一、數學直覺思維概念的界定

簡單的說，數學直覺思維是具有意識的人腦對數學對象(結構及其關系)的某種直接的領悟和洞察。

對于直覺作以下說明：

(1)直覺與直觀、直感的區別

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂‘直覺''''……，因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

(2)直覺與邏輯的關系

一、努力實踐，深入開拓，加強教師數學思維品質自我培養

在平時的解題訓練或考試之后，往往有部分學生會講“XX題好像是課本上或是老師講過的某一例題，可臨陣時卻解不出來。”究其原因，除了學生對知識掌握不牢固或記憶遺忘外，還有一個因素就是學生在解這種“似曾相識”的題目時，缺乏了那種由“似”到“是”的思維品質，“燕不歸來”，思維斷線。學習數學，思維是根本的東西，思維品質是關鍵的素質。我們也常常會聽到學生對你講：“老師，你是怎么這么厲害，我們無從下手的問題，你總能打開僵局找到思路，你是怎么想出來的？”問得好，殊不知，老師畢竟是老師，有學歷和閱歷，有資歷和智力，還有數學專業的扎實功夫，豐富的數學涵養，掌握較多的數學思想方法與解題技巧，因此教師能在學生面前游刃有余，眉頭一皺計上心來。數學教師是數學教學過程的組織者和引導者，擔負著調控教學過程的主導作用。在全新教育理念下的教學，德才兼備品格高尚的教師形象在師生互動中應是學生的楷模，數學教師應是每個學生的良師益友。精心備課，就是數學園地的精心“備耕”，努力揭示數學思維過程是實現和諧的教學結構的保證，也是形成學生數學思維品質的保障。

一般說，思維品質具有目的性、靈活性、開拓性、合理性、論證性、批判性、深刻性、獨創性等，各項思維品質的形成與發展是緊密相關、相輔相成、互相促進的，并且任何優良的思維品質都不可能自然形成，而應在教學中有意識地加予培養，只要不惜從點滴做起，堅持實踐，學生思維品質的形成和提高，則是可望且可及的。

二、善于變換，培養數學思維品質的靈活性、開闊性、深刻性。

數學思維是人腦對客觀事物現實中空間形式和數量關系的一種概括與間接的反映過程，直覺思維是數學思維的基礎與先驅，很多抽象的數學問題可借助圖像來提高思維品質的開闊性。

例1某校參加數學競賽有120名男生，80名女生。參加英語競賽有120名女生，80名男生。已知該校總有260名學生參加了競賽，其中有75名男生兩科競賽都參加了，問該校有幾名女生參加了數學競賽而沒有參加英語競賽？

【摘要】在學習高中數學時，我們要學會運用數學思維，作為現階段的高中生而言，用數學思維去思考、解決數學問題，將會收到很好的效果。我們應該在數學學習過程中培養自己自主學習的能力以及數學建模能力，使自己具備發現、分析以及解決數學問題的能力。文章分析數學建模在高中數學學習中的重要性及作用，指出數學建模過程中數學思維的應用策略，以供參考。

【關鍵詞】數學建模;數學思維;學習探討;

運用隨著社會的快速發展，知識經濟時代的到來，數學在許多方面的運用體現了其重要性。數學思維的培養，是為學習數學打基礎，同樣數學思維可以運用在其它方面來解決實際問題。我們在學習數學的過程中，大多數人只是注重了數學知識的掌握，很少有人思考數學知識點的因果關系，沒有深層次的了解知識的來龍去脈。在數學學習中對知識模型的建立，不僅需要精準的計算能力，更需要充分運用數學思維，構建數學模型，合理運用數學知識，解決數學問題。數學模型的建立，不僅能培養我們的創新能力，而且還能快速解決我們學習過程中的數學問題。現階段，作為一名高中生，學習數學不僅是為了升學考試，更重要的是要培養自己的創新思維，注重學習過程。

一、數學建模在高中數學學習中的重要性

建立數學模型為了用新思維解決實際數學問題，合理利用數學語言，搭建數學模型。數學建模的過程可以幫助我們建立立體思維，讓我們對數學有一種新的認知，不再是局限于數學計算。在對實際問題分析中，運用數學語言及方式，明確指出問題中的變量及參數，通過對問題的分析，運用數學規律，建立數學關系式，并通過計算從而得出結果。建立數學模型是將數學翻譯成普通語言，不僅在數學領域運用，數學知識的運用貫穿于很多學科領域，例如：經濟學、管理學、信息技術學等，很多領域的問題都可以數學化，通過數學方法來解決問題。作為一名高中生來說，學習數學不僅是思想觀念的轉變，更重要的是思維創新，我們要注重培養自己的數學意識，提升數學素養，學會運用數學思維，要明白數學思維能解決生活中的很多問題。

二、數學建模在高中數學學習中的作用

摘要:在時代的迅速發展中，我國的教育領域發生了很大的變化，尤其是新課改的推行，直接使得我國很多的教育科目呈現出了全新的狀態。小學數學屬于其中的重要科目之一，對于它的教學而言，需要加強對小學生獨立思考的重視。本文主要探討如何在小學數學教學中滲透獨立思考的思維習慣，以全面改善教學質量。

關鍵詞:小學數學;獨立思考;思維習慣

在新時期的小學數學教學當中，教師逐步轉變了傳統的教學觀念，不再單獨要求學生通過學生提升自身的學習成績，轉而形成了全新的學習方向，積極鼓勵學生培養各方面的數學素養，包括基礎的邏輯思維能力和深層次的圖像構思能力，而數學教學也在這樣的教學觀念轉變下形成了全新的教學方法，整體的教學效率有了很大程度上的提升。小學數學對于小學生獨立思考能力的培養有著十分重要的作用，其可以使得小學生有著獨立思考的習慣，懂得如何去切實有效地解決問題。同時，一旦出現數學方面的生活問題，學生也可以通過自身的數學知識去加以合理有效的解決。但是，在傳統的教學模式下，學生的主體性并沒有得到充分的重視，教師僅僅對學生進行基礎的數學知識傳授和講解，深層次的學習能力和思維習慣并沒有加以重點的培育，相應的教學效果較低。在這樣的狀況下，越來越多的數學教師開始嘗試探索如何在小學數學的教學過程中滲透獨立思考的思維習慣，使得學生的數學學習變得更加合理有效。

1小學數學對培養學生獨立思考思維習慣的重要性

在傳統的小學數學教學當中，所采用的教學模式是傳授式教學，在這種教學模式下，學生僅僅需要在講臺下聽教師進行授課即可，不需要過多地參與進去。雖然這樣的教學模式也有著一定的教學效率，但是其嚴重忽略了學生的主體性，并且無法切實培養學生的綜合素質。在這樣的狀況下，一些教師開始嘗試轉變當前的小學數學教學模式，積極鼓勵學生參與到教學當中去，通過教師與學生的密切合作，實現高質量的教學。學生參與到小學數學的教學當中去，并不是指學生可以對自己進行教學，而是需要他們進行自主學習，通過自己的思考去解決相應的數學問題，并形成全新的學習態度，努力去解決生活當中的數學問題。小學數學之所以要培養學生的獨立思考思維習慣，主要目的是為了幫助學生養成良好的數學學習習慣，懂得自主嘗試學習相關的數學知識，并將其合理地運用到生活當中。現階段的小學數學教材，其本身是一些基礎性的數學知識內容，這些內容可以為我們的日常生活所服務。但是在傳統的教學模式下，學生的數學思維觀念受到了很大水平上的約束，他們不知道怎么學習數學知識，而對于數學知識的運用也僅僅停留在課堂上，無法切實地運用到生活當中。而小學數學教學開展的本質是為了切實提升小學生的數學素養，包括其在日常生活中的數學問題解決能力，因而傳統的教學模式必然需要做出迅速的改善，以整體性的優化教學效率，全面提高教學質量。

2小學數學培養學生獨立思考思維習慣的主要方法

有效教學是目前實踐中存在的主要問題，也是理論界探討的很重要話題。解決問題的鑰匙應該是一題多解與一題多變，一題多解的教學能優化思維品質，推動探索創新，使知識融會貫通有利于提高學生的創造性。教學中應該精講多練，質疑辯論，師生共探。一題多變的教學有利于提高學生的創造性及運用數學知識去分析實際問題的能力，有利于激發學生的創造性及運用數學知識去解決實際問題的能力，可以是中國數學成功的典型代表之一。可從一般化、變圖、變式、變條件和題組教學入手。

1.一題多解促使思路多向，培養思維的廣闊性。一題多解訓練教學，能讓學生以問題作為思維起點，誘導學生既能順向思維又能逆向思維，逐步培養他們形成由正及反、由此及彼的逆向思維習慣。培養他們困難時自覺調整思維角度，向反方向作某種試探猜測，聯想新意會。教學中教師通過選擇典型題目，鼓勵積極思考，引導從多角度、多方法、多層次地觀察思考問題，在廣闊范圍內尋求解法，從而培養學生思維的廣闊性。

2.一題多解能暴露思維過程，培養思維的深刻性。一題多解必然促使每個學生動腦思考，從而展示發現解法的思維過程，也能使教師了解學生思維受阻的情況，利用學生典型錯誤進行正確誘導，變換策略，另辟蹊徑再達目的。教師的解釋未必是學生的想法，是把教師的思維暴露給學生，未必能解決學生思維的所有問題。一題多解促使教師想學生所想，順應學生的認識規律與基礎，有針對地點撥，使學生的思維處于積極興奮的最佳狀態，在迷惑好奇的情境中，在躍躍欲試的狀態下，激起思維波瀾，從而對問題的本質屬性及解法規律有更深刻的理解。培養學生思維的深刻性。

3.一題多解推動學生積極競爭，培養思維的敏捷性。蘇霍姆林斯基說：“要把學生從智力的惰性狀態中拯救出來，就是要使每個學生在某件事情上把自己的知識顯示出來，在智力的活動中表現出自己。”一題多解往往是綜臺，將自己的解題思路亮出，后面同學必須異于前面同學的解法。于是整個課堂氣氛活躍個個躍躍欲試，競爭激烈相互啟發，后來經過歸納總結，共提出了四大類不同解法達四十多種之多。即將三角函數的降冪公式，積化和差及和差化積公式，運用得滾瓜爛熟，對學生運用知識的能力的提高，起著不可估計的作用。長久訓練能使學生迅速直觀分析處理問題，簡縮運算環節和推理過程，即思維敏捷。

4.一題多解推動學生主動學習，培養學生思維的靈活性。傳統的數學教學沒有真正做到問題教學、思維過程教學，而是偏重于結果、標準答案、題海戰術。學生的數學思想方法沒有形成，缺乏靈活性，因而思路狹窄解法單調，對概念的本質缺乏正確的認識和深層次理解，不能做到解題思路的優化。而一題多解能抓住“精講多練”的核心，“少而精”，真正地提高教學效率，而非盲目做題。

不同的解法促動學生細心觀察，認真審題，會利用題中關系，進行分析、比較提高分析能力，使他們能夠合理選擇思維起點，培養靈活性。同時有利于辨析正誤，準確掌握概念的內涵和外延，提高數學素養。

1什么是數學思維方式

1．1數學思維方式的含義

思維是有意識的大腦對客觀事物能動的、間接的和概括的反映．［1］這種反應是一個相當復雜的過程，參與了人的態度、認知、意識、情感等因素，形成了不同的認識路徑，這種不同的認識路徑既有共性，又有差異性，反映出的就是不同的思維方式．即思維方式是人們對客觀事物中的一些現象、問題進行觀察、分析、推理、判斷、決策等過程中形成的動態的思維路徑．思維及其方式決定著一個人的思維力，這種思維力是人的素質一個表征，它反映著一個人能否有效地分析問題和解決問題．有些人善于集中思維、有些人善于發散思維，這種不同的思維方式長期使用就會成為一個人的思維定勢，進而會形成人的不同性格，不同的認知結構．思維方式的不同決定了一個人做事和處理問題的風格和行為的不同．不斷地優化與反省思維就是一個人進步的表現．一個不想思考的人是頑固者，一個不能思考的人是傻瓜，一個不敢思考的人是奴隸．［2］而善于思考，勇于探索的人才是思維的主人，才能做自己的主人，一個善于思考的民族才是富有生命力的民族，作為數學教育就是擔當培養和優化學生數學思維方式的重任．數學思維方式是人們在遇到問題時有意識地應用數學知識、思想、方法等去思考解決問題的過程中所形成的途徑，不同的人有不同的思維途徑．這種途徑通常表現為對問題的迅速的進行檢試、模式認別、知識搜集、方法探試、解決嘗試等路徑．宏觀上審視路徑發現有綜合思維方式與分析思維方式；有發散思維方式與聚合思維方式；還有正向思維方式與逆向思維方式以及再現性思維和創造性思維方式等．［3］具體審視有觀察、分析、比較、綜合、判斷、歸納、類比、反思、批判等方式，仔細剖析就是我們常說的數學方法在解決問題的過程中所具體表現出的路徑．由于數學知識、思想、方法、經驗等參與問題產生、解決的全過程，因此數學思維方式是由掌握了一定數學知識的人借助于數學思維進行的一種思維活動，這種思維活動的結構中包括邏輯、分析、觀察以及數學活動和數學經驗，參與思維的成份主要有數學符號、數學命題、數學證明、數學運算等，這些思維要素的參與具有抽象性、多角度性、技巧性等．如在解決問題的過程中，數學思維方式的一個顯著特點就是將問題數學化、進而建構數學模型、再對模型進行反思、推廣、延伸、提煉，使之具有更大的普適性，這就使數學的思維方式與其他學科的思維方式有了質的差異．也正是由于數學思維方式體現出數量化、模式化、精細化、最優化等特性，就使得數學思維方式對學生的發展具有其他學科不可替代的重要價值．

1．2數學思維方式的基本特點

數學思維方式不僅僅表現為解決問題、探尋規律的過程，而且也是人們心智訓練的重要途徑，特別對推理、記憶力、反思力、意志力的提升具有獨有的功效，主要緣于數學思維的問題、材料、過程、步驟、階段、內容等方面顯現出的思維力量．如統計思維、概率思維、確定性思維、形象思維、抽象思維等思維類型所形成的思維力量、所蘊藏的本質含義、所承載的教育價值，使得數學思維方式具有十分顯著的特點．具體地講有如下幾點：數學思維方式的目的特點：數學思維方式是目的性比較強的一種思維，對于一個具體的數學問題，人們在思考中會緊緊圍繞著問題尋求數學模式，或者創新數學模式，思維始終與目標一致、并能及時進行調適、決策、建構圖式、做出預見，朝著即定的目標邁進，這在問題解決過程中表現的最為突出．數學思維方式的過程特點：數學思維過程是一個復雜的心理活動過程，在目的性、問題性、概括性、邏輯性的導引下，參與思維的感覺、知覺、表象、概念、判斷、推理及數學知識、思想、方法等基本元素與情感要素整合，借助于分析、綜合，抽象、概括，歸類、比較，系統化和具體化處理等環節形成對問題提出、問題解決、問題反思的獨有的過程體系．數學思維方式的結構特點：數學思維不是漫無邊際的思考過程，它會形成一種思維模式，遵循一定的思維程式，形成一定的思維結構，可概述為確定目標、接受信息、加工編碼、概括抽象、操作運用、反思檢驗、獲得成功．數學思維方式的非認知特點：由于數學思維的材料是經過抽象概括出來的，具有一定的難度，需要一定的支持力量，除了數學自身的自然性、有用性、清楚性，［4］以及數學追求一種和諧和秩序，追求一種普適性和邏輯的完美性外，［5］還需要動機、興趣、情緒、情感、意志、氣質、性格參與其中，以強化解決問題的意志力．數學思維方式的方法特點：數學思維是訓練人門思維的最好工具，緣于數學自身的基本特征以及由此所形成的數學方法和策略，問題的解決具有多樣化的特點，在思考方法的過程中會碰到許多困難和障礙，需要毅志力、整合力、靈活性，如公式的變形能力、代換能力、命題的嵌套能力，外部數學信息、內部數學信息、不同分支數學信息之間的聯結能力等，使得數學思維在訓練思維方法方面具有更大的優勢．

2為什么要培養學生的數學思維方式

一,數學方法的培養

如何加強數學方法的培養,我認為應做到以下幾點:

(一)教師從思想上重視數學方法的培養.

在備課時把它與數學知識一同納入教學目的,既要注意數學知識的學習,又要注意數學方法的培養.數學知識,如概念,定理,公式,都明顯地寫在教科書上,不會被人忽視,而數學方法是無形的東西,容易被忽視.這就需要教師在備課時注意有關的數學方法,留意從知識中發掘,提煉出數學方法并明確地告訴學生,闡述方法的作用,引起學生思想上的重視.

例如在講到函數應用時,教師不能只滿足教學生解出題目結果,而應在解題中教給學生建立數學模型的方法及其目的,意義,并在整個解題過程中培養學生的分析,綜合,比較,抽象,洞察等多項能力.我們來看下面一道例題.

【例1】某人有5000元存入銀行,準備x年后才取出使用.它有兩種方式可供選用

【摘要】隨著新課改的深入，初中數學要求教師轉變傳統教學方式，不斷探索新的教學方法，培養學生的創新能力與發散思維能力．思維導圖作為一種全新的圖形工具，將抽象繁雜的理論以可視化的直觀形式進行呈現．思維導圖在數學教學中的應用，不僅有助于學生理解數學的邏輯思維，還能鍛煉學生的發散思維能力．本文主要闡述初中數學教學中思維導圖的應用，期望能為初中數學教師提供借鑒．

【關鍵詞】初中數學;教學方法;思維導圖

數學是初中階段的一門重要課程，對于提升學生的邏輯思維與推理能力具有重要意義．怎樣讓學生掌握數學知識，并發揮數學對于邏輯思維能力的提升作用，主要在于教師在授課中選擇合適的教學方法．在新課改背景下，為發揮學生的主體性，教師積極探索新的教學方法，思維導圖這一教學方法順應而生，將數學抽象思維轉化為直觀的圖示，呈現給學生，利于激發學生學習初中數學的興趣與積極性，而且對于學生思維能力的開發具有重要意義．思維導圖怎樣對初中數學教學發揮重要作用，也是本文探討的重點．

一、思維導圖的特點

思維導圖是由“世界大腦先生”東尼•博贊創于20世紀70年代，猶如大腦的神經網絡，將大腦的思維、想法完整呈現出來．思維導圖是有效的思維模式，是一種將思維形象化的方法，應用于記憶、學習、思考等的思維“地圖”工具，有助于提升人腦的發散思維能力．思維導圖工具引入到教育領域以來，在教學過程中產生了積極的影響．思維導圖在初中數學中的應用建立在教學方法與思維導圖工具結合的基礎上．運用思維導圖有助于學生建立清晰的認知結構，培養學生的思維能力，提高學生學習數學的興趣，從而提高課堂教學效率．

二、初中數學教學中思維導圖的應用

現代數學教育不僅是傳授數學知識,更重要的是培養學生的創新意識。因此,目前在數學思維活動中,人們非常注重非邏輯思維(形象思維、直覺思維、數學美感等)的培養,特別是直覺思維能力的培養,因為它具有鮮明的靈活性與創造性,常常成為提出數學新思想、創立新理論的重要前提,是數學創造的另一個重要因素。對于數學直覺的探討和培養,有助于充分發揮學生的主體作用,提高其創造力、觀察力、直覺力、想象力。

1數學直覺思維的概念

數學直覺思維就是人腦對數學及其結構關系的一種迅速的判斷與敏銳的想象,是直覺想象和直覺判斷的統一。這種想象和判斷沒有嚴格的邏輯依據,也沒有經過明顯的中間推理過程,思維者對其過程也無清晰的意識。

2直覺思維的主要特點

2.1簡約性

直覺思維是對思維對象通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷,它省去了推理的中間環節,采取“跳躍式”形式,往往出現在長久沉思后的突然“醒悟”,具有下意識性和偶然性,沒有明顯的根據和思索的步驟,而是直接把握事物的整體,洞察問題實質,跳躍式地迅速指出結論,而思維怎樣出現的過程陳述不出來。它是一瞬間的思維火花,是思維者的靈感和頓悟,是思維過程的高度簡化,但卻清晰的觸及到事物的“本質”。

摘要：中等職業教育以培養學生職業能力為核心，因此，中職生的數學思維能力培養要更多地體現專業性和職業性。本文分析提出，針對目前中職生數學思維培養存在的問題，應通過揚長避短的方式，構建四個維度的策略，即強化直觀認識，避開抽象證明；妙用信息技術和算術技巧，解決復雜運算問題；重視問題解決過程，培養數學建模思想；融入專業發展，體現數學思維的應用特性。

關鍵詞：中職生;數學思維培養;教學策略

一、中職生數學思維能力的特點

（一）數學思維能力較弱，思維深度不夠

中職生數學知識基礎相對比較薄弱，沒有形成知識體系，學習過程中不注重知識的積累和數學方法的提煉，滿足于現有結論或答案，而對結論本身未做深入的思考。部分教學活動，常因為過于強調培養知識技能，或為了應試，導致思維的淺層次、表面化。

（二）數學思維不夠活躍，邏輯性較差