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編者按：本文主要從引言；盒維數(boxdimension)的定義；樣本盒維數計算步驟；上證指數的盒維數；結束語進行論述。其中，主要包括：股市波動是一個由多種因素組成的復雜系統，混沌吸引子是股市混沌與否的重要判據之一、盒維數又稱計盒維數(box．counting)，是應用最廣泛的維數之一、維數越大其波動的復雜程度越大、獲取原始數據將樣本采集下來、對原始數據進行標準化按照公式對收盤價格進行標準化、樣本集合的數目有限，的選取應該有一定的范圍、上證指數是我國股票整體走勢的晴雨表之一、在不同的時段，盒維數有可能相同，也有可能不同、數據點越多越好，因為觀測被假定是獨立的等，具體請詳見。

論文摘要：在介紹盒維數計量的基礎上，對傳統的盒維數計算方法進行了改進，以上海證券交易所上證指數1990年12月19日至2002年12月31日時間段中的日線收盤價數據為樣本對其非線性特征進行了實證分析，并首次依據盒維數的特性分析了我國股市的監管效果。

論文關鍵詞：盒維數非線性證券監管

0引言

股市波動是一個由多種因素組成的復雜系統，混沌吸引子是股市混沌與否的重要判據之一．不僅如此，混沌吸引子所具有的特性，如初值敏感性、標度變化下的不變性(分形結構)也為股市預測提供了某些手段．Mandelbmt…首次描述了復雜行為的分形特征．從此學者們就開始將分形理論廣泛地應用于各種領域．在理論研究方面，Packard等lJ提出的相空間重構的思想；Takenl3]研究了嵌入定理；Grassberger等利用了嵌入理論和重構相空間技術，提出了從時間序列直接計算關聯維數l]和Kolmogorov熵l]的算法；Wolf等提出了軌道跟蹤法(trajectoyrtracingmehtod)，用以從時間序列中計算Lyapunov指數．隨著混沌理論的發展和分形模型在分岔、非連續和非周期等領域的應用，在解決沖突市場中的非隨機和決定性問題上，學者們發現此理論是一種魯棒的工具．Peters的分形市場假說(Frac．tlaMarketHypothesis，FMH)向有效市場假說(Efif．cientMarketHypsthesis，EMH)發出有力挑戰．Man．tegna等，在研究S&P500指數的分布時，發現其分布不服從高斯分布，他們的結論表明：簡單的隨機分布并不能描述不斷變動的經濟系統．Kat．suragi發現了日本證券市場存在多吸引子跡象．在我國，自從我國學者陳平將混沌理論應用于金融(貨幣市場)領域后，有大量的學者對市場收益的非線性問題進行了研究．在理論研究方面，趙貴兵等、王祖林等、楊紹清等、蘇菲等、朱曉華等["J從不同角度探討了非線性方法；在實證研究方面，伍海華等、楊一文等對EMH和FMH進行比較研究；徐龍炳等、葉中行等21應用R／S分析探討了證券市場的非線性問題；申富饒等[、高紅兵等[引、陳國華等應用關聯維討論我國證券市場的非線性特征．本文應用盒維數對我國的資本市場特性進行研究，對上證指數的非線性特征進行了實證分析，并首次依據盒維數的特性分析了我國股市的監管效果．

1盒維數(boxdimension)的定義

盒維數又稱計盒維數(box．counting)，是應用最廣泛的維數之一，它的普遍應用主要是由于這種維數的數學計算及其經驗估計相對容易一些25．對這種維數的研究可以追溯到上個世紀3o年代，并且對它賦予各種不同的名稱：Kolmogorov熵、熵維數、度量維數、對數密度等26．在資本市場中，維數的不同，代表其股票波動的復雜程度不同，維數越大其波動的復雜程度越大，復雜程度大就不好把握，所以維數越大的地方風險也就越大J．

設F是上任意非空的有界子集，(F)是直徑最大為，可以覆蓋F集的最少個數，則F的下、上盒維數分別定義為

因此為計算一個平面集F的盒維數，可以構造一些邊長為的正方形或稱為盒子，然后計算不同值的“盒子”和F相交的個數(F)，這個維數是當一0時，(F)增加的對數斜率．

2樣本盒維數計算步驟

計算分形對象的盒維數測量方法②：

1)獲取原始數據將樣本采集下來，存人數組：(1，2，…，Ⅳ)中；

2)對原始數據進行標準化按照公式(3)對收盤價格進行標準化，得

3)確定計盒邊長

在實際計算中，樣本集合的數目有限，的選取應該有一定的范圍，當選得小于某個值時，(F)就趨近于所選得樣本個數Ⅳ，此時會低估DB；相反，當選得過大，會高估DB[．因此，在給定樣本數N后，需要首先確定對應此樣本數的．考慮N--維隨機序列的計盒維數為1．5，因此在每次計算時，先選取Ⅳ個隨機數，組成數組尺=(r1，r2，…，rⅣ)，比照公式(4)進行標準化．然后，設定覆蓋盒子的邊長分別是

3上證指數的盒維數

上證指數是我國股票整體走勢的晴雨表之一，對它的深入研究有助于把握我國股票走勢的整體結構．選用1990年12月19日至2002年12月31日的上證指數共2953個交易日的收盤價作為分析對象，每日收盤價走勢圖如圖1所示．

利用上述方法，分別對上證指數1990年12月19日至2002年12月31日時間段中的Et線、5Et線、10Et線收盤價數據進行了測量，其盒維數分別是D1=1．3737、D5=1．3786、D舢=1．3725．三個盒維數幾乎相等，都在1．370左右，這是因為它們是自相似的，在一定區間內具有無標度性，所以，它們的維數應該是相等的，只是由于所采用的點的數量不同，在盒維數估算時，出現了一點誤差．另外，按年度對上證指數的收盤價進行了盒維數測量，計算結果見表1．計算表明在不同的時段，盒維數有可能相同，也有可能不同．維數的不同，代表其股票波動的復雜程度不同，維數越大其波動的復雜程度越大．從投資者操作的角度考慮，復雜程度越大就越不好把握，進而投資者會更傾向于投資而不是投機；從監管的效果來講，維數越接近1．5，就表明市場越接近有效市場，說明監管越有效．

4結束語

由于股票波動曲線具有統計自相似的特性，所以對它的分析可以與標準統計學中的分析有所不同．在標準統計學中，數據點越多越好，因為觀測被假定是獨立的．而從分形技術的角度看，需要的是更多的時間，而不是更多的數據，隔點采集數據不會影響股票的基本走勢，幾乎沒有丟掉多少信息．這是因為股票波動是一個非線性動力學系統[籃。，而非線性動力學系統的特點是長期相關的．認識到這一點，在實際的數據分析中就可以減小采集的數據量從而增加分析運算的速度．當然，具體數據量應該小到多少還需要進一步的摸索．

另外，對一支股票的不同時段，或不同股票的同一時段的盒維數的測定，有助于把握股市的相對復雜性，有助于在實際操盤中避免不必要的風險．再者，考慮到股市波動所具有分形結構，可以利用股市的歷史資料總結出分形元來，從而構造相應的分形模型對具體走勢進行模擬和預測．當然，從現在的研究看來，根據這種方法，還無法預測某一天的股價的升與降，但是，可以分析出股市波動的動向或趨勢，以便能夠對必將發生的重大變化作好準備．