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數學在經濟學中的廣泛應用，已經是一個不爭的事實。從古典經濟學開始，到新古典經濟學時期，數學一直被作為一種推理和演算的工具對經濟學理論發展與經濟現象的解釋做出了重大貢獻。由于數學的應用，該時期經濟學用來研究經濟財富的增值效應被發揮得淋漓盡致。進入福利經濟學之后，社會價值觀發生變化，精神財富與人的綜合幸福增加成為普通百姓追逐的目標。經濟收益作為一個考慮財富總量增加與財富分配的指標成為經濟學研究的主要對象，由經濟利益沖突引起的人際決策互動行為自然而然成了影響人快樂與否的主要因素，數學分支博弈論因此進入人們研究的視角。

一、數學在經濟學中的運用

大體上，數學在經濟學中的運用可以分為三個不同的階段：古典經濟學時期，數學開始在經濟學中運用；新古典經濟學時期，數學開始顯現出在經濟學中運用的重要性；新古典經濟學之后，數學大量運用于經濟學。[1]

（一）古典經濟學時期：萌芽階段

一般認為，數學在經濟學中的運用可以追溯到17世紀威廉•配第的《政治算術》和魁奈的《經濟表》。配第試圖以簡單的統計分析為政治經濟學提供“精確性”基礎。他努力“用數學、重量和尺度的詞匯表達自己想說的問題”?？蔚摹督洕怼吩噲D通過理性演繹和數學運算去發現人類社會的“自然秩序”。1826年，屠能（JohannHeinrichyonThtinen）發表《孤立國》，首次利用了微積分和其他一些變數數學公式來表達若干經濟范疇和原理，開啟了運用數學模型研究問題的先河。[1]這時，經濟學家采用數學僅是作為經濟理論的補充。古典經濟學時期對國民物質財富的追求成為經濟學研究的目的與出發點，而此時，數學慢慢成為經濟學家物質財富創造的一種有利工具。真正將數學運用于經濟學，并且認為數學將在經濟學中占有重要地位的是古諾。1838年，古諾發表了《財富理論的數學原理研究》。在該書中，他率先運用函數形式表達了商品的需求同價格之間及產量同成本之間的依存關系。例如，古諾用d表示市場需求，p表示市場價格，則需求作為價格的函數，就可以記為d=（fp）。然而，古諾著作的偉大成就直到20世紀50年代之后才被充分肯定。1854年，被稱為“經濟學上的哥白尼”戈森發表《交換規律的發展和人類行為準則》，極力主張應用變數數學方法，并將這種方法看作是唯一健全的經濟學方法，并且運用數學建立起了“戈森定律”。馬克思在這一時期，也采用簡單符號、具體數字以及數學運算對簡單再生產和擴大再生產、利潤率和剩余價值率，經濟周轉與利潤率的關系進行分析。

（二）新古典經濟學時期：地位提升階段

19世紀70年代，邊際技術引入到經濟學中，對經濟學的發展做出巨大推動作用。杰出代表人物有杰文斯、瓦爾拉斯和門格爾，三人都強調數學微分對經濟增量問題的運用。1871年，杰文斯出版《政治經濟學理論》，通過四個命題，強調了數學在經濟學中的重要地位：一是經濟學的本性是數學的；二是變量無法精確測量并不妨礙經濟學的數學性；三是經濟學所用方法主要是微積分；四是數學方法是使經濟學進步的必要條件。同年，門格爾發表《國民經濟學原理》，提出了經濟學中的“邊際分析法”。瓦爾拉斯在其著作《交換的一種數學理論的原理》中提出了現在的“邊際效用”理論，并在1874出版《純粹經濟學要義》，利用代數方程式，建構出了一套經濟學的分析方法，并提出了一般經濟均衡理淪，為現在意義上的數理經濟學的產生奠定了基礎。[1]此后，埃奇沃思、馬歇爾、帕累托、克拉克等均采用數學方法研究經濟理論有了進一步發展。

（三）現代經濟學時期：快速發展階段

現代經濟學時期，數學在經濟學中大行其道，達到了專門化、技術化和職業化的程度，甚至到了登峰造極并主宰經濟學的地步，數學化成為經濟學發展的主流趨勢。20世紀上半葉，數理經濟學建立并得到迅速發展。1939年，希克斯在《價值與資本》中真正將微積分等現代數學技術運用于表述經濟理論，并對序數效用論、無差異曲線等概念和理論進行了系統的闡述和完善。1947年，薩繆爾森在《經濟分析基礎》中，采用數學模型和數學推理，對生產者行為、消費者行為、國際貿易、公共財政、收入分配等各種問題，用求極大值、極小值的方式加以推導。進入20世紀50年代以后，數理經濟學的基礎由微分轉變為集合論等新的數學工具。計量經濟分析是20年代之后發展起來一項重要經濟學分析技術。由學者弗瑞希在1926年發明，隨后成立計量經濟學會，并出版《計量經濟學》（Econometriea）雜志。成為計量經濟學的奠基人，并獲得第一屆諾貝爾經濟學獎。60年代，是計量經濟學模型發展的黃金時期。但由于計量模型的預測常常失敗，60年代中期以后，計量經濟分析的重心便從模型參數的估計和檢驗轉向到模型設定的方法論討論，運用范圍也從傳統的宏觀經濟領域轉向微觀領域及其他領域。計量經濟分析方法也被大量運用于經濟學理論命題的實證檢驗。50年代，探討經濟行為與決策一致性的博弈理論進入經濟學領域。80年代之后，博弈論真正受到經濟學界重視。博弈論的運用包括不完全競爭、市場均衡、談判、產品質量、保險、委托—關系、歧視、公共物品等微觀領域，也包括宏觀經濟學、產業組織理論等。部分經濟學家利用博弈論方法，分析合作、利他主義、信任、懲罰、報復之類現象，力圖探討社會規范、制度如何產生等棘手問題。從此之后，為了追求嚴謹性、普遍性和簡潔性，經濟學進入了公理化、形式化和數學化之路。數學化幾乎深入經濟學的所有領域。

二、經濟學的研究對象

由于資源稀缺性與人類需要的無限性，西方經濟學以資源的配置研究為出發點，通過對勞動與資源的利用，爭取以最少的資源投入獲得最大的經濟效益。自色諾芬、亞里士多德開始，一大批古希臘思想家在論述經濟問題時都把重點放在對物質財富的探討上。如色諾芬在《經濟論》一書中通篇就在闡述財富及其增長問題。亞里士多德則把獲取有用物看作是經濟學的永恒主題。他們眼里的財富就是使用價值。馬克思說：“古典古代的著作家只注重質和使用價值?！薄瓣P于使用價值的觀點既在柏拉圖那里，也在色諾芬那里占統治地位。”[2]

中世紀末期，地中海沿岸和西歐一些國家的資本主義蓬勃興起，商業和賺錢備受重視，紛紛奉行重商主義政策，財富動機驅使他們競相去征服和掠奪他國。對南美洲的征服使得大量貴金屬流入歐洲，極大地提高了歐洲統治者和資產階級的經濟實力，為歐洲統治者進一步的軍事拓殖和商業擴展奠定了基礎。研究財富問題的文章和小冊子如雨后春筍，“政治經濟學時代”開始取代了“道德哲學時代”。一批專門研究商業財富的重商主義思想學者從傳統的道德哲學中解脫出來而集中于世俗的貿易和貨幣流通問題，把體現為金銀的財富當作討論中心。邊際主義者把實用價值理論轉向了主觀價值論，財富的概念被大大拓寬，有形財富的“客觀”概念被心理效用的“主觀”概念所取代。物質的東西不僅與同類物質產品相交換，而且也與“非物質”的東西（如榮譽、名望和賞識等）相交換，人類的需求層次發生變遷與上升。邊際主義者開始把財富的理解建立在主觀效用之上，并且得出了兩個基本命題[3]：一是經濟原則是所有理性行動的基本原則，強調最大化獲取經濟利益；二是把考慮榮譽、虔誠或政治目標之類價值的行動稱為“理性的行動”?？梢姡瑐鹘y經濟學專注于物質財富這一狹隘范疇的做法就逐漸受到越來越多的置疑，或者說，財富的內涵和外延不斷地被拓廣。

馬歇爾在其經典著作《經濟學原理》中開篇寫道：“經濟學是一門研究人類一般生活事物的學問，它研究個人和社會生活中與獲取和使用福利的物質必需品最密切相關的部分。因此，一方面，經濟學是一門研究財富的學問；另一方面，同時也是更重要的方面，經濟學也是研究人的學問的一個分支?！?0世紀20年代，馬歇爾理論體系的維護者庇古（1877—1959）出版了《福利經濟學》一書，創立了福利經濟學體系，被譽為“福利經濟學之父”。他把福利經濟學分為一般福利（滿足人的一般欲望、情感等精神方面的需求）和經濟福利（滿足人經濟生活等方面的物質需求）。進入現代經濟學以后，1998年獲得諾貝爾經濟學獎的阿瑪蒂亞•森提出“個人能力”學說論，即個人幸福指數高低由先前的滿足人們需要的物質轉為人所能做的各種事情的函數。包括個人能力的培養和個人能力的提高，而不是以往福利經濟學關注的財富的增長和效率的提高。阿瑪蒂亞•森認為人均收入的增加并不必然會帶來社會福利的增加。[4]經濟學不應只研究總產出、總收入，還應關注人的權利和能力的提高，把人自身的因素納入研究范圍。芝加哥大學商學院（GSB，UniversityofChicago）行為科學教授ChristopherK.Hsee（奚愷元）明確指出，我們的最終目的不是最大化財富，而是最大化人們的幸福，[5]點明了經濟學是使人幸福的經濟學，幸福是經濟學研究的目的與出發點。

三、數學與經濟財富

自古典經濟學開始，數學即扮演一種重要的經濟分析工具。17世紀威廉•配第在《政治算術》中以簡單的統計分析為政治經濟學提供“精確性”基礎?？卧凇督洕怼分性噲D通過理性演繹和數學運算去發現人類社會的“自然秩序”。古典經濟學時期對國民物質財富的追求成為經濟學研究的目的與出發點，數學因此慢慢成為經濟學家物質財富創造的一種有利工具。而真正將數學運用于經濟學，并追求數學運用與財富增長關系的是古諾。1838年，古諾發表了《財富理論的數學原理研究》。書中率先運用函數形式表達了商品的需求同價格之間及產量同成本之間的依存關系。財富分為物質財富與精神財富。邊際革命之前，整個社會對財富的關注集中于物質財富。邊際革命后，由于邊際效用分析能夠較好地說明財富的增長問題，因此社會各界對數學在主觀效用領域的應用進一步擴大。邊際效用分析依賴于高等數學的微分求導，通過對自變量的求導獲得自變量與因變量的數量變化關系，從而反映出個人滿足程度的主觀需求。如果說經濟學是一門研究財富的自然科學，則在當時對財富增加的研究完全可做成純數學的工程分析。邊際革命后期，整個社會財富急劇增加，財富表現形式也慢慢出現物質財富與精神財富差異。

四、數學與經濟收益

20世紀70年代，社會從對物質財富的追求轉向對人的能力提高與人的精神情感（幸福指數）滿足的關注，并重點關注人與人之間的行為情感因素。如果說“財富”是物質產品的代名詞，使人變成完全“理性人”，則“收益”可形容成精神產品的代名詞，將人描述成具有“有限理性人”的特性。經濟收益從人獲取收益的“滿意度”與“心理可接受度”來解釋，強調收益獲得的過程與收益的分配，并考慮人與人之間的關系因素。因此，70年代后期，研究經濟行為互動的博弈論開始真正受到了經濟學界的重視。博弈論是指某個個人或是組織，面對一定的環境條件，在一定的規則約束下，依靠所掌握的信息，從各自選擇的行為或是策略加以自行調整與實施。博弈論作為一種數學方法其對社會經濟現象的研究以從事件抽象出基本的元素為出發點，對抽選出的元素進行數學建模分析，而后逐步引入對其形勢產生影響的其他因素，從而分析最終結果。博弈論基于不同抽象水平具有三種博弈表述方式：標準型、擴展型和特征函數型。利用此三種表述形式，可以解釋經濟運行中的各種問題。因此，博弈論被稱為“社會科學的數學”。由于博弈論的應用，社會對人的情感因素關注更多，人與人之間的利益所屬與利益分配引起的各自心理感受研究被納入到福利經濟學的研究中。進入21世紀，福利經濟學更加關注經濟收益總量的上漲，即由純粹追求物質財富的“理性人”向“有限理性人”的轉變。

五、數學在經濟運用中的辯證分析

雖然數學應用對經濟學的研究做出大量貢獻，但不少經濟學家也對數學在經濟學中的過度運用指出了批評，并明確提出了數學在經濟學中只能夠適度運用。馬歇爾在《經濟學原理》中雖然大量運用了數學，但同時也提出：“經濟學上是沒有進行一長串演繹推理余地的。經濟研究中經常使用數學公式，初看起來似乎主張與此相反的東西；但是，經過研究之后，我們發現這種主張是虛妄的，也許除了某理論數學家為了數學游戲而使用經濟學假設的場合；因為那時他所關注的是，根據經濟研究已提供了宜于使用數學方法的材料這一假設來證明這種方法的潛力。他對這種材料不負技術上的責任，而且往往不知道這種材料是如何不足以承擔他那強大機器的壓力?！蓖度氘a出方法的創始人列昂惕夫在對《美國經濟評論》1972—1981年10年內發表的所有論文采用數學的情況進行研究后提出，“專業經濟學雜志中數學公式連篇累牘，引導讀者從一系列多少有點合理但卻完全武斷的假設走向陳述精確但卻不切合實際的結論”，“經濟學系正在培育出一代傻瓜學者，他們擅長于難懂的數學，但對實際經濟生活卻一無所知。”1993年的諾貝爾經濟學獎威廉•福格爾也曾經指出“：近年來，人們一直把經濟理論與經濟行為的數學模型相提并論。把模型和理論混為一談是不幸的?！盵1]

通過以上分析，數學從最初少數人的使用到經濟學研究中的主流方法，再到對數學工具應用的理性批評，說明經濟學研究需要數學方法、離不開數學工具的運用，但數學不是經濟學，經濟學者采用數學必須以有助于解釋現實、分析現實為基本的出發點。

六、結語

數學作為一種工具和方法，在經濟學的研究中得到了廣泛的應用。中國經濟學者也正在越來越多地采用數學方法對經濟現象進行研究。但數學畢竟只是一種工具，是經濟學表述和推理的一種語言，它在經濟學中的運用也必須貫徹經濟學的節約原則，將有限的時間和資源配置到最有效率的地方，而不是毫無限制、毫無目的的采用數學，更不能為數學而數學，否則就脫離了經濟學研究的本來目的。經濟學是致用之學，是為解釋現實問題，預測未來服務的，如果經濟學脫離了現實的基礎，則違背了基本的經濟學原則。