導語：南宋農業發展對數學的作用一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

摘要：南宋時期人口的南遷為農業發展引入了先進的工具和生產經驗，朝廷的一系列利農政策以及大興水利等措施促使農業得到了迅猛發展，但不規則耕田等問題的出現促使數學發生變革以適應社會的需求。本文在搜集相關文獻的基礎上，對楊輝所著《田畝比類乘除捷法》做出剖析，論述了這一時期農業發展對數學的影響，并總結了數學發展過程中所形成的特點。

關鍵詞：南宋；農業發展；數學；田畝比類

乘除捷法楊輝，字謙光，錢塘（今浙江杭州）人，南宋著名數學家及數學教育家。約在13世紀中葉至后半葉活動于蘇、杭一帶。其一生著作頗豐，共撰有數學著作5部21卷，即《詳解九章算法》12卷、《日用算法》2卷、《乘除通變本末》3卷、《田畝比類乘除捷法》2卷、《續古摘奇算法》2卷［1］(P57)。此前，學界對楊輝算書中所蘊含的數學思想這一問題的研究已取得了顯著成果，但在農業對數學發展的促進作用這一問題上，卻關注甚少。目前搜集到的相關研究論文只有呂變庭的《楊輝算書與南宋社會經濟諸關系初探》以及《試論〈楊輝算法〉與南宋經濟領域中的幾個計量數學問題》等少數文章涉及到了對該問題的研究，但是這些文章也只是從經濟史的角度對楊輝算法進行了論述。而在這些成果之中，對有關農業發展對楊輝算法在研究過程中起到的作用卻涉獵不多，甚至可以說，有關農業對于南宋時期數學發展的影響，學界重視程度仍然不高。

一、南宋時期農業發展狀況及其對數學的新要求

在正式論述南宋農業發展對數學起到的影響之前，先簡要地概述一下南宋時期農業的發展狀況。從時代背景上講，自靖康之變以后，中原地區受到金軍、元軍的先后入侵，“敵騎所在，唯務殺戮生靈，劫掠財物，驅擄婦人，焚毀舍屋產業”［2］(P661)，“敵縱兵四掠，東及沂、密，西至曹、濮、兗、鄆、南至陳、蔡、汝、潁、北至河朔，皆被其害。殺人如刈麻，臭聞數百里?；础糁g，亦蕩然矣”［3］(P67)。種種野蠻的行為使得原先生活在此地的人民被迫踏上了流亡的道路。在南方地區由于還存在著由宋高宗趙構所創建的南宋政權，眾多因飽受戰火之苦的農民便向南遷移，開始了艱苦的異地求生之路。史書中所記載的“建炎之后,江浙、湖湘、閩廣,西北流寓之人遍滿”［4］(P71)、“中原士民，扶攜南渡，不知其幾千萬人”［5］(P982)以及“高宗南渡,民之從者如歸市”［6］(P1997)便是對這一現象的生動描述。受此移民浪潮的影響，南方地區人口開始大量增加，僅江南西路和福建路的人口就分別凈增了40余萬戶和30余萬戶。這些南遷的人口在為江南地區勞動力提供了充分保障的同時，對農業技術發展也起到了推動作用。本文對史書記載的數據進行統計分析后發現，僅在主要農作物單位面積產量方面，南宋時期就比隋唐時期提高了兩到三倍。而造成這種現象的原因與這些南遷人口是密不可分的。這些南遷的人口中很大一部分是具有豐富生產經驗的農民以及受過系統教育的官員。這些人來到江南地區以后，在增加了勞動力的同時，還從中原地區帶來了先進的生產技術和生產工具。在南宋以前，盡管江南地區的農業生產已經比較發達，但相較于北方來說，無論是生產工具還是生產技術仍處于落后的狀態。像犁鏵、鐵耙、彎鋤等工具的使用，雖然在北方已經得到了普及，但在南方地區還未受到重視。伴隨著人口的大量南下，這些先進的生產工具也開始在南方地區得到了應用。除了這些先進的生產工具來到江南地區以外，南遷人口還從北方帶來了“精耕細作,深耕熟薅”等農業生產理念。正是在這些因素的共同影響下，勞動者們結合長江以南農耕地區的實際生產經驗寫出了《農書》《全芳備祖》《梅譜》等一系列具有劃時代意義的農學著作。在官方層面，南宋政權也采取了一系列積極的措施來促進農業的發展。為了安置南遷的流民，采取了“招誘農民,歸業者振貸之,蠲欠租,免耕牛稅”［7］(P1908)，“聽兩淮避兵民耕種所在閑田”［8］(P236)等措施來幫助其復業，并且為了將這些政策落實到位，還將“立殘破州縣守令勸民墾田及拋荒殿最格”［9］(P238)等政策納入到官員政績考核標準之中。此外，為了解決旱澇問題，南宋統治者還大舉興修水利設施，不僅修復了許多因戰爭而遭到破壞的水利建筑，還修建了大量新的水利設施，據統計，僅在淳熙七年（1180）江東地區就修筑了22400余所。在這些政策的影響之下，大量荒地被開墾出來，耕地面積大為增加。南宋資政殿學士知潭州魏良臣在給皇帝的奏章中寫道:“本州民間開耕荒田七十八萬余畝?！保?0］(P2120)諸如此類的奏章還有很多，這也正是對當時耕地面積大量增加的真實寫照?！疤K湖熟，天下足”這句諺語便最早出現在了南宋時期，據《元史》記載，在元朝初期，飽受戰亂的江浙行省雖然只是元代十個行省中的一個，但是在歲糧收入方面卻占了全國總收入的37.10％，江浙地區因此也成為了中國農業最為發達的地區。農業的飛速發展，也推動了南宋商業經濟的繁榮。由于生產力和生產效率的提高，農村產生了大量的剩余勞動力。再加上北宋時期頒布的《皇祐官莊客戶逃移法》在南宋時期也被很好地保留了下來，這就使得相當數量的農民可以脫離土地的束縛，進入城市。與其他朝代不同的是，兩宋時期的統治者打破了以前歷代統治者奉行的“重農抑商”觀念的束縛，確立起了“農商并重”的國策，并采取了一系列的惠商、恤商的政策措施來促進商業的發展。隨著南遷逃難人口來到江南地區的還有大量的北方商人，這些商人也從戰亂地區帶來了雄厚的資金以及靈活的生產經營手段［11］(P31)。正是在這些因素的共同影響下，以南宋都城臨安為代表的商業城市迅速地繁榮起來。經濟基礎決定上層建筑，社會經濟發展所處的狀況決定著該時期的數學發展能夠達到的層次和水平。正是隨著南宋農業的發展以及工商業的繁榮，當時的社會也開始對數學提出了新的要求。首先，在賦稅征收方面，社會開始對數學提出了新的要求。由于耕地與賦稅關系密切，丈量田畝并根據面積大小來確定賦稅的征收額度是官府稅收的主要工作。然而南宋農民在開墾土地的過程中，以水田、圩田、梯田等為代表的眾多特殊土地利用的存在雖然大大增加了耕地的面積，但也為當時的數學計算提供了新的難題。正如《田畝比類乘除捷法》上卷第十八題所載：“今有牛角田一段，角長一十六步，口闊六步，問田幾何？答曰：一百一十四步。”［12］(P185)該題所反映的正是南宋農民在開墾土地過程中，由于受環境條件的限制，其開墾出來的耕地形狀不再是規整的，而是類似于牛角一樣的形狀。羅愿在《(淳熙)新安志》卷二《敘貢賦》中也記述道：“殆十數級不能為一畝?！保?3］(P20)反映的便是山田在開墾過程中受自然條件的局限非常之大，人們只能因地制宜，開墾出來的田塊通常十分的窄小并且形狀也不規整，不再是原來的矩形、圓形等規整的圖形。這也為統治者在依據不同的田地類型以及耕地面積等條件征收田地賦稅時面臨著巨大的難題。其次，在糧食運輸過程中也存在著新的難題。由于金軍、元軍的不斷入侵，南宋統治者為了維系自己的統治便在邊境上常年駐扎著大量的軍隊。例如鎮守襄陽的南宋著名戰將孟洪“招中原精銳百戰之士萬五千余”［14］(P4280)，組成了鎮北軍；在南宋三大屯兵重地之一的另外一處鄂州，也駐有軍隊大約5萬多人。為了向前線輸送糧草以抵御金軍、元軍的入侵，就需要在運輸過程中做好計算方面的工作。由于江南多丘陵、地勢不及北方地勢平坦，這更增加了運輸的難度。因此，為準確無誤地將糧草運送到指定位置，雇傭勞動力的多少、支付的薪酬、繳納的稅款以及運輸過程中的損耗等問題，均給當時的算學從業者增添了新的難題。商業的發展也吸引了相當數量的人口涌入城市，除了一部分受雇于他人從事生產勞動以外，相當多的人選擇了自主創業，投身于商業活動之中。在這種趨勢下，薪酬計算、物價計算、利潤分配等商業數學問題也在大量地產生，亟待算學學者們去解決。另外，由于受歷史發展的局限，南宋時期的人們受教育程度普遍不高，而以《九章算術》為代表的中國傳統數學著作又相對晦澀，社會的發展卻急需大量具備基礎數學知識的人才以及相對實用高效的計算方法。在這樣的背景下，對現有教科書進行改進或者編撰新的兼具實用性和普及性的教科書就成了當務之急。綜上所述，正是由于農業發展、商業繁榮所產生的巨大需求，為南宋數學的發展提供了新的推動力，并使其開始沿著能夠解決這些實用問題的方向飛速前進。

二、以《田畝比類乘除捷法》為例簡釋南宋時期農業對數學發展的促進作用

南宋時期農業在取得自身飛速發展的同時，也促使數學這一計量科學產發生了巨大的變革，并由此促進了獨具特色的中國傳統數學邏輯體系的成熟。南宋數學在發展過程中秉承著從生產活動過程中遇到的實際數學問題入手，從中分析出數量關系來建立數學模型，然后再利用這一模型，通過抽象與歸納進而得到解決問題的方法這一數學理念，不但滿足了當時社會發展的需要，而且在中國數學史乃至世界數學史上都取得了極為輝煌的成就。楊輝作為我國南宋時期著名的數學家及數學教育家，他在研究數學的過程中特別擅長將數學問題的解決與日常生活相聯系，尤其注重實用性和普及性。由于楊輝是錢塘人，長期生活在臺州、蘇州、錢塘等地，還曾經擔任過南宋的地方行政官員。其編撰于德祐元年（1275）的《田畝比類乘除捷法》一書無論從名稱還是內容而言都與田畝緊密相關，通過對該書進行剖析，可以更加清楚地看到農業發展對數學的影響。正是基于此種原因，本文以楊輝所著的《田畝比類乘除捷法》為例來闡釋農業的發展對于數學產生的促進作用。楊輝在編撰《田畝比類乘除捷法》一書時將其分為上下兩卷。受南宋時期的耕地面積在增加過程中以非規則圖形田地的開墾為代表的農業發展新情況的影響，上卷主要是講述各種田畝求積例題和計算方法，以及能夠化作田畝求積問題來求解的其他數學問題。下卷的主要內容則與開方有關，共引入與開方相關的問題27個。楊輝以上卷中所記載的直田問題作為邏輯上的立足點，通過對同一個直田問題所給出的例圖不斷進行已知條件上的變化，來試圖求出不同背景條件下直田的長或寬，文章的側重點由面積的計算變成了開帶從方，其分別給出了“益積開方”法、“減從開方”法等十分具有創造性的解二次方程的計算方法，同時還求解了帶“益隅”和負方的二次方程?！短锂€比類乘除捷法》一書最大的亮點可以分為三大部分，即演段法與幾何證明、提倡捷法以及對方程的新認識。而這三大亮點的產生，便是楊輝受到農業發展影響的結果。在有關于演段法與幾何證明方面，楊輝認為田畝算法是一切幾何問題的基礎，直田起到了數學邏輯起點的作用，其在序言中寫道：“為田畝算法者，蓋萬物之體，變段終歸于田勢”［15］(P1)，“入則諸門，出則直田，蓋因直田能致諸用，而有是說，諸家算經皆以直田為第一問”［15］(P1)。這就說明他認為田畝面積計算是所有數學問題的基礎，其他數學問題的產生只是在該基礎上的演化。如下卷中例題：“以金換絹八百六十四匹，不知黃金一兩原換絹幾匹，但云原金總兩與每兩所換匹數較之，則兩多如匹十二。今先問原金幾兩？”［16］(P11)楊輝說：“原金為長，每兩換絹為闊，其所換總絹匹數，即直田之積步也。”［16］(P11)根據這段話可以很明顯地看出，在楊輝看來，該題的解法和求直田面積的解法是一致的，同樣可以套用長方形面積公式來求解。提倡捷法是該書的另一大特色，全書共有61道問題，其中共計有14道例題有兩種或者兩種以上的解法。將同一問題的不同解法進行比較時會發現，這些解法是有繁有簡的，楊輝通過比較各種解法的優劣，力圖找出最簡單快捷的計算方法，以此來提倡優法。為何提倡優法？究其原因是與農業發展以及商業繁榮密切相關的。農業的發展以及商業的繁榮使得南宋數學既迫切需要一種簡便準確易于操作的計算方法，還需要一大批熟練掌握此種計算方法的專業人才。正是在這種情況下，以楊輝為代表的數學教育家們為了更好地使初學者適應這種數學上的新變化而采取了新的編寫方法，來對自己的著作進行編排。因為在楊輝看來，解決問題的方法要簡單，而且要易于學習和掌握，在計算過程中要注重簡潔和精確。該書受這種發展形勢和思想的影響，實用性與操作性非常的強。并且，為了便于初學者進行學習和訓練，還充分運用了“比類”這一方法，即在書中加上了能夠化作田畝求積問題來求解的其他數學問題，而這正好也是楊輝數學研究與數學教育工作的側重點［17］(P95)。而該書的第三大亮點即對方程的新認識的產生，則更是與農業緊密相關。如在下卷中記載了兩道例題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，欲先求闊步，得幾何？答曰：二十四步”［16］(P12)；“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，欲先求長步，問得幾何？答曰：三十六步”［16］(P13)。面對這些從農業生產中產生的問題，楊輝從實際出發，對這些問題進行分析和歸納，從中提煉出數學模型并進行分析，進而發現有些問題雖然題干是不同的，但其所列方程卻相同。換句話說，就是楊輝通過對田畝問題進行求解，已經認識到一個二次方程可能有兩個正根。雖然楊輝并沒有明確地在書中指出并進行討論，但毫無疑問的是，這個發現是具有劃時代意義的；并且，關于二次方程有兩個正根的這個事實，一直到清代才由汪萊明確指出［18］。此外，農業的發展還對中國古代數學的發展造成另外一個結果，即相對于結果的“精確性”，中國傳統數學更加注重答案的“整體性”。在對所有的中國傳統數學著作進行分析后不難發現，中國古代科學追求“正確”而非精確，雖然可以從天文學、機械制造等領域舉出很多注重“精確”的反例，但是從中國古代科技發展的整體上看，追求整體性還是占據了主流的地位［19］(P41)。楊輝在《田畝比類乘除捷法》中對《九章算術》和《五曹算經》所給出的用“圓田術”來求解“丘田”近似面積的答案并不滿意，并由此提出了“常分段求之”的思想［19］(P42)。雖然這種分段方法是十分卓越的，但是怎樣分段？楊輝卻未進行詳盡的說明。我們知道認識到問題并不意味著解決問題，這中間還有漫長的歷程需要進行探索，可惜在楊輝以后我國的古代數學家們卻放棄了這方面的研究。究其原因，農業的因素對其造成的影響是不可忽視的，其中，有關于土地面積的計算便占據了很大一部分。在中國古代，有關土地面積的計算大多是與統治者征繳賦稅相關的。農民在耕種土地過程中由于受到所處的自然環境以及自身文化水平的限制，對自己耕種的土地面積實際情況的掌握大致只會精確到幾畝幾分，至于更加精確到像現今數學中經常用到的平方分米以及平方厘米，就束手無策了。對于在統治者征繳賦稅時，情況亦是如此，負責征稅的官員只需知道在自己統治范圍內的農民耕種的土地大致面積，并以此來收稅即可，至于更為精確到小數點后多少位，便沒有了意義。而在運輸過程中，由于受到天氣等因素的影響會物品在道路上產生損耗，因此目的地的接收者也只會關注收到的糧食大致的重量而不會去精確到幾斤幾克。正是農業發展中的這些因素，對中國古代數學在“精確性”發展方面造成了比較大的影響。

三、結語

英國著名科技史學家李約瑟曾將宋代稱為“偉大的代數學家的時代”，換句話來說，就是宋代中國傳統數學取得了革命性的進展，而為何會造成這種現象？這便不得不提到農業的發展對數學的發展起到的巨大推動作用，特別是南宋時期尤為顯著。靖康之變以后，隨著宋室南渡，在統治者的政策作用以及勞動人民的辛勤勞作下，南宋農業得到了長足的發展與進步，并以此為基礎促進了商業經濟的繁榮，使得南宋統治下的江南地區成為了當時中國經濟最為發達的區域。同時，在精神思想方面，雖然南宋也是處于中國漫長的封建社會時期，處于該時期的數學研究者們在研究數學時仍舊會受到封建集權思想與皇權統治的束縛，但與其他朝代相比，南宋時期人們的思想卻是相對自由與活躍的。正是在這種情況下，生產力取得了突破性的發展。而經濟基礎決定上層建筑，生產力的發展推動了文化的進步。在受到當時快速發展的社會生產力和人民日益增長的文化需求等因素的共同影響下，數學這門受實踐影響極大的學科也取得了飛速的發展。而農業在促進南宋數學發展的同時，也對后來數學的發展走向影響頗大。在有關中國古代數學發展的研究領域中經常被提及到的大傳統與小傳統的關系即“理論性”與“實用性”之爭便受到農業發展的巨大影響。人們在實踐中認識到的數學問題，在經過一系列的理性思考后得出的結論又反過來影響到了接下來的實踐活動。因此，正確地認識到農業發展對數學發展所起到的促進作用，既可以幫助我們正確地把握中國古代數學發展的脈絡，又可以令我們重視到實踐的作用，從而可以通過實踐對某些歷史現象做出更好的解釋。

作者:趙晨 宋芝業 單位:內蒙古師范大學