導語：如何才能寫好一篇排列組合例題，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

一、解排列問題的基本方法

解排列問題的基本方法主要有特殊元素（位置）法、插空法、捆綁法、對稱性。

例1：7個人站在一起照相，

（1）全部排成一排，有多少種排法？

（2）排成兩排，前排3人，后排4人，有多少種排法？

（3）站成一排，甲不能站左端，也不能站右端，有多少種不同的站法？

（4）站成一排，甲不在左端，乙不在右端，有多少種排法？

分析：

（1）這是一個沒有限制條件的問題，7個人可以任意站，直接解得A=5040種站法。

（2）看起來比剛才復雜，仔細分析，實際上每個人都沒有限制，7個人對應7個位置，所以還是A=5040種站法。

（3）①甲有了限制，只有5個位置可以站，我們先安排甲站，有A種站法，其他人沒有限制，有A種站法，AA=3600種站法。這種方法叫特殊元素法。

②也可以這樣思考，先找除甲以外的2人將左端的位置站好，有A種站法，接下來就沒有限制了，5人任意站，有A種站法，所以共有AA=3600種站法。這種方法叫特殊位置法。

③還可以用間接法解：不考慮甲的限制條件，有A種，甲站左右各有A種方法，要去掉，共有A-2A=3600種站法。

實際上，當某些元素不能在某個（或某些）位置、某個（或某些）位置只能放某些元素時，我們應該優先處理這些特殊要求。在計算時先處理特殊元素或先處理特殊位置，再考慮其他條件。

先不考慮限制條件，把所有的排列種數算出，再從中減去全部不符合條件的排列數，間接得出符合條件的排列種數，這種方法也稱為間接法。用這種方法特別注意要不重復，不遺漏。

（4）這是在（3）的基礎上將限制條件增加為兩個，變得難一些，但解題的基本方法不變。

①用先處理特殊元素（特殊位置）的方法：甲在右有A種方法，甲在中間位置有A種，這時乙不能在右，也有A種，共有AAA+A=3720種方法。

②若用間接法，特別注意要不重復，不遺漏。要注意在右這種情況，共有A-2A+A=3720種方法。

二、解組合問題的基本方法

分組分配問題要注意分組后是否拿走。注意均勻與非均勻，編號與不編號限制條件的分組問題。

例2：6本不同的書按下列方法分配，有多少種分法？

（1）分給3人，甲得1本，乙得2本，丙得3本。

（2）分給3人，1人1本，1人2本，1人3本。

（3）平均分成3組。

（4）分給3人，每人2本。

分析：

（1）各組元素數目確定，分配對象確定，按要求分配到人。

先從6本不同的書中任取1本給甲有C，然后從剩余的5本中任取2本給乙有C，最后把剩余的3本都給丙C，由乘法原理，共有CCC=60種分法。

（2）與（1）相比，各組元素數目確定，分配對象不固定，哪個得多少是不知道的。各組元素數目仍分別為1，2，3，但哪個人得幾本沒有固定。

仿（1）分成三組，有CCC種分法，然后讓3人自由選取，有A種，所以共有CCCA=360種分法。

（3）平均分組，相當于分成三組放在一起，不管怎么按什么順序分，放在一起只能算一種情況。按CCC分，是實際情況的A倍，因此只有=15種分法。

注意：有n個平均分組時應除以A。

（4）各組元素數目相等，分配給具體對象。可以分兩步走：先分成三組，每組2本，然后三人再來拿走。先分組，有分法。三人的拿法有A種。共有A=CCC=90種分法。

篇2

1.將編號為1、2、3、4的四個球放入A、B、C、三個盒子中，每個盒子中至少放一個球，且1、4號兩個球不能放在同一盒子中，則不同的放法有（）

A．15B．18 C．30D．36

2.某省教育廳從外地引進5名專家擔任該省的特聘教師，現欲將5名特聘教授安排到三個大學講學，每所大學至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（）

A．30種 B．90種 C．180種 D．270種

3.某省教育部門擬從10位有突出貢獻的教師中選6人作為教育標兵進行表彰獎勵，其中甲、乙兩位教師不能同時當選，則表彰獎勵的不同方法有（）

A．84種 B．98種 C．112種 D．140種

4.若 ，則 =（ ）

A．32B．1 C．-1 D．-32

5.某項運動會閉幕式結束后擬舉行文藝匯演，要將A、B、C、D、E、F六個不同節目編排成節目單，如下表：

序號 1 2 3 4 5 6

節目

如果A、B兩個節目要相鄰，且都不排在第3號位置，那么節目單上不同的排序方式有 （）

A 192種 B 144種 C 96種 D 72種

6.若m∈A，則 ∈A，就稱集合A是和諧的。集合M={－1，0， ， ，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有和諧關系的集合的個數為（）

A．15 B．16 C．28 D．25

7. 若 的展開式中 的系數是( )

A． B． C．D．

8.已知 為等差數列 中的第8項，則二項式 展開式中常數項是（）

A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項

9.在 的展開式中，x的冪指數是整數的項共有（）

A．3項 B．4項 C．5項 D．6項

10.多項式 的展開式中 的系數是（）

A. B. C.D.

11. 某開發商計劃在我國的四個候選城市投資3個不同的旅游項目，且在同一個城市投資的項目不超過2個，則該開發商不同的投資方案有（）

A．16種 B．36種 C．42種 D．60種

12. 若 ， ，則 =（）

A.2012 B.1 C.-1 D.-2

二、填空題

13.從5名外語系大學生中選派4名同學參加在廣州舉辦的大學生運動會當翻譯、交通、禮儀三項義工活動，要求翻譯有2人參加，交通和禮儀各有1人參加，則不同的選派方法共有。

14. 的展開式中的第四項是 。

15.某學校組織4名學生參加體格檢查，4名學生在同一天的上、下午參加視力、聽力、五官、體重、身高五個項目的檢查，每位學生上、下午各測試一個項目，且不重復。若上午不測“體重”項目，下午不測“視力”項目，其余項目上、下午都各測試一人。則不同的安排方式共有_________種。（用數字作答）

篇3

排列：從n個不同元素中，任取m個元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

組合：從n個不同元素種取出m個元素拼成一組，稱為從n個不同元素取出m個元素的一個組合。

解答排列組合問題，首先必須認真審題，明確是屬于排列問題還是組合問題，或者屬于排列與組合的混合問題，其次要抓住問題的本質特征，靈活運用基本原理和公式進行分析，同時還要注意講究一些策略和方法技巧。下面介紹幾種常用的解題方法和策略。

解決排列組合問題有幾種相對比較特殊的方法。下面通過例題逐個掌握：

一、相鄰問題---捆綁法不鄰問題---插空法

對于某幾個元素不相鄰的排列問題，可先將其他元素排好，再將不相鄰元素在已排好的元素之間及兩端空隙中插入即可。

【例題1】一張節目表上原有3個節目，如果保持這3個節目的相對順序不變，再添進去2個新節目，有多少種安排方法？

A.20B.12C.6D.4

【答案】A。

【解析】首先，從題中之3個節目固定，固有四個空。所以一、兩個新節目相鄰的的時候：把它們捆在一起，看成一個節目，此時注意：捆在一起的這兩個節目本身也有順序，所以有：C(4，1)×2=4×2=8種方法。二、兩個節目不相鄰的時候：此時將兩個節目直接插空有：A(4，2)=12種方法。綜上所述，共有12+8=20種。

二、插板法

一般解決相同元素分配問題，而且對被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只對分成的份數有要求。

【例題2】把20臺電腦分給18個村，要求每村至少分一臺，共有多少種分配方法？

A.190B.171C.153D.19

【答案】B。

【解析】此題的想法即是插板思想：在20電腦內部所形成的19個空中任意插入17個板，這樣即把其分成18份，那么共有：C(19，17)=C(19，2)=171種。

三、特殊位置和特殊元素優先法

對有限制的排列組合問題中的特殊元素或特殊位置優先考慮。

【例題2】從6名運動員中選4人參加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的參賽方案各有多少種？

A.120B.240C.180D.60

【答案】B。

【解析】方法一：特殊位置優先法：首先填充第一棒，第一棒共有5個元素可供選擇，其次第4棒則有4個元素可以選擇；然后第2棒則有4個元素可以選擇，第3棒則有3個元素可以選擇。則共有5×4×4×3=240種。

方法二：特殊元素優先法：首先考慮甲元素的位置

第一類，甲不參賽有A(5,4)=120種排法；

第二類，甲參賽，因只有兩個位置可供選擇，故有2種排法；其余5人占3個位置有A(5,3)=60種占法，故有2×60=120種方案。

所以有120+120=240種參賽方案。

四、逆向考慮法

對于直接從正面算比較復雜的排列、組合題，我們就要學會間接的方法。

正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體？

A.70B.64C.61D.58

【答案】D。

【解析】所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，共C(8，4)-12=70-12=58個。

五、分類法

解含有約束條件的排列組合問題，應按元素性質進行分類，按事情發生的連續過程分步，保證每步獨立，達到分類標準明確，分步層次清楚，不重不漏。

【例題3】五個人排成一排，其中甲不在排頭，乙不在排尾，不同的排法有

A.120種B.96種C.78種D.72種

【答案】C。

【解析】由題意可先安排甲，并按其分類討論：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A(4，4)=24種排法；2)若甲在第二，三，四位上，則有3×3×3×2×1=54種排法，由分類計數原理，排法共有24+54=78種，選C。

專家點評：解排列與組合并存的問題時，一般采用先選(組合)后排(排列)的方法解答。解決一道排列、組合提的方法很多，但我們必須選擇一種最快做有效的解題方法。這就要求我們準確掌握各種解題方法，能迅速的判斷出哪種方法最適合解答該題。

下面我們為考生準備5道習題，請考生們注意選擇最合適的解題方法。

1、丙丁四個人站成一排，已知：甲不站在第一位，乙不站在第二位，丙不站在第三位，丁不站在第四位，則所有可能的站法數為多少種？

A.6B.12C.9D.24

2、馬路上有編號為l，2，3，……，10十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種？

A.60B.20C.36D.45

3、用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，可組成多少個不同的四位數？

A.300B.360C.120D.240

4、10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法？

A.45B.36C.9D.30

5、六人站成一排，求甲不在排頭，乙不在排尾的排列數？

A.120B.64C.124D.136

1、【解答】C。能站在第一位，因此甲必然站在后三個位置中的某一個位置。

如果甲站在第二位，則共有三種可能：乙甲丁丙，丙甲丁乙，丁甲丙乙

如果甲站在第三位，則共有三種可能，乙丁甲丙，丙丁甲乙，丁丙甲乙

如果甲站在第四位，則共有三種可能，乙丙丁甲，丙丁乙甲，丁丙乙甲

因此一共有9種可能

2、【解答】B。關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。所以共C(6，3)=20種方法。

3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)個=300個

4、【解答】B。把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共C(9，7)=36種。

5、【解答】D。先考慮排頭，排尾，但這兩個要求相互有影響，因而考慮分類。

篇4

關鍵詞： 排列組合 概念 常用解法 以學生為主體

一、通過比較，理清排列組合的概念

為能較好地提高學生的識別能力，強化“排列既取又排，組合只取不排”的意識，我們在平時的教學中可以把內容類似、易混淆的排列、組合問題并列起來，進行對比分析，這樣比較直觀，學生更容易理解掌握。

比如：

（1）8名畢業生，見面互相握手，共握幾次手？

8名畢業生，每人互贈照片一張，共需準備多少張照片？

（2）從15個學生中任選3人參加學代會，共有幾種不同的選法？

從15個學生中任選3人分別參加語數外三門課程的競賽，共有幾種不同的選法？……

通過分析可知以上的幾個例題都是前者涉及組合知識點、后者涉及排列知識點，這樣把易混淆的問題擺出來，比較分析，不但能加強學生對概念的理解，而且能提高教學效果。

二、認真審題，多角度分析問題

下面介紹幾種有條件限制的排列組合應用題的常用解法：

1.插空法

把甲、乙兩類不同的元素安排在一起，求甲類元素不安排在一起的方法總數，一般是先安排乙類元素，然后在乙類元素之間的空檔中選出部分安排甲類元素，最后由乘法原理得到所求的結果。

例1：4本不同的數學書、3本不同的語文書放在同一層書架上，要求4本數學書必須分開，有多少種排法？

解：第一步，先排語文書有P種排法；

第二步，在3本語文書之間（包括兩端）的4個空檔中插入數學書有P排法；

最后根據分步原理共有：P•P=144（種）。

2.特殊優先法

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組臺問題，我們可先從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其它元素或位置，這種解法叫做特殊優先法。

例2：特殊位置――由0、1、2、3、4可組成多少個沒有重復數字的三位數？

解：百位是特殊位置（不能選0），所以先排百位有P種排法，再排個位和十位有P種排法，據分步計數原理有：P•P=48（個）。

例3：特殊元素――七個人站成一排照像，若甲不站在兩端，有多少種不同的排法？

解：甲是特殊元素（不站在兩端），所以從中間五個位置中選一個位置安排甲，有P種站法，然后其他六名人在其余6個位置上，有P種站法，據分步計數原理共有：P•P=3600（種）站法。

3.捆綁法

對于帶有附加條件是某些元素必須相鄰的排列組合問題，可以把這些要求相鄰的元素作為一個整體捆綁在一起，看成一個“新元素”參與排列或組合，但還要注意這個整體內部元素之間是否有序。

例4：7個人站成一排照像，甲乙丙3人必須站在一起的排法有多少種？

解：把甲乙丙3人看成一個整體，問題就轉化為“5人”，有P種站法，“甲乙丙”整體有種站法，據分步計數原理共有P•P=720（種）站法。

4.換位思維法（間接法）

如果從正面思考問題比較困難的話，我們可以換一種思維方式思考，也許問題就迎刃而解了。

例5：現從6名男生和4名女生中，任選3名同學參加學校朗誦比賽，則至少有一名女生當選的選法有多少種？

解：“至少一名女生”就等價于“排除三個全選男生”。從10名學生中任選3名有C種選法，其中全選男生的選法有C種，那么至少有一名女生的選法有：C-C=100（種）。

除此以外還有分類討論法和樹圖分析法，這七種方法只是我們常用的思考方法，并非是解題方法的分類。對于一些較復雜的有條件限制的排列組合問題，還需要綜合應用多種思考方法。

三、以學生為主體，充分調動學生的積極性

在教學過程中，要讓學生主動參與，針對排列組合教材的特點，要盡可能地為學生提供參與解題的機會，當學生遇到困難時，予以適當的提示。例如：有6本不同的書分給甲、乙、丙三個人，（1）如果每人分得2本，有多少種分法？（2）如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少種分法？（3）如果1個人得1本，1個人得2本，1個人得3本，則有多少種分法？

給出題目后，讓學生相互之間充分地討論，在討論中得出相應的解法，對于學生的錯誤要及時發現并予以解釋糾正。在這樣一個學生參與解題的過程中，會自然而然幫助學生養成良好的分析問題的習慣，掌握正確的分析方法，從而培養探索的精神和毅力。

總之，在排列、組合的教學中，教師應研究不同的教學方法，隨機應變，轉換策略，使學生在做題時，思維進退自如，得出正確結果。當然，教師還需不斷探索，不斷總結，使自己的教學工作上一個新的臺階。

篇5

一、加大兩個計數原理、排列與組合的對比力度

分類計數原理和分步計數原理的知識的應用貫穿著排列組合及概率的學習，是學好這部分知識的關鍵.如果對分步計數原理和分類計數原理的理解不充分，就會影響解決排列組合問題的準確性.而且近幾年高考將側重點放在兩個計數原理的考查上.所以在進行這兩個原理的教學中一定要講清講透.我的做法是，先通過教材（人教A版）給出的問題利用列舉法得出答案，讓學生對分類、分步有初步的了解，分析兩個問題的區別，明白類和步的區別，使學生清楚“類”和“類”是相互獨立的，任何一類辦法中的一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法數就用分步計數原理；“步”和“步”是相互依存、缺一不可的，完成一件事需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，求完成這件事的方法數就用分步計數原理.最后總結出：分類相加，分步相乘.然后再做一些深化鞏固練習.為了激發學生的興趣并與高考接軌，可以讓學生練習一些高考題.

【例1】（2012年高考全國卷理，11）將字母a，a，b，b，c，c排成三行兩列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，則不同的排列方法共有（）.

A.12種B.18種C.24種D.36種

師生互動：先排第一行第一列，可以在a，b，c中任意選一個，有三種方法；再排第一行第二列，可以在剩下的兩個字母中任意選一個，有兩種方法；最后排第二行第一列，有兩種方法.排完這三個位置后其他位置的字母就確定了，完成這件事分3步，所以用乘法.可得3×2×2=12種.

【例2】（2012年高考北京理，6）從0，2中選一個數字.從1、3、5中選兩個數字，組成無重復數字的三位數.其中奇數的個數為（）.

A.24B.18C.12D.6

師生互動：組成的三位數可以分成兩類：奇偶奇，和偶奇奇.第一種先填個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（2種選擇），共12種；如果是偶奇奇，同理，個位（3種選擇），再十位（2種選擇），最后百位（1種選擇），共6種，因此共有12+6=18種情況.得到結果后再來與學生一起分析用乘法或加法的原因.這樣設計使學生從具體到抽象到具體地去掌握兩個原理，符合人的認識規律.

而區分某一問題是排列還是組合問題，關鍵看選出的元素與順序是否有關.若交換兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題；若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即有序排列，無序組合，并用例題來說明.在教學中加大分類與分步計數原理、排列與組合的對比力度，就能強化它們在學生頭腦中的可辨別性，避免在解題中產生混淆.

二、把抽象轉化為具體

教育家杜威曾說：“教學絕對不僅僅是簡單地告訴，教學應當是一種過程的經歷，一種體驗，一種感悟.”對于排列組合的應用題，學生覺得比較難，主要還是因為排列組合的抽象性.如果能把抽象的數學學習變得具體形象起來，把問題與學生的生活緊密聯系，就能使學生體驗到生活中的數學是無處不在的，從而培養學生的觀察能力和解決實際問題的能力.如對于這樣的問題：4名同學分別報名參加學校的足球隊、籃球隊、乒乓球隊，每人限報其中的1個運動隊，不同的報名方法種數是多少？剛開始解決這類問題時學生老弄不清是34還是44.我是這樣處理的：在講臺上準備3個盒子，分別寫上足球隊、籃球隊、乒乓球隊，先讓一名學生上來選隊，選上哪個隊就把紙團扔到哪個盒子里，問：1號同學有幾種選擇？生：3種.師：完成選球隊這件事了嗎？生：沒有.師：2號同學上來選.通過這樣的過程，學生知道每個同學都有3種選擇，只有當4位同學都選完球隊后才完成這件事，根據分步計數原理，得3×3×3×3，即34.這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛.同時，學生也能順利地解決這個問題.又讓學生做鞏固練習：汽車上有乘客10人，沿途有5個車站，問乘客下車的方式有幾種？有些學生能迅速地得到答案，有些學生覺得難以下手.我對一個學生說：假設你在車上，可以有幾種下車方式？通過引導，最后大部分學生都可以得到正確的答案.由此可見，對于排列組合中的許多抽象問題，讓學生變成題目當中的人，使學生身臨其境，成為解決問題的決策者，充分發揮了學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，達到解決問題的目的.

三、注意解題方法、解題策略的歸納總結

認知結構是人們頭腦中的知識結構，它具有整體性和概括性.認知心理學認為，認知結構的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學習的保持與遷移.經常有學生說：上課聽得懂，但課后不會做.這些學生在解題過程中，不會利用或利用不好已學的相關知識，找不到解題途徑或解題方法，以致解題速度不快、解答過程繁雜、解答結果出現重復或漏缺等.這時需要教師引導學生進行必要的反思，提升學生的解題能力.不能就題論題，問題解決后要引導學生進行必要的總結.如，有限制條件的排列問題的解題策略：特殊位置、特殊元素要優先考慮；相鄰問題先捆后松，不相鄰問題見空插入，分組問題等.通過例題的講解再加以概括，使學生真正掌握解題的策略.如：7人站成一排，甲不站兩端，有幾種站法？引導學生明白7人排隊，與順序有關，這是一個有條件限制的排列問題，可以通過分步及排列知識來解答.不少學生先考慮甲，有5個位置可以站，其他6個人可以隨便地站6個位置，得到A15A66；師：可以先考慮前后兩個位置嗎？由學生思考，回答：前后兩個位置可以由甲以外的6個人中選兩個來排，其他5個位置由包括甲等5人來排，共有A26A55；讓學生比較兩種解法，并發現其結果是一樣的.前一種方法考慮人（元素），后一種方法考慮位置.教師歸納出特殊元素法和特殊位置法.在巡視和學生回答的過程中發現有的學生先考慮甲站在哪，又考慮前后兩個位置可以站什么人，出現了思維混亂.強調：在解題過程中，應以某一元素（或位置）為軸心展開討論，不能一會以這個元素來展開，過一會又以位置來展開，這樣會造成思路不清，引起重復或遺漏.再如：

【例3】（2012年高考遼寧理，5）一排9個座位坐了3個三口之家，若每家人坐一起，則不同的坐法種數為（）.

A.3×3！B.3×（3！）3

篇6

關鍵詞：高中數學 排列組合 素質教育 能力培養

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性，可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：

1、占位子問題

例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？

①仔細審題：在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目：在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，我將題目轉換為：

讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？

③解決問題：這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性已經得到了極大的提高），班上其他同學也都積極思考（充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據乘法原理得到結果為2×C=20（種）。這樣原題也就得到了解決。

④學生小結：接著我讓學生之間互相討論，根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）

⑤老師總結：對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。

2、分組問題

例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數，問這樣的五位數有幾個？

（本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結論是P×P）

①仔細審題：先由學生審題，明確組成五位數是一個排列問題，但是由于這五個數來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉換。

②轉換題目：在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉換，有一位同學A將題目轉換如下：

從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法？

③解決問題：接著我就讓同學A來提出選人的方案

同學A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P×P種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法；最后由乘法原理得出結論為（P×P）×（P×P）（種）。（這時同學B表示反對）

同學B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P×P.（同學們都表示同意，但是同學C說太蘩）

同學C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是C×C×P（種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）

這樣原題的解答結果就“浮現”出來C×C×P（種）。

④老師總結：針對這樣的“分組排列”題，我們多采用“先選后排”的方法：先將需要排列的對象選定，再對它們進行排列。

以上是我一節課兩個例題的分析過程，旨在通過這種方法的嘗試（教學效果比較明顯），進一步活躍課堂氣氛，更全面地調動學生的學習積極性，發揮教師的主導作用和學生的主體作用，讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題，解決問題。

篇7

筆者認為之所以學生“怕”學排列組合,主要還是因為排列組合的抽象性,那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化,我們不妨將原題進行一下轉換,讓學生走進題目當中,成為“演員”,成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣,活躍了課堂氣氛,還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性,讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發,逐步適應排列組合題的解題規律,從而做到以不變應萬變。當然,在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性、可操作性。

下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明:

一、占位子問題

例1:將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中,要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同,問有多少種不同的方法?

1.仔細審題:在轉換題目之前先讓學生仔細審題,從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手,清楚這是一個“排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

2.轉換題目:在審題的基礎上,為了激發學生興趣并進入角色,我將題目轉換為:讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上(已準備好放在講臺前),要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同,問有多少種不同的坐法?

3.解決問題:這時我再選另一名學生來安排這5位學生坐位子(學生爭著上臺,積極性已經得到了極大的調動),班上其他同學也都積極思考(充分發揮了學生的主觀能動性),努力地“出謀劃策”,不到兩分鐘的時間,同學們有了統一的看法:先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學,有C種方法,讓他們坐到與自己編號相同的凳子上,然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法,最后根據乘法原理得到結果為2×C=20(種)。這樣原題也就得到了解決。

4.學生小結:接著我讓學生之間互相討論,根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。(課堂氣氛又一次活躍起來)

5.老師總結:對于這一類占位子問題,關鍵是抓住題目中的特殊條件,先從特殊對象如特殊位子入手,再考慮一般對象,從而最終解決問題。

二、分組問題

例2:從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數,問這樣的五位數有幾個?

1.仔細審題:先由學生審題,明確組成五位數是一個排列問題,但是由于這五個數來自兩個不同的組,因此是一個“分組排列問題”,然后對題目進行等價轉換。

2.轉換題目:在學生充分審題后,我讓學生自己對題目進行等價轉換,有一位同學A將題目轉換如下:

從班級的第一組(12人)和第二組(10人)中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽,問有多少種不同的選法?

3.解決問題:接著我就讓同學A來提出選人的方案

同學A說:先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽,有P×P種選法;再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P×P種選法;最后由乘法原理得出結論為(P×P)×(P×P)(種)。(這時同學B表示反對)

同學B說:如果第一組的3個人先選了3門科目,那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P×P。(同學們都表示同意,但是同學C說太繁)

同學C說:可以先分別從兩組中把5個人選出來,然后將這5個人在5門學科中排列,他列出的計算式是C×C×P(種)。(再次通過互相討論,都表示贊賞)

這樣原題的解答結果C×C×P(種)就“浮現”出來。

4.老師總結:針對這樣的“分組排列”題,我們多采用“先選后排”的方法:先將需要排列的對象選定,再對它們進行排列。

以上是我一節課兩個例題的分析過程,旨在通過這種方法的嘗試(教學效果比較明顯),進一步活躍課堂氣氛,更全面地調動學生的學習積極性,發揮教師的主導作用和學生的主體作用,讓學生在互相討論的過程中學會自己分析轉換問題,解決問題。

篇8

1、相鄰問題捆綁法

例1 6名同學排成一排,其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )種。

A、720 B、360 C、240 D、120

解:因甲、乙兩人要排在一起,故將甲乙兩人捆在一起視作一人有 種排法,與其余四人進行全排列有 種排法,由乘法原理可知,共有 =240種不同排法,故選(C)。

點評:從上述解法可以看出,所謂“捆綁法”,就是對元素進行整體處理的形象化表述,體現數學中的整體思想。對于以“某些元素必須相鄰”為附加條件的排列組合問題,只要把必須相鄰的元素“捆”成一個整體,視作一個“大”元素,再考慮相鄰元素內部的排列或組合,就能保證這些元素相鄰而不散亂。

訓練: 3名男教師,3名女教師,6名學生站成一排,要求男教師和女教師必須站在一起,且教師不站在兩端,則一共有多少種站法?

2、相隔問題插空法

例2 排一張5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單

(1) 任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種?

(2) 舞蹈節目和歌唱節目間隔排列的方法有多少種?

解:(1)先排歌唱節目有 種,歌唱節目及兩端有6個空位,從這6個空位中選4個放入舞蹈節目,共有 種方法,所以任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有 種。

(3)先排舞蹈節目有 種排法,在舞蹈節目和兩端有5個空位,恰好供5個歌唱節目放入,所以舞蹈節目和歌唱節目間隔排列的方法有 種。

訓練:若將例題當中的“4個舞蹈節目”改為“5個舞蹈節目”,求舞蹈節目和歌唱節目間隔排列的方法有多少種?

點評:從解題過程可以看出,“插”的策略是解決排列與組合中若干特殊元素互不相鄰問題的常用手段。在具體操作時,可以先將其它元素排好,再將所指定的不相鄰的元素“插入”到它們的間隙及兩端位置,從而保證它們不相鄰。

3、限定問題優限法

例3 由數字0,1,2,3,4,5可組成多少個無重復數字的四位偶數?

解:因所求是偶數,所以個位必須是0,2,4中的任何一個,又首位不能為0,所以分個位為0時有 種,個位不為0時有 種。所以共有 種。

點評:所謂“優限法”,即有限制條件的元素(或位置)在解題時優先考慮,本題對四位偶數中的個位數字有特殊要求,首位數字又不能為0,故優先考慮。

訓練 本例條件不變,問題改為“求能組成多少個無重復數字且比2000大的四位偶數?”,應如何求解?

4、多元問題分類法

例4 三邊長均為整數,且最大邊長為11的三角形有多少個?

解:設三角形的另外兩個邊分別為x和y,且不妨設 ,要構成三角形,必有 則分類討論如下:

當y為11時,x可以為:1,2,3,…,11,可有11個三角形;

當y為10時,x可以為:2,3,4,…,10,可有9個三角形;

當y為9時,x可以為:3,4,5,…,9,可有7個三角形;

當y為8時,x可以為:4,5,6,7,8,可有5個三角形;

當y為7時,x可以為:5,6,7,可有3個三角形;

當y為6時,x可以為:6,只有1個三角形;

所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36個。

點評:元素多,取出的情況也多種,可按結果要求,分成互不相容的幾類情況分別計算,最后總計。

訓練 某城市在中心廣場建造一個花圃,花圃分為6個部分,如圖,現要栽4種不同顏色的花,每一部分栽種一種且相鄰部分不能栽同種顏色的花,不同的栽種方法有多少種?

5、標號排位問題分步法

例5 同室4人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡,則四張賀年卡的分配方式有( )

A. 6種 B. 9種 C. 11種 D. 23種

? 解:此題可以看成是將數字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數,且每個方格的標號與所填數不同的填法問題。所以先將1填入2至4號的3個方格里有 種填法;第二步把被填入方格的對應數字,填入其它3個方格,又有 種填法;第三步將余下的兩個數字填入余下的兩格中,只有1種填法。故共有3×3×1=9種填法,而選B。

點評:把元素排在指定號碼的位置上稱為標號排位問題。求解這類問題可先把某個元素按規定排放,第二步再排另一個元素,如此繼續下去,依次即可完成。

訓練: 將標有1,2,…10的10個小球投入同樣標有1,2,…10的圓筒中,每個圓筒都不空,且所投小球與圓筒標號均不相同的投法共有多少種?

6 自由選擇問題住店法

例6 現有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座,每名同學可自由選擇其中的一個講座,不同的選法的種數是( )

A B C D

解:6名同學每人都可以在5個課外知識講座中任選一種,所以均有5種選法,故總共有 種,選 A 。

點評:自由選擇問題可以看成“顧客住店”問題。每名顧客(元素)都可以任意選擇旅店(位置),因而每個元素都有位置數種選法,所以總方法為 種。

訓練:某同學要將標有1,2,3,4,5,6的6封信投遞出去,現有三個不同的信箱供選擇,則有多少種不同的投遞方法?

7 分配問題隔板法

例7 高一年級7個班級要組成籃球隊,共需10名隊員,每個班級至少要出一名,則不同的組成方法共有多少種?

解: 由于10名隊員來自于7個不同的班級,每一個班級至少要一名,所以問題相當于將10名隊員分成7組,10名隊員并排站立中間有9個空格,在這9個空格中插入6個隔板就將10名隊員分成了7組,每一組來自于一個班級,即得到了不同的組成方法共計 種.

點評:“隔板法”所解決的問題有以下特征:(1)被分的元素不加以區別;(2)被分的元素的個數不小于分得的組數;(3)每個小組至少分得一個元素。具備這些條件時就可以用公式:將 個相同元素分成 份 時,有 種分配方法

訓練: 將10個相同的小球裝

入3個編號分別為1,2,3的盒子當中,每次將10個球裝完,每個盒子里的球的個數都不小于合資的編號數,則不同的裝法共有多少種? 8 定序問題縮倍法

例8 A、B、C、D、E五個人并排站成一排,如果B必須站在A的右邊(A、B可以不相鄰),那么不同的排法的種數是()

? (A)24 (B)60 (C)90 (D)120

解:B在A的右邊與B在A的左邊排法數相同,所以題設的排法只是5個元素全排列數的一半,即 60種,故選(B)。

點評:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題,這類問題用縮小倍數的方法解決比較方便快捷。

訓練: 從1,2,3,4,5五個數字當中任選3個組成一個三位數,其中十位比個位數字大的三位數共有多少個?

9 有序分配問題逐分法

例9 有6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?

(1) 平均分給甲、乙、丙三人;

(2) 甲得一本,乙得兩本,丙得三本;

解:(1)每人得2本,可考慮甲先在6本書中任取2本,取法有 種,再由乙在余下的書中取2本,取法有 種,最后由丙取余下的2本,有 種取法,所有取法為 種。

(2)選取方法同(1),所以共有取法數為 種。

點評:有序分配問題是指把元素按要求分成若干組,常采用逐步分組法求解。

訓練:有11名外語翻譯人員,其中5名是英語譯員,4名是日語譯員,另外兩名英、日都精通,從中找出8人,使他們能組成兩個翻譯小組,其中4名翻譯英語,另外4名翻譯日語,這兩個小組能同時工作,問這樣的8人名單共可開出幾張?

10 匹配問題配對法

例10 從6雙不同型號的鞋中任取4只,其中恰有兩只配成一雙的取法有多少種?

解:先在6雙鞋中任取一雙有 種取法,再在余下的5雙中任取兩雙,每雙中各取一只有 種取法,所以總取法有 種。

點評:“配對法”就是將兩個相關元素之間建立一一對應關系,如鞋子配對,鑰匙和鎖配對,比賽選手和比賽場次配對等,利用這些對應關系,使得比較雜亂的問題簡單化,解答思路明晰化,能夠將難度分步化解,提升解答準確度。

訓練:有111名選手參加乒乓球比賽,比賽采取單淘汰制,需要打多少場比賽才能產生冠軍?

11 選排問題先選后排法

例11 有6名男醫生,4名女醫生,從中選3名男醫生和兩名女醫生到5個不同的地區巡回醫療,但規定男醫生甲不能到地區A,共有多少種不同的分派方法?

解:分兩類:

第一類:甲被選,共有 種分派方法;

第二類:甲未被選,共有 種分派方法;

所以共有 種分派方法。

點評:本題中不僅要選出5名醫生(元素),還要求分配到5個地區(空位),因此是一道“既選又排”的排列組合綜合問題,解決這類問題的方法是“先選后排”,同時要注意特殊元素、特殊位置優先安排的原則。

訓練:從1到9的九個數字當中取出三個偶數四個奇數,試問:

(1) 能組成多少個沒有重復數字的七位數?

(2) 上述七位數當中三個偶數排在一起的有幾個?

(3) (1)中的七位數當中,偶數排在一起奇數也排在一起的有幾個?

12、至少問題間接法

例12 課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名隊長。現從中選5人主持某種活動,至少有一名隊長當選的選法有多少種?

解:在選取的人員當中,總的選法有 種,不包含隊長在內的有 ,所以總的選法有 種。

訓練: 從甲、乙等10名同學當中挑選4名參加某項公益活動,要求甲、乙中至少有1人參加,則不同的挑選方法共有多少種?

點評:含“至多”或“至少”的排列組合問題,通常用分類法,但是往往分類較多,討論起來難度較大。本題所用的解法是間接法,即排除法(總體去雜),適用于反面情況明確且易于計算的情況。

13多排問題單排法

例13 兩排座位,第1排3個座位,第2排5個座位。若8名學生入座(每人1個座位),則不同的座法有多少種?

解:因8名學生可以在前后兩排座位中隨意入座,再無其他條件,所以兩排座位可以看成一排來處理,故不同的座法有 種。

點評:把元素排成幾排的問題,限定條件若不影響問題歸結為一排考慮,那么就將多排問題化為一排,再分段處理。

訓練:12名同學合影,站成前排4人,后排8人。

(1) 總共有多少種不同的站法?

(2) 攝影師要從后排8人中抽調2人到前排,其他人順序不變,總共有多少種調整方法?

14交叉問題集合法

例14 從6名運動員中選出4名參加4×100米接力賽,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方法?

解:設全集I={6人中任取4人參賽的排列},A={甲跑第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根據求集合元素個數的公式可得參賽方法共有: (種)。

說明:某些排列組合問題幾部分之間有交集,可用集合中求元素個數的公式: 來求解。

訓練:從7名運動員當中選出4人參加4×100米接力,求滿足下列條件的安排方法數:(1)甲、乙二人都不跑中間兩棒;(2)甲、乙二人不都跑中間兩棒。

15 多排問題剔重法

例15 用5個數字0,1,1,2,2,組成的五位數總共有多少個?

解:特殊元素0先排,不能排在萬位,有 種排法,1與2共有 種排法,剔除掉11與22的重復排列,共得五位數有 個。

點評:元素在排列過程當中出現重復排列稱之為多排,所以在總排列數當中應該剔除掉重復排列。

篇9

我們都知道"0"很特殊：數字"0"在排列構成整數中不能放在首位；末尾是"0"的數一定是偶數，一定能被10整除等等。因此在有"0"時我們一般要特殊處理，優先考慮"0".

例1：用數字0，2，3，4，5五個數字，組成沒有重復數字的三位數，其中偶數共有多少個？

分析：由于該三位數為偶數，故末位數字必然為偶數。還要注意的是"0"不能排在首位。所以這里我們將"0"視作特殊元素，應該優先安排，按"0"在末尾和"0"不在末尾分為兩類：（1）"0"排末尾時，只需要在剩下的4個數字中選出2個數字排在十位和百位，有A42=12種；（2）"0"不排在末尾時，應該從2，4這兩個數字中選出一個排在末尾，然后再從剛才選中的這個數和"0"以外的3個數中選出一個排在百位，最后再從剩下的三個數中選出一個排在十位，故有C12 C13C13=18種。由分類計數原理可知本題的正確答案為30個。

2.若干個數字排列與指定數做比較

這一類問題通常是告訴你某幾個數字來排列成一個不重復的幾位數，問排出來有多少個數比已知數大；或者問某一個數按大小順序排出來應該在第幾位。針對這類問題我們需要對這個數的每一個數位逐一考察，形如查字典，因此我們把這種方法稱為"查字典法"。

例2，用1，2，3，4四個數字無重復數字的四位數，有多少個數比2314大？

分析：（1）首先如果某個數的首位排3或4，那么這個數的后面幾個數位無論怎么排都比我們的2314大，這時有2A33=12個；

（2）如果某個數的千位排的是2，它的百位是4，那么這個數后面的十位和個位無論怎么排都比2314大，這時有A22=2個；

（3）如果某個數的千位排的是2，它的百位是3，十位是4那么這個數后面的個位只能是1，它比2314大，這時有1個；

（4）如果某個數的千位排的是2，它的百位是3，十位是1，個位只能是4，它不比2314大，這時有0個。

由分類計數原理可知一共有：2A33+A22+1=15個數滿足題意。

這是這一類問題中比較簡單一點的問題，有時幾種特殊條件綜合在一起，需要我們引起高度的重視。比如我們一起來看下面的例3：

例3：用0， 1， 2， 3， 4五個數字組成無重復數字的四位數 ， 若按從小到大排列 ， 3204是第幾個數？

分析：這個問題實際上是：看排成的四位數中有多少個比已知數3204小。

解 ：由高位到低位逐級分為 ：

（1） 千位是1或2時 ， 無論后面的三個數位怎么排列都比3204小，這時有A12A34 =48個；

（2）①千位是3時，當百位排0， 1時 ， 后面的兩個數位無論怎么排這個數都比3204小，有2A23 =12個； ②千位是3時，當百位排2時 ， 比3204小的僅有3201，有1個。

所以，比3204小的數一共有48+12+1=61個數，3204是第62個數。

3.循環問題

關于這一類問題，一般中學里面不會做深入的研究，但是循環排列在中學競賽中是有所涉及的。大學里面的初等代數，圖論組合課程研究的比較多，這里我們做一個簡單的介紹。如果是n個元素循環排列，那么它的排列種數共有（n-1）！ 種。因為我們知道一個循環它是沒有固定起點，終點的，排列好后它可以以任何一個元素作為起點，終點也就隨之確定。所以它的排列種數為n1/n=（n-1）！。

例：學生6人，教師2人，師生8人圍桌而坐，在下面幾種約束條件下各有幾種不同的坐法？

（1）不加任何限制；

（2）兩位教師必須在相鄰的位置；

（3）兩位教師不相鄰。

解：（1）這顯然是一個很直接循環排列問題，由題易知有8！/8=（8-1）！=5040種坐法；

（2）這是在循環排列的基礎上要求了其中兩個元素必須相鄰的情況，首先把這兩個教師捆在一起作為一個元，則相當于7個元素循環排列，其次兩位教師的內部是需要講順序的，所以，一共有7！7×2！=1440種；

（3）這是在循環的基礎上要求了其中兩個元素不相鄰的情況，首先把6位學生排列好，則相當于6個元素循環排列，最后兩位教師再插空且是需要講順序的。所以，一共有6！6×A36=3600種。

當我們看了以上的例題后發現：其實循環排列和一般排列臉有在考慮總體排列情況時存在差別，形如相鄰，不相鄰這類問題的處理方法是一致的。

篇10

排列組合知識內容抽象，方法獨特而且影響悠遠，是進行思維訓練和能力培養的絕好智能教材.加法原理和乘法原理是人們處理離散對象的計算原理.它像一條紅線貫穿教材始終：從推導排列數，至組合數公式，至處理應用問題，至推導概率公式，至反復應用，最后到步步加深，這是一個循序漸進過程.要具備分析處理問題的實際能力，在教學和復習中就必須一切圍繞對加法原理和乘法原理的理解和應用展開，在反復應用中加深理解，進而達到形成數學思想和提高學習能力的高度.

一、循序漸進，環環相扣

在加法原理和乘法原理的應用中安排了介紹原理、推理原理、解應用問題，必須使這幾次循環每次都有所側重，每次都有質的飛躍.側重引導學生分清、分類與分步的區別和聯系.加法原理需理解各類辦法的互斥性，對乘法原理，明確各個步驟聯系性，缺一不可是前提，重點強調對于完成上一步的任意一種方法，下一步都有同樣多種方法，這才能用乘法原理.對應，應在每一個例題和練習中強調，讓學生從開始就注意到應用兩個原理的條件.

在導出排列數、組合數公式時，側重于強調元素的互異性，從而使學生認識排列數、組合數公式應用的局限性；同時應用乘法原理說明兩個公式間的內在聯系，運用兩分法，講清組合數的兩個性質公式.有比較才有鑒別.可以對比安排一些元素來重復排列、組合問題，可使學生加深對公式適用條件的印象，同時也有利于更進一步熟悉加法原理和乘法原理.如：（1）三封信投入四個信箱，有多少種不同投法？（2）某縣使用7位電話號碼，前兩位都用2，其他各位不限，問該縣最多可安多少部電話？（3）6名同學報名參加音樂、美術、體育三個課外興趣小組，每人限報一個，有多少種報名方法？

在解應用題教學中重點集中在對加法原理和減法原理應用條件的理解和運用上.教材的例題和習題既典型又符合學生的認知水平，對它們應引導學生多問幾個為什么，多從不同角度、不同方向去探索應用兩個原理分析處理問題的方法，充分挖掘每個題目的不同解題方案.例如，從1，3，5，7，9中任取三個數，從2，4，6，8中任取兩個數，組成沒有重復數字的五位數，一共可以組成多少個數？若先選元素后排列為C35C24P55=7200（個）；若先選位子，即先從5個位子中選定了3個放奇數（或從5個位子中選2個排偶數），再分別選排元素則為C35 P35 P24（或C25 P24 P25）=7200（個）.

適當選擇既典型又聯系實際貼近生活且難易適中的課外練習題，引導學生自覺用兩個原理去設計不同的解題方案.如3封信投4個郵箱，用乘法原理得43種投法固然簡便，但若用加法原理，分成分別由一個、兩個、三個郵箱去接受三封信這三大類，則得C14+C24C23P22+C34P33=64（種）投法.又如，10 名劃船運動員，其中5名擅長劃左舷，3人擅長劃右舷，另兩個左右都行，今從10人中選6人均分到船的兩舷，有多少種選法？首先確定劃右舷的人，可以兩個左、右舷都行的人不參與劃右舷、有一個參與、兩個人都參與分類，則得C33 C37+ C23 C12 C36+ C13 C22C35=185（種）選法；若先定劃左舷的人，則得C35C35+ C25 C12 C34+ C15 C22 C33=185（種）選法.若先把劃左、右舷都行的人安排后再選配其他人，則須分兩人全安排、只排一人、兩人全不安排三大類，其中第一類又分全在右舷、全在左舷、一左一右三小類，第二類又分一人安排在左舷或右舷兩類，故共有（C22 C15 C33+ C22 C35 C13+ P22 C25 C23）+（C12 C25 C33+ C12 C35 C23）+ C35 C33=185（種）選法.此說明雖然都是加法原理，但分類的方案也可以是幾種.利用這些融知識性、趣味性融一體的問題，引導學生擺脫死板的模式，設身處地用加法原理和乘法原理去設計解題方案，對于消除畏難情緒，提高解題能力大有裨益.

不同側重點的講解和應用，學生初步形成應用處理簡單應用題的能力和歸類、分步的數學思維雛形.

二、總結要點，培養能力

1.回顧教學過程，緊扣教材，理清思路前后貫通，使學生充分認識加法原理和乘法原理的綱領作用.如圖所示.