導語：如何才能寫好一篇四則運算法則，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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⒉兩級運算時，先算乘除，后算加減。

⒊有括號時，先算括號里面的，再算括號外面的。

⒋有多層括號時，先算小括號里的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。

⒌要是有乘方，最先算乘方。

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關鍵詞：重要極限；洛必達法則；泰勒公式

在我們剛進入高等數學的學習的過程中，初步接觸到一些極限的求解方法，比如借助于定義法和極限的四則運算來求解一些簡單的極限。我們知道在利用極限的四則運算中商的運算法則中要求分母的極限不能為零。但是學習時總會遇到分母的極限為零的情形，如果分母的極限為零，分子的極限是一個常數，那么可以用無窮大量與無窮小量的關系求解。時常還會遇到分子和分母的極限都是零的情形，我們把這類極限稱之為“ ”型。下面就介紹一下一些 型極限的求解方法，以供參考。

方法一 利用有理化或約零因子求 型極限。

例1求

解析 通過觀察發現，當 時，分子和分母的極限都是零，是一個 型極限，這時候無法用極限的四則運算法則來求。可以先將待求極限的分子先進行因式分解，在用四則運算法則求極限

下面看一個利用有理化求解極限的例子

例2求

解析 上式極限也是一個 型的極限，顯然無法用因式分解約零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要極限求 型極限

我們這個極限 稱之為重要極限，根據對這個極限內容深刻理解，可以推廣到 ，下面看如何利用這個重要極限來求解 型極限。

例3 求

解析 這待求極限看似與重要極限形式不同，實際上先將這個極限的形式變形一下就可以借助重要極限來解答了。

令 ，則 ，且當 時 ，所以有

類似地還有這樣的極限 ， 也可以利用重要極限來求解。

方法三 利用洛必達法則來求解 型極限

定理1：若函數 和 滿足

上述定理就給出了洛必達法則的使用條件和使用方法。

例4 求

解析 容易驗證 與 在點 的鄰域內滿足上述定理的（1）（2），又因

從而有洛必達法則可知

如果 仍是 型極限，可以再次用洛必達法則，當然這時候 和 在 的某鄰域內必須滿足定理1中的條件。

方法四 利用泰勒公式求解 型極限

例5 求

解析 本題可以用洛必達法則求解，但是過程角為繁瑣，若應用泰勒公式求解可大為簡化求解過程。考慮到極限式的分母為 ，可用麥克勞林公式表示極限的分子（取 ）

所以

以上就是我們學習時經常遇到的一z些 型的極限和相對應的方法，當然 型的極限的求解還有其他的方法，我們在學習的過程不斷嘗試更多的解決 型的極限的方法，這樣才能不斷提高知識寬度和深度，從而在遇到這類極限的時候，才能迎刃而解。

參考文獻：

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加減乘除先算乘除，最后算加減。如果算式中有括號，先算括號內，再算括號外。有多層括號時，先算小括號里的，再算中括號里面的，再算大括號里面的，最后算括號外面的。屬于四則運算法則。

四則運算是指加法、減法、乘法和除法四種運算。四則運算是小學數學的重要內容，也是學習其它各有關知識的基礎。乘法是加法的簡便運算，除法是減法的簡便運算。減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算。

（來源：文章屋網 ）

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關鍵詞：小學數學；方程；教學

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）12-141-01

一、為什么要用等式基本性質解方程

順應著基礎教育的這一發展，新一輪課程改革中推出的各學科課程標準，都將小學、初中視為一個整體，予以通盤考慮，這是一大進步。數學學科當然也不例外。可以說，義務教育數學課程標準的研制、頒布為我們研究和踐行中小學數學教學的銜接，提供了教學內容、教學要求等多方面的支撐和保障。我們應該基于這樣的背景，展開有關的討論。

其實，解方程的依據，嚴格說來，應該是方程的同解定理。但由于中小學數學的理論要求不高，再說在陳述等式的第一條性質時，只要指出等式兩邊都乘或除以，加上或減去同一個不等于零的數，就可以作為同解定理來使用。所以，多年以來，即使是中學數學教材，也大多采用等式的基本性質作為解方程的依據。這樣處理可以避開“同解方程”等概念，減少教學的麻煩。

過去，在小學教學解方程，依據的是四則運算之間的關系，如“加數=和-另一個加數”，“因數=積÷另一個因數”等等。由于這些關系小學生在學習加減法、乘除法時，早就不斷有所感知，積累了比較豐富的感性經驗，所以到小學中高年級再加以概括就顯得水到渠成，運用這些關系解未知數只出現在等式一邊的簡易方程也比較自然。

但是，這種“算術”的解方程思路畢竟走不了多遠，一到中學就被徹底拋棄，取而代之的是等式的基本性質。而且小學依據四則運算關系解方程教得越多，練得越鞏同，初中方程教學的負遷移就越明顯，入門障礙就越大。當然，負遷移的程度也取決于初中數學教師的教學策略與教學藝術，但在整體上存在負遷移是一個不爭的事實。

既然如此，那是不是意味著四則運算法則就到了窮途末路的境地呢？其實不然，下面我們來綜合比較一下等式的基本性質、四則運算法則和移項法這三種簡易方程解法的優劣。

二、移項法PK等式的基本性質

例如方程5x+2=7x-8，為了使方程化為ax=b的形式，我們就要把同類項合并，但它們又不在等號的同側，如何合并？不妨我們利用等式的基本性質，在方程的兩邊都減去2，然后在方程的兩邊都減去7x，這樣就得到：5x-7x=-8-2，然后再合并同類項就可以了.這里的2就改變符號移到了方程的右邊，7x就改變符號移到了方程的左邊，這種變形相當于把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，這種變形叫做移項。

方程中的任何一項都可以在改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，即可以把方程右邊的項改變符號后移到方程的左邊。也可以把方程左邊的項改變符號后移到方程的右邊。移項中常犯的錯誤是忘記變號，還要注意移項與在方程的一邊交換兩項的位置有本質的區別。如果等號同一邊的項的位置發生變化，這些項不變號，因為改變某一項在多項式中的排列順序，是以加法交換律與給合律為根據的一種變形，但如果把某些項從等號的一邊移到另一邊時，這些項都要變號。例如5x=4x+8，如果用等式的基本性質來解，學生只知道等式兩邊加上或減去同一個數，等式不變，學生就會認為只能加已知數，很難想到兩邊可以同時減去4x，給教學帶來了一定的麻煩。但如果移項的話就容易理解了，4x左移加號變減號，5x-4x=8，解方程就很容易了。這種情況下，移項法占一定優勢。又例如20-8=4x，如果采用移項法把未知數左移變成-4x=-20+8，反而把簡易方程復雜化了。但如果采用等式的基本性質，根據天平平衡原理，左右交換變成4x= 20-8就容易多了。這種情況下，等式的基本性質占優勢，綜合比較，各占千秋。

三、四則運算法則PK等式的基本性質

新課標人教版教材五年級數學上冊“簡易方程”教學內容由原教材用加減乘除四則運算之間的關系解方程改成天平平衡原理（等式的基本性質）解方程。然而，在學生的學習中，都用這種方法解決的話，有些方程不太容易解，大部分學生老是學不會。怎么辦呢？

回顧學生學過的四則運算之間的關系，實質是由等式的基本性質得到的，是否可以教用學生已經熟悉的四則運算之間的關系來解方程呢？于是我就嘗試讓學生回憶加、減之間的關系和乘、除法之間的關系，弄清楚它們之間的關系后，我讓學生試著用“一個加數等于和減去另一個加數” “被減數等于差加減數”“減數等于被減數減差” “ 一個因數等于積除以另一個因數”“被除數等于商乘除數”“除數等于被除數除以商”這六句話來解方程，沒想到學生嘗試后都覺得好用，大部分學生都學會了用這種方法來解方程。

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關鍵詞: 極限 習題課 求極限的方法

極限是微積分課程的一個重要內容,是微積分課程開始部分的重點和難點部分.在某種程度上說,能否學好這部分內容直接關系到微積分學習的好壞,將影響到該課程的學習效果.

由于該部分的概念抽象、公式繁多,學生往往會碰到聽懂了,但公式不會用、不會做題的問題,因此安排習題課必不可少.通過組織有效的習題,不僅能夠強調重點內容,而且能夠將整個章節內容貫穿起來,體現體系的完整性,使學生對所學內容的認識有質的飛躍.

習題課要密切配合課本內容,著重考查學生對所學知識的掌握情況,起到及時反饋鞏固所學知識的作用.同時習題的選擇要有一定的代表性、啟發性,能做到以基礎知識為出發點,輻射到所學知識點.給學生講解時要分析透徹,授之以“漁”而非授之以“魚”.下面是筆者總結的求極限的方法.

一、利用極限運算法則求極限

恒等變形法——對于不能直接利用極限四則運算法則的,可通過一定的恒等變形再利用法則求解,包括以下三種情況.

(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它們代數式中最高階無窮大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化轉為■型或■型.

例1:■(■-■)

解:分析:屬于∞-∞型,不能直接利用極限的四則運算法則進行計算,必須先將函數變形.

原式=■■

=■■=■■=■=1

二、利用單調有界準則證明或求極限

方法:利用單調有界數列必有極限,主要針對遞推數列,其步驟為:

(1)用數學歸納法或x■-x■≥0或■>1,證明其單調性.(2)用不等式放大縮小法證明數列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.

例2:設0

證明:由0

令■x■=A,在x■=■中令n∞,得

A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.

三、求數列n項和的極限

方法一:利用夾逼定理

例3:求■(■+■+…+■)

解:因為■

而■■=1,■■=1,故由夾逼定理得原式=1.

方法二:利用拆項法

例4:■■■

解:由拆項法得■=■-■,■■=1+■-■-■

原式=■■■=■.

四、求數列n項積的極限

方法一:夾逼定理;

方法二:拆通項分解因式法,即使因子相乘,中間項抵消;

方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;

方法四:取對數法.

例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)

由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.

五、利用等價無窮小及無窮小的性質求極限

常見的等價無窮小:當x0時,(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等價無窮小在作積商運算的時候可以相互代替,對加減運算不宜使用.

例6:■■

解:原式=■■=■■=■

六、冪指函數y=f(x)■求極限,常用取對數的方法

例7:■(sinx)■

解:用羅必塔法則

因為■tanxlnsinx屬于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.

合理選取有代表性的習題,往往能加深學生學生對所學知識的理解與應用,使學生能體會到定義、定理及推論的妙用,同時使學生發現問題、分析問題、解決問題的能力得到了發展,進而提高了教學質量.

參考文獻:

[1]參韓飛,張漢平,胡方富.應用經濟數學.湖南:湖南師范大學出版社,2011,8.

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初一數學的第一堂課，一般不講課本知識，而是對學生初學代數給予一定的描述、指導。目的是在總體上給學生一個認識，使其粗略了解中學數學的一些情況。如介紹：（1）數學的特點。（2）初中數學學習的特點。（3）初中數學學習展望。（4）中學數學各環節的學習方法，包括預習、聽講、復習、作業和考核等。（5）注意觀察、記憶、想象、思維等智力因素與數學學習的關系。（6）動機、意志、性格、興趣、情感等非智力因素與數學學習的聯系。

到了初一要引進的新數——負數，與學生日常生活上的聯系表面上看不很密切。他們習慣于“升高”、“下降”的這種說法，而現在要把“下降3米”說成“升高負3米”是很不習慣的，為什么要這樣說，一時更不易理解。所以使學生認識引進負數的必要是初一數學中首先遇到的一個難點。

初一的四則運算是源于小學數學的非負有理數運算而發展到有理數的運算，不僅要計算絕對值，還要首先確定運算符號，這一點學生開始很不適應。在負數的“參算”下往往出現計算上的錯誤，有理數的混合運算結果的準確率較低，所以，特別需要加強練習。

另外，對于運算結果來說，計算的結果也不再像小學那樣唯一了。如|a|，其結果就應分三種情況討論。這一變化，對于初一學生來說是比較難接受的，代數式的運算對他們而言是個全新的問題，要正確解決這一難點，必須非常注重，要使學生在正確理解有理數概念的基礎上，掌握有理數的運算法則。對運算法則理解越深，運算才能掌握得越好。但是，初一學生的數學基礎尚不能透徹理解這些運算法則，所以在處理上要注意設置適當的梯度，逐步加深。有理數的四則運算最終要歸結為非負數的運算，因此“絕對值”概念應該是我們教學中必須抓住的關鍵點。而定義絕對值又要用到“互為相反數”的概念，“數軸”又是講授這兩個概念的基礎，一定要注意數形結合，加強直觀性，不能急于求成。學生正確掌握、熟練運用絕對值這一概念，是要有一個過程的。在結合實例利用數軸來說明絕對值概念后，還得在練習中逐步加深認識、進行鞏固。

學生在小學做習題，滿足于只是進行計算。而到初一，為了使其能正確理解運算法則，盡量避免計算中的錯誤，就不能只是滿足于得出一個正確答案，應該要求學生每做一步都要想想根據什么，要靈活運用所學知識，以求達到良好的教學效果。這樣，不但可以培養學生的運算思維能力，也可使學生逐步養成良好的學習習慣。

初中生思維正由形象思維向抽象思維過渡。思維的不穩定性以及思維模式的尚未形成，決定了列方程解應用題的學習將是初一學生面臨的一個難度非常大的坎。列方程解應用題的教學往往是費力不小，效果不佳。因為學生解題時只習慣小學的思維套用公式，屬定勢思維，不善于分析、轉化和作進一步的深入思考，思路狹窄、呆滯，題目稍有變化就束手無策。初一學生在解應用題時，主要存在三個方面的困難：（1）抓不住相等關系；（2）找出相等關系后不會列方程；（3）習慣用算術解法，對用代數方法分析應用題不適應，不知道要抓相等關系。

初一講授列方程解應用題教學時，要重視知識發生過程。因為數學本身就是一種思維活動，教學中要使學生盡可能參與進去，從而形成和發展具有思維特點的智力結構。

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【關鍵詞】無限逼近極限的運算法則，極限公式，羅必塔法則，恒等變形

一、極限的概念

（一）從感性上體會和理解極限的含義

人在很累很累的時候會說“累死了”，說明體力消耗殆盡，達到極限了，有時甚至說是體力透支；男子運動-短跑上屆倫敦奧運會最好成績是九秒六三，牙買加運動員尤塞恩?博爾特獲得，打破奧運會紀錄九秒七五，可以說是目前的極限成績了；在晴朗的夜晚，我們遙望星空，看到星星在閃爍，也許我們見到的那束光已經走了好多億光年了（宇宙大爆炸開始時150-200億年前？），而那顆星是我們地球的幾個億倍大，你想象有多大都可以的，因為離我們太遙遠太遙遠了，我們見到的只是一個小點點；“一覽眾山小”，“孤帆遠影碧空盡”這些都給我們以極限的感覺。

（二）從理論上理解極限的定義

limxx0f（x）=A的精確定義（″ε-δ″定義）.

定義 函數y=f（x）在點x0的去心鄰域U0x0，η內有定義.若對任意給定的正數ε，總存在正數δδ

函數f（x）的左、右極限定義

設函數y=f（x）在點x0的左半鄰域（x0-δ，x0）內有定義，（右半鄰域（x0，x0+δ）內有定義），如果當自變量x在此半鄰域內從x0左（右）側無限接近于x0時，相應的函數值f（x）無限接近于某個固定的常數A，則稱A為當x趨近于x0時函數f（x）的左（右）極限.記為limxx-0f（x）=A或f（x0-0）=A.（limxx+0f（x）=A或f（x0+0）=A）.函數f（x）的極限，無論是哪一個定義，函數f（x）的值與常數A要有多接近就有多接近，都可以做到。還可以在幾何上作出解釋，在直角坐標系里，指出自變量的范圍，函數值的范圍就確定了；或者f（x）與A有多接近你總可以找到相應的自變量的范圍，無論給定多么多么小的ε，總可以找到相應的δ，使得當0

二、極限的運算

（一）利用極限的運算法則運算

形式.需分子分母同時除以x，將無窮大的x約去，再用法則求）.

（二）利用兩個重要極限公式運算

重要極限1limx0sinxx=1.

一般形式為limu（x）0sinu（x）u（x）=1（其中u（x）代表x的任意函數）

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關鍵詞：函數，概念，性質

 

首先是初等函數相關問題分析:

1.絕對值函數的概念及性質

絕對值函數是個很廣的概念，可分為兩大部分，一部分是絕對值施加在X上的，另一部分是絕對值號施加在Y上的，如y=|x| |y|=x 就記住絕對值號在誰上頭就把原圖像根據哪一個軸做軸對稱變換，記住這一點，不管多復雜的解析式都可以照此辦理.絕對值函數可以看作初等函數。

1.1絕對值函數的定義域，值域，單調性

例如f(x)=a|x|+b是

定義域：即x的取值集合，為全體實數；

值域： 不小于b的全體實數

單調性：當x<0，a>0時，單調減函數；

> > 增 ；

< < 增 ；

< < 減 ；

1.2絕對值函數圖象規律：

|f(x)|將f(x)在y軸負半軸的圖像關于x軸翻折一下即可，在y軸正半軸的圖像不變。

f(|x|)將f(x)在x軸負半軸的圖像關于y軸翻折一下即可，在x軸正半軸的圖像不變。。

1.3帶絕對值的函數求導，即將函數分段。

2.取整函數的概念與性質

2.1取整函數是：設x∈R ， 用 [x]或int(x)表示不超過x 的最大整數，并用'{x}'表示x的非負純小數,則 y= [x] 稱為取整函數，也叫高斯函數。任意一個實數都能寫成整數與非負純小數之和，即：x= [x] + {x}，其中{x}∈[0，+∞）稱為小數部分函數。

2.2取整函數的性質：a 對任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b對任意x∈R,函數y={x}的值域為[0,1).c 取整函數(高斯函數)是一個不減函數,即對任意x1,x2∈R,若x1≤x2,則[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,則有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一個以1為周期的函數.e若x,y∈R,則[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,則[nx]≥n[x].　g 若n∈N+,x∈R+,則在區間[1,x]內,恰好有[x/n]個整數是n的倍數.h 設p為質數,n∈N+,則p在n!的質因數分解式中的冪次為p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

3.導數的概念與性質

3.1導數，是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。。在一個函數存在導數時，稱這個函數可導或者可微分。可導的函數一定連續。。不連續的函數一定不可導。導數實質上就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則來源于極限的四則運算法則。導數另一個定義：當x=x0時，f‘(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函數，我們稱他為f(x)的導函數（簡稱導數）。

3.2求導數的方法

（1）求函數y=f(x)在x0處導數的步驟：① 求函數的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均變化率;③ 取極限，得導數.

（2）幾種常見函數的導數公式： ① C'=0(C為常數函數)；② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q)； ③ (sinx)' = cosx；④ (cosx)' = - sinx；⑤ (e^x)' = e^x；⑥ (a^x)' = a^xlna （ln為自然對數）;⑦ (Inx)' = 1/x（ln為自然對數;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

補充:上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函數，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加注意。

（3）導數的四則運算法則： ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

（4）復合函數的導數

復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數--稱為鏈式法則。

4.高等函數的概念以及含義問題

4.1一元微分

1）一元微分是設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx) −f(x0)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。

當自變量X改變為X+X時，相應地函數值由f(X)改變為f(X+X)，如果存在一個與X無關的常數A，使f(X+X)-f(X)和A·X之差是X→0關于X的高階無窮小量，則稱A·X是f(X)在X的微分，記為dy，并稱f(X)在X可微。一元微積分中，可微可導等價。記A·X=dy，則dy=f′(X)dX。例如：d(sinX)=cosXdX。

2）其幾何意義為：設Δx是曲線y = f(x)上的點M的在橫坐標上的增量，Δy是曲線在點M對應Δx在縱坐標上的增量，dy是曲線在點M的切線對應Δx在縱坐標上的增量。當|Δx|很小時，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高階無窮小)，因此在點M附近，我們可以用切線段來近似代替曲線段。

4.2多元微分

1）多元微分的概念：與一元微分同理，當自變量為多個時，可得出多元微分的定義。

2）多元微分的運算法則

dy=f'(x)dx

d(u+v)=du+dv

d(u-v)=du-dv

d(uv)=du·v+dv·u

d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

3）微分表

d(x^3/3)=x^2dx

d(-1/x)=1/x^2dx

d(lnx)=1/xdx

d(-cosx)=sinxdx

d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

高等函數中還有值定理與導數應用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定積分、定積分、平面曲線的弧長、、可降階的高階微分方程、二階常系數非齊次線性微分方程、向量代數與空間解析幾何、重積分及曲線積分以及無窮級數等，本文就簡單的函數問題做一總結。

【參考資料】

1.復變函數論.高等教育出版社,2004,01.

2.實變函數簡明教程.高等教育出版社 2005,5,.

3.高等學校教材——實變函數論. 高等教育出版社,2002,8.

4.華羅庚.高等數學引論.高等教育出版社,2009,2.

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一、小學生數學概念的發展

小學生數學抵念的發展，不是一個自然發展的過程，而是在教育的條件下，通過數學知識的學習，逐步形成和發展的。

1.數概念的發展

低年級階段（7～8歲）的兒童，初步形成3位致以內的整數概念系統，對于3位數以內的“相鄰數”“認數”“數序”、數的大小”“數的組成與分解”“圖與數”已基本掌握，但對較復雜的須借助于推理的“數的組成”及“應用”，還有一定困難。

中年級階段（9～10歲）的兒童，通過多位數的學習，擴大了數的范圍。兒童可以根據各個數位的名稱和順序及有關讀寫規則，把十進位制的認知結構，順利地遷移到百、千、萬以上的多位數的讀寫中去，形成整個自然數列的概念系統和認知結構。在計數方法上，也開始從逐一點數向按群計數過渡。例如，在進行分數大小比較時，會用整數的比較方法比較分子相同分母不同的分數。

高年級階段（11～12歲）的學生，對整數、小數、分數的概念系統漸趨統一，并初步形成整數、小數、分數的認知結構，不僅知道它們的聯系，而且能區分。例如，學生會對分數和小數進行互相轉化，知道整數分母是1的分數，當分子是分母的倍數時，這個分數就是整數。

2.幾何概念的發展

小學生幾何概念的發展僅次于數概念的發展。小學生學習幾何初步知識是結合數的認識和四則運算進行的，這不僅有利于幾何概念的掌握，也使數的認識和運算能力得到進一步的提高。

兒童在低年級階段，就能指出正方形、長方形、圓形、三角形等圖形，但這種認識只是圖形與言語的一種聯系，并未建立有關圖形的概念，即并不掌握圖形的關鍵特征，學習中只是把這些圖形作為計數的學具或教具。這時的兒童空間觀念發展還很不完善，一般只能從二維空間認識圖形，他們對形體部分，如會把長方體看作長方形。

中年級學生開始學習有關幾何的初步知識和概念，但這種學習只是描述性學習，一般還不作嚴格定義。二維空間概念基本形成，并逐步向三維空間認識圖形過放。這一階段的學生能正確識別幾何圖形的人數多于正確說明圖形特征的人數，這種差距表明小學生學習幾何初步知識，一般也是由知覺為主的直接認知，過渡到以思維為主的間接認知的。

高年級學生已逐步形成三維空間觀念，空間想象力逐步增強。由于三維空間概念學習與兒童的透視能力發展有關，據國內外的許多研究表明，這些能力的發展一般在11～13歲，所以在小學高年級階段學習最為適宜。

3.代數概念的發展

代數概念的概括性相適應性都比算術高，從現行教材看，低年級在數的計算中，就用（）、表示數。到了中年級，開始解答含有未知數x的試題或文字題，并能用速度x時間=路程、全程――已行路程=剩下路程等較抽象的關系式表示數量關系。在幾何圖形的周長、面積計算或運算定律的學習中，開始用字母表示數。但是上述學習，只是在算術學習中滲透了一些有關代數的知識，只是為高年級學習簡單的代數知識作一些認知上的準備，或是對算術認知結構作些適當改變，以適應高年級的代數學習。

二、運算能力的發展

小學生運算能力的發展，主要體現在運算法則的掌握和運算技能的形成兩個方面。

1.運算法則的掌握

兒童運算能力的發展取決于多種因素，但與數概念的掌握的水平相關極大。兒童對整數、小數、分數的概念掌握得越好，運算能力也就越強，因為對數概念的掌握，是學習運算法則的前提。低年級小學生在數的認識中，從逐個計數發展到按群計數，只有當兒童達到按群計數的水平，才可能真正按一定法則作四則計算。因此，學生在掌捏四則運算之前，必須提高10以內計數和序數的認識水平，在掌握了10以內計數和序數的基礎上，再發展到以“10”為新的計數單位的攝念水平，掌握10的組成與分解，就能使兒童理解“湊10加，分10減”進退位加減法的計算法則，并推理遷移到20以內的加減運算。10以內和20以內的加減法，是自然數四則運算的最基本的法則。

2.運算技能的形成

運算技能的形成，主要表現在運算的正確性、敏捷性、靈活性和合理性上。運算技能的形成過程，也是兒童運算能力的發展過程。運算技能是在兒童掌握運算法則的基礎上，通過練習而形成的。

（1）口算技能的發展

口算能力的發展，不僅要看口算的正確率，而且要看學生的口算方法，如同樣完成8+7的口算式題，就有4種不同的口算方法。第一種，是從1開始逐一計數到15；第二種，是從1加起數到15；第三種，是用湊十法計算；第四種，是口訣法（八七十五）直接說出結果。上述4種方法，反映了4種不同的發展水平。第四種方法省略了中間的運算環節，從靈活性和合理性上優于前幾種口算水平。

（2）筆算能力的發展

筆算能力的發展，一般可分為三個階段。第一階段，是形成新的筆算階段。這一階段，學生通過對新的筆算法則方法的學習，排除了口算的干擾作用，如口算可以從低位算起，也可以從高位算起，而筆算有嚴格的操作順序。這一階段的學習，表現為速度慢，而且不能正確地運用法則。第二階段，是掌握階段。通過練習、比較，逐漸排除了口算對筆算的干擾，筆算的操作過程趨向穩定，計算時已不如前階段那樣緊張，運算速度和正確率有所提高。第三階段，是熟練階段。這個階段的特點是：意識對運算的控制大大減少，運算漸趨自動化，計算時精神緊張狀態基本消除，注意力的分配達到自覺程度。

三、結語

在新課程改革強調因材施教的前提下，小學數學教師要深刻認識到認知發展的階段性與個別差異制約著教學內容的深度、廣度和數學方法的選擇與運用，同時還影響著師生在教學上的活動和結果。因此，對小學生數學學習認知發展進行探討顯得尤為重要。

參考文獻：

[1]譚露.小學數學教法淺探[J].南方論刊，2002，（12）：97.

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關鍵詞：高等數學 極限 導數 算法

中圖分類號：G642.41 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2016）12-0194-01

數學是一門嚴謹的學科，在解答問題中學會嚴格的按照定義、公式進行推理演算，做到前后有依據，變化有規則，不僅可以提高對解題正確性的把握，能反過來加深對概念、定理的理解，學習高等數學，更要注重這方面的要求。

以下是教學中遇到的兩個問題：

一、計算

這是高等數學某教材中第一章的課后習題，題目的用意是讓利用重要極限求解。有不少學生是這樣解的

答案是對的，但步驟卻有些牽強，體現在倒數第二步，對冪指函數的底部和指數分別求極限，這是想當然的做法。在極限的運算法則中，有四則運算、復合運算，而上面的算法就缺少依據，巧合的是冪指函數只要底部與指數有極限，上面的算法算出的結果一般是對的。這是因為利用運算法則，我們有

先利用對數恒等式把其化為復合函數，根據復合函數求極限方法，把極限符號提到指數上，再用乘積運算求出指數的極限，得到結果。盡管復雜了一些，但保證了每一步計算有依據，提高了對做題正確的把握。

二、推導冪函數求導公式

導數基本公式 是高等數學里最為熟悉的公式之一。查閱不同的教材可以發現，對該公式的證明主要有兩種：一是用定義證明；二是利用隱函數求導。定義證明是很基礎的推導，但計算過程卻不簡單，在數學專業教材中可見；另一種證法卻很簡單明了，有不少高等數學教材都有使用，證明如下，設

兩邊取對數

兩邊對 求導

所以

過程非常簡單，算法的巧妙使得我們不想細看它的每一步。然而，這里要提出的是，這種推導縮小了 的范圍，第一步取對數默認了冪函數及

取正值，而一般的冪函數也有負值的情況。

回憶一下冪函數的定義，設 為互質的正整數。當 為正有理數，記 ， 為奇數， ； 為偶數， 。當 為負有理數，記 ，

為奇數， （非零實數集）； 為偶數， 。當 為無理數， 。

當 ， 。

由冪函數定義，分情況討論其導數：

1.當 ，有 。兩邊取對數得 ，對 求導得 ，于是 （*）

2.當 ， （ 為奇數）。 有 符合公式（*）；

為偶數時， ，兩邊取對數得 ，對 求導得 ，

仍有 ； 為奇數時， ，兩邊同乘-1后取對數

，求導得公式（*）。

3.當 ， 為正有理數， 。當 時，

適合公式（*）；當 時， 適合公式（*）；當 時，