導語：如何才能寫好一篇反比例函數的應用，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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一、識圖

學會認識題目中的圖形,使解題思路清楚,將題目“清晰化”

例1(漳州)矩形面積為4,它的長 與寬 之間的函數關系用圖象大致可表示為()

解析:由題意xy=4,即y是x的反比例函數,圖象B和C都是反比例函數圖象,但圖象B的自變量取值范圍是x>0,選B。

例2 (蘭州) 如圖,在直角坐標系中,點A是 軸正半軸上的一個定點,點B是雙曲線y= (x>0)上的一個動點,當點B的橫坐標逐漸增大時,OAB的面積將會()。

A.逐漸增大 B.不變

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析:雙曲線無限靠近坐標軸但與坐標軸不相交,在第一象限內當點B的橫坐標逐漸增大時,點B到x軸的距離越來越小,所以OAB的面積將會逐漸減小。選C。

點悟:識圖是學習函數圖象的基礎,“點動成線”即圖象是由滿足某個條件的無數個點組成的,而這些點的橫坐標、縱坐標分別代表著函數的兩個變量,因此函數的變化可以通過點的變化形成的圖象直觀地反映出來。

二、想圖

無圖想圖,把數和形有機地結合起來,將題目“明朗化”

例3 (揚州) 函數y= 的圖象與直線 沒有交點,那么k的取值范圍是( )。

A.k>1 B.k―1 D.k

解析:由解析式想圖象,直線y=x經過一、三象限,而函數y=的圖象是雙曲線,它又與直線無交點,那么雙曲線只能在二、四象限,得1-k

例4 (東營) 已知點M (-2,3)在雙曲線y= 上,則下列各點一定在該雙曲線上的是( )。

A.(3,-2) B.(-2,-3) C.(2,3) D.(3,2)

解析:第二象限的點 M (-2,3 )在雙曲線y= 上,可知雙曲線在二、四象限,題中四個點只有A在第四象限,因此選A。

點悟:研究函數離不開圖象,當題目中沒有圖象時,要能根據條件充分地想象,把“數”轉化為“形”,以形助數,從而得到解決問題的方法。

三、畫圖

作出符合題意的圖象,將題目“直觀化”。

例5 (內江) 若A(a,b),B(a-2,c)兩點均在函數y= 的圖象上,且a

A.b>c B.b

C.b=c D.無法判斷

解析:k=1>0,所以圖象在一、三象限,又a

例6 (梧州)已知點A(x1,y1)、B(x2,y2)是反比例函數y=

(k>0)圖象上的兩點,若x1

A.y1

解析:k>0,所以圖象在一、三象限,又x1

點悟:把數轉化成形,并能畫出函數圖象是學習函數的基本要求之一,通過畫出圖象使題目直觀化,這樣能更好地分析函數性質,加深對數量關系的認識,有利于探求解題的途徑。

四、用圖利用圖象的橋梁作用,把性質和解析式聯系起來,將題目“互動化”

例7 (黃石) 如圖所示,正比例函數與反比例函數的圖象相交于A、B兩點,分別以A、B兩點為圓心,畫與 軸相切的兩個圓,若點A的坐標為(2,1),則圖中兩個陰影部分面積的和是 。

解析:因為反比例函數圖象關于原點的中心對稱圖形,所以A、B兩點是對稱點,那么整個圖形是中心對稱圖形,得兩圓的陰影部分可拼成一個圓,半徑為1,所以兩個陰影部分面積的和為π。

例8 (鐵嶺)如圖所示,反比例函數y1與正比例函數y2的圖象的一個交點坐標是A(2,1),若y2>y1>0,則x的取值范圍在數軸上表示為()。

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考點一 反比例函數的概念

例1 （2013?貴州安順）若y=（a+1）xa2-2是反比例函數，則a的取值為（ ）.

A. 1 B. -1

C. ±1 D. 任意實數

【分析】此題考查的是反比例函數的定義. y=，k≠0，x的次數為“-1”，列出方程，求出a的值.

解：y=（a+1）xa2-2是反比例函數，

a2-2=-1，a=±1，又a+1≠0，a≠-1，a=1. 選A.

【點評】緊扣概念，牢記反比例函數的三種形式：y=（k≠0）、xy=k（k≠0）、y=kx-1（k≠0），此類問題常以填空、選擇題的形式出現，解題時要特別注意k≠0.

考點二 反比例函數的圖像和性質

例2 （2013?南京溧水區一模）在反比例函數y=（k

-，y2，則y1-y2的值是（ ）.

A. 負數 B. 非正數

C. 正數 D. 不能確定

【分析】本題主要考查反比例函數圖像上點的坐標特征，可結合函數圖像的增減性解決問題. 因為y=（k

解：由于反比例函數的圖像位于二、四象限，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大. 兩點（-1，y1），

-，y2均在第二象限，且-1

例3 （2013?江蘇南京）在同一直角坐標系中，若正比例函數y=k1x的圖像與反比例函數y=的圖像沒有公共點，則（ ）.

A. k1+k20

C. k1k20

【分析】本題是關于正比例函數與反比例函數圖像性質的簡單應用，根據它們圖像的分布可知：①當k>0時，正比例函數和反比例函數的圖像都過一、三象限，有兩個交點；②當k

考點三 反比例函數解析式的確定

例4 （2013?內蒙古赤峰）如圖1，在平面直角坐標系中，O的半徑為1，∠BOA=45°，則過點A的雙曲線的解析式是____________.

【分析】要確定反比例函數的解析式，只需知道一個點的坐標. 由于點A在雙曲線上，所以求出A點坐標是解決本題的關鍵. 要想求出A點坐標，只需過點A向x軸作垂線構造一直角三角形，再用勾股定理便可求出其坐標.

解：設反比例函數解析式為y=（k≠0），過A作AC垂直于x軸，垂足為C，O的半徑為1，OA=1，在RtOAC中，OA=1，∠BOA=45°，OC=AC，由勾股定理可求出OC=AC=，A

，，代入可得k=，y=.

【點評】此題考查的是用待定系數法求反比例函數的解析式，待定系數法是中學階段求解析式的常用方法，也是重點考查內容之一. 解答此題需運用“反比例函數圖像上點的坐標特征”（點在反比例函數的圖像上，則點的坐標就滿足反比例函數的解析式）這一知識點.

考點四 反比例函數中k的幾何意義

例5 （2013?湖南永州）如圖2，兩個反比例函數y=、y=在第一象限內的圖像分別是C1、C2，設點P在C1上，PAx軸于點A，交C2于點B，則POB的面積為______.

【分析】根據反比例函數中k的幾何意義，得POA和BOA的面積分別為2和1，所以陰影部分的面積為1.

【點評】本題主要考查了反比例函數y=（k≠0）中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸的垂線，與兩坐標軸圍成的矩形面積為S=k；圖像上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=k，解此類題一定要正確理解k的幾何意義.

考點五 反比例函數的綜合應用

例6 （2013?廣西欽州）如圖3，一次函數y=ax+b的圖像與反比例函數y=的圖像交于A（-2，m）、B（4，-2）兩點，與x軸交于C點，過A作ADx軸于D.

（1） 求這兩個函數的解析式；

（2） 求ADC的面積.

【分析】本題是有關一次函數與反比例函數的交點問題，因為反比例函數過A、B兩點，所以代入兩點可求其解析式和m的值，從而知A點坐標，由A、B兩點進而求一次函數解析式，從而求出C點的坐標，接著就能求出三角形的面積.

解：（1） 反比例函數y=的圖像過點B（4，-2），k=xy=-8.

反比例函數y=的圖像過點A（-2，m），-8=-2m，m=4，即A（-2，4）.

一次函數y=ax+b的圖像過A（-2，4），B（4，-2）兩點，

一次函數的解析式為y=-x+2.

（2） 直線AB：y=-x+2交x軸于點C，

C（2，0）. ADx軸于D，A（-2，4），

CD=2-（-2）=4，AD=4，

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關鍵詞：建模思想；反比例函數；人教版；研究方法；函數

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）07-205-01

一、在對反比例函數的學習認識中，要首先研究了解其概念

就反比例函數概念而言，通俗來講，一般而言，如果說兩個變量的每一組對應值的乘積都是一個不為0的常數，則可以就說這兩個變量成反比例。其形式可以寫為y=k/x（k為常數，k≠0，x≠0），當這個函數關系成立時，該函數就叫做反比例函數。相比較一次函數，二次函數，反函數有它自己的特征和概念，二次函數的函數是二次的，而反比例函數的函數是一次的，一次函數是另外的一種函數。

在教學過程中，把建模思想運用到教學過程中，對學生的教育可以對比記憶、繪圖記憶，努力融入數學思想，這樣可以更好的把握反比例函數的概念，理解的也可以更深刻。

二、利用數學的建模思想，研究反比例函數的圖像，然后再根據圖像判斷其性質，這對數學的學習和研究使很有必要的

研究反比例函數，來研究其性質和圖像的特征和函數的單調性，根據反比例函數的概念和函數的表達式來研究其單調性。

根據反比例函數的表達式，描點來畫其圖像，可以看出反函數的圖像是一條雙曲線，從圖像上來看，可以發現它是關于原點對稱，由奇偶函數的概念可知反函數是奇函數。

而一次函數的圖像是一條直線，二次函數的圖像是一條拋物線，根據每個函數的表達式的不同，每種函數的圖像也不相同，當然，其性質也不可能相同。反比例函數是九年義務教育中學的最后一種函數，同學們通過對其他函數的學習，對這一類函數多少已經有些了解，了解如何去研究這一類函數的性質，去研究這一類函數的圖像，在教學過程中，融入數學中的建模思想，親手自己畫圖像，并且研究圖像，通過與一二此函數的對比研究和反復記憶，來更深刻的理解和明白反比例函數，加深對反比例函數的進一步的研究，更深刻地理解和記憶反比例函數。

三、在反比例函數的學習過程中，要充分將建模思想融入進去，并且能夠根據實際情況來舉例研究，這樣對反比例函數本身的學習會有很大的幫助，對理解也會有很大的幫助

建模思想是數學研究中一個很重要的思想，也是在學習中對學習和知識的研究和掌握很有幫助的一種思想，學習反函數的過程中，充分運用建模思想，在學習完其基本知識后，再出一些相關的題目，或者根據生活中的一些情況進行講解，這對反函數的認知有很大的幫助。

實時的針對反比例函數出一些題目，例如，根據性質如何來判斷它是哪一種函數，或者，告訴學生們某一函數的表達式，讓他們來判斷是什么函數，說明其性質，并且能夠準確的畫出圖像。性質、圖像、表達式之間能夠靈活的轉換是學習函數、弄明白函數的一個重要的方法，一個重要的要求，這也是在數學中建模思想的要求，是數學建模思想中一項很重要的思想，即建模思想中的模型分析和模型檢驗。

四、數學學習中，還有很重要的一項要求即要列出重點，強調重點，這是一項很重要的工作。當然，對于反比例函數的研究與學習，也是一樣的

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段。所以在學習中要強調一些很重要的東西，比如說函數性質等，在反比例函數中，要突出強調其表達式，反比例函數的性質，關于原點對稱，是奇數函數，并且重點研究一下它的圖像，讓同學們可以明白哪部分是重點，如何學習，并且要好好的學習記憶。建模思想本身就是數學類的思想，強調重點、重點記憶更是學習的一個重要手段。所以，在研究中，要把建模思想很好的融入進來。

總之，當今時代的發展，建模思想早已是數學中很重要的思想，對于九年義務的教育，對于反比例函數的學習，要掌握其概念、表達式、性質和特點，數學本身就是一門很枯燥的學科，過多的都是理論化的東西，將建模思想融入學習，對掌握反比例函數是很有幫助的，也是很有必要、很重要的。

參考文獻：

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[2] 劉玉紅；反比例函數圖像的一個結論及其應用[J]；中學數學雜志；2014年02期

[3] 王建霞；反比例函數的圖像和性質（第二課時）[A]；河北省教師教育學會第一屆教學設計創新論壇論文集[C]；2011年

[4] 劉 軍；從反比例函數的易錯題談函數的學習[J]；數理化解題研究（初中版）；2014年05期

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一、教材簡解

函數知識是初中數學教學中的重要內容，既是重點又是難點。它將方程、不等式等知識有機結合起來，是整個初中代數知識的“橋梁”。反比例函數是在已經學習了直角坐標系和一次函數的基礎上，再一次進入函數范疇，它的研究是對一次函數和正比例函數的研究經驗和方法的遷移應用，為學生研究二次函數及其他函數提供了研究經驗和方法，在初中函數知識的學習中起著承上啟下的作用。

二、學情分析

1.學生已經學習了反比例關系、分式、函數及一次函數的內容，對函數已經形成了初步認識。但由于函數是比較抽象的概念，學生不可避免地會有所遺忘，因此，教學中對于一些上位的相關知識要進行適當的復習。

2.對于此類抽象概念，許多學生僅僅是機械記憶、模仿練習，缺乏對概念本質的理解，因此在解決問題時不能舉一反三。于是，教學中要關注反比例函數的實際背景及形成過程，從學生已有的知識和生活經驗出發創設情境，讓學生通過觀察、比較、歸納、舉例等活動，逐步抽象出反比例函數的概念，從而激發學習的興趣，提高學習的主動性。

三、目標預設

1.從現實情境和已有的知識經驗出發，感悟生活中不同的函數關系。

2.經歷抽象反比例函數概念的過程，理解反比例函數的概念。

3.了解反比例函數的常見形式，會判斷一個函數是否為反比例函數，會確定比例系數。

4.能根據已知條件確定反比例函數的表達式。

5.感悟函數思想、整體思想。

6.通過小組學習培養學生的自主學習能力，提高學習的興趣，增強合作精神。

四、重點、難點

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考點一：確定反比例函數的關系式

確定反比例函數的關系式的題目主要有以下三種情況.

第一種情況：直接根據題意列出關系式.

例1某種燈的使用壽命為1000小時，它的可使用天數y與平均每天使用的小時數x之間的關系式為___________.

分析：單純地根據實際問題列出反比例函數關系式的題目難度一般不大.只要讀懂實際問題的意思，就能順利解決問題.

根據題意可得，xy＝1000，所以有y＝.

第二種情況：運用待定系數法，利用給出的一組對應值求出關系式.

例2 在一個可以改變容積的密閉容器內，裝有一定質量的某種氣體，當改變容積V時，氣體的密度j也隨之改變.在一定范圍內，密度j是容積V的反比例函數.當容積為5m3時，密度是1.4kg/m3，則j與V的函數關系式為_____.

分析：題目中已經指出了密度j是容積V的反比例函數，因此只要用待定系數法，設出反比例函數的關系式，再根據一組對應的值，就能夠求出j與V的函數關系式.

因為在一定范圍內，密度j是容積V的反比例函數，所以設j(k≠0).因為當容積為5m3時，密度是1.4kg/m3，所以有1.4＝，解得k＝7，因此有j.

第三種情況：根據待定系數法，利用反比例函數圖象上一個點的坐標求出關系式.

例3 已知反比例函數(k≠0)的圖象經過點（1，－2），則這個函數的表達式是____.

分析：由待定系數法確定反比例函數的關系式主要有兩種情況：（1）給出一組對應的值；（2）給出雙曲線上一個點的坐標.

根據反比例函數(k≠0)的圖象經過點（1，－2），可得－2＝ ，解得k＝－2，所以這個函數的表達式是.

考點二：確定反比例函數自變量取值范圍

例4函數y＝自變量x的取值范圍是（）.

A.x＞0 B.x＜0 C.x＝0 D.x≠0

分析：考查函數自變量取值范圍的題目，常見的有四種情況：（1）對整式，自變量取一切實數；（2）對分式，分母不能等于0；（3）對根式，被開方數大于等于0；（4）在實際問題中還應使實際問題有意義.

根據分式的意義可知，x的值不能使分母等于0，因此選擇D.

考點三：確定實際問題中反比例函數的圖象

例5 已知甲、乙兩地相距s（km），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間t （h）與行駛速度v（km/h）的函數關系圖象大致是（ ）.

分析：根據題意可得，汽車行駛的時間t （h）與行駛速度y（km/h）的函數關系為t＝ (v＞0)，因此它的圖象是雙曲線的一個分支，所以答案選擇C.有些同學沒有注意到這是一個實際問題，自變量v的取值范圍是v＞0，從而錯選D.

考點四：識別反比例函數圖象所在的象限及增減性

例6 已知函數y＝ (x＞0)，那么( ).

A.函數圖象在一象限內，且y 隨x的增大而減小

B.函數圖象在一象限內，且y 隨x的增大而增大

C.函數圖象在二象限內，且y 隨x的增大而減小

D.函數圖象在二象限內，且y 隨x的增大而增大

分析：判斷反比例函數的圖象所在象限及增減性，關鍵是準確判斷出比例系數k的正負情況.

根據比例系數k＝3＞0可得圖象在第一、三象限，y 隨x的增大而減小.又因為x＞0，所以圖象在第一象限.所以答案選擇A.

考點五：反比例函數性質的應用

例7 如果兩點P1（1，y1）和P2（2，y2）都在反比例函數的圖象上，那么().

A.y2＜y1＜0 B.y1＜y2＜0

C.y2＞y1＞0 D.y1＞y2＞0

分析：利用函數及其圖象比較數的大小，主要有三種方法：（1）直接把兩個點的坐標代入函數關系式，求出相應的y值來比較數的大小；（2）在函數圖象上描出各點，再根據各點的位置高低來比較數的大小；（3）利用函數的增減性來比較數的大小.

根據反比例函數圖象的增減性，2＞1＞0，故選擇D.

考點六：利用反比例函數解決實際問題

例8某校科技小組進行野外考察，途中遇到一片十幾米寬的爛泥濕地.為了安全、迅速地通過這片濕地，他們沿著前進路線鋪了若干塊木塊，構筑成一條臨時近道.木板對地面的壓強P(Pa)是木板面積S(m2)的反比例函數，其圖象如下圖所示.

（1）請直接寫出這一函數表達式和自變量的取值范圍；

（2）當木板面積為0.2 m2時，壓強是多少？

（3）如果要求壓強不超過6000Pa，木板的面積至少要多大？

分析：本題與物理知識相結合，難度不大.關鍵是要會利用建立起來的反比例函數解決問題.

解：（1）設P＝(k≠0).根據點A(1.5，400)，得400＝，解得k＝600，所以 P＝.自變量取值范圍是S＞0.

（2）當S＝0.2時，P＝＝3000.即當木板面積為0.2 m2時，壓強是3000Pa.

（3）由題意知，P＝≤6000，解得S≥ 0.1，即木板面積至少要有0.1 m2.

考點七：考查一次函數與反比例函數圖象的交點問題

例9直線y＝k1x＋b與雙曲線y＝只有―個交點A(1，2)，且與x軸、y軸分別交于B，C 兩點.AD垂直平分OB，垂足為D，求直線、雙曲線的解析式.

分析：這是一道一次函數與反比例函數相結合的題目，解答這個題目時，我們根據交點就可以馬上求出反比例函數的關系式，再結合其它條件，列出方程組，便可求出直線的解析式.

解：因為點A（1，2）在y＝上，所以2＝，有k2＝2，故雙曲線的解析式為y＝.因為AD垂直平分OB，OD＝1，因此OB＝2OD＝2，故B點坐標為（2，0）.因為A（1，2），B（2，0）在直線上，所以，解得 ，故直線解析式為.

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在中學數學學習中，反比例函數和一次函數是最重要的學習內容，也是學生學習的難點。反比例函數和一次函數是重要的數學模型，揭示了現實世界變量之間的關系，不僅一直是中考的熱點題目，而且對于實際問題的解決有重要意義。關于反比例函數和一次函數的大小比較題目，是對它們知識點的綜合運用。解答這類題目需要學生認真觀察，做好分析，并且進行合理的推理。

二、教學目標

（一）知識與技能

1.掌握反比例函數和一次函數的交點問題

2.能夠利用反比例函數和一次函數的特性進行大小比較

（二）數學思想

通過學習反比例函數和一次函數的大小比較，學會分析數學圖形，樹立數形結合的數學思想，提高學生獨立分析、獨立思考的能力。

（三）問題解決

掌握反比例函數和一次函數大小比較的基本方法，能夠解決其他相關的題目。

（四）情感態度

培養學生結合圖形，分析問題的能力，提高學生的學習興趣和求知欲。

三、教學重點和難點

教學重點：反比例函數和一次函數的交點以及大小比較。

教學難點：反比例函數和一次函數的大小比較。

四、教法和學法分析

教法：數形結合法、問題引入教學法、比較教學法。

學法：畫圖、比較、探究的學習方法。

五、教學過程

（一）提出問題，引入新課

如圖所示，反比例函數的圖像y1= ，一次函數的圖像y2=kx+b，兩函數的圖像相交于兩點，A（2，3）以及B點，與x軸相交于一點C（8，0），求兩個函數的解析式，并求當x的取值范圍是什么，y1大于y2。

教師：（1）這道題目有什么特點？會用到過去學過的哪些知識？

（2）這個圖形有什么特點？你能發現哪些東西？

（3）函數的解析式你們還記得嗎？根據問題和圖形，你們能不能找到解決問題的辦法？

設計意圖：教師問題的提出主要是讓學生回憶過去學過的，關于反比例函數和一次函數的知識，回顧舊的知識，引入新知識的學習。并且試著讓學生自己分析圖形，根據圖形獨立思考，發揮學生的能動性，看能不能解決反比例函數和一次函數大小比較的問題。

分析解題：這是一道基礎的綜合應用題，根據學過的知識，可以使用待定系數法求函數，再通過圖像確定自變量x的取值范圍，數形結合可以使復雜的問題簡單化。求出兩個函數的表達式之后，確定兩個函數的交點，根據圖形解答問題。解題過程如下：

將相交的點A（2，3）帶入反比例函數中，可以算出反比例函數的系數m=6，已知A點和C點的坐標，（2，3）（8，0），將它們分別帶入一次函數方程式中可以得到2k+b=38k+b=0，通過求解可以得到k=- ，b=4，將所有求得的未知數帶入兩個函數方程式中，可以得到y1= ，y2=- x+4，通過交點的特征可以求出B點的坐標為（6，1），根據圖像可得，所求x取值范圍是x

（二）探索交流，學習新知識

教師：（1）同學們分組交流，根據以上的解題方法，在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，最重要的解題思路是什么？

（2）反比例函數和一次函數有同號和異號的區別，它們的交點有什么特征？

設計意圖：通過問題，讓學生進行自由交流，自己總結知識要點。引出交點問題，學習新知識。

在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，尋找交點是關鍵的解題過程。

如果反比例函數和一次函數的系數是同號時，兩函數交點在第一象限和第三象限。如果兩函數系數是異號，反比例函數的系數大于0，一次函數的系數小于0，如果相交，兩交點都在第一或者第三象限；反比例函數的系數小于0，一次函數的系數大于0，如果相交，兩交點都在第二或者第四象限。

（三）對知識進行梳理

在解決反比例函數和一次函數的大小比較問題上，借助圖形是最好的解題方式，同時要牢記反比例函數和一次函數的基本性質，做到數形結合，畫出圖像尋找交點，準確觀察畫出的垂直于x軸的直線和四個象限區域的特點，再進行大小的判定，圖像在上面的是大的，在下面的是小的。

（四）布置相關作業

結合本節課學習的內容，布置課本上的習題或者課外的習題作業，鞏固學生的知識，查找知識學習中的不足，有針對性地進行下一步的復習。

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[關鍵詞] 正反比例教學；數學教學；函數思想；小學生；培養方法

函數思想重視培養學生通過探尋變化規律的方式解答問題，讓學生感受到事物間的內在聯系。在日常數學教學中，重視滲透函數思想方法教育，不僅能夠促進學生更容易、更透徹地認識和掌握數學知識，還能夠幫助學生形成良好的思維品質，為后期發展打下堅實的基礎。

一、函數思想概念解析

作為諸多數學思想的主要構成部分，函數思想主張以運動變化的觀點和視角去分析問題，分析數量關系，借助類比或者轉化等手段正確構建函數，并通過函數圖像更高效地解決數學問題。盡管小學階段并未明確函數，不過這并不意味著小學教材中沒有涉及函數，沒有體現函數思想。

其實在小學六年級下學期數學教材中就涉及并體現了函數思想――“正反比例關系”，它不僅是六年級下學期數學的教學重點和難點，亦是培養小學生形成函數思想的有效途徑，它是銜接小學數學知識和初中數學知識的關鍵紐帶。

二、依托正反比例教學培養小學生函數思想的方法

（一）抓住正反比例概念開展教學

“正反比例”向來是小學數學教學的一大難點，盡管同學們能夠在教師的引導與講解下學會計算，能夠較為流利地說出正、反比例的意義和關系式，能夠對其異同點進行區分，不過在實際應用中問題層出不窮，未真正掌握正、反比例的內在含義，亦未形成函數意識，導致解決實際問題時各種問題凸顯。

對此，教師應基于小學生學習特征和認識思維能力，在備課環節認真研讀課本，發現其中所蘊藏的數學思想，教師應該讓學生正確認識和牢固掌握正反比例的概念和意義，能夠運用其比例關系解決生活中實際存在的問題，要強化函數思想的滲透。

（二）通過實例教學向同學們滲透函數思想

正反比例關系式是帶領同學們初步認識函數的良好方式，亦是導入函數概念的絕佳例子。小學六年級下冊涉及了正反比例概念，筆者認為要想讓學生理解并掌握這種非常抽象的概念關系并非易事，建議老師們在日常教學中采用實例教學來向同學們滲透函數思想，幫助他們形成正確的正反比概念。

1.正比例實例教學

例1. 一輛汽車由濟南駛向北京，其行駛時間與路程之間所具有的關系如下表所示。

根據上表你發現了什么規律？

請按照發現的規律在上表空白區域填上相應數據。

例2.嘉怡文具店里出售一種鋼筆，其銷售數量和銷售總額間所具有的關系如下表所示。

根據上表你發現了什么規律？

請按照發現的規律在上表空白區域填上相應數據。

2.反比例實例教學

例1. 在北京故宮游覽的80名游客，準備分組活動，經商討，共提出下述幾個分組方案，具體參考下表。

根據上表你發現了什么規律？

請按照發現的規律在上表空白區域填上相應數據。

例2. 三年級二班40名學生排隊做操，其行數和人數間的關系如下表所示。

根據上表你發現了什么規律？

請按照發現的規律在上表空白區域填上相應數據。

對于上述兩組正反比例例題，筆者首先讓同學們共同討論并解決下述幾個問題：表中存在哪兩種變化的量？它們之間是如何變化的？任意選四組這兩種相關聯量中相對應的兩個數，寫成比，并求比值。觀察寫出的4個比值有什么關系，它們代表什么意思？在同學們完成討論之后，可根據教學任務和教學目標從下述多個方面滲透并培養學生的函數思想：

（1）明確相關量

根據以上四個例題可知，時間和路程、數量和總價、組數與每組人數、行數與每行人數分別是兩種關聯的量，基于其各組對應值可知，在路程、總價、每組人數以及每行人數進行確定之后，其對應的時間、數量、組數以及行數也就隨之確定了。總結來看，在兩種變量中，如果其中一個變量發生變化，另一個量也會發生相應的變化，它們之間保持著密切的對應關系，此時可向同學們滲透函數思想即變量之間保持一一對應或者相依相存的關系。

（2）分析對應值

帶領同學們對表中的對應值進行一一分析，首先分析正比例的兩個實例：時間增加，路程亦相應增加；時間減少，路程亦相應減少，由此可知路程隨著時間的變化而發生相應的變化。同理，數量增多，總價增多；數量減少，總價亦相應地減少，總價隨著數量的變化而發生相應變化。然后對反比例的兩個實例進行分析：每組人數增多，而組數卻相應減少；反之，每組人數減少，組數卻增多，由此可知組數隨著每組人數的變化而發生相應變化。同理，每行人數增多，而行數卻相應減少；反之，每行人數減少，行數卻增多，由此可知行數隨著每行人數的變化而發生相應變化。在這個過程中，可引導同學們以函數運動、規律變化、相互約束的視角和理念來審視并解決問題，讓同學們體會到事物變化的內在關系，在培養并鞏固其辯證唯物主義觀點的基礎上，形成正確的價值觀。

（3）分析比值

引導學生仔細觀察與分析，并結其變化規律：路程和時間（總價和數量）之比值是一定的，可通過其文字闡述寫出關系表達式，即路程=時間×一定比值；總價=數量×一定比值。以此引導同學們形成正比例關系概念，并歸納出其意義；再帶領同學們認識反比例變化規律：游客總人數是固定的，每組人數和組數的乘積一定；學生人數是固定的，每行人數和行數的乘積一定，可通過其文字闡述寫出關系表達式，即每組人數×組數=游客總數（一定），每行人數×行數=學生總數（一定），以此引導同學們形成反比例關系概念，并歸納出其意義，引導同學們加強分析，自主發現其中所包含的規律變化，并通過表達式將其規律進行表達。

（4）根據變量關系繪制圖形

例1.一輛汽車由濟南駛向北京，其行駛時間與路程之間所具有的關系如下表所示。

從上述實例中選取一個正比例實例，要求同學們進行描點，將對應的點描在方格紙上，并將相鄰點進行連接，以此觀察所成圖形特征。通過圖形表達的方式闡述正比例關系，幫助學生形成直觀的正比例概念，更好地體會和感知數量間的變化規律，進一步認識和了解函數思想。

函數思想是數學思想體系的重要組成部分，學生認識和掌握函數思想并非一朝一夕就能夠實現，它是一個循序漸進的過程。小學教師在開展“正反比例”教學時，首先要在個人腦海中形成函數思想，科學把握所教內容，只有這樣才能夠促進學生形成函數思想，為提高數學素質夯實基礎。

參考文獻

[1]白志強.三角函數教學札記[J].現代技能開發，2000，（08）.

[2]阮偉強.二次函數教學斷想[J].數學教學研究，2002，（03）.

[3]何國霞.數學思想在函數教學中凸現[J].河北理科教學研究，2006，（02）.

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1.若分式 的值為零，則 的值是( )

A.0 B.1 C. D.

2.如果下列各組數是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數是( )

A、7，24，25 B、 C、3，4， 5 D、

3、把分 式 中的 、 都同時擴大為原來的3倍，那么分式的值 ( )

A、擴大為原來的3倍 B、縮小為原來的

C、不變 D、擴大為原來的9倍

4.下列函數中，是反比例函數的是()

A、y=-2x B、y=- C、y=- D、y=-

5.若aby2時x 的取值范圍(8分)

24、(10分)在ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的長.

25. (本題滿分 為10分)一個批發兼 零售的文具店規定：凡一次購買鉛筆300支以上(不包括300支)，可以按批發價付款，購買300支 以下(包括300支)，只能按零售價付款 。小明來該店購買鉛筆，如果 給八年級學生每人購買一支，那么只能按零售價付款，需用120元，如 果多購買60支，那么可以按批發價付款，同樣需要120元。

(1)這個八年級的學生總數在什么范圍內?

(2)若按批發價購買6支與按零售價購買5支的用款相同，那么這個學校八年級學生有多少人?

26.(12分)制作一種產品，需先將材料加熱達到60℃后，再進行操作.設該材料溫度為y (℃)，從加熱開始計算的時間為x(分鐘).據了解，設該材料加熱時，溫度y與時間x成一次函數關系;停止加熱進行操作時，溫度y與時間x成反比例關系(如圖).已 知該材料在操作加工前的溫度為15℃，加熱5分鐘后溫度達到60℃.

(1)分別求出將材料加熱和停止加熱進行操作時，y與x的函數關系式;

(2)根據工藝要求，當材料的溫度低于15℃時，須停止操作，那么操作時間是多少?

27、(14分)如圖 ,點D在反比例函數 ( k>0)上,點C在 軸的正半軸上且坐標為(4，O)，ODC是以CO為斜邊的等腰直角三角形.

⑴ 求反比例函數的解析式;

⑵ 點B為橫坐標為1的反比例函數圖象上的一點，BA、BE分別垂直 軸和 軸，垂足分別為點A和點E，連結OB，將四邊形OABE沿OB折疊，使A點落在點A′處，A′B與 軸交于點F.求直線BA′的解析式.

附加壓軸題

25、(10分)閱讀材料：在平面直角坐標系中，已知 軸上兩點 ， 的距離記作 ，如 ， 是平面上任意兩點，我們可以通過構造直角三角形來求 間距離，如圖，過 分別向 軸， 軸作垂線， 和 ，垂足分別是 ， ， ， ，直線 交 于 ，在 中， .

，

.

由此得任意兩點 間距離公式

(1)直接應用平面內兩點間距離公式計算，點 之間的距離為 ;

(2)平面直角坐標系中的兩點A(1,3)、B(4,1)，P為x軸上任一點，當PA+PB最小時，求點P的坐標和PA+PB的最小值;

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【關鍵詞】提高運算能力;成因分析;策略

學生的運算能力是數學教學的四基要求之一，種種原因，相當多的學生運算能力與課程標準要求有不同程度的差距，需要我們在課堂教學中加強運算能力的培養。

為什么學生運算能力目標難以達成呢？怎樣進行教學才能更加有效的達成？帶著上述兩問題，筆者進行了歸因分析并提出解決策略。

一、成因分析及應對策略

1.錯誤成因

在數學考試中，絕大多數考生都存在著不同程度的解題運算錯誤（或失誤），這些錯誤除考生的心理因素外，產生這些典型錯誤的原因主要有以下五種：（1）審題不嚴謹導致解題錯誤;（2）運算能力應變能力欠缺導致解題運算錯誤;（3）數學基礎知識理解的偏差導致解題運算錯誤;（4）數學方法使用及技巧不當導致解題運算錯誤;（5）思維過程不嚴謹導致解題運算錯誤。

2.應對策略

教師在教學中，需要重視對基礎知識的落實;重視對運算能力與變形能力的提高;重視對思維嚴謹性的培養;重視對數學方法的歸納和基本題型的總結，形成公式及結論，使學生運算速度加快等。

學生在學習中，需要學生在平時的復習中，主動構建知識網絡。夯實基礎，體會基礎知識中蘊含的基本方法;抓好“運算變形關”，在具體問題中尋求合理的運算與變形方案，同時要增強解決復雜問題的信心;養成嚴謹的思維習慣和審題習慣，要充分運用原有的已知條件，善于引申新的條件，注意蘊含條件的挖掘，使結論與條件建立聯系;善于對基本題型的歸納與總結，掌握相應的解題方法等。

我在教學中實施周練訓練，要求題量少（A4紙一頁），題型是學生易錯題及基本要掌握的練習，也可以一周因地制宜多練習。在練習課中當堂10分鐘做完，再分析，反饋，當天學生訂正錯題。這樣做的優點是：其一，可以將有些習題歸納變成公式記憶，解題速度加快;其二，有利于學生深層次學習，使學生能對知識重新組織，重新認識，引導學生能更進一步的思考與探究，即由：“問題解決”過渡到“數學思維”。在下一周反思，討論，修改，能達到“做一題，會一片，懂一法，長一智”。 （下轉第4頁）

（上接第3頁）

二、典例剖析

題型一：函數基本概念

例1.已知反比例函數y=―8x的圖象經過點P（a+1，4），則a=____。

解析：y=-8x xy=8，又圖像過點P （a+1）×4=8， a=1

分析：本題考查反比例函數的概念，解析式進行變式，轉化成方程思想解題。

點評：一般解法利用代入法求解，有的學生速度慢，有的學生代入到解析式中，把x錯看成y代入，有的學生在計算中尤其是碰到分數時經常算錯。因此可以把解析式轉變成xy=k的形式易解，概念重新建構體會基礎知識中蘊含基本方法，達到運算準確目的。

教學建議：在教學中加強概念的教學和知識點落實，同時滲透數學思想和方法，在教學過程中學生能領悟，另外學生中“看錯、想錯、算錯、寫錯、抄錯”的現象大量存在，因此提高學生的計算能力顯得尤為重要，養成良好審題習慣、書寫習慣和回頭看習慣，平時循序漸進點播，嘗試、反思、落實。

題型二：函數圖像與性質問題

例2.如圖1，點P在反比例函數 （x>0）的圖象上，且橫坐標為2。若將點P先向右平移兩個單位，再向上平移一個單位后所得的像為點P′.則在第一象限內，經過點P′的反比例函數圖象的解析式是（ ）

分析：本題考查反比例函數的概念，圖像平移變換知識。考查數形結合思想。

點評：在本類型的解答過程中，其主要錯誤與原因是：審題不到位，難于理解函數概念、不能看出函數性質，造成不會數形結合去分析，p在圖像中顯現，不知道意圖;又由于平移知識掌握不到位，數學基礎知識掌握的缺漏導致錯誤。

教學建議：由于學生難于理解函數概念、不能看出函數性質的主要原因是：學生不能把抽象的函數解析式形式與具體的圖像形式相結合、互相聯系、相對理解。因此，數形結合思想，在函數中尤為重要，從圖像中獲取有用的信息解決問題。在教學中通過精選例題（同類題型）教師引導，讓學生之間自己說，自己評價，在體驗過程中學生思維嚴謹上得到加強理解和掌握，提高了學生的運算能力。

題型三：函數與方程與不等式問題

例3.如圖2，是一次函數y=kx+b與反比例函數y=2x的圖像，則關于x的方程kx+b=2x的解為（ ）

A.xl=1，x2=2 B.xl=-2，x2=-1

C.xl=1，x2=-2 D.xl=2，x2=-1

解析：由圖像可知，一次函數y=kx+b與反比例函數y=2x的圖像有兩個交點，交點既滿足y=kx+b這個方程，又滿足y=2x方程，因此，kx+b=2x的解就是兩個交點的橫坐標xl=1，x2=-2，所以選C。

分析：考查了函數、方程、不等式結合的知識點，兩圖像的交點問題就可以轉化成由這兩條圖像的解析式組成的二元一次方程組的解。如何把函數問題轉化成方程問題就得到解決。

點評：學生由于對函數、方程、不等式之間聯系理解困難，想不到利用數形結合思想解，對知識點多，難，模糊而產生運算錯誤。

教學建議：對重要的數學思想方法要在問題解決的過程中得到強化，要深入在問題的解決過程中。在解題分析時，多讓學生在黑板上自己分析解法，學生愿意聽學生分析，更會激發學生之間思維火花，提高學習興趣，開拓學生思維，可以達到捷徑，快而對。

題型四：函數與幾何問題

例4.如圖3，反比例函數y=kx（x>0）的圖像經過矩形OABC的對角線的交點M，分別與AB、BC相交于點D、E。若四邊形ODBE的面積為6，則k的值為（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 解析：過點M作MGy軸于點G，作MNx軸于點N，則SONMG=|k|，因為反比例函數y=kx的圖像經過矩形OABC的對角線的交點M，

設M（x，kx），OMN面積=k2，

矩形OABC面積=4k，同理OAD，OCE面積也是k2，

又四邊形ODBE面積為6，4k=6+k2+k2，k=2選B。

分析：本題考查反比例函數系數k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|。并考查了數形結合思想。

點評：學生運算錯誤原因是學生如何將函數問題轉化成幾何問題的切入點找不到，反比例函數系數k的幾何意義不夠理解，學生不能在實際應用中運用。思維過程不嚴謹導致解題運算錯誤。

教學建議：反比例函數系數k的幾何意義在中考應用較多，但也是學生的難點。如何抓住關鍵數字、句子，找到問題解決的切口，這需要我們給學生足夠時間去讀、理解題意，而不要壓縮解題過程前的審題過程，同時走到學生的錯誤誤區，去尋找學生錯誤根源，在今后教學中收集此典例，去找策略，提高學生運算的準確度。

【參考文獻】

[1]《義務教育新課標》（2011修改版）

[2]錢德春.《如何提高初中學生“數感”》2014《中學數學教學》9月中旬

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4.已知k > 0，則函數 與函數 的大致圖象是圖1中的（ ）。 5.如果點A(－1， )、B(1， )、C(2， )是反比例函數 圖象上的三個點，則下列結論正確的是（ ）。A、 > > B、 > > C、 > > D、 > > 6、直角三角形 的兩條直角邊分別是6和8，則這三角形斜邊上的高 是（ ） A、4.8 B、5 C、3 D、17、如圖（ 3），ABC中，BC=10，DH為AB的中垂線，EF垂直平分AC，則ADE的周長是（ ）A、6 B、8 C、10 D、128、某超 市一月份的營業額為200萬元，三月份 的營業額為288萬元，如果每月比上月增長的百分數相同，則平均每月的增長率為（ ） A、 B、 C、 D、 9．下列判定正確的是 （ ）A 對角線互相垂直的四邊形是菱形 B兩角相等的四邊形是梯形C四邊相等且有一個角是直角的四邊形是正方形D兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形10.正比例函數 與反比例函數 的圖象相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（3，2），那么點 B的坐標為（ ）。A、（－3，－2） B、（－3，2） C、 （－2，－3） D、（2，3）二、填空題：（本大題共6小題，每小題3分，共18分11.如圖2，P是反比函數 的圖象上的一點，PAx軸，則PAO的面積是________________。12、由6個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，則它的三種視圖中，面積的是______（A、主視圖 B、左視圖 C、俯視圖）13、在同一直角坐標系中，正比例函數 的圖象與反比例函數 的圖象有公共點，則 0（填“＞”、“=”或“＜”）.14、把方程 化成一般形式是_____________15、如圖，在RtABC中，D為斜邊AB的中點，若AC=4cm，BC=3cm，則CD=_________16、順次連接任意四邊形各邊的中點，得到的四邊形是__________________

三、解答題17、列方程解應用題：某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發現，如果每件襯衫每降價2元，商場平均每天可多售出5件。若商場平均每天要盈利1600元，每件襯衫應降價多少元？

18．如圖，以正方形ABCD的對角線AC為一邊，延長AB到E，使AE = AC，以AE為一邊作菱形AEFC，若菱形的面積為 ，求正方形邊長；

19．如圖AD是ABC邊BC邊上的高線，E、F、G分別是AB、BC、AC的中點，求證：四邊形EDGF是等腰梯形； 20．如圖，反比例函數 的圖象與一次函數 的圖象交于 ， 兩點．（1）求反比例函數與一次函數的解析式；（2）根據圖象回答：當 取何值時，反比例函數的值大于一次函數的值．