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關鍵詞： 離散數學，教學方法，教學手段

【中圖分類號】O158-4

On the Teaching "Discrete Mathematics" in

Chenxue Gang Zhou Jiquan

（North China Electric Power University Mathematics， Beijing， 102206， China）

Abstract： In order to stimulate students' enthusiasm for learning， develop their thinking skills and ability， according to the characteristics of Discrete Mathematics Instruction， author of Teaching experience， discrete mathematics teaching were studied. This paper presents some of the reform of teaching methods and means， in the actual teaching has played a certain role in enhancing the quality of teaching.

Keywords： discrete mathematics， teaching methods， teaching means

《離散數學》是計算機科學中重要的基礎理論課程之一，它不僅是許多計算機專業課的必備基礎，而且對培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力有著重要的作用.然而采用以往的教學方法，教學效果往往不夠理想.一方面，離散數學知識的分散性令許多學生感到無從下手.另一方面，在傳統的離散數學教學中，往往采用“純數學”教學方法，學生不能很好地體會離散數學對計算機科學的重要意義，所以學習積極性不高.因此，通過教學方法和手段的改革來激發和增強學生的學習興趣，從而培養學生的創新思維和綜合能力，是離散數學教學中非常迫切的需求.本文結合作者近年來從事離散數學課程教學的經驗，從教學內容、教學方法、教學手段等方面進行了一些初步探討.

1精選教學內容

《離散數學》教學內容主要包括數理邏輯、集合論、代數結構及圖論等幾大分支.各分支均有悠久歷史.如果這幾部分的內容都要詳細講授，時間上來不及，所以在在教學過程中對講授內容的選擇應當有所側重.比如簡單介紹集合論的理論基礎，重點是如何利用集臺論的方法解決實際應用問題.在二元關系這部分，重點是二元關系的幾個與性質相關問題的論證方法的訓練.在數理邏輯上通過將一般命題公式和一階邏輯公式化成范式，達到強化訓練學生邏輯演算能力.圖論部分重點放在基本概念的理解和實際問題的處理上，通過對相關定理及其證明思路的理解來體會圖論的研究方法.代數系統這部分內容重點放在群論上，尤其要在代數系統、群、子群、循環群、變換群、正規子群的概念及相關問題的理解上下功夫.

2 教學方法探討

2.1 增加討論課

老師首先選定討論的課題，學生分組準備查詢相關的文獻，并形成自己觀點.在討論課上大家共同交流探討，從而加深對這門課程的認識.最后各小組完成論文的書寫.該方法不僅可以提高學生對離散數學重要性的認識，還可以提高學生互相協作的能力以及書寫論文的能力.

2.2 增加趣味性，激發學生的學習興趣.

“興趣是 最好的老師”，只有激發起學生的學習興趣，他們才有真正自主學習的欲望.在教學過程中，根據具體的知識點，介紹它的發展史或者引入趣味問題，增加了學生學習離散數學的興趣，拓寬了學生們的知識面，提高了學生對離散數學課程學習的積極性與主動性.

2.3 注重歸納與小結

離散數學的內容雖然多且散，但通過歸納和小結，可以用一條主線貫穿始終.離散數學討論的內容主要包含系統中涉及到的靜態（基本概念）與動態（運算、操作、推理）.如集合論中是元素（靜態）及其上的運算（動態）；代數系統中是集合（靜態）及運算（動態）；數理邏輯中是公式（靜態）和推理（動態）.通過歸納與小結，學生能夠理清頭緒，提高學習效率.

3 教學手段改革

3.1 教學網站建設

信息技術對提高教學質量具有重要的影響，必須予以高度重視.為了提高教學質量，我們建設了一個教學支撐網站，一方面大力推進信息技術在教學中的實際運用，促進教學手段和教學方法現代化；另一方面以此提高教與學的效率.

3.2 重視學生作業，定時測驗

離散數學的知識不經過學生的獨立思考和多做練習是無法牢固掌握的，因此一定要給學生留一定數量的課后習題.但大部分學生不可能把課本上的習題全部做完，教師也不可能完全批閱.這就要求教師布置作業要選其精華，選題必須要有一定的深度和廣度，要覆蓋所學的內容，盡量選有啟發性質的習題.對于學生的作業，要認真仔細批改，將作業中暴露出來的普遍問題，要進行課堂講評.通過講評作業，幫助學生澄清模糊和錯誤的認識.

3.3 新的考核方式

傳統的考核方法就是試卷考試，考察學生的基本知識和基本技能，以及解難題的能力.我們嘗試做了一些考核方法的改革，把原來的試卷考試和平時的考核兩部分，改成了三部分成績的統一， 即添加了一個新的內容：寫離散數學的論文.把它的評定結果作為成績的一個重要部分.所寫論文必須要求觀點明確、主題鮮明和論述嚴謹，并且具有一定的創新.

4 結束語

總之，要把離散數學這一門課教好，教師就要不斷研究新的教學方法和手段，認真掌握教學規律，借助于現代化教學手段，提倡“啟發”式教學.教師只要具有扎實的理論功底，并具有對學生高度負責的精神，就一定能夠達到良好的教學效果.

參考文獻：

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[3]翁梅，劉倩，馮志慧等.“離散數學”課程教學實踐與探索[J].計算機教育，2004（12）：62―63.

[4]鐘敏，時念云.改革課程實驗提高離散數學教學質量 [J].計算機教育，2008，18.

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【關鍵詞】離散數學；教學內容；教學方法；教學手段

1.引言

離散數學是現代數學的重要分支，是計算機科學與技術專業的重要基礎課，主要研究離散結構和離散數量的關系。隨著計算機科學技術的迅猛發展，離散數學越來越重要，其基本理論在計算機理論研究以及計算機軟件、硬件開發的各個領域都有廣泛的應用[1]。

離散數學的授課內容主要分為“數理邏輯”，“集合論”，“代數結構”、“圖論”，“組合分析”以及“形式語言與自動機”等幾大分支，課程概念較多，定義及定理比較抽象，理論性較強[2]。在教學過程中，如果只從數學方面講授定義定理，學生理解起來比較困難，容易對本課程的學習失去興趣。因此，設計精彩的教學內容，改進教學方法，探討教學手段，以提高學生學習的主動性和積極性，具有重要的意義 。

2.精選教學內容 改變教學觀念

2.1 精選教學內容

離散數學是計算機科學與技術本科專業的一門基礎課，眾多本科高校均開設此課程，其教材也非常豐富。因此，需要教師在符合學校自身辦學方略和培養目標的基礎上，精選教學內容。筆者工作單位上海電機學院是一所具有技術應用型本科內涵實質和行業大學屬性特征的全日制普通本科院校，辦學方略注重“技術立校，應用為本”，因此從學校學生培養方案和學校特色出發，對本課程的教學不能照搬研究型大學的授課方式和教學內容。應該從學生的自身素質以及課程應用性的角度出發精選授課內容，培養學生對課程內容的實際應用能力，讓學生從枯燥的數學概念中走出來，達到學以致用的目的。

2.2 改變教學觀念

在離散數學課程的教學過程中，如果采取傳統的教師講授，學生課堂聽課的方式，學生普遍覺得內容枯燥，提不起學習興趣。因此教師應在傳統課堂教學方法的基礎上，注重學生的發展和參與，應“以教師為主導，以學生為主體”，在授課過程中從教師為主體變為以學生為主體，在教學過程中設置問題情境，啟發學生主動思考，激發學生學習興趣。

如在講授圖論中最短路徑的Dijkstra算法時，如果只是教師講授算法，學生理解起來比較困難，對算法的具體應用也無法熟練掌握。教師在授課中可結合計算機網絡實例，從實際問題出發，讓學生根據實際案例探索算法，發表自己的觀點，主動的參與到學習過程中。教師在這個過程從講臺走入到學生中間，與學生交流，引導學生對知識從淺到深的分析和理解，并控制學生探討時間，最后帶動學生歸納總結，讓學生作為主體參與在課堂教學過程中，培養學生掌握完整的知識體系。

3.改進教學方法，研究教學手段

在教學過程中，運用好的教學方法和教學手段，可以激發學生學習離散數學的興趣，提高授課質量，幫助學生系統性的掌握所學知識并加以運用。

3.1 注重課程引入

離散數學的定義比較多，學生在學習過程中經常覺得課程的概念非常多，很難掌握并很容易忘記。這就需要教師在講授定義和定理時，注重知識引入的過程，啟發學生學習興趣并留下深刻的印象。如在講授命題符號化時，如果直接給出命題符號化的定義，學生不知道這個定義在實際問題如何應用。在講解過程中，可首先給出一些大家在日常生活中常見的語句，讓學生判斷語句真假，往往會引起學生的興趣，在此之后引導學生思考如何將這些語句用數學方式描述，進而給出命題符號化的概念。通過這樣的引入，學生對定義的理解會比較透徹，可以做到知其然并知其所以然。

教師還可以在課堂最后，提出趣味性的問題，讓學生課下思考，作為下一堂課的引入。如在講解歐拉圖的概念之前，可畫一幅圖讓學生思考是否可以一筆畫成，學生會非常踴躍的回答并在課下做出思考，這樣在下節課講授時，學生會非常感興趣，促進了學生對知識的渴求和理解。

3.2 課堂討論分析

在離散數學教學過程中，如果教師在講臺上一味的講解，學生聽課時很容易覺得枯燥和疲勞。在授課過程中，教師可以圍繞授課內容，提出一些問題進行討論，帶動學生思考。同時，鼓勵學生在課堂上提出問題，教師可以安排學生之間互相討論。如在講授謂詞邏輯中的推理理論時，可以舉實際生活中趣味推理的例子，讓學生理解知識如何運用，并讓學生思考自己在平時遇到的推理問題是否可以用課上的知識解決。通過這樣的啟發討論，學生對知識的學習興趣很高并可以做到舉一反三，透徹掌握知識內容。

3.3 加強實驗教學

離散數學的基本理論在計算機領域內有著廣泛應用，因此在授課過程中應避免單一的理論教學，逐步加強實驗教學，將離散數學的理論與計算機實踐及其他課程有機結合[3]。如在講授最優樹的Huffman算法時，可以開展實驗課，在講授算法原理的同時，將學生帶入實驗機房，讓學生自己設計算法流程圖，并編寫程序，通過上機的方式掌握算法的本質。通過實驗教學，學生可將所學理論應用于實際案例中，加深對知識的理解，還可以提高學生的學習興趣和編程能力，并掌握所學內容與其他相關計算機知識的聯系，培養了學生綜合運用知識的能力。

3.4 注重類比歸納總結

離散數學的概念較多，內容抽象，學生難以理解，但是很多內容之間則存在一定的聯系，教師可通過類比歸納的方式，幫助學生理解。如數理邏輯中，謂詞邏輯的推理理論和命題邏輯的推理理論，在理解上有一定的聯系，因此在講授謂詞邏輯的過程中，可以與命題邏輯的推理論相比較，分析異同。再如圖論中的歐拉圖和哈密爾頓圖的定義，可以用類比的方法，讓學生直觀理解二者的含義和區別[4]。同時，教師可以在授課過程中適時的歸納總結。比如學完數理邏輯后，可以對數理邏輯的兩章內容進行歸納，提取出知識主線，加強學生對知識由淺入深的掌握。

3.5 多媒體輔助教學

在離散數學的教學過程中，可以靈活的采取多媒體輔助教學。教師可根據教學內容的不同增加趣味性的背景知識，通過圖像、聲音和動畫，使學生直觀的接受新內容。采用多媒體輔助教學，不是意味著教師用PPT把授課的內容逐行展示，這樣和傳統的板書教學差別不大。教師應該將傳統的教學方式與多媒體教學相結合，如“圖論部分”，在講授歐拉圖，哈密爾頓圖，最小生成樹等內容時，可將重要內容用Flas的形式進行動態展示，在做動畫的過程中從學生的角度出發，靈活的加入聲音、圖像，吸引學生興趣，這樣學生可以很容易的理解算法，增加了學習的直觀性。

4.總結

作為計算機專業重要的基礎課，離散數學廣泛應用于計算機的各個領域。因此，提高教學質量，改進教學手段，探討教學方法，成為教師在授課過程中一直不斷探索的課題。本文根據筆者的教學經驗，從教學內容、教學觀念、教學方法和教學手段幾個方面進行了探討。在今后的課程教學中，我們還需不斷創新教學方法，使離散數學課程的教學質量和效果進一步提高。

參考文獻：

[1] 耿素云，屈婉玲，張立昂. 離散數學[M]. 第四版. 北京：清華大學出版社，2008.

[2] 左孝凌，李為鑑， 劉永才. 離散數學[M]. 上海： 上海科學技術文獻出版社，1982.

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[4] 趙青杉，孟國艷. 關于離散數學教學改革的思考[J]. 忻州師范學院學報，2005（5）：65-68.

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《離散數學》是研究離散結構和離散數量關系的數學分支的統稱。它是計算機專業基礎理論的核心課程，也是培養學生素質的核心課程，在計算機硬件和軟件系統的設計和開發中有著廣泛的應用和指導作用。在計算機科學中，離散數學有兩個主要用途：一是描述計算機科學理論、方法和技術的主要工具，為理論計算機科學提供堅實的基礎；二是為形式描述技術奠定數學基礎，而形式描述技術則是描述和驗證計算機系統的數學表示方法。因此，學好《離散數學》對計算機后續專業課程的學習有著舉足輕重的作用。

然而，離散數學存在概念多、理論性強、抽象程度高等特點，現有的教學現狀并不令人感到滿意，不少學生錯誤地認為離散數學對計算機學科沒有直接的指導作用和應用領域，學習積極性不高，對這門課程產生厭學情緒。因此，為了激發學生的學習積極性，讓學生深刻體會到離散數學在計算機科學中的密切關系，本文將結合多年的教學實踐，對《離散數學》課程教學中應用結構化教學、趣味性教學和應用型教學相結合的多元教學方法進行研究探討，以期待取得更好的教學效果，提高課程的整體教學質量。

一、結構化教學

由于離散數學理論性強、概念抽象、定理繁多，在教學中應該注意引導學生層層遞進地將分散的知識形成清晰完整的知識結構，在學習每塊知識的時候可以適當采用結構化的教學方法。結構化教學方法首先要求教師從宏觀的角度弄清整部教材的重點、難點以及各部分之間的聯系。其次，要求教師明確知識的來龍去脈，在弄清各知識模塊和知識點間聯系的基礎上，抓住主要的、本質的東西，靜態(組成成分)和動態(運算、操作、推理)相結合地組織教學內容。最后，結構化教學方法能把教學內容及知識間的關系用“結構圖”展示出來，以突出其基本結構，確保學生能學到主要的且富有連動性的基礎知識。

例如，在命題邏輯“范式”這節，主合取范式和主吸取范式的求解過程是比較復雜的一個過程，涉及的概念多，有文字、簡單析取式和簡單合取式、極大項和極小項等。另外，合取范式并不一定是主合取范式，析取范式也并不一定是主析取范式，對于一個命題邏輯公式，它的合取范式和析取范式的形式可以是不唯一的，而主合取范式和主析取范式是唯一的。在實際教學中，在開始介紹這節前，可概括給出“范式”節知識結構圖（如圖1），讓學生明白這么多概念之間的一個關系，以及最終要求解得到主合取范式和主析取范式是圖1中從左到右的動態求解過程。

圖1“范式”節知識結構圖

二、趣味性教學

子曰：知之者不如好之者，好之者不如樂之者。在教學過程中應注重學生學習興趣的培養，充分調動學生的積極性，發揮學生的主觀能動性。結合離散數學知識在計算機專業中的應用，對《離散數學》中的一些知識點富于歷史趣味的故事或啟發性的問題加以介紹。例如，在介紹圖論的幾種特殊圖的時候，特殊圖包括了二部圖、歐拉圖、哈密頓圖和平面圖四種，教師可以相對應引入介紹任務分配問題、中國郵路問題、貨郎擔問題和地圖著色問題（如圖2）。每個問題的介紹不必全面和深入，而是側重講解它們的趣味性和啟發性。結合這些經典的故事和應用，立即調動了學生的學習興趣和積極性。

圖2“圖論”中“幾種特殊的圖”

三、應用型教學

在離散數學教學過程中，根據不同的知識點，給學生分析和講解《離散數學》在計算機科學中的重要作用。離散數學的應用型教學是提高離散數學教學質量的重要手段，也是離散數學教學質量不可缺少的組成部分。建立完善的課程重要知識點案例體系，設計與開發一個課程案例展示系統（如圖3），具體包括每個典型概念和理論的原理、例子、程序展示以及算法分析，然后在課堂運用此展示系統，從提高實際應用能力和課程興趣度的角度對學生展開教學。在講解理論的同時，注重其實際應用案例的分析與計算機算法的描述，通過把“基礎實驗、提高實驗和綜合實驗”這三個層次的案例、課外研究課題等納入課程教學內容，優化課內、強化課外，努力提高學生的綜合能力。同時強調學生主動查閱文獻、閱讀大量與課程教學內容相關的參考資料，以培養學生掌握學科最新發展動態和開拓知識的能力。

圖3課程實踐案例展示系統

社會對大學畢業生的需求是全面的、復合的，是理論和實踐的統一，是思維能力和動手能力的融合，是應用能力訓練與創新活動的融合，只注重學習理論已經無法適應社會要求。這種融實踐訓練與創新活動于一體的教學活動為學生提供了自由發揮的空間，讓學生成為活動的主體，可以提高學生學習自主性與積極性，消除學生對離散數學的消極性，發揮學生的創造性，培養創新能力。在學習離散數學的同時，又加強和提高學生的c和c++語言編程基礎，鞏固c和c++的編程能力，同時又為后繼專業課程的學習打下良好的基礎。

四、結束語

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【關鍵詞】離散數學；計算機科學；信息科學

隨著計算機科學和信息科學的高速發展，大量與數學相關的實際問題往往需要首先轉化成離散數學的問題，再由計算機處理解決。離散數學不僅是數學中涉及面非常廣的課程，而且是計算機科學與技術專業的一門重要的專業基礎課程，它對計算機的發展，計算機科學的研究起著重要的作用。但在實際教學中，由于該課程本身的抽象性和理論性的特點，使得該課程的教學任務尤為艱巨。

下面就離散數學的特點，結合自己教學中的實際對該課程的教學談幾點體會。

一、充分認識離散數學的重要性

離散數學作為有力的數學工具，它和計算機科學中的數據結構、操作系統、算法分析、邏輯設計、容錯診斷、機器定理證明等課程聯系緊密。隨著計算機學科發展的深入，研究與開發的起點在不斷提高。因此，無論學生今后從事理論研究，還是應用開發或者是技術管理工作，都應該打下堅實的理論基礎，以適應學科迅速發展和知識更新的需要。離散數學教學除了教給學生離散數學知識以外，更重要的是要通過嚴格的訓練，逐步實現學生思維方式的數學化。計算機學科的發展近年來與離散數學的主要內容如數理邏輯、抽象代數和圖論等有非常緊密的聯系。數理邏輯與抽象代數的研究思想和方法在計算機科學的許多研究領域得到廣泛應用，解決了大量的計算機科學問題。數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、程序理論和數據庫理論等研究中有著重要的應用。抽象代數是關于運算或計算規則的學問。在計算機科學中，代數方法被廣泛應用于許多分支學科，如可計算性與計算復雜性、形式語言與自動機、密碼學、網絡與通信理論等等，集合論和圖論在計算機科學中也有著廣泛的應用，他們為數據結構和數據表示理論奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度如何加以解決提供了進行抽象和描述的一些重要方法。因此，學好離散數學對計算機后續專業課程的學習具有舉足輕重的意義。

因此在教學過程中，教師必須讓學生充分認清該課程對于計算機知識學習的重要意義，并逐步在以后的學習中不斷體會。這樣才能引起學生的重視。

二、重視基礎知識的教學和基本方法的訓練

在日常教學中，基于離散數學嚴密的邏輯性和高度的抽象性的特點，書中概念抽象、定理繁多，學生大多感到畏懼，在學習過程中往往不求甚解。許多學生學到后面，前面的概念、定理往往都不記得了，或者前面的基礎知識沒有理解導致后面不能貫通。這就要求教師在教學中重視基礎知識的教學，對一些最基本的概念和方法，采取反復強調、反復演示證明等手段，加深學生的印象。如在推理證明命題中，注意引導學生分析已知條件，明確求證目標，探索證題步驟的基本方法，讓學生從中體會證明的基本思路，同時強調證明過程中的一些基本概念和定理。

許多看似復雜的問題，只要逐步掌握基本概念和基本方法，循序漸進、日積月累，解題思路就會日漸開闊，學生的信心也會不斷增強，最終這些問題都會迎刃而解。

三、注重思維方法的傳授，提高學生的抽象思維能力

在離散數學的教學中經常會出現歸納、對比、抽象、概括等思維方法。教師在傳授基礎知識的同時也要注意向學生傳授這些思維方法。如在集合論中，歸納法就是一種特殊到一般的方法。在代數結構中，我們先給出了一般的代數結構的概念和性質，這時教師要注意引導學生和把這個一般的概念和以前學過的不同數集中的運算進行對比，讓學生認識這種抽象的思維方法。接著又講了群、環、域等特殊代數結構的概念和性質，這是一種特殊到一般的思維方法。又如在圖論中，教師可舉出一些將實際問題通過歸納抽象后轉變為圖論解決的例子，不斷提高學生的抽象思維能力。

四、理論聯系實際，多應用計算機中的與離散數學相關的實例

在離散數學的教學中，由于其本身的抽象性，面對大量的符號表示和符號運算， 許多學生感到抽象難懂。上課時，在講清楚各種基本概念、定理、定理證明 、正反例、計算方法等基本內容之外，教師可根據具體的教學內容，盡可能多的舉出計算機中與之相關的實例，并能隨時介紹所學知識的應用背景或發展方向，使學生在應用中加深對知識的記憶和理解。

如在學習圖論時我們可以舉出下面計算機中的例子：

圖論中的連通性在計算機中的應用：

又如在學習圖論中的連通性時我們可以舉出圖論在計算機中的應用的例子：

解：首先畫出其資源分配圖（如上圖），從圖中我們根據強連通性的判定條件：任意一對結點之間均相互可達，可知此圖為強連通圖，則容易得出該過程中有死鎖發生。這樣，就將連通性這個知識點與操作系統聯系起來了，有的學生還可再深入誘導其在計算機上實現這一判斷過程。

換個角度，如果將“進程”改為“函數間的調用關系”，將“資源”改為“函數”，則可利用強連通性來判斷函數間的遞歸調用關系，這對于大型程序的編寫具有很好的優化作用。

當我們將數學知識與日常生活和計算機專業知識相結合來進行教學時，不但增加了離散數學的趣味性，而且鞏固復習了學生的專業基礎知識。同時使學生直接感到學好離散數學對其它課程學習的重要意義。

五、實施趣味性教學，充分調動學生的積極性

興趣是最好的老師，回歸生活化的數學教學是生機盎然、妙趣橫生的。數學學科本身并不缺乏趣味性，離散數學也不例外。數學教師要用睿智的頭腦和敏銳的眼睛去發現和運用適當的方法向學生展示數學的魅力，使學生感受到數學的趣味性，從而熱愛數學并對數學產生興趣，然后學好數學。

由于離散數學的研究對象及方法與普通數學有較大差異，學生們普遍感到枯燥，抽象難懂。為了使學生們更多的了解這門課的實質和思維方式，教師在教學中可以講一些有關離散數學的數學史，可穿插一些有趣味的、典型或具有歷史淵源的問題的分析、解答，讓學生充分領略數學的思維之美，激發學生的興趣。比如，在講集合論時，可就“鴿舍原理”、“容斥原理”提出問題讓大家討論；在講關系時可以隨時舉出很多日常生活中有趣的關系引發學生的興趣；在講圖論時可以介紹與圖論有關的數學家的事跡，從歷史上著名的數學難題“哥尼斯堡七橋問題”引入；還有典型的“郵路問題”、“四色問題”等。

總之，在教學中教師要注意多渠道地調動學生的積極性。這就要求教師花費較多的時間去悉心鉆研、認真備課，這樣學生才能堅持通過不斷的努力，變被動為主動，學好這門課程。

參考文獻：

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[3]費文龍，呂紅.提高“離散數學”課程教學質量的探索[J].計算機教育，2008（24）：140-142.

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關鍵詞：離散數學；考核方法；改革嘗試

離散數學是現代數學的一個重要分支，近幾十年來，在計算機科學的推動下，它已成為計算機基礎理論的核心課程，是整個計算機學科教學體系中十分重要的環節。因此，也被稱為是“計算機數學”。離散數學的內容十分廣泛，凡是以離散量為研究對象的數學，均是離散數學。這門課程的內容繁雜，覆蓋面廣，教學時數又不太多，而且，概念多，理論性強，高度抽象。所以，如何使學生能真正學好這門課，并能學以致用，不斷提高創新能力，就成為《離散數學》教學中應該研究和探討的問題。尤其是對普通本科(工科)的離散數學教學更是如此。這也是我國21世紀應用型普通本科高校離散數學課程改革的研討內容

根據應用型普通本科(工科)的培養目標和計劃學時數，我們的離散數學課程不可能像重點大學那樣要求。但是，離散數學又是計算機專業的重要基礎課，所以，還必須要給學生打下堅實的基礎，同時，還要在離散數學的教學中培養學生的學習能力、創新能力。因此，就必須要研究如何在課時不多的情況下，充分發揮教師的教學能力，充分調動學生學習的主觀能動性，做好離散數學的教學。

北華大學在這方面做了一些探討和專項研究，經過幾年來的實踐，探索了一條比較適合應用型普通本科(工科)的離散數學的教學路子，并收到了較好的教學效果，離散數學課程被評為校級優秀課。

一、《離散數學》考核方法的改革嘗試

本校在計算機專業和信息專業都開設了《離散數學》課程。在課時有限的情況下，基于要充分調動學生學習的主觀能動性，變被動學習為主動學習，真正學好這門課，并培養學生的學習能力、應用能力和創新能力的想法，從2002屆起，在信息專業結合教學，對《離散數學》課程的考核方法做了改革嘗試，具體內容如下：

(一)針對課程特點，改進教學方法

考核方法的改革，須要做好教法上的改革。21世紀的學生更實際、更理性，他們對知識的掌握和渴求更有時代的鮮明特點，他們不單是為了學習而學習，更是為將來能更好地適應社會的發展而學習。而傳統的數學課講法是按照數學的體系來講，數學的嚴謹性和公理化體系已經成為數學教師的習慣。從定義到定理，再基本計算和基本技巧的訓練，使得學生們感覺數學枯燥、難學，不利于調動學生學習的興趣和積極性，為此，我們做了教法上的改革。

1　緊密聯系實際，調動學生學習的積極性。《離散數學》的基本概念、基本理論和基本方法大量地應用在數字電路、編譯原理、數據結構、操作系統、數據庫系統、算法的分析與設計、人工智能、計算機網絡等計算機專業課程中；同時，《離散數學》課程本身對提高學生的概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力、應用能力和創新能力等，也是十分有益的。所以，我們在教學中，一直注意提高學生對這門課程的認識，把不斷樹立學生對這門課程重要性的認識作為一個教學主線來抓。并且，在教學中隨時聯系具體內容，介紹在專業課中的相關應用。例如，圖論中的平面圖、樹的研究對集成電路的布線、網絡線路的鋪設、網絡信息流量的分析有極大的使用價值。利用布爾代數研究開關電路從而建立起一門完整的數字邏輯的理論，對計算機的邏輯設計起了很大的作用。我們的習題就有和學生專業課中相同的習題。在離散數學的教學中適當穿插一些其在計算機學科和信息學科中的一些小應用，就使學生產生了很大的興趣和對離散數學課程的重視。有的學生甚至說：把離散數學都當成是專業課了。從而，在教學中，能不斷地調動學生的學習積極性，讓學生變被動學習為主動學習，充分發揮學生的主觀能動性。

2　離散數學的教學也是數學思想的教學。離散數學充分體現了近代數學思想，也是近代數學思想的產物。離散數學的教學，除了要教給學生離散數學知識外，更重要的是要通過訓練，逐步實現學生思維方式的數字化。

我們在進行離散數學的教學中，反復結合實例，介紹離散數學的思想，訓練學生看到實際問題能想到如何進行數字化。例如，關系的概念，就是非常簡單非常典型的數字化的方法。整個離散數學處處體現著數字化的思想。只要我們在教學中不斷注意啟發提醒學生，自然就能讓學生在這樣的反復揭示中，逐漸實現思維方式的數字化。

3　改善教與學的方法，提高學生知識類化的能力。由于離散數學概念多，概念抽象，而且是多門課程的組合，知識點繁雜。所以，在教學中，我們就注意使用知識類化的方法，使知識經驗在應用過程中達到舉一反三、觸類旁通的效果。而教與學方法的改進，有利于知識的類化。為了使學生在解決問題時能更多地利用已經獲得的知識、技能和方法對學習新知識的影響，教師應該使學生已有的知識與典型事例之間形成一定的“連結”，通過聯想和對比，使學生將新知識、新概念，納入到有意義的聯想認識里，能夠把新觀念思想。原理在有秩序的體系中加以整理，以促進知識的積累和鞏固。例如，在集合中，笛卡爾積是一個基本概念，A×B={(a，b)/a∈A，b∈B}，在關系概念中的關系是一個有序偶的集合，它是A×B的一個子集。在圖論中有向圖的邊，等等，這些都是與笛卡爾積相連的概念。注意在教學中把相關的概念不斷地相連結，就能使繁雜的內容形成有關聯的聯想，使知識形成一個統一的整體，把知識學活。

(二)離散數學考核方法的改革

傳統的考核方法就是試卷考試，考察學生的基本知識和基本技能，以及解難題的能力。我們在有些班級嘗試做了一些考核方法的改革，把原來的試卷考試和平時的考核兩部分，改成了三部分成績的統一，即添加了一個新的內容：寫離散數學的論文。把這個成績的評定結果作為平時成績的一個大部分。對離散數學考察課的班級，后來在成績的比重中所占的比例更大些，甚至達到過50％。

離散數學的論文要求是：題目由老師給個大的范圍，讓學生在這個范圍里選擇要寫的題目，字數3000字左右。要求有摘要、關鍵詞，觀點明確，主題鮮明，論述嚴謹。我們出的論文，都是一個具體的小問題，并不是很難，目的就是要訓練學生自己去研究去創新。

開始的時候，學生叫苦連天，說不會寫論文。我們給學生作了一些論文的寫作指導，在課程陸續講完的過程中，我們是逐步把論文題目給出來的。由學生們自己來抽選題目，給了學生比較充分的時間。

經過老師的鼓勵和學生們的努力，并且因為和成績相聯，所以，交上來的論文大多數基本符合要求，有的寫得還比較好。學生們說：寫這個論文要看很多書，要比平時學習課程內容投入的精力還要大，對所寫內容的理解上也深入了許多，尤其是在查閱資料上，知道了很多教科書上沒介紹的內容。而且，還感到了創造的快樂，不論是從能力上還是知識上都是很有收獲的。自從2002級以來，我們連續幾年在信息專業做了這樣的離散數學課程考核方法的改革嘗試，收到了比較好的效果。

二、結語

篇6

中圖分類號：G642

摘要：針對離散數學多采用一次終結性閉卷考試評價方式的不足，結合離散數學的課程特點，文章提出過程性評價的具體方案，即采用階段性考試、討論課、課堂表現、自主學習等多種形式相結合的方法，對學生的學習做出綜合評價。

關鍵詞：過程性評價；討論課；積極性；自主學習

0 引言

離散數學是計算機專業必備的數學基礎課程，對培養學生的抽象概括能力、邏輯思維能力和歸納構造能力有著舉足輕重的作用。因此，理解和掌握好該課程的內容對于學生在計算機學科及相關領域的良好發展起著至關重要的作用。而這門課程具有概念多、理論性強、高度抽象等特點，如何提高離散數學的教學水平和教學質量，是一個值得研究和探討的重要問題。筆者將結合教學實踐，對該課程的評價方式進行探討。

1 離散數學課程的教學評價現狀

離散數學課程通常采用的評價方式是一次終結性閉卷考試。這種評價方式的缺點是容易導致學生平時松、考前忙、考后忘、用時慌的情況，導致我們不能很好地實現開設該課程的目標；而且它制約了學生個性的發展和創新能力的提高，不利于培養有學習能力、實踐能力和創新能力的學生；再者，期末一次終結性的考試無法及時反饋教師的教學效果及學生的學習效果，不利于師生進行交流，不利于在教學過程中對教學和學習方法做出及時的調整，容易造成教與學的脫節。筆者針對上述種種弊端，結合離散數學本身的特征和當前的教學狀況，對離散數學課程的教學評價體系進行了改革探索和嘗試，在教學實踐中采用了過程性的評價方式。

2 過程性評價的教改實踐

過程性評價是在課程實施的過程中對學生的學習進行評價的一種考評方式。過程性評價采取目標與過程并重的價值取向，對學習的動機、效果、過程以及與學習密切相關的非智力因素進行全面評價。筆者所在的教研團隊在近幾年的教學實踐中，改變了過去對離散數學課程采用一次終結性考試這種單一量化評價方法的狀況，探索促進學生發展的多種評價方式，嘗試建立多元多次常態化的知識和能力的過程性考核評價體系。我們的過程性評價具體實踐方案包括平時作業、階段性測驗、課堂表現、討論課以及通過QQ群、Blackboard教學平臺自主學習的多元化評價內容。下面就各項較有特色的評價內容，結合我們的實際做一些分析和探討。

2.1 階段性測驗

縱觀中外多種離散數學教材，不論是耿素云、屈婉玲、張立昂編著的已被國內多所高校選作教材的經典中文教材《離散數學》，還是在國際上廣泛使用、在同類教材中具有相當權威性的、Susanna S.E編寫的Discrete Mathematicswith Applications，教材內容大致相似，都包括數理邏輯、集合論、代數系統和圖論4個相對獨立的方面。鑒于離散數學課程內容的這一組成特點，我們對上述4部分內容按授課進度分階段進行測驗，以此取代期末的一次終結性考試。也就是說，總共進行4次相對獨立的單元測試，測試內容分別涉及數理邏輯、集合論、代數系統和圖論，每次測試選取4-5道凝練各部分核心內容的題目。然后根據授課時間的長短分配各次測試成績所占的比重。具體來說，離散數學是每周3個學時，共計54個學時的課程，上述4部分內容的課時分配及各階段測驗成績所占比重如表1所示。實踐表明，這種形成性評價的做法能及時反饋學生的學習質量和結果，幫助學生調整學習狀態，并且有利于教師及時矯正學生獲得的課程評價。

2.2 課堂表現

課堂表現主要包括學生的課堂參與以及課堂學習狀態。在課堂教學過程中，學生是學習的主體，學生理解教學內容的最佳方法就是參與。我們把課堂參與這一隨機評價列入過程性評價體系當中，主要目的是提高學生的課堂參與水平，創建一個積極的、師生相互支持的學習環境。一方面我們針對課程內容精心設計了不同層次、富有啟發性的問題，來檢查學生課前預習、課堂學習以及課后復習的效果，進而挖掘學生的潛能、培養學生的智力。比如，先讓學生參與到蘇格拉底三段論、哥尼斯堡七橋問題、迷宮問題、地圖染色問題等這類實際問題的解決中，再引出相應的理論，對于培養學生的抽象概括能力很有幫助。用一個個具體的例子引導學生構造出鴿籠原理、握手原理等數學原理，能夠培養學生的歸納構造能力。另一方面，為了量化課堂表現的評價，我們在學期初就讓學生自由組合成7～8人的小組，每次上課時都請學生以小組為單位集中入座，小組每一個成員輪流記錄本組成員回答教師問題、向教師提問或者主動闡明自己觀點的情況，并給這些表現評分。同時，教師通過語言表揚、眼神鼓勵以及記錄等方式隨機對學生進行評價，及時給學生肯定和鼓勵。教師還會不定期查閱各小組記錄，對沒有參與或者參與不多的學生給予更多關注，主動向他們提問，鼓勵、引導他們參與到課堂教學中。課堂表現的最終評價以學生之間的互評為基礎，教師再進行適當調整。實踐證明，這些做法可以激發學生的學習熱情，提高他們參與的程度和學習的積極性。

2.3 討論課

討論課是指教師把一些疑難問題、熱點問題或者與實際緊密結合的問題布置給學生，指導學生搜集、查閱、篩選相關資料，組織學生們進行探討，以期達到消化吸收所學的理論知識、增強實踐技能的一種知識獲取方法。這種方法能夠給學生留出自由想象的空間，讓他們有發表個人見解的機會，對于提高學生學習的興趣、培養思維能力、體現學生在學習中的主體地位大有裨益。離散數學是一門在計算機科學中有著廣泛應用背景的數學課程。把討論課納入該課程的評價中能夠反映出一次終結性評價容易忽視的方面，而這些方面的內容對于學生的發展往往十分重要，比如：口頭表達能力、團隊合作能力、從實際情境中抽象出數學知識的能力以及應用數學理論知識解決實際問題的能力。

如何在離散數學課程中設置討論課以及如何對學生在討論課的表現進行評價呢？可以從離散數學課程的4部分內容出發，設定相應的討論議題供授課教師根據課時安排和學生興趣來選擇。在講授數理邏輯時，選取福爾摩斯推理偵探小說中的例子作為討論議題，讓學生把故事中的關鍵事件用形式邏輯符號表示出來，并要求他們利用所學的推理原則做出有效推理，得出正確結論，使學生體會到學以致用的快樂。再如，集合論中對無窮數的理解是一個難點，也可以把它作為討論的議題，讓學生們搜集不同的資料、舉出恰當的例子來解釋可數無窮的涵義，這樣可以幫助學生理解抽象的數學概念。學習代數系統時，我們引入密碼學中的公鑰密碼系統（特別是RSA公鑰密碼系統）或者當今熱門的云結構來討論，可以開闊學生的視野，讓他們了解到當今科技的發展動態。至于圖論，這部分內容因其有極廣泛的應用，這些各種各樣的應用實例都可以適時的選為學生理論聯系實際的討論話題，比如：城市道路的設計模型、全國大型物流集散地的選定等。在選定討論課議題之后，分小組進行，學生在各個小組組長的帶領和組織下完成討論課課下各環節，包括查閱、采集和篩選資料，選定演講人員和內容，制作演講稿等準備環節。課堂上，各小組可根據實際情況選派一名或多名成員上講臺演講，向全體學生和教師講述小組討論的成果。期間，學生和教師都可以提問，并請演講者或者演講者所在的小組成員作答。討論課的評價由兩部分組成：一是組長根據本小組成員在整個討論課活動中的表現，特別是課前準備中所作的貢獻給每人評分，并且附上評分的依據和理由，這主要考核個人課外的學習情況；二是由各組組長和教師對每個小組在演講和問答環節中的表現做出評分。討論課最終的評價是以小組的總體得分為基準，結合組長給成員的評分對每一位學生評分。

2.4 自主學習

我們重視鼓勵學生自主學習，為學生自主學習的順利開展提供了多種渠道。每次開學初，我們都將制作更新好的離散數學教學大綱、教學進度表和電子教案公布在學校的Blackboard網絡教學平臺，學生可以隨時下載，很方便地進行預習和復習。通過該平臺我們制作了各種有特色的模塊來記錄學生自主學習的過程和結果，其中包括模擬測試、學習博客以及討論區等。同時我們為選課學生建立QQ群，學生們有任何問題都可以在QQ群上討論。這樣既方便師生交流，也方便學生與學生交流，形成一個很好的交流渠道。平時教師也可以接收學生反饋的意見，及時對教學進行調整和改進。對自主學習的考核與評價，我們主要是借助Blackboard網絡教學平臺自帶的統計功能來實現的。Blackboard網絡教學平臺可以直接提供每位學生參加模擬測試的次數及成績，也可以記錄學生參與討論的次數。我們按每次有效測驗或每次參與討論計1分、滿分10分的方式給出自主學習這部分的評價。以上這些渠道和方式，可將學生引導到深層次的學習方向上來，讓他們有意識地進行學習，樹立正確的學習動機，自發地探尋適合自己的學習策略，從而有利于真正提高學習的質量和效果。

離散數學的過程性評價由平時作業、課堂表現、討論課、階段性測驗、自主學習多個部分有機組成，相輔相成。平時作業能夠使學生及時復習課堂講授的內容，幫助學生加深理解課堂內容；課堂表現能夠考查學生對學習內容的理解程度；在當今科技整合的時代，討論課能夠指引學生找到學習新知識的方法，培養他們的團隊合作精神，這對于計算機學科及相關領域的從業人員來說非常重要；階段性測驗能夠促進學生及時總結學習成果，幫助他們檢測學習效果；自主學習倡導學生利用多元化的渠道進行學習。最終我們結合課程的特點和開設課程的目標，按表2所示的過程性評價成績構成來構建整個過程的量化評價。

3 過程性評價方案實施的效果

在離散數學課程中，實施上述過程性評價方案，以此來取代一次終結性閉卷考試的做法，是筆者近年來在深圳大學進行的一項教學改革實驗，目前已取得了一定的成效。每學期授課結束后學校要組織學生對任課教師進行測評，測評內容包括教師的教學態度、教學內容、教學方法、教學效果等方面，各項內容的測評成績均以95分為最高分封頂。這項工作是在學生知道成績之前完成的，并且教師在評定學生最終成績之后才能查詢測評分數，所以測評結果與學生成績是相對獨立的，能夠真實地反映出學生對教學質量的認可程度。表3所示為過程性評價實施前后、學生對同一位教師講授離散數學課程的教學測評比較。

從表2中學生給出的測評可以看出，采用過程性評價的離散數學課程在深圳大學全校課程的相對排名從63.64%的中游水平上升到17.09%的前列，說明采用的過程性評價方案及其實施得到了學生們的肯定。

另一方面，我們對過程性評價方案實施前后學生的測試成績進行了對比分析，從學生的成績分布中可以看出，過程性評價對提高學生學習積極性、改善學習效果都有積極作用。表4所示為同一位教師在過程性評價實施前后、其教授的知識儲備相似的學生在難度相當的離散數學測試題中取得的成績分布比較。

從表4所示成績分布可以看出過程性評價實施后學生的測試成績得到了普遍提高，取得85分及以上成績的學生人數大幅增加，這說明采用的過程性評價方案及其實施有利于提高學生成績、改善教學效果。

綜上所述，過程性評價方案實施后，不論是學生對教師的評價還是學生自身的學習成績，都有了顯著的提升，說明了對離散數學課程實施過程性評價的方案，在實際教學中確實受到了學生的歡迎，取得了良好的教學改革效果。

4 結語

在離散數學課程中采用過程性評價能夠更為全面地評價學生的整體學習情況，我們根據學生在學習過程中的表現去判斷學生的學習狀況，而學習過程中的評價又反過來影響學生的學習狀態。學生參與評價，不僅增進了師生之間的關系，而且使得學生能夠換角度去思考學習問題。有效地提高了學生的學習積極性和主動性。

當然，在實踐中我們也體會到過程性評價有它的局限性。過程性評價自始至終貫穿于教與學的全過程，評價工作細小瑣碎，這容易使個別學生不堪其煩，也給教師增添了許多負擔。如何提高評價的技術、簡化評價的工具，使其在實際中高效可行仍需要進一步探索和努力。

參考文獻：

[1]高凌飚.關于過程性評價的思考[J].課程·教材·教法，2004（10）：15-19.

篇7

離散數學本質上是一門數學課程，是學生數學知識結構和數學素質的重要組成部分。數學這門學科體系雖然很龐大，但大致可分為連續型、離散型和隨機型這三大類。在大多數的理工科專業的課程設計中，數學類課程通常包括：高等數學、線性代數、離散數學、概率論與數理統計等。高等數學能提供處理連續型的數學問題需要的數學工具；線性代數與離散數學則提供處理離散型數學問題的數學工具；而概率與統計則提供處理隨機型數學問題的數學工具。

正如徐潔磐在文中指出的：作為計算機學科工具，離散建模是離散數學區別高等數學的根本之處，也是離散數學與計算機緊密關聯之處，也是使離散數學成為計算機專業核心課程的原因之一。從學生角度看，離散數學具有抽象、概念多、知識點零散等特點，在學習中容易遇到困難，極大地影響了他們學習的積極性。本文探討離散數學中的數學本質，目的是理順這些概念和知識點的關系，進而達到解決學生學習困難的目的。

離散數學的內容主要包括數理邏輯、集合論、代數結構和圖論四部分，其中集合論部分起著承前啟后的作用。數理邏輯和集合論這兩部分內容如果能處理得好，對整個課程的教學就會起到至關重要的作用。已有部分研究論文對數理邏輯和集合論的教學進行研討，本文就數理邏輯與集合論的教學內容進行深入分析，弄清它們的數學本質和相互聯系，理清教學思路。教學實踐表明，這些教學分析能使教師在講授過程中教學內容主線清晰、教學目標明確，進而有效提高教學質量和學生的數學素質。

一、數理邏輯部分的數學本質

其一，命題邏本文由收集整理輯部分的數學本質是邏輯數學化。

在教學過程中，在引入命題邏輯的教學之前，可以讓學生比較“人”與“計算機”各自的長處。大部分學生都能得出這樣的結論：人長于“智能”而計算機長于“計算”。那么，要讓計算機增長“智能”，主要方向就是把“智能”計算化：把通過“智能”思考的問題轉化為通過計算進行判定的問題。而智能的基礎是邏輯推理，于是“智能”計算化首先就是要邏輯數學化。因此，數理邏輯是計算機的“人工智能”重要的基礎之一。

離散數學中命題邏輯這部分內容的數學本質是邏輯數學化，或者具體地說是邏輯代數化。代數方法的基本要素是對象和運算，代數化的基本過程模式是：符號化（對象）、運算、運算律、演算、標準型、應用。這種思想方法只要提醒學生回顧在中學學過的代數內容就能很快接受。再看命題邏輯這部分的教學內容，基本就是按照這樣的模式展開的：命題符號化（對象）、邏輯運算（聯結詞）、運算律（基本等值式）、等值演算、標準型（范式）、應用（解判定問題、證明等值式、實際應用、推理理論等）。因而，命題邏輯這部分內容的知識點并不零散，貫穿著代數化這條主線。

教學實踐表明，通過邏輯代數化這個主線串聯命題邏輯這部分主要內容，教學目標清晰，能得到很好的教學效果；同時學生還能從中學習領會代數化的思想方法，提高了他們的數學素質和應用數學解決實際問題的能力。

在命題邏輯的教學過程中，除了強調代數化的思想方法，還必須強調“標準型”（范式）是這部分的核心內容。一方面范式是等值演算的終極目標，另一方面范式是介于命題公式和真值表之間的橋梁，因此有著極高的理論與應用價值。

其二，謂詞邏輯部分的數學本質是引入變量與函數的思想。

從數學本質上看，謂詞邏輯就是把變量與函數的思想引入邏輯。在這樣的視覺下，那些基本概念就變得很清晰：個體變項是變量、謂詞是函數、個體域是定義域、屬性謂詞是一元函數、關系謂詞是多元函數...。然后再一次進行代數化過程：符號化（謂詞）、運算（聯結詞）、運算律（主要增加了量詞等值式）、等值演算、標準型（前束范式）、應用（判定問題、證明等值式、實際應用、謂詞邏輯推理理論等）。

當然，謂詞邏輯內容遠比命題邏輯深刻和復雜，在本科的離散數學中，這部分內容只能算是謂詞邏輯的基礎了。

二、集合論部分的數學本質

通常離散數學中集合論部分也包含兩章：集合論基本概念、二元關系與函數。由于中學階段已經有集合論的簡單內容，所以這部分內容學生并不會覺得陌生。

集合論是整個數學的基石，幾乎所有的數學概念都能用集合論語言表達，數學在集合論基礎上形成了一個獨立的科學體系。實際上從集合和二元關系這部分內容基本上也可以看出數學這個科學體系的構建過程。

首先集合論這章內容也是一個代數化的過程：對象（集合）、運算（集合運算）、運算律（集合恒等式）、演算、應用（計數、證明恒等式、實際應用等）。這里缺少了一塊標準型，實際上集合的演算也是可以有標準型的，只是這里的標準型沒有邏輯演算的范式那么重要而已。從內容與結構都可以看出，集合論與命題邏輯這兩部分內容有很大的相似性，這會在后文進行探討。

有了集合這個基本語言，就可定義二元關系。接著是關系的運算與運算性質（這部分又是代數化方法）。然后是三種特殊的關系：等價關系、偏序關系與函數。等價關系的意義在于“分類”，這既是數學的基本思想方法之一，也是數據挖掘的常見任務；而偏序關系的意義在于“排序”，這是計算機算法中最基本的研究對象。

有了函數的定義，分析學可以就此展開；而用函數定義二元運算后，于是代數學的基礎有了。有了分析學、代數學，數學這個科學體系的基本框架也就基本搭建好了。

集合論是數學之本。從集合到關系、再到函數與運算，構建了數學學科基礎。這就是集合論這部分的數學本質。弄清楚這些，教師就能做到胸中有“數”、總攬全局。而給學生介紹這些數學本質，學生也能初步了解這部分內容的結構、意義和價值，對這部分內容的學習和掌握是有很大幫助的。而且經過這兩個部分的學習，學生逐步熟悉和掌握代數的思想和方法，對后續抽象代數部分的學習在心理上和知識上都有了一定的準備。

三、數理邏輯與集合論基本內容的內在聯系

前文提到，命題邏輯和集合論這兩部分內容有很大的相似性。具體地說，這兩部分的運算與運算律具有很強的對應關系。比如，邏輯運算{？劭，∧，∨}與集合運算{～，∩，∪}之間的一一對應關系。大多數教師都能認識這點并在教學中加以利用。例如，在講授邏輯運算的運算律時提醒學生注意觀察邏輯運算的運算律與集合運算的運算律之間的對應關系，這有助于學生理解并掌握邏輯運算的運算律。有的離散數學的教材也把集合論這部分內容放在數理邏輯之前，這樣做雖然破壞了邏輯-集合-代數這樣的連貫性，但從學生有初步認知的集合論開始，然后再利用集合論與命題邏輯在內容上的相似性輔助邏輯部分的教學，也是有其可取之處的。

實際上，用命題邏輯的工具可以推導出集合運算及其一些運算律：給定集合a和b，假設全集是e。對于任意給定的元素x∈e，用p表示命題“x∈a”，q表示命題x∈b，則命題公式？劭p表示的命題是“x∈～a”、p∧q表示“x∈∩a”、p∨q表示“x∈a∪b”。這就是邏輯運算與集合運算的對應與轉換關系。進一步地，永真式（重言式）1表示x∈e、永假式（矛盾式）0表示“x∈φ”，那么從命題邏輯的一些基本等值式就能直接推導出集合論中的一些基本恒等式（如結合律、交換律、分配律、德·摩根律等）。

當然，要更深入地探討集合論的恒等式和邏輯運算的等值式之間的關系，需要用到謂詞邏輯工具，不過這已超出了教學研究范疇，因此本文不在此進一步展開闡述，有興趣的讀者可自行探究。

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關鍵詞：離散數學；計算機科學；應用研究

1.離散數學在計算機數據結構中的應用

計算機科學中，計算機問題的解決往往需要借助數據機構的幫助，從而建立嚴格的數字模型。數據結構在計算機科學中發揮著重要的作用，它使計算機科學的數據模型得以建立，明確操作對象，并對操作對象進行分析，構建數字語言與計算機語言的契合點。計算機科學中，計算機數據結構主要分為樹形結構、網狀結構、現行結構以及圖狀結構，不同的結構有不同的數據結構形式，發揮著不同的作用。離散數學在計算機數據結構中的應用，能夠為計算機處理員工績效報酬以及相關事項提供有效幫助。

2.離散數學在計算機數據庫中的應用

計算機數據庫技術是進行數據處理和存儲的重要技術，在社會生產生活的多個領域都有著廣泛的應用。計算機數據庫技術是計算機科學中的一項重要技術。離散數學在計算機數據庫中的應用，主要是通過笛卡爾積這一重要理論有效地幫助數據庫的建立。另外，離散數學中的理論也應用于數據庫中的表結構設計以及域間關系，使數據庫能夠更加完善，能夠在應用中具備更高的使用價值，提升數據庫的整體質量。

3.離散數學在人工智能中的應用

人工智能的實現需要依賴于數學理論和數學推理，從而使人工智能能夠通過邏輯推理產生作用。離散數學的邏輯推理在人工智能中的應用較為廣泛，使人工智能能夠實現正常的運行傳導。離散數學在人工智能中的應用，體現為一種數學的分析過程和處理過程。離散數學中的布爾代數理論是一種數學邏輯語言，能夠幫助人工智能實現邏輯的設計，幫助人工智能建立邏輯運轉體系，促進人工智能實現智能化。

4.離散數學在計算機體系結構中的應用

在計算機的體系結構中，為了確保整體體系的結構性與有效性，需要進行科學的指令吸引設計，并對指令吸引設計進行內容的改進和完善。指令吸引設計能夠通過操作碼以及地址碼來操作地址信息和相關的信息，實現指令的格式化。離散數學在計算機體系結構中的應用，應用了哈夫曼壓縮概念進行問題的解決。哈夫曼壓縮概念是對數學概率的加工利用，當事件發生的概率較低時，哈夫曼概念使用較長的位數進行相應的處理，當事件發生的概率較大時，哈夫曼概念則使用較短的位數進行相應處理。在應用中，哈夫曼算法能夠建立哈夫曼樹，從而使哈夫曼樹發揮作用，對系統指令中的數據頻度進行統計和分析，并進行適當的排列。另外，排列頻度結點通過的序列則構成了哈夫曼編碼，哈夫曼編碼能夠與指令編碼相結合，最后達到使用目的。

5.離散數學在計算機科學中應用的發展趨勢

在未來的發展過程中，計算機科學的硬件基礎將會逐漸得到進步，離散數學的數學理論知識也將在計算機科學中得到更為廣泛的應用，促進計算機科學實現更快更好的發展。離散數學的邏輯推理在計算機科學中的應用幫助著計算機的軟件設計。離散數學的關聯詞概念則能夠在計算機科學內用于二進制數據的運算。另外，離散數學在計算機科學中的應用，也通過數學集合論概念用于數據結構以及算法分析，幫助計算機數據庫的建立和結構設計，使計算機數據庫技術能夠得到有效的進步發展。此外，離散數學中的布爾代數理論使計算機的網絡通信系統得以建立，使計算機科學的人工智能得以實現。離散數學的邏輯推理理論使人工智能能夠實現數學的分析和處理活動。離散數學在計算機科學中的應用會越來越廣泛，在計算機科學的系統建立、邏輯設計等各方面都會充分發揮作用，實現與計算機科學的良好結合。在計算機科學中，人工智能會成為設計、發展和創新的一項重要理論，支撐著計算機科學的進步發展。

離散數學以離散性的結構以及相互間的關系作為研究對象，其在計算機科學中的應用，能夠有效地指導數據庫的建立，改進和完善計算機體系結構，提高計算機的運行效率與運行質量，未來應更加注重離散數學在計算機科學中的應用。

參考文獻：

篇9

關鍵詞：離散數學；客戶體驗管理；“愛德瑪”法則；混合式教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2016）25-0121-02

Abstract： Discrete Mathematics is a core curriculum of computer specialty， but this course has too many basic conceptions to understand. Six aspects have been proposed in this paper： Computational Thinking oriented to cultivate innovative ability， grasp the first class to stimulate learning enthusiasm， introduce advanced management concept into class， and build high quality network courses to realize blended teaching， and reform test mode. Those six methods promote significantly the effect of the class at the end.

Key words： Discrete Mathematics； Customer Experience Management；AIDMA Law； Blended Teaching

離散數學是計算機科學與技術專業的核心課程。離散數學用數學語言來描述離散系統的狀態、關系和變化過程，是計算機科學與技術的形式化描述語言[1]。通過離散數學使學生掌握數理邏輯、集合論、代數結構和圖論的基本概念與基本理論，了解這些學科的發展歷史與現狀，了解這些學科與其他相關學科特別是計算機科學的關系。培養學生嚴密的抽象思維和縝密概括能力，提高學生的認識水平，為后續課程如數據結構、操作系統、編譯原理、模糊數學等專業課程的學習打好基礎。但是該課程理論性較強、概念多、原理多，不容易理解，學生學習積極性不夠，對課程內容不太感興趣，導致教學質量不夠理想。為此我們提出以下措施進行教學改革。

1 “計算思維”導向，培養創新能力

計算思維作為三大科學思維方式（計算思維、理論思維和實驗思維）之一，得到當前國際計算機界廣泛的關注，是當前計算機教育需要重點研究的課題。計算機科學不僅是計算機編程，還要像計算機科學家那樣去思維。計算思維的本質是抽象和自動化。離散數學采用抽象的數學符號系統作為知識的表現形式，注重抽象知識的綜合運用，與計算思維是高度統一的。基于計算機思維的任務驅動教學模式以學生為中心，通過完成任務來激發學生的興趣，我們采用這種教學模式，貫穿計算思維，開展教學[2]。

2 抓住關鍵第一次課，先聲奪人

首因效應是指在人們認識事物時，由于受到第一印象的影響，在形成總體印象的過程中，最初獲得的信息對認知的影響比后來獲得的信息更大。人們總是以對事物的第一印象為背景，去理解他們后來獲得的相關信息。因此第一節課非常重要，我們需要讓學生感到離散數學不是枯燥無味的，而是充滿樂趣的。第一次課我們需要向學生展示以下內容：學習離散數學的重要性、離散數學部分知識應用介紹、離散數學課程的任務和目的、離散數學的特點、離散數學的難點、離散數學的學習方法[3]。

3 問題驅動，提高學生學習積極性

問題驅動教學方法是一種以學生為主體，以問題為導向，學生分析問題尋求解決方案的一種學習方法。離散數學概念多，理論性強，學生學習主動性往往不夠，我們可以提出問題激發學生的學習興趣，結合背景知識加強理解和掌握，拓展問題分析討論并總結結果[4]。例如，在講到歐拉圖時，介紹歐拉的生平事跡，增加課堂的趣味性，提出七橋問題，提高學生分析解決問題的主動性，通過背景實例加深對歐拉圖的理解。

4 把學生當顧客，先進管理理念引入課堂

當代大學生基本是90后，這一代人渴望成才，但是缺乏腳踏實地刻苦學習的精神。“手機控”、“消息控”成為普遍現象。課堂上也完全離不開手機，嚴重影響了課堂質量。面對新時代大學生的特點，我們引入“客戶體驗管理思想”[5]和“愛德瑪”法則。我們把學生看成上帝，讓學生在課堂內外都有良好的體驗。

客戶體驗管理是戰略性地管理客戶對產品或公司全面體驗的過程，筆者借鑒琚建平提出的客戶體驗管理框架實施學生體驗管理，學生體驗管理分三部分進行：洞察學生體驗世界建立學生體驗課堂建立持續改善的回饋機制[6]。

“愛德瑪”法則即AIDMA法則，英文為“Attention（注意）――Interest（興趣）――Desire（消費欲望）――Memory（記憶）――Action（行動）”，簡稱為AIDMA。艾德瑪法則要求能夠首先做到引起注意，然后激發消費者的興趣，進一步刺激消費者的購買欲望，加強記憶，最后促成消費者的購買行為。筆者把該法則應用于課堂，首先用案例引起學生的注意，進而對章節內容產生興趣，激發學習的欲望，進而學習知識，提高能力。

5 建設優質網絡課程，實現混合式教學

混合式教學是傳統教學與網絡化教學優勢互補的一種教學模式，是網絡線上與線下的混合，通過引進面對面教學來改進網絡學習的不足[7]。但是混合式教學的建設不是一蹴而就的，混合式教學的實施必須有微課和網絡平臺的支持。網絡平臺是混合式教學所需教學材料的載體。課堂所需材料都需要在網絡平臺及時上傳，學習中的問題可在網絡平臺進行師生討論，作業可在網絡平臺及時提交批改。對學有余力的同學，我們上傳課外擴展的學習資料，滿足不同層次學生的需求。通過建設優質網絡課程，利用現代化教學手段，實現混合式教學。

6 改革考核方式，增強學生學習主動性

為引導學生從注重“考試結果”向注重“學習過程”轉變，增強學生學習的主動性，切實提高學生運用離散數學分析問題和解決問題的能力，實行考核方式改革。期末考試成績占總成績的比重降低到50%。總成績=平時成績（50分）+期末成績（50分），期末成績通過閉卷考試進行，實行考教分離，考試時間和地點由學校統一安排，參加學校期末統考，老師命題閱卷。

平時成績=考勤（10分）+課堂表現（20分）+ 網絡平臺學習（10分） + 作業（10分）

其中，（1）考勤按照出勤次數/總的上課次數計算出勤率，換成得分。（2）課堂表現分為隨堂提問與課堂討論環節。隨堂提問環節考查學生聽課認真程度，隨堂打分。課堂討論環節按小組進行，隨堂給分。（3）網絡綜合平臺學習按照網絡綜合平臺學習次數和學習時間給出相應分數。（4）作業共4次，每次2.5分。

7 結束語

離散數學是計算機科學與技術專業本科教學的重要環節。本文從計算思維導向培養創新能力、把學生當顧客先進管理思想引入課堂、建設優質網絡課程實現混合式教學和改革考核方式增強學生學習主動性。這四個方面對該課程的教學方法進行探討并進行實踐，學生學習積極性大大提高，期末總評優秀率從40%提高到60%，收到了良好的預期效果，顯著提高了教學質量。

參考文獻：

[1] 屈婉玲，王元元，傅彥，張桂蕓.“離散數學”課程教學實施方案[J].中國大學教育，2011（1）：38-41.

[2] 路美秀，王玉山，巫小蓉. “離散數學”教學中計算思維能力的培養[J].計算機教育，2013（5）：47-58.

[3] 謝志強. 講好離散數學第一次課.計算機教育[J].2011（16）：95-98.

[4] 趙青杉，宗春梅，孟國艷，鄭曉霞.基于問題驅動的離散數學課堂教學效果研究[J].沂州師范學院學報，2016，32（2）：94-96.

[5] 李偉偉，寧玉富，柳欣.客戶體驗管理在公選課教學改革中的應用[J].計算機教育，2014（24）：56-58.

篇10

關鍵詞：離散數學；工程型；教學改革

離散數學是計算機科學與技術專業的重要數學基礎，其關于對象狀態及其變換描述的形式化和離散性特征，為計算系統實現問題求解提供了強有力的基本手段。所以，其基本概念都可以在計算機的各個領域中找到。該課程對培養學生的計算機思維能力有重要意義。筆者結合軍校工程型大學的實際教學工作，探討了工程型計算機科學與技術人才培養中離散數學課程教學中的一些問題。

1課程定位

教育部高等學校計算機科學與技術教學指導委員會2009年編制的《高等學校計算機科學與技術專業核心課程教學實施方案》[1]中，將人才培養分為科學型、工程型和應用型3種，計算機專業這3種類型人才的教育將分別關注教育內容中的知識和問題求解方法的不同形態的內容，如圖1所示。

根據3種不同類型人才的專業素養與能力要求，以及其他相關專業課程的教學需要，離散數學課程的教學內容和教學要求也具有不同的定位，如表1所示。

科學型人才的培養目標要求學生具有堅實的數學基礎，較強的抽象思維、形式化描述、推理和分析能力；工程型人才培養目標要求學生具有堅實的數學基礎，能夠綜合應用相關的理論分析和解決實際問題；應用型工程型人才培養目標要求學生能夠熟練運用典型的離散模型，進行系統的建模和集成。

2教材案例

教材建設是教學改革的重要內容之一，是教學組織工作的基礎。基于上述理念與原則，作者對《離散數學》[2](高等學校計算機教育規劃教材)進行了修訂。該教材涵蓋集合論、數理邏輯、組合論、圖論、抽象代數的基礎知識，可滿足計算機科學技術工程領域(工程型)高層次人才的需求，用離散結構的理論和方法對實際系統進行描述、分析的基本數學需求。

在這個知識框架中，離散數學課程劃分為10個知識單元，分成三個層次。第一層的4個核心知識單元與工程型一樣，即集合關系與函數、基本邏輯、圖與樹、基本計數，分別包含通常離散數學中的集合論、數理邏輯、圖論、組合數學的基礎部分。第二層的兩個推薦知識單元是特殊的圖、代數結構，分別包含圖論、代數結構中的重要內容，這些知識單元之間相互比較獨立。第三層的3個可選知識單元是形式系統、高級計數、初等數論，包含了數理邏輯、組合學和初等數論中的部分內容，這些知識單元之間也是比較獨立的。從知識結構上，還需要一個關于證明技術的單元，包含離散數學中經常使用的證明方法，如數學歸納法、邏輯演算、構造性證明、反證法、歸約證明等。但在教學安排上，可以將證明技術分散到有關的知識單元中講授。

對比科學型人才培養目標，該教材包括了集合基數，但缺少一階邏輯形式系統的一致性、合理性、完備性證明，計算理論(遞歸函數、原始遞歸函數、圖靈機、圖靈可計算函數)等內容。該教材涵蓋應用型人才培養目標的全部內容包括集合、關系與函數，基本邏輯，圖與樹，特殊的圖，證明技術，基本計數，代數系統簡介，初等數論。

3學習方法

在明確課程定位以及有相應的教材支撐之后，結合實際教學，筆者從以下幾個方面對離散數學的教學方法和手段作了探討。

3.1深刻理解“數學內涵”

一個本質上簡單的學科卻難于學習。有些困難是表面的，其一是詞匯。數學家用一些對普通人很生僻的詞來表達從實際事物中抽象出來的概念。如“四邊形”和“平行四邊形”有一些在其他領域遇不到的特定的精確含義，要研究數學就得學著用。另一個看得見的，但同樣是表面的困難是使用符號。我們要解決問題，以某些給定的信息為基礎決定一個未知數。設此未知數是某一個長度為尺計的數字。用x去代表這個長度，而在以后就只用符號x而不去說這么長一句話，肯定是有利的。然而使用符號不會產生任何概念上的困難。

人們設想到的第三個困難是抽象性。但是由于基本的抽象或概念是直接來自日常經驗的，人們心中很容易保存它們的含義。事實上，數學家不斷地訴諸物理對象和物理圖像，以便不忘記這些抽象概念的含義。古希臘數學家用小石子代表各類對象，用小石子學會了自然數的基本事實。順便說一下，“計算”一詞，廣義地表示任一個算術或代數過程，它的英文Calculus的拉丁語源就是小石子。甚至更高級的數學抽象，如微積分學中所學的導數和積分，說到底離這些初等概念僅一步之隔，甚至微積分的概念也有圖像的物理的意義。要學會這些抽象概念，比學習初等概念并不要求更高的智力。

數學的完成形式是一系列概念、一系列程序，例如求解某種類型方程的方法。另外還有一系列事實，例如定理。當然，程序和定理都要通過證明來確認。要想教會人這些數學的元素，最容易的方法莫過于用這些概念、過程、定理與證明的最終的、確定的形式去教學生。但是數學是一門老學科，它的某些重大的成就可以追溯到公元前三千年。過去五千多年里，數學家極大地擴大了這個學科的領域，當他們不斷認識了新的客體和現象，當他們不斷改進自己的理解，他們也就重塑了這些概念、程序與證明，來把這些成就組合起來。這些訂正了的版本有許多就不再清晰易懂了。

此外，數學的分量在增加，最好把它組織起來，使關于同一主題的許多定理有合邏輯的次序。每一門學科的基礎是公理，后面就是一串定理，每一個定理都用公理和前面已證的定理來證明。把結果按這樣的合于邏輯的次序來安排，這種需要就要迫使數學家找出新的、不甚自然、不甚明白的證明。結果是許多證明都被除去了它們的直觀、透明和易于理解的面貌，而被十分人為的證明代替了。

表述上的有效性似乎導致忽視數學的另一個特點，而這個特點對于理解數學卻是至關重要的。數學本身是一副骨骼。數學的血肉和生命在于用數學做什么。有意義的數學要為一種目的服務，這種目的用笛卡兒的話來說，就是使人成為大自然的主人和占有者。數學的意義在于數學本身之外，正如好的文學作品的意義在于紙面上文字的堆積之外。要懂得數學，就要知道為什么需要這個結果，它和其他結果關系如何，用它可以做些什么事。

由于學校的目的和義務繁多，有時能夠，有時又不能夠給數學一種更有啟發性的講法。有志于此的學生必須要走得遠一些，尋求一種完全的知識。要對數學有較徹底的理解與領會，就必須去掉那些纖巧的細節，深入到其深層的思想之中；要知道它的目的和用處，知道創造它的人們的動機，以及這些概念和結構的創生背景。

3.2學會創造性思維

創造性的活動，對學生來說則是再創造的活動，是數學的心臟。正是在這種活動中，數學家創造了最高成就，克服了困難，并使數學這門學科取得了最有意義的進展。創造過程不僅在解決已有問題時必不可少。沒有新觀點、新研究方法和新目標的創造，數學就會反反復復重新組織老的證明，使它們更加嚴格，在這樣的過程中日趨枯竭，喪失生命力。對已經得到的知識，重新排列其步驟，安排其定理的次序來構成一個演繹的組織，這時常需要創意，但從總體上說，這更像是把書本重新排一個次序，而創造的活動，卻可以比作寫書。數學給人的滿足――獲得獵物時的興奮，發現的激動、成就的感覺以及成功時的歡樂――更多更強烈的是在創造性的工作之中，而不是在最后按演繹的模式來重寫論證之中。

數學中有許多美的篇章。無疑，數學家從事數學活動也能獲得其他創造活動提供的滿足感，但是偉大的數學家情愿把數學的美作為一種額外報償，激勵他們奮斗的最深層的動力，則是以數學為媒介，在人類的探索活動中理解宇宙，也理解人類自身在其中的角色，并且探求如何利用自然現象和自然的力量為人類服務。那些作出巨大貢獻的數學家們，像阿基米德、牛頓、拉格朗日、拉普拉斯、高斯、哈密爾頓、龐加萊，或者是一流的物理學家，或者在科學史中占據顯要地位，決不是偶然的。幾乎所有數學的目的和意義并不在于對于一堆符號作一系列的邏輯闡述，而在于這些符號必定告訴我們關于外部世界的一些知識。

4思考與建議

離散數學是計算機科學系所有專業的基礎數學課程。一方面是因為其有實用性(應用數學的特征)，另一方面是因為其有本身作為數學基礎課的理論的嚴謹性[3]。所以，學習任何一個專題時，首先要精確嚴格地掌握好概念和術語，正確理解他們的內涵和外延。因為公理、定理或定律的基石都是概念。只有正確地理解了概念，才能把握定理的實質，熟練地將公理、定理應用于解決問題。完全地、精確地掌握一個概念的好主意，是首先要深刻理解概念的內涵，然后舉一些屬于和不屬于該概念外延的正反兩方面的實例。如果對一些似是而非的例子也能辨別的話，應該說這個概念是真正地理解了。對一些重要的概念，能記住一兩個實例也很管用。這對牢固掌握一個概念是很有好處的。

讀者應養成一種自覺的學習習慣，就是首先要掌握好基本概念和術語，在此基礎上，理解每個基本定理的本質，最后，通過學習和借鑒書中提供的例題，獨立地完成每一次作業，并且在每次作業完成之后，能自覺地歸納出其中用到的基本解題方法。注意，千萬不要在完全理解相關概念和基本定理之前就匆忙去做相應的習題。

學習數學的唯一途徑是實踐。僅看別人怎么做，是不可能學會彈吉他或投籃的，也不可能僅靠閱讀本書或聽課就學好離散數學。必須積極主動地思考。在閱讀數學書時，應該在手頭隨時備好筆和紙，以便進行詳細的推導和計算。在聽數學課前，最好先閱讀有關的內容，這樣，就可以專注于對內容的理解是否與教授的理解相一致，還可以就一些難點提問。本書中有很多習題，有些是純粹的計算題，有些測試對概念的理解，有些要求給出論證，建議讀者多做習題。

學習和理解術語也很重要。在數學中，傳統的做法是對一些簡單、常見的詞匯賦予特殊的含義，如集合、函數、關系、圖、樹、網絡。這些詞都有嚴格的定義，必須認真學習。否則就不能理解在書中讀到的內容和教授所講述的課程。術語有助于有效地與別人共享信息。在現實生活中，僅僅簡單地計算出某些東西往往不夠，還必須能夠向別人解釋，使別人確信你的解是正確的。

參考文獻：

[1] 教育部高等學校計算機科學與技術教學指導委員會. 高等學校計算機科學與技術專業核心課程教學實施方案[M]. 北京:高等教育出版社,2009.

[2] 賁可榮,袁景凌,高志華. 離散數學[M]. 北京:清華大學出版社,2007.

[3] 中國計算機學會. 2008中國計算機科學技術發展報告[M]. 北京:機械工業出版社,2009.

Discussion on Contents and Learning Methods in Discrete Mathematics Course

GAO Zhihua1, BEN Kerong1, LIU Xia2

(1. Department of Computer Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China; 2. Academic Affairs, Naval

University of Engineering, Wuhan 430033, China)