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摘要:數學概念的學習對于培養學生數學學科核心素養具有非常重要的意義。目前，數學概念的教學存在許多誤區。文章從學生數學學科應具備的核心素養及數學概念的重要性入手，結合數學概念的教學現狀，分析產生問題的原因。從概念的引入、概念的建立、概念的鞏固及應用等方面，結合實際的案例進行分析和論證，引導學生回歸數學本源，找到數學概念的本質特征及內涵、外延。希望對課堂教學有所啟發。

關鍵詞:數學核心素養;數學概念;抽象性;概念建立;概念鞏固

一、引言

高中數學新課程改革中提出，數學核心素養為“學生應具備能夠適應終身發展和社會發展需要與數學有關的基本能力和思維品質，包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析六大數學核心素養”。其中，數學抽象素養的培養可在數學概念的學習上體現。［1］正確理解和靈活使用數學概念，對于掌握數學基礎知識、運算技能，發展邏輯論證和空間想象能力的培養起決定性的作用。數學概念課，即為如何科學地講述抽象數學概念并讓學生正確理解和準確運用的一堂課。關鍵要做到:1．要明確數學概念是什么，也就是要幫助學生習得概念，這涉及概念的名稱、定義、屬性和例證的分析;2．為什么這樣定義，分析概念形成的原因和形成的合理性;3．怎樣將習得的數學概念運用到各種具體情境中去解決相應的問題。數學概念的掌握是提高解題能力的前提，也是數學學科的靈魂和精髓。［2］數學概念對學生而言有雙重作用，既給出了事物是與否的標準，又刻畫了概念的本質屬性，具有可操作性。如果能適時地將思維回歸到定義上，解決問題效果會很明顯。而在實際教學中，發現學生對一些基本概念理解并不準確，沒有全面認知數學概念的內涵和外延，如基本不等式、子集與推出關系、函數的概念、函數的奇偶性、單調性、最值、曲線于方程、橢圓、雙曲線、拋物線等等。針對只能描述等式，而不能描述其前提條件和實際意義，知其然而不知其所以然的情況，教師應加強概念教學的剖析及重點難點的分層突破，充分引導學生在解題過程中靈活運用概念，不僅可以起到簡化思維的作用，還可以培養他們嚴謹科學的數學思維品質。所以概念教學在數學教學中至關重要。

二、數學概念課教學的現狀、問題及原因

學生上數學概念課通常前半節課聽得似懂非懂，后半節感覺聽懂了，但是做題只能對照筆記，離開筆記無從下手。這種現象很普遍，這是由于概念課的學習和教學出現了問題。剖其原因，前半節課教師是在講解概念的形成和建立，學生認為抽象，不愿花更多精力深入理解。后半節課是概念應用、實際解題的過程，學生經常會跟著教師的解題步驟一步步模仿下來，以為自己會做了，而不去想為什么這樣做，至于每一步的由來，就更不愿深入思考了。1.從學生學習的角度分析。以函數的奇偶性概念為例，在學習過程中，學生最大的困惑是奇偶性問題的解題方法容易混淆。這個問題的解題，有時要從定義域出發，有時直接找f(－x)，f(x)的關系，有時還需要舉例說明，有時又不能用舉例說明。因此，學生認為這個問題太靈活，都屬于奇偶性問題，竟然有不同的解法。究其原因，學生習慣于只對解題方法進行總結，而沒有回到數學的概念本質上看問題。因此，時常會出現課堂上跟著教師時，思路非常清晰，每個題目似乎都懂，然而課后自己做題，卻出現思路混亂、無從下手的現象。其實這樣的現象不只在這個問題上出現，學生在很多數學概念的學習過程中都會碰到。筆者認為，產生這種問題的關鍵，是對數學概念的理解不到位，知其然，卻不知其所以然，課后做題時只能拿著筆記模仿解題過程，變成了套路的解題模式，解題過程往往容易遺忘。越不會做，越用大量的題目去練習，就產生了題海戰術，學習中不能舉一反三。課堂簡單化和碎片化的學習，讓數學概念課變成記憶性的學習過程，這樣的過程讓數學學習變得艱難，而且學習效果不好，長時間得不到進步，很多學生因此對數學學習失去了興趣和信心。2.從教師教學的角度分析。由于數學概念教學會受到課時、考試壓力等因素的影響，使數學不得不偏重解題訓練。教師對學科內涵的挖掘不到位，教師需要站在更高的高度對教學內容進行研究。課堂上過于偏重概念的應用，忽視概念的理解、公式的推導過程，教師甚至直接給出結論。數學概念的抽象性，決定了學習數學概念需要學生有一定的思維力和理解力，這也是教學的難點。概念的學習，學生普遍覺得枯燥，難度高，在短期實效上不容易有很大變化，普遍不夠重視。長期積累，就造成學生對概念的理解混亂，只知其一，不知其二，更不能很好地理解和運用概念，會造成數學概念與解題不對稱的問題。數學概念的學習能力將決定學生學習數學的能力，通過大量的訓練，學生即便熟練解題過程，過段時間也容易遺忘。在數學的教學上，教師不僅要重視數學概念教學，而且要引導學生重視數學概念的學習。

三、概念課教學的方法及實施

從數學知識發生發展過程的合理性、學生思維過程的合理性上加強思考，更好地落實數學學科核心素養，教師要注重概念形成的過程教學。1.概念引入。引入概念的過程主要是讓學生了解概念形成的過程，是激發學生學習動機的好機會，可以調動學生學習數學的積極性，教師有必要設法幫助學生完成由感性認識到理性認識的過渡。在教學中教師要注重概念的引入，概念引入的方法有:(1)以最近發展區理論引入最近發展區理論是由蘇聯教育家維果茨基提出的。［3］他把學生的發展水平分為兩種:一種是學生的現有水平，是學生沒有外界幫助下所具有的水平;另一種是學生可能的發展水平，也就是通過外界的幫助，即通過課堂學習所獲得的水平。兩者之間的差異就是最近發展區。教學的難度應該發生在學生的最近發展區，為學生提供帶有一定難度的內容，積極調動學生的興趣，發揮學生的能力，超越他們的最近發展區，從而順利到達下一發展階段的水平。比如冪函數和指數函數、對數函數的學習過程，知識點的層層遞進、其中的聯系和區別、知識的發展變化與銜接過程，體現了函數研究系統的學習過程。也可以進一步研究:對于這三種新增加的函數，它們的函數值的增長快慢有何差別呢?我們通過對三個具體函數“y=3x，y=x100，y=log3x”的函數值(取近似值)的比較，來體會它們增長的速度，體會指數函數、對數函數、冪函數的圖像以及它們各自的增減性。由解析式可以推知函數的變化，同時也能夠熟練地由圖像還原至所學的解析式，達到靈活運用數形結合來解題的目的。對于存在相互聯系的概念，一定要做好比較，防止負遷移，從而讓學生理解概念的本質。例如圓、雙曲線、橢圓三個概念之間有聯系又有區別，通過對比，學生能方便地掌握各概念之間的內涵與外延。教師要提前為學生設置好相似概念、有內在聯系的概念的比較，學生應用才會得心應手。(2)以生活為背景探究概念數學源于生活，是生活的提煉與概括，教學中要盡量發掘可操作性的素材，使課堂氣氛和諧、學生思維活躍。比如在講橢圓概念的過程中，教材以水杯傾斜產生的截面為例，讓學生知道什么是橢圓，形成對橢圓的初步印象。然后在課堂中讓學生動手畫橢圓，學生通過觀察和動手探究，可以對橢圓概念形成直觀感受，有利于概念的獲得，讓學生實際操作，體會畫橢圓的過程，從而引入橢圓的定義。(3)以史實情境引入利用數學史知識來創設數學問題情境，讓學生在生動的情境中學習數學知識，領會數學思想、方法。以“數列”為例，我國古代數學家早就研究過等比數列的問題［4］，《孫子算經》中有一個有趣的題目“出門望九堤”:今有出門重九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何?數學史反映了數學發展的內部規律，讓學生能夠欣賞數學智慧之美，喜歡數學，熱愛數學。(4)以直觀圖形引入把抽象的概念用直觀的圖形表示出來，可以讓其變為通俗易懂的概念。比如函數的單調性，用具體圖像的上升和下降趨勢，引出數學上單調性的概念。數學圖形比較直觀，而數學語言晦澀難懂。比如“對于給定區間I上的函數y=f(x)，如果對于屬于這個區間I的自變量的任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說y=f(x)在區間I上是單調增函數”這一文字描述過程，讓學生不知所云。教師再返回圖像，幫助學生逐字理解概念。追問，不談前面文字，只滿足“x1＜x2時，f(x1)＜f(x2)”函數是否一定具有單調性?揭示“這個區間I的自變量的任意兩個值x1，x2”的意義和重要性。2.概念建立。概念建立一般有兩種方法:一種是概念的直接形成，另一種是概念的同化。概念的形成是通過大量形象具體的例子概括出這些概念的特性。根據學生的實際經驗，以歸納的方法概括出這一類事物的本質屬性。比如函數概念中奇偶性，從生活中各種對稱美的圖片引入;函數的單調性，從各類圖像的上升下降趨勢引入;反三角函數可以由已知三角比求角的問題引入等等。概念的同化是以學生原有的概念為基礎，通過直接下定義的方式向學習者揭示概念的本質屬性。比如復數概念的形成，在原有實數概念的基礎上進行擴充，并定義。再如橢圓、雙曲線、拋物線的概念等。進行新舊概念的區別聯系，突出新概念的本質屬性，實現知識的正遷移。3.概念的鞏固和應用。如何對學習過的數學概念進行有效的鞏固?首先要認識到這是一個識記概念與保持概念的過程，也就是加深理解與靈活運用的過程。我們可以通過概念辨析、變式演練的方法進行鞏固。比如函數的最值概念，通過辨析，進一步理解概念中的重要詞句。如設函數y=f(x)的定義域為R，判斷命題真假:(1)存在常數M，使對任意x∈R，都有f(x)!M成立，則M是f(x)的最大值。(2)若存在x0∈R，使對任意x∈R，x≠x0，都有f(x)＜f(x0)成立，則f(x0)是f(x)的最大值。(3)若存在x0∈R，使對任意x∈R，，都有f(x)!f(x0)成立，則f(x0)是f(x)的最大值。針對最值的存在性和不唯一性進行講解。通過概念的變式辨析，學生可以對最值問題有一個全方位的理解，并進一步理解、深化和鞏固概念，進而熟練掌握使用概念解題的方法。在數學核心素養中，解決問題能力的培養是非常關鍵的。學習數學概念的目的，就是用于解決實際問題。在概念教學中，不能簡單地進行抽象概念的介紹，要讓學生通過實際的例題和情景去掌握概念，進而升華概念。概念獲取的一般規律是由特殊到一般，而它的應用則是從一般到特殊。學生掌握概念是主動在頭腦中進行積極思維構架的過程，不僅要學會新的知識，而且還要使已有知識再一次形象化、具體化，最終形成網絡化。概念學習的高級階段是概念的應用，一般分為兩個層次:(1)在掌握領會的基礎上，將習得的概念用于解決同類問題;(2)能夠對所學概念進行有效的加工，融會貫通，用所學的概念解決新情景中的問題。［5］比如在解決同類問題中，我們學習函數的定義域、奇偶性、單調性、最值、零點，研究這些性質的價值在于研究新函數時，可以通過研究以上性質得到其大致函數圖像特征。對于新情景中的實際應用，在數學教學中，教師也可結合生活生產實際以及科技發展過程中遇到的問題，檢測學生對數學概念的理解程度和對概念應用的靈活程度，從而了解學生運用已學習過的數學概念、知識解決問題的能力。通過對概念的實際應用，可以發現學生對概念理解的偏差，及時調整教學策略和方法。當發現學生運用概念出現問題時，我們就能很好地得到反饋信息并且及時解決教學問題。比如橋梁的設計、噴水池設計、稅收、郵件與郵費問題，學校百草園魚池的設計，可以利用函數不等式、幾何等工具的最優化思想解決。比如上海教育出版社出版的高一年級第一學期數學教材中第61頁的研究性課題:上海出租車計價問題。了解上海出租車計費規則，要經歷調查研究的過程;將調查所得信息數學化處理，也可加入因擁堵而等待的時間，建立車費與行車里程的函數關系式;可以根據出行目的地的遠近，進行簡單的優化分析，如何乘車，可以最大程度降低出行成本。涉及寫分段函數，并求最值的問題。體現了核心素養中培養學生用數學思想方法分析和解決實際問題的基本能力。

四、實施成效

1．學生作業質量上的變化。很多學生在解題過程中依賴上課筆記，尋找對應的解題過程，由于一知半解，解題過程中會產生很多錯誤，比如證明奇函數過程中，f(－x)=－f(x)成立，就下結論是奇函數，定義域遺漏考慮;奇偶性證明時會有舉例說明;在說明非奇非偶函數時不會否定等。通過數學概念的有效教學，讓學生在數學學習中從“總結解題方法”轉變成“探討為什么是這樣的解題過程”，進而引導學生進行數學概念本質的探討，學生的錯誤明顯減少。2．學生聽課效率上的變化。在課堂實例中，教師應把握課堂的重點難點，合理設置有效提問，啟發學生分層解剖概念，引導學生抓住數學概念的本質特征，把所有問題回歸到數學概念。通過對數學概念的強化教學，也使學生的學習能力有明顯提高，學習的注意力更加集中。數學不同題型的解題過程不再是需要記憶的部分，所有解題思路的關鍵從概念定義入手，引導學生抓住定義的本質特征、成立條件，從更高層面分析定義的內涵和外延。對概念的熟練掌握和應用，可以以不變應萬變，解題方法圍繞概念進行，避免解題方法和知識點的碎片化，對學生學習數學起到事半功倍的效果。3．學生測試評價上的變化。筆者所教授班級的數學成績在平行班中一直名列前茅。筆者認為這與重視數學概念教學、強化數學概念的理解是分不開的，這也是學生數學學習能力提升的重要原因之一。

五、總結及反思

高中數學教學應該化繁為簡，把抽象問題變為具體問題，努力揭示數學概念與實際問題之間的關系。數學課程要講邏輯推理，通過實際情景的分析和學生自主探索，使學生了解數學概念的產生過程，體會其中蘊含的數學思想方法。［6］將核心素養目標滲透到教學設計中，通過科學合理的數學教學活動，讓學生在數學學習中實現自我發展、自我超越、自我升華。在數學學習過程中，培養學生的邏輯思維，發展學生的理性思維能力，讓學生的學科素養在學習數學的過程中得到自主的發展。教師對概念的講解要從實際情景出發，精心設計體驗過程，要及時有效地解決教學過程中產生的問題;采用不同的教學方法，讓學生通過觀察、分析，揭示數學概念的本質。為學習新知識打下堅實的基礎，要讓學生真正理解掌握概念，讓學生從死記硬背和“標準”解題步驟中解放出來。這就決定了教師需要站在更高層面，對數學概念有更深層次的理解，分析每個例題所蘊含的數學概念、數學思想方法，回歸數學的本質。數學概念的生成正是體現了數學的嚴謹性和精確性。［7］數學概念教學的一般過程是:讓學生了解概念產生的情景，理解概念的內涵和外延，熟悉表達方式，熟記概念形成的條件，掌握如何正確靈活使用概念來解決實際問題。概念和定義的熟練掌握在學生數學思維的發展以及向高端數學思維過渡的過程中極其重要，每位教師都要重視概念課教學，熟練運用各種教學方法和教學手段，加強概念定義的教學，幫助學生夯實數學基礎，優化課堂教學效率。

參考文獻:

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［7］岑國勇．一堂數學概念課的反思［J］．貴州教育，2008，(6)．

作者:李 靜 蔡 文 單位:上海師范大學第二附屬中學