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摘要：在人們的初始印象中，學習數學主要是訓練邏輯思維能力。在以往的教學中，特別強調數學的“三性”，即抽象性、嚴謹性、系統性。這固然是一個重要的方面，但我們也不能忽視生動活潑的形象思維在數學教學中的重要作用。該文分析了這兩種思維形式的特點、作用和相互關系，從而對數學的創造性思維有一個更全面的認識。

關鍵詞：數學教育；邏輯思維；形象思維

數學是最講究邏輯思維的，而形象思維多見于文學藝術領域，但兩種思維并沒有不可逾越的界線。數學的最終表達形式必須嚴格按照邏輯規則書寫出來，不能有絲毫的含混。從某種意義上說，全部的數學是可以從用少數的邏輯公式推演出來的。因此，人們經常強調數學的抽象性、嚴謹性和系統性。這種把豐富的數學內容歸結為簡單的邏輯規則就叫做“收斂思維”。但是，數學的學習、理解、講授和創作過程又充滿著形象思維的特點，不拘一格地進行由此及彼、由表及里、去粗取精、去偽存真的體會和感悟。這種思維是開放的、自由的，因而叫做“發散思維”。因此，成功的教學必須是這二者的有機結合。自從出現了數學的公理化方法之后，數學理論的表述都要遵循嚴格的邏輯規則，一步一步地進行演繹推理，否則就不能保證結果的正確性。但是，豐富多彩、生動活潑的創造性思維絕不是一些形式化的邏輯規則所能包容的。一個數學定理的誕生往往要經過一個從不合邏輯到合乎邏輯的醞釀過程：觀察—直覺—猜想—修正—證明。這里存在著形象思維的要素：聯想、類比、暗示、啟發、預感和意會。數學的書面形式，就像一幕劇的最終演出，總是那樣有條不紊、天衣無縫；而產生這最終形式的創作過程，卻有如后臺的排練，經歷設想與修改的多次反復，思路縱橫，不拘一格。這種“前臺演出”與“后臺創作”的思維方式是不同的：前者以邏輯思維為主，后者更多地表現出形象思維的特色。數學教學則是往返于這兩者之間的活動：它把抽象的原則、原理、公式溶解于豐富的直觀想象；反過來又把粗糙的感性理解凝練成嚴謹的理論。這種教學活動的目的是培養學生從想象到理論的創造能力，不只是讓學生去記憶和復述書本的推理過程和計算方法。[1]

1數學教學中存在的主要問題

想要培養學生的思維能力，就必須分析當前數學教學中存在的主要問題，只有這樣才能從問題出發來解決問題，幫助學生培養良好的思維能力。下文中筆者從教師和學生兩個方面出發，分析了當前數學教學中存在的主要問題，希望能夠提高數學教學的質量，幫助學生更好地學習數學。

1.1教師教學存在的問題

很多教師進行數學教學時，還是選擇以往的教學方式，教師依然是課堂教學的中心，這種情況下，教師的教學不但無法激發學生的學習興趣，課堂教學的效率也很難提高。隨著新課改的不斷深化，中學教育也更加重視學生綜合能力的提高，但現在很多教師開展數學教學時，依然比較重視知識的傳授，對學生解題能力以及綜合能力的培養不夠重視。

1.2學生學習存在的問題

數學教學要求學生具有基本的抽象思維能力以及邏輯思維能力，而能力培養對于學生而言是比較困難的，想要解決這個問題就要幫助學生轉變學習方法。數學課后習題往往比較注重學生運用知識的能力，要求學生掌握數學解題的思路。但是現在很多學生還是選擇傳統的學習方法，對于數學思路的養成不夠重視，這也給學生的數學學習造成極大的影響。學生學習的積極性較差，也是當前的一個重要問題，以往的填鴨式教學很難激發學生學習數學的積極性，教師一味地講課，學生被動地聽課，枯燥無味。這種情況下，教師可以給學生一定的時間，讓學生去講臺上解答相關問題甚至是教學，這也能讓學生更好地參與數學學習，拉近師生的距離，更好地開展課堂互動。

2數學教學中兩種思維能力的培養

如何在數學教學中培養邏輯思維和形象思維能力，是一個需要著力研究的大課題。下面談一些體會和認識：

2.1教師要起示范的作用

基礎課教師在課堂教學中，嚴謹的語言、清晰的表達、規范的板書對學生的影響極大。如果教師在講課中的每一步推理都有理有據、一環扣一環；分析問題層次分明、切中要害；所用的術語記號準確簡練，對做學問的態度嚴肅認真；這樣日復一日的耳濡目染，便會逐漸使學生養成形成良好的思維習慣，因此，要對學生進行嚴格的邏輯訓練，必須先從教師自身做起。另外，現在學生普遍存在的問題是動手寫得少。應該提倡用“寫讀法”讀書，按照規范的格式寫筆記、寫作業、寫總結、寫札記、寫小論文。[2]

2.2重視原始思想的闡發

課堂教學要著力于分析各種理論的原始思想，以便認識抽象思維的根基。人們常說要重視“引論”的教學，這就是要講清楚一些重要理論建立之前的背景、動機和思想的萌發。而在理論的闡述過程中往往會出現思維的“斷層”或“倒置”，如猛然給出一個定義或一個構造，然后推出所需的結果來，從書面表達上說，這是為了簡練；但在學生學會這種跳躍式思維之前，我們必須做一些鋪墊，或者把思考過程顛倒過來。[3]這就是說，我們經常跑到“后臺”去，看看那些跌宕起伏的情節是怎么排演出來的，這種在“后臺”里講的臺詞也許不嚴謹、不完整、不成熟，但有啟發作用。

2.3尋找恰當的直觀解釋和形象啟示

對具有抽象性、嚴謹性和系統性的數學理論的理解，應該通過直觀的例子、生動的聯想和具有啟發的類比，使之過渡到形象思維的境界，達到一種體味和感受的效果。[4]在這一點上，常常借助于幾何直觀與物理模型的描述，有時還借鑒各種自然和社會的現象，設法給學生一個易于接受的整體印象。有時對一個艱澀的定義進行連篇累牘的注釋，不如一個恰當的比喻更能切中要害；有時一個定理的周密證明不如一個具體的例子更能揭示其實質。在這個意義上，有人說：“例子比定理更重要”。例如，在微積分中，“極限”“導數”“積分”等，都是一些抽象的概念，我們在給出它們的正式定義之前，一定是從它們的幾何意義和物理意義的介紹入手，通過實際的例子引出導數的極限定義。當然，形象的理解最終仍復歸于嚴謹的理論，它只是作為更牢固的掌握理論的過程。按照慣用的三段模式，我們的教學過程應該是“抽象—直觀—抽象”或“邏輯—形象—邏輯。從書本的抽象表述出發，經過講解達到形象的理解；再從形象的理解上升為更深層次的邏輯思維成果。這后一轉化往往體現在解決問題（做習題、做研究）的進程中———從理解、想象、設想、猜測出發，經過清洗、提煉、升華，到達邏輯的實現，這就是數學的創造性過程。所謂培養分析問題和解決問題的能力，就是要培養這種轉化的能力。

2.4將數學知識和學生生活結合在一起

數學知識本身便來源于生活，生活化教學能夠將抽象復雜的數學問題生活化，讓學生對數學知識有更加直觀和形象的理解，這對學生邏輯思維能力和形象思維能力的養成非常重要。[5]這便要求教師在教學時必須重視生活化教學方式的運用，將生活化方式合理地運用到數學知識教學中，給學生營造一個良好的生活教學情境，幫助學生更好地理解相關知識點，增強數學教學的有效性。

2.5兩種思維方式的有機結合

邏輯思維方式和形象思維方式在人們的思想中是相輔相成的，二者缺一不可。忽視數學的邏輯表現形式，稀里糊涂、漏洞百出，這不叫數學。而只強調數學的抽象性和嚴謹性，輕視其比比劃劃、拼拼湊湊、憑直覺印象進行綜合推理的醞釀構思過程，這也是片面的。邏輯的方法與非邏輯的方法應該有機結合，從它們之間的相互轉化中不斷提高數學能力。[6]抽象的理論經過消化理解之后，將會變成更高層次的直觀；而這又將成為消化理解更深層次理論的依據。邏輯思維能力的提高，將促進直覺判斷和機敏思維的發展；而這又將為創造更深刻的邏輯思維成果鋪平道路。一個數學工作者的成長，是與這兩種能力的交互發展分不開的。在文學藝術領域，有些人認為邏輯思維會使文學藝術“索然敗興”，而在數學中的一些流派也同樣排斥形象思維。實際上，邏輯思維使人思想更嚴密、更有條理；形象思維使人思想更開闊、更豐富。只有把兩種思維方式有機結合，才能取長補短、相互促進，達到更高的境界。

參考文獻

[1]波利亞.數學與猜想：數學中的歸納和類比(第一卷)[M].北京:科學出版社,2020.

[2]徐利治.數學方法論[M].遼寧:大連理工大學出版社,2018.

[3]波利亞.怎樣解題:數學思維的新方法[M].上海:上海科技教育出版社,2011.

[4]張順燕.數學的思想、方法和應用[M].3版.北京:北京大學出版社,2009.

[5]米山國藏.數學的精神、思想和方法[M].上海:華東師范大學出版社,2019.

[6]張世斌.數學建模的思想和方法[M].上海:上海交通大學出版社,2015.

作者：林浩 單位：河南工業大學理學院