導語：中學數學教學不可輕視的函數結構一文來源于網友上傳，不代表本站觀點，若需要原創文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

【摘要】本文研究了一元函數的結構與分類，在教學過程中發現高三學生弄不清有哪些基本初等函數，總是將一次函數、二次函數歸為基本初等函數，甚至談到超越函數就色變，對函數的學習也很難做到高屋建瓴、事半功倍，甚至有的教師也分不清函數的分類。

【關鍵詞】基本初等函數；初等函數；超越函數；初等運算；超越運算

在很多次的教學研討或者公開課中，經常聽到教師們稱二次函數為基本初等函數，甚至也有的教師很詫異“為什么指數函數會被稱為超越函數？”本文將結合運算與解析式談函數的分類與這兩者的聯系，給教師備課提供更多的素材，希望能夠促進數學教學。

一、運算與解析式

在研究函數分類之前，很有必要了解一下“代數”這門學科。代數是研究數與字母的關系、性質和運算法則的分支學科，是研究實數和復數以及以它們為系數的多項式的代數運算理論和方法的數學分支學科。解方程就是代數的一部分內容，而初等代數的中心內容就是解代數方程，在中學，我們以研究初等代數為主。要討論代數方程，首先遇到的一個問題是如何把實際問題中的數量關系列成帶有未知數的代數式，然后根據等量關系列出代數方程，所以初等代數的一個重要內容就是代數式。那么，代數式與本文中的函數分類究竟有什么樣的聯系呢？帶著疑問，我們先從運算談起。1.運算運算分為初等運算與非初等運算。初等運算分為初等代數運算和初等超越運算。其中，初等代數運算包括加、減、乘、除、開方、有理數次乘方，如a+2、等分別含有加法、有理數次乘方運算；初等超越運算包括無理數次乘方、指數、對數、三角、反三角等運算，如、、等分別含有無理數次乘方、對數運算、反三角運算。那么非初等運算包含哪些呢？中學數學教材中介紹的極限、導數、積分，還有大學里將要學的級數等均屬于非初等運算。當然，有些非初等運算的結果可能是初等形式的數，如、等。2.解析式解析式是代數中的基本概念之一，用運算符號和括號把數字和字母按一定規則連接成的式子稱為解析式（與函數中的解析式同名，但含義有區別），常簡稱式。例如：a+b、、sinx+cosy+a2等，其中運算符號至多有可數個，除了代數運算外，也可以是復合、求極限、求導數、求積分等，這些運算統稱為解析運算，故而產生解析式這一名詞。特別地，只含代數運算的式稱為代數式，含初等超越運算的式稱為初等超越式，簡稱超越式。式注重外形，如、sinx+cosy+a2等為超越式，而雖然可化為xy（注：x>0，y>0），但仍然稱為超越式。數學辭海中指出除代數式以外的式均為超越式。不知道是不是辭海中注重概念的形式還是忽略了概念本身，本文認為式應該按照對應的運算分類，也應分為初等與非初等，如：、、就應為非初等解析式。雖然前面兩個分別能夠化為初等形式ex+ey-1、，但是僅從形與運算的角度，仍然屬于非初等一類。另外，式根據運算可進行分類，具體分類情形如圖1：圖1教師經常會把“”稱為平方差公式，其實，平方差公式只是在整式范圍內的運算，而上面的式子屬于代數式中無理式的范疇，談不上叫“平方差公式”，只能是“類平方差公式”。式強調形，根據運算分類，與數是代數數還是超越數無關，至于含有超越數的式子，如：ex+y等仍然屬于整式范疇。但很多人認為弄清上面這些跟教學無關，尤其是高中生，甚至如果不是從事數學專業方向研究的，都很難搞清這些，也沒必要。這種觀點從學生的非專業化角度來看，似乎很有道理，但是筆者認為，作為從事數學教育的教師應該弄清這些概念，才能更好地教育學生。雖然我們不需要刻意地去教授這些知識，但是應該潛移默化地將這些知識以及它們之間的聯系傳授給學生。數學體系本身就很復雜，就算是世界上頂尖的數學家們也很難將數學這門學科的體系與結構講述得清楚透徹，但學習數學是一個積累的過程，尤其像微積分這樣偉大的發明創造屬于非初等運算就應該讓學生弄明白。難道我們的基礎教育不應該是這樣嗎？

二、函數相等

下面來看一下經常碰到很多關于是否是同一函數（本文只討論一元函數）的大討論。例如：判斷函數f1（x）=2x，x∈{0，1，2，3}與，x∈{0，1，2，3}是否相等？有兩種觀點：一種認為這兩個函數不相等，理由是這兩個函數的對應法則形式不一樣。另一種觀點認為這兩個函數相等，理由是這兩個函數的定義域相同，對應法則雖然在表達式的形式上不一樣，但實質相同。我們一起回顧一下《普通高中數學課程標準實驗教科書·數學》中關于函數的定義：“如果兩個函數的定義域相同，并且對應關系完全一致，我們就稱這兩個函數相等。”從教材的這段敘述來看，函數相等的定義很明確：如果函數的定義域和對應法則相同，那么函數相等。筆者同意第二種觀點，對應法則本質就是自變量與因變量的配對法則，解析式只是一種表示方式，式的形不同，配對的法則不一定不同，如果表達式可以化簡或者等價到同一種形式，那么對應法則就是一樣的，這與代數中的式（也叫解析式）不一樣，其強調的是形，而函數注重對應關系的本質。例子中的兩個函數定義域一樣，定義域中每一個數所對應的函數值都是完全一致，如圖2，因此這兩個函數相等。函數的實際配對沒有區別，像這樣的兩個函數不應該被分成兩類不同的函數。圖2

三、函數分類

1.基本初等函數與初等函數關于基本初等函數的提法，各個文獻有所不同，常見的有三種提法。第一種提法：基本初等函數包括常值函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數六大類函數；第二種提法：基本初等函數包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數與反三角函數五大類函數；第三種提法：基本初等函數包括常值函數y=1、恒等函數y=x、正弦函數y=sinx以及指數函數y=ex這四個函數。先不討論誰更優，那么怎么形成初等函數呢？文獻提出由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟得到的函數稱為初等函數。而第二種提法下，初等函數是由常數與基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟得到的函數。其實第二種提法與第一種提法差距不大，無本質區別。文獻中指出，如果是第三種提法，那么初等函數則是由基本初等函數經過數乘、有限次四則運算、有限次復合步驟及求反函數而得到的函數。目前主流說法是第一種提法，之所以是第一種提法，筆者認為有多方面因素，如對數的出現是數學歷史上關于數的重大發明，一要突出其地位，二要尊重歷史，三是能夠讓中學生更直接地了解數學中最經典的知識。而且為了給學生減負，很多知識在現有的中學階段已經淡化，如數乘與反函數，中學教材中僅僅是在平面向量中提及數乘運算，且在學習指對函數時簡單提了一下反函數，甚至反三角函數直接不提。以上是筆者自己的觀點，不太成熟，有誤歡迎指正。2.初等函數與非初等函數由于函數注重對應關系的本質，根據運算（與對應法則相對應），可以將函數分為初等函數與非初等函數，至于每一種函數的名稱與函數表達式在這里不再詳述，如圖3是函數的結構分類。需要指出的是，雖然函數分類依據運算，與代數學中的式相對應，但是函數注重對應關系的本質，不管是基本初等函數中哪一種提法，有一點都需要弄清，如：f（x）=可化簡為ex，這樣的函數必須是初等函數且是指數函數，而不能因為有級數就認為是非初等函數，因此，應該將“凡是由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟所構成，并能用一個數學式子表示出來的函數稱為初等函數”修改成“凡是能由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟所構成，并能用一個數學式子表示出來的函數稱為初等函數”，加個“能”字，所有函數概念都加個“能”字，筆者認為更準確一點，比如y=|x|與就是同一函數了，也不會爭論y=22x到底是不是指數函數了。另外，非初等函數的例子很多，如：積分型的dt、級數型的貝塞爾方程的解（x∈R）、分段函數中的Dirichlet函數與Riemann函數等等。本文有很多是筆者在教學過程中發現的問題，加入了很多自己的觀點，由于水平有限，不當之處，希望專家或讀者批評指正，只求能夠解決疑惑和達成共識。雖然本文中函數的結構分類不是中學數學教學的重點，但是至少能給讀者在中學數學教學時提供更加完整的備課素材，同時科普一下數學文化知識，這就達到了筆者寫這篇論文的初衷了。

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作者：陶尚明 劉向兵 單位：安徽省馬鞍山市第二中學鄭蒲港分校 安徽省馬鞍山市第二中學