導(dǎo)語：微積分在大學(xué)物理課程力學(xué)部分應(yīng)用一文來源于網(wǎng)友上傳，不代表本站觀點，若需要原創(chuàng)文章可咨詢客服老師，歡迎參考。

【摘要】大學(xué)物理是本科院校理工科學(xué)生的主要必修課程。研究微積分在力學(xué)中的主要應(yīng)用，幫助學(xué)生重視微積分理論與技能學(xué)習(xí)，提升物理學(xué)習(xí)效果，同時對數(shù)理教學(xué)活動提供一點參考。

【關(guān)鍵詞】微積分;導(dǎo)數(shù);微分;積分

一、導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義

假設(shè)一元函數(shù)在某點一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)給該點以增量（仍在同鄰域）時函數(shù)產(chǎn)生相應(yīng)增量。若函數(shù)增量與自變量增量比值，在自變量增量趨于零時的極限存在，則稱此極限值為函數(shù)在點的導(dǎo)數(shù).又稱函數(shù)在該點可導(dǎo)。

（二）導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)在力學(xué)中的存在形式并不統(tǒng)一。不同導(dǎo)函數(shù)在物理學(xué)中意義迥異。比如速度、加速度等。質(zhì)點按位置矢量的規(guī)律運動，在一段時間內(nèi)發(fā)生位移.當(dāng)時間間隔趨于零時，位移與時間比值的極限，就是質(zhì)點在初始時刻的瞬時速度.此速度其實就是位置矢量對時間一階導(dǎo)數(shù)；再比如，圓周運動中角坐標(biāo)表示質(zhì)點某時刻所在的位置，質(zhì)點運動中在一段時間內(nèi)角坐標(biāo)發(fā)生改變，產(chǎn)生角位移。當(dāng)時間間隔趨于零時，角位移與時間間隔比值的極限，是角坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)，其實就是質(zhì)點在初始時刻的角速度；此外，導(dǎo)數(shù)還可以表征機(jī)械做功的快慢：設(shè)某機(jī)械在一段時間內(nèi)做功，當(dāng)時間趨于零時，機(jī)械所做的功與該段時間之比的極限，可得到機(jī)械在初始時刻的瞬功率，機(jī)械的瞬時功率實際上就是功對時間導(dǎo)數(shù)。

二、微分在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）根據(jù)微分定義函數(shù)在自變量某點一個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量發(fā)生改變時，若函數(shù)的增量可以表示為自變量增量倍（與自變量增量無關(guān)）跟自變量增量之高階小的和，這個自變量增量的倍稱為函數(shù)在初值處的微分，此時也稱函數(shù)在該處可微。

（二）微分在力學(xué)中的應(yīng)用微分在物理學(xué)中使用，常以“某某元”形式出現(xiàn)，如位移元，路程元，電流元、元功等質(zhì)點運動時常用位置矢量表示質(zhì)點在某時刻相對某點所處位置，位移表示一段時間內(nèi)質(zhì)點位置矢量的改變。位移元是位置矢量函數(shù)對時間的微分，它表示在很短時間間隔內(nèi)質(zhì)點微小位矢增量，亦即微小的位移；再如，路程元（又稱長度元）表示質(zhì)點運動時其軌跡長度的微小改變，即微小的路程。路程元是位置函數(shù)對時間的微分。

三、定積分在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）函數(shù)定積分的本質(zhì)

函數(shù)定積分的本質(zhì)是求函數(shù)在自變量有限范圍內(nèi)的部分量之總和。簡言之，為計算總量，選取積分變量，取其任一小區(qū)間得函數(shù)部分量元素；從起點到終點對部分量元素累加之和是為總量，這個方法叫定積分元素法。

（二）定積分元素法在力學(xué)中應(yīng)用

求質(zhì)點在變力作用下沿曲線起點移至終點的總功。按功的定義，先計算外力在曲線上任一位移元上所做的元功，此時位移元大小等于曲線元，力做的總功就是元功從起點到終點的定積分；若剛體在垂直于轉(zhuǎn)動軸的外力作用下，轉(zhuǎn)過角位移元，按總功的定義，寫出剛體受外力在這小段位移所做元功，可得力（力矩）對剛體所做總功。

四、可分離變量方程在力學(xué)中的應(yīng)用

（一）微分方程

微分方程是指凡含有未知函數(shù)及導(dǎo)數(shù)的方程，稱為微分方程。將微分方程中的變量先進(jìn)行分離，再對兩側(cè)同時積分即可。

（二）可分離變量微分方程在力學(xué)中的應(yīng)用

在物理學(xué)運算中常常會用分離變量法解微分方程。比如，在直角坐標(biāo)系下，質(zhì)點沿橫軸做初速度不為零的勻變速直線運動。由于加速度是速度的一階導(dǎo)數(shù)，分離變量可得速度微分等于加速度與時間微元乘積，結(jié)合初始條件兩側(cè)取定積分即可得解。綜上所述，微積分與物理學(xué)（含力學(xué)）淵源深厚。對理工科學(xué)生而言，良好的微積分理論功底，對學(xué)習(xí)后續(xù)課程如物理學(xué)大有裨益。從教師角度，從事物理課程教學(xué)的教師，應(yīng)有一定嫻熟深厚的數(shù)學(xué)功底，才能在物理學(xué)（含力學(xué)）授課中揮灑自如；而數(shù)學(xué)教師在微積分教學(xué)中，在教學(xué)中靈活運用物理學(xué)量舉例，以學(xué)生獲取最大化為原則，適當(dāng)考慮微積分相關(guān)教學(xué)內(nèi)容安排與后續(xù)課程銜接。

參考文獻(xiàn)

[1]第23屆純粹物理與應(yīng)用物理聯(lián)合會代表大會，（縮寫IUPAP），1999.

[2]嚴(yán)導(dǎo)淦，王曉鷗.大學(xué)物理學(xué)，北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2012：3.

[3]盛祥耀.高等數(shù)學(xué)，北京：高等教育出版社，2001：45.

[4]王志平.高等數(shù)學(xué)，上海：上海交通大學(xué)出版社，2012：91.

[5]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)，北京：高等教育出版社，1978：268.

作者:王奕潤 胡珍妮 姜曼 單位:西安交通工程學(xué)院數(shù)理教研室