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論文摘 要 高等數學與初等數學教材內容的有效銜接問題，是切實提高高等院校高等數學課程教學質量的關鍵問題之一。本文對高等數學與初等數學教材中有關“函數與極限”、“導數與微分”等內容及教學要求進行了比對，并給出了解決這些問題的一些建議。

經過調研了解到，2003年3月教育部頒發的《普通高級中學數學課程標準》出臺之后，新出版的高中教材與以前的教材相比，一個重要的特點是新教材進一步加強了高中數學與大學數學的聯系，高中教材中安排了大學數學課程里的一些基本概念、基礎知識和思維方法。試圖從教學內容方面解決高中數學與大學數學的銜接問題。但是，大學數學與高中數學教材內容的銜接上還存在不少問題。這些問題影響了大學數學課程的教學質量，對大學新生盡快適應大學數學學習形成了障礙。高等數學與初等數學教材內容的有效銜接亟待解決。

1 “函數與極限”的銜接

函數，是高中數學的重點內容，高考要求較高，學生掌握也比較牢固。高等數學教材中的這部分內容基本相同，但內涵更豐富，難度也提高了。

（1）函數概念：在原有內容中，增加了幾個在高等數學中經常用到的實例，如取整函數、狄利克雷函數、黎曼函數、符號函數等。因此，在學習中，函數概念部分可以簡略，重點學習這幾個特殊函數即可。

（2）初等函數：反三角函數要求提高，新增加了“雙曲函數”和“反雙曲函數”等內容。反三角函數的概念在高中已學過，但高中對此內容要求較低，只要求學生會用反三角函數表示“非特殊角”即可。而高等函數中要求較高，此處在學習中應補充有關內容：在復習概念的基礎上，要求學生熟悉其圖像和性質，以達到靈活應用的目的。新增加的“雙曲函數”和“反雙曲函數”在高等數學中經常用到，故應特別注意。

（3）函數極限：“數列極限的定義”，高中教材用的是描述性定義，而高等數學重用的是“”定義，此處是學生在高等數學的學習中遇到的第一個比較難理解的概念，因此在教學中應注意加強引導，避免影響函數極限后面內容的學習。新增內容“收斂數列的性質”雖是新增內容，但比較容易理解和掌握，教學正常安排即可。“極限四則運算”處增加了“兩個重要極限”，要加強有關內容的學習。

2 “導數與微分” 的銜接

高中新教材中的一元函數微積分的部分內容，是根據高等數學內容學習需要所添加，目的是加強高中數學與高等數學的聯系，讓中學生初步了解微積分的思想。

（1）導數的定義：高中數學和高等數學教材中，這一內容是相同的，不同的是學習要求。高中數學要求：了解導數概念的某些實際背景（例如瞬時速度，加速度，光滑曲線的切線的斜率等）；掌握函數在一點處的導數的概念和導數的幾何意義；理解導函數的概念。也就是說，盡管極限與導數在高中已經學過，但主要是介紹概念和求法，對概念的深入理解不作要求。到了大學，概念上似懂非懂、不會靈活運用，成了夾生飯。但高等數學要求學生掌握并熟練應用，這是高等數學的一個重要內容，在此處應用舉例增加了利用“兩個重要極限”解題的例題，在教學中應給與足夠的重視。

（2）導數的運算：高中新課標教材要求較低：根據導數的定義會求簡單函數的導數；能利用給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數，會求簡單的復合函數導數。重點考察利用導數的幾何意義分析問題、解決問題的綜合能力。

高等數學教學大綱對這部分內容要求：掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法；掌握初等函數的一、二階導數的求法，會求分段函數、隱函數、參數方程所確定的函數的一階、二階導數；了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數；了解微分的概念與四則運算。

建議：高中學過的僅僅是該內容的基礎，因此需重新學習已學過的內容，為本節后面更深更難的內容打好基礎。

（3）導數的應用：高中新教材中僅是借助幾何直觀探索并了解函數的單調性與導數的關系，并通過實際的背景和具體應用事例引導學生經歷由函數增長到函數減少的過程，使學生了解函數的單調性，極值與導數的關系，要求結合函數圖像，知道函數在某點取得極值的必要條件和充分條件，會用導數求不超過三次的多項式函數的最大最小值；體會導數方法在研究函數性質中的一般性和有效性；通過使利潤最大、用料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的應用。

高等數學對這部分內容的處理是：先介紹三個微分中值定理、洛必達法則、泰勒公式，然后嚴格證明函數的單調性和曲線的凹凸性，給出函數的極值、最值的嚴格定義，及函數在一點取得極值的必要條件和充分條件。在此基礎上，討論求最大最小值的應用問題，以及用導數描繪函數圖形的方法步驟。

建議：由以上分析比較可知，高中數學所涉及的一元微分學雖然內容差別不大，但內容體系框架有很大差異，高等數學知識更系統，邏輯更嚴謹。學習要求上，對于導數的幾何意義，導數的四則運算法則及簡單函數的一階導數，利用導數判斷函數單調性和求函數極值都是高中數學課程標準中要求的重點，是重點強化訓練的知識點。而在高等數學教學中建議一點而過，教學重點應放在用微分中值定理證明函數單調性的判定定理、函數極值點的第一、二充分條件定理以及曲線的凹凸性、拐點等內容上。

以上主要分析比較了高中數學與高等數學的重復知識點。除此之外，二者之間以及高等數學與后繼課程之間還存在著知識“斷裂帶”。

3 高中數學與高等數學知識的“斷裂帶”

高考對平面解析幾何中的極坐標內容不做要求，鑒于此這部分知識在高中大多是不講的；而在大學教材中，極坐標知識是作為已知知識直接應用的，如在一元函數微分學的應用中求曲率，以及定積分的應用中求平面圖形的面積等。建議在相應的地方補充講解極坐標知識。

初等數學與高等數學除了在教材內容上的銜接外，在學習思想和方法等方面的銜接也都是值得研究的課題。學生剛開始學習高等數學，不能很好地銜接，教師在教學中要注意放慢速度，幫助學生熟悉高等數學教與學的方法，搞好接軌。首先要正確處理新與舊的關系，在備課時，了解中學有關知識的地位與作用及與高等數學知識內在的密切聯系，對教材做恰當的處理；上課時教師要經常注意聯舊引新，運用類比，使學生在舊知識的基礎上獲得新知識。

總之，努力探索搞好初等數學和高等數學學習銜接問題，是學好高等數學的關鍵之一。

參考文獻

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【關鍵詞】初等數學；高等數學；關系

從數學這門學科的建立直至十七世紀這整個階段，數學只能解釋一些靜止的現象和計算一些定量（例如，它只能用于計算直邊所圍成的面積，以及固定的高度和距離等）這個階段被稱為初等數學階段。初等數學遠遠不能滿足社會發展的需要，因此人們尋求新方法，解釋那些運動現象（例如，變速運動的瞬時速度、任意曲邊所圍成的面積等）于是建立了高等數學。高等數學的出現，顯示出了巨大威力，許多初等數學束手無策的問題，至此迎刃而解了。

本文介紹了初等數學與高等數學的一些相關內容及它們之間的關系。

1.初等數學簡介及其研究內容

代數的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那時代的巴比倫數學文獻里已經含有二次方程和某些很特殊的三次方程。從那時直到15世紀的三千多年里，中國﹑印度﹑阿拉伯和歐洲都在不同的方面對代數學的發展作出了不同貢獻。特別是中國的代數獲得了比較系統的﹑高水平的發展。例如，約在公元前1世紀前后成書的《九章算術》，其中記載了“方程術”和“正負術”等重要成就。到了13世紀后，中國數學在高次方程的數值解法﹑同余式理論以及高階等差數列等方面又再放異彩，取得令人驚異的成就。

縱觀數學發展的整個歷史過程，大體上經歷了初等代數的形成﹑高等代數的創建以及抽象代數的產生和發展三個階段。隨著這門學科的不斷發展，人們對于代數學的研究對象問題的認識也不斷深化，逐步形成下面幾個觀點。

（1）代數學是研究方程解法和字母運算的科學

（2）代數學是研究多項式和線性代數的科學

（3）代數學是研究各種代數結構的科學

（4）代數是推動數學發展、解決科學問題的有利工具

初等數學中主要包含兩部分：初等幾何與初等代數。初等幾何是研究空間形式的學科，而初等代數則是研究數量關系的學科。初等數學基本上是常量的數學。

1.1數的概念及其運算 1.2解析式及其恒等變換 1.3方程 1.4不等式 1.5函數 1.6 平面幾何1.7立體幾何

2.高等數學簡介及其研究內容

16世紀以后，由于生產力和科學技術的發展，天文﹑力學﹑航海等方面都需要很多復雜的計算，初等數學已經不能滿足時展的需要了，在此種情況下，高等數學隨之應運而生。 高等數學是初等數學的進一步發展，它從更深的層次揭示了數學的本質。

高等數學含有非常豐富的內容，它主要包含：高等代數﹑解析幾何﹑微積分﹑概率與數理統計等。 所有這些學科構成高等數學的基礎部分，在此基礎上建立了高等數學的宏偉大廈。

2.1高等代數（研究方程式的求根問題）

高等代數是代數學發展到高級階段的總稱。它包括很多分支，現在一般把它分為兩部分：多項式理論，線性代數初步。

高等代數主線明晰，多項式理論以整除、分解為主線，矩陣是一條最粗最顯的主線，貫穿整個線性代數部分，從而使高等代數具有嚴密邏輯性、高度抽象性、廣泛應用性等特征，這也增加了與初等數學的變化聯系。 [1]

2.2 解析幾何（用代數方法研究幾何）

社會生產力的發展和科學技術的進步都要求數學從研究靜止的數量關系轉變到研究變化著的數量之間的關系，也就是說研究運動和變化，并用數學來描述這種運動和變化，這種數學是一種研究變量之間相互關系的數學，解析幾何正是在這種需要描述變量關系的背景下應運而生的。解析幾何的誕生實質上也就是變量數學的誕生和發展。解析幾何的誕生，又構成變量數學研究的起點，促進了變量數學的發展。

在解析幾何中我們主要采用代數的方法研究幾何，它主要包括兩部分：平面解析幾何、空間解析幾何。[2]

2.3微積分（研究變速運動及曲邊形的求積問題）

微積分是人們認識客觀世界中量的運動變化規律的有力工具，又是很多其它學科的基礎，而且又能直接應用解決實際問題。

它主要解決以下四部分的相關問題：

第一類問題是求即時速度的問題。

第二類問題是求曲線的切線的問題。

第三類問題是求函數的最大值和最小值問題。

第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力。

函數是微積分的研究對象，極限是微積分的研究工具， 微積分的基本概念和內容包括微分學和積分學。

微分學的主要內容包括：極限理論、導數、微分等。

（2）積分學的主要內容包括：定積分、不定積分等。[2]

2.4概率論與數理統計（研究隨機現象，依據數據進行推理）

概率論與數理統計是從數量側面研究隨機現象規律性的數學理論。

主要包括：隨機事件和概率，一維和多維隨機變量及其分布，隨機變量的數字特征，大數定律與中心極限定理，參數估計，假設檢驗等內容。

在初等數學中一些關于排列組合及使用排列組合去計算概率的內容，這個內容在一定意義上屬于日常生活的基本知識，它是高等數學概率論與數理統計的基礎，關于抽樣、數據、誤差、平均值、標準差、統計規律、統計相關性、大數定律等內容，與我們的現實生活密切相關，有著廣泛的應用。[3]

3.初等數學與高等數學之間的關系

初等數學是學習高等數學不可或缺的基礎，它從最簡單的一元一次方程開始，一方面進而討論二元及三元的一次方程組，另一方面研究二次以上及可以轉化為二次的方程組。沿著這個方向繼續發展，數學在討論任意多個未知數的一次方程組，也叫線性方程組的同時還研究次數更高的一元方程組。發展到這個階段，就產生了高等數學。

高等數學基于初等數學，但又高于初等數學，除所學內容不同外，處理問題的觀念和方法有所不同。高等數學的研究對象主要是函數。 研究的方法主要是極限的方法。 如果說初等數學是用“靜止”的觀點去研究，那么，高等數學極限的思想則是一種“運動”的觀點。高等數學是初等數學的進一步發展，它從更深的層次揭示了數學的本質。用高等數學的觀點﹑原理和方法去認識﹑理解和解決初等數學的問題，有助于我們加深對問題實質與知識間聯系的理解。高等數學是在初等數學基礎上發展起來的，因而它所包含的思想方法既是初等數學方法的進一步發展，又同時具有更大的適用性和更高的思想層次，通過學習高等數學有利于從更高的層次看初等數學，加深對數學問題本質的理解。 [4]

（1）初等數學講多項式的加、減、乘、除運算法則.高等數學在拓寬多項式的含義，嚴格定義多項式的次數及加法、乘法運算的基礎上，接著講多項式的整除理論及最大公因式理論。

（2）初等數學給出了多項式因式分解的常用方法。高等數學首先用不可約多項式的嚴格定義解釋了“不可再分”的含義，接著給出了不可約多項式的性質、唯一因式分解定理及不可約多項式在三種常見數域上的判定。

（3）初等數學講一元一次方程、一元二次方程的求解方法及一元二次方程根與系數的關系.高等數學接著講一元n次方程根的定義；復數域上一元n次方程根與系數的關系及根的個數；實系數一元n次方程根的特點；有理系數一元n次方程有理根的性質及求法；一元n次方程根的近似解法及公式解簡介。

（4）初等數學講二元一次、三元一次方程組的消元解法。高等數學講線性方程組的行列式解法和矩陣消元解法、講線性方程組解的判定及解與解之間的關系。

（5）初等數學學習的整數、有理數、實數、復數為高等數學的數環、數域提供例子；初等數學學習的有理數、實數、復數、平面向量為高等數學的向量空間提供例子；初等數學中的坐標旋轉公式成為高等數學中坐標變換公式的例子。

（6）初等數學學習的向量的長度和夾角為歐氏空間向量的長度和夾角提供模型；三角形不等式為歐氏空間中兩點間距離的性質提供模型；線段在平面上的投影為歐氏空間中向量在子空間的投影提供模型.

4.結束語

綜上所述可知，初等數學是高等數學不可或缺的基礎，高等數學是初等數學的繼續和提高.高等數學不但解釋了許多初等數學未能說清楚的問題，如多項式的根及因式分解理論、線性方程組理論等，而且以整數、實數、復數、平面向量為實例，引入了數環、數域、向量空間、歐氏空間等代數系統.這對用現代數學的觀點、原理和方法指導數學教學是十分有用的.

參考文獻：

[1] 張殿國 高等數學[M] 北京高等教育出版社

[2] 同濟大學數學教研室 高等數學 上下冊 高等教育出版社

[3] 唐國興 高等數學（二） 第二分冊概率統計[M] 武漢大學出版社

[4] 王健吾 數學思維方法引論[M] 安徽教育出版

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【關鍵詞】初等數學；高等數學；過渡

一、引言

對于高等數學的教學而言，首要問題是如何做好初等數學到高等數學的過渡。教學過程是教師與學生共同參與的活動，教師要面對來自全國各地、數學基礎不同的學生，而大一學生無論對于教師授課、教材內容還是學習方法都需要適應過程。隨著數學教育的發展以及初等數學課程的改革，過渡中的許多問題被凸顯出來。

二、初等數學到高等數學要面對的問題

1.教師面對的問題

①文理科學生交叉現象。在高中階段，文理科學生學習內容有所差異，且實施方式為分開教學，分開考核。進入大學，會出現一些專業，文理科學生重新集合在一起，而高等數學課程是一門公共基礎必修課，因此產生了文理科學生交叉的現象。②學生數學基礎不一樣。中學數學課程在改革之后，內容有必修課程和選修課程之分，但是由于各省份和地區落實的情況不一致，且受高考指揮棒影響程度的大小不一樣，造成的結果是學生學習的內容存在差異性，導致學生的數學基礎不盡相同。③高等數學教材與初等數學的不匹配。這種現象的出現也是因為高中數學課程改革的影響，高中數學課程改革調整力度較大、覆蓋范圍較廣，目前入校的大一新生都是在高中數學課程改革之后進入大學，而目前的大學教材作出的調整很小或者基本沒有調整，依舊按照以前的教學內容開展教學。比如反三角函數、導數、極坐標的內容在高中只是作為選修課內容，有些學生并沒有學習過，或者只做簡單了解，并不深入，而到了大學，這些內容有的成為了重點內容。

2.學生面對的問題

①教學方法的變化。高中數學教師內容講解細致，灌輸式教學仍占有不小比重，訓練量與訓練強度大；而高等數學教師更多地考慮知識的邏輯性、系統性，注重數學概念的本質、原理的實質，啟發式教學是主要的授課方式，雖配有例題分析，但數量少，課堂訓練量不大。②教學進度的改變。初學數學課程進度較慢，講解例題，練習所占時間較多；高等數學課程進度較快，一般每章開設一到兩次習題課，甚至沒有安排習題課，只有少量的答疑時間，整體來看，高等數學課程的進度要較初等數學快很多，這種影響雖不能量化，但是通過大多數學生的感受來看，這種變化對學生造成的沖擊力非常顯著。③學習方法的改進。在中學階段，絕大多數學生自主學習的能力不強，學習方法沒有完全定型，大多情況下是在老師的引領和安排下進行學習，統一上課，統一練習，統一講解，統一考核，學生思考的自主空間相對較少，學習方法相對比較單一。④心理作用的影響。大一新生需要適應新的角色，適應新的環境，適應新的教師，另外，進入大學，大多數學生的學習優勢已經喪失，要想確立優勢，需要付出艱苦的努力。各種心理因素的作用會對高等數學的學習產生一定的負面影響。⑤考核方式的改變。初等數學課程考核有期中、期末考試，配以平時的章節考核或其他考核方式，而高等數學基本不再有期中考試，只是以期末考試成績或配以平時成績作為最終成績。考核方式、次數的改變，令學生不能適應，甚至有失落感和不安全感。

三、如何做好初等數學到高等數學的過渡

1.教師的指導和引導作用。第一，初等數學課程在內容上發生了較大的變化，作為高等數學教師，應該盡快了解初等數學新課程的變化，從而考慮如何在高等數學課程中進行調整。在遵循課程標準和教學要求的前提下，適當進行教學內容上的調整和優化，強調教材內容中不一致的位置，重點講解，適當補充。例如極限的方法貫穿高等數學學習的始終，對于極限的定義要加以重點強調和分析，使學生真正掌握極限的本質；要適當補充極坐標的基礎知識，讓學生掌握基本的極坐標表示，為課程教學做好鋪墊，優化教學設計。同時，要注意文理科學生基礎的不同以及數學思維存在的差異性。

第二，引導學員主動思考、自主學習，著重培養學生的自學能力。現在是一個終身學習的時代，培養學生學會學習，樹立終身學習的思想。初等數學課程課時充足，教師教學時間充裕，但是導致的結果是學生的依賴心理強；而高等數學課時有限，任務較重，教師授課不可能面面俱到，再加上課程改革之后，不同學生的知識基礎不盡相同，課堂上不可能滿足每一位學生對知識的需求。因此，教學的根本應該側重授人以漁，培養學生的自主學習能力。

2.學生的主觀能動性。學生在遇到問題的時候，應積極思考，通過各種方式尋找解決的方法。筆者認為，做好初等數學到高等數學的過渡，要做到以下幾點：第一，加強預習和復習，盡快適應教學方式、教學進度的變化。第二，改變練習方式，重點題目重點練習，提高效率。第三，做好心理調整，制定學習計劃，合理安排時間。第四，通過自我檢查，相互檢查等方式檢驗學習效果。

參考文獻：

[1]葛倩，胡明濤.從高等數學教學看中學數學課程改革[J].科技信息，2008(11)．

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蔡高廳的高等數學適合工科類學生學習，比如土木工程、計算機、采礦、橋梁等等。

高等數學指相對于初等數學而言，數學的對象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學，將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡。通常認為，高等數學是由微積分學，較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科。主要內容包括極限、微積分、空間解析幾何與向量代數、級數、常微分方程。

（來源：文章屋網 ）

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一、注重引導，抓住學習關鍵

數學關鍵就在一個悟字，所謂悟，就是開竅，如何開竅，就要求講師不要只講題目的做法，而是包括，是怎么想到要這么做的，以引導學生去理解，去悟，對于初等數學，本人的看法是隨便怎么做，因為初等數學的試題必然有解，必然是可以通過所給條件經過N多步驟推出來，不信可以試試，拿一道，先什么都不要管，只管把已知條件以全排列方式組合，以推出新的條件，再將所得條件組合，再推，直到最后推無可推，你會發現題目所求就在其中，甚至簡單的可能是離最終結論還有N步，復雜的估計也就是最終結論了，所以以高考為目的的初等數學題目是不經做的，因為只要你做，就一定能做出來，而之所以很多學生覺得難，沒處著筆，不知道改該怎么做，很大一部分是因為懶，不愿動筆，而只是呆看，簡單的能看出來，復雜的是很難看出來的，如果說那種直接推導的辦法太耗時間，那么只能說是因為不熟練，一旦題目做多了，思維形成了，差不多就可以一眼看出來，頂多推兩步，就知道后面的怎么推了，從而省略了N多的分支，古往今來的題海戰術不是沒有依據的，熟能生巧，見得多了，做的多了，自然可以找到某種規律

二、要正確處理本課程的自身邏輯系統與相關課程的關系

初數研究課在研究初等數學問題時，大多采用專題討論的方法，都有一套完整的體系。如果過分強調自身完整的邏輯系統，容易導致不同學科、不同課程的內客及方法有很多重復和交叉。

如數與初等數論中的相關內容，解析式的恒等變形，方程、不等式的解法與證明，幾何證題法與證題術排列、組合及數列的一些解題方法等。如果不處理好它們之間的關系，只是簡單地追求各門課程自身體系的完整，既不利于學生整體數學思想的建立，又制約了他們數學綜合運用能力的提高，同時占用了很多的課時，所以，對于相關課程中己作詳盡討論過的知識及理論，應作為工具來應用，避免一些不必要的重復。

三、變被動式學習為主動式學習

1.知識系統的探究

初數研究課涉及大量的理論，教師講、學生聽的傳統教學模式既占用課時多，又難以體現學生的主體性。因此對理論性較強的內容，教師可以先提出一些切題的問題作為一堂課的鍥子，留待后面逐個解決。這些問題將整個教學內容串起來，起到提綱摯領的作用，使學生明確學習目標，集中學習資源（如本課程及相關課程的教村及參考書）有針對性地去探究問題，然后教師組織學生對探究的結果進行歸納整理，形成較完整的知識體系。當然一個問題的解訣并非探究的終結，在探究過程中教師與學生都可以提出一些新問題，延續學生探究的熱情，在合作交流的民主和諧的氛圍里，盡可能地讓學生走向自由探究。

2.解題方法的探究

從學生的認知角度未說，解題過程是獨立的發現、探索與積極思考的過程，這種探索過程中所形成的意識和思維，就是真正的創造與發現。應該說，解題教學是中學數學教學的主要任務之一，設置初數研究課程的目的之一，就是結合中學實際對解題作專門的訓練。

3.條件與結論的探究

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【關鍵詞】高等數學；中學數學；教學的應用

相對于初等數學而言，數學的對象及方法較為復雜的一部分。高等數學是比初等數學“高等”的數學。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學的，將其作為小學初中的初等數學與本科階段的高等數學的過渡。通常認為，高等數學是由微積分學，較深入的代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的一門基礎學科，主要內容包括：極限、微積分、空間解析幾何與向量代數、級數、常微分方程。一般以微積分學和級數理論為主，其他方面的內容為輔，這是對高等數學的總述。隨著我國新課程改革的逐步展開，在中學數學教學中，逐漸改變教學方法，將高等數學的教學與中學數學的教學相融合，在中學數學教學過程中插入高等數學，有利于一些抽象數學問題的解決，是學生能更好的掌握所學的知識內容，并更好的舉一反三，解決中學數學中較高邏輯的問題。

1、高等數學教學如何與中學數學的教學巧妙結合

高等數學是在初等數學的基礎上發展起來的，與中學數學的教學有著緊密的聯系。中學數學教學中插入高等數學教學的方法不僅可以使學生居高臨下地去觀察一些初等問題，幫助學生確定新的解題思路時，還能夠幫助學生剖析某些疑難問題的實質，尋求簡捷的解法。站在高等數學的角度來看中學數學教學中出現的某些問題，又會更深刻、更具體、更全面、更據邏輯性。對于高等數學在中學數學教學中的進行的巧妙結合簡要總結為以下幾點：

1.1 要根據數學教學的內容設計貫徹學習高等數學思想方法的途徑。使數學教學的思想方法蘊涵在數學知識的內涵和發展之中。在數學教學中要抓住分析過程，概念的形成過如程、定理與法則的發現過程和一些公式的推導過程、證明思路和解決問題方法等過程。

1.2 在數學教學內容中要揭示事物本質，指揭示一些抽象的概念、計算定理、計算公式或一些計算方法的本質，例如極限方法，實質上是一種以運動的、互聯系和量變引起質變的辯證方式，還有比如求函數的極值、最值問題，也可以設計到中學數學的教學內容當中，體現高等數學方法在中學數學教學中的應用。

1.3 把邏輯思考問題作為教學的出發點。即不以單純的數學問題感知為出發點，教師的教學更不以直接告訴現成知識結論為出發點，在數學教學過程中而是通過創設邏輯問題情景啟發誘導學生，激發學生解決問題求知欲，教師扎住時機，引入高等數學的教學，培養學生運用高等數學解決一些邏輯數學的思維，培養學生運用高等數學解決問題的邏輯思考能力。并同時指導學生開展嘗試性的學習活動。教師在講授的同時，輔助指導學生探究、發現、應用，在活動中解決、學習。

1.4 在教學過程中建構連續地知識結構。適時指導學生歸納在高等數學中所獲得的新知識和新技能方面的一般結論，歸入總結出知識系統，運用到中學數學的學習過程中。

1.5 根據教學目標，及時反饋，注意調節，隨時搜集與評定高等數學學習的教學效果，有針對性地對學生進行質疑性講解，并對學習高等數學有困難的學生給予相應的重復講授的機會，使教學效果達到所定目標的要求。

2、在中學數學教學中應用高等數學的創新教育與傳統中學數學教學之間的差別

創新的教學模式，需要一種全新的教學思想。在我國新課程改革的推動下，在中學數學教學中插入高等數學的教學方法這種全新的教學思想促進了學生能力、素質的提高。傳統中學數學的教學中存在大量與創造性人才的培養不相符的思想與行為，必須加以改進、變革，在合理繼承傳統中學數學教學的基礎上，構建與培養新型人才相配套的創新數學教學模式。中學數學的傳統教學和創新教學在實踐教學中表現出截然不同的教育模式。

2.1 傳統型的中學數學教學的學生與新型插入高等數學的學生在學習目標、動機、策略或方法等方面表現出截然不同的學習方式和行為傾向。傳統型數學教學傾向于記憶、理解固定的內容和知識；學習刻苦，意志堅定，完全聽從教師的安排，以考試成績為目標，使用模仿型的學習方法，熟悉教師的講課和書本內容；按規定的時間做完規定的作業；尊重現有的成果，迷信權威，遵守紀律，創造力不足。

2.2 新型插入高等數學的數學教學模式，可以培養學生的邏輯思考能力和整體的辯查能力；除書本以外，喜歡探究自己學習中的一些問題，并不一定以教師的授課內容或課程所限制，同時學生有時會對教師講述的問題持有異議；運用邏輯思維主動尋找一些解決問題的方法，有批判精神，善于發現問題，拓展自己的思考范圍；不盲從，培養學生自己較強的創造力和創新精神。

2.3 傳統中學數學教學的模式較死板，目標較單一，主要以固定目標為主。

2.4 中學數學教學中插入高等數學的創新教學方法，在教師的作用下，讓學生通過自己的思維來學習數學，教學時在教師的啟發和引導下，讓學生獨立地去探索教師精心安排的數學問題，這些數學問題是學生力所能及的，同時又具有一定的深度和難度，學生克服困難的過程，就有可能表現出創造性活動的特征，并在此過程中積累他們自己的經驗，成為他們將來可以利用的經驗。

2.5 中學數學教學中插入高等數學的創新教學方法，可以靈活運用高等數學基礎知識和技能、解題模式、數學方法的典范，逐步的啟迪學生的思維。充分發揮例題和習題的作用（如適當的一題多解、多題一解等），還可以消除一些學生不良的心理定勢，使他們逐步養成靈活思考數學問題的邏輯思維能力和習慣。

2.6 中學數學教學中插入高等數學的創新教學方法，通過舉例分析教會學生鑒賞數學，懂得數學的邏輯美表現在哪些層次和方向，如何從高等數學的角度分析評比各類數學定理和證明方法，啟發學生認識到生活中的數學的實際應用，從而更好的培養學生喜歡、熱愛數學。

篇7

關鍵詞：高等數學 教學 學習

我們可以作這樣一個比喻：如果將整個數學比作一棵參天大樹，那么初等數學是樹根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干就是“數學分析、高等代數、空間幾何”。這個粗淺的比喻，形象地說明這“三門”課程在數學中的地位和作用。我們現在學習的高等數學是由微積分學、空間解析幾何、微分方程組成，而微積分學是數學分析中主干部分，而微分方程在科學技術中應用非常廣泛，無處不在。大學新生可能對將要學習的高等數學產生畏懼的心理，因為高等數學與初等數學相比教師的講授方式和學生的學習方法都有了較大的變化。如何讓學生們有一個良好的過度，教師的教就起到了至關重要的作用，同時對于學生的學習方法引導也尤為重要。為了解決以上的問題，本文就針對教與學給出以下一些建議：

教師的教

與初等數學相比，高等數學的課堂教育有幾個顯著的特點：第一是時間長。大學課堂里的每一堂課一般都是100分鐘，兩節課連上，高等數學也不例外；第二是進度快。由于高等數學的內容十分豐富，但學時又有限，因此每堂課不僅教學內容多，而且是全新的，教師講課主要是講重點、難點、疑點，講概念、講思路，舉例較少。第三是課堂大，高等數學一般是若干個小班合班上課，課堂上不允許過多的同學們提問。因此教授高等數學課是一門藝術，它涉及到很多個環節，其中定義的引入和講解最為主要，要能夠適應學生的思維發展規律，美國著名心理學家布龍菲爾德說：“數學不過是語言所能達到的最高境界”。 這說明數學學科的高度抽象性和概括性，這些特點容易讓學生對于高等數學的定義理解產生困難，不能深入理解其中的內涵，造成表面的形式理解，表現在做題時僅能夠解答與例題類似的習題，遇到稍微變形的題目時，就不知如何下手，不會舉一反三，靈活運用解題方法。因此，在教學中要研究高等數學定義的認識過程的特點和規律性，根據學生的認識能力發展的規律來選擇適當的教學形式，講解時，盡量由淺入深，多從生活中找素材進行引入，使學生慢慢理解消化。例如，在講解導數的定義時，要求變速運動物體在某一時刻的瞬時速度，根據他們以前掌握的知識，是沒法準確得到的，怎樣利用他們已有的知識去解決新的問題？教師這個時候，要有目的地去引導，把變速轉化為勻速，最后求極限就可以把問題解決。后面定積分的定義和定積分的應用都是采用相同的方法，通過這樣慢慢的引導，學生能明白定義的來龍去脈，對定義的理解會深刻一點，也容易記住定義的實質，而不再死記硬背，起到事半功倍的效果。這種讓學生也參與其中而不再被動接受知識的授課方式，能促進他們從中學的那種思維方式向大學學習的思維方式轉變。同時教師要注意引導學生調整學習心態和學習方法，主動地適應大學數學的課堂教學，培養他們自學的能力，在教學中要允許學生有一個適應過程。在課堂上老師應該教給學生們一些基本的方法，除此之外，還要講一些經典的題目，這樣就誘發學生們的學習樂趣，此外就是要留一些課外的作業，光是靠課堂上 講的完全不夠，課外的作業就是為了讓學生們自己去找找方法，很有幫助。 至于什么樣的標準才算教好了，我覺得把學生們的興趣都培養了，就已經達到教學目的了，如果只是看成績，那只是表面現象而已。在剛開學的前幾周，教師講課進度要稍慢一些，較難的內容講得詳盡些，隨著學生對大學數學的課堂教學的不斷適應，講課進度就可以加快了。

二、學生的學

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【關鍵詞】高等數學；高考；數學思想

隨著新課改的不斷推進，參與高考命題的專家越來越重視初、高等數學知識的銜接，很多高考題、模擬題的命制都喜歡有著高等數學背景的定理，這些看起來抽象、高深的定理下放到中學試卷中，用初等數學方法來解答，往往蘊含著豐富的數學思想，對于訓練思維非常有好處.

下面我將從線性變換、不動點和凹凸函數三個方面給出例證.

一、線性變換

例（2009四川卷）設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f：VV，a∈V，記a的象為f（a）.若映射f：VV滿足：對所有a，b∈V及任意實數λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），則f稱為平面M上的線性變換，現有下列命題：

①設f是平面M上的線性變換，a，b∈V，則f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f（a）=a+e，則f是平面M上的線性變換；

③對a∈V，設f（a）=-a，則f是平面M上的線性變換；

④設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）

解析

理解何為“平面M上的線性變換”，是解題關鍵，對于①④可用特殊值驗證，對于②③抓住定義即可.

對①，令λ=μ=1，則有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命題.

對②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命題.

對③，有f（b）=-b，則f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是線性變換，故③是真命題.

對④，令λ=k，μ=0，則f（ka）=kf（a），故④是真命題.

認清“平面M上的線性變換”定義是解出這道題的關鍵.

二、不動點

例對于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0是f（x）的不動點.已知函數f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的不動點；

（2）對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.

解析（1）a=1，b=-2時，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不動點，則x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的兩個不動點；

（2）因為f（x）有兩個相異的不動點，所以方程f（x）=x有兩個不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有兩個不等的實根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即對任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4?4a

所以0

只要認清了不動點的定義，這道題很容易用初等數學知識解答.

三、凹凸函數

近年高考出現了一類函數――凹凸函數，為更好的體現直觀性，給出定義：函數f（x）在區間D=[a，b]內，若x1，x2∈D時有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），則稱f（x）在D內為凸函數.

從定義可以看出“凹函數”圖像是向下凹的，“凸函數”圖像則是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x這四個函數中，當0

A.0B.1C.2D.3

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關鍵詞："高觀點"；中考試題； 命制方法

1 "高觀點"思想之由來

"高觀點"思想是德國杰出的數學家菲利克斯?克萊因于20世紀初在《高觀點下的初等數學》這本書中提出來的.克萊因認為，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過[1]。

克萊因的"高觀點"思想主要是指用高等數學的觀點來剖析、俯視初等數學問題.初中數學是高中數學和大學數學的基礎，高中數學和大學數學是初中數學的發展和延伸，它們是一脈相承的.因此，我們可以用高等數學（包括高中數學，以下簡稱高數）的觀點（知識、思想、方法等）來剖析、透視初中數學試題。

本文以浙江省臺州市中考數學試題為例，運用"高觀點"思想，剖析試題的解法，分析試題的特點和命制方法。

2 "高觀點"思想下中考數學試題之賞識

在近幾年的浙江省臺州市中考數學一些試題中，有著或明或暗的高數背景，都可以從高數的視角來剖析，舉例如下：

[淺析]本題摒棄了通常的找規律型試題和給出新定義讓學生理解的命題方式，獨辟蹊徑，把主動權交給學生，請學生給出合理的對象定義[2]，這與直接給出新定義的途徑正好相反。該題既考查了學生的數學歸納、數學概括能力，又檢測了學生的"自我在線監控與調節"的意識[2]。事實上，本題的三個式子中都有ab =ba 這個重要特征，即對稱性，它的背景就是高等代數中的對稱多項式。我們知道，在高等數學里，如果對于任意的i，j （其中1 i

[淺析]函數最明顯的特征是模型屬性而非圖形屬性，畫函數圖像是為研究函數的性質服務的，而不是為了研究圖像而研究圖像[2]。本題中，學生通過分析函數圖像特征斷定用二次函數來擬合，利用幾個特殊點確定函數解析式，求出函數的最值.從高等數學的角度思考，滿足已知條件的函數也可以用拉格朗日插值函數來表示：

[淺析]求橢圓的面積需要用高等數學中積分的知識來解決，即使如題意中所描述的采用"化整為零，積零為整""化曲為直，以直代曲"的方法，由于初中學生不清楚橢圓的標準方程，分割求面積和求極限都不會.在《全日制義務教育數學課程標準》中提出，教師應該引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力.事實上，數學直覺和合情推理能力是數學素養的重要組成部分，但在現實的教學中普遍存在對這兩種能力重視和關注不夠[3]，該題的出現旨在考查學生的數學直覺和類比能力.盡管為了降低難度，命題者作了暗示性的鋪墊：希望通過正方形與矩形面積的關系啟發得出圓與橢圓的面積關系，但這種暗示作用甚。也許有人會這樣去猜測，把圓的面積公式πa2 看成πa?a ，再將其中的一個a換成b，但為什么可以這樣猜測呢？筆者以為，要解決這個問題，還得從高等數學的角度來詮釋，因為把圓壓縮成橢圓就是仿射變換的過程，在仿射變換下，任意兩個封閉曲線圍成的面積之比是仿射不變量，即

3 "高觀點"思想下初中數學試題特征之分析

3.1 "高觀點"思想下初中數學試題的特點。

仔細分析這些試題，我們不難發現它們有以下一些特征：

①背景深：

試題背景源于高數，它從不同的角度、不同的思維抓住了初中與高數的銜接點，立意新，背景深，這類試題或者以高數符號、概念直接出現，或者以高數的概念、定理作為依托，融于初中數學知識之中，貼近學生的最近發展區.因此這類試題靠猜題押題是不行的，體現了試題的公正性、公平性，為命題者喜歡。

②落點低：

問題的設計雖然來源于高數，但解決問題的思想、方法卻是初中所學的，決不會超綱，思維雖高落點卻低，它能有利于引導學生提高思維的邏輯性、敏捷性和嚴謹性。

③要求高：

試題的設計旨在考查知識的基礎上，能寬角度、多觀點地考查學生的數學素養，有層次深入地考查數學思維能力和繼續學習的潛能，為學生的后續發展打下基礎。

3.2 "高觀點"思想下初中數學試題的命制方法。

相比而言，高數所涉及的知識點當然要比初等數學所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我們編制初等數學問題的有效策略。升格就是把問題從局部歸結為整體，從低維提高到高維，從具體提升到抽象的策略；降格是遵循人們認識事物的規律，把復雜、多元、高維的問題情形，分解、降維為簡單、一元、低維的情形，如特殊化方法，可以將問題轉化為我們熟悉的情形。

"高觀點"思想下初中數學試題的命制并不是高數知識和方法的簡單下嫁，而是充分利用高數的背景，通過初等化的處理和巧妙設計，使之貼近初中學生的思維認知水平，達到一定的考查目的。

3.2.1 直接引用法。

直接引用法是指將高數中某些命題、概念、定理、公式等直接移用為初中數學試題的一種做法.事實上，高數中有許多抽象化的概念本身就是初中數學知識的拓展和延伸，在考查學生掌握相關知識水平的同時，也考查了學生對高數知識的理解能力。

例4（2009年第10題） 若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變，則稱這個代數式為完全對稱式，如 a+b+c就是完全對稱式。下列三個代數式：①（a-b）2 ；②ab+bc+ca ；③a2b+b2c+c2a。其中是完全對稱式的是（ ）

（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③

[淺析]該題中的完全對稱式就是直接引用于高等代數中的對稱多項式。

3.2.2 適當改編法。

根據高數有關知識，結合相應的考查要求，適當地將問題進行改編，使之能符合初中學生的知識能力要求范圍內，可以有效地運用初中所掌握的知識和方法予以解決。這類方法可以簡單分為三種：演變法、初化法和高化法。

①演變法 演變法是指將高數的定理公式等的條件和結論進行演變，或以公式、定理為載體，可以通過對概念的延伸或弱化，或增加適當地背景，轉而考查學生的數學思維能力。

問題，通過適當演化，用表格創設背景，所考查的知識內容沒有改變。

②初化法 初化法是指將高數的問題、概念、原理等進行特殊化、初等化、具體化、低維化的處理，使之成為具體的初等化內容。

例6（2006年第17題） 日常生活中，"老人"是一個模糊概念.有人想用"老人系數"來表示一個人的老年化程度.他設想"老人系數"的計算方法如下表：

[淺析]此題是高等數學中的模糊數學和高中數學中的分段函數相結合后初等化處理的一種設問形式，主要考查學生的閱讀理解能力，引導初中數學教學更多地關注背景深刻、趣味無窮、應用廣泛但又是學生能夠理解和接受的數學。

③高化法 高化法是指將初等數學的語言、符號、概念等升華為高數的語言、符號和概念，是學生所學知識的延伸，考查學生的探究能力和后續學習能力。

例7（2008年第10題） 把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換.在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖4）。結合軸對稱變換和平移變換的有關性質，你認為在滑動對稱變換過程中，兩個對應三角形（如圖5）的對應點所具有的性質是（ ）

（A）對應點連線與對稱軸垂直

（B）對應點連線被對稱軸平分

（C）對應點連線被對稱軸垂直平分

（D）對應點連線互相平行

[淺析]本題從植物葉子的構造特征中讓學生發現平移與軸對稱的組合變換，是將單一的圖形變換升華為復合變換，旨在考查學生對新定義的理解.它也明白地告訴學生，自然界中的許多現象都可用數學的語言區描述，簡潔而準確，數學是有趣的也是有用的.從高等數學看，幾何變換的發展正是從軸對稱出發，通過數學概念的弱抽象（減弱數學結構的抽象）過程，探究各種不變量：軸對稱變換合同變換相似變換仿射變換射影變換拓撲變換，因此，軸對稱變換是幾何變換的基礎，該題可以引導學生在變換過程中積極尋找不變量。

結語

"站得高才能看得遠"，從數學學科的整體性和數學教育的連續性的角度上說，用"高觀點"思想分析初中數學試題，可以較好地解決一些困惑問題，是一把利器.

當然，盡管中考數學試題中有一些高數知識的背景，但是我們也不提倡教師在課堂教學中把高數內容下放給學生，否則勢必會加重學生的學業負擔，再說你想教也是教不完的！在學生充分掌握初中數學知識的基礎上，我們可以借助實例和直觀，滲透一些為學生所能接受的高數的初步知識（最近發展區），突出思想和方法，重視思維訓練，強調理解和應用，不追求嚴格的證明和邏輯推理，積極發展學生的合情推理能力，從而最終提高學生的數學素養.

參考文獻

[1] 菲利克斯?克萊因著，舒湘芹 陳義章 楊欽等譯.高觀點下的初等數學[M].上海：復旦大學教育出版社，2011.

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關鍵詞 數學競賽；結合；輔導

一、國際數學奧林匹克的起源

國際中學生數學競賽也被稱為國際數學奧林匹克（International Mathematical Olympiad）簡稱IMO。數學競賽在國際數學教育活動中的發展歷史是十分悠久的。20世紀以來，隨著舉辦中學生數學競賽的在全世界的興起，為國際上的數學奧林匹克競賽的誕生奠定了一定的客觀基礎。一年一度的IMO在每年的7月進行，由各個參賽國家或地區輪流主辦。IMO已經成為世界所公認的最高水平的數學競賽，在世界各國的數學教學中都得到了提倡和發展。經過多年學者們的研究，數學競賽的質量也得到了逐步提高，要求考試題目的形式具有深刻的數學背景，并以最通俗有趣的語言將其表現出來。

二、數學奧林匹克競賽在初等數學教育中的地位

奧林匹克數學完美地結合了初等數學與高等數學，主要任務是分別用初等數學的語言和方法來描述和解決高等數學的有關問題。隨著數學奧林匹克競賽與數學教育相互之間的不斷深化和發展，數學教育工作者要客觀恰當地評估數學奧林匹克在數學教育中所處的重要地位及產生的影響。概括地講，奧林匹克數學活動的教育功能主要體現在以下四個層面：①有利于優質人才的及時發現和培養；②能激發青少年對于數學學習的興趣，具有開發智力和潛在創造力的深遠意義；③在很大程度上促進并推動了數學教育課程的改革和發展；④豐富了初等數學教育研究的內容和數學解題的思想理論。

三、數學競賽與初等數學教育的有機結合

1.數學競賽中體現的數學思想

我們在對任何一道奧林匹克數學競賽題的研究過程中，會發現其思考方法與解題形式都蘊含了大量的數學思想方法。這就要求學生們在讀題的基礎之上能充分地理解出題者的意圖及考察方向。因此，我們只有不斷地去發現、思考、創造、領悟，得到的數學思想才能愈深愈奇。經過這樣長期系統的訓練，一點一滴地積累、領悟，才能具備超強的研究能力。

2.將數學競賽結合到初等數學教育的實踐中

首先，數學教師在具體的教學實踐活動中不能只教給學生“這樣解”的方法，還應引導學生去思考“怎樣解”的思想，以及如何發散思維方式。目前，國家已研制出面向21世紀中學數學的課程新標準，作為國家教改后第一線主力軍的中學數學教師而言，要善于發現每一位學生的優勢，并制定出適合每一個人才的培養方案。將新的理念和教學模式用心地應用到每一堂數學課中。事實上，現階段對數學教師的要求是在兼具教學與科研相結合的基礎上，盡力發展每一位學生的個性與特長，這就是對我國教育事業的貢獻。其次，將數學奧林匹克視作一種數學教育實驗。那么在實際課堂教學中，教師應啟迪學生自己去發現、領悟數學思維，培養學生的創造精神。并引導學生逐步深入到更高層次的知識中去，將被動接受化為主動探索達到教與學的高度統一。教師在教學過程中，應鼓勵學生積極提出問題，并組織學生選好一個角度進行分組討論。讓學生發表意見，在強調重點和歸納結論時，盡量創造條件讓學生自主發現，培養學生的獨立性，而教師只需監督檢查和點撥。另一方面，教師要注意邊講邊問，將啟發誘導貫穿始終，盡可能聯系學生的生活實際，從最熟悉的地方引入激發解決問題的興趣，從而使學生在不斷地思考問題中，把全部精力都用到聽課上來。最后，教師必須協調好數學競賽輔導與正常課堂教學的關系。由于許多數學奧林匹克問題富有新穎性，如若強度過大地開展這一活動，也會產生消極的影響沖擊正常的數學教學活動。這就在更高層面上要求教師具備將數學奧林匹克的普及教學與日常數學教學有機地結合起來的能力。下面舉一個具體案例：排列組合問題中應用的抽屜原理就是數形結合教學法的一個體現。抽屜原理是證明命題存在性的有力工具。對所要討論的問題，需分清哪個是蘋果（元素）哪個是抽屜（集合），及量各是多少。具體應用時，依據復雜程度可分為以下六個層次：①若題目已知蘋果和抽屜，只需進行觀察區分；②注意原理的逆向應用，反求蘋果數和抽屜數；③若題目已知蘋果與抽屜二者之一，只需構造另一個；④若題目中蘋果與抽屜均是未知時，需構造二者；⑤注意抽屜原理的多次應用；⑥綜合應用抽屜原理時，需注意與某些數學思想方法的結合。因此，關鍵是教會學生利用題目中的已知條件構造出需要的“抽屜”和“蘋果”的思維方式。構造法主要有以下五種方式：①利用同余項②利用不大于n的正整數③分割區間④分割圖形⑤利用染色。在我們利用抽屜原理解決問題時，可選的方法途徑多種多樣并不只限于以上五種，因此，教師應注重引導學生靈活地應用此原理，根據題目的條件與要求，有的放矢地進行構造“蘋果”與“抽屜”。

綜上所述，數學奧林匹克在一定意義上是一種數學教育實驗，指引并推動了中學數學的教學改革。在強調素質教育的今天，舉辦數學奧林匹克競賽是為了更充分的發揮其重要的教育功能，從而使我國的數學教育體系更加完善，得以健全發展。

參考文獻：