導語：如何才能寫好一篇統計與概率，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

表1

若已求得它們的回歸直線方程的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為（）

A．=6.5x+17.5 B．=17.5x+6.5

C．=6.5x－17.5 D．=－6.5x+17.5

2．已知隨機變量ξ的分布列如表2，則隨機變量ξ的方差Dξ的最大值（）

表2

A．0.72 B．0.6 C．0.48 D．0.24

3．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，則橢圓+=1的離心率e>的概率是（）

A． B． C． D．

4．某調查機構對本市小學生課業負擔情況進行了調查，設平均每人每天做作業的時間為x分鐘．有1000名小學生參加了此項調查，調查所得數據用程序框圖（圖13）處理，若輸出的結果是680，則平均每天做作業的時間在0~60分鐘內的學生的頻率是（）

A．0．34 B．0．32

C．0．31 D．0．68

5．已知拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸在y軸的左側，其中a，b，c∈｛－3，－2，－1，0，1，2，3｝，在這些拋物線中，記隨機變量ξ=“|a－b|的取值”，則ξ的數學期望Eξ為（）

A． B． C． D．

6．如圖14，在一個長為π，寬為2的矩形OABC內，曲線y=sinx（0≤x≤π）與x軸圍成如圖14所示的陰影部分，向矩形OABC內隨機投一點（該點落在矩形OABC內任何一點是等可能的），則所投的點落在陰影部分的概率是__________．

7．在等差數列｛an｝中，a4=2，a7=－4.現從｛an｝的前10項中隨機取數，每次取出一個數，取后放回，連續抽取3次，假定每次取數互不影響，那么在這三次取數中，取出的數恰好為兩個正數和一個負數的概率為________?搖（用數字作答）．

8．某學校實施“十二五高中課程改革”計劃，高三理科班學生的化學與物理水平測試的成績抽樣統計如表3．成績分A（優秀）、B（良好）、C（及格）三種等級，設x、y分別表示化學、物理成績．例如：表中化學成績為B等級的共有20+18+4=42人．已知x與y均為B等級的概率為0．18．

表3

（1）求抽取的學生人數；

（2）若在該樣本中，化學成績的優秀率是0．3，求a，b的值；

（3）物理成績為C等級的學生中，已知a≥10，12≤b≤17，隨機變量ξ=a－b，求ξ的分布列和數學期望．

9．研究室有甲、乙兩個課題小組，根據以往資料統計，甲、乙兩小組完成課題研究各項任務的概率依次分別為P1=，P2，現假設每個課題研究都有兩項工作要完成，并且每項工作的完成互不影響，若在一次課題研究中，兩小組完成任務項數相等且都不少于一項，則稱該研究室為“先進和諧室”．

（1）若P2=，求該研究室在完成一次課題任務中榮獲“先進和諧室”的概率；

（2）設在完成6次課題任務中該室獲得“先進和諧室”的次數為ξ，當Eξ≥2.5時，求P2的取值范圍．

10．為抗擊金融風暴，某系統決定對所屬企業給予低息貸款扶持．該系統制定了評分標準，并根據標準對企業進行評估．該系統依據評估得分將這些企業分別定為優秀、良好、合格、不合格四個等級，并根據等級分配相應的低息貸款數額．為了更好地掌握貸款總額，該系統隨機抽查了所屬的部分企業．圖15、表4給出了有關數據（將頻率看做概率）．

（1）任抽一家所屬企業，求抽到的企業等級是優秀或良好的概率．

（2）對照標準，部分企業進行了整改．整改后，優秀企業數量不變，不合格企業、合格企業、良好企業的數量成等差數列．要使所屬企業獲得貸款的平均值（即數學期望）不低于410萬元，試求整改后不合格企業占企業總數百分比的最大值．

表4

11．圖16是在豎直平面內的一個“通道游戲”．圖中豎直線段和斜線段都表示通道，并且在交點處相遇，若豎直線段有一條的為第一層，有兩條的為第二層，……，以此類推．現有一顆小彈子從第一層的通道里向下運動．記小彈子落入第n層第m個豎直通道（從左至右）的概率為P（n，m）．（已知在通道的分叉處，小彈子以相同的概率落入每個通道）

篇2

考點1 調查方式的合理選擇

例1 （2012年濱州卷）以下問題，不適合用全面調查的是（ ）.

A.了解全班同學每周體育鍛煉的時間

B.鞋廠檢查生產的鞋底能承受的彎折次數

C.學校招聘教師，對應聘人員面試

D.黃河三角洲中學調查全校753名學生的身高

解：選B.

溫馨小提示：普查還是抽樣調查要根據考查對象的特征靈活選用.一般來說，對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大時，應選擇抽樣調查；對于精確度要求高的調查，或事關重大的調查往往選用普查.

考點2 統計圖信息的解讀

例2 （2012年婁底卷）學校為了調查學生對教學的滿意度，隨機抽取了部分學生作問卷調查：用“A”表示“很滿意“，“B”表示“滿意”，“C”表示“比較滿意”，“D”表示“不滿意”，圖1是工作人員根據問卷調查統計資料繪制的兩幅不完整的統計圖，請你根據統計圖提供的信息解答以下問題：

（1）本次問卷調查，共調查了多少名學生？

（2）將圖1甲中“B”部分的圖形補充完整；

（3）如果該校有學生1 000人，請你估計該校學生對教學感到“不滿意”的約有多少人？

解：（1）由條形統計圖知：C小組的頻數為40；由扇形統計圖知：C小組所占的百分比為20%，故調查的總人數為：40÷20%=200人.

（2）B小組的人數為：200×50%=100人.圖略.

（3）1 000×（1-50%-25%-20%）=50人，

故該校對教學感到不滿意的有50人.

溫馨小提示：讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到需要的信息. 條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據，扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比.

考點3 頻數與頻率

例3 （2012年上海卷）某校500名學生參加生命安全知識測試，測試分數均大于或等于60且小于100，分數段的頻率分布情況如表所示（其中每個分數段可包括最小值，不包括最大值），結合表中的信息，在80～90分數段的學生有 名.

解：80～90分數段的頻率為1-0.2-0.25-0.25=0.3，故該分數段的人數為500×0.3=150人.

溫馨小提示：頻率=.要注意頻率公式的變形，如頻數=數據總數×頻率；數據總數=頻數÷頻率.

考點4 “三數”及“三差”的計算與應用

例4 （2012年廣州卷）廣州市努力改善空氣質量，近年來空氣質量明顯好轉，根據廣州市環境保護局公布的2006～2010這五年各年的全年空氣質量優良的天數，繪制折線圖如圖2.根據圖中信息回答：

（1）這五年的全年空氣質量優良天數的中位數是 ，極差是 ；

（2）這五年的全年空氣質量優良天數與它前一年相比，增加最多的是 年（填寫年份）；

（3）求這五年的全年空氣質量優良天數的平均數.

解：（1）這五年的全年空氣質量優良天數按照從小到大排列如下：333 334 345 347 357

所以中位數是345；極差是357-333=24.

（2）2007年與2006年相比，333-334=-1，2008年與2007年相比，345-333=12，2009年與2008年相比，347-345=2，2010年與2009年相比，357-347=10，所以增加最多的是2008年.

（3）這五年的全年空氣質量優良天數的平均數為

==343.2天.

溫馨小提示：從折線統計圖中獲取有用信息，理解極差、中位數及算術平均數的概念是解題的關鍵.

考點5 考查不可能事件、不確定事件、必然事件的概念

例5 （2012年德陽卷）下列事件中，屬于確定事件的個數是（ ）.

⑴打開電視，正在播廣告；⑵投擲一枚普通的骰子，擲得的點數小于10；⑶射擊運動員射擊一次，命中10環；⑷在一個只裝有紅球的袋中摸出白球.

A.0 B.1 C.2 D.3

解：選C.

溫馨小提示：必然事件與不可能事件屬于確定事件. 確定事件事先可以確定是否發生，而隨機事件事先無法預料能否發生.

考點6 概率計算

例6 （2012年益陽卷）有長度分別為2cm，3cm，4cm，7cm的四條線段，任取其中三條能組成三角形的概率是 .

分析：以2cm，3cm，4cm，7cm四條線段能組成三角形的情況只有一種：2cm，3cm，4cm.

而2cm，3cm，4cm，7cm四條線段任取三條線段共有4種可能結果，因此任取其中三條能組成三角形的概率是.

溫馨小提示：當問題情景是從若干元素中抽取一個元素（即一次操作問題）時，都可以直接應用公式P（A）=（其中m表示事件A發生可能出現的結果數，n表示一次試驗所有等可能出現的結果數）.

考點7 利用概率判定游戲的公平性

例7 （2012年德州卷）若一個三位數的十位數字比個位數字和百位數字都大，則稱這個數為“傘數”. 現從1，2，3，4這四個數字中任取3個數，組成無重復數字的三位數.

（1）請畫出樹形圖并寫出所有可能得到的三位數；

（2）甲、乙二人玩一個游戲，游戲規則是：若組成的三位數是“傘數”，甲勝；否則乙勝.你認為這個游戲公平嗎？試說明理由.

解：（1）樹形圖如下：

三位數有24個：123，124，132，134，142，143，213，214，231， 234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.

（2）這個游戲不公平.

組成的三位數中是“傘數”的有：132，142，143，231，241， 243，341，342，共有8個，

甲勝的概率為=，而乙勝的概率為=，

這個游戲不公平.

溫馨小提示：判斷游戲是否公平就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.

考點8 用頻率估計概率

例8 （2012年貴陽卷）一個不透明的盒子里有n個除顏色外其他完全相同的小球，其中有6個黃球.每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球實驗后發現，摸到黃球的頻率穩定在30%，那么可以推算出n大約是（ ）.

A.6 B.10 C.18 D.20

解：由已知可估計，摸到黃球的概率是30%，n=6÷30%=20.選D.

溫馨小提示：利用概率可以預測不確定事件進行大數次實驗后平穩的頻率；反過來，利用平穩的頻率可以估計相應的概率. 這是人們在反復實驗中得到的規律.

錯誤警示

1. 求中位數時，要對數據從小到大重新排列

例9 （2012年泰州卷）一組數據2，-2，4，1，0的中位數是

.

錯解：中位數是4.

剖析：求中位數時，一要先排序；二要注意數據的個數，奇數個數時，中間那個數據就是中位數，當數據個數為偶數時，中間兩位數據的平均數就是中位數.

正解：將數據從小到大排列：-2，0，1，2，4，故中位數是1.

2. 數據中含有字母時，求極差時要分類討論

例10 已知一組數據0，-1，x，1，2，數據的極差是4，則x的值為 .

錯解：由題設得2-x=4，解得x=-2.

剖析：這組數據中的x有兩種取值情況，有可能是這組數據中的最大值，也有可能是最小值.

正解：當x為最大值時，有x-（-1）=4.解得x=3；

篇3

一、隨機抽樣

考綱要求

（1）理解隨機抽樣的必要性和重要性.

（2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本，了解分層抽樣和系統抽樣.

基本考點與題型

1. 簡單的隨機抽樣

例1. 我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（ ）

A.134石 B.169石 C.338石 D.1365石

答案 B.

解析 設這批米內夾谷的個數為x，則由題意并結合簡單隨機抽樣可知，=，解得x≈169，故應選B.

評注 本題以數學史為背景，重點考查簡單的隨機抽樣及其特點，通過樣本頻率估算總體頻率，難度不大.在高考中，考查簡單的隨機抽樣的題目往往比較簡單.

2. 系統抽樣

例2.（2015?湖南）在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示.

若將運動員按成績由好到差編為1～35號，再用系統抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區間[139，151]上的運動員人數是________.

答案 4.

解析 35÷7=5，因此可將編號為1～35的35個數據分成7組，每組有5個數據，在區間[139，151]上共有20個數據，分在4個小組中，每組取1人，共取4人.

評注 本題將系統抽樣與莖葉圖綜合在一起考查，難度不大.對于系統抽樣問題，我們要掌握兩點：（1）分組的方法應依據抽取比例而定，即根據定義每組抽取一個樣本；（2）起始編號的確定應用簡單隨機抽樣的方法，一旦起始編號確定，其他編號便隨之確定了.

3. 分層抽樣

例3. 某學院的A，B，C三個專業共有1200名學生，為了調查這些學生勤工儉學的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本，已知該學院的A專業有380名學生，B專業有420名學生，則在該學院的C專業應抽取學生________名.

答案 40.

解析 抽樣比為=，A，B專業共抽取38+42=80名，

故C專業抽取120-80=40名.

評注 分層抽樣是三種抽樣方法中最重要的一種抽樣方法，也是高考命題的熱點，多以選擇題或填空題的形式出現，試題難度不大，多為容易題或中檔題，且主要有以下幾個命題角度：一是計算某一層應抽取的樣本數；二是求樣本容量.

二、用樣本估計總體

考綱要求

（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.

（2）理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差.

（3）能從樣本數據中提取基本的數字特征（平均數、標準差），并給出合理解釋.

（4）會用樣本的頻率分布估計總體的分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想.

（5）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

基本考點與題型

1. 頻率分布直方圖

例4.（2016?北京）某市民用水擬實行階梯水價，每人用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費，超出w立方米的部分按10元/立方米收費，從該市隨機調查了10000位居民，獲得了他們某月的用水量數據，整理得到如下頻率分布直方圖：

（1）如果w為整數，那么根據此次調查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？

（2）假設同組中的每個數據用該組區間的右端點值代替，當w=3時，估計該市居民該月的人均水費.

答案 （1）3；（2）10.5元.

解析 （1）由用水量的頻率分布直方圖知：

該市居民該月用水量在區間[0.5，1]，（1，1.5]，（1.5，2]，（2，2.5]，（2.5，3]內的頻率依次為0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.

所以該月用水量不超過3立方米的居民占85%，用水量不超過2立方米的居民占45%.

依題意，w至少定為3.

（2）由用水量的頻率分布直方圖及題意，得居民該月用水費用的數據分組與頻率分布表：

根據題意，該市居民該月的人均水費估計為：

4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5元.

評注 本題主要考查頻率分布直方圖求頻率，頻率分布直方圖求平均數的估計值.由頻率分布直方圖進行相關計算時，需掌握下列關系式：（1）×組距=頻率；（2）=頻率，此關系式的變形為=樣本容量，樣本容量×頻率=頻數.

2. 莖葉圖

例5. 某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民.根據這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高），繪制莖葉圖如下：

①分別估計該市的市民對甲、乙兩部門評分的中位數；

②分別估計該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率；

③根據莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

答案 ①75，67. ②0.1，0.16. ③ 對甲部門評價較高.

解析 ①由所給莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，故樣本中位數為75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數的估計值是75.

50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，故樣本中位數為=67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數的估計值是67.

②由所給莖葉圖知，50位市民對甲、乙部門的評分高于90的比率分別為=0.1，=0.16，故該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16.

③由所給莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數高于對乙部門的評分的中位數，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大.

評注 在使用莖葉圖時，一定要觀察所有的樣本數據，弄清楚這個圖中數字的特點，不要漏掉了數據，也不要混淆莖葉圖中莖與葉的含義.

3. 樣本的數字特征

例6.（2015?廣東）某城市100戶居民的月平均用電量（單位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分組的頻率分布直方圖如圖.

（1）求直方圖中x的值；

（2）求月平均用電量的眾數和中位數；

（3）在月平均用電量為[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取多少戶？

答案 （1）0.0075.（2）230，224.（3）5.

解析 （1）由（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025）×20=1得x=0.0075，

直方圖中x的值為0.0075.

（2）月平均用電量的眾數是=230.

（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45

月平均用電量的中位數在[220，240）內，設中位數為a，則：

（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5，解得a=224，即中位數為224.

（3）月平均用電量在[220，240）的用戶有0.0125×20×100=25戶，

同理可求月平均用電量為[240，260），[260，280），[280，300）的用戶分別有15戶、10戶、5戶，

故抽取比例為=，

從月平均用電量在[220，240）的用戶中應抽取25×=5戶.

評注 樣本的數字特征是每年高考的熱點，且常與頻率分布直方圖、莖葉圖等知識相綜合考查.利用頻率分布直方圖求眾數、中位數與平均數時，應注意這三者的區分：（1）最高的矩形的中點即眾數；（2）中位數左邊和右邊的直方圖的面積是相等的；（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.

三、變量間的相關關系

考綱要求

（1）會作兩個相關變量的散點圖，會利用散點圖認識變量之間的相關關系.

（2）了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸系數公式建立線性回歸方程.

基本考點與題型

1. 相關關系的判斷

例7. 為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統計某班學生的兩科成績得到如圖所示的散點圖（x軸、y軸的單位長度相同），用回歸直線方程=bx+a近似地刻畫其相關關系，根據圖形，以下結論最有可能成立的是（ ）

A. 線性相關關系較強，b的值為1.25

B. 線性相關關系較強，b的值為0.83

C. 線性相關關系較強，b的值為-0.87

D. 線性相關關系較弱，無研究價值

答案 B.

解析 由散點圖可以看出兩個變量所構成的點在一條直線附近，所以線性相關關系較強，且應為正相關，所以回歸直線方程的斜率應為正數，且從散點圖觀察，回歸直線方程的斜率應該比y=x的斜率要小一些，綜上可知應選B.

評注 相關關系的直觀判斷方法就是作出散點圖，若散點圖呈帶狀且區域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關性，若呈曲線型也是有相關性，若呈圖形區域且分布較亂則不具備相關性.

2. 線性回歸方程

例8.（2014?重慶）已知變量x與y正相關，且由觀測數據算得樣本平均數=3，=3.5，則由該觀測數據算得的線性回歸方程可能為（ ）

A. =0.4x+2.3 B. =2x-2.4

C. =-2x+9.5 D. =-0.3x+4.4

答案 A.

解析 依題意知，相應的回歸直線的斜率應為正，排除C，D.

且直線必過點（3，3.5）代入A，B，得A正確.

評注 回歸直線方程 = x+必過樣本點中心（，）.

四、隨機事件的概率

考綱要求

（1）了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率意義以及頻率與概率的區別.

（2）了解兩個互斥事件的概率加法公式.

基本考點與題型

1. 隨機事件概率的求法

例9. 隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統計，結果如下：

答案 B.

解析 因為紅燈持續時間為40秒.

所以這名行人至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為=.

評注 對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認識，它只與大小有關，而與形狀和位置無關，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法，本題的測度為長度，是高考中經常出現的一類幾何概型送分題.

2. 與面積有關的幾何概型

例15. 從區間[0，1]隨機抽取2n個數x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構成n個數對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（ ）

答案 C.

解析 利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為==，所以π=.

評注 求解與面積有關的幾何概型時，關鍵是弄清某事件對應的面積，必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解.

3. 與其它知識交匯的幾何概型

例16. 在區間[0，1]x+y≤上隨機取兩個數x，y，記p1為事件“x+y≤”的概率，p2為事件“xy≤”的概率，則（ ）

答案 D.

解析 如圖，滿足條件的x，y構成的點（x，y）在正方形OBCA內，其面積為1.事件“x+y≤”對應的圖形為陰影ODE，其面積為××=，故p1=

事件“xy≤”對應的圖形為斜線表示部分，其面積顯然大于，

故p2>，則p1

評注 與其它知識交匯的幾何概型以測度為面積的居多，解決這類問題的關鍵是根據題意畫出圖形，并計算相關面積.這類問題綜合性較強，有一定的難度.

變式訓練

1. 某校三個年級共有24個班，學校為了了解同學們的心理狀況，將每個班編號，依次為1到24，現用系統抽樣方法，抽取4個班進行調查，若抽到的編號之和為48，則抽到的最小編號為（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

2. 已知甲，乙兩組數據如莖葉圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的m、n的比值=（ ）

8. 某單位為了了解用電量y（度）與當天平均氣溫x（℃）之間的關系，隨機統計了某4天的當天平均氣溫與用電量（如下表），運用最小二乘法得線性回歸方程為=-2x+a，則a=________.

9. 某次測量發現一組數據（xi，yi）具有較強的相關性，并計算得=x+1，其中數據（1，y1）因書寫不清楚，只記得y1是[0，3]上的一個值，則該數據對應的殘差的絕對值不大于1的概率為________.（殘差=真實值-預測值）

10. 已知正方形ABCD的邊長為2，H是邊DA的中點. 在正方形ABCD內部隨機取一點P，則滿足|PH|

11. 某網站針對“2016年法定節假日調休安排”展開的問卷調查，提出了A，B，C三種放假方案，調查結果如下：

（1）在所有參與調查的人中，用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從“支持A方案”的人中抽取了6人，求n的值；

（2）在“支持B方案”的人中，用分層抽樣的方法抽取5人看作一個總體，從這5人中任意選取2人，求恰好有1人在35歲以上（含35歲）的概率.

12. 某校學生參加了“鉛球”和“立定跳遠”兩個科目的體能測試，每個科目的成績分為A，B，C，D，E五個等級，該校某班學生兩科目測試成績的數據統計如圖所示，其中“鉛球”科目的成績為E的學生有8人.

（1）求該班學生中“立定跳遠”科目的成績為A的人數；

（2）已知該班學生中恰有2人的兩科成績等級均為A，在至少有一科成績等級為A的學生中，隨機抽取2人進行訪談，求這2人的兩科成績等級均為A的概率.

變式訓練參考答案與解析

1. B. 2. D. 3. A. 4. C. 5. D. 6. C. 7. C. 8. 60. 9. . 10. +. 11. （1）n=40；（2）. 12.（1）3；（2）.

1. 系統抽樣的抽取間隔為=6，設抽到的最小編號為x，則x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，解得x=3.

2. 根據莖葉圖，得乙組的中位數是33，甲組的中位數也是33，即m=3，又甲=（27+39+33）=33，所以乙=（20+n+32+34+38）=33，解得n=8，所以=.

3. 分數低于112分的人對應的頻率/組距為0.09，分數不低于120分的人數對應的頻率/組距為0.05，故其人數為×0.05=10人.

12.（1）因為“鉛球”科目的成績等級為E的學生有8人，所以該班有8÷0.2=40人，所以該班學生中“立定跳遠”科目的成績等級為A的人數為40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3.

篇4

概率統計理論性系統性強，對實踐的要求很高，單靠理論推導是不夠的。在概率統計課程第一節課的教學中，應該結合學生專業特點，通過典型具體的可操作的實例進行入門教學，學生在學習過程中不僅重視知識和技能，也要重視過程、方法、情感體驗、態度、價值觀、學習能力、創新精神和實踐能力等[8]。例如在給計算機專業的學生上概率統計課時，可應用蟻群算法、遺傳算法求解旅行商問題、登山隊中的0-1背包問題等，在求解程序中添加算法搜索迭代進化過程的圖形演示；又如提出問題：在欽州三娘灣，看見白海豚的可能性有多大？等等，啟發學生積極思考，努力探索，初步體會概率統計的應用。運用具體的典型實例，使學生能切實感受到概率統計知識應用的鮮活情景。在教學過程中，教師尋找合適的切入點，通過創設概率統計知識的應用情景，使學生切身感受到所學知識的實際應用，激發學生強烈的學習興趣，體現了“數學建?！?、“數學實驗”的教學思想，反映了“厚基礎，寬口徑，重應用”的教學理念。很多時候，學生對書本以外的與書本相關的知識很感興趣，非?？释私庠S多前沿性的知識內容。通過案例分析，組織討論，學生對算法的機理———概率選擇、全概率公式、貝葉斯公式及其運用必定會產生濃厚的興趣，產生進一步探究的強烈愿望。這樣不僅可以將理論和實際聯系起來，并且通過接觸實際問題，提高學生綜合分析問題和解決實際問題的能力，加深學生對教學內容綜合性、應用性、技巧性和創意性的理解，體現“實踐—認識(理論)—實踐”的螺旋式上升的過程。

2深刻理解概率統計課程的重要性

概率統計知識與日常生活緊密相關，學生可以通過實踐活動來體會概率統計知識的具體應用，感受概率統計知識與現實生活的密切聯系，體驗到概率統計知識在解決實際問題中的作用，獲得學習數據處理的方法，對調動學生學習興趣，培養學生動手能力，培養學生調查研究的習慣和實事求是的科學態度，提高學生合作交流能力和綜合實踐能力都有積極作用。然而由于課時不多，學生往往重視不夠，教師在教學中應想方設法使學生重視概率統計知識，注意培養學生的應用意識和能力。信息時代人們面臨著很多的機會和選擇，往往需要在不確定的情境中，在大量無組織的數據中，做出合理的決策和選擇。如：海洋水域預報，江河、海洋水位預測，天氣預報，債卷的收益評估，股市風險，壽命期望預期，數據的歸一化處理，相關性分析，方差分析等。概率統計在密碼學、信息安全、自動控制、工程設計、管理、天文、氣象、水文、地質、地震、農林、化工等領域有廣泛的應用。各種保險、商品有獎銷售、彩票中獎等機會問題，已成為人們日常生活談論的熱門話題。由此可見，算法知識、概率統計知識的運用已經涉及社會生活的方方面面，與社會需求相適應，以培養符合社會需要的人才為目標的高等教育，應當對教學內容進行適當的調整，適當增加應用性的內容，以使學生更多樹立應用的意識和習慣，提高學生運用所學的知識和方法分析處理發生在身邊的各種事情的能力。

3運用計算機技術輔助教學，改進教學方式

概率統計是十分活躍的、有特色的數學分支，為計算機應用提供方法和素材，有利于拓展計算機技術的應用范圍；同時，計算機技術的發展又促進概率統計的教學，計算機技術極大地延展了概率統計知識應用的深度和廣度，計算機能夠處理大量的信息，通過計算機網絡搜集數據、繪制統計圖表等。兩者結合，能充分發揮各自的長處，相得益彰，體現了現代越來越多的人所接受的觀點：高技術本質上是數學技術。讓學生親自參與各種活動和討論，教師由知識和技能的傳授者變為教學和學習活動的策劃者、組織者、引導者和合作者，學生由被動接受知識和技能的角色轉變為學習和實踐活動的設計者、主持者、參與者和體驗者。通過現代化教學手段，使教師的教學過程更加生動逼真，更加豐富多彩；增加教和學的信息量，使學生更主動地學習，促進教與學的良性互動，有利于學生的學習、理解和掌握。

4理論聯系實際，學以致用，大力開展社會實踐

學生掌握一定的知識后，給予學生學習相應的課程和社會實踐機會。在概率統計教學過程中適當增加實踐內容，培養學生應用所學的知識解決實際問題的意識和能力。對日常生活中遇到的隨機現象，提出問題，讓學生自己嘗試做抽樣試驗，收集數據，用所學到的概率統計方法處理數據，并作出推斷。通過親身體驗，使學生養成應用概率統計知識和計算機技術手段解決問題的意識和習慣，有助于教學目的的達成。

5結語

篇5

【關鍵詞】 等可能性；機會；概率；隨機；變量數學

信息社會，人們每天都面對著大量的數據和信息，常常需要在不確定情景中，根據大量無組織的數據，作出合理的決策，如票、降雨概率、買賣股票的收益、統計部門大量的數據統計及決策等. 概率與統計正是通過對數據的收集、整理、描述和分析以及對不確定現象和事件發生可能性的刻畫，來為人們更好地制定決策提供依據和建議.

部分中小學生會對概率統計產生某些錯誤概念，概率概念高度抽象，隨機現象很難把握，尤其是概率說理有一個特殊的問題，那就是它有時會與因果的、邏輯的、確定性的思維形成沖突. 如，在教“三角形任意兩邊中點的連線平行于第三邊且等于第三邊的一半”時，只需作圖，并稍作推理，學生就能接受這一事實，但若教“拋擲一枚勻稱的骰子，擲得一點的概率為”時，教師卻不能在數次或幾十次實驗后，保證學生能觀察到這一事實. 而且要讓學生接受，要用大數次觀察的頻率作為一次試驗概率的估計值這一觀點更非易事，這正是造成概率概念難教難學的原因之一.

李俊博士對中小學概率統計的研究為我們制定教學策略提供了寶貴的依據和深刻的啟示：

分析產生錯誤認識的原因盡管是多方面的，比如，每名學生的數學現實與生活經驗不同，不同文化的影響，題目中的數據和背景，等等，但更重要的一點還在于學生從小學到中學學習常量數學所形成的片面地、孤立靜止地看問題的思維方式和習慣，不適應于隨機變量數學的學習. 為此，相應的概率概念的教學策略應是：

第一，引導學生用全面的、聯系的、運動變化的觀點看問題，學會辯證思維.

概率與統計和微積分等變量數學進入中小學，徹底打破了以往常量數學長期獨占天下的格局，片面地、孤立靜止地分析和解決問題的思維方式與習慣已完全不能適應新數學課程的學習. 學生必須學會用全面的、聯系的、運動變化的觀點分析和解決問題，在學會概率思維的同時學會辯證思維，教師要引導幫助學生逐步樹立辯證唯物主義的世界觀和方法論.

比如，“比例數”是靜態概念，“概率”是動態概念，古典概率計算體現了“動”與“靜”的辯證觀. 例如，“靜態”地看，一顆骰子奇數點所占的比例數為■；“動態”地講，任意擲一次出現奇點的概率為■. 不難看出，在“靜態”向“隨機”轉化時，“比例數”相應于“概率”. 然而，概率思維與比例推導卻是基于兩種截然不同的心智模式.

第二，以具體直觀教學活動把握隨機性理解抽象概念，培養學生的隨機性數學意識.

數學思維活動建立在直接感知具體形式的基礎上才能形成生動的直觀和活潑的想象，概率概念教學應通過真實的活動、真實的數據和直觀模擬，讓學生在做中學. 教師要創造問題情境鼓勵學生檢查、修改和更正他們對概率的信念和常發生的錯誤認識，幫助學生分析和發現產生錯誤認識的原因，采取探究式的學習策略學習概率概念知識，結合實驗教學，讓學生通過實例認識到機會可以被量化，大量重復試驗會使頻率趨于穩定，接受用頻率估計概率的思想，逐步引入概率的公理化定義.

關于隨機性數學意識的培養，我們可以從以下三個方面著手：（1）改進教學方式. 我們應注重確定性數學與不確定數學的聯系，統計與概率的聯系，概率統計知識與日常生活、自然、社會和科學技術領域的聯系；注重學生的實踐，使教學的視野延伸到廣闊的社會中去；還應該注重學生的合情推理和邏輯推理.（2）轉變思維方式. 概率可以用頻率近似代替，但頻率是變數，而概率是定值，這里有變與不變的辯證關系；小概率事件雖然有發生的可能性，但概率太小，我們就認為是不可能事件，這又體現了可能與不可能的辯證關系. 當然，思維方式的轉變絕非一朝一夕之事，在此過程中，應首先學會學會“返璞歸真”，即當所學的新知識在原認知結構中沒有恰當的知識與之同化時，就必須以原始的初級的思維方式重建認知結構，以形成順應. 其次是學會“合理利用”，即當思維回到原始狀態時，認知結構中一些看似已沒有價值的經驗卻是可供利用的最好的工具，因為它已塑造了個人的數學修養，而數學修養是從“原始”走向“文明”的催化劑. （3）改進學習方式. 學生在學習中應該逐漸形成“用數學”的意識. 在學習中，一方面要不斷地豐富“模式庫”，另一方面還要不斷提高創建模式的能力. 如果在學習的過程中不斷地努力創建模式來解決新問題，就能在豐富模式庫的同時，不斷提高解題能力.

第三，培養模型意識和應用能力.

見于有些錯誤的發生常與題目中的數據和背景有關，因此，概率教學中要有意識地訓練學生用不同的替代物來模擬同一個概率問題，使學生認識到怎樣由現實隨機問題抽象出概率模型，并能舉例說明某一概率模型的若干現實原型.

總 結

在教學中根據學生的各種錯誤概念，科學地設計實例實驗，就等于為學生搭起了腳手架，提供了有利的學習環境，才可以保證學習活動的有效性. 如何更好地實施教學實現2001版《標準》中的要求，給出以下幾點建議：

（1）突出統計思維的特點和作用；

（2）統計教學應通過案例來進行；

（3）注重從數據中提取信息；

（4）重視對概率模型的理解和應用，淡化繁雜的計算；

（5）注重對隨機現象與概率的意義的理解；

篇6

2010年、2011年福建省九地市中考數學試卷中統計與概率這一領域的分值比重與難度值分析表：

從表中數據看，福建省這兩年大部分設區市“統計與概率”這部分試題難度值基本上在0.5以上，難度屬于中偏易；分值在整卷中所占比例約為13%，基本與相應內容在教學中所占課時比例吻合.統計與概率的試題不僅重視對基礎知識、基本技能的考查，而且關注學生的統計觀念、隨機思想的形成，突出其在生活生產中的應用考評，充分體現了新課標的精神.就考查內容而言，呈現以下幾個熱點：

1 以數據收集過程的核心概念為知識線索，考查統計的基礎知識和基本技能

例1 （2011年南平卷第3題）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是

A.了解南平市的空氣質量情況

B.了解閩江流域的水污染情況

C.了解南平市居民的環保意識

D.了解全班同學每周體育鍛煉的時間

例2 （2011年莆田卷第10題）數據1，2，x，1?，2?的平均數是1，則這組數據的中位數是

例3 （2011年寧德卷第17題）甲、乙倆射擊運動員進行10次射擊，甲的成績是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成績如圖1所示.則甲、乙射擊成績的方差之間關系是S2甲______S2乙(填“”).

評析 一方面，收集數據的方式——調查方式的確定是解決統計問題的第一步，能考查學生對普查和抽樣調查的辨別能力，讓學生知道采取普查和抽樣調查的必要性與價值.另一方面刻畫數據集中水平的統計量（平均數、中位數、眾數）和刻畫數據波動情況的統計量（極差、標準差、方差）是初中統計知識的核心內容之一.此類題目多以填空或選擇題形式出現，考查學生對基本概念的理解程度，既關注了對基礎知識、基本技能的考查，也兼顧了對數學能力關注.

基于上述分析，可以認為，單純的統計量計算工作將越來越多地為計算機所代替.因此，各種統計量概念的記憶與運算不會是考查的重點所在，而對統計量概念及現實意義的理解將成為考查的重點.

2 以統計圖表及數據信息的提取為載體，考查統計意識和基本數學活動經驗

例4（2011寧德卷第21題）據東南網訊：《福建省第六次全國人口普查主要數據公報》顯示，全省常住人口為36 894 216人.常住人口地區分布的數據如圖2，另外，我省區域面積分布情況如圖3.

而且關注學生的統計觀念、隨機思想的形成，突出其在生活生產中的應用考評，充分體現了新課標的精神.就考查內容而言，呈現以下幾個熱點：

1 以數據收集過程的核心概念為知識線索，考查統計的基礎知識和基本技能

例1 （2011年南平卷第3題）下列調查中，適宜采用全面調查方式的是

A.了解南平市的空氣質量情況

B.了解閩江流域的水污染情況

C.了解南平市居民的環保意識

D.了解全班同學每周體育鍛煉的時間

例2 （2011年莆田卷第10題）數據1，2，x，1?，2?的平均數是1，則這組數據的中位數是

例3 （2011年寧德卷第17題）甲、乙倆射擊運動員進行10次射擊，甲的成績是7，7，8，9，8，9，10，9，9，9，乙的成績如圖1所示.則甲、乙射擊成績的方差之間關系是S2甲______S2乙(填“”).

（1）全省常住人口用科學記數法表示為：___________人（保留四個有效數字）；

（2）若泉州人口占全省總人口22.03%，寧德占7.64%，請補全圖1統計圖；

（3）全省九個設區市常住人口這組數據的中位數是_________萬人；

（4）全省平均人口密度最大的是_______市，達_____人/平方千米.

評析 本題以“第六次人口普查”為背景，題干用必要的文字描述和兩個關鍵統計圖的形式呈現了“福建省各設區市常住人口分布”和“福建省區域面積分布”等重要信息，學生根據這些統計的信息，完成四個小題，考查了科學記數法、畫條形統計圖，中位數，運算（估算）等核心知識，體現了統計的應用價值，有利于激勵學生日常養成學數學、用數學的意識.

基于上述分析，可以認為，隨著現代科技的發展，制作統計圖表的工作將越來越多地為計算機所代替.因此，在有關技能考查中，圖表的制作將不再是考查的重點所在，而對于圖表制作原理的理解以及圖表信息的提取、圖表的特點和選用等已成為近年來考查的重點.對于數據信息的提取，在考查中可以以多種方式呈現，可以呈現一些雜亂無章的數據，要求學生通過適當的方法進行整理；可以呈現初步整理的結果或比較規范的圖表，要求學生閱讀圖表提取信息；可以呈現不完整的圖表，要求學生根據題干中其他信息補全相應的圖表；可以呈現多個圖表，要求學生從不同的圖表中提取不同的信息解決問題，關注對統計圖表特點以及選擇使用技能的考查；還可以以選擇題、填空題的形式，在實際問題情境中考查各種統計圖表的特點和選用.

3 以通過計算或用頻率估計概率為手段，考查學生對簡單不確定事件作出預測和推斷的能力

例5 （2010廈門卷第20題）小明學完了統計知識后，從“中國環境保護網”上查詢到他所居住城市2009年全年的空氣質量級別資料，用簡單隨機抽樣的方法選取30天，并列出下表：

請你根據以上信息解答下面問題：

（1）這次抽樣中“空氣質量不低于良”的頻率為

__________;

（2）根據這次抽樣的結果，請你估計2009年全年（共365天）空氣質量為優的天數是多少？

評析 本道試題遵循“獲取信息――加工信息――科學應用”的模式，以“‘中國環境保護網’上查詢到的空氣質量級別資料”為背景，讓學生從統計表所給出的數據出發，考查學生獲取并加工數據信息的能力，以及借助計算所獲得的統計量對“全年空氣質量為優的天數”做出科學合理統計推斷的數學或然與必然思想.

基于上述分析，可以認為，能夠借助概率模型或通過設計具體活動解釋、估計、預測一些事件發生的概率.這些事件可以來自生活實際，也可以與學生已經學過的數學學科其他領域的知識有關；或應用大量重復實驗中的頻率與事件發生的概率之間的關系設計一些應用性和趣味性較強的問題，并設計等效的模擬實驗方案；或靈活運用列舉法計算簡單事件發生的概率，解決一些實際問題；或比較事件發生概率的大小，判斷游戲公平與否，若不公平，修改游戲規則使游戲公平.

4 以實際問題為背景，關注學生的情感、態度、價值觀

例6 （2010龍巖卷第21題）我市某化工廠為響應國家“節能減排”的號召，從2006年開始采取措施，控制二氧化硫的排放.圖4、圖5分別是該廠2006～2009年二氧化硫排放量（單位：噸）的兩幅不完整的統計圖.請根據圖中信息解答下列問題：

（1）該廠2006～2009年二氧化硫的排放總量是噸，這四年二氧化硫排放量的中位數是.

（2）把圖4的折線圖補充完整；

（3）圖5中2006年二氧化硫的排放量對應扇形的圓心角是度，2009年二氧化硫的排放量占這四年排放總量的百分比是.

評析 本道試題以節能減排為載體，這種“大背景”離學生既遠又近，影響著學生的日常生活.完成本題不僅可以考查學生運用統計知識從統計圖上獲取信息，發現問題，并解決問題等一系列能力，體現數學處理數據的工具特征，同時引導學生關注環保，樹立低碳生活的理念，養成良好的節能習慣，一起營造自然、健康、生態的綠色消費環境和氛圍，建設節約型社會做出自己的貢獻.

基于上述分析，可以認為，概率與統計相關的數學知識可以與具有濃郁地方特色和時代感背景的社會熱點問題、能體現出命題對“情感、態度與價值觀”的教育立意相結合，從不同角度對學生進行熱愛祖國、熱愛家鄉、關注社會、關愛自然等人文教育，增強學生的社會責任感，彰顯試題的教育功能，滲透情感與態度教育.體現《課程標準》要求“要關注學生數學學習的水平，更要關注他們在數學活動中所表現出來的情感和態度”的精神.

從統計與概率的最新中考的考評看，其考查難度適中，重點關注的內容有反映數據的重要統計量的理解與計算、數據的描述與分析、統計圖表的識別與處理、應用概率的知識對事件的判斷設計決策等，因此，相關的教學要立足《課程標準》，源于教材；把握核心，落實四基；關注社會，聯系實際；注重能力，滲透思想.進一步理清統計與概率領域知識之間的內在聯系，形成知識結構網絡.

參考文獻

篇7

【關鍵詞】概率論與數理統計；興趣驅動；現代教育技術；師生互動

【中圖分類號】G642

【文獻標識碼】A

概率論與數理統計這門課程內容豐富，結論深刻.因為大多數學生有一些高中的基礎，剛開始還比較容易，但隨著學習的深入，很多同學因為定義多，內容抽象，興趣逐步降低，嚴重影響了教學質量.在教學中，應從本課程的特點出發， 根據學生學習情況和課時情況因材施教， 采用靈活多樣的教學方法，才能提高教師的教學質量和學生的學習效率.很多教師對課程的教材選擇、教學模式和教學方法進行了探索，提出了一些有價值的建議.

根據教學過程和課程建設中遇到的一些問題，提出了改進教學方法，提高教學質量的幾點思考和措施.

一、 激發學生的學習興趣

因為興趣是最好的老師，所以在教學中要從提高學生的興趣入手，調動學生的學習積極性.在上課時，盡量避免直接給出抽象復雜的定義，為學生簡單介紹一下相關背景及應用.具體做法有：

1.強調課程重要性

拉普拉斯說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數在實質上只是概率的問題.”但遺憾的是由于引入隨機因素會給問題帶來的巨大復雜性，許多本來是隨機的現象不得不簡化為確定性現象來處理.幸運的是，隨著科學家和工程師的不懈努力，人們計算能力的極大增強，例如普通的電腦和移動設備（如手機）都是多核的，為處理復雜問題提供了必要的硬件基礎. 還有，隨著計算機網絡飛速發展，大數據時代的到來，如何有效地處理和利用越多的信息，也提出了一系列的概率和統計問題.所以，時代呼喚我們學好這門課程.通過學習這門課程，可以為研究復雜現象，探索前人由于工具和時代限制而無法看到的精彩世界而打下必要的基礎.

2.利用數學文化提高課程趣味性

授課教師平時多閱讀相關的數學文化書籍和期刊《數學文化》，聽一些如南開大學顧沛、香港浸會大學湯濤教授的講座，積累一些相關素材.在授課過程中，講解一些有關概率統計的數學文化，可以讓同學們開闊眼界，提高認識，促進學習.例如講到泊松分布時，說一下泊松的故事.通過數學文化，對學生形成潛移默化的影響，培養學生的好奇心，培養學生為科學獻身的精神，淡化急功近利的思想，提升學生的科學素養.

3.利用身邊諺語和實際問題激發學習興趣

把一些枯燥的數學問題與生動的諺語相結合，可以為容易呆板的課堂增加一些人文氣息，提高學生的學習興趣.如用“日久見人心，路遙知馬力”說明頻率穩定性，用“常在河邊走，哪有不濕鞋”說明小概率事件當不斷重復時必然發生.

結合目前許多學生都上過網、在網上購過物的事實，講解條件概率和條件分布.如在百度搜索框中輸入“統計”二字，瀏覽器中會自動聯想許多短語，為什么？排序有什么依據？在“搜狗輸入法”中輸入漢字時會自動聯想單詞，背后的秘密是什么？很多學生都會對這些感興趣.

4.利用課外作業提高學生的興趣

由于課堂時間有限，可提出一些有意思的問題作為課外作業，如： （1）父母身高和子女身高的統計規律性是什么？怎樣由父母身高預測子女身高？（2）人的身高和鞋長有什么關系？刑偵人員如何推斷嫌疑犯身高？（3）調查一下同學的身高和體重，看看自己體重是否正常？需要減肥嗎？

二、 吃透基本概念和狠抓基本方法訓練

在教學過程中，雖然一些復雜的推理和計算可以部分省略，但課程的基本思想和概念絕不可省略，相反還要加強對概念本質的理解，否則就是“撿了芝麻丟了西瓜”.

1.吃透基本概念

教學過程中必須強調學生對基本概念的理解，弄清概念本質和來龍去脈.知道為什么引入這個概念，有什么應用和優點.如：為什么引入隨機變量、數字特征、隨機變量的函數和點估計？引入后有哪些用處？

2.加強基本技巧訓練

在吃透概念的基礎上，掌握基本技巧，扎扎實實練好基本功，才能做到熟能生巧.

三、充分利用現代教學手段

現在大多數教室中都有多媒體，這就給教師提供了使用現代教學手段教學的硬件條件，使用得當可以大大提升教學效果.

1.提高教師制作應用多媒體的技術水平

要想很好地利用現代教學工具，必須提高教師的技術水平.老師要通過自學和培訓掌握先進的課件制作水平.通過教研室課題組教師的共同努力，開發好的課件，鉆研利用新技術提高教學質量的方法.例如：利用Ctex、PPOWER4制作精美幻燈片，利用Matlab或R制作高爾頓釘板試驗、蒲豐投針試驗、泊松定理、大數定律與中心極限定理動畫演示，繪制二維正態分布的密度曲面，二維和三維直方圖，離散型隨機變量概率分布律的條形圖和連續型隨機變量的密度曲線.

2.用軟件處理復雜的計算

學生學習本課程的目的不單單是鍛煉思維能力，更多地是為學習專業課程服務，是要想利用數學技術解決復雜實際問題，而計算和圖形可視化是必不可少的一個環節.本課程中有一些問題計算比較復雜，手算不可能完成，恰好可以借此培養學生使用計算機完成計算和可視化，解決實際問題的能力.例如，在Excel或WPS中自帶的數學和統計函數可以處理課程中遇到的大多數計算，書后面的正態分布表、泊松分布表等等都可以計算出來.

“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，配合一定的相關數學實驗，鍛煉學生使用軟件的動手能力，從而達到學以致用的目的.

四、 加強與學生的交流與互動

教學只有通過師生的互動才能達到最大的效果.師生互動不能僅局限在課堂上，為提高教學質量，也可以在課外時間為學生提供指導.

1.發揮傳統方式的作用

通過定期定點答疑，為學生解決問題；通過數學文化講座，提高學習興趣和了解數學思想與應用；通過數學建模競賽，提高學生應用能力.

2.通過現代信息手段加強對學生的引導

隨著時代的進步與發展，人們獲取知識的方式與能力也大大拓展.我們要充分利用網絡，加強與學生的交流和溝通，避免學生沉溺于游戲，荒廢學業.例如：通過學院教務處的課程資源平臺、教師博客、QQ學習群、微信公共平臺、飛信等現代交流工具為學生提供學習信息，加強對學生的教育與引導.

五、結束語

這四個方面入手改進傳統教學模式， 可以使原本抽象、枯燥的數學理論變得形象生動， 減輕學生學習的困難， 激發學生的學習興趣， 進而提高教學質量.教學工作是一項復雜而艱巨的任務，還需要在長期的教學工作中不斷探索，積累經驗，逐步提高.

【參考文獻】

[1]李雙.《概率論與數理統計》教材與實踐[J].數學教育學報，2012，21（5）：84-87.

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一、“統計與概率”課程標準設計特點

小學數學中的統計和概率既有普通特點，又有其特殊性，與小學生的認識規律有關。

1. 它強調“統計與概率”過程性目標。讓學生全身心投入到統計過程中，在統計過程中發現問題，運用數據處理方法處理問題（統計圖表或統計圖形），用圖表或圖形分析數據，發現規律，從而得到結果。與同學分享，取長補短優化個人處理方法，這種處理過程是學生形成數據觀最有效的方法。

2. 它強調對統計表特征和統計量實際意義的理解，并且注意與現代信息技術結合。小學生已經開始計算機課程，計算機和計算器的普及，為統計和概率學習提供了方便。計算機可以大大提高數據整理和顯示的效果，在建立、記錄和研究信息方面，為學生提供一個良好的工具，可以使學全有充足的時間來探究統計的實質。將計算機模擬應用到學生實驗中，讓學生的實驗結果得到充分的印證。因此，復雜的數據通過工具完成，避免過多精力用到數據處理上，從而使學生更多的掌握方法和思路。

二、“統計與概率”教學中應注意的幾個原則

在小學階段，“統計與概率”的教學應注意從兒童的認知特點出發應該強調以下原則：

1. 實踐性原則。統計和概率的研究對象是生活常見的東西或事件。如學生喜愛的對象：花草樹木、水果，比較熟悉的一些動物的奔跑速度；瀕臨滅絕的物種及數學的出生年月，戴眼鏡的人數，一天的體溫變化記錄。

2. 過程性原則。一些著名的河流的長度；班級同人的身高、體重、臂長等，氣溫、雨量記在教小學階段的各個概念計的結果。在經歷收集數據、應該注重形成概念的全過程，而不是統的方法處理數據的過程中學習收集同時也培養以隨機的觀點來理解世界的觀念、處理及描述。

3. 趣味性原則。因為是在小學階段乏味的、繁瑣的數據處理，我們不能把“概率與統計”的教學變成枯燥無味，而應以有趣的方式呈現。

為了比較好地體現上面的三個原則，我們在對統計表統計量的學習時，可參照竺可楨日常生活中各種各樣的實例，在經歷收集、整理、描述、分析數據的過程中加深對有關概念的理解。另外，由他們收集或在教科書上數據信息必須與學生的日常生活相聯系，以有利于他們對數據近行分析和解釋、發表對數據信息的理解、推理和判斷。

三、“統計與概率”學習活動中的應用

1. 指導學生設計統計活動，檢驗某些預測。設計統計活動是統計知識的綜合運用，它包括設計的主題，實施的方法以及數據的整理、分析等。在指導學生進行這一活動時，要注意以下兩點：

（1）設計統計活動的主題要與學生的生活密切聯系。調查的范圍也在同一個班內，學生容易實施。在調查前，以小組為單位，先設計一個調查表，就能實施調查。在生活中這樣的實例很多，例如，調查班內某個同學上學在路上所用的時間，上學所用的交通工具，每天做家庭作業所用的時間等。教師在組織學生進行設計時，經常運用他們身邊的實例作為主題，學生就比較容易掌握統計活動的設計方法。

（2）設計統計活動應與預側相結合。預測是判斷某一事物，判斷是否精確，他與判斷中的知識和掌握的數據有密切關系。學生預測能力的提升，對于以后的學習有著重要的作用。為了達到提高學生預測能力的目的，教學中需要設計統計活動，先進行預測，再統計論證。以生活中常見的白色污染（塑料袋）調查為例，在學生調查活動開始之前，先預判一下調查結果，然后再公布調查數據，從而驗證調查結果。預測結果出來后，讓學生分析預測對于錯的原因，從而得到預測應該注意的幾個問題。

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為了落實“統計與概率”的兩大核心目標，教學時我們應關注以下兩個方面。

一、關注過程性

統計教學中最主要的目的是培養學生的統計觀念。一種觀念的建立，光靠講解是不行的，需要經歷大量的實踐活動。要讓學生具有數據意識，就得讓他經歷數據統計的過程。同時，《數學課程標準》中對統計學習的定位為“讓學生經歷統計的過程”，即經歷“提出問題——收集數據——整理、描述數據——分析數據”的過程，最后做出相應的決策?，F行蘇教版教材中都是通過創設問題情境讓學生經歷這樣一個過程，因此，教師在教學中要重視讓學生經歷統計的全過程。

例如，一年級下冊統計一課，它的特點是事件尚未發生、數量沒有確定，或是事件中的信息沒有固定的呈現規律。因此，必須到事件發生、發展的過程中收集信息，經過整理才能獲得需要的數據。下面，就以一位教師執教的第一個片斷為例，談談這位教師對統計全過程的落實情況。

課始，教師設計了一個小動物做巧克力的問題情境——小動物們分別做正方形、圓形、三角形的巧克力，并提問：“每種形狀的巧克力各做了多少個？”要解決這個問題，就需要進行統計。為了突出本節課統計的特點，在收集、整理信息這個環節中，教師采用了聽錄音動態呈現信息的方式，目的是把學生帶進隨機事件的情境中。第一次聽完錄音后，全班沒有學生能準確地記住各種形狀的巧克力的個數。通過組織討論，學生認識到必須邊聽邊記，不及時記錄就不能保證得到準確的數據，使學生對收集信息有了初步的認識。那么，怎樣記錄呢？教師又安排了一次小組討論，于是在第二次聽錄音時出現了三種最常見的記錄方法：有人邊聽邊畫，即聽到一個圖形的名稱就把這個圖形畫出來；有人把三種圖形分開記錄，即最上面一行畫正方形，中間一行畫三角形，下面一行畫圓形；還有人設計了一個簡單的表格，把三種圖形分類記錄，而且使用了簡單的符號記錄，如畫“√”或“丨”。接著教師組織學生交流、展示自己的記錄方法，并評價和學習他人的方法。教師引導學生從清楚和方便兩個方面進行比較、評價，使學生認同了先分類再用符號記錄的方法。然后教師安排了第三次聽錄音，學生不約而同地選擇了第三種方法。在這一過程中，教師讓學生充分體驗了收集信息的全過程，突出了記錄方法的教學。接下來，根據整理的信息解決課始提出的問題“每種形狀的巧克力各做了多少個”。在學生回答的過程中，教師呈現一張統計表，讓學生認識到描述數據的簡單方式——統計表。最后，根據統計表，教師通過問題“你還能知道什么”，引導學生對數據進行了簡要的分析。在這個教學片斷中，教師讓學生經歷了統計的全過程，使學生明白了統計的步驟，掌握了處理數據的方法，體會到統計的價值。

二、重視知識性

在一些關于統計的研討課和隨堂課中，教師都能盡量地讓學生體驗和經歷統計的全過程，但從中我們也發現部分教師似乎顧此失彼，即關注了學生經歷統計的過程，卻忽視了統計的基礎知識與方法的教學。如某教師課始就精心創設了統計一個班級學生歷次成績的情境，意在引導學生認識折線統計圖。教師在這一環節中花了很多時間，但到了認識折線統計圖時草草收場，導致描點、讀數及與條形統計圖的區別等知識點都沒有得到很好的落實。

現在的統計教學，不是淡化統計方法的教學，相反，這是統計教學中的重點。無論何時，讓學生掌握收集數據、整理數據、描述數據、分析數據的方法都是十分必要的，應該在教學中扎扎實實地落實。例如，收集數據的方法，包括數據的記錄方法等，像上述三聽錄音的課例中教師就注重數據的收集與記錄方法的教學；數據的呈現方式，包括不同統計圖表結構、特點和圖表中數據的表達形式、數據的閱讀理解等。此外，還有“可能性”內容中對可能性大小的求法，及以可能性大小為基礎的游戲規則公平性的判斷等。在教學中，教師不能只滿足于操作過程，要同時關注學生統計觀念的形成、統計知識的積累、統計能力的培養等。

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下面我們就2008年各省市的概率與統計部分試題的設置及考查的要點加以評述。

概率與統計部分的題目除幾個特殊的地區，如江蘇、寧夏、海南、上海為填空題外，其余地區對這部分內容的考查大部分放在了解答題部分。從這些題目的設置看位置相對靠前一些，按規律屬于得分題目，考查的知識點不外乎是求某一事件發生的概率P，隨機變量ξ的分布列及數學期望Eξ，偶爾也會考查到方差Dξ的問題。

有些概率的題目會結合現代科技問題或是現實生活常見問題，考生只要透過現象抓本質，那么每一道題都在掌控之中，下面以2008年全國卷（一）的第20題為例“現題說法”。

已知五種動物中有一種患有某種疾病，需要通過化驗血液來確定患病的動物，血液的化驗結果呈陽性的即為患病動物，呈陰性的即沒有患病，下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到確定患病動物為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混合在一起化驗，若結果呈陽性則表明患病動物為這3之中的1只，然后逐個化驗，直到能確定患病動物為止；若結果呈陰性，則在另外2只中任取一只化驗。

（I）求依方案甲所需化驗次數不少于依方案乙所需化驗次數的概率；

（II）ξ為依方案乙所需化驗次數，求ξ的期望。

此題看似復雜，又是化驗又是陰性陽性，還有甲乙方案，實際仔細分析就會發現并不是很困難。由題意分析知：依甲方案可能需化驗1次、2次、3次、4次，而依方案乙所需化驗次數為2次或3次。任取3只混合化驗為1次，若呈陽性則需再化驗1次或2次的結果，故此時共需化驗2次或3次；若成陰性，則需再化驗1次可的結果，此時共需化驗2次。分析出這些，題目就很明了了。

在第（I）問中方案甲所需化驗次數不少于方案乙的情況包括大于和等于兩種情況，而從它的反面考慮就是方案甲所需化驗次數少于方案乙，從而求出概率。第（II）中所問的ξ的期望先要求出它的分布列，然后根據數學期望的（II）ξ的可能取值為2、3。

即ξ的分布列為

如果再增加一問，那么考查的內容就齊了。比如增加求的方差。

到這我們就把高考中概率與統計的設計題目題型都涉及了，而從分析的過程看題目不難，屬于中檔題，題目的做法大致不再累述。