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摘要：地理與數學之間具有密切的學科相關性，兩門學科的交叉融合能夠有效增強高中地理教學活動的科學性、高效性和趣味性。新高考改革背景下，實施高中地理與數學的交叉融合教學可從數學思想、數學方法、數學工具、數學能力等四個方面入手。

關鍵詞：地理；數學；交叉融合；教學

2017年，新高考改革方案將在全國范圍內實施。新方案取消了文理分科，規定語文、數學、外語為統考學科，地理、政治、歷史、物理、化學、生物等為自選等級考試學科，考生可自選其中三門進行考試并將最好成績計入高考總成績。在此背景下，地理作為“文科中的理科”，因其學科的特殊性勢必會成為不同文理傾向學生爭相選考的熱點。這對地理教學和學科發展而言，既是新的挑戰，又是難得的發展機遇。地理學是一門兼有自然科學和人文社會科學性質的綜合性學科[1]，這在一定程度上決定了高中地理課程與作為“一切自然科學的基礎”的數學之間具有密切的聯系。因此，實施地理與數學的交叉融合教學是地理學科性質使然。地理與數學的交叉融合教學不是將地理與數學知識進行簡單機械地羅列和對照，而是在大科學觀指導下，以地理課程和地理教學為主體，將數學中最精髓的部分滲透到高中地理教學活動，最終達到豐富教學內容、提升學習效率、突破學科思維定式和貫通學科橫向聯系的目的。將數學與地理教學活動相融合的形式，不僅能鍛煉和提升偏文科學生的抽象思維與空間想象能力，還有利于為偏理科學生搭建起重新認識和學習地理課程的橋梁，這對于彌補新方案帶來的競爭差距和促進學生的綜合發展具有非常重要的意義。高中地理與數學間的交叉融合教學并沒有固定的模式和套路，一般可從數學思想、數學方法、數學工具和數學能力四個方面開展。

一、高中地理與數學思想的交叉融合

數學思想作為數學思維的結晶，是人類對現實世界的數量關系和空間結構的理性認識。數學思想作為數學最精髓的部分，具有內容豐富、應用廣泛的特點。在高中階段，很多地理知識內容的講授和學習都會用到數學思想，而在眾多數學思想中，以數形結合思想、集合思想、函數思想和整體思想的使用頻率最高。

1.數形結合思想

根據數字與圖形之間內在的對應關系，通過相互轉化的形式來表達兩者之間關系的思想就是數形結合思想。在地理教學活動中使用數形結合思想，能夠以數字和圖形相結合的直觀形式呈現地理現象的變化和規律，使復雜的地理現象簡單化，能有效提升授課和學習效率[2]。例如，在揭示到達大氣上界的太陽輻射與地球緯度間的關系時，可利用數形結合思想來引導學生進行研究學習。太陽年輻射總量與緯度之間存在一定的相關關系，但究竟是怎樣的關系呢？這可以借助“北半球大氣上界太陽輻射分布圖”（見圖1）中的圖形與數字間的對應關系來找出答案。圖1中，橫軸表示北半球各地緯度，縱軸表示年總輻射量的變化。從0°到90°N雖然緯度不斷升高，但所對應的柱狀條紋高度卻逐級遞減，所示年總輻射量數值也由約13×109J/m2遞減為約6×109J/m2，由此可見太陽年總輻射量與緯度值之間呈負相關關系，即到達大氣上界的太陽輻射因緯度的升高而減少。數形結合思想在高中地理中應用的案例還有很多，如地震波傳播速度分異、氣溫和降水類型分異、雪線高度差異、全球氣候演變周期、城市化進程、世界水資源分布等。

2.集合思想

集合思想是指將具有某種特定性質的具體或抽象對象匯集為整體的一種思想。雖然這是數學領域的一個概念，但這一思想卻在高中地理課程中廣泛使用，特別是在地理事物的關系表述和層次劃分方面。例如，在學習自然災害系統時，可以借助集合間的包含、并列和交叉關系來表述孕災環境、致災因子、承災體和災情之間的復雜關系（見圖2）。由圖2可知，自然災害系統由孕災環境、致災因子、承災體和災情四要素構成，四者之間的關系為：在孕災環境這一大集合中包含致災因子、承災體兩個小集合，其中孕災環境中致災因子集合與承災體集合的交集部分就是災情，即自然災害的災情取決于孕災環境、致災因子和承災體三者的共同作用。類似的集合思想應用案例還有很多，如天體系統層次劃分、資源類型劃分、氣候類型劃分、河流補給類型劃分、能源類型劃分、農業地域類型劃分等。

3.函數思想

函數是一種對自然界中量的依存關系的描述，即一個事物隨另一個事物變化而變化的關系和規律。借助函數思想可以更加準確地把握兩個地理事物間的相對關系。以指數函數為例，在學習“世界人口變化情況”內容時，通過觀察“工業革命以來的世界人口變化情況圖”（見圖3），可以發現該圖像近似于y=ax(a>1)(x∈R)的指數函數圖像，因此可以借用指數函數性質來認識世界人口數量變化情況。因為y=ax(x∈R)中，a>1，所以該函數為單調遞增型指數函數，結合圖像可知工業革命以來的世界人口數量呈遞增狀態，且二戰前后的增長速度存在很大差異。同時，根據指數函數單調性還可以預判出世界人口數量在未來一段時間仍會繼續增長這一趨勢。借助函數思想，從數學視角來理解不同變量間的依存關系，不僅能加深學生對該知識點的認識和理解，而且還有利于增強課程的科學性、嚴謹性，培養學生的探究意識[3]。類似的函數思想應用案例還有很多，如氣溫的日變化曲線、大洋表層海水鹽度曲線、溫度與緯度關系曲線、城市化進程曲線等。

4.整體思想

整體是與部分相對應的一個概念。整體思想強調問題的整體性，包括把握問題的整體結構性和相互關聯性，并以整體、綜合的視角審視和處理問題。整體性是自然地理環境最基本的特征，也是高中地理教材中蘊含的重要思想之一。不管是地理要素間的物質與能量交換、地理要素間的相互作用、自然地理環境演化過程這些小的知識點，還是人口變化、城市化、工業發展、農業發展、交通布局、旅游開發、生態保護、自然災害防治這些大的單元模塊，都能體現出濃郁的“牽一發而動全身”的整體思想。另外，在整體思想指導下，正確把握人口、資源、環境與發展之間的關系，也是歷年高考考查的重點。因此，立足于整體思想，把握地理環境的整體性，是學好、用好地理知識的一大關鍵。

二、高中地理與數學方法的交叉融合

以數學語言來表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，最終形成對問題的判斷、解釋和預言的方法稱之為數學方法。在高中地理教學活動中，經常使用的數學方法有作圖法、窮舉法、公式法和比較法。

1.作圖法

高中階段，很多地理知識點和題型都需要借助作圖法進行理解和解答，有的題型甚至直接要求作圖，例如“大氣運動”中的風向判定問題。這類題目通常會直接或間接告知某地點所在緯度（半球）、氣壓數值和海拔高度等關鍵信息。解答該類題型，多借助作圖法，根據已知的關鍵信息分四步完成。首先，要根據氣壓值確定氣壓梯度，并在此基礎上畫出水平氣壓梯度力，方向為垂直于等壓線，由高壓指向低壓。其次，結合題中所給緯度信息，判斷出地轉偏向力的方向。然后，根據所在地海拔高度，確認是否受摩擦力影響。最后，在水平氣壓梯度力的輔助下，結合緯度和摩擦力信息最終確認并標示出風向。作圖法除了用于風向判定外，還被廣泛應用于鋒面運動、氣旋性質、河流流向、洋流運動方向等問題的判定。同時，在工業布局、交通布局、城市規劃、旅游規劃、港址選擇、自然災害防治等內容也經常會間接或直接用到作圖法。

2.窮舉法

窮舉法，又稱枚舉法，一定意義上也可以理解為代入法或分類討論法。該方法在地理試題解答中運用較多。地理試題中有一些類似數學中分類討論的試題，解決這類題型必須進行分類討論才能得出答案。例如，不同半球的港口選址問題。“已知中緯度某河流沿岸有A、B兩城鎮（見圖4），兩城鎮的自然條件和社會經濟條件無異，箭頭方向為河流流向，那么A、B兩地哪里最適合修建碼頭？”由題可知，該地位于中緯度地區，A、B兩地位置接近，自然條件、社會經濟條件無異。因此，在高中階段這種情況下碼頭選址只需考慮地轉偏向力因素，分為以下兩種情況。(1)若河流位于北半球，受地轉偏向力影響，B地所在河岸受侵蝕較強，泥沙易在A地所在河岸沉積，因而碼頭宜建在B地。(2)若河流位于南半球，受地轉偏向力影響，A地所在河岸受侵蝕較強，泥沙易在B地所在河岸沉積，因而碼頭宜建在A地。

3.公式法

公式法可理解為公式計算法，即利用公式和已知條件進行數學運算。在高中地理中，公式計算題型較為常見。例如，利用公式求正午太陽高度。正午太陽高度計算公式為：H=90°-|Φ-δ|。其中，Φ為當地緯度，δ為太陽直射點的地理緯度（夏半年為正值，冬半年為負值）。因此，求某地正午太陽高度，只需將當地緯度和太陽直射點緯度代入正午太陽高度計算公式即可。高中階段，常用的地理計算公式還有比例尺公式、經緯度距離公式、絕對高度公式、相對高度公式、坡度公式、人口出生率公式、人口死亡率公式、人口自然增長率公式、人口密度公式、城市化水平公式、原料指數公式及各類產值計算公式等。

4.比較法

比較法是地理學中進行案例研究常用的方法。在高中地理課程中，很多教材內容的設置都采取了對比展開的形式，特別是區域地理模塊。如“荒漠化防治”一節中，將我國西北地區與非洲薩赫勒地區、蘇聯墾荒區進行了對比；“森林開發與保護”中，將亞馬孫雨林與我國西雙版納、三江平原進行了對比；“流域綜合開發”中，將田納西河流域與墨累-達令河流域、中國紅水河流域進行了對比；“區域工業化與城市化”中，將“珠三角”地區與“長三角”地區進行了對比等。通過這種案例集中對比的形式，不僅可以做到集中學習、加深印象，而且還能拓展學生的發散思維，引導他們關注不同模塊間的橫向聯系和建立縱向知識體系框架，因而具有很強的實用價值。

三、高中地理與數學工具的交叉融合

數學工具作為一種教學輔助手段，具有很強的實用性，因而也經常用來輔助地理教學和學習。高中地理中，常用的數學工具有數軸、坐標系、數學模型、數學圖形等。

1.數軸

高中地理課程相對于初中地理而言，在知識體系上變得更加細化和深入，學習難度也有所提升，尤其是在地理數據的識記與運用方面。當面對大量的地理數據時，很多人傾向于采取傳統“死記硬背”的形式，這樣不但浪費時間，而且會經常遺忘或出錯。這時候如果恰當地運用數軸，就可以減少這種狀況的發生。例如：在農作物熟制和農作物分異知識環節，根據活動積溫的不同可以將我國劃分為赤道帶（>10000℃）、熱帶（8000~10000℃）、亞熱帶（4500~10000℃）、暖溫帶（3400~4500℃）、中溫帶（1600~4500℃）、寒溫帶（<1600℃）等6個溫度帶和青藏高原區。借助數軸進行區分和記憶（見圖5），可以避免記憶繁多的數字區間，學生只需要記住1600、3400、4500、8000、10000五個數值和一個特殊地區，然后在數軸上稍作區分即可。這樣記憶不僅形式簡單、記憶量小，而且操作方便、不易出錯。除此之外，利用數軸工具進行數值記憶或處理的方法，還可以廣泛應用于時區計算、大氣垂直分層、等降水量線、等溫線、等高線、等潛水位線、等深線、等壓線、等震線、等鹽度線、等pH值線、等太陽輻射線、太陽輻射光譜、城市等級劃分等處。

2.坐標系

在高中地理中，常用的坐標系有平面直角坐標系、平面正三角形坐標系和平面正方形坐標系等。其中，以平面直角坐標系最為常見。平面直角坐標系是在數軸的基礎上發展起來的，通常由兩條數軸的垂直疊加構成，可以用于研究兩個地理要素間的關系。例如，在研究城市內部空間結構時，用來研究地租水平和距市中心距離兩者之間的關系。地租水平和距市中心距離間的關系僅從文字理解比較抽象，但如果借助平面直角坐標系就會簡單很多。如“各類土地利用付租能力隨距離遞減示意圖”（見圖6）所示，距市中心越近地租水平越高，商業、住宅、工業三種活動的付租能力各不相同，由強到弱依次為商業、住宅和工業，因此付租能力最高的商業區分布于距市中心最近的A區，付租能力次之的住宅區分布于距市中心較近的B區，付租能力最低的工業區分布于距市中心最遠的C區。除此之外，平面直角坐標系還可以應用在太陽黑子數變化、氣候變遷、人口數量變化、人口增長模式及轉變、城市化進程、土壤肥力變化等知識點。

3.數學模型

數學模型簡言之就是用數學語言表示的一種抽象、簡化的模型結構。其種類有很多，但在高中地理中以幾何模型最為常見。例如，在學習不同等級城市服務功能時，會涉及到克里斯泰勒的“中心地理論”。教材中關于這一理論的文字介紹雖然不多，但對于高中階段的學生而言，理解起來仍有一定困難。此時如果借助“城市服務范圍嵌套模型”——六邊形嵌套模型，就能相對形象直觀地理解和描繪出不同城市等級空間分布規律了。高中階段，類似的數學模型應用案例還有地球模型、城市地域結構模型、杜能同心圓模型、韋伯區位三角形模型、災害系統要素關系模型等。

4.數學圖形

數學圖形按照內容分類可分為函數圖形、幾何圖形，按照形態分類可分為平面圖形和空間圖形。在高中地理中，對于數學圖形的使用并不需要作嚴格區分，也不需要過于苛求精確，很多時候只需要“借其形，顯其意”即可。例如，“借正弦函數之形，顯褶皺之意”。褶皺是在地殼運動作用下巖層發生波浪狀的塑性形變。褶皺的基本單位為褶曲，一個褶曲包括一個背斜和一個向斜。背斜巖層一般為向上拱起，向斜巖層一般為向下彎曲（背斜谷、向斜山除外）。此時，在描述褶曲這一概念時，可以借用學生已有知識儲備y=sinx的正弦曲線來進行形象解釋。將褶皺的一個褶曲理解為正弦曲線的一個周期（2π），將背斜、向斜分別對應正弦曲線的前、后半個周期（π），以知識遷移的形式實現對褶皺的認識與學習。如此一來不僅簡化了新知識點的學習過程，又體現出了地理課程的趣味性，效果非常顯著。數學圖形在高中地理中的應用還有很多。例如，利用三角函數曲線解釋太陽直射點的回歸運動軌跡，根據不同需要將地球視作圓形、半球體、正球體、橢圓等圖形來認識地球、理解概念或解題，將大洲輪廓簡化為幾何圖形去識記大洲、洋流、氣候類型等，以及運用扇形圖、餅圖、柱狀圖等統計圖形進行概念理解和數值表示等。

四、高中地理與數學能力的交叉融合

數學能力是在數學活動中發展并表現出來的一種個性心理特征和潛能，也是人類所必須具備的一種重要能力。一般認為，數學能力包括抽象概括能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數學運算能力[4]，這些能力也是地理學習和實踐中不可或缺的。

1.抽象概括能力

抽象概括能力作為一種數學思維能力，是指能在紛繁的數據或文字中，根據各類現象間的內在聯系，分離出問題的核心和實質，并把具體問題抽象概括為數學模型的能力[5]。抽象概括能力是分析和解答地理試題的基礎，也是各類考試考查的重點。圖形題和圖文材料題是對學生抽象概括能力最直接的考查形式。形式多樣的各類統計圖、區域圖、分布圖、等值線圖、景觀圖、示意圖，配以大段的文字材料，使得題目的難度迅速提升，也對學生的抽象概括能力提出了更高要求。要想快速解決此類題型，必須能夠迅速分析文字及圖表，提取有效信息，然后進行總結概括，將題目中零散、抽象的信息進行條理化、文字化處理，最終形成所需的答案。因此，可以說良好的抽象概括能力是學好地理課程的基礎。

2.邏輯推理能力

邏輯推理是從一般性的前提出發，通過合理思考和科學選擇，得出相應結論或判斷的過程。根據推理過程的思維方向，可將邏輯推理劃分為演繹推理、歸納推理和類比推理三類。其中，演繹推理是指由一般到特殊的推理。例如，由長江中下游地區為亞熱帶季風氣候，上海、南京、武漢位于長江中下游地區，可知上海、南京、武漢等地都為亞熱帶季風氣候。歸納推理多指由特殊到一般的推理。例如，已知太平洋中分布有礦產資源，大西洋中分布有礦產資源，印度洋中分布有礦產資源，北冰洋中分布有礦產資源，而太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋為地球上的全部大洋，那么可知地球上的全部大洋都有礦產資源。類比推理是由特殊到特殊的推理。例如，地球進行公轉和自轉，并且存在晝夜交替現象；月球也進行公轉和自轉，那么可知月球也有相應的晝夜交替現象。可見，具備一定的邏輯推理能力對于形成地理思維和拓展地理知識具有非常重要的意義。

3.空間想象能力

空間想象能力是人類在對客觀事物的空間形式進行觀察、分析和實踐基礎上，獲得的一種可以對物體形狀、結構及位置進行思考的能力。高中地理一直以來被認為是“文科中的理科”，對學生的空間想象能力要求較高，尤其是在必修1和選修1模塊中。例如，地球運動、黃赤交角、回歸運動、周日運動、地圖投影、球面運動、天球及天球坐標、月球運動、日月會合運動等諸多抽象知識點，需要借助學生空間想象才能得以真正理解和運用。另外，空間想象能力在進行地理解題過程中也同樣重要。解答地理問題時，要能根據題中的信息在腦海中迅速構建起地理模型，并將一維的文字、二維圖像進行匹配和三維重構，然后在此基礎上結合所學知識和模型性質完成答題，這期間絕對離不開空間想象能力的支持。

4.數學運算能力

數學運算能力主要是指在一定數學概念、法則、定理或規律指導下進行相關數學運算的能力[6]。運算能力作為最基本的數學能力，也是地理學習和實踐中必須具備的能力，這點在地理課程學習和高考試題中都有體現。例如，等值線判讀、正午太陽高度計算、時間計算、距離計算、溫度計算、高度計算、人口變化計算、城市化水平計算及其他計算等很多地方都會用到數學計算，都是在考查學生的數學運算能力。學生數學運算能力的強弱將關乎計算的速度和準確性，進而影響到學習和答題進度。因此，不斷夯實運算基礎，增強數學運算能力，是高中地理課程的必然要求。

作者:鄭丙沛 楊曉英 單位:貴州師范大學

參考文獻：

[1]鄭度,楊勤業.中國現代地理學研究與前瞻[J].科學,2015(04):29-30.

[2]李晴.試論地理案例教學[J].中學地理教學參考,2001(09):4-5.

[3]徐蓉.淺談中學地理在素質教育中的作用[J].貴州師范大學學報(自然科學版),1998(01):117-118.

[4]代文軍,蔡惠萍.論學生數學能力的培養[J].石家莊職業技術學院學報,2009(12):49-50.

[5]曲曉春.數學抽象概括能力的培養[J].現代交際,2010(12):172.

[6]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版)[S].北京:北京師范大學出版社,2012.