導語：如何才能寫好一篇學數學習總結，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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    一  預習、聽課、復習、作業的方法

    與數學課堂教學相適應的學習方法,就是預習、聽課、復習、作業的方法等的基本方法。

    1、預習的方法

    預習是上課前對即將要上的數學內容進行閱讀,了解其梗概,做到心中有數,以便于掌握聽課的主動權。預習是獨立學習的嘗試,對學習內容是否正確理解,能否把握其重點、關鍵,洞察到隱含的思想方法等,都能及時在聽課中得到檢驗、加強或矯正,有利于提高學習能力和養成自學的習慣,所以它是數學學習中的重要一環。

    數學具有很強的邏輯性和連貫性,新知識往往是建立在舊知識的基礎上。因此,預習時就要找出學習新知識所需的知識,并進行回憶或重新溫習,一旦發現舊知識掌握得不好,甚至不理解時,就要及時采取措施補上,克服因沒有掌握好或遺忘帶來的學習障礙,為順利學習新內容創造條件。

    預習的方法,除了回憶或溫習學習新內容所需的舊知識(或預備知識)外,還應該了解基本內容,也就是知道要講些什么,要解決什么問題,采取什么方法,重點關鍵在哪里,等等。預習時,一般采用邊閱讀、邊思考、邊書寫的方式,把內容的要點、層次、聯系劃出來或打上記號,寫下自己的看法或弄不懂的地方與問題,最后確定聽課時要解決的主要問題或打算,以提高聽課的效率。在時間的安排上,預習一般放在復習和作業之后進行,即做完功課后,把下次課要學的內容看一遍,其要求則根據當時具體情況靈活掌握。如果時間允許,可以多思考一些問題,鉆研得深入一些,甚至可做做練習題或習題;時間不允許,可以少一些問題,留給聽課去解決的問題就多一些,不必強求一律。

    2、聽課的方法

    聽課是學習數學的主要形式。在教師的指導、啟發、幫助下學習,就可以少走彎路,減少困難,能在較短的時間內獲得大量系統的數學知識,否則事倍功半,難以提高效率。所以聽課是學好數學的關鍵。

    聽課的方法,除在預習中明確任務,做到有針對性地解決符合自己的問題外,還要集中注意力,把自己思維活動緊緊跟上教師的講課,開動腦筋,思考教師怎樣提出問題,分析問題,解決問題,特別要從中學習數學思維的方法,如觀察、比較、分析、綜合、歸納、演繹、一般化、特殊化等,就是如何運用公式、定理,了解其中隱含著的思想方法。

    聽課時,一方面理解教師講的內容,思考或回答教師提出的問題,另一方面還要獨立思考,鑒別哪些知識已經聽懂,哪些還有疑問或有新的問題,并勇于提出自己的看法。如果課內一時不可能解決,就應把疑問或問題記下,留待自己去解決或請教老師,并繼續專心聽老師講課,切勿因一處沒有聽懂,思維就停留在這里,而影響后面的聽課。一般,聽課時要把老師講課的要點、補充的內容與方法記下,以備復習之用。

    3、復習的方法

    復習就是把學過的數學知識再進行學習,以達到深入理解、融會貫通、精煉概括、牢固掌握的目的。復習應與聽課緊密銜接、邊閱讀教材邊回憶聽課內容或查看課堂筆記,及時解決存在的知識缺陷與疑問。對學習的內容務求弄懂,切實理解掌握。如果有的問題經過較長時間的思索,還得不到解決,則可與同學商討或請老師解決。

    復習還要在理解教材的基礎上,溝通知識間的內在聯系,找出其重點、關鍵,然后提煉概括,組成一個知識系統,從而形成或發展擴大數學認知結構。

    復習是對知識進行深化、精煉和概括的過程,它需要通過手和腦積極主動地開展活動才能達到,因此,在這個過程中,提供了發展和提高能力的極好機會。數學的復習,不能僅停留在把已學的知識溫習記憶一遍的要求上,而要去努力思考新知識是怎樣產生的,是如何展開或得到證明的,其實質是什么,怎樣應用它等。

    4、作業的方法

    數學學習往往是通過做作業,以達到對知識的鞏固、加深理解和學會運用,從而形成技能技巧,以及發展智力與數學能力。由于作業是在復習的基礎上獨立完成的,能檢查出對所學數學知識的掌握程度,能考查出能力的水平,所以它對于發現存在的問題,困難,或做錯的題目較多時,往往標志著知識的理解與掌握上存在缺陷或問題,應引起警覺,需及早查明原因,予以解決。

    通常,數學作業表現為解題,解題要運用所學的知識和方法。因此,在做作業前需要先復習,在基本理解與掌握所學教材的基礎上進行,否則事倍功半,花費了時間,得不到應有的效果。

    解題,要按一定的程序、步驟進行。首先,要弄清題意,認真讀題,仔細理解題意。如哪些是已知的數據、條件,哪些是未知數、結論,題中涉及到哪些運算,它們相互之間是怎樣聯系著的,能否用圖表示出來,等等,要詳加推敲,徹底弄清。

    其次,在弄清題意的基礎上,探索解題的途徑,找出已知與未知,條件與結論之間的聯系。回憶與之有關的知識方法,學過的例題、解過的題目等,并從形式到內容,從已知數、條件到未知數、結論,考慮能否利用它們的結果或方法,可否引進適當輔助元素后加以利用是否能找出與該題有關的一個特殊問題或一個類似問題,考察解決它們對當前問題有什么啟發;能否把分開,一部分一部分加以考察或變更,再重新組合,以達到所求結果,等等。這就是說,在探索解題過程中,需要運用聯想、比較、引入輔助元素、類比、特殊化、一般化、分析、綜合等一系列方法,并從解題中學會這一系列探索的方法。

    第三,根據探索得到的解題方案,按照所要求的書寫格式和規范,把解的過程敘述出來,并力求簡單、明白、完整。最后還要對解題進行回顧,檢查解答是否正確無誤,每步推理或運算是否立論有據,答案是否說盡無遺;思考一下解題方法可否改進或有否新的解法,該題結果能否推廣(事實上中學課本中不少題目是可以推廣的)等,并小結一下解題的經驗,進而發展與完善解題的思想方法,總結出帶有規律性的東西來。

    二  “由薄到厚”和“由厚到薄”的學習方法

    “由薄到厚”和“由厚到薄”是數學家華羅庚多次提到的治學方法,他認為學習要經過“由薄到厚”和“由厚到薄”的過程。“由薄到厚”是理解和弄懂所學的數學知識,知其然并知其所以然。學習不僅要理解和記住概念、定理、公式、法則等,而且還要想一想它們是如何得來的,與前面的知識是怎樣聯系著的,表達中省略了什么,關鍵在哪里,對知識是否有新的認識,有否想到其他的解法等等。這樣細加分析、考慮后,就會對內容增添某些注解,補充一些的解法或產生新的認識等,出現了“書越讀越厚”。

    但是學習不能到此止步,還需要把學過內容貫串起來,加以融會貫通,提煉出它的精神實質,抓住重點、線索和基本思想方法,組織整理成精煉的內容,這就是一個“由厚到薄”的過程。在這過程中,不是量的減少,而是質的提高,所以具有更重要的作用。通常在總結一章、幾章或一本書的內容時,就要有這種要求,運用這種方法。這時由于知識出現高度概括,就更能促進知識的遷移,也更有利于進一步學習。

    “由薄到厚”和“由厚到薄”是一個螺旋上升的過程,它具有不同的層次和要求,學習中需要經過從低到高多次的運用,才能收到應有的效果。這一學習方法體現著“分析”與“綜合”、“發散”與“收斂”的辯證統一,就是說數學學習需要這兩者統一起來。

    三  接受學習與發現學習相結合的方法

    數學學習應是有意義接受學習和有意義發現學,如何使兩者互相配合、有機結合,充分 發揮各自和綜合的效力這是學習方法的一個重要方面。

    接受學習,不論是聽系統的講授,還是以定論的形式給出的教材,都不涉及任何的獨立發現。但在學習過程中,學生處于積極、主動的狀態,并非只是單純的接受,他們總不斷地向自己提出問題,如定理是如何發現或產生的,證明的思路是怎樣想出來的,中間要攻破哪幾個關鍵的地方。許多數學家都十分強調“應該不只脹到書面上,而且還要看到書背后的東西。”在進行接受學習時,還要增添某些發現學習的萬分,從中學習創造、發明的思想和方法,而不僅僅停留在知識的接受上。

    發現學習,是依靠自己對所提供的材料或問題的觀察、比較、分析、綜合等,獨立地了現的解決某問題,從而獲得新知識。在解決問題時,要真正理解問題中所涉及的要領、原理、公式、定理和法則,懂得每步操作的意義,以及提出假設、檢驗假設的目的等。解決問題,總需要聯想以往學習過和知識與方法,一時回憶不起來的,還要重新復習,以求進一步理解的應用。有是遇到困難問題,甚至還在查看參考書或請教老師者能解決。可見,這期間也穿插著接受學習。

    數學學習既需要接受學習,以便在短時間內獲得大量前人積累起來的寶貴知識財富,也需要發現學習,以利于思維、培養創造能力。因此,學習要根據自身的年齡、學習能力特點和教學內容的要求,使兩者緊密結合起來。

    第二篇   數學,與其他學科比起來,有哪些特點?它有什么相應的思想方法?它要求我們具備什么樣的主觀條件和學習方法?本講將就數學學科的特點,數學思想以及數學學習方法作簡要的闡述。

    一、數學的特點(一)

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高中數學是初中數學的提高和深化，初中數學在教材表達上采用形象通俗的語言，研究對象多是常量，側重于定量計算和形象思維，而高中數學語言表達抽象，邏輯嚴密，思維嚴謹，知識連貫性和系統性強。

一、正確對待學習中遇到的新困難和新問題

在開始學習高中數學的過程中，肯定會遇到不少困難和問題，同學們要有克服困難的勇氣和信心，勝不驕，敗不餒，有一種“初生牛犢不怕虎”的精神，愈挫愈勇，千萬不能讓問題堆積，形成惡性循環，而是要在老師的引導下，尋求解決問題的辦法，培養分析問題和解決問題的能力。

要提高自我調控的“適教”能力。 一般來說，教師經過一段時間的教學實踐后，因自身對教學過程的不同理解和知識結構、思維特點、個性傾向、能力品質、教學觀念、職業經歷等原因，在教學方式、方法、策略的采用上表現出一定的傾向性，形成自己獨特的、鮮明的、一貫的教學風格或特點。作為一名學生，讓老師去適應自己顯然不現實，我們應該根據教的特點，從適應教的目的出發，立足于自身的實際，優化學習策略，調控自己的學習行為，使自己的學法逐步適應老師的教法，從而使自己學得好、學得快。

要將“以老師為中心”轉變為“以自己為主體，老師為主導”的學習模式。 數學不是靠老師教會的，而是在老師引導下，靠自己主動思維活動去獲取的，學習數學就是要積極主動地參與教學過程，并經常發現和提出問題，而不能依著老師的慣性運轉，被動地接受所學知識和方法。

要養成良好的個性品質。 要樹立正確的學習目標，培養濃厚的學習興趣和頑強的學習毅力，要有足夠的學習信心，實事求是的科學態度，以及獨立思考、勇于探索的創新精神。

要養成良好的預習習慣，提高自學能力。 課前預習而“生疑”，“帶疑”聽課而“感疑”，通過老師的點撥、講解而“悟疑”、“解疑”，從而提高課堂聽課效果。預習也叫課前自學，預習的越充分，聽課效果就越好；聽課效果越好，就能更好地預習下節內容，從而形成良性循環。

二、要養成良好的審題習慣，提高閱讀能力

審題是解題的關鍵，數學題是由文字語言、符號語言和圖形語言構成的，拿到目要“寧停三分”，“不搶一秒”，要在已有知識和解題經驗基礎上，譯字逐句仔細審題，細心推敲，切忌題意不清，倉促上陣，審數學題有時須對題意逐句“翻譯”，將隱含條件轉化為明顯條件；有時需聯系題設與結論，前后呼應挖掘構建題設與目標的橋梁，尋找突破點，從而形成解題思路。

要養成良好的演算、驗算習慣，提高運算能力。 學習數學離不開運算，初中老師往往一步一步在黑板上演算，因時間有限，運算量大，高中老師常把計算留給學生，這就要同學們多動腦，勤動手，不僅能筆算，而且也能口算和心算，對復雜運算，要有耐心，掌握算理，注重簡便方法。

要養成良好的解題習慣，提高自己的思維能力。 數學是思維的體操，是一門邏輯性強、思維嚴謹的學科。而訓練并規范解題習慣是提高用文字、符號和圖形三種數學語言表達的有效途徑，而數學語言又是發展思維能力的基礎。因此，只有以本為本，夯實基礎，才能逐步提高自己的思維能力。

解完題目之后，要養成不失時機地回顧下述問題：解題過程中是如何分析聯想探索出解題途徑的？使問題獲得解決的關鍵是什么？在解決問題的過程中遇到了哪些困難？又是怎樣克服的？這樣，通過解題后的回顧與反思，就有利于發現解題的關鍵所在，并從中提煉出數學思想和方法，如果忽視了對它的挖掘，解題能力就得不到提高。因此，在解題后，要經常總結題目及解法的規律，只有勤反思，才能“站得高山，看得遠，駕馭全局”，才能提高自己分析問題的能力。

三、要養成糾錯訂正的習慣，提高自我評判能力

要養成積極進取，不屈不撓，耐挫折，不自卑的心理品質，對做錯的題要反復琢磨，尋找錯因，進行更正，養成良好的習慣，不少問題就會茅塞頓開，割然開朗，迎刃而解，從而提高自我評判能力。

要養成善于交流的習慣，提高表達能力。 在數學學習過程中，對一些典型問題，同學們應善于合作，各抒己見，互相討論，取人之長，補己之短，也可主動與老師交流，說出自己的見解和看法，在老師的點撥中，他的思想方法會對你產生潛移默化的影響。因此，只有不斷交流，才能相互促進、共同發展，提高表達能力。如果固步自封，就會造成鉆牛角尖，浪費不必要的時間。

“學而不思則罔，思而不學則貽”。在學習數學的過程中，要遵循認識規律，善于開動腦筋，積極主動去發現問題，進行獨立思考，注重新舊知識的內在聯系，把握概念的內涵和外延，做到一題多解，一題多變，不滿足于現成的思路和結論，善于從多側面、多方位思考問題，挖掘問題的實質，勇于發表自己的獨特見解。因為只有思索才能生疑解疑，只有思索才能透徹明悟。一個人如果長期處于無問題狀態，就說明他思考不夠，學業也就提高不了。

每學完一節一章后，要按知識的邏輯關系進行歸納總結，使所學知識系統化、條理化、專題化，這也是再認識的過程，對進一步深化知識積累資料，靈活應用知識，提高概括能力將起到很好的促進作用。 15、要養成做筆記的習慣，提高理解力。 為了加深對內容的理解和掌握，老師補充內容和方法很多，如果不做筆記，一旦遺忘，無從復習鞏固，何況在做筆記和整理過程中，自己參與教學活動，加強了學習主動性和學習興趣，從而提高了自己的理解力。

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6月4日上午，我鎮語文教師在中心小學舉行學習交流活動，參加淮安學習的五名骨干教師以還原專家的課堂教學、聽課研討、教學報告等形式請進了先進教育經驗。季友志老師執教了《數星星的孩子》，全鎮一二三年級語文教師進行了聽評。王超老師執教了《桂林山水》，全鎮四五六年級語文教師聽評。五位教師根據學習內容，結合自己的教學經驗，舉辦了精彩的講座，全體語文教師收獲多多。

6月4日下午，全鎮數學教師在中心小學進行學習交流活動。首先聽評研討了王文龍執教的《三角形的三邊關系》和周德花執教的《用字母表示數》。兩位教師很好的把教育專家的先進教育理念請回來，和全體教師一起分享。高報、臧守金、周德花和王文龍四位教師的講座，思想前沿，理念先進，讓廣大教師享受了精神大餐。

王老師執教的《三角形的三邊關系》是模仿華應龍老師的課堂教學，能把華老師的課堂理念體現的淋漓盡致，是一節較為成功的課。在課堂注重了學生的主體地位，能期待學生問題的生成。讓學生在玩中慢慢的進入思考數學的境界，學生邊操作邊思考，加深了學生對三角形三邊關系的理解。王老師用了三年級的學生學習四年級的內容，有些學生學習效果不好，教師的課堂語言有些不流暢。但不管是成功的經驗還是失敗的教訓，都讓我們收獲很多。

周老師作為年輕的教師，能在工作很短的時間內迅速成長起來，實在是我們學習的榜樣。她執教了《用字母表示數》結合了專家的理念和自己的教學經驗，讓大家很好的分享她的教學藝術。

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小學數學 課堂教學 總結

1、啟發性總結。啟發性總結，就是在學生掌握了課堂講授內容的基礎上，通過教師精心設計的啟發性問題作結。這樣做，不僅可以使學生學得的知識得以條理和升華，而且有利于發展學生的探究能力。在課堂結尾時，教師提出一些富有啟發性、趣味性的問題，不作解答，留給學生課余時間去思考、印證，以造成懸念，激發學生探求知識的欲望，從小培養孩子熱愛數學的興趣。如在學習“圓周率”后，可以設計這樣的問題：一些老木工經常說：“一尺圓三寸”，這句話在數學上有什么樣的道理？如果按照我們今天學習的計算方法，要做一個直徑為1米的木桶，需要木板的總寬度約是多少？這樣，既鞏固了本節課乃至本階段的學習內容，又讓學生把數學與現實生活中的實際問題、重大時事等緊密結合起來，避免了單一枯燥的學習，有利于培養學生分析問題的發展思維能力。

2、概括性總結。這種總結方法是絕大多數教師采用率最高、最常見的一種方式。每節課結束時，為了讓學生較為系統地掌握本節課的內容，教師要引導學生用準確簡練的語言，對該節課的學習內容進行提綱契領的說明，并對教學重、難點和關鍵問題加以概括、歸納和總結。這樣可給學生留下系統、完整的印象，在幫助學生、加深理解、鞏固新知識的同時，還能為學生以良好的精神狀態，投入到下一階段的學習提供基礎和動力。這種總結方式，多用于新授課。在一節數學課里，或者為了形成某一個數學概念，或者為了確立某個法則、性質，或者為了講授某種數學方法，課堂總結時，將新授內容歸納、概括、梳理，實有必要。這樣做，可以使學生快速、精煉地再現本節課的重點內容，起到深刻理解、鞏固、強化知識的作用。如，在教學幾種專用名稱百分率問題時，其名稱和公式較多，有成活率、缺勤率、廢品率、烘干率、含水率、命中率等等，它們分別又有各自的計算公式。如何交給學生一條“繩子”，讓學生把零散的知識“捆”起來，輕松地“背”著走呢？為此，教師可以引導學生進行歸納，共同總結出“求誰的百分率，就用誰除以相關的總數量。”概括性總結，要簡明扼要，畫龍點睛。這樣做，既能加深學生對所學知識的理解，又能減輕學生的記憶負擔，同時也有助于培養學生抽象概括的能力。

3、懸念性總結。文學作品中的“懸念”，可引人入勝，激趣。數學課的總結，也可以通過巧設懸念，撥動學生的好奇心，激發他們學習數學的興趣。特別是前后聯系非常密切的教學內容，可考慮設置懸念。例如，一位教師在“求一個數是另一個數的百分之幾”的應用題教學中，給學生一道只有條件、沒有問題的不完整的題目：“某班有男生26人，女生24人。”讓學生思考，根據這樣的條件，可以提出哪幾個問題。學生提出了六個問題：男生占女生人數的百分之幾？女生占男生人數的百分之幾？男生占全班人數的百分之幾？女生占全班人數的百分之幾？男生人數比女生多百分之幾？女生人數比男生少百分之幾？對前兩問，讓學生口頭列式教師板書；中間兩問讓學生書面列式集體訂正；對后兩題告訴學生放在下節課研究，還可以提出一些問題，均放在下節課研究。這樣做使一題多變做到了適度，調動了學生學習的積極性，也為下節課做了鋪墊。

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數學是教學中十分重要的課程之一，數學學習的主要功能是培養學生的邏輯思維能力和數學認知能力。在數學學習過程中采用適當的探究性學習，可以更好地激發學生的學習興趣，幫助他們更牢固地掌握數學知識。然而，課堂上開展探究性學習必須要在學生有一定的基礎知識和學習能力的條件下進行才能取得更好的教學效果，而接受性學習方式能使學生更快、更有效地掌握系統知識，能彌補探究性學習的不足。因此，只有通過兩者的有機結合，才能使課堂教學真正“活”起來，使之發生由量變到質變，由“厭學”到“愿學”的轉變，達到高效課堂的目的。

1.關于探究性學習的研究狀況

20世紀美國著名的教育心理學家和教育思想家布魯納認為：在教學過程中，要踐行素質教育理念，加強對探究式教學模式的研究和應用，培養學生的探究意識和問題意識，通過設置問題的方式，引導學生深入思考，有效解決學習過程中存在的問題。

20世紀70年代我國著名教育家葉圣陶先生曾經提出：“教師不應以講授課本為專務，而要為學生創設能夠獨立思考的情景，令其自為理解。”20世紀80年代初期，探究性學習理論開始進入我國，很多教育教學工作者開始對探究式學習理論和實踐進行研究。

余文森教授（2002）認為：轉變學生的學習方式是當前素質教育時代背景下的必然趨勢，轉變學生的學習方式主要體現在兩個方面。一方面，主動學習。在傳統學習模式中，學生處于被動地位，一般是在教師的要求下進行學習，缺少主動性，而現代教育過程中，教師要引導學生學會主動學習。另一方面，改變傳統的被動接受學習。在教學過程中，要凸顯探究、發現、研究等過程的重要性，使學生能夠在學習過程中更多地發現問題、提出問題、分析問題等。

楊忠（2014）也認為：在素質教育時代，初中教育更重視綜合教育，數學教學不僅是數學知識的講解，還是對數學思想的一種培養。而實施探究性學習便是調動學生的學習積極性，實現素質教育的一個有效途徑。

這些觀點表明了人們開始意識到探究性學習在教學中的重要性。

2.關于接受性學習的研究狀況

黃梅認為，在滿足有意義學習的條件下，講解式教學能充分發揮教師的主導作用和學科知識的內在功能，使學生在認知過程中避免許多不必要的曲折和困難，并能夠快速有效地獲得系統性的科學知識，這也充分體現出有意義學習在數學教學中的作用。

李運萍、劉志紅在《接受性學習的產生與發展》一文中提出：“接受性學習雖然在培養學生創新精神和實踐能力方面不如探究性學習，但從學生掌握基礎知識的狀況來看卻更勝一籌；雖然在適應知識經濟時代方面不如探究性學習，但從實施的現實可能性來看，接受性學習更易于實施。再者說來，學生通過接受性學習獲得的基礎知識是進行探究性學習的基礎，離開了這些知識，探究性學習就無法正常開展。”

縱觀當前的教育教學形勢可以看出，接受性學習依舊是課堂的重要組成部分，也是當前教育教學的主要模式。

3.關于兩種學習整合的研究

揚州大學的劉久成教授認為：探究性學習與接受性學習在一定意義上是優勢互補的兩種學習方式。為培養學生的綜合素質，促進學生的全面發展，教師將兩種學習方法結合起來運用于教學實踐是一種合理的教學選擇。

江建忠認為，在教學過程中，探究性學習和接受性學習可以相互整合，科學合理地運用兩種學習方式，最大限度地激發學生的學習潛能，使學生能夠保持對學習有源源不斷的動力。

李鑫認為，中學學習是一個重要的過渡過程，學生所學習的內容、知識并不都是需要通過探究性學習方式來獲取的。一方面，從知識的分類角度來看，有的知識不需要經過探究、啟發，只需通過教師的傳遞，學生就可以熟練掌握，如陳述性知識、程序性知識和政策性知識，這些知識是既定存在的，不需要進行探究。另一方面，一些特定類型的知識和技能，由于比較特殊，如果只是讓學生自主探究學習，學習效果比較低下，而以教師的講授為主、學生的自主探究為輔進行學習，有利于學生對各種知識進行理解、掌握和運用。

課堂教學是素質教育的主陣地，也是培養學生能力，促進學生發展，提高教學質量的關鍵所在。在教學過程中，教師應辯證地看待這兩種學習方式，將兩者整合并融入學生的學習中，從而更好地提高學生的學習能力。

二、兩種學習方式整合策略的相關研究

劉久成認為，兩種學習整合要從以下三個方面進行分析：第一，從知識的分類來看；第二，從培養目標的完整性來看；第三，從學習方式的互補性來看。

翟緒紅在《淺談接受性學習和探究性學習在數學課堂中的策略研究》一文，用了出租車收費的例子來闡述了兩種學習方式的整合策略在小學數學課堂中的實施，而具體的操作模式沒有說清楚。

陳志容認為，在探究性學習與接受性學習相整合的教?W實踐中，教學應注意以下四個方面：第一，要用傳統的接受性教學方法引導學生學習基礎知識和技能，然后再在實踐中運用探究性學習方法；第二，創造全新的學習方法，并將學習方法融入學生已有的學習方法中，使其逐漸形成意識和習慣；第三，適時適當地進行綜合探究；第四，探究與課堂學習有機結合。

楊文健認為，要把探究性學習與接受性學習加以整合，目的是發揮兩者的長處。讓學生學會發現問題和解決問題，是初中數學教育的重要內容。在初中數學教學過程中，教師應該積極加強對學生的引導，不斷培養學生的問題意識。楊文健提出以下三個重點：第一，在教學過程中應該逐漸將探究性學習方法引入到課堂中，將接受性學習模式轉移到課外，目的是為探究式學習服務；第二，在教學問題的選擇上應該加以重視，將學生獨立發現問題與師生共同發現的問題集合起來進行討論；第三，教師在傳授知識的過程中應該加強對問題的引導。

李鑫認為，在課堂教學中進行兩種學習方式的整合需要考慮以下四個方面：第一，根據教學內容，合理確定學生的學習方式；第二，教師在教學過程中要把接受性學習與探究性學習相互融合、相互促進；第三，在教學過程中要把握探究性學習的先決條件；第四，要對探究性學習與接受性學習的結合點進行發掘。

鄧永財認為，兩種學習方式融合的途徑主要有兩種形式。第一，松散結合形式，是指在整個課程教學過程中，始終以有意義的接受學習與探究學習相結合作為指導思想，根據教學的實際情況進行探究性學習。第二，緊密結合形式，是指把有意義的接受學習與探究學習有機地融合在同一教學過程中。

三、簡要評述

通過對相關文獻的查找與研讀，筆者對課題的理解有了更深的認識，對課題的研究方向也有了更清晰的思路。在研讀過程中，筆者注意到前輩們所做的研究與筆者的研究有些不同的地方，總結歸納出以下四個方面。

1.研究的領域不同

不管是布魯納的發現學習理論還是奧蘇泊爾的有意義接受學習理論，他們的理論主要針對教育領域，而本課題所針對的是數學教學領域，在課題的前期構想過程中以布魯納和奧蘇貝爾的教育理論為課題指引方向，然而在課題的實施過程中，由于數學有其特有的知識結構和特點，必須把兩種理論有效運用到課堂教學上才能達到較為理想的效果。

2.研究的層面不同

筆者通過細心研讀發現，一些關于兩種學習的整合策略研究的相關文獻主要停留在理論研究層面，如陳志容的《研究性學習和接受性學習整合探討》，鄧永財的《試論探究學習與接受學習的融合》等論文，而本課題的研究主要以奧蘇貝爾的有意義接受性學習理論和布魯納的認知發現學習理論為指導，重點偏向于教學實踐層面的研究，依托課堂教學所反饋的真實情況不斷完善課題的相關研究工作。

3.研究的主線不同

關于探究性學習與接受性學習整合的相關文獻并不是很多。如江建忠的《物理教學中“探究性學習”與“接受性學習”的整合》，李?g的《“有意義接受學習”和“探究學習”整合下的有效教學策略研究》都是關于物理方面的學習方式整合，楊文健的《試論化學“研究性學習”與“接受性學習”的整合》是關于化學方面的學習方式整合，而本課題的研究方向主要是對初中數學教學過程中兩種學習方式整合的研究。

4.研究的焦點不同

相關文獻研究的焦點更多的是傾向于小學、高中和中職學校的數學學習方式整合的研究，如劉久成的《探究性學習與接受性學習的融合》和翟緒紅的《淺談接受性學習和探究性學習在數學課堂中的策略研究》研究的焦點是小學數學；穆巖的《高中數學研究性學習與接受式學習的整合》研究的焦點是高中數學；陳麗賢的《接受性學習與探究性學習的思考》研究的焦點是中職數學。由于不同學生在各個年齡階段的智力發展會有所不同，因此小學數學學習方式一般以接受性學習為主導，高中數學學習方式一般以探究性學習為主導，而初中數學學習方式恰好是兩者并重，也正因如此有了本課題的研究方向。

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[關鍵詞]總復習　數學　合理安排教學

初三總復習階段是知識系統化、條理化、靈活化，促使學生素質、能力發展的關鍵時期。九年級總復習階段是初中學生進行系統學習的最后階段，也是初中學生參加升學考試的沖刺階段，是知識系統化、條理化、靈活化，促使學生素質、能力發展的關鍵時期.總復習效果的好壞直接關系到初中學生掌握學科知識的程度，以及升學成績的好壞.下面就如何做好總復習提出幾點建議。

一、明確“主體”，突出重點

總復習，教師必須明確主體，突出重點，對中考“考什么”、“怎樣考”，應了如指掌。總復習能否取得最佳的效果，一是要看教師對現代教學新理念、歷屆《考題》，理解的是否深透，研究的是否深入，把握的是否到位；二是看教師講解、學生練習是否體現階段性、層次性和漸進性.要做到減少重復，重點突出，讓大部分學生學有新意，學有收獲，學有發展；三是看知識講解、練習檢測等是否具有科學性、針對性.要使模糊的清晰起來，缺漏的填補起來，雜亂的條理起來，孤立的聯系起來，讓學生形成系統化、條理化的知識框架；四是看練習檢測與中考是否對路，要不拔高，不降低，難度適宜，效果良好，重在基礎的靈活運用和掌握分析解決問題的思維方法.

二、研究中考，加強復習計劃，合理安排復習進程

1.精心謀劃復習計劃。史蒂芬.柯維說過

“人生最悲慘的莫過于：我們辛辛苦苦一級一級爬上成功的階梯，沒想到爬到頂端才發現梯子擺錯了方向!”因此，在精心設計和安排復習計劃時，應考慮到復習階段將要安排的工作實現的可能性，即計劃的工作是否是必須做的，是否是應該做的，是否是能夠做的。如果考慮妥當了，在制定計劃時，則必須明確要達到這些目標，相應的工作要做什么?何時做?因此，中考復習階段，制定的復習計劃目標要求明確化，可衡量，可達成，符合實際的，并且有時間限制。只有突出針對性、可操作性，這樣的計劃才能有助于合理整合和優化復習時間，提高復習效能。

每年即將進入總復習的前期，我們備課組會發揮集體智慧，專門開會探討復習計劃的制定。從學生的特點分析、復習階段的分法、時間的安排、資料的選擇、復習的要求和目標、預期的效果和可能出現的問題等方面各抒己見，結合過去的經驗，作好計劃。

2.合理規劃復習進程，科學安排復習時間

在這么有限的時間要完成幾個階段的復習安排，沒有一定的科學性和合理性，復習的效果不言而喻。明確復習的各個階段。中考復習遵循循序漸進的原則，分階段要求開展工作。一般可以劃分為四個階段，具體要求是：

第一階段單元過關，要求：抓綱務本，全面復習，夯實基礎。

第二階段專題復習，要求：重點復習，構建網絡，歸納遷移，發展能力。

第三階段強化訓練，要求：完善知識體系，適應考試要求，升華應試技能。

第四階段考前指導，要求：回歸課本，自學為主，適度訓練，調整心態，輕裝上陣。

三、立足于課堂教學，抓學生的復習效率

對于一節總復習課，分析了考點與中考試題的趨勢之后，需要辨清學生知識現狀及學生對知識的接受能力，特別是本節課題的教學重點、難點，從整體高度來設計這堂課的主干、細枝；預估學生的學情，選擇、組合好教學資源，精選典型例、習題或題組，創設有效的情景來引入；科學有效地設計提問，逐漸引導學生進入探究、猜想、論證的自主發現過程；再借助多媒體(黑板、教材、語音、電腦課件、投影、教案、學案等)的展現(呈現、突現)來輔助教學，其中正確地發揮各自的作用(科學準確和富有啟發性的語言、恰當的語調，必要、規范、示范的黑板書寫；黑板――真理擦抹謬誤的園地.電腦課件的集成節約了一定的書寫時間，展現了運動、直觀或微觀的變化；學案有助于學生的閱讀與解決問題，等等)；同時在教與學中，關注學生的學習狀態，隨時處理好教與學的生成因素，積蓄或展現教師的教學智慧與藝術；既“教”又“導”更管“到”，滲透數學思想方法，培養學生的數學學習能力，發展學生的思維，提高課堂教學的效果。復習課上教師應注意“以題代點、以題論法”，合理的安排講練的時間，注意知識的縱橫聯系，注意教學基本思想的滲透，注意基本方法的訓練，注意總結出學習的規律性，充分發揮課堂效益，盡量把問題解決在課堂。

四、重視“四基”，突出核心內容，抓學生的知識結構

四基：基礎知識、基本技能、基本思想和基本方法。中考有50％的容易題、30％的中檔題，考試的成敗主要取決于這些題目的解答情況，因此在中考總復習中，必須關注基礎知識的落實，對基礎知識的靈活運用就是能力，抓住了基礎就能以不變應萬變。

要落實基礎知識，教師首先要明確復習課要復習的內容，這部分內容在初中階段是在哪幾個學段學習的，如何將這些不同階段學習的知識串起來，不同階段的要求是否有差異等，要通過復習，將學生頭腦中孤立的、零碎的知識梳理好，明確這些知識要不同階段學習的特點，以及他們的內在聯系，使得他們形成某種組塊，便于學生的整體認知，使得相關知識系統化、條理化，促進學生的理解，幫助學生建立良好的認知結構。例如，復習《統計》章節，由于統計的內容分別七、八、九年級不同的階段都有學習，教師要將這些知識，以網絡、圖表或列表的方式串起來，這部分一方面可以交給學生以小組的方式完成，教師指導或課堂交流，通過學生自我總結，完善知識結構，更有利于學生建立良好的知識結構。這部分內容，在中考中的題型可有單項選擇題、填空題、計算題、解答題.從我省命題看，相關問題多為解答題，試題位置、分值相對穩定，問題背景卻與生產

五、定期模擬檢測，教會學生考試

1.教會學生盡快適應正確、高效填寫答案機讀卷；

2.綜合模擬檢測訓練，定位預估分析；

3.適當分層次、區別對待不同能力水平的考生；

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關鍵詞:學習興趣；結構；模型

美國認知心理學家布魯納（Brunner B.F 1996）曾指出："學習的最好刺激乃是對所學材料的興趣"。強調了興趣在學習活動中的巨大作用。因此，近年來，國內外學者對學習興趣進行了諸多的研究，本文主要討論對學習興趣結構的研究。

一、國外對學習興趣結構的研究

海蒂和貝爾德(Hidi&Baird,1988)及科拉普(Krapp,1989 )[1] 從興趣結構特征的角度,把興趣分為個體興趣和情境興趣。目前，這一分類理論得到了國內和西方心理學界的普遍認同。教育領域中，研究者們也大多從情景興趣和個人興趣的分類進行更深入的研究[2]。(e.g.,Alexander, 1997, 2004; Bergin, 1999; Hidi, 1990, 2000; Krapp et al., 1992; Renninger,2000; Schraw & Lehman, 2001). 個人興趣是指個體相對固定的指向一定客體、活動或某一知識領域的心理傾向性（Hidi, Renninger, and Krapp,1992; Krapp et al., 1992）,它主要是以個體已經存在的知識、個體的經驗以及情感為基礎的。個人興趣的另一個重要特征就是其內在性，個體由于主體的內在需求而不是外部原因投入到某個主題中（Schiefele,1986）。情境興趣是指活動或學習任務的特征對個體產生吸引力，從而激發個體形成一種即時性的、積極的心理狀態。它具有即時性、自發性等特點，易受外部條件的影響而改變,它的產生主要依賴于活動本身的特征和個體對其的特殊感受，情境興趣經過長期的培養，也能夠成為個體興趣產生的基礎，也就是說，情境興趣在一定的條件下可能發展為相對持久的個體興趣（Deci,1992）。實驗研究發現情景興趣包括兩個階段：在第一個階段興趣被引發（引發性興趣），在第二個階段興趣繼續被保持了下來（維持性興趣）。(Harackiewicz, Barron,Tauer, Carter, & Elliot, 2000; Hidi & Baird, 1986; Mitchell, 1993)[4]。海蒂與貝爾德及科拉普假設：與引發性興趣相比，維持性興趣將會與整個情景興趣有較高的相關。

圖1. 海蒂和貝爾德興趣結構模型(1988)

米切爾（Mitchell,1992）研究了中學生（14-16歲）數學學習興趣，通過問卷調查和定性分析，建立了下面的擴展式興趣模型。

圖2. 米切爾興趣結構模型(1992)

后來,研究者進一步將個人興趣細分為潛在的與現實的個人興趣[5],而潛在的興趣又被分為與情感和價值相聯系的興趣[6]。Gregory Schraw 和 Stephen Lehman（2001）[7]在總結以往有關興趣研究的基礎上提出了一個系統的興趣分類模型。

圖3. Gregory Schraw和Stephen Lehman的興趣結構模型，2001）情境興趣和個人興趣的交互作用在話題興趣中得到最典型的表現。所謂話題興趣是當特殊話題呈現時所誘發的興趣。目前對話題興趣的分類各研究者持不同的意見。海蒂和麥克勞倫(Hidi,McLaren,1990,1991)把話題興趣看作情境興趣的一種,也有人把話題興趣看作是個人興趣的一種,艾琳(Ainley)則認為話題興趣中既有情境興趣又有個人興趣。另外，琴斯科(Kintsch,1980)把興趣分為兩類:情緒興趣和認知興趣,情緒興趣是信息所引起的閱讀者的情感反應,認知興趣是閱讀者感知到從材料中獲得什么知識。Harp and Mayer (1997)[7]在閱讀興趣中對此作了進一步的驗證和研究。

對于興趣構成維度的研究，多集中于對情景興趣及數學、閱讀、寫作、音樂等教學領域，并因學科的不同而表現出較大的差異性。Schraw，Bruning 以及 Svoboda(1995)等人關于大學生對閱讀的情境興趣的測試采用了六維度結構，包括內容的緊湊性、理解的難度、生動性、知識閱歷、精力集中程度和情感引導。Hidi 和 Anderson認為寫作中的情境興趣包括新鮮感和情感喚醒兩個維度。在數學及其他學科領域，有關情境興趣對學習效果影響的研究方面，有的學者從單一的 "趣味性"（Frick,1992; Hidi ＆Baird, 1986）角度或從"把握"（holding）與"捕捉"（catching）興趣的雙重角度對情境興趣的構成維度進行評價（Mitchell,1993）。Deci 卻認為應從三個維度上對個體情境興趣體驗水平的程度進行統一的界定，包括內容特征（新鮮性、挑戰性）、心理定向（探索傾向、情緒喚醒、時間知覺）以及個體的主觀體驗（注意力需求、快樂感覺）。這些因素在個體情境興趣的產生中起著重要的作用，只有從這些維度對情境興趣進行研究才具有科學性（Deci,1992）。

二、國內研究

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在本次讀書文化節的策劃階段，院團委以及院學習部擬定了詳細的計劃，通過宣傳板，通知文件以及我系學生會和各班班委的傳達等方式來告知我系同學，使同學們對讀書文化節有了一個大致的了解，通過強有力的宣傳，充分的調動了學生的積極性。

讀書文化節于-月-日正式拉開帷幕，在讀書文化節期間，院學習部安排了“好書不負讀”主題演講、外語嘉年華、辯論賽、專題研討會等一系列活動，而我系為配合讀書文化節的召開主要舉行了第二屆“金鷹杯”辯論賽、專題研討會模擬演練等一系列的活動。主要活動如下：

⑴ “勵志青春”主題演講

XX年，讀書文化節中，我院學習部開展了“勵志青春”主題演講演講活動，在全體學生中廣泛開展了這次活動。讓我們青年學生要努力學習科學文化知識，打牢知識基礎;勤于學習，敏于求知，注重積累，奠定人生進步的根基。

此活動由院學習部主辦，在活動中，同學們都積極活躍闡述自己的觀點，感受到他們的激情，活動中秩序井然，氣氛濃厚，讓我們感受到了“青春”的重要性！雖然我們系沒有得獎，但是他們參與的激情還是有的，值得鼓勵！

⑵“金鷹杯”辯論賽

在讀書文化節如火如荼的開展后，為配合院學習部辯論賽，我系特由學習部主辦，生活部、女生部、宣傳部協辦舉行了“金鷹杯”辯論賽。在活動的籌劃階段，我學習部起到了主導作用，而其余部門也扮演了重要角色。首先由宣傳部進行前期宣傳，其次由生活部負責賽場布置，女生部進行賽場服務，各個部門配合順利，這就為活動的順利舉辦創造了良好的條件。在活動中，選手們的熱情高漲，為辯論賽營造了良好的氛圍，到場的評委也對辯論賽進行了公平公正的評判，使活動在激烈活躍的氣氛中結束。同時選出了最佳辯手一名、優秀辯手2名。

當然，本次活動中也有著不足。本次活動在一些小的細節上，沒有進行完善。在主持方面存在一定的問題，以及在時間的調控上也不是非常得當。

⑶專題研討會

在專題研討會通知下發之際，引起了我系領導的高度重視，并一再叮囑我們要積極參加。這就為同學們參加研討會燃起了熱情。為更好的完成系領導下達的任務，我系共進行了五次模擬演練。在大一每個班內舉行一次，然后在系里舉辦兩次，這就為兩隊優秀選手的脫穎而出奠定了良好的基礎。

自始至終，選手們都積極完成了自己的工作和任務，從開始的演練，到最終的比賽，都非常努力，最后取得了一個“優秀組織者”、一個團隊第二、兩個“優秀個人”的驕人成績，沒有讓系領導以及大家失望。

專題研討會本身對我們來說就是一個陌生的詞，因此，在活動初期，我們做的有些盲目，這就耽誤了不少寶貴的時間，同時前幾次的模擬演練準備也不是很充分，沒有專題研討會的氣氛，致使演練與比賽不太一致，使選手們有點措手不及。

在本屆讀書文化節中，我們努力的配合院學生會的工作，同時也使自己增添了許多專業以外的知識，體會到院學生會舉辦活動的嚴謹性，因此，我們要不斷做出完善，不斷學習，同時向院學習部學習，辦出真正屬于自己的高品質活動來豐富同學們的校園文化生活。以上便是我系學習部對此次讀書文化節的總結。

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一、 思想政治方面

積極參加政治學習，提高自己的政治素質和理論素養，注重自己思想道德水平的提高。平時積極參加學校組織的各類會議及本組開展的教研活動，積極參加升旗儀式。遵守教師職業道德，時刻注意自己的一言一行，維護教師形象，為人師表。在日常生活中，以真誠與人交往，和其他老師們團結協作，愉快的開展工作。

二、 教學工作，一絲不茍

（一）搞好備課

備課對于每門課程的教學而言，都是必不可少的環節，信息技術學科教學也不例外。在備課的過程中，我首先對所要教授的知識進行全面的研究、歸納、總結，并根據教授對象的不同特點找到教授的最佳方法與方式。在此基礎上將所備內容在計算機上進行逐一推敲、驗證、演練，以使一些空洞的知識具有可操作性；同時，還將每個知識點構造成一個操作性實例，通過對實例的演練讓學生對知識點產生準確、完整的認識，由此得出相關的結論。從而做到對人、書、機三者進行有機結合的備課。

上好課的前提是做好課前準備，不打無準備之仗，尤其本學科主要課程都要上機完成，每節都要認真做好上機備課，檢查機器狀態，有無“不可用機器”。上課時認真講課，力求抓住重點，突破難點，精講精練。運用多種教學方法，從學生的實際出發，注意調動學生學習的積極性和創造性思維，使學生有舉一反三的能力。在學生完成上機任務時，在各臺計算機前巡視，注意對學困生進行手把手的輔導，課后及時做課后記，找出不足。

（二）抓好教學過程

任何教學活動總離不開理論與實踐相結合這條主線。信息技術更是如此。在學習書本知識階段，由于學生一周一節課，理論與實踐時間差大，我通過對比總結，把原來在教室內上一節理論課，再從微機房上一至兩節實踐課，改為全部在微機室上課，四十五分鐘時間，基本按“講—練—講—練—總結”這個模式，教師利用10分鐘左右的時間通過教師主機邊講邊操作演示，把每一個知識點視難易程度，進行一至二遍講解和演示，然后讓學生模仿練習15分鐘左右，接著教師利用5分鐘的時間對學生練習中出現的問題及重點進行第二次講解，之后學生再練習10至15分鐘，最后5分鐘時間教師抓住教學重點進行總結，把所學知識點系統起來。每一節課根據教學內容不同，可以有不同的時間安排。這樣一路走下來，學生基本上能夠掌握所學知識。

三、努力方向：

1、加強自身基本功的訓練，課堂上做到精講精練，注重對學生能力的培養，知識上做到課課清，段段清。

2、對差生多些關心，多點愛心，再多一些耐心，使他們在對計算機的認識上有更大進步。

3、加強機房紀律和機器使用道德方面的教育，使學生不僅在班級集中注意力學習，在機房上機時也要按規定嚴格約束自己。

4、利用各種方法，訓練學生提高，集中注意力。

5、在網站設計和多媒體課件制作上下功夫，努力使學校的網站和學校的多媒體課件的水平在原有的基礎上有更大的進步。

教育工作，是一項常做常新，永無止境的工作。社會在發展，時代在前進，學生的特點和問題也在發生著不斷的變化。作為有責任感的教育工作者，必須以高度的敏感性和自覺性，及時發現，研究和解決學生教育和管理工作中的新情況，新問題，掌握其特點，發現其規律，盡職盡責地做好工作，以完成我們肩負的神圣歷史使命。

四、取得的成績和存在的問題

一個學期來，在校領導的支持和學生的努力下，順利完成教學任務，也取得了一點成績。如今年在山東省全國中小學電腦作品評比中，我校學生作品分獲省二、三等獎。雖然我們取得了一定的成績，但在一個學期的教學中也發現存在不少的問題。如在課外，學生很少能接觸電腦，很難發現、培養尖子學生；其次是信息技術課正處在改革階段，信息技術等級考與信息技術新課程改革如何銜接？相信經過我們的共同努力，這些問題很快都能得到解決。

一份春華，一份秋實，在教書育人的道路上我付出的是汗水和淚水，然而我收獲的卻是那一份份充實，那沉甸甸的情感。我用我的心去教誨我的學生，我用我的情去培育我的學生，我無愧于我心，我無悔于我的事業。讓我把一生矢志教育的心愿化為熱愛學生的一團火，將自己最珍貴的愛奉獻給孩子們，相信今日含苞欲放的花蕾，明日一定能盛開絢麗的花朵。

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關鍵詞：流形學習；數據降維；圖嵌入

中圖分類號：TP18文獻標識碼：A文章編號：1009-3044(2012)07-1576-05

在這個信息爆炸的時代，人們的生活逐漸被迅猛增長的數據所包圍。這些數據中很大部分都具有很高的維度，人們難以直接對這些數據進行處理，往往需要借助計算機的力量來對這些高維海量數據進行分析，挖掘出高維數據背后隱藏的有用的信息，從而為人們的后續決策提供依據。在完成這類高維數據分析的任務時，經常采用的方法都是傳統的線性方法，比如經典的主成分分析（PCA）[1]及多維尺度變換（MDS）[2]等方法。這類方法的優勢是算法步驟簡單，易于實現，且復雜度較低，但是它們的缺陷也同樣明顯：它們都依賴于“數據分布在高維線性空間（歐氏空間）上”這一基本假設。然而現實中的許多高維數據顯然并不能滿足這個線性假設。在實際的數據集中，數據各個維度間很難保證完全獨立，它們往往以某種形式相互影響相互作用，從而使整個數據集表現出一定的非線性分布規律。這樣，使用線性方法便很難正確發現高維非線性數據集中所蘊含的真正有意義的信息，便會導致所謂的“維數災難”，這樣就使得信息技術的進一步應用受到很大限制。因此，如何有效地從高維非線性數據中提取出有用信息一時間成為信息科學技術所面臨的基本問題。

2000年，Seung等人在SCIENCE上發表文章稱，現實世界中的高維數據集都可以看成是近似分布在一個低維非線性流形上的，而通過對這個低維流形進行分析就能夠獲得它所對應的高維數據集的各種性質。至此，一種全新的處理高維非線性數據集降維問題的方法——流形學習就第一次被正式提了出來。

流形學習可以被描述為一種從高維數據集中恢復其低維流形結構的數據降維方法。也即，從高維數據集的分布中挖掘出其符合的低維流形結構，并將此低維流形結構在低維歐氏空間中表示出來，獲得對應的低維坐標，從而實現數據降維的目的。流形學習算法突破了線性方法的諸多先天不足，能夠從本質上發掘出數據集的內在規律，得出與高維數據集最為相近的低維嵌入坐標，因此，該類算法一經提出，就獲得了廣泛的關注和討論，并很快成為了處理高維非線性數據集降維問題的標志性算法。在流形學習算法被提出后的數十年間，它的有效性和算法效率也被無數的實驗和實際應用所證實，時至今日依然展現出了強大的生命力。流形學習的代表性算法包括局部線性嵌入（LLE）[3]、等距特征映射（ISOMAP）[4]、拉普拉斯特征映射（LEM）[5]以及局部切空間排列（LTSA）[6]、最大方差展開（MVU）[7]和擴散映射（DFM）[8]等算法。這些算法在遵循了流形學習的一般框架之外，都具有各自非常鮮明的特點，都取得了良好的算法效果。

1流形學習算法概覽

下面先結合三個典型的流形學習算法，詳細介紹它們的算法思想，算法步驟以及算法特點，并為后文探索該類算法的共性做好鋪墊。

1.1局部線性嵌入（LLE）

首先介紹LLE算法。它是一種非監督的學習算法，能夠計算高維數據的的低維嵌入，這種嵌入保留了數據的鄰域性質。假設數據是分布在一個非線性流形上，它最終是被映射到一個獨立的低維全局坐標系上去的。這種映射是通過局部線性重構的的對稱性而獲得的，而且嵌入結果的計算最終是歸結于一個稀疏矩陣特征值問題的。

LLE算法在計算低維嵌入的過程中遵循的一個最重要的原則：高維空間中相鄰的點在低維空間中仍然保持相鄰，并且整體上來說，數據點的分布也與高維空間中的分布相似。在適當的條件下，僅僅從高維空間的鄰域中的幾何性質也能夠獲得這種低維嵌入。

首先，假設數據由N個實值向量Xi構成，每一個向量的維數都為D，從一個光滑的潛在流形上采樣而來。當數據點的個數很充足（也就是此流形是良好采樣）的時候，就可以認為每一個數據點和它的鄰域都是分布或者近似分布在一個流形的一個局部線性的小塊上的。對于每一個數據點，總存在一些鄰近的點，它和這些鄰近的點就可以定義一個流形上的近似的線性平面。在這種情況下，每個數據點就能夠用它的鄰域來進行重構，得到的線性系數就用來刻畫每個數據點鄰域內的局部幾何特性。最后就是運用這個權重矩陣來恢復低維空間中的嵌入數據。LLE算法的詳細過程可敘述如下：

1）鄰域搜索。LLE方法中的第一步就是確定每個數據點的鄰域。確定鄰域的方法主要有兩種，一種是K鄰域法，也就是對每個數據點取它的K個最鄰近的點作為鄰域，這是用歐氏距離來度量的。另一種方法就是對每個數據點定義一個半徑固定的球域，所有在此球域范圍內的點都被當成是它的鄰域。但是在實際應用中也可以根據一定的先驗知識靈活決定鄰域搜索的辦法。

2）約束最小二乘優化。LLE算法的第二步是將每一個數據點由它的鄰域重構出來。這是通過解決一個約束最小二乘優化的問題來實現的。最小代價函數為：

ε=|x-∑jwjηj|2=|∑jwj(x-ηj)|2=∑jkwjwkGjk

(1)

其中Gjk=(x-ηj)?(x-ηk)。然后求解以下線性方程組：∑kGjkwk=1，再調整w的權值使其和為1。則得到的結果向量wk就是每個點的重構系數，將所有wk寫成矩陣形式得到的矩陣W即為權重矩陣。

3）特征值問題。LLE算法的最后一步就是基于第二步中建立的權重矩陣W來計算高維輸入Xi的低維嵌入。低維輸出Yi是在W固定的情況下，通過最小化如下代價函數所獲得的：

Φ(Y)=∑

(6)

在滿足上述兩個限制條件的同時，再對代價函數公式（2）進行優化，就得到了最優化的嵌入。這是通過求解矩陣M的第2到第d+1小的特征值所對應的特征向量來實現的。1.2等距特征映射（ISOMAP）

下面再接著介紹ISOMA算法。ISOMAP算法是另一種非常經典的流形學習算法，它建立在古典MDS方法的基礎上，通過獲取所有點對之間的測地距離，力求能夠保留數據的內在幾何特征。此方法的難點在于如何在僅僅知道輸入空間中點的距離的情況下，對離的很遠的點估計它們的測地距離。對近鄰點，輸入空間中的距離很大程度上能夠看成是測地距離的近似。而對于離的較遠的點，測地距離則通過將鄰近點間的距離逐一相加來近似得到。

ISOMAP算法同樣可以分為三個步驟：

1）確定數據點間的鄰域關系。這是通過輸入空間X中任意兩點i和j之間的距離dX(i,j)來決定的。具體來說，這又有兩種簡單的方法。第一種是規定一個固定的半徑ε，以一個點為中心，所有在此半徑范圍內的點都稱作這個點的近鄰點；另一種方法是選擇一個點的K個最鄰近的點作為它的近鄰點。這些近鄰關系是通過定義在數點上的賦權圖G來表示的，相鄰的點之間存在一條邊，邊的權重就賦予它們的距離dX(i,j)。

2）Isomap通過計算圖G中的最短路徑距離dG(i,j)來估計流形M上所有點間的測地距離dM(i,j)。一個用來尋找最短路徑的簡單算法如下：首先初始化dG(i,j)，令當i,j之間有邊連接時，dG(i,j)=dX(i,j)；否則dG(i,j)=∞。然后依次為每一個k=1，2，…，N，用min{dG(i,j),dG(i,k)+dG(k,j)}來代替dG(i,j)。得到的最終結果DG={dG(i,j)}就包含了圖G中所有點之間的最短路徑距離。

3）將古典MDS方法運用到圖G的距離矩陣DG上，構建出d維歐氏空間Y上的嵌入數據，構建出的嵌入數據能夠最好的保留流形的預計內在幾何特征。而低維空間Y中點的坐標向量yi的選取必須使得如下的代價函數取得最小值。

E= sdvd]中的行向量就是最合適的d維嵌入坐標，也是整個算法的最終輸出。1.3拉普拉斯特征映射（LEM）

將要介紹的第三個流形學習算法是LEM算法。它運用圖的Laplacian概念，可以計算出數據集的低維表示，能夠在某種意義下最好地保持局部鄰近信息。算法所產生的映射可以看作是對流形幾何的連續映射的一種離散逼近。LEM算法的核心是使用Laplace Beltrami算子在流形上達到最優化的嵌入。此算法用數據點的鄰域圖來近似流形，用鄰域圖的含權Laplace矩陣來近似Laplace Beltrami算子。由于Laplace Beltrami算子在熱傳導方程中的關鍵作用，這就為選擇熱核作為權的衰退方程提供了理論支持。另外，Laplace特征映射保持局部特征的性質使得它對噪聲不敏感，即使只使用局部距離，也不易引起短路。

LEM算法的具體過程可表述如下：

1）建立鄰接圖。如果xi和xj“鄰近”，就在節點i和j之間置一條邊，這一步驟與上述的兩種算法相同，都有兩種做法：ε-鄰域法或者K-最近鄰域法。

2）選擇權值。同樣的，也有兩種為邊確定權值的方法。（a）熱核（Heat Kernel）法[參數t∈R ]：

2從圖嵌入的視角看流形學習算法

上面介紹了三種很有代表性的流形學習算法，可以看出，雖然它們的算法目標不同，各自保持的數據集性質不同，計算過程也是各有偏重，但是，它們同作為流形學習算法的代表，還是有很多能體現這一類算法共性的相似之處的。

其中，比較明顯的就是，這三種算法的步驟都大致相同。比如，算法的第一步都是確立數據點的鄰域關系，第二步都是根據鄰域關系對數據集進行某一方面的刻畫，比如LLE刻畫鄰域點間的重構線性系數；ISOMAP刻畫鄰域點間的相互距離，從而得到全局各點間的最短路徑距離；LEM刻畫鄰域點間的相互遠近關系。算法的第三步就是將第二步中得到的關于數據集某一方面信息的刻畫保持到低維輸出結果中去，從而使得低維輸出結果在我們想要保持的那種性質方面盡可能的逼近高維原始數據。這樣一來，各算法間的區別就可以看成是它們想要在低維嵌入結果中保持的原始數據集的哪種性質了，而這些算法從整體上看，可以說是共同遵循了某種特定的框架。

而在文獻[9]中，作者就提出，目前所有這些流形學習算法，都可以統一在圖嵌入的框架下，都可以從譜圖理論的角度作統一的解讀。下面就將作者文中的一些觀點做一個綜述。

對于流形學習算法，算法的輸入為：X=[x1,x2,...,xN]，其中xi∈Rm，N是輸入點的個數，D是輸入數據的維數；算法的輸出則是Y=[y1,y2,...,yN]，其中yi∈Rm’，m’

其中d是常數，B是為了避免代價函數出現平凡解而定義的約束矩陣，通常是一個用于控制解的規模的對角矩陣。由這樣的圖保持標準所帶來的相似性保持性質就有兩方面的解釋，如果樣本點xi和xj有較大的相似性，那么它們對應的嵌入點yi和yj就應該距離相近；反之，如果xi和xj相似性較小，則yi和yj也應相互遠離。

上述分析就給出了圖嵌入的一般框架，可以看出，圖嵌入的核心思想就是在低維輸出結果中保持相似性圖上各點間的相似性。這顯然與各種流形學習算法的目標是一致的。而這也是流形學習算法能夠統一在圖嵌入框架下的根本原因。下面就將具體描述前一節中介紹的三種流形學習算法是如何描述成圖嵌入的方法的。

首先看LLE方法。LLE方法在將輸入數據映射到低維空間中去的時候注重保持的是鄰域點間的相互關系。首先要計算的是局部重構系數矩陣M，滿足∑j∈Nk(i)Mij=1，其中Nk(i)是樣本點xi的k個最近鄰的索引集，然后低維表示y就是通過最小化代價函數∑i來實現的。如果令圖嵌入中的相似矩陣W=M+MT+MTM，B=I，那么LLE的代價函數公式（2）就可以和圖嵌入的代價函數公式（10）完全的等同起來。所以，LLE和圖嵌入的等價關系由此可以直接建立起來。

再看ISOMAP方法。ISOMAP在尋求數據集低維表示的過程中所注重的是對數據點間測地距離的保持。令最短路徑矩陣DG為獲得的近似測地距離矩陣，函數τ(DG)=-HSH/2就將距離矩陣轉換為了相應的內積矩陣（其中H=I-eeT/n，Sij=D2G(i,j)。如果令W=τ(DG)，B=I，那么ISOMAP中求解τ(DG)的最大特征值對應特征向量的問題就可以和求圖嵌入的代價函數公式（10）的最優解等價起來。所以ISOMAP方法也可以看成是圖嵌入的另一個例子。

最后再來看LEM方法。它保持的是鄰域點間的相似性。LEM方法和圖嵌入的聯系算是所有流形學習算法中最緊密最直觀的了，因為它的代價函數和圖嵌入的代價函數具有完全相同的形式。只是在具體的選擇相似矩陣W時有兩種不同的方法，一種是選

3流形學習算法成功的條件

前面兩節中詳細介紹了幾種代表性的流形學習算法，可以說，經過人們不斷的研究和擴展，流形學習算法作為一種能夠處理非線性數據降維問題的一類算法已經得到了很廣泛的應用，并在很多數據集上都取得了成功。但是，流形學習算法也并不是對任何數據集都能取得很好效果的，甚至對一些很簡單的數據集，算法卻有可能會輸出一些很離奇的結果。這種情況就是流形學習算法的一些固有缺陷的反映，比如，流形學習算法的低維輸出結果只考慮使代價函數取得最小值而完全不考慮所選擇的特征向量是否有意義。對于這種固有的缺陷，下面將要介紹的這篇文章[10]就作出了詳細的分析，并列出了想要算法取得成功就必須滿足的一些條件。

在本文中，作者首先對何為算法的“失敗”給出了一個明確的定義：令X=XN×d為原始樣本。輸入是由ψ(X)?RD給出的，其中ψ:RdRD是光滑映射，D≥d是輸入數據的維數。令Y=YN×d是原始樣本X的一個仿射變換，這樣就能滿足上述正則化約束。當算法成功的時候，就意味著輸出應該與Y很相似。令Z=ZN×d為任何滿足正則約束的矩陣，如果存在這樣的Z使得Φ(Y)>Φ(Z)，就認為算法失敗了。其中Z是和Y顯著不同的，因而也是和X顯著不同的。或者說，如果存在一個顯著不同的Z，它的代價比最適當的嵌入Y要小，那么算法就失敗了。這篇文章中并沒有明確的給出“顯著不同”的定義，通常來看，當Z的維數比Y小時就認為Z與Y是顯著不同的。這里的矩陣Z并不一定要與算法的輸出相似，它僅僅是一個數學的構造，來顯示流形學習算法的輸出結果并不一定總能恢復流形的真實結構。

然后作者以一個用LEM來處理二維流形嵌入的例子來說明，流形學習算法的成功都是有一定條件的，面對特定數據集時算法可能會產生失敗。設輸入數據集X是一個二維格子[-m,…,m]×[-q,…,q]，其中m≥q，將輸入點xij記為xij=(i,j)。為了簡單，將輸入數據集X記為X=（X(1),X(2)），這是一個N×2矩陣，其中N=(2m+1)(2q+1)代表了格子中的點數。在這個特定的例子中，原始樣本和輸入數據集是一樣的。接下來看兩種不同的嵌入Y和Z。嵌入Y就是格子本身，規范化之后以滿足Cov(Y)=I。嵌入Z則將每一列映射到一個點，而得到的點形成了二維平面上的一條曲線，并滿足Cov(Z)=I。嵌入Z顯然不能保持格子數據的原始結構。首先正式的定義這些嵌入。定義Y?=X(X’DX)-1 2，而它是滿足Y?’D1=0和Y?’DY?=I的對X的唯一線性變換。再定義Y=XCov(X)-1 2，可知Y’1=0，Cov(Y)=I，當K

4流形學習中的一些問題

流形學習算法自2000年首次被提出以來，經過人們不斷的研究與完善，如今已相對比較成熟，而且已經在很多其他領域中得到了廣泛的應用。但是，關于流形學習算法仍然有一些公開的問題并沒有能夠得到很好的解決，這些問題已經成為制約著流形學習取得進一步發展的重要因素。

比如說，在算法的鄰域搜索步驟中，鄰域選擇的參數K或者ε往往是人們憑經驗或者某種對數據集的先驗的了解給出的，而并不是通過某種規則推導得出的。這就使得這兩個參數的選擇有很大的隨意性，可能會影響算法的效果。更關鍵的是，流形學習算法都是建立在一個根本的假設之上的：流形上足夠小的一個局部鄰域可以被看成是一個線性空間。流形學習算法一個最普遍的做法就是，使用線性的方法對每個局部鄰域進行分析，然后將每個局部鄰域的信息匯集起來得到對整個流形的刻畫。所以，流形學習算法取得成功的基礎就在于，每個局部鄰域真的能近似的看成一個線性的子空間。而控制局部鄰域是否構成一個線性子空間的，正是算法的鄰域參數K或者ε。如果對鄰域參數的確定沒有明確的選擇方法，那就意味著算法對所選取的每個局部鄰域是否能真實的逼近一個線性子空間沒有一個理論上的保證。這才是確定鄰域參數中真正的問題所在。比如一個彎曲程度較大的二維流形，為了算法的成功，所選取的鄰域應該能夠近似的逼近一個二維平面，而對于某個給定的鄰域參數K，在流形上比較平坦的區域，K個點所構成的鄰域能很好的逼近二維平面，而在流形上彎曲程度較大的區域，K個最近鄰點就有可能無法構成一個二維平面而只能看作是一個曲面。在這個曲面上運用線性的方法，比如計算相互間的歐氏距離，來獲得關于此鄰域的刻畫顯然是不真實的。再比如在一些密度分布不均勻的數據集上，取多少個鄰域點才能構成一個近似的線性空間，同樣是一個現有算法無法解決的問題。目前針對這一問題還沒有一個十分完美的解決方案。有一些方法試圖對此作出優化，比如可以根據數據集局部的密度或者曲率的不同靈活的調整鄰域個數的選擇，但是對于鄰域參數的選擇與鄰域能否構成一個線性子空間之間理論上的聯系仍然沒有一個很完善的結論。這算是流形學習算法中留待解決的一個疑問。

流形學習算法中另一個公開的問題是流形本質維度確定的問題。流形學習算法的目標是將尋求分布在流形上的高維數據集的低維表示，而這里低維的維數就應該是流形的本質維度，在一般算法中，流形的本質維度是作為算法的參數先驗的給出的。在為了驗證流形學習算法的有效性而經常用到的幾個人造數據集中，它們所在流形的本質維度是很容易看出的，因而算法作為參數的低維維度很容易確定。而在絕大多數的實際數據集中，數據集所在流形的維度是無法直接看出的，需要通過計算才能給出。目前比較普遍的確定流形本質維度的方法主要是計算殘差法，即作出算法輸出結果的殘差隨輸出維度的變化而變化的曲線，將曲線的拐點處對應的維度作為流形的本質維度。這樣做一個主要的問題就是，拐點只是一個相對的概念，有的時候不同的維度所對應的曲線斜率變化相差并不大，難以確定真實的拐點。而且，單憑所謂拐點來確定流形本質維度同樣沒有理論上的證明，目前的方法只能被證明是選出了“最適合”的嵌入維度。能否更有效率且更準確的獲得數據集所在流形的本質維度，這也將是決定著流形學習算法能否擴展其應用領域的重要因素。

除此之外，流形學習算法中還有一些其他的問題也是值得深入探究的。比如多流形上的數據集的降維問題，即如何將分布在多個流形相互交叉和重疊的“多流形”上的數據集統一的在一個低維坐標系中表示出來，就是一個很有意義卻還沒能得到很好解決的問題；而如何發掘出數據集中隱藏的其他有意義的信息，并將其作為對高維數據性質的新的刻畫，從而豐富和發展流形學習算法的方法和種類（就像當初擴散距離被引入到流形學習中而形成的擴散映照算法），也同樣是一個很有挑戰性的問題。

5總結

本文對當前的流形學習作了一個較為全面的綜述。包括介紹了幾種最具代表性的流形學習算法，并介紹了如何從圖嵌入的角度將這些算法統一起來，探討了算法能否取得成功的一些判定條件。本文的主要工作在于對流形學習領域的主要工作及相關成果作了一個總體的介紹，對涉及到的相關問題作了一個簡單的梳理。當然，本文主要選取了各個方面的一些代表性文章作了介紹，對流形學習領域的所有成果顯然無法全部涉及。相信隨著對流形學習研究的不斷深入，流形學習目前所遇到的一些難題一定會得到解決，流形學習作為一種很有潛力的學習算法，一定能夠得到更廣泛的應用。

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