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1沿襲學習路徑，感受數學的悠遠之境

章建躍博士指出：“數學具有‘追求最大限度的一般性模式的傾向’，有一套具有普適性的思考結構．”［2］這里的“一般性模式”，其實就是我們平時所說的學習路徑，也是章先生提倡的研究問題的“基本套路”．縱觀數學教材，可以發現，雖然章節內容各不相同，但數學知識之間的內在邏輯結構、研究對象的邏輯關系、數學知識的呈現等都是有規律可循的．教師要引導學生理解并掌握研究不同類型數學對象的“基本套路”，學會借鑒以往的學習經驗，并沿襲普適性的研究路徑展開學習．案例1《線段、射線、直線》的教學．從這節課開始，學生將系統學習平面幾何，從知識內容來看，它是今后研究其他圖形的基礎；從研究方法和路徑來看，可以為今后研究其他圖形提供可借鑒的經驗．本課的重要性不言而喻．在教學時，教師不僅要研讀本節課教材編排的內容，也要熟悉整個初中階段平面幾何的學習內容，找出“一般性模式”，按照“背景—圖形—定義—表示（三種語言）—性質—聯系和應用”的邏輯路徑展開教學，尤其在課堂小結時，要求學生自已回顧總結研究的步驟，從而明晰研究幾何對象的“基本套路”，達到“示以學生思維之道”的目的．在接下來學習《角》時，首先問學生：我們學習《線段、射線、直線》時，是按照怎樣的研究思路進行的？引導學生回顧后，指出：今天我們將借鑒這樣的路徑研究《角》．同樣地，在平行、垂直、余角和補角等內容的學習時，也都可以用相同或相近的思路展開探究活動，讓學生感受到學習新知是“有路可走”的．案例2法則教學．章建躍博士認為：數學的命根子是推理，數學的童子功是運算．［2］法則教學兼具了培養學生推理和運算能力的功能．以“有理數的加法”為例，它是初中階段學生學習的第一條運算法則，教學時要深刻領會教材的編寫意圖，能夠將其放置于整個體系中去思考，理出法則教學的基本套路，按“背景—數學式子—法則—聯系和應用”的邏輯順序展開教學．與前面幾何教學相似，在全課總結環節，也要引導學生自己對研究過程進行梳理，為后續學習提供可以借鑒的學習路徑．同樣地，概念、公式、定理、性質等內容的教學也都有其共性．教學中，教師要梳理出研究學習的基本模式，引導學生學會沿襲以往的學習路徑，從而能夠順利探得新知、挖得寶藏，使他們感受到數學學習的“珠穆朗瑪峰”雖然離自己很遠，但“登山”的路就在腳下，從而切實體會到數學的悠遠之境．

2學會融會貫通，感受數學的融通之美

數學知識的形成是自然拓展的結果．比如數的演變過程，由于記事和分配生活用品的需要，先產生自然數，接著產生分數，然后是有理數、無理數……教師在教學中應及時融會貫通，特別要注意將新知識納入原有知識體系，讓學生感受到，隨著數學知識的自然拓展，原有的很多規定、法則等都會有相應的升級、更新．案例3《冪的運算》．這一章節內容，教材中先安排了四課時學習《同底數冪的乘法》《冪的乘方和積的乘方》以及《同底數冪的除法（1）》的運算法則，這幾種運算都建立在冪的指數為正整數的前提下．在第五課時學習了“零指數冪和負整數指數冪”之后，筆者設計了這樣兩組題目：第一組①（－3）2÷（－3）－2；②（－3）2×（－3）3；③12（）－1×12（）2；④12（）－1÷12（）－2．要求學生先計算，計算后引導學生觀察討論：①和②，③和④之間有怎樣的關系？同底數冪的乘法運算性質與除法運算性質之間有怎樣的關系？第二組判斷下列計算是否正確：（1）（4－2）3＝4－6；（2）（－2×3）－2＝（－2）－2×3－2．學生依據負整數指數冪的規定，分別計算等式的左右兩邊，確定出這兩題都正確．然后教師提問：這兩個式子給你們什么聯想？設置這兩組習題的目的有兩個：一是使學生知道，冪的運算性質擴展了，使得同底數冪的乘法和除法運算性質實現互通，它們的本質是一致的；二是讓學生體會到數學知識之間的緊密聯系，感受到數學的統一美、整體美．事實上，基于整體觀的初中數學教學不僅可以像案例1、案例2那樣反映一個板塊的聯系，也可以像《冪的運算》一樣，體現在一個章節的前后融通中．這兩組習題其實也是新知學習后的“回頭看”，它就像一個控制鍵，按下它就是打開了新舊知識聯結的閥門，新知得以與舊知自然連通，舊知也得以更新與升級，學生眼中的數學是可以融會貫通的，從而感受到數學的融通之美．

3加強類比遷移，感受數學的靈巧之意

類比遷移是一種基本的思想方法．通過類比，可以有效地將已有知識的內容和研究方法正向遷移到新知識的學習中．細心研讀教材我們便會發現，有不少知識點雖然所在章節不同，但內容非常相近或類似，對于這部分內容我們完全可以實行“點對點”的遷移，在沿襲“路徑”中探究新知，在縱橫比較中加深理解．案例4教學《分式》可以類比《分數》進行．比較看，分數和分式同屬于“數與代數”這一板塊，它們都可以按照“背景—對象—定義—性質—運算—應用”的設計線索展開（圖1）；從章節編排體系橫向比較看，它們的知識脈絡是一致的（圖1）：它們的定義形式類似、基本性質的內容類似、約分和通分的方法及依據類似、四則運算的法則類似，實際應用的范圍也有類似之處，所以類比《分數》進行《分式》的教學，不僅能夠有效培養學生應用已有學習經驗解決新問題的能力，更能提高他們對知識生長鏈整體性的認同感．像這類體系相同、知識點類似的章節還有很多，都可以進行類比教學．例如，一次函數、反比例函數和二次函數之間，一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程之間，一元一次方程和一元一次不等式之間等．同樣地，概念是種屬關系的知識之間也可以進行類比遷移．學習相似三角形時，可以引導學生類比它的特殊情形———全等．矩形、菱形、正方形這些特殊平行四邊形的學習，也可以類比平行四邊形的學習方法和過程展開．新舊知識的溝通與類比，讓學生發現，對于不同章節里有著緊密聯系的知識，由于它們的知識結構有相似之處，此時的探究學習并不需要另辟蹊徑，而是有竅門的，是可以“巧學的”，從而感受到數學的靈巧之意．

4嘗試多題歸一，感受數學的凝練之態

著名數學家華羅庚把讀書過程歸結為“由薄到厚”和“由厚到薄”兩個階段．［4］其實這也正是我們數學教學的兩個階段：在每一節課教學時，我們要充分研讀教材，理清知識脈絡，找到本節課內容的“生長點”和“延伸點”，領會教材所蘊含的重要的數學思想及可借鑒的學習路徑等，這就是學習的第一階段———“由薄到厚”；當我們將一章乃至更多的內容學完時，就需要進行梳理歸類，找出相關問題的共同點，歸納總結相同的解題方法和經驗，用幾句話或一個圖表簡潔地將知識進行串聯，這就是學習的第二階段———“由厚到薄”．要做到“由厚到薄”，教師就要善于整合教材，追本溯源，做到“多題歸一”．案例5銳角三角函數的簡單應用．由一道實際問題變式得到四個題目，根據這四個題目可畫示意圖（圖2），解答后引導討論．圖2問題1這四個圖形是用“銳角三角函數解決問題”的幾種常見類型，它們的解題過程有何類似之處？師生共同小結，歸納出解題基本思路（圖3）：圖3問題2這四個圖有何聯系？學生討論后明確：通過高線CD可將第一個圖形中的△BCD沿CD翻折得到第二個圖形，將第二個圖形中的CB平移會得到第三個圖形，將第三個圖形中的△BFD沿BF翻折可得第四個圖形，所以后面的三個圖形都可以由第一個圖形變化而來（圖4）．圖4教材中，銳角三角函數的簡單應用里的大多數實際問題都可以對應到以上四種圖形，而這四個圖形都可以由第一個圖形轉化而來，就相當于這一章所學的知識，掌握一個基本圖形的解答，再稍加變化就可以了．這樣的整合概括性強、思想性高、數學味濃，減輕了學生的學習負擔，實現了多題歸一，讓學生對整章知識有了全面又簡潔的深刻認識，從而感受到數學的凝練之態．讓學生感受到數學的悠遠之境、融通之美、靈巧之意、凝練之態，只是“基于整體觀的初中數學教學”的初衷．它的最終目的是希望教師能站在整體觀的高度去審視教材、實施教學，摸清不同類型知識的研究路徑，讓學生的學習探究“有路可走”；加大對學生知識體系的構建強度，讓學生的知識體系“及時升級”；加強橫向與縱向聯系，讓學生的新知學習“一馬平川”；拓展對多題歸一研究的深度，讓學生的后續學習“一通百通”．

參考文獻

［1］鄭金賓．高中數學教學要樹立整體觀［J］．天津教育，2012（12）．

［2］章建躍．核心素養統領下的數學教育變革［J］．數學通報，2017（4）．

［3］陽小寶．淺談類比聯想在數學教學中的應用［Z］．2018（11）．

［4］王小東．讀書的好處［J］．中學時代，2018（9）．•7•

作者:石禮芹 單位:江蘇省淮安市金湖縣教師發展中心