導語：如何才能寫好一篇數的奇偶性，這就需要搜集整理更多的資料和文獻，歡迎閱讀由公務員之家整理的十篇范文，供你借鑒。

篇1

《義務教育課程標準實驗教科書小學數學》（北師大版）五年級上冊第14、15頁

教學目標：

1.在實踐活動中認識奇數和偶數，了解奇偶性的變化規律。

2.嘗試運用“列表”“畫示意圖”等方法發現規律，運用數的奇偶性解決生活中的一些簡單問題。

3.在活動中體驗研究方法，提高推理能力。

教學重點、難點：

探索并理解數的奇偶性，能應用數的奇偶性分析和解決生活中的一些簡單問題。

教學用具：方格紙

教學過程：

一、“涂數”識奇偶

1.活動導入：同學們，今天咱們要用涂兩列方格的方法來表示自然數。教師示范涂方格的步驟：從左往右，自下而上涂。涂完之后，還要寫出你涂完的圖形表示的是哪個數？

2.教師收集有共性的學生作業，進行當場展示，并提出疑問：仔細觀察這些圖形它們有什么共同的特點呢？會不會有第三種情況？

3.將方格紙的圖形和其所代表的數字相對應，明確偶數和奇數的數字概念和圖形標志。在活動中我們發現任意的一個奇數在兩列方格中的“形狀”始終是最上面多一格，不管一個多大的偶數，它的“形狀”是一個長方形。

4.結合上述發現，判斷33、27、250、230、2 777、3 332、2 569、2 758，它們是還是?

【設計意圖】在學生已有知識經驗的基礎上，通過開展“涂數”活動，發現在兩列方格中奇、偶數有著兩種截然不同的“形狀”，而產生這樣形狀差異的根本原因正是由奇、偶數的本質特征所決定的，即是不是2的倍數所決定的。以“數形結合”的數學思想方法橫向拓展豐富了學生對奇、偶數的認識，在學生的大腦中形成了鮮明的“形”表象，形象、簡單而真實。

二、“變數”知變化

1.出示“變數”猜想單，鼓勵學生大膽猜想。

“變數”猜想單

奇數+奇數=() 偶數+奇數=()

奇數-奇數=() 奇數-偶數=()

偶數+偶數=() 偶數-奇數=()

2.引導學生通過舉例子、方格組合的方法驗證自己的猜想。

5+5=108-3=59-5=4

奇數+奇數=偶數偶數-奇數=奇數 奇數-奇數=偶數

【設計意圖】在第一個“涂數”環節中，學生已經建立起鮮明的“奇、偶數”的表象特征，有了數形結合思想方法的滲透。在第二個“變數”環節中解釋“奇、偶數在加減法中的關系時”，引導學生主動大膽地利用方格演示自己的想法、驗證自己的猜想，從不完全歸納法的有限中尋找到奇、偶數之間進行加減法的法則，使學生了解奇、偶數運算中的諸多變化。正是數與形的巧妙結合，給學生帶來了“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的驚喜，提升發展了學生的思維水平和學習能力。

三、“用數”明應用

1.包含數的奇偶性原理的生活現象：小船最初在東岸，從東岸駛向西岸，再從西岸駛回東岸，不斷往返。小船擺渡1 234 567次后，船在東岸還是西岸？

3.化難為易，發展替換思維。在解決“小船最初在東岸，擺渡1 234 567次后是在西岸還是在東岸？”這樣較為復雜的問題時，首先，引導學生判斷1 234 567的奇偶性，進而化難為易，調動替換思維，研究“小船擺渡11次后，船在東岸還是西岸？”在有限的數字中尋找解決問題的多種方法。

2.數形結合，鼓勵學生探索多樣化的解題策略，如箭號圖、列表法、列式法等。

3.關注“初始狀態”，提高細節觀察能力。引導學生關注小船一開始時的停泊位置，思考不同的起始位置是否會帶來不一樣的結果？關注問題的條件性和可能性。

4.提出相似問題，鞏固知識的遷移能力。引導學生提出類似的數學問題并展開討論，如數學課本翻動了199次之后，是正面朝上還是反面朝上？

【設計意圖】在“用數”這一活動中創設情境，激發學生的學習興趣，化難為易，引入探究小船擺渡11次的問題，讓學生著重經歷小船擺渡的過程，并鼓勵學生采用畫圖、列表等方式感受奇、偶性的規律，在學習方式的梳理過程中，關注細節，進而形成有效解決問題的方法策略。“天下難事，必作于易；天下大事，必作于細”這一學習和做人道理的引入更是此環節教學的一大亮點。

課淡如菊

中國歷來以淡為最。說友情，是君子之交淡如水；談賞花，是淡極始知花更艷；憶情懷，也是淡墨輕衫染趁時；講保健，更是淡食得以養生。應該說，在國人看來，唯有去除種種炫目的包裝，方能凸顯本質，達到真、善、美的境界，所以才有這句經典話語――“平淡最真”。

湯其鳴老師的課亦有此等韻味。在這場省小學數學觀摩評選活動中，多數教師都準備了精美的課件、有趣的活動，她卻沒有。她的課件極其簡單，連背景都是素白的；她的教具也十分普遍，是學生常見的方格板。她甚至連女教師常有的熱情語調、迷人笑容都沒有。但是她端莊沉穩的教態、不疾不徐的語速卻給聽課者留下了極為深刻的印象。當她以兩個簡單的方格板來演示數的奇偶性時，全場都為之震撼，所有的思想聚焦于一點――剎那即永恒。

數學思想如同淡墨山水般徐徐展開，串起了孩子們深深淺淺的記憶。一張張白紙上畫滿了學生對生活經驗的提煉，對數學知識的理解。來與去，單數和雙數；東與西，奇數和偶數，一系列的排演化成了一個個簡練的算式；一大堆的公式精簡成兩片普通得不能再普通的方格板。沒有人想過，具有無窮大的奇數和偶數集合居然可以如此詮釋。就是這兩片方格板，解開了眾多數學教師心中的疑問：數的奇偶性該怎么向學生解釋？奇數+奇數=偶數，奇數+偶數=奇數……這一系列的公式該怎么讓學生驗證？沒有人能夠舉完所有的奇數或偶數，那么，如何才能用有限代表無窮呢？面對此問題，華麗的語言、豐富的活動顯得那么的蒼白無力。嚴謹的數學應該以最樸素的方式來解釋，這才是真理。我不由得想起一句詩，“繁華落盡見真淳”。

不必有過多的渲染，不必有太多形于外的方法手段，藝術的最高境界就在于“燈火闌珊處”的那一“驀然回首”。當所有的課都上完的時候，才發現，那些精美的課件，那些熱情洋溢的話語，遠遠比不上湯老師用平穩的語調、樸素的手段所留給我們的印象來得深刻。就是用如此平淡的方式，湯老師把化難為易、化簡為繁、數形結合等一系列數學思想深深地刻在了學生的腦海中。對數學沒有深刻理解的人，沒有大手筆大才華的人是做不到這一點的。湯老師可謂深得數學真味。

也許有人會說，數學和語文是對立的兩門學科。然而，當湯老師用平靜的語氣，引導學生演示那兩片方格板來說明“奇數+奇數=偶數”等公式的時候，我卻想起了陶淵明的名句：“采菊東籬下，悠然見南山。”南山，是陶淵明內心的思想境界嗎？此時，湯老師一襲橘黃色的連衣裙，站在講臺上。那一股淡淡的風味，猶如一株，映在兩片方格板上。人，淡如菊。課，亦淡如菊。人淡如菊，濃的是一種氣質，一種神韻；課淡如菊，濃的是一種思想，一種境界。

篇2

奇偶性和周期性是函數的又一重要性質，是高考熱點內容. 高考中以小題形式出現較多，也可能在解答題中作為條件給出，命題時主要考查奇偶性的概念，性質和圖象關系. 要求能綜合運用奇偶性，周期性，單調性解題，一般在5分左右.

命題特點

這部分內容主要在下述方面命題：（1）由奇偶性定義判斷函數的奇偶性. （2）利用函數奇偶性、周期性求函數值及求參數值. （3）考查函數的單調性與奇偶性的綜合應用. （4）對三種性質的綜合考查；借助函數圖象解決問題.下面通過例題體現命題特點.

1. 函數奇偶性的判斷

例1 判斷下列函數的奇偶性：

（1）[f（x）=（x-1）2+x2-x]；

（2）[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]；

（3）[f（x）=x2+x，x0.]

解析 （1）由[2+x2-x]≥0，得[-2≤x

即函數[f（x）]的定義域是[{x|-2≤x

故[f（x）]）為非奇非偶函數.

（2）由[（4-x2）>0，x-2+x+4≠0]得，[-2

即函數[f（x）]的定義域是[{x|-2

又[f（x）=lg（4-x2）x-2+x+4]=[lg（4-x2）2-x+x+4]

=[16lg（4-x2）]，

[f（-x）=16lg4--x2=16lg（4-x2）=f（x）].

所以函數[f（x）]是偶函數.

（3）當[x0]，

[f（-x）=-（-x）2-x=-x2-x=-f（x）.]

當[x>0]時，[f（x）=-x2+x，-x

[f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-f（x）].

[f（x）]是奇函數.

點撥 直接由奇偶性的定義判斷即可，但必須先考慮函數的定義域.判斷函數的奇偶性，其中包括兩個必備條件：（1）定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件；（2）判斷[f（-x）]是否等于[±f（x）]. 分段函數指在定義域的不同子集有不同對應關系的函數、分段函數奇偶性的判斷，要分別從[x>0]或[x

2. 利用奇偶性和周期性求值

例2 設函數[f（x）]是定義在[R]上的周期為2的偶函數，當[x∈[0，1]]時，[f（x）=x+1]，則[f（32）]= .

解析 當[x∈[-1，0]]時，[-x∈[0，1]]，

又[f（x）]為偶函數，[f（x）=f（-x）=1-x].

[f（x）]在[R]上的周期為2，

[f（32）=f（32-2）=f（-12）=1--12=32.]

答案 [32]

點撥 利用奇偶性和周期性求值主要是要通過性質將所求值轉化到已知，要求對性質運用要靈活.對于奇偶性和周期性往往會和對稱性一起應用，要注意總結一些基本規律.

3. 函數奇偶性的綜合應用

例3 （1）設[a∈R，f（x）=a?2x+a-22x+1（x∈R）]，試確定[a]的值，使[f（x）]為奇函數；

（2）設函數[f（x）]是定義在（-1，1）上的偶函數，在（0，1）上是增函數，若[f（a-2）-f（4-a2）

解析 （1）要使[f（x）]為奇函數，又[x∈R]，

需[f（x）+f（-x）=0].

[f（x）=a-22x+1]，

[f（-x）=a-22-x+1=a-2x+12x+1].

由[a-22x+1+a-2x+12x+1=0]得，

[2a-22x+12x+1=0]，

[a=1].

（2）由[f（x）]的定義域是[-1，1]知，

[-1

解得，[3

由[f（a-2）-f（4-a2）

因為函數[f（x）]是偶函數，所以[f（|a-2|）

由于[f（x）]在（0，1）上是增函數，所以[|a-2|

解得[a-1]且[a≠2].

綜上，實數[a]的取值范圍是[3

點撥 由奇偶性求參數值，應抓住奇偶性是函數的整體性質，利用等價性轉化為恒成立問題. 利用單調性將轉化為一般不等式求解.奇函數在對稱區間上單調性相同，偶函數對稱區間上單調性相反是我們解函數型不等式的關鍵，這種轉化行之有效.

4. 函數奇偶性與周期性的綜合應用

例4 設[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，且對任意實數[X]，恒有[f（x+2）=-f（x）]，當[x∈[0，2]]時，[f（x）=2x-x2].

（1）求證：[f（x）]是周期函數；

（2）當[x∈[2，4]]時，求[f（x）]的解析式；

（3）計算[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]的值.

解析 （1）因為[f（x+2）=-f（x）]，

所以[f（x+4）=-f（x+2）=f（x）]，

所以[f（x）]是周期為4的周期函數.

（2）因為[x∈[2，4]]，

所以[-x∈[-4，-2]，4-x∈[0，2]]，

所以[f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8].

又[f（4-x）=f（-x）=-f（x]），

所以[-f（x）=-x2+6x-8]，

即[f（x）=x2-6x+8，x∈[2，4]].

（3）因為[f（0）=0]，[f（1）=1，f（2）=0，f（3）=-1]，

又[f（x）]是周期為4的周期函數，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）]

=…=0，

所以[f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2014）]

[=f（0）+f（1）+f（2）=1].

點撥 本題首先要有條件求出函數的周期，再就要求利用奇偶性將對稱區間解析式求出來，最后利用周期性求值.周期中常見規律：[f（x+a）=-f（x）]，則[f（x）]周期為[2a]. 函數求值注意用周期，最后只需求一個周期即可. 函數的周期性常與函數的其它性質綜合命題，是高考考查的重點.

備考指南

（1）復習過程中要牢牢抓住奇偶性和周期性的定義，能快速準確判斷其性質是解題的前提.

（2）會將周期性，奇偶性之間關系相互轉化.

（3）充分理解奇偶性與單調性的關系，并由此解決函數不等式.

限時訓練

1. 已知函數[f（x）]為奇函數，且當[x>0]時， [f（x）=x2][+1x]，則[f（-1）]= （ ）

A. -2 B. 0 C. 1 D. 2

2. 設函數[f（x）]和[g（x）]分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是 （ ）

A. [f（x）+|g（x）|]是偶函數

B. [f（x）-|g（x）|]是奇函數

C. [|f（x）|+g（x）]是偶函數

D. [|f（x）|-g（x）]是奇函數

3. 已知[f（x）]在R上是奇函數，且滿足[f（x+4）=f（x）]，當[x∈（0，2）]時，[f（x）=2x2]，則[f（7）]等于 （ ）

A. -2 B. 2 C. -98 D. 98

4. 若[f（x）=x（2x+1）（x-a）]為奇函數，則[a]= （ ）

A. [12] B. [23] C. [34] D. 1

5. 已知定義在R上的奇函數[fx]和偶函數[gx]滿足[fx+gx=ax-a-x+2][a>0，且a≠1]，若[g2=a]，則[f2=] （ ）

A. [2] B. [154] C. [174] D. [a2]

6. 定義在R上的函數[f（x）]滿足[f（x）=f（x+2）]，當[x∈[3，5]]時，[f（x）=2-|x-4|]，則下列不等式一定成立的是 （ ）

A. [fcos2π3>fsin2π3] B. [f（sin1）

C. [fsinπ6f（sin2）]

7. 設函數[D（x）=1，x為有理數，0，x為無理數，]則下列結論錯誤的是 （ ）

A. [D（x）]的值域為{0，1} B. [D（x）]是偶函數

C. [D（x）]不是周期函數 D. [D（x）]不是單調函數

8. 設[fx]是定義在[R]上的周期為2的偶函數，當[x∈0，1]時， [fx=x-2x2]，則[fx]在區間[0，2013]上的零點的個數為 （ ）

A. 2013 B. 2014 C. 3020 D. 3019

9. 已知[f（x）]是定義在[R]上的偶函數，且以2為周期，則“[f（x）]為[0，1]上的增函數”是“[f（x）]為[3，4]上的減函數”的 （ ）

A. 既不充分也不必要的條件

B. 充分而不必要的條件

C. 必要而不充分的條件

D. 充要條件

10. 設函數[f（x）]（[x∈R]）滿足[f（-x）=f（x）]，[f（x+2）=f（x）]，則函數[y=f（x）]的圖象是 （ ）

A. B.

C. D.

11. 已知函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，當[x>0]時，[f（x）=x3+x+1]，則當[x

12. 已知[f（x）]是定義在[R]上的奇函數.當[x>0]時，[f（x）=x2-4x]，則不等式[f（x）>x]的解集用區間表示為 .

13. 對于定義在[R]上的函數[f（x）]，給出下列說法：①若[f（x）]是偶函數，則[f（-2）=f（2）]；②若[f（-2）=f（2）]，則函數[f（x）]是偶函數；③若[f（-2）≠f（2）]，則函數[f（x）]不是偶函數；④若[f（-2）=f（2）]，則函數[f（x）]不是奇函數. 其中，正確的說法是 .

14. 設函數[f（x）]是定義在[R]上的奇函數，且當[x≥0]時，[f（x）=x2]，若對任意的[x∈[t，t+2]]，不等式[f（x+t）][≥2f（x）]恒成立，則實數[t]的取值范圍是 .

15. 判斷下列函數的奇偶性.

（1）[fx=1-x2x+2-2]；

（2）[fx=x-11+x1-x]；

（3）[fx=3-x2+x2-3].

16. 已知[f（x）]是偶函數，且[f（x）]在[0，+∞）上是增函數，若[x∈12，1]時，不等式[f1+xlog2a≤fx-2]恒成立，求實數[a]的取值范圍.

17. 已知定義在[R]上的函數[f（x）]對任意實數[x，y]恒有[f（x）+f（y）=f（x+y）]，且當[x>0]時，[f（x）

（1）求證：[f（x）]為奇函數；

（2）求證：[f（x）]在[R]上是減函數；

（3）求[f（x）]在[-3，6]上的最大值與最小值.

18. 已知函數[f（x）=2x+k 2-x，k∈R].

篇3

【2012年高考廣東文4】下列函數為偶函數的是（ ）

A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■

【分析】研究函數的奇偶性主要在兩個方面：

1. 求出函數的定義域，通過數軸去看定義域是否關于原點對稱.2. 驗證函數表達式是否滿足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），滿足前一個等式是奇函數，后一個等式是偶函數，兩個等式都不滿足的是非奇非偶函數.

對于本題的四個選項的函數的定義域都是R，關于原點對稱．然后通過驗證函數表達式易知選項A 、B為奇函數，選項C為非奇非偶函數，對于D有f（-x）=In■=In■=f（x），為偶函數.此法稱為代數法.

另解：對于函數的奇偶性也可通過觀察函數的圖像進行快速判斷：奇函數的圖像關于原點對稱，偶函數的圖像關于y軸對稱.選項A，B，C都是常見函數，容易畫出它們的圖像，易看出A，B的函數圖像關于原點對稱，是奇函數，C的函數圖像既不關于原點對稱也不關于y軸對稱，是非奇非偶函數，因此都被排除，D是正確答案.此法稱為圖像法.

【答案】D.

小結：對于函數奇偶性的判斷問題，如果能夠畫出圖像的，優先考慮圖像法；圖像法解決不了的再考慮代數法.

變式訓練1：【2012年高考陜西文2】下列函數中，既是奇函數又是增函數的為（ ）

A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜

【解析】圖像法：容易畫出選項A，B，C的函數圖像，通過觀察圖像可知A為非奇非偶函數；B為偶函數；C為奇函數；但在（-∞，0），（0，+∞）上是減函數；而D則先轉化為分段函數 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再畫出它的圖像，通過觀察可得是奇函數，而且是增函數.因此，選D.

小結：解本題也可以用代數法來判斷四個選項的奇偶性，但是在判斷單調性時還是用到圖像法比較容易解決.因此一開始就采用圖像法可以達到一舉兩得的效果.

變式訓練2：【2012年高考重慶文12】函數f（x）=

（x+a）（x-4）為偶函數，則實數a= .

【解析】本題涉及的函數為二次函數，同學們對它的圖像較為熟悉，因此可以用圖像法.

圖像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函數知識可知圖像為拋物線，對稱軸為x=-■，要使二次函數為偶函數，則對稱軸應為y軸，即x=-■=0,這時得a-4=0，得到a=4.

代數法：因為函數f（x）=（x+a）（x-4）為偶函數，所以滿足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.

小結：對比可知圖像法比代數法運算量少，節省時間，減少出錯機會.

在高考中，考查函數的奇偶性還會與單調性或周期等知識綜合出現，還有一種情況是函數的局部奇偶性，這時應選用圖像法還是代數法？請看以下高考題：

【2012年高考浙江文16】設函數f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）=x＋1，則

f（■）=______.

【解析】本題是對函數的奇偶性和周期性等知識的綜合考查，有一定的難度，用代數法：f（■）=f（■-2）=

f（-■）=f（■）=■+1=■.

另：本題也可用圖像法，第一步：先畫出當x∈[0，1]時，f（x）=x＋1的圖像，即圖1；第二步：由條件f（x）是偶函數可得它的圖像關于y軸對稱，因此由圖1畫出關于y軸對稱的圖像，即圖2；第三步：由條件f（x）是定義在R上的周期為2，可由圖2得到圖3，這時觀察圖像可求得當x∈[1，2]時f（x）的函數表達式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.

小結：對比可知在本題中代數法和圖像法各有特點.

變式訓練3：【2012年高考重慶理7】已知f（x）是定義在R上的偶函數，且以2為周期，則“f（x）為[0，1]為上的增函數”是“f（x）為[3，4]上的減函數”的（ ）

A． 既不充分也不必要的條件

B． 充分而不必要的條件

C． 必要而不充分的條件

D． 充要條件

【解析】本題屬于抽象函數問題，通過圖像法去推理可以起到化抽象為具體的作用，過程如下：先考慮充分性，若f（x）為[0，1]上的增函數，草圖可如圖4，由條件f（x）是定義在R上的偶函數可知f（x）的圖像關于y軸對稱，如圖5,所以f（x）在[-1，0]上為減函數；再由條件

f（x）以2為周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]這三個區間上的圖像是相同的，如圖6，因此具有相同的單調性，都為減函數.因此充分性成立.必要性的原理同上，具體過程留給同學們完成.

而本題若用代數法的話則要繁瑣很多，不建議使用.

【答案】D.

【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函數，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（-1）= .

【解析】本題也屬于抽象函數問題，由于沒有涉及周期，因此較難用圖像來表達函數的特點.而從代數法的角度考慮，g（x）為非奇非偶函數，但是f（x）是g（x）表達式的一部分，是奇函數，也就是說g（x）具有局部奇函數的性質，利用f（-x）=-f（x）便可解決問題.具體過程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.

【答案】3.

變式訓練4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函數，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，則g（-1）= .

【解析】本題與上題一樣，難用圖像法去解決.從代數法去考慮g（-1）=f（-1）+2，設h（x）=f（x）+x2，因為h（x）為奇函數，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.

【答案】-1.

總結：

1． 對于函數奇偶性的問題，若是常見函數的話，一般情況下用圖像法會比較直觀快速地解決.

2． 對于函數奇偶性與周期性的綜合問題，一般來講圖像法與代數法各有特點或圖像法優于代數法.

3． 對于局部奇偶性的問題，往往是用不了圖像法的，只能用代數法.

希望同學們在平時解題要善于總結這兩種方法的優劣，最后做到取長補短，又快又準地解決問題.

篇4

關鍵詞：周期性;奇偶性;對稱性;深刻聯系

函數是整個高中數學的靈魂，又是學習高等數學的基礎，在高考數學試題中占有重要的地位.而函數的周期性、奇偶性、對稱性是它非常重要的性質，既是教學重點，又是難點，在解題中有著廣泛的運用。高考常將函數的單調性、奇偶性及周期性相結合命題，以選擇題或填空題的形式考查，難度稍大，為中高檔題.但是學生對這些性質理解得不透徹，運用不靈活.下面對它們的聯系做一些總結.

一、函數周期性、奇偶性、對稱性定義及簡單性質

奇函數：如果對于函數定義域內任意一個數x，都有f（-x）=-f（x），那么，函數f（x）就是奇函數.

偶函數：如果對于函數定義域內任意一個數x，都有f（-x）=f（x），那么，函數f（x）就是偶函數.

軸對稱：如果函數f（x）滿足f（x+a）=f（a-x），則f（x）的圖像關于x=a對稱.

性質1.設a，b是任意常數，則函數f（a+x）=f（b-x）的充要條件是f（x）的圖像對稱.

二、奇偶性、對稱性、周期性三者之間的聯系

1.對稱性+奇偶性周期性

性質2.如果f（x）是奇函數，且圖像關于x=a對稱，則得f（x）是以T=2a為周期的周期函數.

推論：一般的，若定義在R上的函數f（x）的圖像關于直線x=a和x=b對稱，則f（x）是以（ ）為周期的周期函數.

2.對稱性+周期性對稱性，奇偶性

性質3.設f（x）的圖像關于x=a對稱，且T=b的周期函數，則f（x）的圖像關于x=a+b對稱.

推論：設，且，則是偶函數.

3.周期性+奇偶性對稱性

性質4.如果是偶函數，且（a>0），則得的圖像關于x=a對稱.

性質5.如果是R上的奇函數，則得的圖像關于x=a對稱。

例1.函數f（x）的定義域為R，且滿足：f（x）是偶函數，f（x-1）是奇函數，若f（0.5）=9，則f（8.5）=（ ）

A.-9 B.9 C.-3 D.0

解析：選B.因為f（x）是偶函數，所以f（x）=f（-x），又f（x-1）是奇函數，所以f（-x-1）=-f（x-1）.令t=x+1，可得f（-t）=f（t）=-f（t-2），所以f（t-2）=-f（t-4）.所以可得f（x）=f（x-4），f（x）周期T=4.所以f（8.5）=f（4.5）=f（0.5）=9.

例2.已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，且它的圖像關于直線x=1對稱.求證：f（x）是周期為4的周期函數.

證明：由函數f（x）的圖像關于直線x=1對稱，有f（x+1）=f（1-x），即有f（-x）=f（x+2）.

又函數f（x）是定義在R上的奇函數，

故有f（-x）=-f（x）.

故f（x+2）=-f（x）.

從而f（x+4）=-f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期為4的周期函數.

評析：例1由函數的奇偶性得到函數的周期性，例2由函數的奇偶性與對稱性得函數的周期性.

從上面的分析可以看出，函數奇偶性、周期性、對稱性之間存在著聯系，在解題中，若能從整體上把握并靈活運用這些性質，那么抽象函數的高考試題就能迎刃而解.

參考文獻：

篇5

1.了解函數的單調性和奇偶性的概念,掌握有關證明和判斷的基本方法.

(1)了解并區分增函數,減函數,單調性,單調區間,奇函數,偶函數等概念.

(2)能從數和形兩個角度認識單調性和奇偶性.

(3)能借助圖象判斷一些函數的單調性,能利用定義證明某些函數的單調性;能用定義判斷某些函數的奇偶性,并能利用奇偶性簡化一些函數圖象的繪制過程.

2.通過函數單調性的證明,提高學生在代數方面的推理論證能力;通過函數奇偶性概念的形成過程,培養學生的觀察,歸納,抽象的能力,同時滲透數形結合,從特殊到一般的數學思想.

3.通過對函數單調性和奇偶性的理論研究,增學生對數學美的體驗,培養樂于求索的精神,形成科學,嚴謹的研究態度.

教學建議

一、知識結構

（1）函數單調性的概念。包括增函數、減函數的定義，單調區間的概念函數的單調性的判定方法，函數單調性與函數圖像的關系.

（2）函數奇偶性的概念。包括奇函數、偶函數的定義，函數奇偶性的判定方法，奇函數、偶函數的圖像.

二、重點難點分析

(1)本節教學的重點是函數的單調性,奇偶性概念的形成與認識.教學的難點是領悟函數單調性,奇偶性的本質,掌握單調性的證明.

(2)函數的單調性這一性質學生在初中所學函數中曾經了解過,但只是從圖象上直觀觀察圖象的上升與下降,而現在要求把它上升到理論的高度,用準確的數學語言去刻畫它.這種由形到數的翻譯,從直觀到抽象的轉變對高一的學生來說是比較困難的,因此要在概念的形成上重點下功夫.單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容,學生在代數論證推理方面的能力是比較弱的,許多學生甚至還搞不清什么是代數證明,也沒有意識到它的重要性,所以單調性的證明自然就是教學中的難點.

三、教法建議

（1）函數單調性概念引入時,可以先從學生熟悉的一次函數,,二次函數.反比例函數圖象出發,回憶圖象的增減性,從這點感性認識出發,通過問題逐步向抽象的定義靠攏.如可以設計這樣的問題:圖象怎么就升上去了?可以從點的坐標的角度,也可以從自變量與函數值的關系的角度來解釋,引導學生發現自變量與函數值的的變化規律,再把這種規律用數學語言表示出來.在這個過程中對一些關鍵的詞語(某個區間,任意,都有)的理解與必要性的認識就可以融入其中,將概念的形成與認識結合起來.

（2）函數單調性證明的步驟是嚴格規定的,要讓學生按照步驟去做,就必須讓他們明確每一步的必要性,每一步的目的,特別是在第三步變形時,讓學生明確變換的目標,到什么程度就可以斷號,在例題的選擇上應有不同的變換目標為選題的標準,以便幫助學生總結規律.

函數的奇偶性概念引入時,可設計一個課件,以的圖象為例,讓自變量互為相反數,觀察對應的函數值的變化規律,先從具體數值開始,逐漸讓在數軸上動起來,觀察任意性,再讓學生把看到的用數學表達式寫出來.經歷了這樣的過程,再得到等式時,就比較容易體會它代表的是無數多個等式,是個恒等式.關于定義域關于原點對稱的問題,也可借助課件將函數圖象進行多次改動,幫助學生發現定義域的對稱性,同時還可以借助圖象(如)說明定義域關于原點對稱只是函數具備奇偶性的必要條件而不是充分條件.

函數的奇偶性教學設計方案

教學目標

1.使學生了解奇偶性的概念,回會利用定義判斷簡單函數的奇偶性.

2.在奇偶性概念形成過程中,培養學生的觀察,歸納能力,同時滲透數形結合和特殊到一般的思想方法.

3.在學生感受數學美的同時,激發學習的興趣,培養學生樂于求索的精神.

教學重點,難點

重點是奇偶性概念的形成與函數奇偶性的判斷

難點是對概念的認識

教學用具

投影儀,計算機

教學方法

引導發現法

教學過程

一.引入新課

前面我們已經研究了函數的單調性,它是反映函數在某一個區間上函數值隨自變量變化而變化的性質,今天我們繼續研究函數的另一個性質.從什么角度呢?將從對稱的角度來研究函數的性質.

對稱我們大家都很熟悉,在生活中有很多對稱,在數學中也能發現很多對稱的問題,大家回憶一下在我們所學的內容中,特別是函數中有沒有對稱問題呢?

(學生可能會舉出一些數值上的對稱問題,等,也可能會舉出一些圖象的對稱問題,此時教師可以引導學生把函數具體化,如和等.)

結合圖象提出這些對稱是我們在初中研究的關于軸對稱和關于原點對稱問題,而我們還曾研究過關于軸對稱的問題,你們舉的例子中還沒有這樣的,能舉出一個函數圖象關于軸對稱的嗎?

學生經過思考,能找出原因,由于函數是映射,一個只能對一個,而不能有兩個不同的,故函數的圖象不可能關于軸對稱.最終提出我們今天將重點研究圖象關于軸對稱和關于原點對稱的問題,從形的特征中找出它們在數值上的規律.

二.講解新課

2.函數的奇偶性(板書)

教師從剛才的圖象中選出,用計算機打出,指出這是關于軸對稱的圖象,然后問學生初中是怎樣判斷圖象關于軸對稱呢?(由學生回答,是利用圖象的翻折后重合來判定)此時教師明確提出研究方向:今天我們將從數值角度研究圖象的這種特征體現在自變量與函數值之間有何規律?

學生開始可能只會用語言去描述:自變量互為相反數,函數值相等.教師可引導學生先把它們具體化,再用數學符號表示.(借助課件演示令比較得出等式,再令,得到,詳見課件的使用)進而再提出會不會在定義域內存在,使與不等呢?(可用課件幫助演示讓動起來觀察,發現結論,這樣的是不存在的)

從這個結論中就可以發現對定義域內任意一個,都有成立.最后讓學生用完整的語言給出定義,不準確的地方教師予以提示或調整.

(1)偶函數的定義:如果對于函數的定義域內任意一個,都有,那么就叫做偶函數.(板書)

(給出定義后可讓學生舉幾個例子,如等以檢驗一下對概念的初步認識)

提出新問題:函數圖象關于原點對稱,它的自變量與函數值之間的數值規律是什么呢?(同時打出或的圖象讓學生觀察研究)

學生可類比剛才的方法,很快得出結論,再讓學生給出奇函數的定義.

(2)奇函數的定義:如果對于函數的定義域內任意一個,都有,那么就叫做奇函數.(板書)

(由于在定義形成時已經有了一定的認識,故可以先作判斷,在判斷中再加深認識)

例1.判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1);(2);

(3);;

(5);(6).

(要求學生口答,選出1-2個題說過程)

解:(1)是奇函數.(2)是偶函數.

(3),是偶函數.

前三個題做完,教師做一次小結,判斷奇偶性,只需驗證與之間的關系,但對你們的回答我不滿意,因為題目要求是判斷奇偶性而你們只回答了一半,另一半沒有作答,以第(1)為例,說明怎樣解決它不是偶函數的問題呢?

學生經過思考可以解決問題，指出只要舉出一個反例說明與不等.如即可說明它不是偶函數.(從這個問題的解決中讓學生再次認識到定義中任意性的重要)

從(4)題開始,學生的答案會有不同,可以讓學生先討論,教師再做評述.即第(4)題中表面成立的=不能經受任意性的考驗,當時,由于,故不存在,更談不上與相等了,由于任意性被破壞,所以它不能是奇偶性.

教師由此引導學生,通過剛才這個題目,你發現在判斷中需要注意些什么?(若學生發現不了定義域的特征,教師可再從定義啟發,在定義域中有1,就必有-1,有-2,就必有2,有,就必有,有就必有,從而發現定義域應關于原點對稱,再提出定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的什么條件?

可以用(6)輔助說明充分性不成立,用(5)說明必要性成立,得出結論.

(3)定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件.(板書)

由學生小結判斷奇偶性的步驟之后,教師再提出新的問題:在剛才的幾個函數中有是奇函數不是偶函數,有是偶函數不是奇函數,也有既不是奇函數也不是偶函數,那么有沒有這樣的函數,它既是奇函數也是偶函數呢?若有,舉例說明.

經學生思考,可找到函數.然后繼續提問:是不是具備這樣性質的函數的解析式都只能寫成這樣呢?能證明嗎?

例2.已知函數既是奇函數也是偶函數,求證:.(板書)(試由學生來完成)

證明:既是奇函數也是偶函數,

=,且,

=.

,即.

證后,教師請學生記住結論的同時,追問這樣的函數應有多少個呢?學生開始可能認為只有一個,經教師提示可發現,只是解析式的特征,若改變函數的定義域,如,,,,它們顯然是不同的函數,但它們都是既是奇函數也是偶函數.由上可知函數按其是否具有奇偶性可分為四類

(4)函數按其是否具有奇偶性可分為四類:(板書)

例3.判斷下列函數的奇偶性(板書)

(1);(2);(3).

由學生回答,不完整之處教師補充.

解:(1)當時,為奇函數,當時,既不是奇函數也不是偶函數.

(2)當時,既是奇函數也是偶函數,當時,是偶函數.

(3)當時,于是,

當時,,于是=,

綜上是奇函數.

教師小結(1)(2)注意分類討論的使用,(3)是分段函數,當檢驗,并不能說明具備奇偶性,因為奇偶性是對函數整個定義域內性質的刻畫,因此必須均有成立,二者缺一不可.

三.小結

1.奇偶性的概念

2.判斷中注意的問題

四.作業略

五.板書設計

2.函數的奇偶性例1.例3.

(1)偶函數定義

(2)奇函數定義

(3)定義域關于原點對稱是函數例2.小結

具備奇偶性的必要條件

(4)函數按奇偶性分類分四類

探究活動

(1)定義域為的任意函數都可以表示成一個奇函數和一個偶函數的和,你能試證明之嗎?

(2)判斷函數在上的單調性,并加以證明.

篇6

一、定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的前提條件，然而這一點卻往往被許多學生所忽略。

例1：判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=x+1（x≥0）；（2）f（x）=。

解析：（1）由于函數定義域為［0，+∞），沒有關于原點對稱，故該函數既不是奇函數也不是偶函數。

（2）此題若忽略了函數定義域而直接求f（-x），則很難與f（x）進行比較判斷，最后甚至誤認為是非奇非偶函數。事實上，函數定義域為［-2，0）∪（0，2］，滿足關于原點對稱，此時函數可進一步化簡為f（x）==，易知有f（-x）=-f（x），故函數為奇函數。

例2：偶函數f（x）的定義域為（k，2k+3），則函數g（x）=（k+2）x+（k-1）x+3的單調遞減區間為 。

解析：f（x）既是偶函數，則其定義域必關于原點對稱，于是k+2k+3=0，得k=-1，從而g（x）=x-2x+3，單調遞減區間為（-∞，1］。

二、函數奇偶性除了注意其定義域之外，判定時也應注意形式多變，方法多樣，只有做到對癥下藥，解題時才可以得心應手。

例3：判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=；（2）f（x）=log（-x）。

解析：（1）易知函數定義域為R（滿足關于原點對稱），若直接求f（-x），再與f（x）進行比較判斷，則容易陷入解題僵局，導致半途而廢。事實上，f（-x）+f（x）=+==0，即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數。

（2）函數定義域為R（滿足關于原點對稱），且f（-x）=log（+x）=log=log=log（-x）=-log（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數。

注：第（1）題應注意函數奇偶性定義的等價形式的應用：f（-x）=±f（x）?圳f（-x）±f（x）=0?圳=±1（f（x）≠0）；第（2）題則應注意分子有理化在根式化簡中的應用。

例4：定義在R上的函數f（x）滿足：對任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）-f（y），證明函數f（x）為偶函數。

解析：對抽象函數奇偶性的說明仍需比較f（-x）與f（x）的關系，依題意，令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，則f（0）=f（x）-f（-x）=0，即f（-x）=f（x），所以f（x）為偶函數。

三、函數奇偶性有著較多的性質，在解題中有著廣泛靈活的運用。

例5：已知函數f（x）=log（x+）是奇函數，則a的值為 。

解析：若直接采用f（-x）=-f（x）兩邊進行比較求解，很難得出結果。

方法一：采用等價變形f（-x）+f（x）=0，可得log（-x）+log（x+）=log［（-x）（+x）］=0，則log2a=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

方法二：利用奇函數的性質f（0）=0（當x=0時函數有意義），即得：log=0，即a=±，由于a＞0且a≠1，故a=。

例6：若f（x）為奇函數，且在（-∞，0）內是增函數，又f（-2）=0，則xf（x）＜0的解集為（）。

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

解析：本題可根據題設條件先作出函數f（x）在（-∞，0）內的大致圖像，如上圖，由對稱性（奇函數的圖像關于原點對稱）及單調性（在（-∞，0）內是增函數）得出f（x）在（0，+∞）的圖像，如上圖。f（x）為奇函數，且f（-2）=0，f（2）=0。由圖像可知：當-2＜x＜0時，f（x）＞0，xf（x）＜0；當0＜x＜2時，f（x）＜0，xf（x）＜0。故不等式xf（x）＜0的解集為（-2，0）∪（0，2），答案選A。

例7：設f（x）是奇函數，g（s）是偶函數，且f（x）-g（x）=x-x，求f（x）與g（x）的表達式。

解析：依題意，令h（x）=f（x）-g（x）=x-x①

于是h（-x）=f（-x）-g（-x）=x+x，

又f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），所以有-f（x）-g（x）=x+x②

①+②可得：g（x）=-x，①-②可得：f（x）=-x。

篇7

“問題教學法”正是以問題為主線，引導學生主動探究，體驗數學發現和構建的過程，完全符合新課程標準的理念。因此，“問題教學法”在高中數學新課程的教學中尤顯重要。下面以北師大出版的高中數學1（必修）第二章第五節《簡單的冪函數》為例，談談如何利用問題教學法，引導學生從事數學探究活動。

一、借助學生已有的知識，創設恰當的數學問題情境

創設問題情境，就是根據教學內容，結合學生的認知發展水平和已有的知識經驗，將學習內容設計成若干與學生生活接近、有一定趣味性和挑戰性的問題。目的是激發學生學習的積極性，給學生提供參與數學活動的機會，使學生在動手實踐、自主探索和與他人合作交流的過程中獲取數學知識、技能、思想和方法。

在導入新課時，我采取閱讀式教學法，先讓學生看書，然后回答下列問題。

T（教師，下同）：我們學過函數

，它們在形式上有何相同點和不同點?

這些函數都是學生初中學過的比較重要的函數，是學生最熟悉的。從這些函數入手，學生容易接受。

S（學生，下同）：它們的底數都是x，指數不同。

T：這樣的函數我們叫冪函數，冪函數的定義為：

如果一個函數，底數是自變量x，指數是常量a，即

，這樣的函數叫冪函數。

,還有

都是冪函數。

至此，學生知道了冪函數的概念，但還不能算理解。針對上面例子中，指數都是整數的情況，我設置下面的問題：

T：常量a的取值都是整數嗎？可不可以是分數？

學生經過思考，有的說只能是整數，有的說可以分數，但說不出為什么。于是我讓學生回歸概念，看概念中對a有何限制：定義中只要求a是常量；再結合用電腦做動畫演示，讓學生看到

的圖象隨a的變化而變化，其中a可以取所有的實數。

這時，學生們明白了：a可以取任何常數，當然可以是分數。

冪函數也是函數，它也應該有定義域。但函數的定義域在新課標中降低了要求。為了讓學生對冪函數定義域的了解達到新課標的最低要求，我設置了如下問題：

T：舉例說明冪函數

的定義域變化情況,它們都是R嗎？

S：冪函數的定義域不都是R。比如冪函數

的定義域是R，而

的定義域是不等于零的實數。

我再次用幾何畫板演示了

在a取不同的數值時的圖象，讓學生認識到冪函數的定義域隨常量a的變化而變化，不同冪函數的定義域是不同的。至此學生對冪函數基本掌握，達到了新課標的要求。

這里設置的問題情景，都是在學生已有的數學知識和基礎上提出來的，而且對同一個內容從不同的角度去思考，讓學生感到熟悉而親切，容易理解和接受。

二、借助信息技術提出問題，讓學生感悟數學概念的內涵

學生已經學過函數的概念和二次函數的圖象和性質，以及圖形的中心對稱和軸對稱，具備了研究圖形性質的基本技能和基礎知識。于是，根據新課標“變被動接受為主動發現”的理念，在信息技術的輔助下，對冪函數設置下面的探究過程。

課本在冪函數概念后，給出例題：畫出函數

的圖象,判斷其單調性。對此我不滿足于學生掌握它的解題思路和方法,而是繼續以它的圖象為載體，探究冪函數圖象的對稱性。在用電腦展示

的圖象后提出以下問題：

T:我們初中學過圖形的中心對稱和軸對稱。冪函數

的圖象有對稱性嗎?

S：有。圖象關于原點對稱。

T：我們再看

的圖象，它們有何特征？

用電腦演示它們的圖象，學生觀察后回答:

S：

的圖象關于原點對稱,

的圖象關于y軸對稱。

這時，給出奇函數和偶函數的定義，就水到渠成了。

T：象這樣，圖象關于原點對稱的函數叫作奇函數。圖象關于y軸對稱的函數叫作偶函數。

并借助幾何畫板和Flash，演示函數圖象的對稱性。在讓學生感知奇函數和偶函數概念的同時，也讓他們感受到數學圖形的對稱美。

但并非所有冪函數的圖象都存在中心對稱或軸對稱,為了不讓學生陷入這個誤區，我設置了下面的問題。

T:是不是所有冪函數的圖象都具有中心對稱或軸對稱呢?

有的同學說是，有的說不是，有的同學不知道是還是不是。

T:函數

是冪函數,它的圖象也存在中心對稱或軸對稱嗎?

學生對這個函數不太熟悉,我用電腦顯示了它的圖象。學生馬上回答：它沒有中心對稱,也沒有軸對稱。至此，學生們認識到：并非所有冪函數的圖象都存在中心對稱或軸對稱。

借助信息技術對函數圖象作直觀演示下的問題教學法,使學生對老師設置的數學問題，不再感覺陌生，對數學概念的理解也不再是空洞的想象。信息技術下的問題教學法既體現了化抽象為直觀,從直觀到抽象的思維方法，也充分調動了學生學習數學的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程。

三、借助概念設置問題，讓學生在疑問中發現數學規律

高中數學新課標倡導自主探索、動手實踐、合作交流的學習方式，讓學生在數學的學習和運用中，不斷地經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、抽象概括、反思和建構等思維過程，并在不斷的探索中發現問題，提高學生的數學思維能力。

給出函數奇偶性的概念后，就面臨著怎樣用概念判斷函數奇偶性的問題。對于簡單的冪函數，如y=2x和

，學生都能夠通過圖象的對稱性作出判斷，而對于稍微復雜一點的函數，如

，學生就很難靠畫圖來判斷了。對于判斷函數奇偶性更一般的方法，不能是老師直接告訴學生，只能讓學生通過自主探索、自主實踐、合作交流的方式來自己發現、自己解決，于是我設置下面的問題。

T：怎樣判斷一個函數是奇函數，還是偶函數？

S：根據奇偶性的定義，看它的圖象是否關于原點或y軸對稱。

T：判斷函數

的奇偶性。

對這些函數，學生都會通過其圖象，判斷出它們的奇偶性。

T：函數

的奇偶性如何？

這些函數，學生不知道它們的圖象是什么樣的，也畫不出它們的圖象，對其奇偶性，學生們是百思不得其解。

于是，學生產生一個疑問：用函數奇偶性的概念能判斷所有函數的奇偶性嗎？在不知道函數圖象的情況下，怎樣判斷函數的奇偶性呢？

如何破解學生心中的疑問？只有從學生已有的認知結構、思維方法和思維習慣入手，引導學生借助已有的數學知識和經驗，讓他們自己在探究中解決。于是，我再次引導學生對

進行研究。

T：在

中，

S：

T：在

中，對于任意的x∈R，

S：

T：在函數

中，

S：

T：我們能否猜想：如果f(x)是奇函數，那么

；如果f(x)是偶函數，那么

？

S：能。比如在奇函數

中，就有

；在偶函數

中，就有

。

我對學生的猜想給予肯定，然后告訴學生這是函數奇偶性的一個重要性質，并要求他們用這種方法再來判斷

的奇偶性。這時，學生都很快說出它們都是奇函數。

為了幫助學生更好的認識上述判斷函數奇偶性的方法，我用幾何畫板演示了

的圖象，學生看到它們的圖象確實都關于原點對稱。這樣，既驗證了學生自己的判斷是正確的，也提高了他們不斷探索的信心和毅力。

通過這樣循序漸進地設置問題的探索過程，不但讓學生從具體實例抽象出數學概念，而且在運用中逐步理解了概念的本質；不但讓學生揭開了心中的疑問，而且通過探索讓學生自己發現了一個數學規律；不但讓學生在探索中學到了知識，而且也發展了他們的數學思維能力，體會到了數學的美學價值。

四、借助學生的發現再探索，引導學生完善自己的探索成果

經過了上述的探索，似乎找到了判斷函數奇偶性的方法。但同時也給學生設置了一個誤區：只要函數f(x)的解析式滿足

或

，就說函數是奇函數或偶函數。為此，我繼續設置下面的問題。

T：

的奇偶性。

學生都會用上述方法作出判斷。這時我作了如下的變式和引申：

判斷函數

的奇偶性。

學生判斷出它們分別是奇函數和偶函數。對此我并不直接指出他們的錯誤，而是讓他們畫出這兩個函數的圖象，從圖象上看其對稱性如何？這是一個挑戰性的問題，是對學生的思維嚴謹性的考驗。當學生在給定區間上畫出它們的圖象，并通過思考、討論和交流后,恍然明白：它們的圖象沒有對稱性。于是，我再向學生提出了下面的問題。

T：為什么它們滿足

或

，卻沒有奇偶性呢？

S：因為它們的區間不關于原點對稱，即定義域不關于原點對稱。

T：當函數f(x)的滿足什么條件時,它才有奇偶性呢?

S：要滿足兩點：一是函數的定義域要關于坐標原點對稱；二是在定義域內要滿足

或

。

T：到此，我們就有兩種方法判斷函數的奇偶性了。在具體解題時究竟該選擇哪種方法呢？

S：容易畫出圖象的，就用圖象法；很難畫出圖象的就用解析式法。

可見，在用問題教學法對數學規律的探索過程中，既是應用知識和技能檢驗規律的過程，又是發現問題、解決問題和完善規律的過程。在上面的問題探索中，學生不但是自己發現了數學的規律，而且又是自己完善了這一規律。

綜上所述，問題教學法是非常重視“過程”的教學方法，它展現了學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個探索過程。尤其是在信息技術的輔助下，問題教學法更有利于培養學生學習的自主性、獨立性、獨特性以及克服困難的意志和決心等多項優良品質，讓學生從我要學出發，建立我能學的自信，使學生的學習賦予了新的生命價值。

【參考文獻】

篇8

歐債危機下煤炭企業發展過程中缺乏適應市場經濟發展要求的營銷渠道，營銷觀念相對落后導致企業的核心競爭力一直不能很好的提升，當前企業需要不斷拓展營銷渠道，合理分析歐債危機對企業發展產生的負面影響，制定科學合理的應對政策，推動煤炭企業各項工作不斷提升。歐債危機下煤炭企業需要依靠科技進步實現效益增長。當前煤炭企業需要健康穩定的發展，因此需要分析歐債危機的情況，建立適應市場經濟發展要求的現代企業管理制度，樹立全新的營銷理念，堅持以市場為中心以客戶為中心的發展戰略。

一歐債危機下煤炭企業營銷的特殊性分析

1煤炭企業產品的特殊性分析

從煤炭產品的運輸量角度看，通常情況下量比較大，因此盡量采取縮短分銷途徑的策略，促使煤炭企業能夠按照營銷戰略推動各項事業不斷發展。歐債危機下企業采取此種方式可以節省保管和運輸方面的人力和物力，促使煤炭企業各項成本降低，提升企業的整體效益。我國煤炭企業大都是通過直銷或者商銷售方式，但是煤炭是一種不可再生資源，因此煤炭企業在發展過程中需要充分考慮產品的市場壽命周期。隨著科技的不斷發展，人們的環保意識得到加強，因此煤炭不再是一種不可替代的能源產品了，煤炭企業在歐債危機的環境下，需要不斷分析產品的市場環境，同時需要對影響市場發展的各種因素指標進行研究。煤炭產品是大宗散裝貨物，單位的價值量相對比較低，客戶在周轉過程中存在周轉周期長的特點。因此煤炭企業在產品運輸過程中，需要采取成本低、裝載量大的方式，同時可以采取水運和特殊運輸方式，降低煤炭企業的營銷成本。

2歐債危機下需要按照客戶的購買行為分析

從當前的情況看，國有大型企業對煤炭產品的需求量相對比較大，針對此種客戶需要對其購買行為進行綜合分析。同時按照企業發展的內部環境和外部環境制定戰略，避免歐債危機對客戶購買行為產生影響。煤炭企業在產品供給過程中盡量按照客戶的周期需求模式進行，促使煤炭企業銷售模式能夠符合企業戰略發展需求。煤炭產品的差異化不大，因此客戶的購買行為相對比較單一，企業需要更準確的分析客戶的購買欲望，促使煤炭企業能夠擁有良好的市場發展環境，避免歐債危機對其產生負面影響。

二歐債危機下煤炭企業營銷存在的問題分析

1企業營銷管理存在一定的問題

當前我國煤炭企業對營銷管理的分析相對比較滯后，通常是采取事后分析的策略。歐債危機下企業的市場環境發生了變化，如果不能對企業的營銷管理進行科學合理的分析，企業的發展會受到重要的影響。企業一方面需要對國際市場環境進行分析，同時還需要對宏觀政策環境進行分析，需要對微觀目標市場環境進行事前調研和分析，同時在事后進行有效的控制和監督，提升企業的營銷水平。歐債危機下煤炭企業需要對市場專業的、系統的、及時的分析，對市場信息進行有效的加工、收集、捕捉和整體，提升企業的市場分析能力，為企業獲取更好的營銷渠道奠定重要的基礎。歐債危機下企業的信息反饋遲鈍和信息鏈中斷是常見的通病，市場營銷過程中需要根據市場的變化情況，對競爭對手進行綜合分析，對企業改善市場環境贏取市場份額具有十分重要的作用。煤炭企業營銷戰略需要進行整體規劃，建立一套系統化的營銷模式，從而能夠保證企業對市場進行有效掌控。

2歐債危機下煤炭企業的分銷模式存在問題分析

歐債危機下煤炭企業需要堅持走正確的分銷道路，解決好亂收費問題，同時煤炭企業之間需要形成合理的競爭機制。煤炭企業分銷體系混亂對企業正常發展會產生一定的影響。煤炭企業在歐債危機的環境下需要解決好營銷成本高的問題，一些企業由于經營成本上升導致銷售總量下降，對企業經濟效益提升產生了很大的影響，煤炭企業在發展過程中需要避免此種現象產生，促使企業各項事業得到健康穩定的發展。如果市場營銷戰略不能很好的把握，導致企業煤炭庫存量多、周轉慢，企業的整體發展會受到一定程度的影響。歐債危機下煤炭企業的銷售人員需要花費大量精力在搶市場和拉用戶上，煤炭企業同時還需要注重人員素質提升和科學管理，更好的應對歐債危機對企業發展產生的影響，提升煤炭企業的綜合發展能力。

三歐債危機下煤炭企業營銷模式創新，營銷渠道完善

1歐債危機下企業營銷模式創新

歐債危機下煤炭企業要實現全面協調可持續的發展，必須堅持以市場為導向，對市場營銷模式進行全面創新，不斷完善營銷渠道，推動各項事業得到不斷的發展。歐債危機下煤炭企業的發展需要把市場各種要素有機結合在一起，對營銷的整體思路和營銷方法進行有效的整體，采取科學合理的營銷手段，促使煤炭企業各項工作能夠得到全面的發展。歐債危機下企業需要制定科學合理的價格，價格形成機制需要和市場發展模式緊密結合在一起，采取最科學最有效的營銷組合模式，提升企業的營銷效益，為企業提升核心競爭力創造積極的條件。歐債危機下煤炭企業堅持市場戰略，銷售模式需要和市場發展狀況緊密結合在一起，按照經濟效益最大化的策略調整生產經營，優化營銷結構，提升煤炭企業的綜合發展能力。

2歐債危機下煤炭企業需要以廣告宣傳營銷為橋梁

歐債危機下煤炭企業市場營銷模式需要不斷創新，按照市場渠道建設的基本要求，形成營銷策略組合，提升企業的營銷管理水平。歐債危機下影響煤炭企業的營銷因素不是單一的，而是多種影響因素組合在一起，需要堅持正確的發展策略，轉變企業營銷觀念，采取合理的定價模式，按照廣告宣傳的營銷手段推動各項工作前進。廣告宣傳對煤炭企業的營銷水平會產生很大的影響，但是煤炭企業在營銷過程中不能依靠廣告，需要采取科學合理的營銷戰略，促使煤炭企業各項工作能夠順利開展。企業需要對客戶的購買力和購買欲望進行全面分析，需要不斷加大廣告的宣傳力度，力求創新，以提升產品的美譽度。廣告在商品經營者、生產者、消費者之間建立了一種溝通的方式，煤炭企業只有堅持營銷創新，企業的經營效益才能得到全面提升。

3歐債危機下煤炭企業需要擁有較高素質的銷售隊伍

煤炭企業在歐債危機下需要加大廣告宣傳力度，需要采取正確的商品促銷手段。煤炭企業在市場渠道拓展過程中需要樹立競爭意識，需要不斷提高營銷隊伍的素質。歐債危機下企業的市場戰略直接影響到企業的業績，企業只有擁有優秀的營銷隊伍，才能保證營銷模式創新，提升企業的經營效益。煤炭企業需要從銷售手段、信息量、顧客數量、目標市場等方面采取積極有效的策略，提升煤炭企業的綜合發展能力。煤炭企業營銷隊伍的素質創新，需要按照人的行為和人的經營策略向前推進。具體實施過程中可以采取激勵銷售法，提升企業的銷售團隊的積極性和創造性，從而提升企業的營銷業績，可以規避歐債危機對企業發展產生的市場風險。煤炭企業市場營銷水平提升過程中，需要加強營銷人員隊伍素質建設，倡導人本主義的營銷思想，需要廣大員工真正認識到營銷理念和營銷手段對企業發展會產生積極的作用。

篇9

一、抽象函數定義域

所謂抽象函數是指用f（x），g（x）或F（x），G（x）等表示的函數，而沒有具體解析式的函數類型，這類函數求定義域關鍵是對定義域概念的真正理解.

例1：已知函數f（x）的定義域為[0，4]，求f（x2）的定義域.

解析：注意在對應法則f下，函數f（x2）中x2 的范圍與函數f（x）中x的范圍相同.

解答：函數f（x）的定義域為[0，4]，

，

f（x）的定義域為[-2，2].

誤區警示：誤認為f（x2）的定義域是[0，16]，同時易漏掉x+1>0這一限制.

二、定義域與函數值域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例2：求函數 的值域.

換元法（代數換元法）：令 則

原函數可化為

原函數值域為 .

上例說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。

三、定義域與函數奇偶性

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例3：判斷函數 的奇偶性.

解：

定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱

函數 是非奇非偶函數.

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：

函數 是奇函數.

錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。

四、定義域與復合函數單調性

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：指出函數f（x）=log4（-x2+2x+3）的單調區間.

解：先求定義域：

由-x2+2x+3>0，

得-1

令g（x）=-x2+2x+3.

則g（x）在（-∞，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，

又y=log4x在（0，+∞）上遞增，

所以f（x）的單調遞增區間是（-1，1），遞減區間是（1，3）.

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。

綜上所述，在求解函數函數關系式、最值（值域）、奇偶性、單調性等問題中，可以偏擬出層出不窮、靈活多變的數學問題，考查學生的數學基礎知識和綜合數學素質，特別是能從解答的深入程度中，區分出學生運用數學知識和思想方法解決數學問題的能力。

參考文獻：

篇10

關鍵詞：高中數學 函數定義域 思維品質

學生進入高中，學習集合這一基本工具后，就開始了高中函數的學習。用集合的觀點定義了函數，進而開始了對函數的研究。然而，不管是求函數解析式、值域，還是研究其性質，都離不開對定義域的研究。

一、函數關系式與定義域

函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：

例1：用籬笆圍一個矩形菜園，現有籬笆總長度為100m，求矩形菜園的面積S與矩形長x的函數關系式？

解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：S=（50-x）

故函數關系式為：S=x（50-x） .

如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量x的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量x取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量x的范圍： 0

即：函數關系式為：S=x（50-x） （0

這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。這體現了思維的嚴密性，培養學生此項品質是十分必要的。

另外如：y=x和 雖然對應關系相同，但定義域不同，也是不同的函數。

二、函數值域與定義域

函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：

例2：求函數 的值域.

錯解：令

故所求的函數值域是 .

剖析：經換元后，應有t≥0，而函數 在[0，+∞）上是增函數，

所以當t=0時，ymin=1.

故所求的函數值域是[1， +∞）.

以上例子說明，變量的允許值范圍的重要性，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。

求函數值域，往往也會想到函數最值的求解。這里以二次函數

為例舉例說明。

例3：求函數 在[1，4]上的最值.

解：

當 時，

初看本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到此題定義域不是R，而是[1，4]。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。學生只知道利用對稱軸求二次函數最值。然而，那往往是定義域是R的時候，當條件改變時，需要考慮完善。本題還要繼續做下去：

f（4）=42-4x4-5=-5

函數 在[1，4]上的最小值是-9，最大值是―5.

這個例子說明，在函數定義域受到限制時，應注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，這說明思維的靈活性很重要。

三、函數單調性與定義域

函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：

例4：求出函數f（x）=1n（4+3x-x2）的單調區間.

解：先求定義域：

函數定義域為（-1，4）.

令 ，知在 上時，u為減函數，

在 上時， u為增函數。

又

即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。

如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。此題正解應該是函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。

四、函數奇偶性與定義域

判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：

例5：判斷函數 的奇偶性.

解： 定義域區間 不關于坐標原點對稱

函數 是非奇非偶函數.

若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性

如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性可能得出如下錯誤結論：

函數 是奇函數.

綜上所述，在求解函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，就能提高學生辨析理解能力，有利于培養學生的數學思維品質，激發學生的創造力。

參考文獻：