人，悠悠地張成三維的立體幾何環境.對學生啟迪以詩歌的解讀，讓他們了解這種將時間和空間放在一起思考，領悟自然之偉大，宇宙之浩渺，時空之無極.