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[摘要]應用混沌理論對人民幣兌美元匯率系統(tǒng)進行建模及預測。建立了兩個混沌動力學模型，即人民幣兌美元匯率的日收益序列預測模型和人民幣兌美元的日匯率序列預測模型。實證結果表明，兩個模型的預測結果都好于均值模型的預測。其中，前者的預測均方根誤差比較大，而后者的預測均方根誤差非常小,表明兩個模型中，后者更適合于人民幣兌美元匯率的預測。

[關鍵詞]匯率混沌預測

2005年7月21日,中國人民銀行宣布了改變人民幣匯率形成機制的公告，我國開始實行以市場供求為基礎、參考一籃子貨幣進行調節(jié)、有管理的浮動匯率制度。由于人民幣匯率不再盯住單一美元，因此，人民幣匯率的變動趨勢更加復雜化，匯率的波動帶來的風險也大大超過以往，而匯率的頻繁波動及由此帶來的外匯風險對于國際金融、貿易和投資都具有關鍵性的影響作用，因此，正確預測人民幣匯率的變化也變得越來越重要。

雖然人民幣匯率不再盯住單一美元，但美元仍在一籃子貨幣中占有最大的比重。因此正確預測人民幣兌美元匯率走勢將有助于我們有效的規(guī)避外匯風險。

人民幣兌美元匯率系統(tǒng)是一個具有混沌特性的系統(tǒng)。而混沌理論認為，由于混沌系統(tǒng)對初值的敏感性使得對其進行長期預測是不可能的。但是，在短期內，系統(tǒng)運動軌跡發(fā)散應較小，從而利用觀測資料進行短期預報是可行的。因此，本文應用混沌理論對人民幣兌美元匯率系統(tǒng)進行短期建模及預測的嘗試。

一、理論與方法

1.相空間重構理論

相空間重構是對匯率序列進行混沌預測研究的基礎，通過相空間重構可以找出隱藏在混沌吸引子中的演化規(guī)律，使序列數(shù)據(jù)能夠納入某種可描述的框架之下。

相空間重構是由Packard和Takens提出的，其目的是在高維相空間中恢復混沌吸引子。系統(tǒng)任一分量的演化是由與之相互作用的其它分量所決定的。因此，這些相關分量的信息就隱含在任一分量的發(fā)展過程中。這樣，就可以從某一分量的一批時間序列中提取和恢復系統(tǒng)原來的規(guī)律，這種規(guī)律是高維空間下的一種軌跡。Packard等建議用原始系統(tǒng)中的某變量的延遲坐標來重構相空間，Takens則證明可以找到一個合適的嵌入維，即如果延遲坐標的維數(shù)是動力系統(tǒng)的維數(shù)，在這個嵌入維空間里可以把有規(guī)律的軌跡（吸引子）恢復出來。其原理可表示如下：

假設時間序列為，如果能適當選定嵌入維數(shù)和時間延遲，則可得到：

（1）

（1）式即為延滯時間重構的相空間，在微分同胚意義下，它保持原系統(tǒng)的幾何結構、拓撲結構，并與其有等同的動力學特性。根據(jù)Takens定理，只要重建的相空間維數(shù)m足夠大，就可以在拓撲等價的意義下恢復吸引子的動力學特性，從而揭示出傳統(tǒng)坐標系所無法揭示的系統(tǒng)運動規(guī)律。

2.時滯時間和嵌入維數(shù)

重構相空間的關鍵在于嵌入空間維數(shù)m和時滯時間τ的選擇，而計算嵌入空間維數(shù)m和時滯時間τ的方法并不惟一，因此首先要選擇時滯時間和嵌入維數(shù)的計算方法。

常用的求時滯時間τ的方法有自相關函數(shù)法和互信息量法。大量的數(shù)值實驗表明相空間的特征量依賴于τ的選擇。選擇合適的τ，自然要求線性獨立，即選取自相關函數(shù)的第一個零點。但是自相關函數(shù)僅僅度量了兩個變量的線性依賴性；而互信息函數(shù)卻度量了兩個變量的總體依賴性。在大量的數(shù)值實驗中發(fā)現(xiàn)，自相關函數(shù)法（對應第一個零點）的互信息量較大，從而無法對吸引子的動力學特征進行定量研究。而互信息法（對應第一個極小值）的互信息量較小，因而能夠通過重構相空間來定量和定性分析吸引子的動力學特征。所以，互信息方法在時滯時間τ的選取上要優(yōu)于自相關函數(shù)法。因此，在對匯率的預測中，選擇互信息量法確定時滯時間τ。

計算嵌入維數(shù)的常用方法有關聯(lián)維數(shù)法和虛假鄰域法等。關聯(lián)維數(shù)法是從時間序列計算吸引子的關聯(lián)維數(shù)的一種算法。而虛假鄰域法則是一種通過考察假最近鄰點數(shù)目隨相空間維數(shù)增加而發(fā)生的變化來確定嵌入維數(shù)的一種方法。這些方法的共同缺點是在選擇嵌入維數(shù)時都包含主觀參數(shù)或主觀判斷。而零階近似法[3]不依賴主觀參數(shù)，因此選擇零階近似法來確定嵌入維數(shù)。

二、人民幣兌美元匯率的建模與預測

選取2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元的匯率序列，應用混沌理論進行建模與預測。數(shù)據(jù)來源于美國聯(lián)邦儲備銀行圣路易斯官方網(wǎng)站。

1.預測模型的確立

對2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元匯率序列的建模，分兩種情況進行，即以人民幣兌美元匯率的日收益序列為樣本進行建模，和以人民幣兌美元的日匯率序列為樣本進行建模。

由于人民幣兌美元匯率系統(tǒng)具有混沌特性，而混沌時間序列預測的基礎是相空間的重構理論，因此，首先要通過重構相空間矢量來重構相空間。

混沌時間序列可表示為,則重構的相空間矢量為

（2）

式中τ為時滯時間，由互信息量法確定；d為嵌入維數(shù)，可由零階近似法確定；,且為樣本值個數(shù)。由嵌入理論可知，存在一映射使得

（3）

當時間序列的觀察函數(shù)是光滑的且嵌入維數(shù)足夠大時，式（3）的動力學行為與重構前原混沌系統(tǒng)的動力學行為是拓撲等價的。在實際應用中,使用一標量方程來代替式（3）的矢量方程，即

（4）

式（4）就是對日收益序列和日匯率序列建立的混沌模型，根據(jù)此模型即可由預測出。

剩下的問題是如何去估計函數(shù)。假設用個樣本值去擬合函數(shù)，亦即有，這樣就可構造時滯向量，如式（2）。現(xiàn)在要預測，可采用局部線性近似法。局部線性近似法的基本思想是：將相空間軌跡的最后一點作為中心點,把離中心點最近的若干軌跡點作為相關點,然后對這些相關點作出擬合，再估計軌跡下一點的走向，最后從預測出的軌跡點的坐標中分離出所需要的預測值。其預測步驟如下:

(1)找出距最近的個向量；

(2)按照式(4)，由這個向量擬合一線性函數(shù)；

(3)的預測值

距v最近的個向量可用表示，。這樣對任意k都有，。

線性函數(shù)可按式(4)的形式進行擬合，即把每一個看成鄰域內的一個點，而看成是與相應的點，來擬合，可以用最小二乘法找到這個線性函數(shù)，使得最小。

2.預測精確性的評價

把混沌預測模型的預測精度與均值預測模型比較來評價預測的精確性。

均值預測模型指的是，預測值。是序列的均值。對這兩個預測模型用下面統(tǒng)計量來比較它們的預測精度

（5）

式中：p表示外推的數(shù)據(jù)量；為的預測值。如果RMSE＜1，則表明混沌預測模型比均值預測模型的預測效果好；如果RMSE＞l，則表明前者不如后者的效果好。

3.預測結果

(1)人民幣兌美元匯率日收益序列的預測

2005年7月22日～2008年11月7日人民幣兌美元日匯率數(shù)據(jù)，共有833個數(shù)據(jù)點，首先將其進行如下處理。

對價格序列取對數(shù)，然后再進行一階差分，可得到：

通過上述處理，將價格序列轉換成對數(shù)收益序列。對數(shù)收益序列共計832個數(shù)據(jù)點。這832個日收益數(shù)據(jù)即為實證研究的樣本。

以832個日收益數(shù)據(jù)為樣本，按照局域預測法的預測步驟建立混沌模型，然后就可以用于預測。具體的做法是，時間序列的前827個數(shù)據(jù)用于確定預測模型和優(yōu)化模型參數(shù)，后面5個數(shù)據(jù)用于實際預測。