導語：如何才能寫好一篇簡述數學建模的一般步驟，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

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1.1簡述數學及數學建模

美國科學院院士Glimm在他編著的《數學科學、技術和經濟競爭力》的報告里指出：“數學科學對于經濟競爭是生死攸關的”，認為“在數學科學里，技術轉化遠低于其潛力”“，這種由研究到技術轉化，對加強經濟競爭力具有重要意義”。從而，數學向一切領域滲透以及實現數學科學技術轉化，是當代數學發展最具生命力的方面。近代計算技術的快速發展，為數學的發展提供了最有力的工具。在高新計算機技術支持下的數學建模，成為目前發展數學向一切領域滲透及數學科學技術轉化的主要途徑。由于利用數學方法解決實際問題時，首先要進行的工作是建立數學模型，而建立一個較好的數學模型成為解決實際問題的關鍵。

1.2對模型與數學模型的認識

一般地說模型是我們所研究的客觀事物有關屬性的模擬，它應當具有事物中使我們感興趣的主要性質。好的模型應當具有它所模擬對象的主要功能。例如：航模飛機就是對機的一種模型。但模擬不一定是對實體的一種仿制，也可以是對某些基本屬性的抽象。例如：日常生活中使用的各種圖紙。那么什么是數學建模呢？數學建模就是指將某一領域或部門的某一實際問題，經過抽象簡化、明確變量和參數，并依據某種“規律”建立變量和參數間的一個明確的數學關系（即數學模型），然后求解該數學問題，并對此結果進行解釋和驗證。若通過，則可投入使用，否則將返回去，重新對問題的假設進行改進。按照E.A.Bender的提法，認為數學模型乃是“關于部分現實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數學結構“。由于個人的講法不一，不必過于追求嚴格的定義。總之，數學模型是一種抽象的模擬，它用數學符號、數學式子、程序、圖形等刻畫客觀事物的本質屬性與內在聯系，是現實世界的簡化而又本質的描述。它或者能解釋事物的各種性態、預測它將來的性態，或者能為控制這一事物的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。例如，在科學發現上比較有名的萬有引力定律的發現是牛頓在力學上的重要貢獻之一，正是為了建立這一定律，他發明了微積分方法，通過數學建模的方法，推導出萬有引力定律。

1.3數學建模的一般步驟

由于數學建模面對的是現實世界中的形形的事物，不可能用一個統一的格式來說明，下面大致歸納建立數學模型的一般步驟。1）了解問題的實際背景，明確數學建模的目的，掌握必要的數據資料，為進一步數學建模做準備。為了做好這一步工作，有時要求建模者作一番深入細致的調查研究，有時需向有關方面的專家能人請教，以便掌握較為可靠的第一手資料。2）在明確建模目的，掌握必要資料的基礎上，抓住主要矛盾，對問題作必要的簡化，提出幾條恰當的假設。十六世紀初，著名天文學家開普勒正是在第谷二十年積累起來的資料基礎上，提出了科學的假設。如果當時沒有開普勒的假設，人們對現實世界天文學的感性認識就不可能迅速上升到理性的階段。一般在提出假設時，如果考慮的元素過多，過于繁復，會使模型過于復雜而無法求解，考慮的因素過少、過于簡單，又會使模型過于粗糙得不出多少有用的結果而歸于失敗。此時，應當修改假設重新建模，一個較理想的模型往往需要經過反復多次地修改才能得出。3）之前已經根據問題背景提出了適當合理的假設，在此基礎上，各變量之間存在某種關系，采用恰當的數學工具來表示以上這種關系，為其構造相對應的數學結構，根據構造的數學結構建立相應的數學模型。在建立數學模型時要綜合考慮建模所要達到的要求目的、問題的特征的問題，此外還要考慮負責數學建模人員的數學特長等問題。在建立數學模型時可能會用到任意一個數學分支，即使是同樣的問題也可以建立不同的數學模型，只因所采用的數學方法有所差異。人們可以采用多種數學方法達到所預期的要求目的，通常在這種情況下，人們會采用較為簡單的數學工具。4)分析并檢測所建立的數學模型。人們之所以建立數學模型是為了解決問題，更好的解釋自然現象并改造自然以此來滿足人們生活需要，所以說數學建模不是我們的最終目的。在建立數學模型時我們應該充分考慮模型求解的問題，模型求解包括以下幾部分內容：邏輯推理、圖解、解方程、定理證明、討論穩定性等。建立模型并將模型所得結果與實際情況進行比較，通過這種比較來檢測數學模型的正確性。通常，一個較成功的模型不僅應當能解釋已知現象，還應當能預言一些未知的現象，并能被實踐所證明。例如：牛頓創立的萬有引力定律就經受了對哈雷彗星的研究、海王星的發現等大量事實的考驗，才被證明是完全正確的。如果經驗結果與事實不符或部分不符，就應當象前面所講的那樣，修改假設，重新建模。綜合起來講，數學建模的一般過程可以概括為：從實體信息（數據）提出假設建模求解驗證修改應用的一個反復完善的過程。

1.4數學建模中應當注意的兩個方面

1）要具備廣泛的數學基礎知識，懂得它們的背景含義及各種數學應用問題的解法。2）重視觀察力和想象力的培養。要學會數學建模除了要學會靈活應用數學知識外，還應當注重培養自己的觀察力和想象力。著名科學家愛因斯坦曾經說過：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動進步，并且是知識的源泉”。

2對投資問題數學模型的探討

當國家或地區財力有限時，要使有限的投資能發揮出最大的效益，必須制定最佳投資方案，使國民經濟獲得最優增長。關于投資問題就是經常要提到的一個重要問題，下面采用數學方法建立模型，并對某些結論進行討論。社會生產可以分為兩大部類，第Ⅰ部類和第Ⅱ部類。第Ⅰ部類的生產是用于非消費品的生產；第Ⅱ部類的生產是消費品生產。經濟學理論分析，用于第Ⅰ部類的生產資金是通過消費品的生產轉化來的，同時生產出來的第Ⅰ部類產品，在一定時期內又服務于消費品生產。那么，要使投入生產的總資本產生最大的經濟效益，需確定資本的最佳投入。

2.1投資問題數學模型的建立

假設1)t時刻，國家投入生產的總資本為K(t),K(0)=K0,K(T)=KT,K0與KT是已知量，國民經濟總收入為Y(t),并且有Y(t)=〔fK(t)〕,（1）其中〔fK(t)〕是生產函數；2）國民收入主要用于兩方面，消費資金C(t)和擴大再生產的積累資金I(t),且有Y(t)=C(t)+I(t)（2）消費資金產生的效益記為U〔C(t)〕,消費越高，為生產帶來的效益越大，因此3）人是勞動力資源，從t=0到t=T這段時期內，勞動力保持不變。在上述假設下，考慮最佳投資方案，即確定投資函數K(t).當充分小時，有，令，得，（3）（3）式表明t時刻用于擴大再生產的資金正好是t時刻總資本的變化率。將（1）式（、3）式代入（2）式得到關于K(t)的常微風方程（4）現在的問題是求K(t),使得（5）約束條件為K(0)=K0,K(T)=KT，狀態方程為求最佳投入資本的問題歸結為解具有固定端點的變分問題（5）.注意到，得變分問題利用Euler方程得常微風方程（6）因為，所以（6）式就變為（7）

2.2模型探討

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幾何動藝是利用在幾何上可描述的形狀，如三角形，矩形，圓等所組成的構件，結合物理里的平衡原理，通過構思，建立數學模型，定量計算得到聯結數據，把每個構件聯結起來，創造一件藝術品的學科。

中國科學院院士郭慕孫先生（Mooson Kwauk，1920生人）畢業于美國普林斯頓大學，是該校的化工碩士，同時又是中國幾何動藝的先驅。2011年6月，幾何動藝實驗室正式在北京市第二中學掛牌成立。筆者有幸成為20位同學中的一員。郭慕孫院士在掛牌后的幾個月里，三次光臨并親自指導，并聆聽了本文作者所在組別制作的作品――“蘋果的力量”（詳見3.3蘋果的力量）――的報告。本文介紹數學思想及方法在幾何動藝中的運用，同時展示一些幾何動議的作品，展示生活中的數學美。

1.幾何動議作品的要求與特色

所使用板的形狀必須在幾何上可以描述；“七巧板”似的裁切下料，盡可能不浪費材料，組件能拼回原狀；動藝部件的平衡需利用物理平衡原理，建立數學模型，強調學科之間的交叉；室內陳列，要求觀看者的呼吸和身體運動足以啟動作品。

2.幾何動藝要求的數學思想與能力

幾何動藝，顧名思義，是用幾何知識制作的藝術作品。在此闡述一些我在制作中發現需要的數學思想與能力。

2.1基礎思想與能力

2.1.1數學建模

幾何動藝充分地借鑒了數學建模思想。數學建模中： 根據實際情景提出問題、設計數學模型，計算出數學結果，根據實際校驗，如果符合實際得出結果；如果不符合實際，重新提出問題。在幾何動藝中，這一過程為：根據構想的幾何動藝作品提出構思設計、數學定量計算，計算出連結點數據，根據剪裁連結調試的結果，如果平衡且符合設計初衷則作品誕生；如果不符合實際，重新構思作品。如圖1：

2.1.2如何找到基本平面幾何形體的質心

找到基本幾何形體的質心，是幾何動藝中最重要的一步，沒有這一步會導致最終成品的不平衡也就等于制作失敗。幾何動藝作品目前進行研究的是一維或二維的幾何形體（板、線）構成的，三維幾何體正在計劃研究中，所以我們把一個成型的部件的質心看作其對應的一維或二維的幾何形體的中心。這里闡述幾種基本幾何形體的質心尋找辦法。

（1）線（實際為棍）：線是在幾何動藝中最簡單的，可描述的幾何形體，其質心即線的中點。

（2）三角形：三角形是比較簡單的，其質心即三條中線的交點。

（3）平行四邊形：平行四邊形的質心即對角線交點。

2.1.3測量時的估讀

測量值越精確意味著制作出來的作品一次成功的幾率越大。

測量結果一般是由直尺，三角板，量角器，圓規，游標卡尺得出的。其結果往往保留到最小分度值位，即1.0mm或0.5mm。這么保留的原因在于為穿線打孔時打出來的孔一般直徑為0.5～1.2mm。這一小孔所造成的質量減少，幾何形體變形加之最小分度值測量差，會導致測量結果與實際結果相差0.0～2.0mm左右。這一誤差導致的力的偏差正好是可以由懸掛線與幾何形體間摩擦力所平衡的。

2.1.4基礎數學計算

基礎數學計算，加減乘除是必需的。在此基礎上，要求適當的估算，不僅為了方便計算，甚至有些情況下可以更精確。

需要掌握的數學基礎還包括各種函數的圖像，簡單的微積分等知識。如《幾何動藝（Geometric mobiles）》一書中的作品：對數半旋、扭毯等。

2.2技巧性的思想與能力

為了制作更好的幾何動藝作品還要求更多的數學思想與能力。

2.2.1幾何形體原料拼裝――節約材料

郭慕孫院士在書中的“制約條件”一部分中提到“‘七巧板’似的剪切下料，盡可能不浪費材料，組件能拼回原狀。”這種方法我們稱作“七巧板法”。

充分利用這個原理的作品有“階梯”。在此作品中需要四個L形板和一個較小的正方形板。于是為了節省材料，在一個大的正方形板中如下圖2剪裁方式。

如此一來，在節省下料的同時又充分的發揮了幾何學知識。一舉兩得。成品見于“3.2基礎練習2――階梯（郭慕孫院士新作，未收錄在書中）”。

2.2.2如何找到單個、復雜或多個平面幾何形體的質心

計算一個不規則物體的質心，其基礎就在于將一個復雜的、不規則的物體分割為若干個規則的、容易描述的物體。而在幾何動藝作品中，常常運用的是平面幾何形體，即找到一個幾何形體的質心。

例如：計算一個不規則四邊形ABCD的質心G。

如圖3，任意四邊形ABCD，連結BD，在“2.1.2如何找到基本平面幾何形體的質心”闡述過三角形質心的尋找，所以我們找到BCD和ABC的質心，并設BCD的質心為O1，ABC的質心為O2，則四邊形ABCD的質心一定在直線O1 O2上。

于是我們引入一個物理學上的公式，這個公式是基于杠桿原理的，叫作“和質心公式”。

x=■

我們在直線O1 O2上任取一點O，設O1 O =x1，O2 O=x2，四邊形ABCD的質心G與O的距離OG=x，SBCD =S1，SABC =S2。在“2.1.2如何找到基本平面幾何形體的質心”中闡述過，我們已經將一個實際的部件看作了一個一維或二維的幾何形體，那么我們就可以用這個幾何形體的面積來替代它的質量。則得到：

在設計自主創新作品“蘋果的力量”時，我們大量地運用了這種方法。此外我們還運用了更高一級的方法――負質量法，顧名思義，即缺少的質量我們記為負值。在幾何動藝中，即將缺少的面積記為負值。質量或面積為負值意味著其作用效果與其對應的正面積或正質量的作用效果是相反的。

如圖4為一個半徑為R的O1中缺失了一個半徑為r的O2。 設O1為O，GO=x，O1 O2方向為正，解得：■即G在O1負方向與O1距離為x=-■的位置上。

（原始計算時在圖后）

原始計算式為：

x=-■

當一個幾何形體過于復雜時，我們經常利用計算機將其分為無數個無限小的正方形，計算它們的和質心。

若既計算龐大，又無計算機，我們可以用“懸線法”。即將一個不規則部件用一根線掛住靜止，沿線向下劃一根延長線。則質心一定在此延長線上。再將部件換一個不在此延長線上的懸掛點，重復上述步驟。得到兩根線，其交點為質心。如圖5。

2.2.3找規律與規律的應用

找規律即根據等比數列、等差數列遞推數據。屬于技巧類。如當算出一列數據為1，3，5，7，9，我們即可知道后面的數據為：11，13，15，17……；算出一列數據為1，2，4，8，16，我們即可知道后面的數據為：32，64，128，256……。

2.3多元的思想和能力――基礎物理概念、創新思維

在前面的幾個模塊已經多次引用了物理學上的原理，建立在數學理論上的物理是解決實際問題的最好工具，在此便不加贅述。幾何動藝涉及到的學科不僅僅是物理，如何讓幾何動藝作品看起來更加好看，更加美觀，這就需要美術，勞動技術等等學科的參與，幾何動藝作品的目的不是為了運用數學原理而運用，它應當是美的。

創新思維是幾何動藝的核心思想之一，初期我們模仿郭慕孫院士的作品，并取得了成功，緊接著就著手自主創新幾何動藝作品，在接下來的“3成品展示及簡述”會介紹兩個模仿作品和兩個創新作品。

3.成品展示及簡述

以下的作品均由我所在的小組所共同制作，成員是：王子超、吳穗雯、彭誠、彭博、王瀟歐；指導老師：張改蓮、姜則善。

3.1基礎練習1――掩護（郭慕孫院士發明，《幾何動藝》P76～P88）

如圖6，掩護即運用了三角形的質心求法。將6～8個三角形擺成一個漂亮的弧線。我們還可以根據三角形的底邊長來決定作品的弧線旋轉方向和部件三角形的“胖瘦”。如圖7。

3.2基礎練習2――階梯（郭慕孫院士新作，未收錄在書中）

如圖8，階梯中充分利用了“七巧板法”。在“2.2.1幾何形體原料拼裝――節約材料”已經作為例子闡述。

3.3拓展練習――蘋果的力量（自主創新）

如圖9，蘋果的力量是近期制作的最復雜的作品，其部件是由很多個圓與圓的漸近線圍成的。制作時利用了復雜幾何形體求質心，負質量法，微積分等多種原理。由于計算過于復雜，我們利用了計算機。

3.4最新作品――雷霆（自主創新）

如圖10，雷霆是最近期的作品，較“蘋果的力量”更簡單，但是充分利用了“七巧板法”與復雜幾何形體求質心。設計圖如圖11。

4.結語

幾何動藝是由郭慕孫院士從美國的動態藝術產生靈感而創立的。郭院士一直與其一名學生和一名助手鉆研幾何動藝，后來北京二中也參與了進來，掛牌成立了“幾何動藝研究室”，但是一個學校與一個院士和他的團隊的力量畢竟是不夠的。幾何動藝還需要更多的人來發展，如把幾何動藝發展到建筑學中去，把幾何動藝演變到生活的裝飾品中去，這些還都需要更多的人來參與。

參考文獻：

幾何動藝 GEOMETRIC MOBIL

ES/郭慕孫 Mooson Kwauk.―北京：科學出版社，2008。

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關鍵詞：元算法；數學模型庫；擴展元算法；專題數據處理

中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）31-0041-02

專題數據處理模型庫是指通過各類數學模型，充分挖掘其空間分布規律、關聯規律、分類規律等內容，從而獲取專題數據處理所需的信息，為空間分析和制圖提供重要支持。專題數據處理數學模型庫廣泛應用在非空間特性數據分析、挖掘空間數據、專題地圖制圖等多個領域。目前，多數制圖系統和GIS系統中，數據處理主要借助函數、插件等固定形式完成算法，哪怕建立的模型庫管理系統中已存在的模型，例如：針對環境、農業、交通等建立模型庫，已有的模型庫重用性、擴展性效果不佳，應用至其他領域必須實施較大改動，需要重新編制算法模型或相對應的管理系統。現階段，GIS和專題制圖技術的不斷發展，模型庫設計方法無法滿足數學模型共享性、重用性的要求，也無法實現用戶對動態生成數據模型和智能化管理方面的要求。分析上述問題，根據已有的數學模型庫系統展開研究，提出基于元算法數學模型庫系統，在系統中增設擴展元算法模型庫，介紹可視化生成數學模型庫，將設計的數學庫模型系統掛連至外界GIS框架內方便進行專題作圖，獲得良好的應用效果。

1簡述元算法相關概念及特征

元算法是指從數學模型中抽象而來最具體的算法單元體，其可以標識算法模型的一般特征，通過聚合建立的數學模型具有共享性、重用性的特點。同時，具體使用過程中，必須綜合考慮各領域數學模型的特殊性，必須建立針對具體領域所使用的元算法模型。元算法主要特征如下：1）元算法應概括所有專題數據處理算法的特征，換句話來說，任何一個算法均由多個元算法組成，上述元算法過于細化。2）創建的元算法專題數據處理模型采用程序的表示方法，這要求每個算法必須來自客觀實際，確保能夠被程序應用，并非空穴來風設計。3）專題數據處理模型可在通常情況下，元算法作為算法中的最小單元，不可再分，單元算法也不能過于具體化，太具體會加大重復工作量。建立的數據庫系統在確保概況性的基礎上，保證元算法具有不可分性。

2設計在元算法基礎上的數學模型庫

模型庫系統平臺主要功能是管理或維護模型資源，具有模型分析、模擬功能。基于元算法設計數學模型庫系統，該系統的特點主要表現在底層模型庫組織方式和表達方式上。由于元算法模型具有普遍性、概況性的特點，采用元算法模型粒度控制尺度設置數學模型庫，實現對數學模型資源的管理和維護，為各個領域的專家、用戶提供管理控制工具。這種設計形式與已有的模型庫系統比較具有以下優點：1）具有簡捷性的特點：本系統與原有模型庫系統本質的區別在于，該系統是從最基本的模型表示方法入手，把GIS中的算法分解成具有普遍意義的元算法段元。合理控制模型六度確保用戶能夠自由構建所需的算法模型，在一定程度提升算法模型設計的彈性。2）通用性和合理性的特點：本系統針對GIS中反復出現的數據處理算法，把算法管理逐漸從GIS中進行分離，完成數據處理與數據可視化分離的操作，借助模型庫系統便于處理數據。

3建立元算法專題數據處理數學模型庫

1）元算法模型主要分類

為便于管理，不得將元算法當做一類進行處理，專題數據處理中把元算法細化為基本元算法子集和擴展元算法子集。專題數據處理模型庫系統中，為便于管理，根據元算法模型的參與運算目數劃分，主要包括單目和雙目元算法模型。參與運算的預案算法有的是單目的，例如：正弦、絕對值等；有的是雙目運算，例如：加法、指數運算等等，具體情況如圖1。

圖1 數學模型庫“基本元算法”子集內容

2）擴展元算法子集內容

擴展元算法是指由基本元算法組合而成的形式，在實際使用中常見的特殊元算法。對專題數據進行處理過程中，所用的擴展元算法主要來源于以下方面：①包括矩陣、方程等這類相對復雜的運算法，這種復雜的算法主要由基本元算法組合而成，建立數學模型系統也比較復雜，例如：矩陣乘法運算等。②在模型庫中重復出現的特殊算法，這些算法在專題數據處理中頻繁出現，例如：數據數字特征算法，為防止重復繁瑣的算法，必須將這類特殊算法進行提取當做擴展元算法處理，內容如圖2。

圖2 擴展元算法子集主要內容

3）專題數據處理數學模型庫內部組織

專題數據處理模型庫系統采用向對象法描述模型庫的組織體系結構，實現合理管理模型庫內部各種算法的目的。以UML部分算法為例進行設計，如圖3。

圖3 元算法數據模型庫組織結構圖

圖3中MathModel設置一個公共結構，上述算法模型以直接或間接實現該公共接口，確保每種算法模型采用恰當的變量對象參與運算中。中間第一層接口依據模型變量角度進行劃分，依據每個算法參與變量的角度選定相應的實現接口，該接口實現處理輸出結果的功能。最下層表示單目元算法和雙目元算法，每種算法依據運算目數選定繼承基類。每一個算法類實現并繼承設定的基類和接口，完成所繼承接口與基類的各種算法，設計變量數值和類型后參與運算中。上述設計不單保障算法模型每個變量數值，也確保其實施統一的文件格式輸出，達到各算法模型之間相互連通的目的。

4）基于元算法數學模型生成

數學模型可視化生成借助多個元算法模型進行組合或嵌套，是指在原有的模型庫系統正確引導下下，挑選創建數學模型庫系統所需的元算法部件，無需再次實施編程即可創建所需的數學模型庫。

基于元算法主要采用兩種方式設計數學模型庫，一種在元算法模型基礎上創造新的數學模型庫，如：計算一條直線上兩點之間的距離，數學表示公式為：[y=x1-x2]，該公式所用的數學模型有：減法元算法（[（x1-x2）]）和絕對值元算法（[x1-x2]），采用上述兩組元算法模型組建所需的數學模型。另一種方法是借助原有的數學模型和元算法建立新的模型。如：專題數據處理過程中常用的界限等差分級模型，[Ai=L+iH-LM]，該數學公式中的[Ai]表示第i個分級的界限值， M代表該式子的分級數，采用H、L分別表示最大值和最小值，間隔遞增模型（[Ai=L+iH-LM+i（i-2）2D]），其中D表示公差值，通過分析可知，前面的數學公式是后者一部分，建立后面公式的數學模型時，可將前者的模型當做子模型直接參與建立數學模型庫中。例如：在建立等比分級數學模型（[Ai=L（HL）VM]）和間隔等比數學模型（[Ai=L+1-qi1-qM（H-L），q表示公比值]）過程中，其可視化生成步驟如下：

首先，創建模型所需的變量因素，設定其所需的參數。其次，依據系統中通用的元算法模型創建有關的子數學模型，主要由單目、雙兩類數學模型組成，上述數學公式的L、H均為單目模型，其余因子為雙目數學模型。最后，把建立的新模型導入專題數據處理模型，根據數學模型生成步驟，創建專題數據處理數學模型庫系統。

4 結束語

總之，根據元算法數據模型庫設計思路，深入研究專題數據處理常用的數學模型庫，設置相對應的擴展元算法模型，建立在元算法基礎上的專題數據處理數學模型庫。這種數學模型庫系統具有較好的共享性、可重用性，能有效提升數學模型庫開發效率和利用率，值得在各個領域推廣使用。

參考文獻：

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    產業經濟和區域經濟是構成國民經濟的兩個側面，也是國民經濟發展的二級層面，前者以“條條”經濟的形態存在，后者以“塊塊”經濟的形態存在。而任何產業的發展必須落實在區域范圍內，區域的發展必須以產業的發展為內容，因此，在二級層面上，產業的發展和區域經濟的發展是一種相輔相成、相互依賴、相互作用的關系。20世紀90年代以來，我國電信業的發展令世人矚目，同時各地區經濟的發展也勢頭強勁，探討電信業與區域經濟的關系則成為必然。

    1　電信業發展以區域經濟的發展為前提和導向

    美國學者a. 薩克森指出，當生產根植于區域社會結構和區域制度時，企業間的競爭是把對本地的了解和在當地的關系用到新產品及服務的競爭上。電信產業的發展源于各個地區電信企業的發展，因此，區域經濟的作用是深遠而廣泛的。

    1. 1　區域經濟發展的水平決定當地電信業的發展

    一般來說，區域經濟發展水平較高的地方，則當地電信業的發展水平也會很高。這種決定作用從供給和需求兩個方面對電信業施加了影響。

    從供給角度看，最直接的影響就是資源的投入，包括資金、技術、人力資本等，這些生產要素的投入無論從數量還是質量上都是經濟發展水平高的區域明顯占有優勢，因而決定了該區域電信業的規模、業務種類、服務水平、網絡布局和電話普及程度也相比其他區域具有優勢。此外，區域經濟發展水平的高低與市場的開放程度密切相關，市場越開放，各區域獲取資源越廣泛和頻繁，同時也加速了各地區在管理理念、管理方式和手段上的變化，這些都進一步促進了當地電信業的發展。

    從需求角度看，經濟高度發達的區域，往往也是信息溝通頻繁的區域，從而決定了電信業務的需求量大、業務種類多種多樣、服務便捷迅速；同時，經濟高度發達決定居民的收入水平會大幅度提高，一方面人們有實力保證基本的通信消費，另一方面，隨著生活理念的改變，通信不僅是一種信息溝通的手段，更成為一種時尚的生活方式，收入水平的提高則會刺激對這種生活方式的渴望和需求，從而擴大電信業務量和業務種類。

    中國電信業的發展走的是技術拉動和需求推動共同影響的路子，各地電信業發展的程度和速度明顯取決于各地經濟的發展水平。

    1. 2　區域產業類型和產業結構的影響

    由于各區域的位置、資源、發展基礎和產業政策的不同，各地區在發展中形成各不相同的產業類型和產業結構。

    對一個區域的產業屬性可以從不同角度分類。從生產內容看分為資源型產業、加工型產業、貿易型產業、混合型產業；從資源構成看，分為資源密集型、勞動密集型、資金密集型、技術密集型；若區域產業類型屬于貿易型或加工貿易型，一般這種類型的區域開放程度高，對電信的需求量較大，會促進當地電信業的發展；若區域產業類型屬于資金密集型或技術密集型，則該區域資金的投入和技術的投入水平較高，對信息溝通的要求高，也會促進當地電信業的發展。

    就產業結構來看，一般某個區域的產業結構越復雜，各產業之間的聯系就越密切，該區域對電信業的需求就越大；某區域的產業結構與其它區域產業結構就越具有互補性，該區域與其他區域的物質、能量、信息流動越頻繁，對電信業的需求就越大；某區域的產業結構越向現代產業結構的方向發展，即第三產業、信息產業所占比重就越大，該區域電信業就越發達。

    1. 3　區域經濟政策的影響

    區域經濟政策是國家經濟政策區域化的結果，它既要反映國家經濟發展的總要求，又要反映自己的區情區況。

    區域經濟發展戰略確定了一個區域總的發展方向和目標以及實施的步驟和重點，其對電信業的發展有重大的導向作用。區域戰略目標是區域各產業發展目標的綜合反映，因此引導著區域電信業的發展規模；戰略步驟和戰略重點確定了區域各產業發展的秩序以及各產業的相互關系，從中可以明確電信業在區域發展中的定位。

    區域產業政策體現了各區域產業優勢互補、合理分工、突出重點的產業發展思路。電信業是各區域不可缺少的基礎性產業，因此，在各區域電信產業政策的制定上，除了要明確電信業與本區域主導產業的關系外，更要在區域的網絡建設、市場開拓、業務種類和規模、服務程度等方面做出明確的要求，從而體現區域特點，與區域經濟的發展相配合。

    區域對外開放政策反映了各區域開放的程度、開放的區位、開放的內容。各區域開放政策的差別以及實施的程度直接影響到各區域對外聯系的差別，這一方面影響各區域電信服務貿易的發展水平，也影響各區域電信領域的外資進入。

    1. 4　區域競爭環境的影響

    區域競爭環境對電信業的影響是雙向的，既有有利的一面也有不利的一面。

    競爭使得供應者之間、需求者之間、供應者和需求者之間都不斷關注市場行情、關注對方的變化、關注政策的變化，因此，就需要多方面挖掘信息、獲取信息、傳遞信息，從而會促使電信業務量的上升、電信業務種類的多樣化，電信網絡的擴展。往往競爭比較激烈的區域也是電信業比較發達的區域。

    競爭可以促使各電信企業積極推出新業務開拓市場、降低成本、強化服務，有利于電信業整體水平的提高。

    但是競爭也在一定程度上造成重復建設、人為設置互聯互通壁壘，惡性價格競爭使得電信企業利潤空間急劇萎縮，造成資產的大量流失，企業發展的后勁消失，這些都嚴重阻礙了當地電信業的發展。

    1. 5　區域空間結構的影響

    區域空間結構是指各種經濟活動在區域內的空間分布狀態及空間組合形式。在區域經濟發展的過程中，區域空間結構在不斷演化。在區域經濟發展的早期，往往形成極核式空間結構，即形成增長極，它對區域內其他對方會產生強大的吸引力和輻射力，這些力的形成就包含了信息的傳遞。極核式空間結構的發展則形成點—軸式空間結構，在這種結構中，增長極會對其他地方的經濟活動集中點產生多種影響，形成互補關系，為實現這種互補關系，就需要形成線狀的紐帶，由此，比較穩定的通信聯系形成并得到發展。點—軸式空間結構的進一步發展則形成網絡式空間結構，它要求點—線之間縱橫交錯，相互通達。經濟越發展，網點密度越大。很顯然，這種空間結構要求有覆蓋廣泛、聯系便捷的通信網絡。由此可見，區域空間結構的自然形成規律逐步使區域電信業得到發展。

    2　電信業的發展是區域經濟發展的推進劑

    在區域經濟系統中，電信業是子系統，是區域信息流動的重要物質手段。區域電信業的發展首先依賴于區域經濟的發展，同時，區域電信業的發展對區域經濟的發展也會產生重大影響，其表現就在于它能夠強化區域經濟的發展，是區域經濟的推進劑。

    2. 1　電信業增長促進區域經濟的增長

    電信業本身的不斷增長使其在區域經濟中所占的比重日益增加，從而顯示出對區域經濟的直接貢獻不斷提高，成為區域經濟發展中的一個新的增長點。同時，電信業的增長還直接和間接帶動、推動了上下游產業的增長，并通過產業之間的連帶乘數效應最終促使區域經濟快速增長。

    2. 2　電信業的發展增強了區域競爭能力

    電信業是區域經濟活動的重要基礎設施，是吸引投資的重要條件。

    電信業的發展為區域經濟各部門和社會生活提供了快速、優質、高效的通信手段，使知識資源的流動性增快，資本資源使用效率提高，進一步使辦公效率和生產效率提高，使各部門的經濟活動和社會活動能夠順利進行，從而提高并加快了區域經濟各部門的產出水平。電信業在大量降低物質消耗和交易成本的同時，對經濟增長方式向節約資源、保護環境、促進可持續發展的內涵集約型轉變起到了推動作用。

    電信技術的發展一方面使電信業本身成為具有高技術特性的產業，另一方面通過產業融合和信息的傳遞能夠帶動相關高技術產業群的發展。

    2. 3　電信業的發展改變了區域經濟活動面貌

    電信業為經濟發展和社會生活提供方便、快捷的通信服務，從而提高生活質量、擴大了消費領域，改變了生活方式，形成社會化的經濟聯系網絡，打破了封閉的生活圈子，使整個社會的經濟活動成為一個整體。

    電信服務的普及化，使人們能夠及時察覺經濟活動中的各種不合理的隱患，有效調整利益關系，為經濟的穩定發展提供必要的條件。

    電信業的發展有利于資源的合理使用。一方面通過信息的交流，勞動者的知識、技能和對事物的認知程度得到提高，從而使資源利用的廣度和深度進一步加強；另一方面，電信業在資源利用、投資回報等方面的優勢將吸引大量的知識型資源流向這一產業，從而創造出人才使用的廣闊空間。

    2. 4　電信業的發展促進了區域信息化建設

    首先，電信網絡是區域信息化的基礎和核心，為各種信息化應用系統提供網絡基礎平臺。信息化進程中的各個領域、各個層次都要求以電信網絡作為依托。

    其次，電信技術的發展促進了信息資源的開發和利用。一方面，隨著互聯網業務的普及，電信業本身成為信息資源開發和利用的主力軍；另一方面，隨著電信基礎設施的逐步完善，信息資源的共享和傳送更加便利。

    第三，電信業的發展帶動了區域信息產業的發展。信息產業的內涵一般包括3個方面：一是信息服務業，二是軟件業，三是信息設備制造業。電信業屬于信息服務業的范疇，大量的基礎設施及設備裝置是其開展服務的基礎，電信基礎設施對電信及計算機設備的大量需求必然帶動電信設備制造業的發展。同時電信業務的發展也大大促進了各類應用軟件(如系統集成)的開發與應用，為電信設備及各類應用軟件提供了市場需求。第四，電信業的發展成為帶動區域產業升級的重要力量。一是電信業的發展為產業升級提供了新的經營管理模式。產業結構升級必然要求調整阻礙經濟發展的產業組織結構，計算機、電信網絡、信息資源與信息服務的發展改變了社會協作方式和傳統的生產管理模式(例如電子商務)。二是電信業為經濟結構調整提供了更大的市場需求，表現為電信業本身的消費增長迅速以及相關制造業及軟件業的增長迅速。三是電信技術效用已滲透到社會生活的各個方面，技術融合化程度的增強，技術創新的速度的加快和擴散，帶動了一系列關聯產業的產生與變化，觸發了產業結構的深刻變革，引發了經濟結構的調整。

    2. 5　電信業的發展深刻影響區域空間關系

    電信業發展的強大推動力是電信技術的快速發展。電信技術與計算機技術的融合使得“非地理空間”即“賽伯空間”出現。在這一空間內，一方面距離已不再成為聯系的障礙，整個世界納入“瞬時空間流動性”的電子網絡環境中，所謂“地球村”的感覺應運而生；另一方面，經濟活動的空間不均衡更加顯著，信息的便捷流動性使得生產和管理的空間分離進一步強化，大都市即所謂的“信息港”，成為管理和服務機構的集中地，生產機構則趨向于世界各地的低成本區位。總之，電信和信息技術的發展使空間結構中的點、線、面的內涵、功能、形態都發生了深刻的變化。

    3　電信業與區域經濟發展的互動性

    以上分析可以看出，電信業發展與區域經濟發展之間是一種互動關系。互動的力量來自于各自內部對發展的追求，來自于外部環境的支撐，更來自于相互間的依賴(見圖1、圖2)。

    

    

    在上述力的作用下，電信業和區域經濟進行相互間物質、信息、能量的流動，在這一過程中，形成反饋機制，其表現為：區域經濟發展的效果和區域電信業發展的效果經常與期望值進行比較，所存在的差距就形成反饋信息，重新回到互動雙方，對雙方產生不同程度的激勵，以實現進一步的互動。因此，反饋機制是改善雙方行為、功能，排除干擾，實現穩定優化發展的重要機制。

    4　中國電信業與區域經濟互動關系的檢驗

    改革開放以來中國經濟的發展以及“八五”以來中國電信業的發展都令世人矚目，在發展的過程中，電信業與區域經濟之間是否形成一個良好的互動關系則需要進行檢驗。本文采用灰色系統模型進行檢驗。

    4. 1　電信業與區域經濟相互關系的灰色特性

    灰色系統是“黑箱”概念的一種推廣。灰色系統的確定依據是人們對系統中各種信息的掌握程度。信息未知的系統稱為黑色系統，信息完全明確的系統稱為白色系統，部分信息明確、部分信息不明確的系統稱為灰色系統。相對于信息未知和信息完全已知的系統，灰色系統也叫“貧信息”的不確定系統。在人們的社會經濟生活中，存在著大量的信息不完備情況，因此灰色系統在社會經濟生活中具有普遍性和現實性。

    無論是電信業本身還是區域經濟本身以及它們之間的反饋關系都存在著許多信息不完全的情況。就相互之間的輸出而言，并非能夠獲得各種要素完整、全面的輸出時間序列數據(如產值、產量、收入、業務量等)；相互之間的輸入也是如此，并非能夠獲得各種要素完整、全面的輸入時間序列數據(資金、技術、人力、自然資源以及各種難以量化的人文環境)；即使輸入輸出數據較為完整，其作用的機理和結構關系也不會完全明確，因此難以建立確定的模型，這些情況都屬于系統信息的不明確。另外，電信產業、區域經濟盡管都是客觀的實體，但相互之間的關系存在一定的模糊性，即相互之間沒有明確的“內”、“外”關系，因此也難以分析輸入對于輸出的影響，這種情況屬于“模型信息”的缺乏(即用什么模型去代表，用什么量進行觀測控制的問題)。由此可見，電信業、區域經濟以及它們之間的相互關系具有灰色特性。

    4. 2　灰色系統模型簡述

    灰色系統模型是進行多種類型系統分析的重要手段。運用灰色系統模型一是可以使許多不確定量用灰色數學予以量化；二是可以充分利用已知信息尋求系統的運動規律，在現有時間序列數據的基礎上，運用具有動態特性的微分方程使灰色系統白化。三是可以充分利用貧信息反映系統運動規律，通常只需要4個以上數據即可建模[1-4]。

    灰色系統模型即gm模型(grey model)，建模精度高，可保持原系統的特性，能較好地反映系統的實際情況。在建模過程中，不必知道原始數據分布的先驗特征，對無規律或服從任何分布的任意光滑離散的原始序列，通過有限次的生成即可轉化為有規律的序列。一般gm模型形式為gm(h，n)，它表示對n個變量用h階微分方程建立的模型。最常見的是gm(1，n)模型，它是1階n個變量的灰色模型。

    建立gm模型對原始數據的要求是：①原始數據序列的非負性；②原始數據序列的動態隨機性；③原始數據序列是能充分反映系統特性的有用信息。設有如下數據序列：

    

    灰微分方程的一般形式可表示為：

    

    對上式再做累減還原，累減還原式為：

    

    根據鄧聚龍所著《灰色系統理論教程》，稱b[，i](i=1，2，…，n)為gm(1，n)的協調系數，稱b[，i]的符號為系統作用變量序列x[，i][(0)]對于行為變量序列x[，1][(0)]的協調極性。因此，可以通過觀察系數b[，i]確定變量之間的互動關系。

    4. 3　電信業與區域經濟互動關系的灰色建模

    分別對東、中、西三大地帶電信業與區域經濟的互動關系建立灰色模型。考慮到1988年通信體制改革開始確定和實施，同時，該年份也是國民經濟發展中的一個關鍵年份(對國民經濟新一輪的治理整頓開始)，因此，這里建模時段的選取為1988～2003年。

    (1)指標的選取。如前所述，影響電信和區域經濟互動性的因素很多，根據灰色理論，盡管影響本征性灰色系統行為的因素眾多，但在灰色建模時，不可能把眾多的因素全部列出。本文認為，區域電信業和區域經濟在發展中的互動性主要體現在相互之間發展的規模、水平上是否適應，在供需方面能否密切配合。因此，這里選取既能代表區域經濟發展水平又能代表區域經濟總產出規模的區域gdp指標。相應地，衡量電信業產出總量和發展水平也應該是增加值指標，但現有的統計資料中，尤其是在對區域電信業的統計中，并沒有電信增加值指標，而是以電信業務收入作為衡量指標，故本文選取該指標。

    (2)模型的建立。分別建立三大地帶電信業務收入與區域增加值的gm(1，2)模型。

    第一，若分析電信業對區域經濟的影響，模型可以表示為：

    

    其中，b[，1]表示電信業對區域經濟的協調發展系數。

    第二，若分析區域經濟對電信業的影響，模型可以表示為：

    

    其中，b[，2]表示區域經濟對電信業的協調發展系數。

    以上兩個模型即為電信業與區域經濟互動狀況的分析模型。

    根據灰色系統理論，當b[，1]＞0時，表示電信業對區域經濟的發展有一定的促進作用，反之，說明電信業對區域經濟的發展有制約作用；當b[，2]＞0時，表示區域經濟發展對電信業的發展有促進作用，反之，則說明區域經濟對電信業的發展沒有促進作用。

    為了避免在建模過程中數據序列之間由于數值上相差太懸殊而可能出現的模型的畸變，因此，在建模之前對各數據序列都進行了初值化處理，即將原始數據序列：

    

    (3)模型結果。為了更詳細了解不同時期電信業與區域經濟各產業的互動性，將1988～2003年這一時段又進一步分解為1988～1991年、1992～1995年、1996～1999年、2000～2003年4個子時段。

    第一，三大地帶電信業對區域經濟發展的影響。在該模型中，作用變量是各區域的電信業務收入，行為變量分別是各區域gdp(表1)。

    表1　電信業對區域經濟影響的灰色模型作用變量系數b[，1] 區域 1988～1991 1992～1995 1996～1999 2000～2003 東部 -1.060166 -2.351716 3.030753 -1.165469 中部 -0.262077 -1.073477 3.314226 3.776205 西部 0.751264 -0.857756 -1.433583 3.058325

    第二，三大地帶區域經濟對電信業發展的影響。在該模型中，行為變量是各區域的電信業務收入，作用變量是各區域gdp(表2)。

    表2　區域經濟對電信業影響的灰色模型作用變量系數b[，2] 區域 1988～1991 1992～1995 1996～1999 2000～2003 東部 0.0957179 0.9446369 1.599744 0.77495 中部 0.518827 0.7888392 1.327335 1.526117 西部 0.912726 0.7830203 0.8749055 1.631156

    (4)模型分析。根據統計數據，在1988～2003期間，無論區域gdp還是電信業務收入，東、中、西三大地帶都存在明顯的增長趨勢。那么，在各自增長的過程中，電信業和區域經濟之間是否存在互動呢？

    表1顯示，東部地帶除1996～1999時段外，電信業對區域經濟的發展都有一定的抑制作用。1996～1999年這一時段電信業對區域經濟發展有明顯的促進作用。中部地帶從“九五”開始，電信業對區域經濟的發展則顯示出促進作用，并且這種促進作用逐步上升。西部地帶1988～1991、2000～2003這兩個時段電信業對區域經濟發展有促進作用，并且2000～2003時段的促進作用更加顯著，其它時段則是抑制作用。

    表2顯示，東、中、西三大地帶各個時段區域經濟對電信業的發展都具有促進作用。其中，中、西部地帶這種促進作用明顯上升，東部地帶在2000～2003年時段區域經濟的促進作用明顯減小。

    5　結論

篇5

關鍵詞：工程測量工業測量精密工程測量測量機器人工程網優化設計

一、學科地位和研究應用領域

1.學科定義

工程測量學是研究地球空間(地面、地下、水下、空中)中具體幾何實體的測量描繪和抽象幾何實體的測設實現的理論方法和技術的一門應用性學科。它主要以建筑工程、機器和設備為研究服務對象。

2.學科地位

測繪科學和技術(或稱測繪學)是一門具有悠久歷史和現展的一級學科。該學科無論怎樣發展，服務領域無論怎樣拓寬，與其他學科的交叉無論怎樣增多或加強，學科無論出現怎樣的綜合和細分，學科名稱無論怎樣改變，學科的本質和特點都不會改變。總的來說，整個學科的二級學科仍應作如下劃分：

——大地測量學(包括天文、幾何、物理、衛星和海洋大地測量)；

——工程測量學(含近景攝影測量和礦山測量)；

——航空攝影測量與遙感學；

——地圖制圖學；

——不動產地籍與土地整理。

3.研究應用領域

目前國內把工程建設有關的工程測量按勘測設計、施工建設和運行管理三個階段劃分；也有按行業劃分成：線路(鐵路、公路等)工程測量、水利工程測量、橋隧工程測量、建筑工程測量、礦山測量、海洋工程測量、軍事工程測量、3維工業測量等，幾乎每一行業和工程測量都有相應的著書或教材。

由Hennecke,Mueller,Werner3個德國人所編著的工程測量學，主要按下述內容進行劃分和編寫：①測量儀器和方法；②線路、鐵路、公路建設測量；③高層建筑測量；④地下建筑測量；⑤安全監測；⑥機器和設備測量。

由于工程測量的研究應用領域非常廣泛，發展變化也很快，因此寫書十分困難。目前國內外沒有一本全面涉及工程測量學理論、技術、方法和實際應用的現代專著或教材。

國際測量師聯合會(FIG)的第六委員會稱作工程測量委員會，過去它下設4個工作組：測量方法和限差；土石方計算；變形測量；地下工程測量。此外還設了一個特別組：變形分析與解釋。現在，下設了6個工作組和2個專題組。6個工作組是：大型科學設備的高精度測量技術與方法；線路工程測量與優化；變形測量；工程測量信息系統；激光技術在工程測量中的應用；電子科技文獻和網絡。2個專題組是：工程和工業中的特殊測量儀器；工程測量標準。

德國、瑞士、奧地利3個德語語系國家自50年起組織每3～4年舉行一次的“工程測量國際學術討論會”。過去把工程測量劃分為以下幾個專題：測量儀器和數據獲取；數據解釋、處理和應用；高層建筑和設備安裝測量；地下和深層建筑測量；環境和工程建筑物變形監測。

1992年第11屆討論會的專題是：測量理論與測量方案；測量技術和測量系統；信息系統和CAD；在建筑工程和工業中的應用。

1996年的第12屆討論會的專題是：測量和數據處理系統；監測和控制；在工業和建筑工程中的質量問題；數據模型和信息系統；交叉學科的大型工程項目。

從以上可見，工程測量學的研究領域既有相對的固定性，又是不斷發展變化的。筆者認為，工程測量學主要包括以工程建筑為對象的工程測量和以設備與機器安裝為對象的工業測量兩大部分。在學科上可劃分為普通工程測量和精密工程測量。工程測量學的主要任務是為各種工程建設提供測繪保障，滿足工程所提出的要求。精密工程測量代表著工程測量學的發展方向，大型特種精密工程建設是促進工程測量學科發展的動力。

二、工程測量儀器的發展

工程測量儀器可分通用儀器和專用儀器。通用儀器中常規的光學經緯儀、光學水準儀和電磁波測距儀將逐漸被電子全測儀、電子水準儀所替代。電腦型全站儀配合豐富的軟件，向全能型和智能化方向發展。帶電動馬達驅動和程序控制的全站儀結合激光、通訊及CCD技術，可實現測量的全自動化，被稱作測量機器人。測量機器人可自動尋找并精確照準目標，在1s內完成一目標點的觀測，像機器人一樣對成百上千個目標作持續和重復觀測，可廣泛用于變形監測和施工測量。GPS接收機已逐漸成為一種通用的定位儀器在工程測量中得到廣泛應用。將GPS接收機與電子全站儀或測量機器人連接在一起，稱超全站儀或超測量機器人。它將GPS的實時動態定位技術與全站儀靈活的3維極坐標測量技術完美結合，可實現無控制網的各種工程測量。

專用儀器是工程測量學儀器發展最活躍的，主要應用在精密工程測量領域。其中，包括機械式、光電式及光機電(子)結合式的儀器或測量系統。主要特點是：高精度、自動化、遙測和持續觀測。

用于建立水平的或豎直的基準線或基準面，測量目標點相對于基準線(或基準面)的偏距(垂距)，稱為基準線測量或準直測量。這方面的儀器有正、倒錘與垂線觀測儀，金屬絲引張線，各種激光準直儀、鉛直儀(向下、向上)、自準直儀，以及尼龍絲或金屬絲準直測量系統等。

在距離測量方面，包括中長距離(數十米至數公里)、短距離(數米至數十米)和微距離(毫米至數米)及其變化量的精密測量。以ME5000為代表的精密激光測距儀和TERRAMETERLDM2雙頻激光測距儀，中長距離測量精度可達亞毫米級；可喜的是，許多短距離、微距離測量都實現了測量數據采集的自動化，其中最典型的代表是銦瓦線尺測距儀DISTINVAR，應變儀DISTERMETERISETH，石英伸縮儀，各種光學應變計，位移與振動激光快速遙測儀等。采用多譜勒效應的雙頻激光干涉儀，能在數十米范圍內達到0.01μm的計量精度，成為重要的長度檢校和精密測量設備；采用CCD線列傳感器測量微距離可達到百分之幾微米的精度，它們使距離測量精度從毫米、微米級進入到納米級世界。

高程測量方面，最顯著的發展應數液體靜力水準測量系統。這種系統通過各種類型的傳感器測量容器的液面高度，可同時獲取數十乃至數百個監測點的高程，具有高精度、遙測、自動化、可移動和持續測量等特點。兩容器間的距離可達數十公里，如用于跨河與跨海峽的水準測量；通過一種壓力傳感器，允許兩容器之間的高差從過去的數厘米達到數米。

與高程測量有關的是傾斜測量(又稱撓度曲線測量)，即確定被測對象(如橋、塔)在豎直平面內相對于水平或鉛直基準線的撓度曲線。各種機械式測斜(傾)儀、電子測傾儀都向著數字顯示、自動記錄和靈活移動等方向發展，其精度達微米級。

具有多種功能的混合測量系統是工程測量專用儀器發展的顯著特點，采用多傳感器的高速鐵路軌道測量系統，用測量機器人自動跟蹤沿鐵路軌道前進的測量車，測量車上裝有棱鏡、斜傾傳感器、長度傳感器和微機，可用于測量軌道的3維坐標、軌道的寬度和傾角。液體靜力水準測量與金屬絲準直集成的混合測量系統在數百米長的基準線上可精確測量測點的高程和偏距。

綜上所述，工程測量專用儀器具有高精度(亞毫米、微米乃至納米)、快速、遙測、無接觸、可移動、連續、自動記錄、微機控制等特點，可作精密定位和準直測量，可測量傾斜度、厚度、表面粗糙度和平直度，還可測振動頻率以及物體的動態行為。

三、工程測量理論方法的發展

1.測量平差理論

最小二乘法廣泛應用于測量平差。最小二乘配置包括了平差、濾波和推估。附有限制條件的條件平差模型被稱為概括平差模型，它是各種經典的和現代平差模型的統一模型。測量誤差理論主要表現在對模型誤差的研究上，主要包括：平差中函數模型誤差、隨機模型誤差的鑒別或診斷；模型誤差對參數估計的影響，對參數和殘差統計性質的影響；病態方程與控制網及其觀測方案設計的關系。由于變形監測網參考點穩定性檢驗的需要，導致了自由網平差和擬穩平差的出現和發展。觀測值粗差的研究促進了控制網可靠性理論，以及變形監測網變形和觀測值粗差的可區分性理論的研究和發展。針對觀測值存在粗差的客觀實際，出現了穩健估計(或稱抗差估計)；針對法方程系數陣存在病態的可能，發展了有偏估計。與最小二乘估計相區別，穩健估計和有偏估計稱為非最小二乘估計。

巴爾達的數據探測法對觀測值中只存在一個粗差時有效，穩健估計法具有抵抗多個粗差影響的優點。建立改正數向量與觀測值真誤差向量之間的函數關系，可對多個粗差同時進行定位和定值，這種方法已在通用平差軟件包中得到算法實現和應用。

方差和協方差分量估計實質上是精化平差的隨機模型，過去一直僅停留在理論的研究上。實際中，要求對多種觀測量進行綜合處理，因此，方差分量估計已成為測量平差的必備內容了。目前，通用平差軟件包中已增加了該功能，但還需要在測量規范中明確提出來。

需要指出的是：許多測量作業單位喜歡采用附合導線進行逐級加密，主要依據目前規范中有關一、二、三級導線和圖根導線的規定。無疑附合導線具有許多優點，但由于多余觀測少，發現和抵抗粗差的能力較弱，不宜濫用。建立一個區域的控制，首級網點采用GPS測量，下面最好用一個等級的導線網作全面加密。從測量平差理論來看，全面布設的導線網具有更好的圖形強度，精密較均勻，可靠性也較高。

2.工程控制網優化設計理論和方法

網的優化設計方法有解析法和模擬法兩種。解析法是基于優化設計理論構造目標函數和約束條件，解求目標函數的極大值或極小值。一般將網的質量指標作為目標函數或約束條件。網的質量指標主要有精度、可靠性和建網費用，對于變形監測網還包括網的靈敏度或可區分性。對于網的平差模型而言，按固定參數和待定參數的不同，網的優化設計又分為零類、一類、二類和三類優化設計，涉及到網的基準設計，網形、觀測值精度以及觀測方案的設計。在工程測量中，施工控制網、安裝控制網和變形監測網都需要作優化設計。由于采用GPS定位技術和電磁波測距，網的幾何圖形概念與傳統的測角網有很大的區別。除特別的精密控制網可考慮用專門編寫的解析法優化設計程序作網的優化設計外，其他的網都可用模擬法進行設計。模擬法優化設計的軟件功能和進行優化設計的步驟主要是：根據設計資料和地圖資料在圖上選點布網，獲取網點近似坐標(最好將資料作數字化掃描并在微機上進行)。模擬觀測方案，根據儀器確定觀測值精度，可進一步模擬觀測值。計算網的各種質量指標如精度、可靠性、靈敏度。精度應包括點位精度、相鄰點位精度、任意兩點間的相對精度、最弱點和最弱邊精度、邊長和方位角精度。進一步可計算坐標未知數的協方差陣或部分點坐標的協方差陣，協方差陣的主成份計算，特征值計算，點位誤差橢圓、置信橢圓的計算等。可靠性包括每個觀測值的多余觀測分量(內部可靠性)和某一觀測值的粗差界限值對平差坐標的影響(外部可靠性)。靈敏度包括靈敏度橢圓、在給定變形向量下的靈敏度指標以及觀測值的靈敏度影響系數。將計算出的各質量指標與設計要求的指標比較，使之既滿足設計要求，又不致于有太大的富余。通過改變觀測值的精度或改變觀測方案(增加或減少觀測值)或局部改變網形(增加或減少網點)等方法重新作上述設計計算，直到獲取一個較好的結果。

在實踐中，總結出了下述優化設計策略：先固定觀測值的精度，對選取的網點，觀測所有可能的邊和方向，計算網的質量的指標，若質量偏低，則必須提高觀測值的精度。在某一組先驗精度下，若網的質量指標偏高了，這時可按觀測值的內部可靠性指標ri，刪減觀測值。ri太大，說明該觀測值顯得多余，應刪去；若ri很小，則該觀測值的精度不宜增加。這種根據ri大小來刪除觀測值的方法稱為從“密”到“疏”，從“肥”到“瘦”的優化策略。

從模擬法優化設計的整個過程來看，它是一種試算法，需要有一個好的軟件。該軟件除具有通用平差軟件的功能外，在成果輸出的多樣性、直觀性，在可視化以及人機交互界面設計方面都有更高要求。同時也要求設計者具有堅實的專業知識和豐富的經驗。

用模擬法可獲得一個相對較優且切實可行的方案，可進一步用模擬觀測值作網的平差計算，同時可模擬觀測值粗差并計算對結果的影響。這種方法稱為數學扭曲法或蒙特卡洛法。對于一個精度、可靠性以及靈敏度要求極高的監測網或精密控制網，作上述優化設計和精細計算是十分必要的。國內在這方面的應用報道較少。多是為了安全起見，有較大的質量富余，建網費用偏高。網優化設計費用很少，所帶來的效益較大，凡是較重要的工程控制網，都應作優化設計。

3.變形觀測數據處理

工程建筑物及與工程有關的變形的監測、分析及預報是工程測量學的重要研究內容。其中的變形分析和預報涉及到變形觀測數據處理。但變形分析和預報的范疇更廣，屬于多學科的交叉。

(1)變形觀測數據處理的幾種典型方法

根據變形觀測數據繪制變形過程曲線是一種最簡單而有效的數據處理方法，由過程曲線可作趨勢分析。如果將變形觀測數據與影響因子進行多元回歸分析和逐步回歸計算，可得到變形與顯著性因子間的函數關系，除作物理解釋外，也可用于變形預報。多元回歸分析需要較長的一致性好的多組時間序列數據。

若僅對變形觀測數據，可采用灰色系統理論或時間序列分析理論建模，前者可針對小數據量的時間序列，對原始數列采用累加生成法變為生成數列，因此有減弱隨機性、增加規律性的作用。如果對一個變形觀測量(如位移)的時間序列，通過建立一階或二階灰微分方程提取變形的趨勢項，然后再采用時序分析中的自回歸滑動平均模型ARMA，這種組合建模的方法，可分性好且具有以下顯著優點：將非平穩相關時序轉化為獨立的平衡時序；具有同時進行平滑、濾波和推估的作用；模型參數聚集了系統輸出的特征和狀態；這種組合模型是基于輸出的等價系統的理想動態模型。

把變形體視為一個動態系統，將一組觀測值作為系統的輸出，可以用卡爾曼濾波模型來描述系統的狀態。動態系統由狀態方程和觀測方程描述，以監測點的位置、速率和加速率參數為狀態向量，可構造一個典型的運動模型。狀態方程中要加進系統的動態噪聲。卡爾曼濾波的優點是勿需保留用過的觀測值序列，按照一套遞推算法，把參數估計和預報有機地結合起來。除觀測值的隨機模型外，動態噪聲向量的協方差陣估計和初始周期狀態向量及其協方差陣的確定值得注意。采用自適應卡爾曼濾波可較好地解決動態噪聲協方差的實時估計問題。卡爾曼濾波特別適合滑坡監測數據的動態處理；也可用于靜態點場、似靜態點場在周期的觀測中顯著性變化點的檢驗識別。

對于具有周期性變化的變形觀測時間序列，通過Fourier變換，可將時域內的信息轉變到頻域內分析，例如大壩的水平位移、橋梁的垂直位移都具有明顯的周期性。在某一觀測時刻的觀測值數字信號可表示為許多個不同頻率的諧波分量之和，通過計算各諧波頻率的振幅，最大振幅以及所對應的主頻率等，可揭示變形的周期變化規律。若將變形體視為動態系統，變形視為輸出，各種影響因子視為輸入，并假設系統是線性的，輸入輸出信號是平穩的，則通過頻譜分析中的相干函數、頻響函數和響應譜函數估計，可以分析輸入輸出信號之間的相干性，輸入對系統的貢獻(即影響變形的主要因素及其頻譜特性)。

(2)變形的幾何分析與物理解釋

傳統的方法將變形觀測數據處理分為變形的幾何分析和物理解釋。幾何分析在于描述變形的空間及時間特性，主要包括模型初步鑒別、模型參數估計和模擬統計檢驗及最佳模型選取3個步驟。變形監測網的參考網、相對網在周期觀測下，參考點的穩定性檢驗和目標點和位移值計算是建立變形模型的基礎。變形模型既可根據變形體的物理力學性質和地質信息選取，也可根據點場的位移矢量和變形過程曲線選取。此外，前述的時間序列分析，灰色理論建模、卡爾曼濾波以及時間序列頻域法分析中的主頻率和振幅計算等也可看作變形的幾何分析。

變形的物理解釋在于確定變形與引起變形的原因之間的關系，通常采用統計分析法和確定函數法。統計分析法包括多元回歸分析、灰色系統理論中的關聯度分析以及時間序列頻域法分析中的動態響應分析等。統計分析法以實測資料為基礎，觀測資料愈豐富、質量愈高，其結果愈可靠，且具有“后驗”性質，它與變形的幾何分析具有密切的關系，是測量工作者最熟悉和樂于采用的方法。確定函數法是根據變形體的物理力學參數，建立力(荷載)和變形之間的函數關系如位移場的微分方程，在邊界條件已知時，采用有限元法解微分方程，可得到變形體有限元結點上的變形。采用有限元法，可以計算混凝土大壩、礦山地表以及滑坡在外力(表面力和體力)作用下的位移值。這種方法不需要監測數據(監測數據僅作檢驗用)，具有“先驗”性質。只要有限元劃分得當，變形體的物理力學參數(如楊氏彈性模量，泊松比，內摩擦角、內聚力以及容重等)選取得較好，該法無疑是一種多快好省的方法，目前有許多有限元計算軟件如COSMOS/M供用。但變形體的物理力學參數的確定和所建立的微分方程都帶有一定的假設，有時用有限元法計算的值與實測值有較大的差異，這就導致了將兩種方法相結合的綜合分析法，以及根據實測值按一定理論反求變形體物理力學參數的反演分析法，通過反演解算，重新用有限元法作修正計算。相對于有限元法，條分法用于邊坡穩定性分析、計算和評價更為簡單，其中薩爾碼(SARMA)法應用最普遍，根據力學模型、幾何條件和靜力平衡方程，對平衡條件作迭代計算，可定量的得到邊坡穩定性評價指標——穩定安全系統。一般要求對條分法和有限元法同時使用。上述方法對大多數測量工作者來說較為陌生，用確定函數法進行地變形的物理解釋和預測屬于學科交叉領域，需要與地質和工程結構方面的人員合作。

(3)變形分析與預報的系統論方法

用現代系統論為指導進行變形分析與預報是目前研究的一個方向。變形體是一個復雜的系統，它具有多層次高維的灰箱或黑箱式結構，是非線性的，開放性(耗散)的，它還具有隨機性，這種隨機性除包括外界干擾的不確定性外，還表現在對初始狀態的敏感性和系統長期行為的混沌性。此外，還具有自相似性、突變性、自組織性和動態性等特征。

按系統論方法，對變形體系統一般采用輸入—輸出模型和動力學方程兩種建模方法進行研究，前者系針對黑箱或灰箱系統建模，前述的時序分析、卡爾曼濾波、灰色系統建模、神經網絡模型乃至多元回歸分析法都可以視為輸入—輸出建模法。采用動力學方程建模與變形物理解釋中的確定函數法相似，系根據系統運動的物理規律建立確定的微分方程來描述系統的運動演化。但對動力學方程不是通過有限元法求解，而是在對系統受力和變形認識的基礎上，用低階的簡化的在數學上可解和可分析的模型來模擬變形過程，模型解算的結果基本符合客觀事實。例如用彈簧滑塊模型模擬地震過程的混沌狀態和高邊坡的粘滑過程，用單滑塊模型模擬大壩的變形過程，用尖點突變模型解釋大壩失穩的機理。對動力學方程的解的研究是系統論分析方法的核心，為此引入了許多與動力系統有關的基本概念，這些概念與變形分析和預報密切相關，它們是：狀態空間或相空間(稱解空間)、相軌線、吸引子、相體積、李亞普諾夫指數和柯爾莫哥洛夫熵等。例如相軌線代表相點運動的跡線，每一個相點代表狀態向量(變形、速率或影響因子)在某一時刻的解；吸引子代表系統的一種穩定的運動狀態，它可以是一個穩定的相點位，環或環面，也可以是相空間的一個有限區域，對于局部不穩定的非線性系統，將出現分數維的奇怪吸引子，表示系統將出現混沌狀態。李亞普諾夫指數描述系統對于初始條件的敏感特征，根據其符號可以判斷吸引子的類型以及軌線是發散的還是吸引(收斂)的。柯爾莫哥洛夫熵則是系統不確定性的量度，由它可導出系統變形平均可預報的時間尺度。對變形觀測的時間序列(如位移量)進行相空間重構，并按一定的算法計算吸引子的關聯維數，柯爾莫哥洛夫熵和李亞普諾夫指數等，可在整體上定性地認識變形的規律。另外，也可根據監測資料，反演變形體系統的非線性動力學方程。

系統論方法還涉及變形體運動穩定性研究，這種穩定性在數學上可轉化為微分方程穩定性的研究，主要采用李亞普諾夫提出的判別方法。

系統論方法涉及到許多非線性科學學科的知識，如系統論、控制論、信息論、突變論、協同論、分形、混沌理論、耗散結構等。上述理論遠不是工程測量工作者所能掌握的，將系統論方法與變形分析與預報相結合的研究只是初步的，希望有更多的青年學者加入到這一研究領域來。

四、大型特種精密工程測量

大型特種精密工程建設和對測繪的要求是工程測量學發展的動力。這里僅簡單介紹國內外有關情況。

1.國內覽勝

三峽水利樞紐工程變形監測和庫區地殼形變、滑坡、巖崩以及水庫誘發地震監測，其規模之大，監測項目之多，都堪稱世界之最。不僅采用目前國內外最成熟最先進的儀器、技術，在實踐中也在不斷發展新的技術和方法，如對滑坡體變形與失穩研究的計算機智能仿真系統；擬進行研究的三峽庫區滑坡泥石流預報的3S工程等，都涉及到精密工程測量。隔河巖大壩外部變形觀測的GPS實時持續自動監測系統，監測點的位置精度達到了亞毫米。該工程用地面方法建立的變形監測網，其最弱點精度優于±1.5mm。

北京正負電子對撞機的精密控制網，精度達±0.3mm。設備定位精度優于±0.2mm，200m直線段漂移管直線精度達±0.1mm。大亞灣核電站控制網精度達±2mm，秦山核電站的環型安裝測量控制網精度達±0.1mm。

上海楊浦大橋控制網的最弱點精度達±0.2mm，橋墩點位標定精度達±0.1mm；武漢長江二橋全橋的貫通精度(跨距和墩中心偏差)達毫米級。高454m的東方明珠電視塔對于長114m、重300t的鋼桅桿天線，安裝的垂準誤差僅±9mm。

長18.4km的秦嶺隧道，洞外GPS網的平均點位精度優于±3mm，一等精密水準線路長120多公里。目前輔助隧道已貫通，僅一個貫通面的情況下，橫向貫通誤差為12mm，高程方向的貫通誤差只有3mm。

2.國外簡述

國外的大型特種精密工程更不勝枚舉。以大型粒子加速器為例，德國漢堡的粒子加速器研究中心，堪稱特種精密工程測量的歷史博物館。1959年建的同步加速器，直徑僅100m，1978年的正負電子儲存環，直徑743m，1990年的電子質子儲存環，直徑2000m。為了減少能量損失，改用直線加速器代替環形加速器，正在建的直線加速器長達30km，100～300m的磁件相鄰精度要求優于±0.1mm,磁件的精密定位精度僅幾個微米，并能以納米級的精度確定直線度。整個測量過程都是無接觸自動化的。用精密激光測距儀TC2002K距離測量，其測距精度與ME5000相當，對平均邊長為50m的3800條邊，改正數小于0.1mm的占95%。美國的超導超級對撞機，其直徑達27km，為保證橢圓軌道上的投影變形最小且位于一平面上，利用了一種雙重正形投影。所作的各種精密測量，均考慮了重力和潮汐的影響。主網和加密網采用GPS測量，精度優于1×10-6D。

露天煤礦的大型挖煤機開挖量的動態測量計算系統(德國)。大型挖煤機長140m，高65m,自重8000t，其挖斗輪的直徑17.8m，每天挖煤量可達10多萬噸。為了實時動態地得到挖煤機的采煤量，在其上安置了3臺GPS接收機，與參考站無線電實時數據傳輸和差分動態定位，挖煤機上兩點間距離的精度可達±1.5cm。根據3臺接收機的坐標，按一定幾何模型可計算出挖煤機挖斗輪的位置及采煤層截曲面，可計算出采煤量，經對比試驗，其精度達7%～4%。這是GPS，GIS技術相結合在大型特種工程中應用的一個典型例子。

核電站冷卻塔的施工測量系統。南非某一核電站的冷卻塔高165m，直徑163m。在整個施工過程中，要求每一高程面上塔壁中心線與設計的限差小于±50mm，在塔高方向上每10m的相鄰精度優于10mm。由于在建造過程中發現地基地質構造不良，出現不均勻沉陷，使塔身產生變形。為此，要根據精密測量資料擬合出實際的塔壁中心線作為修改設計的依據。采用測量機器人用極坐標法作3維測量，對每一施工層，沿塔外壁設置了1600多個目標點，在夜間可完成全部測量工作。對大量的測量資料通過恰當的數據處理模型使精度提高了一至數倍，所達到的相鄰精度遠遠超過了設計要求。精密測量不僅是施工的質量保證，也為整治工程病害提供了可靠的資料，同時也能對整治效果作出精確評價。

瑞士阿爾卑斯山的特長雙線鐵路隧道哥特哈德長達57km，為該工程特地重新作了國家大地測量(LV95)，采用GPS技術施測的控制網，平面精度達±7mm，高程精度約±2cm。以厘米級的精度確定出了整個地區的大地水準面。為加快進度和避開不良地質段，中間設了3個豎井，共4個貫通面，橫向貫通誤差允許值為69～92mm(較只設一個貫通面可縮短工期11年)。整個隧道的工程投資預計約15億瑞士法朗，計劃于2004年全線貫通。

高聳建筑物方面，有人設想，在21世紀將建造2000m乃至4000m的摩天大廈，這不僅是建筑師的夢想，也是對測量工程師的挑戰。

五、科技研究開發實踐

將科研成果轉化為生產力是科研的最終目的，作為一門應用性學科，這種轉化尤為重要。它主要表現在軟硬件的開發研制上。

基于掌上電腦的地面控制與施工測量工程內外業數據處理一體化自動化系統(簡稱科傻系統)是我們近年來所作的一項科技研究開發實踐。科傻系統是對電子全站儀實現在線控制數據采集。掌上電腦上可固化兩個軟件包，一個用于地面控制測量數據采集、檢查、預處理、概算以及網平差等(稱科傻一)；一個用于工程放樣、道路測量以及碎部點數據采集(稱科傻三)。另外，在微機上研制了一個“現代測量控制網數據處理通用軟件包”(稱科傻二)。上述3個軟件包既可獨立使用，又有密切的聯系(特別是科傻一與科傻二之間)。科傻一可用于任意2、3維工程控制網，國家及城市等級網，一、二、三級導線網以及圖根加密網的在線或離線數據采集到網平差，實現了內外業數據處理的一體化。同時也可作一、二、三、四等和等外水準測量從數據采集到網平差的數據處理。科傻二除具有任意網形、任意規模的地面平面、高程控制網的平差功能外，還包含近似坐標計算，稀疏矩陣壓縮存貯，網點優化排序，閉合差自動計算，概算，粗差定值計算和改正，方差分量估計，貫通誤差影響值估算，工程控制網模擬法優化設計，控制網數據管理，網圖顯繪，成果報表輸出，以及與掌上電腦、全站儀的數據通訊等功能。

科傻系統集成了測量學、控制測量學、工程測量學、測量平差等課程的有關專業知識和長期科研成果，可廣泛應用于生產、教學及科技開發活動。

基于科傻系統的主要功能，在索佳Powerset2000電腦型全站儀上，已成功地開發了全中文版軟件包，這種全站儀通過軟件開發，功能得到大大增強，故稱為全能型全站儀。結合專業測量特點，我們在科傻系統的基礎上還研制開發了“鐵路施工測量數據自動化處理系統”。該軟件包也通過了鐵道部的鑒定，將在整個鐵路系統的測量單位推廣應用。對于城市工程測量、地籍測量、水利工程測量等各種測量，只要對科傻系統稍加修改，都可以滿足測量工程數據采集和處理的一體化自動化要求。同時，可將科傻系統移植應用到不同型號的電腦型全站儀上和商品化掌上電腦上，進一步擴大用戶。如果移植到測量機器人上，并進一步開發各種智能化應用程序，可應用到滑坡監測、施工測量中以及工業測量。若再開發與GPS網平差和實時動態定位軟件的集成軟件包，并研制開發相應的軟件，可望大大改變目前工程測量領域的面貌。

通過科技研究開發實踐，我們深刻體會到科技是第一生產力的科學論斷，感受到了為社會作貢獻的人生價值的樂趣。科技開發和成果轉化必須有具備以下特點：是真正的轉化而不是抄襲，必須有自己的研究成果；有一定特色；既要有通用性也要專業化；易于擴展和維護，要不斷完善并推陳出新；要有市場觀念、競爭意識和為用戶服務的態度。

六、工程測量學的發展展望

展望21世紀，工程測量學在以下方面將得到顯著發展：

1.測量機器人將作為多傳感器集成系統在人工智能方面得到進一步發展，其應用范圍將進一步擴大，影像、圖形和數據處理方面的能力進一步增強；

2.在變形觀測數據處理和大型工程建設中，將發展基于知識的信息系統，并進一步與大地測量、地球物理、工程與水文地質以及土木建筑等學科相結合，解決工程建設中以及運行期間的安全監測、災害防治和環境保護的各種問題。

3.工程測量將從土木工程測量、3維工業測量擴展到人體科學測量，如人體各器官或部位的顯微測量和顯微圖像處理；

4.多傳感器的混合測量系統將得到迅速發展和廣泛應用，如GPS接收機與電子全站儀或測量機器人集成，可在大區域乃至國家范圍內進行無控制網的各種測量工作。

5.GPS、GIS技術將緊密結合工程項目，在勘測、設計、施工管理一體化方面發揮重大作用。

6.大型和復雜結構建筑、設備的3維測量、幾何重構以及質量控制將是工程測量學發展的一個特點。

7.數據處理中數學物理模型的建立、分析和辨識將成為工程測量學專業教育的重要內容。

綜上所述，工程測量學的發展，主要表現在從1維、2維到3維、4維，從點信息到面信息獲取，從靜態到動態，從后處理到實時處理，從人眼觀測操作到機器人自動尋標觀測，從大型特種工程到人體測量工程，從高空到地面、地下以及水下，從人工量測到無接觸遙測，從周期觀測到持續測量。測量精度從毫米級到微米乃至納米級。工程測量學的上述發展將直接對改善人們的生活環境，提高人們的生活質量起重要作用。

參考文獻：

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［9］張正祿，黃全義，等.從“科傻”系統到全能型全站儀［J］.東北測繪，1998，(1)：5-7.

篇6

8.1 認識不等式

學習目標：

1. 了解不等式及其解集的概念，能用不等式表示一些不等關系；

2. 通過獨立思考，小組交流，感受不等式在實際生活中的應用，體會數形結合的思想；

3. 激情投入，善于發現問題和提出問題，感受學習數學的樂趣.

重點：不等式及不等式的解.

難點：將自然語言轉化為符號語言.

自主學習

一、知識鏈接

1. 等式、方程、方程的解的定義是什么？

2. x大于3，a小于5怎么用不等號表示？

二、新知預習

1. 什么是不等式？

用不等號表示的不等關系的式子，叫做不等式。

什么是不等式的解？如何判斷一些數是不是不等式的解？

3. 如何列不等式表示不等關系？

我的疑惑

合作探究

一、要點探究

探究點1：從實際問題到不等式的概念

小麗今年8歲，小雯今年x歲，小雯比小麗小，那么x____8；一本筆記本原價為y元，買兩本或兩本以上可以享受優惠價，小虎買兩個筆記本花了5元錢，那么2y____5．

問題1：上面列的兩個式子是等式嗎？

問題2：“5＜8”表示什么意思？“x＜8”呢？

問題3：類比等式的概念，回答：什么是不等式？不等式中是否必須含有未知數？

練一練：判斷下列式子是否為不等式：

（1）0＞-3；  （2）4x+3y＜0；  （3）x=3；   （4） x2+xy+y2；  （5）a≠5；  （6）m+2＞n+5．

要點歸納：用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式．除了“＜”或“＞”之外，數學里表示不等關系的常用符號還有“≠”“≤”和“≥”．

探究點2：用不等式表示數量關系

典例精析

例1. 用不等式表示下列數量關系：

（1）x的5倍大于-7；

（2）a與b的和的一半小于-1；

（3）長、寬分別為x cm，y cm的長方形的面積小于邊長為a cm的正方形的面積.

例2. 已知一支圓珠筆x元，簽字筆與圓珠筆相比每支貴y元. 小華想要買3支圓珠筆和10支簽字筆，若付50元仍找回若干元，則如何用含x，y的不等式來表示小華所需支付的金額與50元之間的關系？

要點歸納：列不等式和列方程的步驟基本相同，只不過這里要找的是不等關系．

探究點3：不等式的解及其判定方法

問題1：你能找出使不等式x+2>4成立的x的值嗎？有幾個？

問題2：什么是不等式的解？

練一練：判斷下列數中哪些是不等式

的解：60，73，74.9，75.1，76，79，80，90. 你還能找出這個不等式的其他解嗎？

二、課堂小結

不等式的概念

不等式的解及其判定方法

當堂檢測

1. 老師在黑板上寫了下列式子：①x-1≥1；②-2＜0；③x≠3；④x+2；⑤x-y=0；⑥x+2y≤0．你認為其中是不等式的有（ ）

A．2個           B．3個             C．4個            D．5個

2. 下列哪個不是不等式5x-3<6的解（    ）

A. 1          B. 2           C. -1           D. -2

3. 用“＞”或“＜”填空：5×（-2）____（-19）÷2，a2+1____0．

4. 一瓶飲料凈重360g，瓶上標有“蛋白質含量≥0.5%”，設該瓶飲料中蛋白質的含量為x g，則x ____1.8

5. 用不等式表示下列數量關系：

（1）a是正數；

（2）x比-3小；

（3）兩數m與n的差大于5.

參考答案

一、知識鏈接

1.含有等號的式子叫做等式；

含有未知數的等式叫做方程；

使方程兩邊左右相等的未知數的值叫做方程的解.

2.x＞3   a＜5

二、新知預習

1.用不等號表示的不等關系的式子，叫做不等式.

2. 能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解. 將給定的數代入不等式中進行檢驗，看左右兩邊是否滿足不等關系.

3.根據題目中的已知條件，找出隱含的不等關系，用不等號來表示.

一、要點探究

探究點1：從實際問題到不等式的概念

＜  ＞

問題1：不是

問題2：

5＜8”表示5比8小，“x＜8”表示未知數x比8小

問題3：

用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式.  不是.

練一練：

（1）是  （2）是   （3）不是  （4）不是  （5）是  （6）是

探究點2：用不等式表示數量關系

典例精析

例1.

（1） 5x＞-7；（2） （a+b）＜-1；（3）xy＜a2

例2.

解： 3x+10(x+y)＜50

探究點3：不等式的解及其判定方法

問題1：x可以為3，4,5,6等等，有無數個

問題2：能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

練一練：

解：  75.1，76，79，80，90.  如92,93,94.........

二、課堂小結

不等式的概念

用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式.

不等式的解及其判定方法

能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

將給定的數代入不等式中進行檢驗，看左邊是否滿足不等關系.

當堂檢測

C   2. B   3. ＜  ＞   4.≥   5.（1） a＞0  . （2）x＜-3 . （3）m -n＞5.

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.1 不等式的解集

學習目標：1. 理解不等式的解集，感受生活中存在大量的不等關系，提升符號感和數學建模能力；

2. 通過獨立思考，小組交流，探究用數軸表示不等式解集的方法，體會數形結合的思想；

3. 激情投入，善于發現問題和提出問題，感受學習數學的樂趣.

重點：不等式的解集及其在數軸上的表示方法.

難點：理解不等式的解與解集的區別及解集的數軸表示法.

自主學習

一、知識鏈接

1. 什么叫不等式的解？

2. 怎樣畫數軸？數軸與有理數有什么關系？如何用數軸比較兩個有理數的大小？

二、新知預習

1. 類比解方程，什么叫解不等式？如何用式子表示不等式的解集？

2. 如何用數軸表示不等式的解集？需要注意哪些地方？

三、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要點探究

探究點1：不等式的解集和解不等式的定義

問題1：你能找出使不等式x+3>8成立的x的值嗎？有幾個？

問題2：什么是不等式的解集？它與不等式的解有何區別與聯系？

練一練：判斷下表中的x值哪些是不等式2x+5＜9的解，是的填“是”，不是填“否”. 你還能找出這個不等式的其他解嗎？這個不等式一共有多少個解？你能根據表格中的規律寫出它的解集嗎？

x

5

4

3

2.1

2

1.9

1.8

1

2x+5＜9

要點歸納：一個不等式的所有解組成的集合，就是不等式的解集．求不等式的解集的過程，叫做解不等式．

探究點2：在數軸上表示不等式的解集

問題1：如何在數軸上表示大于某數？如x＞2如何表示？

要點歸納：（1）解集的表示方法：①代數法：用最簡形式的不等式（如x＞a或x＜a，a為常數）來表示；②幾何法：用數軸表示，一般標出數軸上某一區間，其中所包含的所有點對應的數值都是不等式的解；

（2）用數軸表示不等式的解集的步驟：畫數軸定界點定方向，注意界點要明確標明實心還是空心.

典例精析

例3. 直接寫出x+4≤6的解集，并在數軸上表示出來．  

二、課堂小結

不等式的解集的定義

不等式的解集的兩種表示法

當堂檢測

1. 下列關于不等式的解和解集的說法中錯誤的是（ ）

A．不等式x＜2有唯一的正整數解             B．不等式2x-1≥0的解集中包含了1

C．不等式的解集是不等式的解的簡稱          D．不等式x≤1.2的解有無數個

2. 在數軸上表示某不等式的的解集x＞，正確的是（ ）

   

3. 如圖所示的解集表示的是（ ）

A．x＞2         B．x≥2          C．x＜2       D．x≤2

4. 在數軸上表示下列不等式：

（1）x＞-3．                             （2）x≤1.5．

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.能使不等式成立的未知數的值，叫做不等式的解.

2. 略.

二、新知預習

1.求不等式解集的過程叫做解不等式.

2先解不等式 ,然后在數軸上找到解出的邊界點，如果有等號邊界點用實心點，沒有等號就用空心點 .若是X小于某數字，解集就在點的左側，用線畫出該區域。若是X大于某數字，解集就在點的右側，這樣就表示出來了.

一、要點探究

探究點1：

問題1：能，有無數個.

問題2：一個不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合,叫做這個不等式的解集.滿足不等關系的值都是不等式的解，可能有多個。而不等式的解集是所有這些解的集合.

練一練：

x

5

4

3

2.1

2

1.9

1.8

1

2x+5＜9

否

否

否

否

否

是

是

是

探究點2：

問題1：先把坐標軸畫出來，標好原點,正方向及刻度，在坐標軸上找到對應的數值.例如本題中的數字2，向右畫一條線就是我們所要求得的區域.

典例精析

例3. 解：由題意可知,x≤2.在數軸上表示略.

二、課堂小結

不等式的解集的定義

一個不等式的所有解，組成這個不等式的解的集合,叫做這個不等式的解集.

不等式的解集的兩種表示法

代數法

幾何法

當堂檢測

1. C． 2. A  3. D  4 解：（1）如圖所示．

（2）如圖所示．

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.2 不等式的簡單變形

學習目標：1．熟練掌握不等式的性質1、2、3，并能運用它們來對不等式進行簡單的變形．

2．通過獨立思考，小組合作以及自己的操作，感受不等式是刻畫現實世界的有效模型．

3．激情投入，用心感受生活中無處不在的數學．

重點：不等式的性質1、2、3．

難點：不等式的性質3．

自主學習

一、知識鏈接

1．等式有哪些基本性質？

什么是不等式？

二、新知預習

1．不等式的性質1：不等式兩邊都加上（或減去）               ，不等號的方向       ．即：如果a＞b，那么a+c     b+c，a-c     b-c．

2．不等式的性質2：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個       ，不等號的方向       ．即：如果a＞b，并且c＞0，那么ac     bc，．

3．不等式的性質3：不等式的兩邊都乘以（或都除以）同一個      ，不等號的方向       ．即：如果a＞b，并且c＜0，那么ac    bc，或．

三、自學自測

1．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知a＞b，則a+3      b+3，a+x      b+x；

（2）已知a＞b，則a-3      b-3，a-x      b-x；

（3）已知a＞b，則3a      3b；

（4）已知a＞b，則-3a     -3b．

2．已知a＞b，下列各式中，錯誤的是（    ）

A．a+6＞b+6                   B．2a ＞2b

C．-a＜-b                     D．5-a＞5-b

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要點探究

探究點1：不等式的性質1

問題1：比較-3與-5的大小．

問題2：-3+2    -5+2；-3-2    -5-2．

問題3：由問題2，你能得到什么結論？

問題4：3    5；3+a    5+a；3-a    5-a．

問題5：由問題4，你能得到什么結論？

問題6：根據以上探究，你能得出不等式有什么性質？

典例精析

例1．用“＞”或“＜”填空，并說明是根據不等式的哪一條性質：

（1）若x＋3＞6，則x____3，根據______________；

（2）若a-2＜3，則a____5，根據______________．

探究點2：不等式的性質2、3

問題1：比較-4與6的大小．

  -4＜6

問題2：-4×2_____6×2；-4÷2_____6÷2．

問題3：由問題2，你能得到什么結論？

問題4：4     -8；4×（-4）    -8×（-4）；4÷（-4）    -8÷（-4）．

問題5：由問題4，你能得到什么結論？

問題6：如何用符號語言表示問題3和問題5中得到的結論？

典例精析

例2．用“＞”或“＜”填空：

（1）已知 a＞b，則3a     3b；

（2）已知 a＞b，則-a     -b；

（3）已知 a＜b，則

例3．如果不等式 (a＋1)x＜a＋1可變形為 x＞1，那么a 必須滿足________．

方法總結：當不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數時，不等號的方向改變．

針對訓練

1．設a＞b，用“＜”或“＞”填空，并寫出根據不等式的哪一條性質得到．

（1）a - 7____b - 7，根據______________；

（2）a÷6__＞__b÷6，根據_____________；

（3）0.1a____0.1b，根據_____________；

（4）-4a____-4b，根據______________________；

（5）2a+3___2b+3，根據______和___________；

（6）(m2+1)a____ (m2+1)b（m為常數），根據_________________；

2．已知a＜0，用“＜”或“＞”填空：

（1）a+2 ____2；     （2）a-1 ____-1；    （3）3a____0；      （4）

____0；  

（5）a2____0；      （6）a3____0；       （7）a-1____0；      （8）-a___0．

探究點3：利用不等式的性質解簡單的不等式

典例精析

例4．解不等式：

（1）x+4＜-5；        （2）6x＞5x-6；        （3）

x＜2；         （4）-4x＜8．

   

思考：對以上不等式進行變形時，分別用到性質幾？要注意什么問題？

二、課堂小結

不等式的性質

性質1

性質2

性質3

利用不等式的性質將不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

當堂檢測

1．已知a＜b，用“＞”或“＜”填空：

（1）a +12      b +12；

（2）b-10      a -10．

2．利用不等式的性質解不等式：

（1）5＞3+x；

3．（2）2x＜x+6． 

4．利用不等式的性質解下列不等式，并在數軸上表示其解集． 

（1）x-5＞-1；

（2）-2x＞3；

（3）7x≤6x-6．

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.

2. 用不等號表示不等關系的式子，叫做不等式.

二、新知預習

1.同一個數或同一個整式   不變   ＞   ＞

2 正數     不變    ＞  ＞

3負數      改變    ＜   ＜

三、自學自測 

1．（1）＞  ＞    （2）＞  ＞    （3）＞      （4）＜     2．D 

一、要點探究

探究點1：

問題1：  解： -3＞-5

問題2：＞  ＞

問題3：不等式的兩邊同時加上或者減去同一個常數，不等號的方向不變.

問題4：＞   ＞   ＞

問題5：不等式的兩邊同時加上或者減去同一個整式，不等號的方向不變.

問題6：不等式的兩邊同時加上或者減去同一個整式，不等號的方向不變.

典例精析

（1）＞   等式的性質1  （2） ＜  等式的性質1 

探究點2：

問題1： -4＜6  

問題2：  ＜   ＜

問題3：不等式的兩邊都乘以或除以同一個正數不等號的方向不變.

問題4：＞   ＜   ＜

問題5： 不等式的兩邊分別都乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變.

問題6：

不等號的左右兩邊分別同時乘以或除以同一個正數時，不等號的方向不變；不等號的左右兩邊分別同時乘以或除以同一個負數時，不等號的方向改變。

典例精析

例2．（1） ＞  （2）  ＞ （3） ＞ 

例3．a＜-1    

針對訓練

1．（1）＞  不等式的性質1   （2） ＞  不等式的性質2   （3）＞  不 等式的性質2 

（4）＜  不等式的性質3  （5） ＞  不等式的性質1  不等式的性質2   （6） ＞  不等式的性質2 

2．（1）＜  （2）＜  （3）＜  （4）＞ （5）＞ （6） ＜ （7） ＜ （8）＞ 

探究點3：

典例精析

例4．（1） 解：x＜-9   （2）  解：x＞-6      （3）解：  x＜6       （4）解：   x＞-2

二、課堂小結

不等式的性質

性質1

不等式的兩邊同時加上或者同時減去同一個數，不等號的方向不變.

性質2

不等式的兩邊同時乘以或者同時除以同一個不為0的數，不等號的方向不變.

性質3

不等式的兩邊同時乘以或者同時除以一個負數，不等號的方向改變.

利用不等式的性質將不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式（解不等式）

當堂檢測

1．（1）＜ （2） ＞  2．（1）  解：x＜2.  （2）  解：x＜6.

 3,解：（1）x＞4 （2）x＜- （3）x≤-6,  在數軸上表示略.

第8章 一元一次不等式

8.2 解一元一次不等式

8.2.3 解一元一次不等式

第2課時 一元一次不等式的實際應用

學習目標：1．會用一元一次不等式解決簡單的實際問題，提高解決實際問題的能力；

2．通過獨立思考及小組合作，感知方程與不等式的內在聯系和方程都是刻畫現實世界數量關系的重要模型；

3．激情投入，善于發現問題和提出問題，感受學習數學的樂趣．

重點：一元一次不等式在實際問題中的應用．

難點：在實際問題中建立一元一次不等式的數量關系．

自主學習

一、知識鏈接

1．一元一次不等式是怎樣定義的？

2．簡述一元一次不等式的解法（步驟）．

3．利用一元一次方程解決實際問題的步驟是什么？

二、新知預習

1．“至少”的意思是什么？用不等號怎樣表示？“至多”呢？“不多于”“不少于”“超過”呢？

2．利用一元一次不等式解決實際問題時，題目中一般會出現什么樣的字眼？

3．利用一元一次不等式解決實際問題的步驟是怎樣的？

三、我的疑惑

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要點探究

探究點1：一元一次不等式的特殊解

例1   已知方程ax+14=0的解是x=2，求關于x不等式（a+1）x＞－12的解集，并在數軸上表示出來，其中正整數解有哪些？

方法總結：求不等式的特殊解，先要準確求出不等式的解集，然后確定特殊解．在確定特殊解時，一定要注意是否包括端點的值，一般可以結合數軸，形象直觀，一目了然．

針對訓練：

a≥1的最小正整數解是m，b≤8的最大正整數解是n，求關于x的不等式(m+n)x＞18的解集．

2、若不等式

的最大整數解為方程2x-ax=3的解，求a的值．

方法總結：已知解集求字母系數的值，通常是先解含有字母的不等式，再利用解集的唯一性列方程求字母的值．解題過程體現了方程的思想．

探究點2：一元一次不等式的應用

實例  小華打算在星期天與同學去登山，計劃上午7點出發，到達山頂后休息2 h，下午4點以前必須回到出發點。如果他們上山的平均速度是3 km/h，下山的平均速度是4 km/h，他們最遠能登上哪座山的山頂（圖中數字表示出發點到山頂的路程）？

問題1：寫出本題中涉及的等量關系是__________________________________________．

問題2：根據不等關系列出的不等式的解集一定是該實際問題的的解嗎？

問題3：解決本題的問題．

.

典例精析

例2  某童裝店按每套90元的價格購進40套童裝，應繳納的稅費為銷售額的10%．如果要獲得不低于900元的純利潤，每套童裝的售價至少是多少元？

本題涉及的數量關系是                             ，然后解答．

例3  當一個人坐下時，不宜提舉超過4.5 kg的重物，以免受傷．小明坐在書桌前，桌上有兩本各重1.2 kg的畫冊和一批每本重0.4 kg的記事本.如果小明想坐著拿起這兩本畫冊和一些記事本．問他最多只應拿多少本記事本？

針對訓練：

1．小明家每月水費都不少于15元，自來水公司的收費標準如下：若每戶每月用水不超過5立方米，則每立方米收費1.8元；若每戶每月用水超過5立方米，則超出部分每立方米收費2元.小明家每月用水量至少是多少？

2．甲、乙兩超市以同樣價格出售同樣的商品，但是給出了不同的優惠方案：在甲超市累計購物超過100元后，超出100元的部分按90%收費；在乙超市累計購物超過50元后，超出50元的部分按95%收費.顧客到哪家超市購物花費少？

課堂小結

一元一次不等式的應用

步驟：實際問題

根據題意列不等式

解一元一次不等式

根據實際問題找出符合條件的解集或整數解

得出解決問題的答案

當堂檢測

1．當x取什么值時，代數式x+2的值大于或等于0？并求出所有滿足條件的正整數．

2．小明家的客廳長5 m，寬4 m．現在想購買邊長為60 cm的正方形地板磚把地面鋪滿，至少需要購買多少塊這樣的地板磚？

3．一次環保知識競賽共有25道題，規定答對一道題得4分，答錯或不答一道題扣1分．在這次競賽中，小明被評為優秀（85分或85分以上），小明至少答對了幾道題？

4．某市打市內電話的收費標準是：每次3 min以內（含3 min）0.28元，以后每分鐘0.11元（不足1 min部分按1 min計）．小琴一天在家里給同學打了一次市內電話，所用電話費沒超過0.5元．她最多打了幾分鐘的電話？

5．某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛，其中轎車至少要購買3輛，轎車每輛7萬元，面包車每輛4萬元，公司可投入的購車款不超過55萬元．

(1)符合公司要求的購買方案有哪幾種？請說明理由．

(2)如果每輛轎車的日租金為200元，每輛面包車的日租金為110元，假設新購買的這10輛車每日都可租出，要使這10輛車的日租金收入不低于1500元，那么應選擇以上哪種購買方案？

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.只含有一個未知數,并且含未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式。

2. 去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1.

3. 設未知數  分析題意  列方程 解方程  檢驗  作答

二、新知預習

1.至少表示最低不能低于某個參照標準，用大于等于表示。 至多表示最多不能超過某個標準，用小于等于表示。不多于用小于等于表示，不少于用大于等于表示，超過用大于表示。

2

  至少  至多  不多于  不少于   超過

3    和一元一次方程一樣 設未知數  分析題意  列方程 解方程  檢驗  作答

一、要點探究

探究點1：

例1   解：  因為x=2是方程ax+14=0的解，所以a=-7，將a=-7代入（a+1）y＞－12中，得y＜2。正數解為1      

針對訓練：

1.解：由題意可以m=1，n=8，將m=1，n=8代入(m+n)x＞18中，得x＞2. 

2.【答案】解：解不等式，得x＜2，不等式最大整數解為1．把x=1代入方程2x-ax=3得2-a=3，解得a=-1．

探究點2：

問題1：山時間+山頂休息時間+下山時間＜7小時_

問題2：不一定可能只是一個取值范圍

問題3：解:設山峰的高度為x m,則有，解得x≤.所以最遠能夠登上D山頂.

典例精析

例2  

 售價-進價-稅費≥ 90

解：設每套童裝的售價為x元。則有(x-90)×40-40x×10%≥900 ,解得x≥125.每套童裝的售價至少是125元.

例3 解：設她最多應搬動x本記事本，則有1.2×2+0.4x≤4.5,解得x≤5.25.因為x為整數，所以x=5.答他最多只應搬動5本記事本。

針對訓練：1、解：設小明家每月用水量為x立方米。1.8×5+(x-5)×2≥15,解得x≥8.答小明家每月用水量至少是8立方米。

2．解：設累計購物x元.當x≤50時，兩家不享受優惠。當50＜x≤100時，在乙超市享受優惠。當x＞100時，

甲超市：100+(x-100)×90%.乙超市：50+（x-50）×95%.當100+(x-100)×90%＞50+（x-50）×95%時，x＜150.當100+(x-100)×90%＜50+（x-50）×95%時，x＞150.當100+(x-100)×90%=50+（x-50）×95%時，x=150.綜上所述，當 100 ＜ x＜150時，選擇乙超市，當x＜150，選擇甲超市。當x=150時，甲.乙兩超市均可。

當堂檢測

1．解：令x+2≥0，解得x≤6.所以滿足條件的正整數有1,2,3,4,5,6.

 2. 解：設至少需要購買這樣的地板磚x塊.5 m=500 cm,4 m=400 cm.由題意可得，500 ×400≤60×60×x.解得

x≥.答至少需要56塊這樣的地板磚.

3. 解：設小明至少答對了x道題。4x-(25-x)≥85,解得x≥22.答小明至少答對了22道題.

4.

解：設她最多打了x分鐘.0.28+（x-3）×0.11≤0.5，解得x≤5,答她最多打了5分鐘.

5.解：（1）設轎車購買x輛，面包車購買（10-x）輛.則有：7x+4×（10-x）≤55，解得x≤5.又因為x≥3，則

x=3，4,5.所以購車方案共用三種。方案一：轎車3輛，面包車7輛.方案二：轎車4輛，面包車6輛.方案三：轎車5輛，面包車5輛.

（2）方案一的日租金：3×200+7×110=1370（元） 

     方案二的日租金：4×200+6×110=1460（元）

方案三的日租金：5×200+5×110=1550（元）答：為了保證日租金不低于1500元，應選擇方案三.

第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式組

第1課時 一元一次不等式組的相關概念及簡單的不等式組的解法

學習目標：1．理解一元一次不等式組的概念，會解兩個一元一次不等式組成的簡單的不等式組，并會用數軸表示解集，提高歸納推理能力；

2．通過獨立思考及小組合作，總結不等式組的解法，進一步體會數形結合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受學習成功的快樂．

重點：掌握一元一次不等式組的解法．

難點：借助數軸寫一元一次不等式組的解集．

自主學習

一、知識鏈接

1．什么是一元一次不等式？

2．解一元一次不等式的步驟是怎樣的？

3．在數軸上表示一元一次不等式解集的方法是什么？

二、新知預習

1．什么是一元一次不等式組？

2．解一元一次不等式組的步驟是什么？

三、自學自測

下列各選項中是一元一次不等式組的是（    ）

A．       B．       C．       D．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要點探究

探究點1：一元一次不等式組的概念

情境：一個長方形足球場的寬為70 m，如果它的周長大于350 m，面積小于7630 m2，求這個足球場的長的取值范圍，并判斷這個足球場是否可以進行國際足球比賽（注：用于國際足球比賽的足球場的長在100至110 m之間，寬在64至75 m之間）．

問題1：如果設足球場的長為x m，那么它的周長就是            m，面積為      m2．根據已知條件，我們知道x的取值范圍要使             和   _______      這兩個不等式同時成立．

問題2：將問題1中得到的兩個一元一次不等式用“”聯立起來，便組成一元一次不等式組          ．

問題3：問題2中的一元一次不等式組的解集與問題1中的兩個一元一次不等式的解集有何關系？

要點歸納：不等式組中幾個不等式解集的__________叫做這個不等式組的解集．

想一想：判斷下列不等式組是否為一元一次不等式組：

探究點2：一元一次不等式組的解集表示

問題1：通常我們運用數軸表示不等式的解集，那么我們能用它直接表示不等式組的解集嗎？

試一試：用數軸表示不等式組

的解集．

問題2：借助數軸分析：解含兩個一元一次不等式的不等式組，在取解集的公共部分時，可能存在哪些不同的情況?

探究點3：簡單的一元一次不等式組的解法

典例精析

例1. 解不等式組

并借助數軸寫出它的解集．

例2．已知不等式組

的解集為-1＜x＜2，則(a+1)(b-1)的值為多少?

二、課堂小結

一元一次不等式組

一元一次不等式組的概念

未知數x同時滿足兩個一元一次不等式，并將這兩個一元一次不等式合起來就得到了一個一元一次不等式組.

一元一次不等式組的解集表示

不等式組中幾個不等式的解集的公共部分，叫做這個不等式組的解集.

一元一次不等式組的解法

和一元一次方程的解法一樣

當堂檢測

1．下列選項中是一元一次不等式組的是（ ）

A．

2．選擇下列不等式組的正確解集：

（1）

（2）

（3）

（4）  （    ）   A．x＜-1     B．x≥2     C．-1＜x≥2     D．無解

3．解下列不等式組，并在數軸上表示其解集：

（1）      （2）      （3）        （4）

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1.只含有一個未知數,并且含未知數的式子都是整式，未知數的次數都是1，像這樣的不等式叫做一元一次不等式.

2. 去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1

3.  略.

二、新知預習

1.未知量x應同時滿足兩個一元一次不等式，我們把兩個一元一次不等式合在一起，就得到一個一元一次不等式組。

2.  解一元一次方程組，通常可以先分別求出不等式組中，每一個不等式的解集，再求出他們的公共部分.

三、自學自測

D

合作探究

一、要點探究

探究點1：                                            

問題1  2（70+x）    70x   2（70+x）    70x

問題2  略.

問題3： 問題2中的一元一次不等式組的解集是問題1中的兩個一元一次不等式的解集的公共部分.  

想一想   解：（1）和（3）不是，（2）和（4）是.

探究點2：

問題1：解 略.

問題2：無解和有解。

探究點3：

典例精析

解：此方程無解.

例2  

解：此方程組得到x＜a+1和x＞3+2b.根據題意可知，a+1=2，3+2b=-1，解得a=1，b=-2.

將a=1，b=-2代入(a+1)(b-1)，得-6.

當堂檢測

1．D 

2．（1） B    （2） A   （3） C   （4）D 

解：（1）  3＜x＜6  （2）x≥4    （3）無解  （4）x＜-2,在數軸上表示略.

第8章 一元一次不等式

8.3 一元一次不等式組

第2課時 較復雜的不等式組的解法

學習目標：1．會解較復雜的一元一次不等式組，并會用數軸表示解集，提高歸納推理能力；

2．通過獨立思考及小組合作，總結不等式組的解法，進一步掌握數形結合思想；

3．激情投入，全力以赴，享受學習成功的快樂．

重點：較復雜的一元一次不等式組的解法．

難點：去括號、去分母和系數化為1．

自主學習

一、知識鏈接

1．不等式的性質是什么？

2．解一元一次不等式組的一般步驟是什么？

怎樣用數軸表示一元一次不等式組的解集？

二、新知預習

1．解一元一次不等式組時去括號和去分母要注意什么？

2．一元一次不等式組一定有解嗎？請舉例說明．

三、自學自測

解不等式組并在數軸上表示其解集．

四、我的疑惑

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

合作探究

一、要點探究

探究點1：解較復雜的一元一次不等式組

典例精析

例1．解不等式組

并在數軸上表示其解集．

例2．解不等式組并在數軸上表示其解集．

方法總結：（1）幾個注意點：①去括號時要注意括號外的因數的符號；②去分母時要注意常數不要漏乘各個分母的最小公倍數；③系數化為1時，如果兩邊同時乘以或除以一個負數，不等號要改變方向；（2）寫不等式解集的技巧：借助數軸可以很方便的看出不等式組的解集，也可直接依據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”寫出解集．

探究點2：一元一次不等式組的應用

情境：3個小組計劃在10天內生產500件產品（每天生產量相同），按原來的生產速度，不能完成任務；如果每個小組每天比原來多生產1件產品，就能提前完成任務．問每個小組原來每天生產多少件產品？

問題1：本題中給出的是等量關系還是不等關系？有幾個？

問題2：設每個小組原來每天生產x件產品，那么你能列出哪些關系式？

問題3：根據你列出的關系式解決本題．

歸納總結：列一元一次不等式組解決實際問題的一般步驟：（1）審題；（2）找不等關系，并設出未知數；（3）根據不等關系列不等式組；（4）解不等式組；（5）檢驗；（6）作答．

典例精析

用若干輛載重量為8 t的汽車運一批貨物，若每輛汽車只裝4 t，則剩下20 t貨物；若每輛汽車裝滿8 t，則最后一輛汽車不滿也不空．請你算一算：有多少輛汽車運這批貨物？

二、課堂小結

一元一次不等式組

解較復雜的一元一次不等式組的注意點

1.去分母時，注意各項都要乘以分母的最小公倍數?；2.移項時，注意改變被移項的符號；3.不等式兩邊同除以負數，注意不等號要改變方向；4.用數軸表示不等式的解集，要注意實點還是虛點；5.去括號時，注意觀察不等式的特點靈活操作?

寫不等式的解集的技巧

列一元一次不等式組的解應用題的一般步驟

當堂檢測

1．解不等式組：

（1）       （2）       （3）

2．x取哪些整數值時，不等式2-x≥0與都成立？

3．把一籃蘋果分給幾個學生，若每人分4個，則剩余3個；若每人分6個，則最后一個學生最多分2個．求學生人數和蘋果數分別是多少？

4．某校今年冬季燒煤取暖時間為4個月．如果每月比計劃多燒5噸煤，那么取暖用煤量將超過100噸；如果每月比計劃少燒5噸煤，那么取暖用煤總量不足68噸．若設該校計劃每月燒煤 x噸，求x的取值范圍．

【拓展題】已知方程組的解x，y的值都是正數，且x＜y，求 m的取值范圍．解得：

參考答案

自主學習

一、知識鏈接

1．略.

2.略.

3．略.

二、新知預習

1．去括號時，如果括號前面的系數是負數，那么去掉括號后，原來括號里面的數要進行變號.去分母時,要記得將分母的每一項都乘以它的最小公倍數。

2．不一定，比如{x＞3,x＜?1，從數軸上看：

畫出的兩條線沒有公共部分；從不等式組的解集的定義上看，根本找不到既

大于3又小于-1的數．

三、自學自測

解：    <x≤4。  在數軸上畫圖略.

合作探究

一、要點探究

探究點1

典例精析

例1．x＜-3.在數軸上畫圖略.

例2．-2< x<6  在數軸上畫圖略.

探究點2

問題1：不等關系，有2個。

問題2：3×10x＜500；3×10(x+1)＞500

問題3：{3×10x＜500,3×10(x+1)＞500

解得：473＜x＜503，因為x是整數，所以x=16.

典例精析

解：設有x輛車，則有（4x+20）噸貨物．

由題意，得0＜（4x+20）-8（x-1）＜8，

解得：5＜x＜7．

因為x為正整數，

所以x=6．

答：有6輛汽車．

當堂檢測

1．解：（1）解不等式①得x≥-1，解不等式②得x＜3，所以不等式組的解集為-1≤x＜3．

（2）解不等式①得x≤1，解不等式②得x＜4，所以不等式組的解集為x≤1．

（3）解不等式①得x＞，解不等式②得x≥3，所以原不等式組的解集為x≥3．

2．解：聯立方程組{2-x≥0，x?12?2x?13＜13，

解得：-3＜x≤2，

所以x的整數解為-2，-1，0，1,2.

3．解：設學生有x人，則蘋果有（4x+3）個.

依題意得{6(x-1)≤4x+3，4x+3≤6(x-1)+2，解得：3.5≤x≤4.5，因為

學生人數應該為整數，所以x=4，所以蘋果數為：4×4+3=19（個）.答：學生有4人，蘋果有19個．

，

4．解：由題意得{4(x+5)＞100，4(x-5)＜68

，